>>598
＞a = b ⇒ f(a) = f(b)
＞写像の定義ってこれだけじゃダメなんかね？

ぜんぜん定義になってない。それで何を定義したつもりになっているのだ。
「ペアノシステム」についてはキチンと定義込みで調べているくせに、
「写像」については全く調べることをせずに自己流のトンデモ解釈で
写像を定義しようとする体たらく。やっていることの順番が滅茶苦茶。

A,Bを集合とする。A×B の部分集合 f ⊂ A×B が

・ ∀a∈A, ∃b∈B [ (a,b)∈f ],
・ ∀a∈A, ∀b_1,b_2∈B [ (a,b_1),(a,b_2)∈f ⇒ b_1＝b_2 ]

を満たすとき、f のことを A から B への写像と呼び、f：A→B と表記する。
また、各 a∈A に対して、(a,b)∈f を満たす b∈B は(上記の定義により)1つしかないので、
この b のことを f(a) と表記する。

これが集合論における写像の定義。ご覧のとおり、
この定義では A,B が先に与えられなければ写像は定義しようがない。