現代数学の系譜古典ガロア理論を読む35 [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/19(月) 14:07:15.08

前スレ現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
34 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1496568298/

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/26(月) 06:27:00.03

>>217

>>135の
「任意の自然数ｎ∈Ｎ（自然数の集合）に対し、
決定番号がｎとなる同値類が構成できる。」
を説明したらどうかな？

>>１氏に対して好意的に解釈すれば
「任意の自然数ｎ∈Ｎ（自然数の集合）に対し、
決定番号がｎとなる同値類”の集合”が構成できる。」

ただそう読んだところで
「従って、決定番号の集合をＫとして、集合Ｋの濃度は可算無限。」
とはつながらない

そもそも「従って」抜きに、決定番号の定義から
決定番号の値域が自然数全体、すなわち可算無限
であることは明らかだから

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/26(月) 20:08:20.69

R.I.P.
https://www.youtube.com/watch?v=jxboYVglHsM

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 22:40:21.60

>>196
どうも。スレ主です。
いろいろ多忙につき、遅レス失礼しました。藤井29連勝を見ていました（＾＾

Ｑ
"> >> この場合、L→∞の極限では、1<= L <∞ の決定番号は、零集合として存在しうる
> >『よって決定番号が有限の値を取る確率は0である』
> >そう言いたいんでしょ？　Yes or No？
> もちろん、Yesですが、力点は、”存在しうる”のところにあります。
ではあなたが考えた確率空間を書いてみなさい。
確率空間の設定なしにP(K)＝0を結論することはできない。
きちんと書いておこう。
全事象をΩ、K＝{k∈N | 1≦k<∞}とする。
Kは事象の族F⊂2^Ωの元でなければならず、
さらにP(Ω)＝1、P(K)＝0を満たす必要がある。
これを満たすという、あなたが考えた確率空間を書いてみなさい。"

Ａ（以下回答）
Ａ１．まず、ご指摘の点は、確かに当たっているが、順番に行きましょうね
　　なお、あまり難しく考えると、嵌まってしまうと思いますよ（ >>188で指摘したように「極限を考えることができない」とかね）

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 22:41:43.43

Ａ２．（まず、現代確率論のテキストから。測度論ベース確率論の基本をまず押さえておきましょう。）
　１）原隆先生>>146より確率論 I，確率論概論 I Last modified: October 08, 2002
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/02/pr-grad-all.pdf
講義のレジュメをまとめたもの (2002.10.08)
(抜粋)
1.1 確率論の舞台? 事象と標本空間

確率論の究極の目的はこの世の中の色々な現象を解き明かす（手助けになる）ことにあると僕は考えるが，初めか
ら世の中の現象を扱うのはなかなか大変である．そのような場合には，まず，目的の現象を数学的に扱いやすい形
に変形し（モデル化），そのモデルを考えるのが良い．

数学としての確率論で扱うのは上で述べたプロセスの前半，数学的なモデルの解析が主である．

定義1.1.1 (標本点と標本空間，有限バージョン) 一回の実験の結果として起こりうるものを根元事象または標本
点と呼ぶ．標本点の全体からなる集合を標本空間（sample space）Ω と言う．
このサイコロの例では，根元事象はE1,E2,E3, . . .,E6 のどれか（ここでEj はサイコロのj の目が出ると言う
こと）であり，標本空間は{E1,E2, . . .,E6} である．
標本空間が有限でない場合はいろいろとややこしいことが起こるので，上の定義は根元事象が有限個しかない（つ
まり，標本空間が有限集合）の場合のものと理解されたい．（無限の場合は後述）．この講義では標本空間が有限の
場合（および有限からのアナロジーで理解できる場合）から出発し，段々と深いところに入っていくつもりである．

定義1.1.2 (事象，有限バージョン) 標本空間が有限集合の時，数学的には事象とは単に標本空間の部分集合，つ
まり「根元事象の集まり」のことである．なお，事象には空集合（起こり得ないこと），および標本空間全体も含
めて考える．
サイコロの例で言えば，事象の例としては「２と３の目がでること」「偶数の目が出ること」「６の目が出ないこ
と」などがある．

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 22:44:29.61

>>222 つづき

以上のをまとめると，以下の「事象の公理」になる．今までは故意にΩ が有限集合の場合を考えてきたが，
Ω が無限の時には以下のように考える．
定義1.1.3 (事象の公理＝可測空間，無限でもいけるバージョン) Sample Space Ω が与えられたとき，Ω の事象
の集まりとは，以下を満たすΩ の部分集合の集まり（部分集合族）F のことである．
1. F ∋ Φ
2. E ∈ F ならばE^c ∈ F
3. E1,E2,E3, . . . ∈ F に対し，∪{i=1～∞}Ei ∈ F

・F はΩ のσ-field と呼ばれる．
・このバージョンになると，もはや「Ω の全ての部分集合を事象と認める」とは言っていない事に注意．事象
と認めるのはΩ のσ-field F の元になっているような，特別な部分集合だけである．このような特別の部分
集合にのみ，確率を割り振るのである（以下参照）．

1.2 数学における確率

これからいよいよ，「確率」を割り振っていこう．
数学ではある意味で「天下りに」確率を定める．標本空間が有限集合の場合から始めよう．標本空間Ω = {e1, e2, . . . , eN}
を考える（ej が根元事象）．

根元事象の起こり易さpj （j = 1, 2, . . .,N）をすべて与えれば確率が決まったと言えるのではないか？
では，この根元事象の確率pj はどんな性質を満たすべきだろうか？まず，これは確率だから0 と1 の間にない
といけない．更に，Ω そのものというのは全事象だからこの確率は1 であるべし．要するに
0 ? pj ? 1, Σ{j=1～N} pj = 1 　　　(1.2.1)
であればよい，ということになる．そして，根元でない事象E = {e1, e2, e3, . . . , en} については，
（E の確率）= Σ{j=1～n} pj 　　　(1.2.2)
となるはずである．

（ただし，標本空間が有限の場合）．要するに
? sample space Ω 上に根元事象の確率pj を(1.2.1) を満たす形で与え，
? 根元事象でない一般の事象E の確率を(1.2.2) で計算する．

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 22:45:50.04

>>223 つづき

標本空間が無限の場合は大抵の根元事象の確率はゼロであり（でなければ確率の和
が1 にならない！），根元事象から出発することはできない．そのために，（根元事象から出発しない）抽象的な確
率の性質を公理としてまとめておく．

定義1.2.1 (確率の公理，有限バージョン) 有限な標本空間Ω が与えられたとき，Ω 上の確率（または確率測度）
とは，以下を満たすΩ 上の関数P のこと：すなわち，Ω の部分集合E のそれぞれについて関数の値P[E] が定ま
り，かつ
1. 全てのE ⊂ Ω に対して0 ? P[E] ? 1．
2. P(Ω) = 1
3. E1,E2,E3, . . . ⊂ F がmutually exclusive，つまり「i not= j ならばEi ∩ Ej = Φ」，のとき，
P(∪i Ei) =Σi P(Ei)
が成り立つ．なお，標本空間Ω とその上の確率測度P をあわせて確率空間と言い，(Ω, P) と書く．

定義1.2.2 (確率の公理，一般バージョン) 事象の公理を満たす標本空間Ω とσ-field F が与えられたとき，すな
わち可測空間(Ω,F) が与えられた時，(Ω,F) 上の確率（測度）とは，以下を満たすF 上の関数P のこと．．すなわ
ち，F の元E のそれぞれについて関数の値P[E] が定まり，かつ
1. 全てのE ⊂ Ω に対して0 ? P[E] ? 1．
2. P(Ω) = 1
3. E1,E2,E3, . . . ⊂ Ω がmutually exclusive，つまり「i not= j ならばEi ∩ Ej = Φ」，のとき，
P(∪{j=1～∞} Ei) =Σ{j=1～∞} P(Ei)
が成り立つ．なお，標本空間Ω とσ-field F，その上の確率測度P をあわせて確率空間と言い，(Ω,F, P) と書く．

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 22:46:53.78

>>224 つづき

この定義は，有限の場合とほとんど変わらない．唯一の違いは確率P[E] が計算できるもの（つまり事象E）がΩ
の部分集合全てではない可能性があることで，そのために「有限バージョン」では「全ての部分集合E に対して」
となっていたところを「F の元であるE に対して」と書き直してあるところである．
　なお，有限の場合のσ-field F はΩ の部分集合全体にとるのが自然であり，実際，定義1.2.1 でもそうした．だ
から，この場合はF が自明なのでF を省略して(Ω, P) と書いた．しかし，Ω が無限の場合はF として色々な可
能性がある．そのため，どのようなF を考えているのかを明記する必要があるので，確率空間として(Ω,F, P) と
書くのである．以下ではΩ が有限の場合でも形式的に(Ω,F, P) と書くことが多いが，その場合でも（おそらくい
つでも）F はΩ の部分集合全体と解釈する．

1.3 事象の独立性と条件付き確率
標本空間が有限の場合にはまず「事象」について「独立性」「条件付き」を考える方が直感
的であると思うので，ここに載せることにした．
定義1.3.1 (独立な事象) 確率空間(Ω,F, P) 中の事象E,F ∈ F が，
P[E ∩ F] = P[E] P[F] 　　　　(1.3.1)
を満たすとき，F とE は独立な事象であると言う．
日常言語で言えば，E とF が独立とは，E とF の起こり方が無関係（F が起こっても起こらなくても，E の
起こり方には影響がない）と言う場合にあたる．
(引用終り)

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 22:47:44.86

sage

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 22:47:56.53

>>225 つづき

　２）重川一郎京都大学大学院理学研究科数学教室
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/index_j.html
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2012bpr.pdf
2012年度前期確率論基礎　 (講義ノート PDF file) 重川一郎京都大
(抜粋)
第１章確率空間と確率変数
確率空間
基本的にσ-集合体では加算個の演算が自由にできる．確率論では可測空間に，確率Pを付加したものを考える．
定義1.3 可測空間(Ω、Ｆ)上の測度ＰでＰ(Ω) をみたすものを確率測度という．すなわち次の条件がみたされる：
略
これらを組にした(Ω、Ｆ、Ｐ)を確率空間という．
Ωを全事象，または標本空間という． Ω の要素ω を根元事象または標本という．
Ｆの要素Ａを事象といい，その補集合Ａ^c =Ω＼Ａ
を余事象という．Ａ∪Ｂを積事象，Ａ∩Ｂを和事象，Φを空事象と呼ぶ．

例1.1 サイコロ投げの場合
確率空間として次のものを準備すればよい．
Ω＝{1,2,・・・,6}^N ∋ ω＝（ω1,ω2,・・・）
ωn は1,2,・・・,6 のいずれかで，n 回目に出た目を表す．確率は
η1, η2,・・・ηn
を与えて
　Ｐ（ω1＝η1,ω2＝η2,・・・ωn＝ηn）＝１／６^n
と定めればよい．これが実際にσ-加法的に拡張できることは明らかではないが，Kolmogorovの拡張定理と呼ばれる定理により証明できる．
(引用終り)

