０は自然数か？ [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2017/09/05(火) 01:18:09.63

自然数では無いはず

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/27(月) 19:38:16.75

ゼロをその数と１で割ると１になる
ゼロは素数

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/27(月) 19:40:17.04

πを定数にするより2πを定数にした方が良い

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/27(月) 19:46:04.82

ゼロは素数じゃないな0÷xでいくらでも割れる
逆にゼロ除算ができると１は１と０で割り算できるから素数
それだと他の数字も０で割れるから意味ないか

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/27(月) 20:19:31.40

「ゼロは自然数ではない」派の方が、有理数全体の集合を考える時に整数と自然数の直積集合で考えられるからすき

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/27(月) 21:07:36.08

それ結局ダブらない？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 14:30:04.70

「整数とは何か」には異論は出ない
「正の整数、負の整数、０」の分類にも異論は出ない。

非負整数0, 1, 2, ３, ...
正整数1, 2, 3, ...
も定義がはっきりしている。

自然数という無駄なカテゴリーを設定し、自然数=非負整数または自然数=正整数のどちらかに決めるというのはまさに無駄。非負整数の集合が便利な時も正整数の集合が便利な時もあるので、ここぞとばかりどちらか一方を自然数と名付けるのは無益。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 14:38:06.14

負数より零の方が発見は先なわけで
それを非負整数と呼ぶのは持って回った言い方な気がするけどなー

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 14:45:46.24

歴史的順序と数学の構成は別。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 14:49:49.01

０以上の整数を名付ける必要はあるが、分かりやすい言葉(非負整数)があるのでそれ以上こだわる必要は無い。それを自然数と定義しても良いがしなくても良い。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 14:57:24.37

自然数=正整数=非負整数-{０}
自然数=非負整数=正整数+{０}

どっちでもいい

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:01:15.04

数学の構成でも自然数定義してから負数に拡張する流儀のが多くないか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:07:12.85

素数とか素因数分解を考える時にそもそも0を考えるか？

素数=2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

素数には0は入らない。
素数には1は入らない。

素因数分解に0は入るか？
28=2^2×7
これを
28=2^2×7^1と書いてもいいが
28=2^2×3^0×5^0×7^1とは書かない。素因数分解に0は不要。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:12:21.46

どうしても根源的な部分には矛盾や例外が伴う。0と1はそういう役割。
集合論でØは外せないが、個別の議論では「空でない部分集合」とか言ってよく外される。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:21:38.52

ab=0に関して整域とか零因子とか、巡回群g^n=e(=1)とか見ると
「0とか1って何？」と思うかも知れない。

有名なe^(i×π)+1=0は
定数e、π、i、加法単位元0、乗法単位元1、加法+、乗法×、等号=が出てくる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:30:06.63

Øとか{0}は結構除外対象にされる。
ちなみに{0}はØではない。考えるまでもなく当たり前。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:39:25.47

除外するなら尚更正整数を非零自然数と呼んだ方がいいくらいだね

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:43:47.14

自然数という呼び名は必要ない。「その場で定義するだけの単なる名称」として使われるだけ。

CやRやZと違っていつもNは「Nってどっち？」である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:47:00.80

＞自然数という呼び名は必要ない

ペアノの自然数公理も非負整数公理と呼ぶ気なのか

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:47:01.61

本書ではNは0を含む流儀に従う、とか断れば良い。断らなければ分からない。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:50:30.14

>>982
歴史を考慮すると公理も原理もメチャクチャだから忖度してそのままでよい。でも「自然数」の意味は不明なまま。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:53:23.66

自然数は０を含むんや！
おーけー

自然数は０を含まんのや！
おーけー

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:55:07.35

別にペアノ公理は歴史的経緯でそうなったのではなく
なるべくしてそうなったと思うけどなー

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 16:06:32.14

ペアノがそう決めた
あっそうですか

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 16:07:26.75

日本の小中高までは自然数に０を含まない
あっそうですか

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 16:08:33.89

自然数はあくまで問題に応じて整数を制限した物と解するべきって立場だと公理化どうするん？
前者関数とか負濃度とか持ち出すの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 16:09:13.50

N={0, 1, 2, ‥}
あっそうですか

N={1, 2, ‥}
あっそうですか

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 16:58:07.12

公理化はもう諦める感じなのね

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/03(日) 01:48:39.73

ペアノが最初は1から始めたが後に0からにしたということは自然数は0からということの1つの根拠

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/03(日) 01:50:10.91

やっぱり数学は集合論がもとになるので自然数は0を含むとした方が自然

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/03(日) 03:43:25.82

でも0をふくめなくてもいいかも
よくわからない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/03(日) 08:20:10.93

0では割れない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/03(日) 08:22:52.75

でも自然数の集合と割り算とは関係ないか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/03(日) 08:23:40.40

自然数の中では掛け算は出来るし足し算も出来る

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/03(日) 08:24:06.60

でも引き算は出来ない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/03(日) 08:24:24.13

割り算も出来ない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/03(日) 08:25:09.82

結局どっちでもいい

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