【あさひ】高校数学の質問スレPart397 [無断転載禁止]©2ch.net
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a logb c=logb c^a
公式です 覚えましょう 15本のくじの中に何本かの当たりくじが入っている。この中から同時に2本引くとき、
2本ともはずれる確率が 22/35 であるという。当たりくじは何本あるか。
答案:
当たりくじの本数を n 本とすると、 n は整数で、条件から
1 ≦ n ≦ 13 … (1)
はずれくじの本数は 15 - n 本である。15本から2本を取り出す組合せは
Binomial(15, 2) 通り
このうち、2本ともはずれる場合は、
Binomial(15-n, 2) 通り
よって、条件から
Binomial(15-n, 2) / Binomial(15, 2) = 22/35
これを解いて、 n = 3 or 26
(1) を満たす n の値は n = 3
したがって、当たりくじの本数は
3本 >>660
CやPを用いて一発で表す方法は思い付かないし、>>664が速い 1 ≦ n ≦ 13 … (1)
↑この条件ってわざわざ書く必要はないですよね?
26 > 15 だから n = 26 は不適。
n = 3 のとき、
Binomial(15-n, 2) は定義される。
よって、 n = 3 は解。 >>661
それはむしろ硬貨を12枚とも区別してる?出す順番は区別してないが >>666
以下、(a,b,c)は列ベクトル
AB↑=(2,2,2)
直線AB上の点Hは(x,y,z)=(2,1,0)+k(2,2,2)と表せる
PH≠0、AB≠0より
PH⊥L
⇔PH↑・AB↑=0
⇔(2+2k-1,1+2k-2,0+2k-3)・(2,2,2)=0
⇔(2k+1)*2+(2k-1)*2+(2k-3)*2=0
⇔k=1/2
H(3,2,1) >>670
W|A様曰く
(x^2-(xy-1))(y^2+(xy-1)) >>678
x-2=-9K,y+1=5Kとおいたとする
(x,y)=(-9K+2,5K-1)で5x+9y=-45K+10+45K-9=1
具体例
…
K=-2のとき(x,y)=(20,-11)で5x+9y=100-99=1
K=-1のとき(x,y)=(11,-6)で5x+9y=55-54=1
K=0のとき(x,y)=(2,-1)で5x+9y=10-9=1
K=1のとき(x,y)=(-7,4)で5x+9y=-35+36=1
K=2のとき(x,y)=(-16,9)で5x+9y=-80+81=1
…
と、ちゃんと元の式5x+9y=1を満たしているぞ
そもそもK=-kとすれば、x-2=9k,y+1=-5kとおいたのと同じことになる
>>679のようなbの正負での場合分けは不要
>>679の後半部分の疑問については>>680を参照 >>682
[京大2007理乙-1(1)]
3項間漸化式を立てる
n段の階段の昇り方をa_n通りとすると
a_1=1,a_2=2,a_3=3
n≧4で
i) 最初に1段昇ったとき
残りn-1段の昇り方はa_(n-1)通り
ii) 最初に2段昇ったとき
条件より次の1歩は必ず1段昇る
残りn-3段の昇り方はa_(n-3)通り
よってa_n=a_(n-1)+a_(n-3)
a_4=a_3+a_1=3+1=4
a_5=a_4+a_2=4+2=6
a_6=a_5+a_3=6+3=9
…
a_15=a_14+a_12=189+88=277
277通り
「1歩で2段昇ることは連続しない」という条件がなければ
(a_0=1,)a_1=1,a_(n-2)=2
a_n=a_(n-1)+a_(n-2)
でありフィボナッチ数列になる
階段の昇り方の問題は青チャにも載ってたはず >>687
その意見はとても正しい
外接多角形を使って評価するときは、面積で比較するのが答案的には無難 >>756
面積だろうが長さだろうが、数学的には厳密ではない議論ですよね?