(私からの補足)σ-集合体Ｆについては、ここに数学的明示はないが、今回の時枝問題を考える上では、この程度で良いと判断する。（なお、Kolmogorovの拡張定理は、過去スレで出た記憶あり）

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 22:50:17.89

>>227 つづき
　３）西山　茂小樽商科大学ビジネススクール
http://www.otaru-uc.ac.jp/~nisiyama/Books/KisoToukei/KisoToukei.html 平成29年2月20日
「基礎の徹底統計学」（エコノミスト社） (2004/03)
http://www.otaru-uc.ac.jp/~nisiyama/Books/KisoToukei/EbookTextChapter2.pdf
第2章　確率分布
(抜粋)
2.2　離散型変数から連続型変数へ

　閉区間[0,1]内の任意の実数を「等しい確率」でとる確率変数Xを考えてみよう。横軸にXがとる値、縦軸に確率をとって、確率変数X の確率分布図を描くことができるだろうか。この場合、Xのとる値は任意の実数だから、根元事象は一つ一つの実数値のように思われる。
しかし実数は[0,1]内に無限個あるので古典的確率を考えることはできない。さらに確率分布を「棒グラフ」として描くこと自体が不可能になることは明白であろう。連続型確率変数の確率分布を考えるときには、離散型変数とは違った表現の仕方をする必要が出てくる。
　確率分布を描くことができないにせよ、たとえばXが0から1/2までの値をとる確率が0.5であることは直観的に明らかだろう。ということはP(0.5 ≦X≦1)=1-0.5=0.5となるはずである。今度は区間[0,0.5]内で同様に考えるとP(0≦X≦1/4)=0.25になるはずである。
このように個々の実数値を根元事象と考えると妙な話しになってしまうが、「確率は起こりうる事象を集めた集合の部分集合に対して与える数値である」という基本にさかのぼると、いまの例では区間[0,1]の部分区間に対して確率を定めればよいことがわかる。
区間[0,1]の長さは1だから、その区間の部分集合、つまり任意の区間に対して、区間の長さを確率にとればよいわけである。こうすると連続型確率変数でも離散型確率変数と同じ考え方で確率分布を考えることが可能になる。
区間の長さを確率にすればよいと述べたが、それは区間[0,1]の中のどの値も等しい可能性でとるような確率変数を考えているからである。一般的には、Xの値の中でも現れやすい値と現れにくい値がある。
そこで連続型確率変数の分布を表現するには、図2.2のように全面積が1となるような曲線f(x)で分布の形状を示し、確率変数Xが区間[a,b]に入る確率P(a≦X≦b)は
（式略）
のように積分計算をして面積で表す。図2.2で斜線をつけているのはP(X ≦a)である。

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 22:51:35.97

>>228 つづき

Ａ３．（以下、回答ですが、上記の３つの文献を根拠にした回答であることを最初にご注意申し上げておきます。おかしな突っ込みは、自爆ですよ。）
　１）さて、今回の時枝問題では、まず、箱にサイコロの６までの数を入れることを考えよう。
　　上記重川先生の「例1.1 サイコロ投げの場合」に範を取れば、
　「Ω＝{1,2,・・・,6}^N ∋ ω＝（ω1,ω2,・・・） ωn は1,2,・・・,6 のいずれかで，n 回目に出た目を表す．
　　確率は
η1, η2,・・・ηn
を与えて　Ｐ（ω1＝η1,ω2＝η2,・・・ωn＝ηn）＝1/6^n」
　　ここで、事象の族Ｆが「σ-加法的に拡張できること」は、重川先生を信じてスルーさせてもらう。
　　{1,2,・・・,6}^Nで、Nを自然数に取ることができるので、可算無限の箱に対応できる。
　　各箱１つの数当ての確率は1/6
　（繰り返すが、確率空間(Ω、Ｆ、Ｐ)で、ΩとＰは上記の通り。Ｆはσ-加法的に拡張できる範囲で事象を考えると。）
　２）サイコロを１０面にして０～９までの数を入れこともできる。同様に、結論だけ書けば、各箱１つの数当ての確率は1/10
　３）サイコロをＰ面にして０～（Ｐ－１）までの数を入れこともできる。同様に、結論だけ書けば、各箱１つの数当ての確率は1/Ｐ
　　箱に入れる数として、自然数全体として、Ｐ→∞を考えると、各箱１つの数当ての確率は1/Ｐ→０に収束する
　　（Ｐ面サイコロより、ルーレット式でＰ個のポケットがイメージし易いだろう）

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 22:52:32.85

>>229 つづき

Ａ４．
　１）で、箱に入れる数として、自然数全体としても、すでに通常の測度論的確率論からはみ出しているという気がする
　　（時枝記事では、”有名なヴィタリのルベーグ非可測集合”類似を理由として、測度論的確率論からのはみ出しを論じているが、こちらの「1/Ｐ→０に収束する」の方が深刻だろう）
　２）さて、Sergiu Hart氏のPDF ”by choosing the xi independently and uniformly on [0, 1] ”について、上記Ａ６と同じように考えることができる
　　即ち、区間を簡単のために、(0, 1]（0を除外）として、p等分しよう。
　　(0, 1/p],(1/p, 2/p],・・,(i/p, i+1/p],・・,(p-1/p, p/p]となる。
　　(i/p, i+1/p]の区間の数を選ぶ確率は、1/pだ
　　ここで、p→∞を考えると、各区間の数を選ぶ確率は1/p→0に収束する
　（なお、再度強調しておくが、上記はＡ６と全く同じ理屈なので、Ａ６不成立なら、Sergiu Hart氏の” Player 1 can guarantee a win with probability 1 in game1”も不成立だよ。
　　ここらは、上記Ａ２．３）西山　茂先生小樽商科大学ビジネススクール「2.2　離散型変数から連続型変数へ」をご参照。）

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 22:54:40.22

>>230 つづき

Ａ５．さらに、代表番号の確率を考えるために、重み付き確率を考えよう
　１）まず、時枝>>12にならって、代表の数列r、問題の数列s = (s1，s2，s3 ，・・・)，決定番号dとし, dから先のしっぽは一致とする
　　r = (r1，r2，r3 ，・・・,rd，rd+1，rd+2，rd+3 ，・・・)。で、数列sを書き直すと
　　s = (s1，s2，s3 ，・・・,rd，rd+1，rd+2，rd+3 ，・・・)。差を取ると、しっぽが消える
　　Δ（s,r）= s-r= (s1-r1，s2-r2，s3-r3 ，・・・,sd-1 - rd-1) （ = (s1-r1，s2-r2，s3-r3 ，・・・,sd-1 - rd-1,0,0,0,0,・・・) が正確だろうが、しっぽは無視できる）
　２）だから、s1-r1=b1，s2-r2=b2，s3-r3=b3 ，・・・,sd-1 - rd-1=bd-1 と書き直すと
　　Δ（s,r）= (b1，b2，b3 ，・・・,bd-1)となる。ここで、定義から、bd-1 not=0であることにご注意（0とすると、決定番号dが変わる）
　３）ここで、まずはミニモデルとして、箱に０～９の１０通りの数を入れるとする。
　　上記より、Δ（s,r）で、bd-1のみ１～９の10－１通り、他のb1～bd-2の箱は１０通り。
　４）このΔ（s,r）の場合の数は、10^(d-2)*(10-1)通り
　５）ここまでの議論では、列の長さ（箱の個数）Lは、無関係（有限無限含め）。
　　なので、まずLを有限とする。
　　決定番号dは、1 <= d <= Lだ。代表の数列rによる同値類の集合をTとしよう。
　　念のため書くと、Δ（s,r）= s-r から s = Δ（s,r）+ r と表現できて、s = Δ（s,r）+ r ∈T
　　rは、各元で共通だから、結局、Δ（s,r）を考えれば良い。そこで、Δ（s,r）の集合をT’としよう。Δ（s,r）∈T’
　６）T’で、決定番号を考える。決定番号dは、1 <= d <= Lだ。自明だが、dが大きいほど、Δ（s,r）は何通りもできて、場合の数は多い。
　　例えば、d=1なら１通り、d=2なら９通り、d=3なら９０通り、・・、d=iなら10^(i-2)*(10-1)通り、・・d=Lなら10^(L-2)*(10-1)通り(∵d=Lなら最後のL番目の箱は代表と一致しているから)
　
つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 23:01:08.50

sage

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 23:01:18.93

>>231 つづき

　７）ここで、最初に述べた、重み付き確率を考える。上記Ａ３の重川先生のサイコロの記法に習って書くと
　　Ω＝{1(1),2(9),3(90),・・i(10^(i-2)*(10-1)),・・,L(10^(L-2)*(10-2))}、ここで、3(90)などは”d=3なら９０通り”の意味で、3の札が90枚とでも思ってもらえば良い。この場合、Ωの場合の数は、10^(L-2)*(10-1)だ
　８）Ａ５に書いたように、ルーレットで、ポケットが10^(L-2)*(10-1)の物を考える。m=10^(L-2)*(10-1)とすると
　　確率は、d=1なら１/m, d=2なら9/m、d=3なら90/m、・・、d=iなら10^(i-2)*(10-1)/m、・・、d=LならL(10^(L-2)*(10-2)/m。
　９）ここで、L→∞ を考える。つまり、大きさ無限大のルーレットを考えても良いし、ポケットと球をどんどん小さくしても良い。
　　ともかくも、例えば1 <= d <= 0.9L(前半９割) の範囲の数を取る確率は、→０に収束する。
　１０）確率空間については、上記Ａ３の場合に同じだ。
　１１）そして、再度強調しておくが、上記１）～４）までは、Δ（s,r）= s-rとして、数列の差を取ったので、しっぽが消える。だから、数列の長さＬが、有限か無限かには関係なく、成り立つ
　１２）（まとめ）
　　ａ）”P(Ω)＝1、P(K)＝0を満たす必要がある”のご指摘は正しいが、列の長さＬでＬ→∞の極限として、上記９）のように”例えば1 <= d <= 0.9L(前半９割) の数を取る確率は、→０に収束する”という結論です
　　ｂ）なお、同じく”P(Ω)＝1、P(K)＝0を満たす必要がある”のご指摘は正しい。
　　が、Ａ４の２）に示したように、Sergiu Hart氏のPDF ”by choosing the xi independently and uniformly on [0, 1] ”” Player 1 can guarantee a win with probability 1 in game1”も同じ指摘が当てはまる。
　　つまり、極限を考えない限り、”probability 1”は導けない（確率空間のσ-加法性から外れるだろう。＊）
　　（繰り返すが、上記Ａ２．３）西山　茂先生小樽商科大学ビジネススクール「2.2　離散型変数から連続型変数へ」をご参照。）

追伸
　注＊）ここも、時枝先生は、間違いを犯していると思われる。”箱の任意の実数Rを、（区間ではなく）ピンポイント（１点）で当てる確率は、現代の測度論的確率論では扱えない”（σ-加法性不成立）ということ
　
つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 23:02:00.19

>>201
どうも。スレ主です。
極限については、>>188に書いた通りですよ

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 23:05:43.74

>>203
どうも。スレ主です。

思うに、順序数 ω を使うと、標準的な測度論の範囲外だと思う
>>222-227 で引用したテキストのσ-加法性と合わないように思います

>Lebesgue 積分論のp.21
> http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/sh/pdfdvi/ana1.pdf

