０は自然数か？ [無断転載禁止]©2ch.net

[0001 １３２人目の素数さん 2017/09/05(火) 01:18:09.63 ID:bR+O9p/X]

自然数では無いはず

[0952 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 08:46:13.32 ID:T7FnoYRs]

トランプのカードを使って考えてみましょう

ハートのAから順番にカードを並べます
1,2,3,4,…,10,11,12,13
枚数を数えます
1枚,2枚,3枚,…12枚,13枚

では、0枚(0枚目)とはトランプのカードがどういう状態なのか考えてみます

さらに、14枚と100枚についても考えます

確認作業として、カードをランダムに並べた時を考えます

最終確認として、カードの間の数について考えてみましょう

[0953 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 12:00:01.05 ID:8F+7t5zq]

>>951
自然な定義ってのはあるだろう
例えば「素数に１を含めるかは定義の問題」か？
いや含めないべきだろう

[0954 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 12:17:06.23 ID:j7Yf0M1A]

素数は約数の個数が 2 個である自然数
という定義だけでいい
その定義で 1 は素数でないことがはっきりしている
わざわざ 1 は素数ではないと定義する必要がない

[0955 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 12:19:56.92 ID:LUrobsGq]

>>954
「約数が１かそれ自身」としたら不可分な定義になるな

[0956 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 14:40:07.50 ID:HAEeQRGA]

>>953
何が自然なのかは状況による

例えば建物について階数をいうなら０階建てはない
しかしどの階にいるかを表示する場合
地上は０階と表示し、そこから昇るたびに
１階、２階、３階、・・・と表示するほうが「自然」
例えば地下をＢ１、Ｂ２、Ｂ３とするなら、なおのこと

つまり８階建ての建物の最上階は７階（８階は屋上）

[0957 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 14:44:57.12 ID:oqoj2i7H]

>>956
それ０階建ては単に建物が建ってないってだけなんとちゃう？

[0958 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 16:04:03.06 ID:oqoj2i7H]

＞つまり８階建ての建物の最上階は７階（８階は屋上）

これも８階建ての建物（８より小さい自然数の集合）の最上階（最大値）は７階（７）と言ってるようにしか聞こえんな〜

[0959 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 16:09:02.68 ID:j7Yf0M1A]

例え話で話をしても意味がない
例え話は例え話でしかないのだから

[0960 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 16:10:39.90 ID:oqoj2i7H]

君に対してはちゃんと例え話でない話（>>955）したでしょ

[0961 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 16:20:12.52 ID:j7Yf0M1A]

>>960
それについてではなくて「自然」という言葉についての話ね

階数を数える時に0階という考え方をすることができるから
0は自然な数である
だから自然数に0を入れてもいいという考え方についての話

定義をするにも言葉を使うから
その言葉の定義はどうするのかという疑問を持つ人もいるが
最低限の言葉は定義してない言葉を使って定義することになっている
その最低限の言葉とは多くの人が同じようにとらえている言葉
それは説明なしで使っていい
その言葉について特殊な例や考え方で言葉の本来とは違う意味を持たせて使うと定義の意味がずれてしまうのでそれは行わない

自然数に関しては正の整数という定義だけでいいだろう

[0962 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 16:23:27.38 ID:oqoj2i7H]

>>961
それはいいからまずは>>955に応答しようよ

[0963 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 16:32:10.44 ID:j7Yf0M1A]

>>962
あなたが書いた定義がよくないのだからあいまいになる
一般的に使われている素数の定義は
「1かそれ自身」ではない
「1とそれ自身」となっている
曖昧さを回避するために
「1より大きい大きい」を添える場合もあるし「2個」を添える場合もある

[0964 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 16:35:20.65 ID:oqoj2i7H]

>>963
＞一般的に使われている素数の定義は「1かそれ自身」ではない
＞「1とそれ自身」となっている

そだね
そっちのが自然だからそうなったんだと思うよ

[0965 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 19:38:16.75 ID:Y5MxROIQ]

ゼロをその数と１で割ると１になる
ゼロは素数

[0966 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 19:40:17.04 ID:3vHSSr+b]

πを定数にするより2πを定数にした方が良い

[0967 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 19:46:04.82 ID:Y5MxROIQ]

ゼロは素数じゃないな0÷xでいくらでも割れる
逆にゼロ除算ができると１は１と０で割り算できるから素数
それだと他の数字も０で割れるから意味ないか

[0968 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 20:19:31.40 ID:Nj3jruhL]

「ゼロは自然数ではない」派の方が、有理数全体の集合を考える時に整数と自然数の直積集合で考えられるからすき

[0969 １３２人目の素数さん 2021/09/27(月) 21:07:36.08 ID:YqX+cxAx]

それ結局ダブらない？

[0970 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 14:30:04.70 ID:Zbuz57SB]

「整数とは何か」には異論は出ない
「正の整数、負の整数、０」の分類にも異論は出ない。

非負整数0, 1, 2, ３, ...
正整数1, 2, 3, ...
も定義がはっきりしている。

自然数という無駄なカテゴリーを設定し、自然数=非負整数または自然数=正整数のどちらかに決めるというのはまさに無駄。非負整数の集合が便利な時も正整数の集合が便利な時もあるので、ここぞとばかりどちらか一方を自然数と名付けるのは無益。

[0971 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 14:38:06.14 ID:nIOyTiAm]