どちらが直観的により受け入れられるかという問題になるかと思います。
なぜ、面積のほうが受け入れやすいのでしょうか? 図形Aに含まれる図形Bに関して
Bの周長がAの周長より大きい例は用意に思い付くが
Bの面積がAの面積より大きい例は思い付かないから
よって感覚的に受け入れやすい >>730
-1/((x^a)+1)と1/((x^-a)+1)の差が1なのは、式の見た目からは気付きにくいだろう >>743
p=log[b](c)とおくと、対数関数の定義より
b^p=c
ところで、指数関数の性質より
b^(ap)=(b^p)^a=c^a
よって、対数関数の定義より
ap=log[b](c^a)
したがって
alog[b](c)=log[b](c^a)
特にa=-1のとき
-log[b](c)=log[b](1/c)
対数関数の重要な性質だから、一度導いたら暗記すべき 数字 1 が書かれたカードと数字 2 が書かれたカードが合わせて 7 枚ある。この中から
同時に 3 枚取り出すとき、書かれたカードの数字の和が偶数になる確率が 4 / 7 である
という。数字 1 のカードは何枚あるか。
こういう組合せとか確率の問題っていくらでも作れますし、面倒な問題も作れますよね。
でも、ただ面倒なだけでいい問題とは言えないですよね。 6^nにおいて10桁になるnを求めなさい、という問題で
log10 6^n
nlog10 6
n(log10 2+log10 3)
n(0.3010+0.4771)
9≦0.7781n<10
と考えるのは遠回りで頭悪いですか? >>474
準備
(p,p^2),(q,q^2)を通る直線の式は
y=((q^2-p^2)/(p-q))(x-p)+p^2=(p+q)x-pq.
y=rx^2+sx+tとy=ux+vがx=α,βで交わるとする。
rα^2+sα+t=uα+v, rβ^2+sβ+t=uβ+v.
∫(ux+v-rx^2-sx-t)dx
=-(1/3)rx^3+(1/2)(u-s)x^2+(v-t)x+C
より
∫[α,β](ux+v-rx^2-sx-t)dx
=(1/6)[-2r(β^3-α^3)+3(u-s)(β^2-α^2)+6(v-t)(β-α)]
=(1/6)(β-α)[-2r(β^2+βα+α^2)+3(u-s)(β+α)+6(v-t)]
=(1/6)(β-α)[-2r(β^2+βα+α^2)+3uβ+3uα-3sβ-3sα+6v-6t]
=(1/6)(β-α)[-2r(β^2+βα+α^2)+3(uβ+v)+3(uα+v)-3sβ-3sα-6t]
=(1/6)(β-α)[-2r(β^2+βα+α^2)+3(rβ^2+sβ+t)+3(rα^2+sα+t)-3sβ-3sα-6t]
=(1/6)(β-α)[rβ^2+rα^2-2rβα]
=(r/6)(β-α)^3.
これはいわゆる「1/6公式」である。
これの絶対値は、放物線と直線で囲まれる部分の面積を表している。 >>474
a<bとして一般性を失わない。
A(a,a^2),B(b,b^2),C(c,c^2)=((a+b)/2,((a+b)/2)^2)とする。
直線AB:y=(a+b)x-abは、C'((a+b)/2,(a^2+b^2)/2)を通る。
A''(a,0),B''(b,0),C''(c,0)とする。
解法1(三角形の面積(>>477))
△ACB
=△ACC'+△BC'C
=(1/2)((a^2+b^2)/2-((a+b)/2)^2)(c-a)
+(1/2)((a^2+b^2)/2-((a+b)/2)^2)(b-c)
=(1/2)((a^2+b^2)/2-((a+b)/2)^2)(b-a)
=(1/2)((a^2)/4+(b^2)/4-ab/2)(b-a)
=(1/8)(b-a)^3.
解法2(台形の面積(>>478))
△ACB
=台形AA''B''B-台形AA''C''C-台形CC''B''B
=(1/2)(a^2+b^2)(b-a)
-(1/2)(a^2+c^2)(c-a)
-(1/2)(c^2+b^2)(b-c)
=(1/2)((a^2)b-a^3+b^3-(b^2)a-(a^2)c+a^3-c^3+(c^2)a-(c^2)b+c^3-b^3+(b^2)c)
=(1/2)((a^2)b-(b^2)a-(a^2)c+(c^2)a-(c^2)b+(b^2)c)
=(1/2)(b-a)(c-b)(a-c)
=(1/2)(b-a)((a+b)/2-b)(a-(a+b)/2)
=(1/2)(b-a)((a-b)/2)((a-b)/2)
=(1/8)(b-a)^3.