ああ、そうですね。順序数ωが登場しますが、「定理6.3 で用いた♯Bn = N（アレフ）の証明」のところ、
即ち、P21の[♯Bn = N（アレフ）の証明]の上２行のみですね。
それは、私の認識と同じですよ。（＝基礎論で登場するのみ）

対して、極限と∞は、テキスト全部に渡って出現しますよ
ですので、解析学や積分論で、無限を扱う基本は、極限と∞ではないですか？

さらに、Lebesgue 積分論のp.6で
”2.3 測度空間
R~ = R∪{±∞} として, +∞ = ∞ と表し, 便宜上, 次のように定める: a ∈ R (有限値) に対して
a ±∞ = ±∞, a ×∞ = ∞ (a > 0),= ?∞ (a < 0), 0 ×∞ = ∞× 0 = 0, a/∞ = 0.”
として、{±∞}を集合の要素として導入されていますよ。いわゆる拡張実数ですね（参考）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0

平場　誠示先生は立場が違うようですね？
順序数ωと{±∞}を、併用されているようには、見えません。如何ですか？
Lebesgue 積分論の本論部分に順序数ωを多く使用するのは、すばらしく独創的と思いますよ

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 23:08:43.52

>>204-205
どうも。スレ主です。
ええ、同意ですよ（＝「決定番号が自然数である確率は当然1です」）
なお、>>229-233をご参照下さい。（長文ご容赦）

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 23:09:54.24

>>208
どうも。スレ主です。
これは私へのレスではないようなので、スルーします

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 23:10:44.88

>>209
どうも。スレ主です。
>>177へは>>188ですでに回答済みですよ

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 23:11:47.80

>>210
どうも。スレ主です。
これも私へのレスではないので、スルーします

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 23:14:11.51

>>211-213
どうも。スレ主です。
>>229-233をご参照下さい。（長文ご容赦）

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 23:19:27.75

>>217-218
どうも。スレ主です。
>>229-233をご参照下さい。（長文ご容赦）

>箱の列の数を増やしても「決定番号の集合をKとして、集合Kの濃度」は有限

意味が分かりません。100列なら決定番号は100個、n列なら決定番号はn個です
それ以上に、なにかありますか？？
箱の列の数が有限なら、１つの列に一つの決定番号が決まるという意味で、決定番号は当然有限です

一方、>>219 のID:PWssPK8Jさんが書かれているように、「決定番号の値域が自然数全体」だと
ここは、ポイントですね

つまり、>>231-233より、Ａ５５）～９）に示しましたように、これを要約すると
「代表の数列rによる同値類の集合をTとすると、列の長さ（箱の個数）Lが有限であれば、濃度は有限だが、Lに依存し、濃度は増大する。
　列の長さLが無限になれば、集合の濃度も無限になる。
　任意の集合の元を取り出すと、代表の数列との比較で、決定番号dが定まる。」と

　商集合の濃度が無限だから、決定番号dには上限がないと考える方が自然です。そして、実際そうなる。上記の通りです

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 23:21:07.89

>>219
どうも。スレ主です。
これは私へのレスではないので、スルーします

追伸
なお、余談ですが「決定番号の定義から決定番号の値域が自然数全体、すなわち可算無限であることは明らかだから」は同意です（＾＾

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/26(月) 23:48:07.34

>>233 補足
>　８）Ａ５に書いたように、ルーレットで、ポケットが10^(L-2)*(10-1)の物を考える。m=10^(L-2)*(10-1)とすると
>　　確率は、d=1なら１/m, d=2なら9/m、d=3なら90/m、・・、d=iなら10^(i-2)*(10-1)/m、・・、d=LならL(10^(L-2)*(10-2)/m。
>　９）ここで、L→∞ を考える。つまり、大きさ無限大のルーレットを考えても良いし、ポケットと球をどんどん小さくしても良い。
>　　ともかくも、例えば1 <= d <= 0.9L(前半９割) の範囲の数を取る確率は、→０に収束する。

ここ補足しておきますね
列長さ（箱の数）Ｌは、有限の範囲でいくらでも長くできる
例えば、マンガのように、列の長さ距離で100億光年として、箱の大きさは10cmとしましょう

まあ、天文学的な箱の数です。箱に０～９の数を入れるとして
上記で示したように、決定番号は、場合の数として、長さ100億光年の最後の箱がほぼ9割を占める
当然、前の方の箱では、そこから後ろの箱が全て一致して、それが決定番号になる確率は、ほとんどゼロ
太陽系どころか、我々の銀河内の箱でさえ、決定番号の箱になれる確率は、宝くじ当たる確率より小さい

で、長さ100億光年でさえ、無限に比べればごく微小だ
100億光年の何倍でも、100億倍でも有限の範囲だ
で、それをどんどん続ければどうなるかってこと

そういう意味では、下記 ID:NQSYZDZ6さん、正解に近い
が、正しくは、決定番号に上限はない。上限がないという意味での、無限です。上限がないから、上記はどんどん続けられる・・。その結果・・、分かりますよね

（引用）
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む28 より
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/68
68 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/05/23(火) 10:22:45.67 ID:NQSYZDZ6
(抜粋)
決定番号がなんかツボっぽいなｗ

これって常識的に考えると
「一応自然数だけど、人間が生きてる間に
　その桁を全て読むことができないような
　スッゲェバカでかい数」
が出てくるよね
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/26(月) 23:51:00.94

>>221-233

私の問いは『確率空間を書いてください』です。
余計なことは言いませんので、あなたも余計なことは書かないでください。

>>196
> >>187
> > > > この場合、L→∞の極限では、1<= L <∞ の決定番号は、零集合として存在しうる
> > >『よって決定番号が有限の値を取る確率は0である』
> > >そう言いたいんでしょ？　Yes or No？
> >
> > もちろん、Yesですが、力点は、”存在しうる”のところにあります。
>
> ではあなたが考えた確率空間を書いてみなさい。
> 確率空間の設定なしにP(K)＝0を結論することはできない。
>
> きちんと書いておこう。
> 全事象をΩ、K＝{k∈N | 1≦k<∞}とする。
> Kは事象の族F⊂2^Ωの元でなければならず、
> さらにP(Ω)＝1、P(K)＝0を満たす必要がある。
> これを満たすという、あなたが考えた確率空間を書いてみなさい。

改めてあなたが>>141で考えた確率空間について以下の質問に答えてください。

問1：
P(K)＝0, P(Ω)＝1となるΩの定義を式で書いてください。
（2chに書きたくないなら別のところでも構いません。きちんと式で書いてください。）

※ここでK⊂2^Ω, K＝{k∈N | 1≦k＜∞}である。
すなわちΩは自然数全体を含むことに注意せよ。

問2：
Kが加法族Fの元でP(K)＝0ならば、Kの補集合K~もまたFの元でありP(K~)＝1である。
このことに注意して、確率が1となる事象K~を明記してください。

※事象K~⊂Ωにどのような元が含まれるのか？
ここを曖昧にせぬよう、事象K~をきちんと式で書いてください。

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/27(火) 00:09:31.52

>>244
> ※ここでK⊂2^Ω,
失礼、K⊂Ωの書き間違いです。

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/27(火) 01:11:25.31

>>236
＞ええ、同意ですよ（＝「決定番号が自然数である確率は当然1です」）
つまり ∞∈N であると？
決定番号＝∞ があなたの持論ですよね？

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/27(火) 01:57:00.98

>>233
> Δ（s,r）= s-rとして、数列の差を取ったので、しっぽが消える。だから、数列の長さＬが、有限か無限かには関係なく、成り立つ

sおよびrが無限数列の場合は無視してはダメですよ

> 列の長さＬでＬ→∞の極限
sおよびrが無限数列の場合は極限をとる前に無視した0をすべて元に戻す必要がある

> Δ（s,r）= (b1，b2，b3 ，・・・,bd-1)
に書き直す際に可算無限個の0を取り除いているから可算無限個の0を戻せば極限をとる必要はない

>>241
> 時枝記事では確率 1-ε(= 可算無限個の箱の列の数は有限である)
> と書いてあるので箱の列の数を増やしても「決定番号の集合をKとして、集合Kの濃度」は有限
と書いてありますよね

箱の列の数は
1列目: a1, a2, ... , an, ... : 決定番号d1
2列目: b1, b2, ... , bn, ... : 決定番号d2
3列目: c1, c3, ... , cn, ... : 決定番号d3
以下同様に続ければ
100列目: 決定番号d100

自然数全体の集合は可算無限濃度ですし自然数に上限はありません
しかしその部分集合では話が変わります
たとえば部分集合{2, 4, ... , 2n, ... }は可算無限濃度で2nに上限はありませんが部分集合{1, 3, 5}は有限濃度で上限は5です
1 < 2 < 3 < ... < n < ... から有限個を取り出した場合は必ず上限(最大値)が決まります

> 100列なら決定番号は100個
ならば有限濃度なので上限max{d1, d2, ... , d100}は存在します

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/27(火) 06:34:19.73

>>231　>>233
長々と書いてるけど要は
「決定番号の確率分布が書き表せられない」
といいたいのかな？

そんなこと、今頃気づいたの？

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/27(火) 06:48:03.65

>>243
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/68
↑これもなにいいたいのか意味不明

「箱入り無数目」戦略が現実的に実行不可能なのは
代表元を選ぶ関数の存在が選択公理によっていえるだけで
実際に構築することができないから

上記の関数をつかって代表元を選べると認めたならば
決定番号がいかほど巨大であろうが決まるのだから
その次の箱を選べばいいだけのこと　何の問題もない

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/27(火) 07:06:20.49

>>1へ
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1496568298/483-486
でわざわざ図で示してるが・・・

９９列の決定番号の最大値dmax99から
残り1列dの大小の確率を求めようとすると
dmax99<d　となる確率が１になるように見える

一方残り１列dから、９９列の決定番号の最大値
dmax99の大小の確率を求めようとすると、
dmax99<d　となる確率が０となるように見える

つまり
「確率１でdmax99＜dとなるから、予測は失敗する」
という主張も、測度論では正当化できない

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/27(火) 07:59:31.41

おはようございます。本日の放送予定です。
都議選挙、木村沙織のふるさと八王子にて日本第一党、桜井誠と岡村みきおが演説します。
必見の価値アリ。

※配信は桜井誠のツイキャスからリアルタイムで配信されます。是非ご覧ください。

平成２９年６月２７日（火）

弁士　岡村みきお、桜井誠、堀切笹美、荒巻靖彦ほか

選挙演説　時間、場所

８時～　高尾駅南口

１１時～　長房団地周辺巡回

１５時３０分～　道の駅八王子

１８時３０分～　八王子駅北口

＜岡村みきお後援会＞

岡村みきお　八王子未来の会

https://m-okamura.japan-first.net/

【期日前投票期間】６月２４（土）～７月１日（土）　午前８時３０分～午後８時
【投票最終日】　　７月２日（日）　午前７時～午後８時まで

**哀れな素人** · 2017/06/27(火) 17:40:52.80

僕は今日、「解析学の大錯誤」という論文を書いた。
たった６ページだが、解析学の歴史を塗り替える革命的論文である(笑
この論文で僕が否定、批判したのは次の定理、論法である。

