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集合論について

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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/18(月) 04:05:17.08
いくらなんでも数学板に集合論全般を扱うスレがないのはおかしいだろ
0249１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/14(月) 17:37:54.29
様相論理って面白いんですか？
結構体系が別れていて,研究分野としての整理があんまり出来ていない感じがしてるんですけど
0250１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/14(月) 20:18:07.65
体系に番号や記号もそれぞれ振られているし整理はそれなりにされてると思う。。
ただ一言で様相と言っても我々の言語にはいろいろな種類の様相
（証明可能性、義務、知識、信念、……）があり得るので
そういったことに応じていろんな体系があるという感じに理解すると良いと思う。
唯一のthe 必然性がある訳じゃない。
0251１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/14(月) 21:07:35.27
>>248
ACを証明するのにACを使ってしまった、ということでしょ？
ここに書かれたことは、あなたにとってACは、それ自身他の論証の根拠として
つい使ってしまうほど自明のことであったということではないの？あなたが
ACを導いた根拠なのではないよね？
0252１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/14(月) 21:26:23.17
＞ACを証明するのにACを使ってしまった、ということでしょ？
違うような。

ZFの可算モデルを取るときにACを使ってるけど、
「ZFの任意のモデルで〜〜が成り立つ。よってZF |- 〜〜」
を示す時にACを使うのは（あまり）問題が無い。

問題なのはMの住人が「Vは可算」だと信じていないといけないような証明になっているということ。
0253１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/14(月) 22:05:53.55
数か月考えてみるわ
0254１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/23(水) 10:24:05.52
V=L |- CH は、まあそうだろなと思うが、V=L |- ACの方は、なんでこの二つが
関係するのかと思ってしまうのだが、みなさんはどう？
0255１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/23(水) 14:16:15.81
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0256１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/23(水) 21:38:36.54
論理式を使って定義できるような対象しか存在しないなら
その定義のされ方に着目することで整列順序付けができてもおかしくは無いのかな、
というイメージはあるけど。
0257１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/24(木) 13:53:42.75
>>256
あっ、そうだね。
私がわからないのは、整列可能性 <-> AC　の方かな？
これもそんなにおかしいことではない？
0258１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/24(木) 19:55:50.83
→は、考えている集合たちの要素たち全体を整列する。
あとはただ整列順序に関する a の最小要素を選べば（choiceすれば）良い。

←は、まず全体から一つ要素を選んで一番小さい 0 番目の要素とする。
次に残りから一つ要素を選んで（choiceして）その次に小さい 1 番目の要素とする。
次に残りから……
次に残りから一つ要素を選んで ω 番目の要素とする。
次に残りから一つ要素を選んで ω + 1 番目の要素とする。 ……
というのを残りが尽きるまでひたすら繰り返す。アイデアは簡単だが厳密に書くと結構分かりにくくなる。
0259１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/24(木) 20:52:34.66
>←は、まず全体から一つ要素を選んで一番小さい 0 番目の要素とする。
>次に残りから…
こう言うと、これらの操作を順々にやるように聞こえるが、ACではもちろん、
これらの操作を一気に（同時に）やるんだよね。
たしかにアイデアは簡単だ。
なのにその独立性を示すのになんで強制法もようなテクニックがいるの？
0261１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/24(木) 23:24:20.17
うん、それは関係ないとは思うが、
V=Lが独立なら、CHもACも独立なのじゃなかった？
そして、V=Lが独立なのは明らかだろうと思うのだが。
0263１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/25(金) 09:30:08.22
not[ZF|-V=L], ZF|-(V=L->CH), ZF|-(V=L->AC)　に比べて、
not[ZF|-AC] やnot[ZF|-not AC]を示すのが難しくなるのは
どうしてだろう？ということかな
0264１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/25(金) 09:33:35.56
数学において「明らか」とか「自明」という表現は
「あまりにも簡単に証明できるのでバカバカしくて書いてられない」という
意味です。
0266１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/25(金) 12:07:12.74
文脈に応じていろんな明らかがあるよ
0267１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/25(金) 12:16:17.22
〜セミナーにて〜
優秀なA君「明らかです」
馬鹿なB君「明らかです」