解法3(積分)
△ACB
=(直線ABと放物線y=x^2で囲まれる部分の面積)
-(直線ACと放物線y=x^2で囲まれる部分の面積)
-(直線CBと放物線y=x^2で囲まれる部分の面積)
=(1/6)(b-a)^3-(1/6)(c-a)^3-(1/6)(b-c)^3
=(1/6)(b-a)^3-(1/6)((a+b)/2-a)^3-(1/6)(b-(a+b)/2)^3
=(1/6)(b-a)^3-(1/6)((b-a)/2)^3-(1/6)((b-a)/2)^3
=(1/6-1/48-1/48)(b-a)^3
=(1/8)(b-a)^3. >>695
ssstttiiacから4文字選んで並べる。
重複を許す場合
10*9*8*7=5040(通り).
重複を許さない場合
(ssst)(sssi)(sssa)(sssc)
(sstt)(ssti)(ssta)(sstc)(ssii)(ssia)(ssic)(ssac)
(sttt)(stti)(stta)(sttc)(stii)(stia)(stic)(stac)(siia)(siic)(siac)
(ttti)(ttta)(tttc)(ttii)(ttia)(ttic)(ttac)(tiia)(tiic)(tiac)(iiac).
よって
4+4+4+4
+6+12+12+12+6+12+12+12
+4+12+12+12+12+24+24+24+12+12+24
+4+4+4+6+12+12+12+12+12+24+12
=386(通り).
別解
重複を許さない場合
(wwww)(並べ方は1通り) (w)の選び方は無し。
(wwwx)(並べ方は4通り) (w,x)の選び方は4+4で8通り。
(wwxx)(並べ方は6通り) (w,x)の選び方は3通り。
(wwxy)(並べ方は12通り) (w,x,y)の選び方は6+6+6で18通り。
(wxyz)(並べ方は24通り) (w,x,y,z)の選び方は5通り。
よって
1*0+4*8+6*3+12*18+24*5=386(通り). >>767
そうやって解く問題だから、その流れがよい。 十分大きいxについて下記が成り立つとする。
1. f(x)は微分可能
2. 1 < f(x)
3. xf'(x) - f(x)\log{f(x)} < 0
4. 1<aのとき、f(x) < a^x
このとき、lim_{x→∞}{f(x)}^{1/x} = 1となることを示せ。
高校数学のみで厳密な証明が与えられる。
{f(x)}^{0} = 1だから、lim_{x→∞}{f(x)}^{1/x} = 1とかやめてくれ。
頭がいいなら、解いてくれ。 >>694
1+t>1よりlog(1+t)>0だからlog(log(1+t))と出来るのを利用する。
f(s)=log((t^s)/s)-log(log(1+t))=slogt-logs-log(log(1+t))とおく。
これをsで微分すると
f'(s)=logt-1/s.
i) 0<t<eでlogt<1のとき
0<s≦1の範囲でf'(s)<0でありf(s)はs=1で最小値をとる。
f(1)
=1logt-log1-log(log(1+t))
=logt-log(log(1+t))
=log(t/log(1+t)).
ii) t≧eでlogt≧1のとき
0<s≦1の範囲でf(s)はs=1/logtで極小値をとる。
f(1/logt)
=(1/logt)(logt)-log(1/logt)-log(log(1+t))
=1+log(logt)-log(log(1+t))
=1+log((logt)/log(1+t)).
いずれも0より大きいことは簡単に示せるんじゃないか?
よって、t>0のとき、0<s≦1の範囲でf(s)>0.