デデキントの切断
ワイエルシュトラスの定理
有界な単調数列の収束
区間縮小法
コーシーの収束判定法
コーシー列による実数の定義
カントールの対角線論法
ε－δ論法

これらはすべて間違い、もしくはばかばかしいものである。

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/27(火) 19:23:53.12

釣れますかね

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/27(火) 19:39:03.81

代表元を定める関数なんて簡単じゃん
同値類から任意の1元を選択すれば済むんだから

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/28(水) 06:07:56.09

>>254
>同値類から任意の1元を選択すれば済む
それが選択公理

つまりわざわざ公理を設定しなければ
そういう関数が存在する、とはいえない

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/28(水) 08:18:16.75

>>255
何言ってんの？
選択公理を使うと記事で名言してるのに

**ぞうさん** · 2017/06/28(水) 10:13:50.04

>>252
じ～いさん　じ～いさん　あ～たまがわるいのね

そ～よ　こくぶんじゃ　む～りなのよ～♪

**哀れな素人** · 2017/06/28(水) 12:29:42.95

>>257
お前は一石か(笑

お前のように、ケーキを食べ尽くすことはできない、
ということすら分らない○○には何を言っても無駄だろう(笑

ここの連中は
0.99999……＝１
1/2＋1/4＋1/8＋……＝１
は公理だ、と確信しているような○○揃いだから、
何を言っても無駄だろう(笑

**哀れな素人** · 2017/06/28(水) 12:53:26.56

市川スレで、ケーキを食べ尽くすことはできるか、という問いに対して、
最初の量が１だから１になる、とか、
ケーキを切っていくと素粒子になるから切れない、とか、
のアホ回答を紹介してやったら、Une Pierreというクルクルパーが、

>最初の量が１だから１になる
正しいw

と書いてきた(笑
こいつがいかにアホであるか丸分りだ(笑
赤恥晒しているのに、そのことに気付いていない(笑

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/29(木) 01:25:07.31

素人爺さんはうさぎが亀を追い越せないと思ってるのかな？

**哀れな素人** · 2017/06/29(木) 08:50:31.49

>>260
何が言いたいのか不明だが、お前も
1/2＋1/4＋1/8＋……＝１
だと思っているクルクルパーなのか？(笑

そんなクルクルパーは数学などやらない方がいい(笑

**哀れな素人** · 2017/06/29(木) 08:56:10.14

ペン男は1/2＋1/4＋1/8＋……＝１は公理だ、定義だ、と
強硬に主張し続けた。
それに対してこのスレの住民は誰一人として、
それは違うよ、とは注意しなかった。
つまりこのスレの住民は全員それが正しいと思っているのだ(笑
その程度のアホ連中がスレ主をアホだバカだと嘲笑しているのだ(笑
そりゃスレ主だってたいしてえらくはない。
はっきりいうが、たいした男ではない(笑
しかしお前らだってスレ主とまったく同レベルの○○だ(笑

**哀れな素人** · 2017/06/29(木) 09:01:16.39

定義少年に至っては、0.99999……という無限小数は
0.9、0.99、0.999……という数列の極限値だと思っているらしい(笑
市川スレの一石というクルクルパーもそう思っている(笑

そんなアホなことを学校で教えられているとしたら、
それこそ由々しき大問題だ（嘆

**哀れな素人** · 2017/06/29(木) 11:25:51.44

閑古鳥が鳴いているようなので書いておくと－

デデキントの切断
ε－δ論法

↑これらはばかばかしい不要な議論である。

ワイエルシュトラスの定理
有界な単調数列の収束
区間縮小法
コーシーの収束判定法
コーシー列による実数の定義
カントールの対角線論法

↑これらはすべて間違い。

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/29(木) 22:45:05.35

哀れなメンヘラ

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/06/30(金) 01:57:09.89

馬鹿板はこういう人の為のもの。とにかく放置するべき。人を釣る事を考えてるだけ。
極めて無為な行為であり、騙されたらダメ。

￥

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/30(金) 03:07:10.30

https://www.youtube.com/watch?v=Zx9KPfvMVjY

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/06/30(金) 03:49:49.64

これって正に事の本質だよね。政治家の資質って正にコレだわサ。

■■■コミュ力だけが社会通貨となった今の日本⇒日本人がしてるのは単なる言葉遊び■■■

要するに『相手のその場の感情に配慮しさえすれば、肝心の中身なんて何でもヨロシ』
という、仲良くする事だけが価値観の、云わば日本文化の真の姿がココにあるって感じ
ですわ。相手に嫌われない為だったら何でもスル、偽善者の集団。

￥

>184 名前：１３２人目の素数さん 2017/06/29(木) 10:15:38.35 ID:n9pcFtpp
> かつては日本も職人が社会進出していて、made in japan が世界展開した時代の
> 企業は、技術者が創業者だった。コミュ力だけが社会通貨となった今の日本で
> ソニーやシャープや東芝がどうなったかは、誰もが知っている。
> 仲良くする技術で物が売れるのは、売る物があっての話だということ。
>

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/30(金) 04:16:50.09

３番目のグループの右側の男
"SWALLA" - Jason Derulo ft Nicki Minaj Dance | @MattSteffanina Choreography
https://www.y◆■outube.com/w◆■atch?v=vy◆■leKZJXBN8

"DOWN" - Fifth Harmony ft Gucci Mane Dance | @MattSteffanina ft Bailey Sok
https://www.y◆■outube.com/w◆■atch?v=_ly◆■HJP5TxWQ

"HUMBLE" - Kendrick Lamar Dance | @MattSteffanina (ft Devvon Terrell)
https://www.y◆■outube.com/w◆■atch?v=v◆■tE3kgo4WII

"EL CHAPO" - Skrillex & The Game Dance | @MattSteffanina ft Kenneth San Jose
https://www.y◆■outube.com/w◆■atch?v=H◆■pMqCheAP6E

PARTYNEXTDOOR - "Low Battery" | Nicole Kirkland Choreography
https://www.y◆■outube.com/◆★watch?v=V◆★i5dH2iBPiQ

Chris Porter ft Pitbull - The Water Dance | Choreography by @_TriciaMiranda - Filmed by @T◆★imMilgram
https://www.y◆■outube.com/w◆■atch?v=4◆★TnUePIxP8I

SZA (feat. Travis Scott) - "Love Galore" | Nicole Kirkland Choreography (Millennium Version)
https://www.y◆■outube.com/w◆★atch?v=2Vt◆■brprqzcs

Lion Babe - Rockets ft. Moe Moks | missTiff Choreography | DanceOn Class
https://www.y◆■outube.com/w◆★atch?v=T◆■VEFp2uHPdQ

Maryam Shakiba - Odissi Dance - Manglacharan Ganesh Vandana
https://www.y◆■outube.com/w◆★atch?v=5◆■2bscmW8x80

↑　↑　↑　↑　↑
説明します。
2ch管理人に◆■★をしないと書き込めないようにされました。
YOUTUBE動画をマルチコピペ(いろんなスレに貼り付ける)するとアクセス禁止になります。
今年は7回ほどアクセス禁止にされました。
2000円の浪人を使ってるので14000円分アクセス禁止されたことになります。
なぜ2ch管理人がここまで必死なのかというとYOUTUBE動画を2chのあちこちのスレ300ヶ所に書き込んでも再生回数がぜんぜん伸びないことから
2chに人がいない＝2ch管理人がIDを変えながら書き込んでるのがバレるからだと思います。
YOUTUBE動画を300ヶ所に書き込んでも1時間に再生回数が20回くらいしか伸びないこともよくあるんです。
以前からYOUTUBE動画を2chにマルチコピペするとそのYOUTUBE動画に削除依頼がされてYOUTUBE動画を消されたりマイナスを押されたりの
嫌がらせをされてたんだけど、削除依頼しても削除できないのだと最近はすぐにアクセス禁止をするようになりました。

裏でこのような暗闘があるんです。

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/06/30(金) 05:03:19.80

★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
　　～～～芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか～～～

佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。

隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？

（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ～～～
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ

中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。

近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。

☆☆☆数学徒が馬鹿板をしたらダメ。さもないと国家議事堂みたいになります。☆☆☆

￥

**哀れな素人** · 2017/06/30(金) 11:00:00.45

>>265-266
お前らのようなクルクルパーに言われたくない(笑

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/06/30(金) 11:05:35.77

ソレでエエ。馬鹿板は全部がアンタの場所やし全部使え。他の誰にもカキコさせるな。

￥

**哀れな素人** · 2017/06/30(金) 11:14:41.98

ここの連中は、呆れたことに、
0.99999……＝１
1/2＋1/4＋1/8＋……＝１
は現代数学の公理だ、定義だ、と狂信しているような○○ばかりだ(笑
極限値の意味さえ分っていない薄馬鹿の巣だ(笑

￥という男は昨年も出ていたが、
0.99999……→１
1/2＋1/4＋1/8＋……→１
だということは分っているのか？(笑

こんな常識的なことさえ、ここのアホどもは分っていないのだ。
スレ主もその一人で、こんな簡単なことさえ分っていないから、
議論に参加せず、コピペで話題を逸らし逃げてばかりいる(笑
自身がないから他人にばかり頼ろうとする(笑
いろんな数学者のサイトや本のコピペばかりだ(笑
だからバカにされるのだ(笑
悪い男ではないが、もっと自分の言葉で語らなければならない。
2chというのはコピペの場ではないはずだ。

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:01:28.89

>>266 >>268 >>270 >>272
￥さん、どうも。スレ主です。
お元気そうでなによりです。

回答にあたって、測度論と確率空間をあらためて、勉強していました・・（＾＾
まあ、いままで、勉強が上滑りだったと、あらためて思っています・・（＾＾

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:02:41.37

>>274 つづき

そこで
>>235の補足資料下記追加（このスレの余白は十分ありますので（＾＾）

>Lebesgue 積分論のp.21 >>203
> http://www.ma.noda.tus.A^c.jp/u/sh/pdfdvi/ana1.pdf
これ、下記やね
http://wiki.ma.noda.tus.A^c.jp/pk/ma/
東京理科大数学科
http://www.ma.noda.tus.A^c.jp/u/sh/
S.HIRABA's Study Room 平場誠示 [平場研究室] Mathematics and Probability [数学と確率]
http://www.tus.ac.jp/ridai/doc/ji/RIJIA01Detail.php?act=&;kin=ken&diu=33b8
平場誠示教授東京理科大学理工学部数学科
1993-1999　大阪市立大学理学部助手
1999-2000　大阪市立大学理学部講師
2000-2003　東京理科大学理工学部講師
2003-2007　東京理科大学理工学部助教授
2007- 　東京理科大学理工学部准教授

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:03:07.29

>>275 つづき

http://www.ma.noda.tus.A^c.jp/u/sh/
講義ノート平場誠示

http://www.ma.noda.tus.A^c.jp/u/sh/pdfdvi/ana1.pdf
（上記>>203Lebesgue 積分論に同じ）解析学 1 （3年通年）37p ルベーグ積分論 ana1.pdf 419kb ('16/12/01)
（抜粋）
1.1 測度とは何か？

高校までに1 点の長さは0 として, 区間[0, 1] の長さは1 として習って来たであろう.
では次の計算はどこがおかしいのだろうか？(ここでは長さを| ・ | を用いて表す.)
1 = |[0, 1]| = Σ {x∈[0,1]} |{x}| = 0.
区間[a, b] (a < b) の長さをb ? a と定義するのは問題ないであろう.
では1 点の長さを0 とするのがまずいのであろうか？
しかしこれを正とすると, 場所に寄って長さが変わるというのは考えにくいので, 全て同じ値として, それを無限にたすと無限大になり, 1 = ∞ となってしまう.
それに|{x}| ? |[x, x + 1/n]| = 1/n → 0 (n → ∞) から|{x}| = 0 とするのも妥当であろう.

