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【あさひ】高校数学の質問スレPart397 [無断転載禁止]©2ch.net
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0001１３２人目の素数さん
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2016/03/22(火) 11:56:35.33ID:H6VvUp2+
次スレ
0675１３２人目の素数さん
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2018/07/06(金) 17:36:35.27ID:cq6SBV8m
0 から 9 までの数字を使って4桁の暗証番号 abcd を作る。
abcd は以下の条件を満たさなければならない。
何通りの暗証番号を作れるか。

(1)
#{a, b, c, d} = 4 である。

(2)
a - b ≡ 1 (mod 10) でない。
b - c ≡ 1 (mod 10) でない。
c - d ≡ 1 (mod 10) でない。
d - a ≡ 1 (mod 10) でない。
b - a ≡ 1 (mod 10) でない。
c - b ≡ 1 (mod 10) でない。
d - c ≡ 1 (mod 10) でない。
a - d ≡ 1 (mod 10) でない。
0676１３２人目の素数さん
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2018/07/06(金) 22:50:12.17ID:cq6SBV8m
>>675

あれ？そんなに難しいですか？この問題？
0677１３２人目の素数さん
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2018/07/08(日) 07:14:11.96ID:+SQHaCed
問題さえ解ければ良いの精神でセンター数II+B、9割取れますか？
定理の証明を読み飛ばして、定理を使うだけだとヤバイですか？
0678１３２人目の素数さん
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2018/07/10(火) 10:29:34.20ID:2RfxZ1jC
1次不定方程式で納得のいかないことがあります（2）の式の

5(x-2)+9(y+1)=0から整数解を求める際に

x-2=9kだと限定されるのはなぜですか？

それぞれ2つの項の和によって0を作るためには
片方が正、もう片方が負の数になることはわかります

この問題の答えはx-2=9k, y+1=-5kですが、逆に
x-2=-9k, y+1=5k

じゃダメなんだろうか、と思って計算して与式に代入したら1ではなく-19と全然違う値になったので
ダメなことはわかりました

しかしなぜダメなのかがわかりません
0679１３２人目の素数さん
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2018/07/10(火) 10:37:15.92ID:ea/ja8gQ
画像を忘れました
https://i.imgur.com/SD8h7k7.png

与式から
a(x-p)+b(y-q)=0の形まで求めて
b>0のときはx=bk+p, b<0のときはx=-bk+p...ということさえ覚えていれば
この手の問題は解けますが

どうしても、5(x-2)+9(y+1)=0などの式において
x-2=9kとなるのが、腑に落ちないというか、感覚的に、しっくりこないのです
どういう説明が可能ですか？
0680１３２人目の素数さん
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2018/07/10(火) 10:44:10.54ID:mVxio/MZ
移項しても納得できない？
5(2-x)=9(y+1)
5と9は互いに素だから 2-x が9の倍数になるしかない
0681１３２人目の素数さん
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2018/07/10(火) 10:58:20.76ID:mVxio/MZ
＞＞x-2=-9k, y+1=5k
＞＞
＞＞じゃダメなんだろうか、と思って計算して与式に代入したら1ではなく-19と全然違う値になったので
＞＞ダメなことはわかりました

多分計算ミスしてる　このおき方でも問題ない
0682１３２人目の素数さん
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2018/07/10(火) 12:06:49.16ID:xp4zAh07
1歩で1段まだは2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。
15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。

この問題って動的計画法で解く問題ですね。

アルゴリズム的な問題も出題されるんですね。
0684１３２人目の素数さん
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2018/07/10(火) 12:24:08.10ID:7O7Q0+gE
なにそれっ
0685１３２人目の素数さん
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2018/07/12(木) 12:07:35.15ID:2D5qKHUs
n を自然数とする。正 6*n 角形の異なる3頂点を結んで三角形を作る。
鈍角三角形はいくつできるか？

解答：

例えば、点 A_1 と {A_2, …, A_n, B_1, …, B_n, C_1, …, C_n} の 3*n-1 個の点の中から
2点を選んで作られる鈍角三角形の個数は Binomial(3*n-1, 2) 個。このような集合と
点のとり方は 6*n 通りあるから、求める個数は、 Binomial(3*n-1, 2) * 6 * n 個。



