面白い問題おしえて～な 26問目

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 00:21:10.33

6 · 2018/03/03(土) 23:54:29.55

>>6の正解

θ=2π/nとする。

(2)
単位円に内接する正n角形の面積は(n/2)sinθ、半周長は(n/2)(√(2-2cosθ))
(1)より
(n/2)sinθ<(n/2)(√(2-2cosθ))
よって、πを下から抑えるときは周長を用いた方がよい。

ちなみに
(n/2)(√(2-2cosθ))=((2n)/2)sin(2π/(2n))
より
(単位円に内接する正2n角形の面積)=(単位円に内接する正n角形の半周長)
である。
面積で抑えようとするのは効率が悪い。

(3)
単位円に外接する正n角形の一辺の長さをaとおけば、面積も半周長もna/2であり等しい。
よって、πを上から抑えるときはどちらを用いても変わりはない。

実際に計算すると
na/2=n√((1-cosθ)/(1+cosθ))=n(1-cosθ)/(sinθ)=n(sinθ)/(1+cosθ)

6 · 2018/03/03(土) 23:55:21.58

【参考】
単位円について
(内接正n角形の面積) < (内接正n角形の半周長) < π < (外接正n角形の面積,半周長)
の一覧

n=3
(3/4)√3 < (3/2)√3 < π < 3√3

n=4
2 < 2√2 < π < 4

n=5
(5/8)(√2)√(5+√5) < (5/4)(√2)√(5-√5) < π < 5√(5-2√5)

n=6
(3/2)√3 < 3 < π < 2√3

n=8
2√2 < 4√(2-√2) < π < 8(-1+√2)

n=10
(5/4)(√2)√(5-√5) < (5/2)(-1+√5) < π < 2(√5)√(5-2√5)

n=12
3 < 3(√2)(-1+√3) < π < 12(2-√3)

n=16
4√(2-√2) < 8√(2-√(2+√2)) < π < 8(√2)(√(2-√2))(2-√(2-√2))

n=20
(5/2)(-1+√5) < (5/2)(√2)(1+(√5)-(√2)√(5-√5)) < π < 5(1+√5)(4-(√2)√(5+√5))

n=24
3(√2)(-1+√3) < 6(√2)√(4-(√2)-√6) < π < 12(1+√3)(-1-(√3)+2√2)

(内接正16角形の半周長)のみ3重根号を用いている。

n=24の不等式を用いてπを評価すると
3.1326… < π < 3.1596…
である。