答えは, 実は, 上の足し算がまずいのである.
我々に許される足し算は有限和の極限としての無限和, 即ち, 可算までなのである.
無限和＝可算無限和＝有限和の極限.

では長さの測れ
る集合(可測集合) とはどのようなものであろうか？それがLebesgue 可測集合と呼ばれるもので,

測度とはこのように測れる集合や許される演算などを明確にし, 長さというものをより厳密にし,
さらに一般化したものを表すのである.
大事なことは, 全ての演算が可算無限までしか許されないということである.

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:03:43.41

>>276 つづき

2 可測集合と測度(Measurable sets and Measures)
以下では, X を集合として, その全部分集合族を2^X で表す.

2.1 σ-加法族
定義2.1 X の部分集合族F, i.e., F ⊂ 2^X が
(1) Φ ∈ F
(2) A ∈ F =⇒ A^c ∈ F
(3) A1,A2, ・・・ ∈ F =⇒∪{n=1～∞}An ∈ F
をみたすときσ-加法族(σ-additive class) またはσ-集合体(σ-field) という.

問2.2 次の集合族A は集合体であるがσ-集合体ではないことを示せ.
(1) X が無限集合のとき{A ⊂ X : A かA^c が有限集合(Φ も含む)}
(2) X = R,-∞ ? a ? b ? ∞ に対し, (a, b] の形の区間の有限和で表される集合
∪{k=1～n} (ak, bk]
全体, 但しb = ∞ なら(a,∞), a = b ならΦ とみなす.

2.3 測度空間
R~ = R∪{±∞} として, +∞ = ∞ と表し, 便宜上, 次のように定める: a ∈ R (有限値) に対して
a ±∞ = ±∞, a ×∞ = ∞ (a > 0),= -∞ (a < 0), 0 ×∞ = ∞× 0 = 0, a/∞ = 0.

∞ を-∞ に変えても同様である. また∞-∞ や∞/∞ などは定義しない(できない).
注意　ここで注意して欲しいのは∞=∞ = ∞× 1=∞ = ∞× 0 = 0 などという計算をしてはいけない！　
ということである. 上の無限大はあくまで, 有限な値からの極限として考えるべきものである.

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:04:50.72

>>277 つづき

http://www.ma.noda.tus.A^c.jp/u/sh/pdfdvi/16ProbRw.pdf
数理統計学 2 （3年後期）確率論の基礎とランダムウォーク平場誠示 2016年度
（抜粋）
1 確率論の基礎(Basics of Proability Theory)
1.1 確率空間と確率変数(Probability SpA^cees and Random Variables
確率論においては, 必ず, ある適当な確率空間(Ω,F, P) があり, その上で定義された, ある確率変数X
を対象として, その色々な性質について調べて行こうとする.
ここで(Ω,F, P) が確率空間(probability spA^ce) とは
? Ω はある集合(元をω ∈ Ω で表す)
? F (⊂ 2^Ω) はΩ 上のσ 集合体(σ-field); (2^Ω はΩ の全部分集合族)
(i) Ω ∈ F
(ii) A ∈ F ⇒ A^c ∈ F
(iii) An ∈ F (n = 1, 2, . . .) ⇒ ∪An ∈ F
確率空間においては, A ∈ F を事象(event) と呼ぶ.
? P = P(ω) は可測空間(Ω,F) 上の確率測度(probability measure), i.e., 全測度1 の測度;
P : F → [0, 1] は集合関数で次をみたす.
(i) P(Ω) = 1
(ii) An ∈ F (n = 1, 2, . . .) が互いに素⇒ P(∪An) =ΣP(An) (σ 加法性)

つづく

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>>278 文字化け訂正

>>277 つづき

http://www.ma.noda.tus.A^c.jp/u/sh/pdfdvi/16ProbRw.pdf
数理統計学 2 （3年後期）確率論の基礎とランダムウォーク平場誠示 2016年度
（抜粋）
1 確率論の基礎(Basics of Proability Theory)
1.1 確率空間と確率変数(Probability SpA^cees and Random Variables
確率論においては, 必ず, ある適当な確率空間(Ω,F, P) があり, その上で定義された, ある確率変数X
を対象として, その色々な性質について調べて行こうとする.
ここで(Ω,F, P) が確率空間(probability spA^ce) とは
・ Ω はある集合(元をω ∈ Ω で表す)
・ F (⊂ 2^Ω) はΩ 上のσ 集合体(σ-field); (2^Ω はΩ の全部分集合族)
(i) Ω ∈ F
(ii) A ∈ F ⇒ A^c ∈ F
(iii) An ∈ F (n = 1, 2, . . .) ⇒ ∪An ∈ F
確率空間においては, A ∈ F を事象(event) と呼ぶ.
・ P = P(ω) は可測空間(Ω,F) 上の確率測度(probability measure), i.e., 全測度1 の測度;
P : F → [0, 1] は集合関数で次をみたす.
(i) P(Ω) = 1
(ii) An ∈ F (n = 1, 2, . . .) が互いに素⇒ P(∪An) =ΣP(An) (σ 加法性)

つづく

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sage

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>>279 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E4%BD%93
集合体
・field of sets: 集合が集合演算について成す体状の数学的構造。有限加法族を参照。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8A%A0%E6%B3%95%E6%97%8F
有限加法族

定義
空でない集合 S 上の部分集合族 M ⊂ 2S が和 ∪ と補集合をとる集合演算 c について閉じていて、和 ∪ に関する中立元 ? を持つとき、M を有限加法族または単に加法族と呼ぶ。
A1, A2 ∈ M ⇒ A1 ∪ A2 ∈ M,
A ∈ M ⇒ Ac ∈ M,
? ∈ M.
また、M ⊂ 2S が積 ∩ と対称差 Δ について閉じていて、積 ∩ に関する中立元 S を含むとき、M を集合体と呼ぶ。
A1, A2 ∈ M ⇒ A1 ∩ A2 ∈ M,
A1, A2 ∈ M ⇒ A1 Δ A2 ∈ M,
S ∈ M.
有限加法族の条件は加法的な一つの演算 ∪ に関する構造に注目していて、集合体のほうは積 ∩ と対称差 Δ の二つの演算がつくる集合環の構造に注目しての命名であるが、この二つの定義の条件は互いに同値であり、これらはまったく同じ概念を定める。また、これら（が含む集合環の）の条件から帰納的に
・A_{1},A_{2},・・・ ,A_{n}∈ M → ∪{k=1～n}A_{i}∈ M
・A_{1},A_{2},・・・ ,A_{n}∈ M → ∩{k=1～n}A_{i}∈ M
など、有限回の集合演算に関して閉じていることが示せる。

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:08:13.00

>>281 つづき

付加構造を持つ集合体
完全加法族と可測空間
ある集合 X 上の有限加法族 F は、それが可算和・可算交に関して閉じているとき、完全加法族と呼ばれる。このとき、集合体 (X, F) は可測空間と呼ばれ、可測空間の複体は可測集合と呼ばれる。
測度空間とは、三つ組 (X, F, μ) であって、μ が可測空間 (X, F) 上の測度であることをいう。μ が確率測度であるときには、測度空間を確率空間、その底にある可測空間を標本空間と呼ぶ。
標本空間の点は標本と呼ばれ、可能性のある結果を表していると同時に、可測集合（複体）は事象と呼ばれ、確率を割り当てることによって結果の性質を表現していると考えられる（標本空間と言う用語は単に可測空間の底集合の意味で用いられることも多い。
任意の部分集合が事象である場合にはなおさらである）。測度空間や確率空間はそれぞれ測度論や確率論において基本的な役割を果たす。

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:09:07.64

>>282 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%8A%A0%E6%B3%95%E6%97%8F
完全加法族
数学における完全加法族（かんぜんかほうぞく、英: completely additive class [of sets]）、可算加法族（かさんかほうぞく、英: countably additive class [of sets]）あるいは (σ-)加法族、σ-集合代数（シグマしゅうごうだいすう、英: σ-algebra [of subsets over a set]）、σ-集合体（シグマしゅうごうたい、英: σ-field [of sets]）[注 1]は、
主な用途として測度を定義することに十分な特定の性質を満たす集合の集まりである。特に測度が定義される集合全体を集めた集合族は完全加法族になる。
この概念は、解析学ではルベーグ積分に対する基礎付けとして重要であり、また確率論では確率の定義できる事象全体の成す族として解釈される。完全加法族を接頭辞「完全」を付けずに単に「加法族」と呼ぶことも多い（つまり、有限加法族の意味ならば接頭辞「有限」を省略しないのがふつう）ので注意が必要である[1]。
集合 X 上の完全加法族の定義は「集合 X の部分集合からなる族 Σ であって、可算回の合併、交叉と補演算という集合演算について閉じていて、合併についても交叉についても単位元を持つようなもの」である。
集合 X 上の σ-集合代数の定義は「X の部分集合の空でない族 Σ で、X 自身を含み、補集合を取る操作（補演算）および可算な合併に関して閉じているもの」である。
即ちこれは、有限加法族あるいは集合代数であって[注 2]、かつその演算を可算無限回まで含めて順序完備（英語版）化したものになっている。集合 X とその上の完全加法族 Σ との対 (X, Σ) は可測空間と呼ばれる集合体になる。
例えば X = {a, b, c, d} とすると、X 上の完全加法族となる集合族の一つは
Σ = {??, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d}?}
で与えられる。
より有用な例は、実数直線の部分集合族で、全ての開区間から始めて、それらの可算合併・可算交叉・補演算を取ることをそれらの演算がすべて閉じるようになるまで繰り返して（つまり、開区間を全て含む最小の完全加法族）得られる完全加法族である。得られた完全加法族はボレル σ-集合代数と呼ばれる（ボレル集合の項を参照）。

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:09:39.21

>>283 つづき

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~hino/index_j.html
日野正訓のホームページ京都大学大学院理学研究科数学教室
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~hino/jugyou.html
2017年度授業関係資料等（日野正訓）
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~hino/jugyoufile/AnalysisI170418.pdf
解析学I（2016年度前期）日野正訓京大 20170622版
(抜粋)

