> a = b ⇒ f(a) = f(b)
> ぜんぜん定義になってない。それで何を定義したつもりになっているのだ。

少なくとも「一意的に定まる」という意味の定義はこれでいいんじゃないの？
それを写像と同じ意味だと俺は解釈してたって事だけど。
教科書にもそう書いてあったし教授もそう言ってたしそう解説してるサイトもあったからそこは流儀によるんじゃない？
ちなみにその教授は数学専門でもないしその教科書もその教授が書いてるから結局信用しきれる訳ではないけど。
でも少なくとも特殊な解釈ではないんじゃないかな。宗教論みたいなもんだと思うけど。