したがって、t>0, 0<s≦1のとき
log((t^s)/s)-log(log(1+t))>0
⇔log(log(1+t))<log((t^s)/s)
⇔log(1+t)<(t^s)/s. ■ >>773
十分大きいxについて
f(x)^(1/x)<(a^x)^(1/x)=a
lim[x→+∞]a=aより
lim[x→+∞](f(x)^(1/x))は上から押さえられる。 ■ (n^2)-1/4≧0
⇔n≦-1/2 ∨ n≧1/2.
0≦((√3)/2)(√((n^2)-1/4))-1/4
⇔1/4≦((√3)/2)(√((n^2)-1/4))
⇔(√3)/6≦√((n^2)-1/4)
⇔1/12≦(n^2)-1/4 (∵両辺が正)
⇔0≦(n^2)-1/3
⇔n≦-(√3)/3 ∨ n≧(√3)/3.
((√3)/2)(√((n^2)-1/4))-1/4≦1
⇔((√3)/2)(√((n^2)-1/4))≦5/4
⇔√((n^2)-1/4)≦(5√3)/6
⇔(n^2)-1/4≦25/12
⇔(n^2)-7/3≦0
⇔-(√21)/3≦n≦(√21)/3.
以上の共通部分は
-(√21)/3≦n≦-(√3)/3, (√3)/3≦n≦(√21)/3.
最初にnが正というような条件があると、画像のような答えになる。 安価忘れ
>>688
(n^2)-1/4≧0
⇔n≦-1/2 ∨ n≧1/2.
0≦((√3)/2)(√((n^2)-1/4))-1/4
⇔1/4≦((√3)/2)(√((n^2)-1/4))
⇔(√3)/6≦√((n^2)-1/4)
⇔1/12≦(n^2)-1/4 (∵両辺が正)
⇔0≦(n^2)-1/3
⇔n≦-(√3)/3 ∨ n≧(√3)/3.
((√3)/2)(√((n^2)-1/4))-1/4≦1
⇔((√3)/2)(√((n^2)-1/4))≦5/4
⇔√((n^2)-1/4)≦(5√3)/6
⇔(n^2)-1/4≦25/12 (∵両辺が正)
⇔(n^2)-7/3≦0
⇔-(√21)/3≦n≦(√21)/3.
以上の共通部分は
-(√21)/3≦n≦-(√3)/3, (√3)/3≦n≦(√21)/3.
最初にnが正というような条件があると、画像のような答えになる。 >>774
694の者です
i) 0<t<eのときt/log(1+t)>0
ii) t≧eのとき(logt)/log(1+t)>1/e
は問題の元の不等式とほぼ同じにみえますがこのあとどうすると想定されてるんでしょうか? >>778
それ以降を実際に示したわけじゃない
1変数でやりやすくなったと思ったが、やっぱりダメ? >>775
1 < f(x)^{n+1} < aとなることはすぐわかるが、
a>1なので、lim_{x→∞} 1 = 1 <= lim_{x→∞} f(x)^{n+1} <= lim_{x→∞} a = a
であるから、lim_{x→∞} f(x)^{n+1}は1からa(a>1)の間に収束するか振動。
これは、aをどれだけ小さくしてもこうなる。
不完全な証明。 >>773
横レスすまソ
3. xf'(x) - f(x)\log{f(x)} < 0
この斜めせん何?