0.4 記号の約束など
集合R ∪ {±∞} をR~ で表す*)18．+1をしばしば単に1とかく．R での演算等を以下のように
定める．（以下，複号同順）
実数に関する演算は通常通り．
a ∈ R に対して，-∞ < a < +∞
a ∈ R に対して，
? a + (±∞) = ±∞, ±∞+ a = ±∞
? a > 0 のとき，a ｘ (±∞) = ±∞, ±∞ｘ a = ±∞
? a < 0 のとき，a ｘ (±∞) = ?∞, ±∞ｘ a = ? ∞

注*)18 R の位相については，x ∈ R の基本近傍系はR でのそれと同じで，
+∞ の基本近傍系を{a,+∞] | a ∈ R},
-∞の基本近傍系を{-∞, a] | a ∈ R} と定める．一般位相について不得意な人は
「実数列が正（負）の無限大に発散するときR においては+∞,-∞ に収束すると解釈する」と理解しておけば間違いはない．

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:10:21.58

>>284 文字化けあるが、原文ご参照ください

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:11:24.54

>>285 つづき

1.2 幾つかの例
測度の例を幾つか挙げる．大抵の非自明な測度は，情報のすべてを明示的に書き下すことは期待
できず，普通は5 節で論じる構成定理を通じて，存在を保証したり間接的に情報を得るのみである
ことに注意する．以下の例のうち最初の3 つは，すべての可測集合の測度を具体的に与えていると
いう意味で大変単純なものである．

1.2.1 数え上げ測度
(X, M) を任意の可測空間とする．A 2 Mに対して，μ(A) を集合A の元の個数(∈ N∪{0,+∞})
と定めると，μ は(X, M) 上の測度となる．μ を数え上げ測度(counting measure) という．

1.2.2 可算集合上の測度
X を高々可算集合，M = 2^X とし，φ をX 上の[0,+1]-値関数とする．A ∈ Mに対し，
μ(A) =Σx∈A φ(x) と定めると，μ は(X, M) 上の測度である．
・問. 高々可算集合X とM= 2^X に対して，(X, M) 上の測度はこのようなものに限られることを示せ．

1.2.3 Dirac 測度
略

1.2.4 1 次元Lebesgue 測度
X = R とし，F= {(a, b], -∞ <= a <= b <= +∞の形の集合の有限和の全体} とおく．
・問. Fは有限加法族であることを示せ．
略
注意. 上記で，半開区間(a, b] を基準に測度を構成するのは一見不自然に見えるかもしれない．
閉区間の有限和全体は有限加法族にならず，閉区間をすべて含むような有限加法族
はFを含むので（確認せよ），結局最初からFを考えた方が話が早い．「空間R を分割する」とい
う見地に立てば，区間の端点の片方のみ含む集合（半開区間）を基礎とすることは自然であると考
えることもできる．右端点を含んでいるというのは全く便宜上のことであり，代わりに[a, b) の形
の半開区間を用いても構わない．
数学的には対等なのでどちらを選択しても本質的な違
いはないが，(a, b] の方を用いるのが多数派のようである．

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:17:38.64

>>286 つづき

さて、上記を踏まえて、本題
>>244-245
>改めてあなたが>>141で考えた確率空間について以下の質問に答えてください。

>>276 まず、平場先生
「我々に許される足し算は有限和の極限としての無限和, 即ち, 可算までなのである.
無限和＝可算無限和＝有限和の極限.」（σ-集合体）
を押さえておきましょう。

そして、この視点から見ると
１）箱が１つ、箱に任意の実数 r ∈ (0,1] が入り、箱を開けずに数を的中する確率は？　当然、直感的には０であるし、非加算無限分の１だ。が、σ-集合体（可算）をベースとする確率空間は、構築できない。
２）箱が１つ、箱に任意の有理数 q ∈ (0,1] が入り、箱を開けずに数を的中する確率は？　当然、直感的には０であるし、加算無限分の１だ。が、σ-集合体をベースとする確率空間は、構築できない。
（ここは、>>277 の平場先生「問2.2 次の集合族A は集合体であるがσ-集合体ではないことを示せ.(1) X が無限集合のとき{A ⊂ X : A かA^c が有限集合(Φ も含む)}」から、”σ-集合体ではない”が言える思う。・・が、実はよく理解できなかった（証明は下記OKWAVEにあるようだ。ご参照）（＾＾）
https://okwave.jp/qa/q5924861.html aiaiai21 OKWAVE 2010-05-27
Q.σ-集合体について
(1)Ωは無限集合であるとする。
A＝{A⊂Ω:AまたはA^cが有限集合か空集合}
この集合族Aは集合体であるがσ-集合体ではないことを示せ。
略
質問者が選んだベストアンサー muturajcp 2010-05-31
略

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:18:58.74

>>287 つづき

そこで
問1：
P(K)＝0, P(Ω)＝1となるΩの定義を式で書いてください。
（2chに書きたくないなら別のところでも構いません。きちんと式で書いてください。）
※ここでK⊂2^Ω, K＝{k∈N | 1≦k＜∞}である。
すなわちΩは自然数全体を含むことに注意せよ。
問2：
Kが加法族Fの元でP(K)＝0ならば、Kの補集合K~もまたFの元でありP(K~)＝1である。
このことに注意して、確率が1となる事象K~を明記してください。
※事象K~⊂Ωにどのような元が含まれるのか？
ここを曖昧にせぬよう、事象K~をきちんと式で書いてください。

答え（A1&2）.
Ωについて：>>231にならって、決定番号dは、1 <= d < ∞、代表の数列rによる同値類の集合をT, Tの元r, としよう。
r,s ∈ T
Δ（s,r）= s-r から s = Δ（s,r）+ r と表現できて、s = Δ（s,r）+ r ∈T
rは、各元で共通だから、結局、Δ（s,r）を考えれば良い
この視点で考えると、同値類の集合Tから、任意の元sを取り出すと、Δ（s,r）が決まり、決定番号dは、「dから先が全て0になる最大の番号」として定まる
つまり、s→d という対応で、一つのdに対して複数のsが対応する。よって、dの確率を考えるときは、そのベースの同値類の集合をTを考えるべし
だから、Ω＝Tでしょ。
f:s→d という関数を考える。f(s)＝d
で、繰り返すが、r ∈ T なら、f(r)＝1
f(s)＝d なら
Δ（s,r）= (b1，b2，b3 ，・・・,bd-1)となる。ここで、定義から、bd-1 not=0であることにご注意（0とすると、決定番号dが変わる）
なお
Δ（s,r）= (b1，b2，b3 ，・・・,bd-1,0,0,0,・・・・)と書いても同じ意味。”,0,0,0,・・・・”を書く手間を省いただけ

で
箱に”任意の実数”を入れる場合、Ω＝Tとして、これは明らかに非加算集合で、事象Fとして箱の数は数直線の１点だから、σ-集合体にはならない!
よって、測度論的確率空間は、存在しない！
以前の零集合の議論は、おそらく、零集合までは間違っていないが、その後測度論的確率を論じることはできないので、そこの部分は撤回します。

追伸
あと、Sergiu Hart氏>>28 PDFのGAME2が、σ-集合体になるかどうかだが・・

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:28:36.70

>>246
Q
"＞ええ、同意ですよ（＝「決定番号が自然数である確率は当然1です」）
つまり ∞∈N であると？
決定番号＝∞ があなたの持論ですよね？"

A
正確には下記

決定番号＝∞
　↓（下記に変更ください）
私の主張は
「時枝記事で、任意の自然数ｎ∈Ｎ（自然数の集合）に対し、決定番号がｎとなる同値類の数列が構成できる。
　従って、”決定番号の重なる部分を纏めた集合”をKとして（注＊）、集合Kの濃度は可算無限。」と単純です >>135 （注＊＊）
注＊）箱には、任意の実数を入れるとすると、各決定番号dで、 2<= d の場合、dとなる数列は、非加算無限通り存在することを注意しておく

補足
注＊＊）詳しく書くと、K={1,2,・・,k,・・}だと。
自然数の集合N={1,2,・・,n,・・}として
K ⊂ Nは自明。一方で、任意の自然数 ∀n∈Nで、n∈Kとできる。(略証は>>135ご参照)
よって、N ⊂ K
∴ K=N

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:29:21.70

>>247
上記>>288ご参照

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:31:18.15

>>248
Q
"長々と書いてるけど要は
「決定番号の確率分布が書き表せられない」
といいたいのかな？
そんなこと、今頃気づいたの？"

A
実は、類似のことを、１年ほど前に書いています。下記例など。複数回。
（参考例）
スレ18 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/155
155 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/02/13(土) 08:11:22.87 ID:1yqxSAX/
(抜粋)
　　>>132 このモデルの場合、1列のパラメータ：列の長さL（箱の数）＝∞、箱に入る数の集合の濃度＝10
３．一つの同値類の集合には、無限の要素が含まれる。そして、決定番号は、ある極端な分布を持つ。決して一様分布ではない。決定番号が大きいほど存在する確率大
　　>>133 少数第ｎ位の有限小数qは、場合の数としておよそ10^n通りある（正確には、少数第ｎ位がゼロの場合は除かれるので、少し減る）。だから、位数ｎが大きいほど多くの有限小数がその同値類に属している。
(引用終り)

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:32:08.10

>>249
>上記の関数をつかって代表元を選べると認めたならば
>決定番号がいかほど巨大であろうが決まるのだから
>その次の箱を選べばいいだけのこと　何の問題もない

「何の問題もない」と思い込ませるところが、このパズル（ mathoverflow では、”riddle”）のキモだろう
問題は、Probabilitiesに関することだから、確率計算に乗らないとまずいのだ。下記ご参照

スレ34 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1496568298/649
(抜粋)
下記英 mathoverflowは参考になる。要するに、時枝記事類似”Riddle”で、Alexander Pruss氏は、2013年に
”But we have no reason to think the event of guessing correctly ・・..で、非可測経由だとまずいと言っている。これ如何に？
http://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice - MathOverflow: edited Dec 9 '13 Denis
(抜粋)
answered Dec 11 '13 at 21:07 Alexander Pruss
The probabilistic reasoning depends on a conglomerability assumption, namely that given a fixed sequence u→, the probability of guessing correctly is (n-1)/n, then for a randomly selected sequence, the probability of guessing correctly is (n-1)/n.
But we have no reason to think the event of guessing correctly is measurable with respect to the probability measure induced by the random choice of sequence and index i, and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate.
(引用終り)

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:33:32.31

>>250
どうも。スレ主です。

>http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1496568298/483-486
>でわざわざ図で示してるが・・・

ご苦労さまです。図示の主は貴方ですか？下記ご参考「実数の構成に関するノート原　隆」など、昨年紹介済みですよ（コテハン入っていませんがこれ私です）
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1471085771/687
687 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/18(日) 07:05:24.54 ID:9cd3XTDs
(抜粋)
http://www2.math.kyushu-u.A^c.jp/~hara/lectures/07/realnumbers.pdf
実数の構成に関するノート原　隆　（九州大学数理学研究院）Juy 10, 2007
http://m-A^c.jp/me/index_j.phtml 図説「数学教育」更新: 2016-03-10 http://m-A^c.jp/index_j.phtml m's A^cademe
http://m-A^c.jp/me/subjects/nq/real_num/construction/cauchy/index_j.phtml
コーシー (Cauchy) 列による実数の定義数学教育 : 実数:
(引用終り)

>「確率１でdmax99＜dとなるから、予測は失敗する」
>という主張も、測度論では正当化できない

正確には通常の測度論的確率論には乗らないということですね。成功失敗とも
但し、列長さL有限モデルから出発して、L→∞を考えることは可能ですよ（これは数学ではごく普通の手法ですよ）
もちろん、”有限モデルの極限が妥当かどうか？”の検証は、別の角度からする必要はありますが

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:39:16.97

>>275 直接関係ないが、検索でヒットした面白そうな資料追加

http://www.ma.noda.tus.A^c.jp/u/sh/pdfdvi/anaSP3.pdf
解析学特論3 （4年前期）29ｐ　Lebesgue 積分の応用　（旧　解析学2）平場誠示 ('16/06/28)

下記、追加資料(確率論) 阪井章先生、前半の確率の歴史がなかなか面白い
（関数環と近似問題（「数学」の論文）は、中身はムズくて読めなかった。（＾＾）
http://isw3.naist.jp/home-ja.html
奈良先端科学技術大学院大学
http://isw3.naist.jp/IS/Curriculum/05/outline/05-introduction_to_mathematical_science_ii.html
数理科学概論Ⅱ Introduction to Mathematical Science Ⅱ 阪井章 2005
http://isw3.naist.jp/IS/Curriculum/05/outline/05-introduction_to_mathematical_science_ii/probability.pdf
追加資料(確率論) 阪井章奈良先端科学技術大学院 2006
(抜粋)

例1.2 　任意の集合- と- の部分集合の全部の集合F を考える．- の１点!0 とm > 0
に対して，
ωo ∈ A → 　μ(A) = m, 　　ωo not∈ A → 　μ(A) = 0
と定義すると，{Ω,F, μ} は測度空間である．この測度を質量m の点質量point mass
という．とくに，m = 1 のときは，ディラック測度Dirac measure という．

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/28/1/28_1_25/_article/-char/ja/
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/28/1/28_1_25/_pdf
関数環と近似問題阪井章（阪大）「数学」 Vol. 28 (1976) No. 1 P 25-34 （なお、不思議にこれの引用文献ページが抜けているようだ）

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:49:06.90

>>273
哀れな素人さん、どうも。スレ主です。

>極限値の意味さえ分っていない薄馬鹿の巣だ(笑

私も含めて、極限は、”別の意味”で、ご指摘の通りですから（＾＾
耳が痛いです（＾＾

>スレ主もその一人で、こんな簡単なことさえ分っていないから、
>議論に参加せず、コピペで話題を逸らし逃げてばかりいる(笑

まあ、ご指摘の点は、ほぼ当たっているが
１）小利口に結論を先取りして悪いが・・、お互いわかり合えないだろうと。
２）また、哀れな素人さんとは、育ってきた数学の環境が違いすぎて、使う用語が異なるので、おそらく会話にならないだろうと
３）なお”コピペ”は、大事だと思っています。先人の研究や議論をしっかり踏まえること。理系の議論は、これなくしては始まりません。勿論、１００年に一人の天才は別として。私ら鈍才は、”コピペ”必須です（＾＾

まあ、ゆっくり議論していってください

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 21:57:12.52

>>288 訂正

Ωについて：>>231にならって、決定番号dは、1 <= d < ∞、代表の数列rによる同値類の集合をT, Tの元r, としよう。
　↓
Ωについて：>>231にならって、決定番号dは、1 <= d < ∞、代表の数列rによる同値類の集合をT, Tの元s, としよう。

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 22:04:50.34

平仄を合わせておくのだった
集合の元sなら集合はS

集合をTとするなら、集合の元はtなど
まあ、前の記述が数列sだったし・・

集合Sは、引用したテキストなどで、使われていたので、
用法を変則にしたら、てきめんに間違ってしまった（＾＾

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 22:53:38.73

>>295 補足
>>極限値の意味さえ分っていない薄馬鹿の巣だ(笑
>私も含めて、極限は、”別の意味”で、ご指摘の通りですから（＾＾

"極限"について、下記を強調しておきます（＾＾

>>277 平場誠示先生 "2.3 測度空間" 解析学 1 （3年通年）37p ルベーグ積分論 ana1.pdf 419kb ('16/12/01) より
「∞ を-∞ に変えても同様である. また∞-∞ や∞/∞ などは定義しない(できない).
注意　ここで注意して欲しいのは∞=∞ = ∞× 1=∞ = ∞× 0 = 0 などという計算をしてはいけない！　
ということである. 上の無限大はあくまで, 有限な値からの極限として考えるべきものである.」

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/06/30(金) 23:20:29.08

戻る
前スレ34 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1496568298/477
477 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/06/10(土) 19:11:22.64 ID:+LqdbZS3
(抜粋)
(http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1480758460/65)
/*
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2016/12/04(日) 10:56:48.84ID:gDf64zAj
>>62 つづき
で>>47だね
”俺は時枝問題の有理数バージョン、Hart氏のgame2を以下のように変更するのである：
『1個の有理数に対応する1列をplayer2が100列に並べ直すのではなく、
100列が独立同分布（ポアソン分布）でゲーム開始時に用意されているものとする』
このようにゲーム設定を変更しても、可算無限個の数字の1つを
的中させるという問題の不可思議さは変わらないことを、まず認めよ。”
１．結論から言えば、No！的中できない。というか、箱には{0,1,...,9}なので、確率1/9だ
２．その”100列が独立同分布（ポアソン分布）”の意味が分からんが、おそらくNo！の結論には影響しないと思う
*
(引用終り)

（ポアソン分布）の意味、下記やったんやね。今頃分かったよ（＾＾
http://isw3.naist.jp/IS/Curriculum/05/outline/05-introduction_to_mathematical_science_ii/probability.pdf
追加資料(確率論) 阪井章奈良先端科学技術大学院 2006
(抜粋)
P27 第4章ベルヌーイ列

独立な試行をN 回続けて行うことを，長さN のベルヌーイ列という．１回の試行
で，事象E が起こる確率をp とする．（起こらない確率はq = 1?p ）長さN のベルヌーイ列で，E がr 回起こる確率を
b(r;N, r) 　（またはBN,p(r))
で表す．
　　Ω = {0, 1, 2, ..,N}
　F = - の部分集合全部の集合
　　P(A) = Σr∈A b(r;N, p)
とおくと，(Ω,F, P) は確率空間である．

P29
4.4 ポアソン近似
　比較的にn が大きく，p が小さく
λ= np
が適当な一定量である問題を扱う．
略
これはn が十分大きいときのb(k; n, λ/n) のポアソン分布p(k; λ) による近似である．
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2017/07/01(土) 00:45:13.02

>>288
回答どうもです。

> 以前の零集合の議論は、おそらく、零集合までは間違っていないが、その後測度論的確率を論じることはできないので、そこの部分は撤回します。

撤回ですか。了解です。

撤回した主張に突っ込むのもなんですが、少しだけコメントしておきます。

> 代表の数列rによる同値類の集合をT, Tの元s, としよう。

『代表の数列rによる同値類』とは？？？
きっと代表元rが属する同値類、と言いたいのでしょうね。
つまりT＝[r]∈R^N/～ですね。

> だから、Ω＝Tでしょ。

標本空間Ω＝Tですか。
T≠R^Nですけどいいんですか？
あなたがいいなら結構です。

この時点であなたはただひとつの類T＝[r]に属するR^Nの元たちを標本に選びました。
この問題設定は誰も考えたことがないと思います。あなたのオリジナルですね。

> 箱に”任意の実数”を入れる場合、Ω＝Tとして、これは明らかに非加算集合で、
> 事象Fとして箱の数は数直線の１点だから、σ-集合体にはならない!

これは説明になってません。例を挙げましょう。

１．Ω＝Rとすれば、明らかに非可算。
２．Fとしてボレル集合B(R)を取れば任意の点s∈Rについて{s}∈B(R)。
３．確率測度として例えば正規分布Pを取る。
このときFはσ加法族であり、確率空間(Ω, F, P)が構成可能です。

よって、あなたの論法では

> よって、測度論的確率空間は、存在しない！

は言えないです。

**１３２人目の素数さん** · 2017/07/01(土) 08:25:39.65

>>288
>代表の数列rによる同値類の集合をTとしよう。
>r,s ∈ T 　Δ（s,r）= s-r から s = Δ（s,r）+ r と表現できて、
>rは、各元で共通だから、結局、Δ（s,r）を考えれば良い
(中略)
>f(s)＝d なら Δ（s,r）= (b1，b2，b3 ，・・・,bd-1)となる
(中略)
>これ（T)は明らかに非加算集合で

箱にいれる記号の数が有限個（ｐ）なら、
明らかに可算集合ですがね

で、この場合
”有限列”Δ（s,r）のそれぞれが同じ重みをもち
かつその全体が１となるような形でTをσ-集合体と
することはできない

で、>>1氏はそこから何を否定したいのかな？
まさか99/100の計算だけを否定したいわけじゃないよね？

**１３２人目の素数さん** · 2017/07/01(土) 08:37:07.69

>>292
>>上記の関数をつかって代表元を選べると認めたならば
>>決定番号がいかほど巨大であろうが決まるのだから
>>その次の箱を選べばいいだけのこと　何の問題もない
>「何の問題もない」と思い込ませるところが、このパズルのキモだろう

決定番号がいかほど巨大であろうが、しょせん自然数です
つまり必ず次の自然数があります　>>１氏には否定しようがありません

確率以前の話ですがね

**１３２人目の素数さん** · 2017/07/01(土) 09:19:16.41

頭の固さでは工学バカと国文バカはいい勝負

**１３２人目の素数さん** · 2017/07/01(土) 09:27:23.45

1週間経って何の進歩も無いとは。。。

**１３２人目の素数さん** · 2017/07/01(土) 13:03:37.56

ま、棋士になることの難しさと東大に入ることの難しさとは
難しさの方向性が違うから、単純に比較は出来ないけどな。

**１３２人目の素数さん** · 2017/07/01(土) 13:07:40.20

棋士になる方が東大生になることより難しいという意味の難しさでは正しいけど。

**１３２人目の素数さん** · 2017/07/02(日) 02:33:50.72

>>304
一週間どこじゃなく進歩してないだろ

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/07/02(日) 07:57:58.76

>>284 訂正

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~hino/jugyoufile/AnalysisI170418.pdf
　↓
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~hino/jugyoufile/AnalysisI170622.pdf こちらが新版

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/07/02(日) 07:58:30.10

>>300-302
どうも。スレ主です。

ID:LpadDnPhさんと、ID:J95VrfaFさんと、同一人物でしょうかね？
同一人物として、扱わせて頂きます。もし、違っていれば、言って下さい

で、まず最初に回答>>288で、書き漏らしていることを追記しておきます。
回答>>288では、「まず、１つの数列における、しっぽの同値類と商集合、および代表元と決定番号を考えて、確率空間 (Ω,F, P) がどうなるかをかんがえた」と。これを追加しておきます。

