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０は自然数か？ [無断転載禁止]©2ch.net
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0001１３２人目の素数さん
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2017/09/05(火) 01:18:09.63ID:bR+O9p/X
自然数では無いはず
0487１３２人目の素数さん
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2017/12/04(月) 20:04:25.49ID:rHg4Gkbk
その説明は以前も試みた人がいたが通じなかった
「定義する」という行為をどうしても理解できないみたい
0488１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/05(火) 13:44:48.49ID:iVaTXYxi
何だよ、５ちゃんねるって？
間違えてscに書き込んじまったじゃないか。
0489再録
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2017/12/05(火) 13:45:34.54ID:iVaTXYxi
>>482
その定義だと、自然数にゼロは無いということになりそうだが、、、
群構造が無いからね。しかし、ある元の名称として「０」を
自然数に含めても、特に支障は無いと思う。

群の単位元は、０よりむしろ１で表すことのほうが多いから、
乗法の存在を前提とせずに「ゼロとは、アーベル群の単位元」
と定義してしまうのは、問題がありそう。
0490再録
垢版 |
2017/12/05(火) 13:46:09.00ID:iVaTXYxi
>>484
何を指して「ペアノシステム」と呼んでるのかにもよるが、
もともとのペアノ公理系は、自然数の順序構造しか表しておらず、
整数の代数構造の部分集合としての自然数を記述してない。

後者写像は、自然数の集合NからNへの任意の全単射fについて
x→(f^-1)(f(x)+1)　で構わないから、後者が+1だというのは
一例としてそう解釈することもできるという話でしかない。
0491１３２人目の素数さん
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2017/12/05(火) 14:11:54.60ID:05fOeb+L
「なにもしない」には少なくとも数学では二種類あるのが暗黙の了解だからねえ。
0492１３２人目の素数さん
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2017/12/05(火) 15:55:49.31ID:M1q+8D4F
>>489
今までの文脈を理解してないように見える。

＞その定義だと、自然数にゼロは無いということになりそうだが、、、

無論、ペアノの公理系だけでは、自然数の中に「0」も「1」も無い。
あるのは後者関数によって定まる構造だけ。しかし、例のガイジは

「自然数に 0 は無いが、1 は確実にある」
「ここでの自然数とは、ペアノの公理系を満たす集合のこと」

と主張しているのである。つまり、ペアノの公理系だけから、
「 0 は無いけど 1 はある」と主張しているのでる。そこが問題なのである。
そういうガイジに、

「 0 も 1 も、何かしらの代数的構造が先に無ければ定義されない」

とレスしても通用しない。
ペアノシステム (X, s, f) の中に異なる2種類の演算(両方とも、ペアノシステムの構造に沿った形の
自然な「加法」と見なせる演算)を定義して、ある演算のもとでは s がゼロの役割をするのに、
別の演算のもとでは s はゼロの役割をしない、という例を見せるのが有効であると俺は考える。
そこで、>>484で

「 s は (X,β) においてゼロの役割をする」
「 s は (X,α) においてゼロの役割をしない」
「 ゆえに、s にゼロの役割を与えるか否かは、単なる流儀の違いに過ぎない」

といった言い方をした。
0493１３２人目の素数さん
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2017/12/05(火) 16:04:46.08ID:M1q+8D4F
>>490
＞もともとのペアノ公理系は、自然数の順序構造しか表しておらず、
＞整数の代数構造の部分集合としての自然数を記述してない。

ほぼ同じことが>>482-486に書いてある。

ペアノシステム (X, s, f) では基本的な代数構造すら記述されてないので、
演算αや演算βによって、s がゼロの役割をしたりしなかったりする
(α,βともに、システムに沿った形の自然な「加法」の演算であるにも関わらず)。
すなわち、s がゼロの役割をするか否かは、
ペアンの公理系だけでは全く指定が無い、と述べている。
0494１３２人目の素数さん
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2017/12/05(火) 16:13:34.81ID:M1q+8D4F
>>490
＞ x→(f^-1)(f(x)+1)　で構わないから、後者が+1だというのは
＞ 一例としてそう解釈することもできるという話でしかない。