第2項は
log f(x) / f(x)
でいいの? >>517
次から物理板の質問スレでやろう
(1)
水平右向き、鉛直上向きをそれぞれ正とするように座標をとる。
ロープにはたらく力は
「ハンモックからロープにはたらく力」F_h=(0kgf,-100kgf)
「左のフックからロープにはたらく力」F_l=(a,b)
「右のフックからロープにはたらく力」F_r=(c,d)
ロープは静止しているから、これらの和は0である。
つりあいの式は
0kgf+a+c=0⇔a=-c
-100kgf+b+d=0
また、作用反作用の法則より、F_lと逆向きに「ロープから左のフックにはたらく力」すなわち張力が作用しているが、
この張力はロープの向きであるため、F_lはロープと反対の向きである。
よって、b/a=2/(-1.8)
同様に、d/c=2/1.8
a=-cよりb=d
つりあいの式より、b=d=50kgf
よって、a=-c=-45kgf
以上より
|F_l|=√(a^2+b^2)=√(-45^2+50^2)kgf=67kgf
|F_r|=√(c^2+d^2)=√(45^2+50^2)kgf=67kgf
なお、ロープが宙に浮いているという事実は重要だが、50cmという数値は使わなかった。
(2)
定滑車は力の向きを変えるだけだから、ロープの角度や人の位置に関わらず100kgfの力で引かなければならない。
「ロープから1つの滑車にはたらく力」は、ロープの2つの方向に100kgfずつである(合力の向きはロープがなす角の2等分線、大きさは図の場合だと100kgf超)。
もちろん逆向きに「壁から滑車にはたらく力」が存在してつりあっているため、滑車は静止している。 バックスラッシュが円記号で表示されるのほんとやめてほしいね 関数を微分するとはどういう操作なのですか?
なぜx^3が3x^2になるのですか? 赤いチャート式を読んでいます。
以下の問題の解答がひどすぎます。
xy 平面上の 16 個の点の集合 {(x, y) | x, y ∈ {0, 1, 2, 3}} を考える。
この集合から異なる3点を無作為に選ぶ試行において、事象
「選んだ3点が三角形の頂点となり、その三角形の面積は 9/2 である」
の起こる確率を求めよ。 想定される普通の解答は以下のようなものだと思います。
解答:
明らかに、
「選んだ3点が三角形の頂点となり、その三角形の面積は 9/2 である」
である場合、その三角形の頂点のうち2点は、
(0, 0), (0, 3), (3, 0), (3, 3)
の中の異なる2点である。
「選んだ3点が三角形の頂点となり、その三角形の面積は 9/2 である」
となるような3点の組合せの個数は、数えると 8 + 4 = 12 となる。
よって、答えは、 12 / Binomial(16, 3) = 3 / 140 である。 想定される普通の解答は以下のようなものだと思います。
解答:
明らかに、
「選んだ3点が三角形の頂点となり、その三角形の面積は 9/2 である」
である場合、その三角形の頂点のうち2点は、
(0, 0), (0, 3)
(0, 3), (3, 3)
(3, 3), (3, 0)
(3, 0), (0, 0)
のいずれかである。
「選んだ3点が三角形の頂点となり、その三角形の面積は 9/2 である」
となるような3点の組合せの個数は、数えると 8 + 4 = 12 となる。
よって、答えは、 12 / Binomial(16, 3) = 3 / 140 である。 なぜ二次関数f(x)を微分したf'(x)がその関数の接線になるんですか? >>791
説明できないのなら黙っててくださいね。
私の質問に意味はありますが、あなたの質問には何の意味もないので。 >>793
あなたの質問こそ何の意味もありませんので書き込まないでくださいね。 >>793
f(x+a)=f(x)+Aa+o(a)
と線形近似することを考えます
A=[f(x+a)-f(x)-o(a)]/a→f'(x) (a→0)
ですから
f(x+a)=f(x)+f'(x)a+o(a)となり、主要部を考えれば
df=f'(x)dxと書くことができますね >>790
(df(x))/(dx)
≡lim[h→±0](f(x+h)-f(x))/((x+h)-x)
これは(存在すれば)まさにxにおけるf(x)の傾き
>>785
(d(x^3))/(dx)
=lim[h→±0]((x+h)^3-x^3)/((x+h)-x)
=lim[h→±0](3hx^2+3h^2x+h^3)/h
=lim[h→±0](3x^2+3hx+h^2)
=3x^2 >>789
明らかに〜
の部分の厳密な証明が難しいんじゃないかなあ 3点順にとる場合72通りね。
普通に3点選ぶ場合は12通り。 >>795
なんで定数関数cの導関数は0になるんですか?? >>802
∀ε>0 ∃δ>0 s.t. ∀x |x-a|→|(c-c)/(x-a)-0|<εだからです >>802
あなたの質問こそ何の意味もありませんので書き込まないでくださいね。 杉浦光夫著『解析入門I』を読んでいます。
解析入門Iのp.139定理6.10の証明ですが、
「従って f^(-1) は y_0 で連続である。」
とありますが、なぜ、そう言えるのでしょうか? x2乗=x
両辺をxで微分すれば
2x=1
どうですか >>809
これおかしくね?