↑は赤いチャート式に載っている問題とその解答です。
この解答で満点をもらえるのでしょうか？

何が言いたいのかは分かるのですが、点 A_i, B_i, C_i がどのように配置されているか
など全く説明がありません。
0686１３２人目の素数さん
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2018/07/12(木) 13:24:39.07ID:KOhJ2Zj4
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0687１３２人目の素数さん
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2018/07/13(金) 15:27:20.18ID:dWai5ihd
円周率の多角形近似で
円周長が外接多角形周長で押さえられるって何で言えるの？面積じゃないと無理じゃね？
0691１３２人目の素数さん
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2018/07/14(土) 05:28:53.09ID:cD5eYwqb
これほどまでの複雑な計算がソフトでできるの？！
0692１３２人目の素数さん
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2018/07/16(月) 09:18:29.38ID:wABLI2CW
cosθ=-1/2などと値がわかってる時に
ラジアンを一瞬で求める方法を教えてください
0693１３２人目の素数さん
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2018/07/16(月) 09:55:49.37ID:YEpohRsI
単位円を思い浮かべ、有名角に対する円周上の各点の座標を暗記しろ。
0694１３２人目の素数さん
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2018/07/16(月) 11:01:48.62ID:TK0dZODU
実数sとtがt>0,0<s<1のとき
log(1+t)≦(t^s)/s
を示したいです
愚直にtで微分して最小値を評価する方法ではできたのですが
わりと面倒くさかったのでもっと楽な方法ありませんか
0695１３２人目の素数さん
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2018/07/17(火) 20:41:32.58ID:MuZI6MUv
赤いチャート式を読んでいます。

以下の問題が載っていますが、ひどい問題ですね。
重複を許すのか許さないのかが書いてありません。

「
単語 statistics がある。

この単語から任意の4文字を取って作られる順列の数を求めよ。
」
0697１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/17(火) 20:50:46.58ID:GYOQH8mP
因数分解のたすき掛けが全く分かりません
解説見ても、x以外に何故abとかa+bが出てくるのでしょうか？
0698１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/17(火) 21:05:00.96ID:BRgc1w3O
そのレベルになると、掲示板で教えるのは無理なので学校の先生に教えてもらってください
0699１３２人目の素数さん
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2018/07/17(火) 21:16:41.28ID:MuZI6MUv
>>696

重複を許さない任意の4文字なのか
重複を許した任意の4文字なのか

が問題文を読んでも分かりません。
0701１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/17(火) 21:48:23.16ID:MuZI6MUv
どう任意にとるかが書かれていないためです。
0704１３２人目の素数さん
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2018/07/17(火) 22:07:35.37ID:MuZI6MUv
>>703

重複を許さないと、よりつまらない問題になってしまうので、そうでしょうね。
0705１３２人目の素数さん
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2018/07/17(火) 22:07:40.76ID:l55P1S3U
(∩ﾟ∀ﾟ)∩age
0707１３２人目の素数さん
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2018/07/18(水) 00:43:14.12ID:gHK0w7uV
>>697
多分、あなたは「分配則」についても、それが何か分らないのではないでしょうか。
0708１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/18(水) 13:48:10.23ID:BSC5gXR6
y=ax^2+bx+cとy=f(x)ってどう違うのですか？
先生は高圧的で聞きにくいです
0709１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/18(水) 14:53:13.82ID:r8Q8PNlT
なら友達にきけばいいよ
0710１３２人目の素数さん
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2018/07/18(水) 16:32:23.24ID:RbLGIfX8
f(x)は区間[0,1]上で非負連続で、ある a (0<a<1) で f(a)>0 を満たす。
このとき∫_[0,1] f(x) dx >0 は明らかな希ガスるんですが
どのように示せるですうか。
0711１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/18(水) 16:50:32.51ID:bnAtVhhu
>>710
受験数学の問題でそれ使いたくなったら明らかと書いても減点される事はない。
でもちゃんと受験数学の範囲内で証明できるから証明をマスターしておくに越したことはない。
まぁ受験で出ることはないけど。
試験ででないからマスターしなくていいとか言ってるやつは理系に向かない。
0713１３２人目の素数さん
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2018/07/18(水) 19:38:53.82ID:8CGmpcvz
>>708
同じでしょ
0714１３２人目の素数さん
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2018/07/18(水) 22:43:39.58ID:xNa7HBmh
>>712
とりあえず高校の教科書にのってる
f(x)≦g(x), a<bのとき
∫[a,b]f(x)dx ≦ ∫[a,b]g(x)dx
は認めることにする。（これも平均値の定理からだせるけど。）
問題は「等号成立はx∈[a,b]においてf(x) = g(x)が恒等的に成立するとき」のパート。
等号が成立するとして
F(t) = ∫[a,t]g(x)dx - ∫[a,t]f(x)dx
とおく。F(a) = F(b) = 0。
もしa<c<bでF(c) > 0とすると平均値の定理からc<d<bでF’(d) = F(b) - F(c) < 0となるdがとれる。
しかしこのときF’(d) = g’(d) - f’(d) ≧ 0より矛盾。
よってF(c)≦0。
一方F’(t) = g(t) - f(t)≧0とF(a)=0よりF(c)≧0.
以上によりa<c<bにおいてF(c) = 0。
とくに0=F’(c) = g(c) - f(c)が恒等的に成立する。

試験にゃでないけど。大学いったらもっといい証明習うし。
そもそも積分の定義自体変わってくるしね。
とはいえ高校数学の範囲内なら範囲内でベストをつくす気持ちがないと結局理系の魂は育たない。
0715１３２人目の素数さん
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2018/07/19(木) 07:41:26.26ID:y4DptdmH
いいこといってる
0717１３２人目の素数さん
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2018/07/19(木) 16:59:46.72ID:7hzs8Xf8
OPcosαが点Pのx座標に等しいという意味がわかりません
最初解説を見なかったので
わざわざ三平方の定理でOPの距離を出して
PからX軸に垂直な直線とX軸の交点Rによってできる
三角形OPRから余弦定理を使ってcosαを求めてOPと掛け算した作業が全部無駄になりました
確かにそれでOPcosα=2になったのですが...
なぜOPcosαは点Pのx座標そのものになるんですか？
そもそもOPcosαというのはなんですか？？
https://i.imgur.com/VW1FdwM.jpg
0718１３２人目の素数さん
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2018/07/19(木) 17:18:03.10ID:QxmdrQQV
数理論理の勉強してませんよね（キリッ）

ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
0719710
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2018/07/19(木) 17:34:53.89ID:itYrVtji
>>714
親切な人がいて幸いでした。ありがとうございます。
ちなみ712は僕じゃないです。
0721１３２人目の素数さん
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2018/07/20(金) 09:34:57.91ID:apaHx6QQ
>>717
OPcosαは線分OPの長さと三角比cosαの積を表す式であるが、それが点Pのx座標そのものになる理由は、コサインの定義を調べて考えよう
0722１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/20(金) 18:19:02.79ID:L7k1kcuU
cosθ＝x/r
rcosθ＝r×x/r＝x

ありがとうございました
0723１３２人目の素数さん
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2018/07/21(土) 00:41:22.68ID:vto3t2b2
いえ、どういたしまして
0728１３２人目の素数さん
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2018/07/21(土) 07:02:57.07ID:sf/YhJ19
-1/(1+x^(1/3))の微分と(x^(1/3))/(1+x^(1/3))の微分はともに1/(3(x^(1/3)+x^(2/3))^2)ですが
原始関数って定数項の違いを除いて一に定まるのではないんですか？
0730１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/21(土) 09:23:37.52ID:sf/YhJ19
確かに
-1/(1+x^(1/3))+1=(x^(1/3))/(1+x^(1/3))
ですね
ありがとナス
0731１３２人目の素数さん
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2018/07/21(土) 09:35:33.37ID:Me1nA4lf
>>403
Wolfram|Alpha様曰く
(a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)
手で解けない問題は試験に出ないor出てもみんな解けないので気にしなくてよい
0732１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/21(土) 09:37:50.86ID:Me1nA4lf
>>406

(1)
CP:PD=s:(1-s), BP:PE=t:(1-t)とおくと
OP↑=(1-s)OC↑+sOD↑=(1-s)OC↑+s(2/3)OA↑=(2s/3)OA↑+(1-s)OC↑
OP↑=(1-t)OB↑+tOE↑=(1-t)(OA↑+OC↑)+t(2/5)OC↑=(1-t)OA↑+(1-3t/5)OC↑
OA↑,OC↑は一次独立であるから
2s/3=1-t, (1-s)=(1-3t/5) ⇔ s=3/7, t=5/7
OP↑=(2/7)OA↑+(4/7)OC↑

(2)
OQ:QP=u:(1-u), BQ:QC=v:(1-v)とおくと
OQ↑=uOP↑=u((2/7)OA↑+(4/7)OC↑)=(2u/7)OA↑+(4u/7)OC↑
OQ↑=(1-v)OB↑+vOC↑=(1-v)(OA↑+OC↑)+vOC↑=(1-v)OA↑+OC↑
OA↑,OC↑は一次独立であるから
2u/7=1-v, 4u/7=1 ⇔ u=7/4, v=1/2
BQ:QC=(1/2):(1/2)=1:1

(2)別解1
>>410

(2)別解2
>>411
0733１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/21(土) 09:38:21.87ID:Me1nA4lf
>>412
PA↑+PB↑+PC↑=BC↑
⇔OA↑-OP↑+OB↑-OP↑+OC↑-OP↑=OC↑-OB↑
⇔OA↑+2OB↑=3OP↑
⇔OP↑=(1/3)OA↑+(2/3)OB↑
Pは辺ABを2:1に内分する点
OをPとしたのが>>413
0734１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/21(土) 09:39:23.60ID:Me1nA4lf
>>480

☆
条件式①を正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinCと辺々かけて
a/7=b/5=c/3(⇔a:b:c=7:5:3)
この手の式（連比）はa/7=b/5=c/3=kとおいて
a=7k,b=5k,c=3kのように1変数で表すとよい

★
ヘロンの公式より
15√3=√((15/2)k)((1/2)k)((5/2)k)((9/2)k)⇔15√3=(15√3)(k^2)/4⇔k=±2
a,b,c>0よりk=2,a=14,b=10,c=6
いわゆる「七五三の三角形」だから
A=120°

☆部分の別解(>>498後半)
条件式①を(sinA)/7=(sinB)/5=(sinC)/3=Lとおくと
sinA=7L,sinB=5L,sinC=3L
正弦定理より
sinA=a/(2R),sinB=b/(2R),sinC=c/(2R)
よって
a=14RL,b=10RL,c=6RL
これはa,b,cを1変数Lで表している
（ちなみにk=2RLとおけばa=7k,b=5k,c=3k）
このまま以降の計算を行ってもよい

★部分の別解(>>498前半)
余弦定理より
(7k)^2=(5k)^2+(3k)^2-2(5k)(3k)cosA⇔(30k^2)cosA=-15k^2⇔cosA=-1/2
(sinA)^2=(1-(cosA)^2)より
sinA=±(√3)/2
0°<A<180°より
sinA=(√2)/3
△ABC=(1/2)bcsinAより
15√3=(1/2)(5k)(3k)(√3)/2⇔15√3=(15√3)(k^2)/4
以下略
0735１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/21(土) 09:42:23.08ID:Me1nA4lf
>>734
下から4行目を
sinA=(√3)/2
に訂正
0736１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/21(土) 09:42:56.25ID:Me1nA4lf
>>484
傾きはtan(45°+15°)=√3≠2
0738１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/21(土) 10:03:47.29ID:Me1nA4lf
>>737
これはコピペか？
W大はf(受かりやすさ,学費の安さ,ブランド力,就職実績,…)が大きいのだろう
コスパ関数とでも名付けようか
0739１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/21(土) 10:36:17.61ID:Me1nA4lf
>>536
正しい解答が160cmなのは同意するが、
>>541の仮説に従うと、参考書に載ってる誤った解答は
(160.75+161)/2=161.875(cm)じゃないの？
0740１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/21(土) 11:01:49.62ID:Me1nA4lf
>>739
自己解決

[158,162)の16人が
158+4*0/16
158+4*1/16
158+4*2/16
…
158+4*15/16
のような分布だと16人の平均は159.875(cm)になるのか

158+4*1/32
158+4*3/32
158+4*5/32
…
158+4*31/32
のような分布だと
16人の平均は160(cm)
50人の中央値は(160.625+160.875)/2=160.75(cm)
0741１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/21(土) 11:02:40.32ID:Me1nA4lf
>>612
最初の1を足さないなら10-1=9に収束する（もしくは0.9*(1/(1-0.9))=9）
0742１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/21(土) 11:03:00.51ID:Me1nA4lf
>>623-636,646
熱い自演
0743１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/21(土) 23:16:45.06ID:tlFqWklE
2log2 8＝log2 8^2となるのはなぜですか？？
0745１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/22(日) 00:01:06.55ID:yqBEvn5f
はい わかりました
0746１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/22(日) 00:42:12.50ID:SAIPrBTa
いえ、どういたしまして
0747１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/22(日) 11:26:07.04ID:xp4F6Fcj
15本のくじの中に何本かの当たりくじが入っている。この中から同時に2本引くとき、
2本ともはずれる確率が 22/35 であるという。当たりくじは何本あるか。

答案：

当たりくじの本数を n 本とすると、 n は整数で、条件から

1 ≦ n ≦ 13 … (1)

はずれくじの本数は 15 - n 本である。15本から2本を取り出す組合せは

Binomial(15, 2) 通り

このうち、2本ともはずれる場合は、

Binomial(15-n, 2) 通り

よって、条件から

Binomial(15-n, 2) / Binomial(15, 2) = 22/35

これを解いて、 n = 3 or 26

(1) を満たす n の値は n = 3
したがって、当たりくじの本数は

3本
0749１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/22(日) 11:29:45.40ID:Ug1/d9Qd
>>660
CやPを用いて一発で表す方法は思い付かないし、>>664が速い
0750１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/22(日) 11:29:56.25ID:xp4F6Fcj
1 ≦ n ≦ 13 … (1)

↑この条件ってわざわざ書く必要はないですよね？

26 > 15 だから n = 26 は不適。

n = 3 のとき、

Binomial(15-n, 2) は定義される。

よって、 n = 3 は解。
0751１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/22(日) 11:30:19.96ID:Ug1/d9Qd
>>661
それはむしろ硬貨を12枚とも区別してる？出す順番は区別してないが
0752１３２人目の素数さん
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2018/07/22(日) 11:30:43.75ID:Ug1/d9Qd
>>666
以下、(a,b,c)は列ベクトル
AB↑=(2,2,2)
直線AB上の点Hは(x,y,z)=(2,1,0)+k(2,2,2)と表せる
PH≠0、AB≠0より
PH⊥L
⇔PH↑・AB↑=0
⇔(2+2k-1,1+2k-2,0+2k-3)・(2,2,2)=0
⇔(2k+1)*2+(2k-1)*2+(2k-3)*2=0
⇔k=1/2
H(3,2,1)
0753１３２人目の素数さん
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2018/07/22(日) 11:31:06.87ID:Ug1/d9Qd
>>670
W|A様曰く
(x^2-(xy-1))(y^2+(xy-1))
0754１３２人目の素数さん
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2018/07/22(日) 11:31:30.60ID:Ug1/d9Qd
>>678
x-2=-9K,y+1=5Kとおいたとする
(x,y)=(-9K+2,5K-1)で5x+9y=-45K+10+45K-9=1

具体例
…
K=-2のとき(x,y)=(20,-11)で5x+9y=100-99=1
K=-1のとき(x,y)=(11,-6)で5x+9y=55-54=1
K=0のとき(x,y)=(2,-1)で5x+9y=10-9=1
K=1のとき(x,y)=(-7,4)で5x+9y=-35+36=1
K=2のとき(x,y)=(-16,9)で5x+9y=-80+81=1
…

と、ちゃんと元の式5x+9y=1を満たしているぞ

そもそもK=-kとすれば、x-2=9k,y+1=-5kとおいたのと同じことになる
>>679のようなbの正負での場合分けは不要

>>679の後半部分の疑問については>>680を参照
0755１３２人目の素数さん
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2018/07/22(日) 11:31:54.27ID:Ug1/d9Qd
>>682
[京大2007理乙-1(1)]
3項間漸化式を立てる
n段の階段の昇り方をa_n通りとすると
a_1=1,a_2=2,a_3=3
n≧4で
i) 最初に1段昇ったとき
残りn-1段の昇り方はa_(n-1)通り
ii) 最初に2段昇ったとき
条件より次の1歩は必ず1段昇る
残りn-3段の昇り方はa_(n-3)通り
よってa_n=a_(n-1)+a_(n-3)
a_4=a_3+a_1=3+1=4
a_5=a_4+a_2=4+2=6
a_6=a_5+a_3=6+3=9
…
a_15=a_14+a_12=189+88=277
277通り

「1歩で2段昇ることは連続しない」という条件がなければ
(a_0=1,)a_1=1,a_(n-2)=2
a_n=a_(n-1)+a_(n-2)
でありフィボナッチ数列になる
階段の昇り方の問題は青チャにも載ってたはず
0756１３２人目の素数さん
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2018/07/22(日) 11:32:12.99ID:Ug1/d9Qd
>>687
その意見はとても正しい
外接多角形を使って評価するときは、面積で比較するのが答案的には無難
0757１３２人目の素数さん
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2018/07/22(日) 11:34:47.62ID:xp4F6Fcj
>>756
面積だろうが長さだろうが、数学的には厳密ではない議論ですよね？
どちらが直観的により受け入れられるかという問題になるかと思います。
なぜ、面積のほうが受け入れやすいのでしょうか？
0758１３２人目の素数さん
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2018/07/22(日) 11:40:22.37ID:Ug1/d9Qd
図形Aに含まれる図形Bに関して
Bの周長がAの周長より大きい例は用意に思い付くが
Bの面積がAの面積より大きい例は思い付かないから
よって感覚的に受け入れやすい
0761１３２人目の素数さん
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2018/07/22(日) 12:05:07.47ID:Ug1/d9Qd
>>730
-1/((x^a)+1)と1/((x^-a)+1)の差が1なのは、式の見た目からは気付きにくいだろう
0762１３２人目の素数さん
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2018/07/22(日) 12:08:38.73ID:Ug1/d9Qd
>>743
p=log[b](c)とおくと、対数関数の定義より
b^p=c
ところで、指数関数の性質より
b^(ap)=(b^p)^a=c^a
よって、対数関数の定義より
ap=log[b](c^a)
したがって
alog[b](c)=log[b](c^a)
特にa=-1のとき
-log[b](c)=log[b](1/c)

対数関数の重要な性質だから、一度導いたら暗記すべき
0764１３２人目の素数さん
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2018/07/22(日) 12:13:45.07ID:xp4F6Fcj
数字 1 が書かれたカードと数字 2 が書かれたカードが合わせて 7 枚ある。この中から
同時に 3 枚取り出すとき、書かれたカードの数字の和が偶数になる確率が 4 / 7 である
という。数字 1 のカードは何枚あるか。


こういう組合せとか確率の問題っていくらでも作れますし、面倒な問題も作れますよね。
でも、ただ面倒なだけでいい問題とは言えないですよね。
0767１３２人目の素数さん
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2018/07/23(月) 11:46:15.30ID:UwwnVRxe
6^nにおいて10桁になるnを求めなさい、という問題で
log10 6^n
nlog10 6
n(log10 2+log10 3)
n(0.3010+0.4771)
9≦0.7781n＜10

と考えるのは遠回りで頭悪いですか？
0768１３２人目の素数さん
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2018/07/23(月) 15:41:53.26ID:2tkO71O1
>>474
準備

(p,p^2),(q,q^2)を通る直線の式は
y=((q^2-p^2)/(p-q))(x-p)+p^2=(p+q)x-pq.

y=rx^2+sx+tとy=ux+vがx=α,βで交わるとする。
rα^2+sα+t=uα+v, rβ^2+sβ+t=uβ+v.
∫(ux+v-rx^2-sx-t)dx
=-(1/3)rx^3+(1/2)(u-s)x^2+(v-t)x+C
より
∫[α,β](ux+v-rx^2-sx-t)dx
=(1/6)[-2r(β^3-α^3)+3(u-s)(β^2-α^2)+6(v-t)(β-α)]
=(1/6)(β-α)[-2r(β^2+βα+α^2)+3(u-s)(β+α)+6(v-t)]
=(1/6)(β-α)[-2r(β^2+βα+α^2)+3uβ+3uα-3sβ-3sα+6v-6t]
=(1/6)(β-α)[-2r(β^2+βα+α^2)+3(uβ+v)+3(uα+v)-3sβ-3sα-6t]
=(1/6)(β-α)[-2r(β^2+βα+α^2)+3(rβ^2+sβ+t)+3(rα^2+sα+t)-3sβ-3sα-6t]
=(1/6)(β-α)[rβ^2+rα^2-2rβα]
=(r/6)(β-α)^3.
これはいわゆる「1/6公式」である。
これの絶対値は、放物線と直線で囲まれる部分の面積を表している。
0769１３２人目の素数さん
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2018/07/23(月) 15:42:41.37ID:2tkO71O1
>>474

a<bとして一般性を失わない。
A(a,a^2),B(b,b^2),C(c,c^2)=((a+b)/2,((a+b)/2)^2)とする。
直線AB:y=(a+b)x-abは、C'((a+b)/2,(a^2+b^2)/2)を通る。
A''(a,0),B''(b,0),C''(c,0)とする。

解法1（三角形の面積(>>477)）
△ACB
=△ACC'+△BC'C
=(1/2)((a^2+b^2)/2-((a+b)/2)^2)(c-a)
+(1/2)((a^2+b^2)/2-((a+b)/2)^2)(b-c)
=(1/2)((a^2+b^2)/2-((a+b)/2)^2)(b-a)
=(1/2)((a^2)/4+(b^2)/4-ab/2)(b-a)
=(1/8)(b-a)^3.

解法2（台形の面積(>>478)）
△ACB
=台形AA''B''B-台形AA''C''C-台形CC''B''B
=(1/2)(a^2+b^2)(b-a)
-(1/2)(a^2+c^2)(c-a)
-(1/2)(c^2+b^2)(b-c)
=(1/2)((a^2)b-a^3+b^3-(b^2)a-(a^2)c+a^3-c^3+(c^2)a-(c^2)b+c^3-b^3+(b^2)c)
=(1/2)((a^2)b-(b^2)a-(a^2)c+(c^2)a-(c^2)b+(b^2)c)
=(1/2)(b-a)(c-b)(a-c)
=(1/2)(b-a)((a+b)/2-b)(a-(a+b)/2)
=(1/2)(b-a)((a-b)/2)((a-b)/2)
=(1/8)(b-a)^3.

解法3（積分）
△ACB
=(直線ABと放物線y=x^2で囲まれる部分の面積)
-(直線ACと放物線y=x^2で囲まれる部分の面積)
-(直線CBと放物線y=x^2で囲まれる部分の面積)
=(1/6)(b-a)^3-(1/6)(c-a)^3-(1/6)(b-c)^3
=(1/6)(b-a)^3-(1/6)((a+b)/2-a)^3-(1/6)(b-(a+b)/2)^3
=(1/6)(b-a)^3-(1/6)((b-a)/2)^3-(1/6)((b-a)/2)^3
=(1/6-1/48-1/48)(b-a)^3
=(1/8)(b-a)^3.
0770１３２人目の素数さん
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2018/07/23(月) 15:45:03.56ID:2tkO71O1
>>769
追記
解法3は>>476の方針。
0771１３２人目の素数さん
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2018/07/23(月) 15:46:01.73ID:2tkO71O1
>>695
ssstttiiacから4文字選んで並べる。

重複を許す場合
10*9*8*7=5040(通り).

重複を許さない場合
(ssst)(sssi)(sssa)(sssc)
(sstt)(ssti)(ssta)(sstc)(ssii)(ssia)(ssic)(ssac)
(sttt)(stti)(stta)(sttc)(stii)(stia)(stic)(stac)(siia)(siic)(siac)
(ttti)(ttta)(tttc)(ttii)(ttia)(ttic)(ttac)(tiia)(tiic)(tiac)(iiac).
よって
4+4+4+4
+6+12+12+12+6+12+12+12
+4+12+12+12+12+24+24+24+12+12+24
+4+4+4+6+12+12+12+12+12+24+12
=386(通り).

別解
重複を許さない場合
(wwww)（並べ方は1通り）　(w)の選び方は無し。
(wwwx)（並べ方は4通り）　(w,x)の選び方は4+4で8通り。
(wwxx)（並べ方は6通り)　(w,x)の選び方は3通り。
(wwxy)（並べ方は12通り）　(w,x,y)の選び方は6+6+6で18通り。
(wxyz)（並べ方は24通り）　(w,x,y,z)の選び方は5通り。
よって
1*0+4*8+6*3+12*18+24*5=386(通り).
0772１３２人目の素数さん
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2018/07/23(月) 15:46:39.29ID:2tkO71O1
>>767
そうやって解く問題だから、その流れがよい。
0773１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/23(月) 17:30:52.31ID:Drxs2eYe
十分大きいxについて下記が成り立つとする。
1. f(x)は微分可能
2. 1 < f(x)
3. xf'(x) - f(x)\log{f(x)} < 0
4. 1<aのとき、f(x) < a^x

このとき、lim_{x→∞}{f(x)}^{1/x} = 1となることを示せ。

高校数学のみで厳密な証明が与えられる。
{f(x)}^{0} = 1だから、lim_{x→∞}{f(x)}^{1/x} = 1とかやめてくれ。
頭がいいなら、解いてくれ。
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