次に、議論をすっきりさせるために、少し確認をさせて頂きたい
Q1.時枝記事の解法>>12-13「めでたく確率99/100で勝てる」は、確率論として正当化できるという立場ですか？ Y or N
Q2.>>276（>>287）平場誠示 ”測度とは何か？”の「1 点の長さは0 として, 区間[0, 1] の長さは1 」を認めますか？ Y or N
Q3.>>33 Sergiu Hart氏のPDF で P2の最後 ”When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win with probability 1 in game1, by choosing the xi independently and uniformly on [0, 1] ”
　（つまり、Player 2の勝つ確率は0）を認めますか？ Y or N

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/07/02(日) 08:00:47.36

>>300
さて、本題。
>> 以前の零集合の議論は、おそらく、零集合までは間違っていないが、その後測度論的確率を論じることはできないので、そこの部分は撤回します。
>撤回ですか。了解です。

ここ、その後のコメントにあるように、諸刃の剣というやつですよ。
つまり、適切な「確率空間 (Ω,F, P) が設定できず、その後測度論的確率を論じることはできない」ということを是認するなら、あなた方の議論も測度論的確率論には乗りませんよ
えーと、下記は>>244-245でしたね
「問1：P(K)＝0, P(Ω)＝1となるΩの定義を式で書いてください。
※ここでK⊂Ω, K＝{k∈N | 1≦k＜∞}である。
すなわちΩは自然数全体を含むことに注意せよ。
問2：Kが加法族Fの元でP(K)＝0ならば、Kの補集合K~もまたFの元でありP(K~)＝1である。
このことに注意して、確率が1となる事象K~を明記してください。
※事象K~⊂Ωにどのような元が含まれるのか？
ここを曖昧にせぬよう、事象K~をきちんと式で書いてください。」でしたね

Q.この点どうですか？　上記問1問2で、あなたは、適切な確率空間 (Ω,F, P)を書けますか？

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/07/02(日) 08:05:18.84

>>310 つづき

補足：
>この時点であなたはただひとつの類T＝[r]に属するR^Nの元たちを標本に選びました。
>この問題設定は誰も考えたことがないと思います。あなたのオリジナルですね。

ええ、問題に則して考えると、そうなるべきと思います。というか、この時枝記事の問題は、普通の確率論のテキストにありませんから、そこはオリジナルです
そもそも、問題に則して考える以外にないでしょ？　（貴方は別の設定ですか？）
問題の流れとして、商集合の構成→各代表元選定→問題の数列構成→問題の数列の属する商集合特定（しっぽの確認）→代表番号決定ですからね
代表番号の決定は、問題の数列 vs 代表元との比較で、しっぽの一致する位置で決まりますから。
（補足：札があって、１が１枚、２が１枚、３が１枚計３枚なら、１の確率は1/3。１が１枚、２が２枚、３が３枚計６枚なら、１の確率は1/6。札の重複がある場合と均一な場合とでは、確率計算が異なる）
普通ここ、重複がある場合という意識が、ないだろうと（錯覚その１）

> ２．Fとしてボレル集合B(R)を取れば任意の点s∈Rについて{s}∈B(R)。
> ３．確率測度として例えば正規分布Pを取る。

まず、上記>>309 Q1に記したように、平場誠示先生は、「1 点の長さは0」だと。「1 点の長さ」が、0以外の値を取り得るという主張ですか？
次に、ボレル集合B(R)のベースは、例えば、どんな確率論のテキストでも書いてあると思いますが、
例えば>>276 平場誠示先生テキストルベーグ積分論 P5 「2.2 Borel 集合体」にあるように
「X が位相空間のとき, 開集合の全体Ｏから生成されるσ-field σ(Ｏ) をBorel field と呼び, B(X) で表す」ですよ
開集合について、時枝問題においては、どうお考えですか？
最後に、正規分布は→-∞および+∞ で、０（ゼロ）に収束しますよ。
（-∞、+∞）の区間を考えたとき（＝定義される関数で）、→-∞および+∞ で、０（ゼロ）に収束しない関数は、全区間で積分すれば、発散しますよ
なので、あなたが考えている分布が、「→-∞および+∞ で、０（ゼロ）に収束」することを証明しないといけません。あなたは、そこはスルーですか？

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/07/02(日) 08:07:17.08

>>311 つづき

補足：
実数Rで、開集合を考えることにより、可算の範囲で考えることができるようになります。
過去スレ16 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1444562562/261-263 辺りが参考になるでしょう
えーと、P166 幾何学序論講義ノート佃修一琉球大学 2014 年4 月1 日 /　1.2MB http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/~tsukuda/lecturenotes/note_20140401.pdf（このリンクはまだ有効）などですね

ところで、時枝問題においては、実数R∋r で、rを箱に入れて、数列を作り、数列のしっぽで商集合を作り、決定番号dを決める。d+1以降の箱を開けて、代表列を求め、代表列のd番目の箱の数を知る。
こういう問題構成ですので、実数Rはあくまで、１点rとして非加算集合で扱うしかない。開集合を考え、位相空間として扱うことが難しい。
（実数Rは、距離空間であり、近傍系から、開集合を考えることができる。だが、開集合を箱に入れることはできない。箱に入れられるのはあくまでただ１点の数に限られる。だから、この問題では開集合は機能しない。）
だから、時枝問題をσ-fieldとして扱えない。なので、適切な確率空間 (Ω,F, P)を構成することができなかった。

但し、適切な確率空間 (Ω,F, P)を構成することができなかったけれども、「1 点の長さは0」は数学の常識として、多くの場合に成り立つと思っています。
これを認めるなら、実数R∋r で、１点rをピンポイントで的中させることは、普通確率0（ゼロ）でしょうね。よほど、特殊な条件が無ければ。

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/07/02(日) 08:08:08.62

>>301
>>>288
>箱にいれる記号の数が有限個（ｐ）なら、
>明らかに可算集合ですがね

「箱に”任意の実数”を入れる場合、Ω＝Tとして、これは明らかに非加算集合で」と>>288に書きましたよ
つまり、「箱にいれる記号の数が有限個（ｐ）」の場合とは、異なる場合の議論ですよ。この点よろしく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/07/02(日) 08:15:33.78

>>302
>決定番号がいかほど巨大であろうが、しょせん自然数です
>つまり必ず次の自然数があります　>>１氏には否定しようがありません

まったく異論はありませんよ、そこは！
繰り返しますが、決定番号k として、しっぽが仮に、数字3がずっと入っているとします。また仮に、代表元は、最初からすべて数字3が入っているとします。
問題の数列を>>12にならって
s = (s1，s2，s3 ，・・・,sk-1，sk,sk+1，3，3，3，3，・・・) としましょう
いま、決定番号がkですから、sk=sk+1=3です。（s1，s2，s3 ，・・・,sk-1は、全くの任意です）
ここで、決定番号がk+1の数列を考えると、sk not=3 となる実数を選べば良い。これは集合の濃度としては全実数に等しい。つまり、決定番号がkの数列の非加算無限倍ある
さらに、k+1,k+2,k+3,・・・と、これが非加算無限倍ずつ繰り返され増えて行く
（例えば、スケールダウンして、sk not=3 となる自然数としても可算無限倍。実数だから非可算無限倍。）
kが大きくなるほど、爆発的に増大する決定番号の分布や確率は、なかなかうまく扱えないだろうと思います

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/07/02(日) 08:24:57.50

>>314 つづき

上記を踏まえて、>>301 に戻る

>まさか99/100の計算だけを否定したいわけじゃないよね？

ここ、条件付き確率じゃないでしょうかね？ 99/100の計算は？

条件付き確率については、>>222の原隆先生確率論概論 I http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/02/pr-grad-all.pdf
P4「定義1.3.2 (条件付き確率) 確率空間(Ω,F, P) 中の事象E,F ∈ F を考える．P[F] not= 0 の場合に，
P[E | F ] ≡ P[E ∩ F]/P[F] 　　　(1.3.2)
をF の下でE が起こる条件付き確率と言う．」とあります

つまり、ある決定番号100個の組み（d1,d2,d3,・・・,di,・・・,d100）に対して、max（d1,d2,d3,・・・,,・・・,d100）>= di の確率が99/100だと
だから、「ある決定番号100個の組み（d1,d2,d3,・・・,di,・・・,d100）」となる確率を計算しなければ、いけない
（ここで、max（d1,d2,d3,・・・,,・・・,d100）は、（d1,d2,d3,・・・,,・・・,d100）の最大値を取る関数とする）
普通ここは、条件付き確率という意識が、ないだろうなと（錯覚その２）

あるいは、無意識で証明なしに、「任意の決定番号100個の組み（d1,d2,d3,・・・,di,・・・,d100）に対して、かならず、max（d1,d2,d3,・・・,,・・・,d100）>= di の確率が99/100だ」と（錯覚その３）
で、実は、このレスの最初（>>314）に論じたように、決定番号kがいかほど巨大であろうが、必ず次の決定番号k+1があり、後者の場合の数が非加算無限倍多い
で、”非加算無限倍多い”というところが、σ-fieldと相性が悪いように思う

そして、これが無限に繰り返される。
ここも、すーと流すと「これで良いのだ」錯覚するところだ。（錯覚その４）

つづく

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/07/02(日) 08:26:15.24

sage

**現代数学の系譜古典ガロア理論を読む** · 2017/07/02(日) 08:26:23.72

>>315 つづき

それから、普通は確率論での条件付き確率は、「P[F] not= 0 の場合」という制約もついている
この場合、スルーしそうですが、良く考えると、P[F] = 0 でしょうね。（錯覚その５）

当たるはずがない（「実数Rの中から任意に選ばれた、箱の中の数の的中確率は、ただ１点の測度だから０以外の値は取れない」）のに、当たるように見える。
その裏に、５つの錯覚その１～５があると思う

ここらは何か数学的な工夫で、処理できるようになるかも知れない。そこは、以前￥さんが言っていたとおりです。可能性として、σ-fieldから離れた確率論がなにか考えられるかもしれない。
なお、繰り返すが、「1 点の長さは0」は数学の常識として、多くの場合に成り立つと思っています。
これを認めるなら、実数R∋r で、１点rをピンポイントで的中させることは、普通確率0（ゼロ）でしょうね。よほど、特殊な条件が無ければ。

以上

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/07/02(日) 08:53:31.64

まあ個人的な印象としては、確率論は何かブレークスルーがないと、次が見えないと
いう印象が強くしますね。素人考えですが、例えばDeep learningとかで収束定理み
たいなものが成立するのかとか、あるいはEvolutional game theoryではどうかとか、
そういうものはどうなんですかね？もう既にそういうのがあるんだったらいいけど。
例えば無限時間の学習をすれば、その「解の将棋士」はユニークかとか、或いは無限
時間の進化をさせれば、その先にある生物種は「唯一つに決まる」のかどうか。これ
はちょっと嘘っぽいのかも知れないが、でももし成立するならば、例えば角谷の不動
点定理で存在証明が出来るのか、とか。

収束定理というか極限定理というか、そういう「何がしかの条件」があれば『大数の
法則が成り立つ』みたいな。要はコルモゴロフがバシュリエの仕事とブラウン運動を
参考にして、それから彼の公理系が出来上がった、みたいな。

￥

現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む35 [無断転載禁止]©2ch.net

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