x=1/2が元の式で成り立たんぞ [1]の結果で○=a+b、△=-b、という部分が、なぜそうなるのかさっぱりわかりません
どういうことなのか教えて下さい
https://i.imgur.com/AqeoIz5.jpg >>816
|a+b|≦|a|+|b| は(1)で証明されている。
つまり、文字を換えて 任意の実数x、yについて|x+y|≦|x|+|y| としてもこの不等式は正しい。
そこで x=a+b、y=-b とすると
|a|=|a+b-b|=|x+y|≦|x|+|y|=|a+b|+|-b|=|a+b|+|b| ゆえ、 |a|-|b|≦|a+b| ab<0のとき、|ab|=-ab>ab
ab=0のとき、|ab|=ab
ab>0のとき、|ab|=ab
よって|ab|≧ab
等号成立は(a=0)∨(b=0)∨(a>0∧b>0)∨(a<0∧b<0)
は示した方がいいかもね 1-((97/100)^3)
上の式をわかりやすく簡単に解く方法を教えてください
1. 大人しく97^3を計算する
2. a^3-b^3を使う
3. 97を(100-3)と置き換えて(a-b)^3を使う
4. もっといい方法がある >>821
皮肉ではなく、全部実際に試してみたらいいですよ。やってみるのが一番です。 その数式グーグルにぶち込んで検索するのが一番ですね >>817
やっとこれの意味がわかりました
ありがとうございます 方針1
(与式)
=1-912673/1000000=87327/1000000
方針2
(与式)
=(1-97/100)(1+97/100+9409/10000)
=(3/100)(29109/10000)
=87327/1000000
方針3
(与式)
=1-(1000000-3*10000*3+3*100*9-27)/1000000
=1-1+90000/1000000-2700/1000000+27/1000000
=87327/1000000
3かなあ >>822,825
>821です。ありがとうございます。
もしかしたら魔法のような簡単な方法があるのかもと期待したのですが、
そんなムシのいい話はないですよねw
3次の公式?展開式?を使って頑張ります!
お礼遅くなってすいません。ありがとうございました。 清宮俊雄先生の御尊顔ってどこかで見れるサイトはありませんか。
もしかして、伝説だけしか残ってない清宮先生って実は実在していない架空の人物とかじゃないでしょうか。 因数分解してるだけだろ。
バカのくせに背伸びした問題集やらんでいいから
チャートでもやっとけ。 >>834
なにが「ありがとう」なんだよ
テメーは>>830で「式変形がなんでこうなるのかがわかりません」て書いてるだろうがボケ
それに対して>>833は式変形がなんでこうなるのか答えてるのか?あ?糞が。
>>833が言ってるのは「式変形がなんでこうなるのか」じゃなく「なんでこんな式変形をするか」だろークズが。
「なんでこんな式変形をするか」はテメー自身がすでに>>830で「符号を調べるため」と書いてるだろうが。馬鹿が。
てめーの疑問の「式変形がなんでこうなるのか」に対して答えるのは>>831の「因数分解」だろうがボケ猿。
大概にしとけよ。バカのアホのクソのゴミの無能の役立たずのひきこもりのガキが。 こっわw
なんかごめん
もう来ないので許してください >>835
ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ
わからないんですか? 人は自分が嫌がる悪口を相手にも言うらしいので
835氏はバカのアホの(以下略 独立試行、反復試行の確率というのがあります。
これらの確率はすべて、
事象 A の起こる場合の数 / 起こりうるすべての場合の数
で計算できます。
なぜ各試行の確率の積でわざわざ計算するのでしょうか?
同じことですよね? ダイスの確率の求め方を教えて下さい。
4つ降って1.1.2.Xが出る確率はどう求めますか? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています