>>607
＞今回みたいにペアノシステムを２つ組で定義できたら正誤は置いといて綺麗な定義だと思うんだけどどう？
＞だって直感的には先頭が1で後者が÷2だと台集合になりそうなのは一つに定まりそうだし。

より少ない記述で済むならそちらの方が綺麗であるのは当然であり、正誤は置いておいて そのこと自体は賛成する。

そして、君がやろうとしている「2つ組」の感覚が分かってきた。しかし、結局は「問題2」により破綻する。
大雑把に言って、既存のペアノの公理系では、1〜4が「先頭」及び「後者」に関する素朴な性質を述べていると考えられる。
そして、5 では「台集合」に関する性質を述べていると考えられる。1〜4から5は証明できないので、
結局、「2つ組」の素朴な性質のみを考える限り、台集合に関する性質は記述できそうにないと予想され、
ペアノの公理系の代替物は得られないことになる。また、「2つ組」から台集合の性質を無理して述べようとしても、
結局はペアノの公理系と変わらないシロモノが出来上がると予想される。つまり、君が察している障害そのものに出くわす。

＞先頭と後者が違うのでも同じ事。台集合は一つに定まりそう。
＞正誤を抜きにしてもこの考え方に賛同してもらえないかな。
＞これは論理じゃなく貴方の感覚に聞きたい。

君が「2つ組」にこだわるのは、

「2つ組さえあれば台集合の一意性が言えそうに見えるから、本質的には2つ組だけで十分なんじゃないか」

という感覚から来ていると思われる。しかし、そこでの「台集合の　一　意　性　」は、
既存のペアノの公理系における「5」に ほとんど完全に対応しているわけで、となれば君は

「既存のペアノの公理系の1〜4がありさえすれば 5 が証明できそう(ゆえに5は必要ない)」

と言っているのと大差ないように見える。むろん、1〜4から5は証明できない。
つまり、「2つ組」からは君が思い描くような形でのペアノの公理系は得られないように見える。