負数より零の方が発見は先なわけで
それを非負整数と呼ぶのは持って回った言い方な気がするけどなー

[0972 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 14:45:46.24 ID:Zbuz57SB]

歴史的順序と数学の構成は別。

[0973 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 14:49:49.01 ID:Zbuz57SB]

０以上の整数を名付ける必要はあるが、分かりやすい言葉(非負整数)があるのでそれ以上こだわる必要は無い。それを自然数と定義しても良いがしなくても良い。

[0974 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 14:57:24.37 ID:Zbuz57SB]

自然数=正整数=非負整数-{０}
自然数=非負整数=正整数+{０}

どっちでもいい

[0975 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 15:01:15.04 ID:C8xCA+FJ]

数学の構成でも自然数定義してから負数に拡張する流儀のが多くないか？

[0976 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 15:07:12.85 ID:Zbuz57SB]

素数とか素因数分解を考える時にそもそも0を考えるか？

素数=2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

素数には0は入らない。
素数には1は入らない。

素因数分解に0は入るか？
28=2^2×7
これを
28=2^2×7^1と書いてもいいが
28=2^2×3^0×5^0×7^1とは書かない。素因数分解に0は不要。

[0977 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 15:12:21.46 ID:Zbuz57SB]

どうしても根源的な部分には矛盾や例外が伴う。0と1はそういう役割。
集合論でØは外せないが、個別の議論では「空でない部分集合」とか言ってよく外される。

[0978 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 15:21:38.52 ID:Zbuz57SB]

ab=0に関して整域とか零因子とか、巡回群g^n=e(=1)とか見ると
「0とか1って何？」と思うかも知れない。

有名なe^(i×π)+1=0は
定数e、π、i、加法単位元0、乗法単位元1、加法+、乗法×、等号=が出てくる。

[0979 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 15:30:06.63 ID:Zbuz57SB]

Øとか{0}は結構除外対象にされる。
ちなみに{0}はØではない。考えるまでもなく当たり前。

[0980 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 15:39:25.47 ID:XO3XEZ3z]

除外するなら尚更正整数を非零自然数と呼んだ方がいいくらいだね

[0981 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 15:43:47.14 ID:Zbuz57SB]

自然数という呼び名は必要ない。「その場で定義するだけの単なる名称」として使われるだけ。

CやRやZと違っていつもNは「Nってどっち？」である。

[0982 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 15:47:00.80 ID:NCLeYzrg]

＞自然数という呼び名は必要ない

ペアノの自然数公理も非負整数公理と呼ぶ気なのか

[0983 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 15:47:01.61 ID:Zbuz57SB]

本書ではNは0を含む流儀に従う、とか断れば良い。断らなければ分からない。

[0984 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 15:50:30.14 ID:Zbuz57SB]

>>982
歴史を考慮すると公理も原理もメチャクチャだから忖度してそのままでよい。でも「自然数」の意味は不明なまま。

[0985 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 15:53:23.66 ID:Zbuz57SB]

自然数は０を含むんや！
おーけー

自然数は０を含まんのや！
おーけー

[0986 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 15:55:07.35 ID:m/tRMwfn]

別にペアノ公理は歴史的経緯でそうなったのではなく
なるべくしてそうなったと思うけどなー

[0987 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 16:06:32.14 ID:Zbuz57SB]

ペアノがそう決めた
あっそうですか

[0988 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 16:07:26.75 ID:Zbuz57SB]

日本の小中高までは自然数に０を含まない
あっそうですか

[0989 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 16:08:33.89 ID:oMmqWnhr]

自然数はあくまで問題に応じて整数を制限した物と解するべきって立場だと公理化どうするん？
前者関数とか負濃度とか持ち出すの？

[0990 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 16:09:13.50 ID:Zbuz57SB]

N={0, 1, 2, ‥}
あっそうですか

N={1, 2, ‥}
あっそうですか

[0991 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 16:58:07.12 ID:0cbDSiBx]

公理化はもう諦める感じなのね

[0992 １３２人目の素数さん 2021/10/03(日) 01:48:39.73 ID:nYXySTWo]

ペアノが最初は1から始めたが後に0からにしたということは自然数は0からということの1つの根拠

[0993 １３２人目の素数さん 2021/10/03(日) 01:50:10.91 ID:nYXySTWo]

やっぱり数学は集合論がもとになるので自然数は0を含むとした方が自然

[0994 １３２人目の素数さん 2021/10/03(日) 03:43:25.82 ID:nYXySTWo]

でも0をふくめなくてもいいかも
よくわからない

[0995 １３２人目の素数さん 2021/10/03(日) 08:20:10.93 ID:nYXySTWo]

0では割れない

[0996 １３２人目の素数さん 2021/10/03(日) 08:22:52.75 ID:nYXySTWo]

でも自然数の集合と割り算とは関係ないか？

[0997 １３２人目の素数さん 2021/10/03(日) 08:23:40.40 ID:nYXySTWo]

自然数の中では掛け算は出来るし足し算も出来る

[0998 １３２人目の素数さん 2021/10/03(日) 08:24:06.60 ID:nYXySTWo]

でも引き算は出来ない

[0999 １３２人目の素数さん 2021/10/03(日) 08:24:24.13 ID:nYXySTWo]

割り算も出来ない

[1000 １３２人目の素数さん 2021/10/03(日) 08:25:09.82 ID:nYXySTWo]

結局どっちでもいい