それは認識の仕方が不自然ではないか？君が言っているのは、

「代数構造も含めた整数が予め与えられているとして、その部分集合としての自然数を N とするとき、
　ある後者関数 f：N → N が存在して、N の中に予め定義されている「＋」と「1」を拝借しても
　f(n)＝n＋1 とは表せない形の後者関数 f が存在する」

ということに過ぎない。一方で、一般のペアノシステム (X, s, f) を取るごとに、
そのシステムから自然に作られる>>483の演算「α」に対して

f(n) ＝ n α s (n∈X)

が成り立つ。演算αは、(X, s, f) の中で自然に「加法」を表現していると考えられるし、
s は (X, α) の中で「1」の役割をするので、αを「 ＋' 」と表記し、s を「 1' 」と表記することにすれば

f(n) ＝ n ＋' 1' (n∈X)

と表現できることになる。つまり、(X, s, f) を取るごとに、このシステム専用の
自然な加法の演算「 ＋' 」と元「 1' 」が存在して、後者関数 f は 「 ＋' 1' 」の形になっている。

このような意味において、後者関数は本津的に "＋1" の形しか取らない。
0495１３２人目の素数さん
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2017/12/05(火) 16:24:02.06ID:M1q+8D4F
ちなみに、>>494については、>>483の演算「β」を使ってもよい。

一般のペアノシステム (X, s, f) を取るごとに、
そのシステムから自然に作られる>>483の演算「β」に対して

f(n) ＝ n β f(s) (n∈X)

が成り立つ。βは (X, s, f) の中で自然に「加法」を表現していると考えられるし、
s は (X, β) の中でゼロの役割をして、f(s) は (X, β) の中でイチの役割をするので、
βを「 ＋'' 」と表記し、s を「 0'' 」と表記し、f(s) を「 1'' 」と表記することにすれば

f(n) ＝ n ＋'' 1'' (n∈X)

と表現できることになる。また、(X, ＋'' ) は可換な単位的半群であり、
0'' は (X, ＋'' ) において単位元の役割をする。

つまり、(X, s, f) を取るごとに、このシステム専用の、
>>494とは別の自然な加法の演算「 ＋'' 」とXの元「 0'' 」「 1'' 」が存在して、
後者関数 f は 「 ＋'' 1'' 」の形になり、さらに、(X, ＋'' ) は可換な単位的半群であり、
0'' は (X, ＋'' ) において単位元の役割をする。

このような意味において、後者関数は やはり本津的に "＋1" の形になる。
0496１３２人目の素数さん
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2017/12/05(火) 16:29:18.64ID:M1q+8D4F
わかると思うけど、最後の一文を訂正ｗ

×　やはり本津的に
〇　やはり本質的に
0497１３２人目の素数さん
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2017/12/05(火) 19:00:00.64ID:iVaTXYxi
その加法が自然だとか本質的だとかいう議論は、
Nが0を含むほうが自然だとか含まないほうが
自然だとかいう議論と同種のものに見える。
ペアノの後者写像を用いて加法を実装し
自然数を整数へ拡張する話は、N自体の定義とは
また別のものだろう。
0498１３２人目の素数さん
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2017/12/05(火) 19:05:51.75ID:1r0ZlPp3
＞その加法が自然だとか本質的だとかいう議論は、
＞Nが0を含むほうが自然だとか含まないほうが
＞自然だとかいう議論と同種のものに見える。

もしも他のやり方でNに加法を定義してZの部分にできるなら、説得力もあるんだけどね…
0499１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/05(火) 19:58:49.07ID:TR02AlES
中学では０が自然数でないと言う人と同じで、
一度教わったことを一歩ひいて眺めるのは
数学を学んだ人でも難しいのだなあ。
整数環や有理数体を構成するあたりまでコミで
「ペアノシステム」だと教わってしまうと、
後者を＋１とすることが技巧ではなく
本質に見えてしまうらしい。
0500１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/05(火) 20:01:49.25ID:M1q+8D4F
>>497
＞その加法が自然だとか本質的だとかいう議論は、
＞Nが0を含むほうが自然だとか含まないほうが
＞自然だとかいう議論と同種のものに見える。

俺は、αもβも自然な加法の演算だと言っているが、N が 0 を含む方が自然とは
言ってないし、含まない方が自然とも言っていない。また、例のガイジですら、
そういう話はしていない。俺が言っているのは、

「 s は (X,β) においてゼロの役割をする」
「 s は (X,α) においてゼロの役割をしない」
「 ゆえに、s にゼロの役割を与えるか否かは、単なる流儀の違いに過ぎない」

ということである。単にこれだけが言いたいのなら、α・βが「自然である」という
言い方をする必要は無いように見えるが、そうではない。もしαとβがペアノシステムに
沿ってない荒唐無稽な演算なら、s が (X,α)や(X,β)においてゼロの役割をする・しないと
言ったところで ほとんど無意味であろう。しかし、実際には、αとβはペアノシステムに沿った
自然な演算であると考えられる。よって、s がそれらの演算でゼロの役割をする・しない
という言い方をすることには、一定の意味があると俺は考える。
だから、「α・βは自然な加法の演算だ」と書いた。そして、俺が書いたこれらのことは、
「N に 0 を含める方が自然・含めない方が自然」という話とは違うものである。
また、例のガイジが言っているのは、

「ペアノの公理系だけを用いて、0 は絶対に含まれず、1 は絶対に含まれることが結論される」

というたぐいの主張である(何をどう勘違いしたらこんな考えに至るのか理解不能)。
これもまた、「N に 0 を含める方が自然・含めない方が自然」という話とは違うものである。
0501１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/05(火) 20:14:54.58ID:M1q+8D4F
>>497
＞ペアノの後者写像を用いて加法を実装し
＞自然数を整数へ拡張する話は、N自体の定義とは
＞また別のものだろう。

加法を実装して整数へ拡張するのが目的なのではないし、
そもそも整数まで拡張していない(「半群」に抑えてある)。
半群としての加法を実装するときに、s がゼロの役割をするようにしたいのか、
そうでないようにしたいのか、という話をしている。
すると、ゼロの役割をするようにもできるし、そうでないようにもできる。
ゆえに、例のガイジが言っているような、

「ペアノの公理系だけを用いて、0 は絶対に含まれず、1 は絶対に含まれることが結論される」

という主張は間違っている、… という話の仕方をしている。
つまり、出発点はあくまでも、例のガイジの滅茶苦茶な主張である。
こんな滅茶苦茶な主張をしている輩に、

「Nの定義そのものに 0 も 1 も関係ない」

とだけ言っても通用しないと>>492で既に書いた。
別のアプローチによって、例のガイジの間違いを本人に納得させることが出来るなら、
君が、君のやり方で、書いてみればよい。
0502１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/05(火) 20:24:26.08ID:M1q+8D4F
>>499
＞整数環や有理数体を構成するあたりまでコミで
＞「ペアノシステム」だと教わってしまうと、

そんな教わり方をしている奴は、このスレには存在しない。

ペアノシステムの定義は >>483 に書いた。
この定義に、整数環や有理数体の構成は出現しない。

ゆえに、ペアノシステムと、整数環や有理数隊の構成は無関係。
無関係であるがゆえに、ペアノの公理系だけでは、自然数に 0 も 1 も出現しない。
ゼロやイチといった概念は、代数的な演算とセットで定義される概念だからだ。

しかし、例のガイジにこの正論は通用しない。
だから俺は、>>482-486のアプローチをとった。何度も書くが、

「 s は (X,β) においてゼロの役割をする」
「 s は (X,α) においてゼロの役割をしない」
「 ゆえに、s にゼロの役割を与えるか否かは、単なる流儀の違いに過ぎない」

というアプローチである。
0503１３２人目の素数さん
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2017/12/06(水) 09:48:20.89ID:EYGSXoHu
結局のところ「０は数として自然か？」って問いに帰結する問題のように思うが
そんな主観が入る問題はもう数学の領域じゃない
哲学で存分にやってくれれば有難い
0504１３２人目の素数さん
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2017/12/06(水) 11:49:07.85ID:v/fQWWR6
＞結局のところ「０は数として自然か？」って問いに帰結する問題のように思うが
それはない
流石に国語辞典の話をしてるやつは一人もいない
0507１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/10(日) 17:47:59.50ID:+apFONN3
ペアノの公理の中の帰納法の公理についてはガン無視
0509１３２人目の素数さん
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2017/12/12(火) 01:28:38.53ID:/dhirdLL
>>508
無理してレスする必要はないよ。
0514１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 14:02:53.82ID:G5v7erv5
0は自然数じゃないと思う。
数学科だと基本ペアノの公理で自然数を導入するが、其のとき求める自然数に0は含まれ無い
整数にするときに0を導入した。
其れで、整数は自然数から定義されるから自然数を説明するときに整数を使うのは問題が起こる。
高校までなら正の整数で良いと思うが。
色々やってみたが余り問題は起こら無いね。
1に対応するものを0に変えればそれで問題起こらないこと確認できるし。

序でにノイマン式の自然数の構成(集合論を用いるもの)では通常自然数は0から始める。
0516１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/15(金) 19:48:04.76ID:lo5Y1242
二進法は0,1のみである
0517１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/15(金) 19:52:29.14ID:Iyf4ElEy
一進数てないの？
0518１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/15(金) 23:07:39.91ID:yGL6lMZQ
>>514
＞数学科だと基本ペアノの公理で自然数を導入するが
そうだね。賛成。

＞其のとき求める自然数に0は含まれ無い

ダウト。一部に1から始める教授もいるが、
0から始めるほうが主流。流儀というか趣味の差に過ぎないが。

＞整数は自然数から定義されるから

ダウト。整数は代数上の概念で、
加減乗除が満たす公理から定義される。
それを自然数から構成して見せるのは、
面白い余興ではあるが整数にとって重要ではない。

＞高校までなら正の整数で良いと思うが。

中学の教科書は、自然数が1から始まる流儀を
とっているからね。逆らう理由も特に無いし、合わせてあげたらいい。
0519１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/16(土) 16:22:31.72ID:29wTfMth
２つの「全ての自然数の集合」が、一方の全ての元を含んでいないと、帰納法の公理に反する。
0520１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/20(水) 07:24:12.63ID:tctI43Ps
>>518
教授に聞いてみたところ、0は含んでも含まなくてもいいみたいな感じでした
0を含むと都合が悪いときは含まないで、含んだほうが都合がいいときは含むものとしてやることがあるみたいでどっちじゃないといけないみたいなことはないみたいです

自然数を使わずに整数が定義できるのはかなり興味深いんですが、なにかそれについて詳しくかかれてる参考書とか教えてもらってもいいですか？
0521１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/25(月) 16:47:21.33ID:Fp12EBAn
整数環の単位元は自然数１。
0522１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/25(月) 17:19:47.38ID:Yuo09ydY
■モンティホール問題（空箱とダイヤ）

このゲームができるのは1回だけです

ダイヤモンド1個を外からは中が見えない空箱100個の
中のどれかひとつに入れます

その中から1個の箱を選びます

98個の空箱を取り除きます

最後に残った2個の箱の中から1個の箱を選びます

ダイヤモンドが当たる確率は何％でしょうか？
0524１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/27(水) 02:06:28.15ID:oB3+VADq
0を含めるかは流儀によるってのじゃなくて
なんで片一方を別の名前にしようとか思わなかったんだ
いちいち断わらないとでめんどくせーったらありゃしないわ。
0525１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/27(水) 17:41:46.83ID:nSA9suNt
>>524
なんでそんな自由度の無い糞堅苦しい世界を望むのか
工学屋はJISだISOだ何だとよくそんなこと言ってた印象があるけど
ローカルなスコープを好む数学屋には理解できないよ
0528１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/27(水) 18:41:19.24ID:/BavyLbc
名称なら好きにすればいい
0を含むかどうかで分けるのであれば、それぞれ一意になるような構造を見つければいい

少なくとも今の数学では「自然数とは何か」を構造論的に考えると0を含むかどうかは本質的でないと考えられているだけで、0の有無による構造の差異が本質的に効いてくる事実を示せれば状況は変わる(可能性はある)
0529１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/27(水) 19:16:25.44ID:W7tdg+qq
広義自然数
狭義自然数
0531１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/29(金) 20:39:06.00ID:rHwVJTu1
空間の次元や多項式の次数のように0もあり得る離散量は多い
また、連続関数をC^0級と呼ぶように0の場合を便宜上含めることも多い
0532１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/29(金) 23:51:23.91ID:FZBCcLtg
520の質問について俺も聞きたいのだが
0533１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/30(土) 00:05:52.09ID:LvZUJbb9
公理で定義するここと、その公理を満たす対象を構成することは別物
ってだけだぞ
それぞれ抽象的定義／構成的定義と呼ぶこともある
0534１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/30(土) 00:46:19.73ID:Swdov7O+
>>533
>>532に言ってるの？
0535１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/30(土) 09:48:27.92ID:Kph6jccf
こことことは別物といい隊員だよ
0536１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/31(日) 17:57:42.51ID:t2s3ffvn
おちんちんびろーん
0547１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/03(土) 01:47:07.32ID:OzHPA5t4
ペアノの公理は、どんな数のつぎにもこない数１が存在する、と言っている。
0548１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/03(土) 01:48:51.13ID:o8prdHaI
ペアノの公理は、どんな自然数のつぎにもこない自然数が一個存在する
とは言っているが、それが１だとは言っていない。
0553１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/03(土) 15:21:11.70ID:p0yI9Zx1
ペアノが1という記号を使ったと言っても
ペアノの公理の5条件だけではその記号1が指すものが
加法単位元か乗法単位元かあるいはそれ以外になるかは定まらない
>>120の言うように加法の定義次第

>>547は記号1と数1を混同している
0554１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/12(月) 06:44:57.43ID:DEMrHDxX
まあでも、自然数は１から始まると覚えておいたほうがいいよ。
0556１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/12(月) 22:21:34.87ID:1tX+PjU3
>>5の方針で論じるのは諦めたのか？
とにかく１から始まるんだと繰り返すだけ？
0558１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/13(火) 00:43:23.24ID:fSkkpm9a
まあ自然数の公理主義的構成について理解してないの丸出しだね。
0560１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/13(火) 21:37:00.96ID:2y1j/gPY
>>559
なぜ？
0561１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/14(水) 23:27:53.45ID:obtom+aK
今日は、おっΠの日。
　３月１４日１５時９２分６５秒　　→　　３月１４日１６時３３分０５秒
0562１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/15(木) 00:27:53.79ID:t8vfSRvQ
hoa-----
0563１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/21(水) 17:45:15.31ID:TbKTGfyp
ペアノの公理の最初の要素を非負整数以外にすると加法と乗法について閉じていなくなるので「自然」ではないと思う
では、2以上の整数にすることで不自然になることってあるかな？
0564１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/24(土) 05:30:30.99ID:rX8TWO/i
ペアノの公理は自然数の順序構造しか定めていないから、
「自然」もなにも、加法も乗法も存在しないがな。
最初が0でも1でも2でも１０でも−１でも、同じこと。
0565１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/24(土) 07:01:14.17ID:ucdOtpAk
ペアノの公理で定義される集合の上で加法と乗法を定義して、
最初の要素が何であるかを定める、というべきだったか
それで、例えば最初の要素が-1になるように加法を定義すると
(-1)+(-1)があるから閉じていなくなる
0566１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/24(土) 11:41:11.96ID:pIzLq3ST
ペアノの公理だけじゃ加法も乗法も定義できないから、自然数の公理といえば普通はPAになる
0568１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/24(土) 23:49:48.90ID:ucdOtpAk
>>567
>>563でも言ってる通り、非負整数スタートなら閉じている
では、2スタートにすることで何か「不自然」なことはあるだろうか？
0570１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/26(月) 06:56:27.17ID:dOPRwKBy
バカばっかだなｗ
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