意味が違う
0269１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/25(金) 20:19:13.41
ACの独立性などに比べると不完全性定理は自明な定理だと言っても264には注意されるのかな？
0270１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/25(金) 21:05:27.46
V=L → GCH → ACなので、
ZFからACが導けないなら当然V=Lも導けないが
逆を言うのはかなり困難だと思う。
＞V=Lが独立なら、CHもACも独立なのじゃなかった？
これは何情報？

そもそもACを認めない時点で基数の一般論が
ちょっと工夫しないといけなくなるのでその時点で自明とは言い難い
0271１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/27(日) 13:47:36.65
松坂和雄の整列定理から選択公理を導くところだけど、整列集合にする順序関係
があるとしても、そのうちどれを選ぶのかということを指定するルールを明示しない
限り証明になっていない気がするんだけどあれでいいの？
0274１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/27(日) 14:41:00.77
Xを集合とし、X上の整列順序全体の集合を X’とする。
整列可能定理とは、任意の集合Xに対してX’≠φが成り立つということ。

選択公理とは、添え字付けられた空でない集合の族(A_λ｜λ∈∧)に対して
Π_λ A_λ ≠ φが成り立つということ。

選択公理を証明するとはすなわち、単にΠ_λ A_λ ≠ φを示すことに他ならない。
Π_λ A_λ ≠ φを示すには、空でない集合YであってY⊂Π_λ A_λを満たすものを
1つ作れば十分である。

添え字付けられた空でない集合の族(A_λ｜λ∈∧)は(∪_λ A_λ)’≠φを満たすとする。
写像 F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λを以下のように定める。
まず、ρ∈(∪_λ A_λ)’を任意に取る。このとき、(∪_λ A_λ, ρ)は整列集合である。
各λ∈∧に対して、f(λ)：＝min A_λとして写像 f ：∧→∪_λ A_λを定める。
ただし、右辺のminは(∪_λ A_λ, ρ)におけるminとする。従って、このfはρごとに定まる。
F(ρ)：＝f として F(ρ) を定義すれば F(ρ)：∧→∪_λ A_λである。
特にF(ρ)∈Π_λ A_λである。ρ∈(∪_λ A_λ)’だったから、以上より
写像 F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λが定義できた。
Y＝{ F(ρ)｜ρ∈(∪_λ A_λ)’}と置けば、(∪_λ A_λ)’≠φにより Y ≠ φ である。
また、F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λにより Y ⊂ Π_λ A_λ である。
従って φ ≠ Y ⊂ Π_λ A_λ となったので、Π_λ A_λ≠φである。以上より、次が言えた。

・添え字付けられた空でない集合の族 (A_λ｜λ∈∧) が (∪_λ A_λ)’≠φを満たすならば、
　Π_λ A_λ ≠ φである。

系：整列可能定理が成り立てば選択公理も成り立つ。
0275271
垢版 |
2014/04/27(日) 14:45:43.56
>>272
いや、>>270の人が言っている疑問とは違くて、ある集合に適切な順序関係を加えれば整列集合とすることができるので
個々の部分集合から最小値を取り出せる、よってその最小値を取り出す操作を選択関数
とするって証明に書いてある。だけどその際適切な順序関係がたくさんある中からひとつを
選ぶ操作を指定しない限り選択関数を指定していることにならないと思うんだけどどうなんだろ。
0276275
垢版 |
2014/04/27(日) 14:49:19.48
>>274
あ、分かった。ありがとう。そうか空でないと言えればそれでいいのか。
0277１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/27(日) 20:05:45.29
教科書にはそうとしか書いてないはずだけど、
整列可能の定義を何だと思ってたの？
0278１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 01:29:11.69
公理論的集合論について予備知識なしで読める本を教えてください。
赤 攝也『集合論入門』(ちくま学芸文庫)は古すぎるでしょうか？
0279１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 02:04:42.24
>>278
共立『Q&A数学基礎論入門』
文系学生対象の講義を元にした本らしい
一応ZFの公理系は書いてある
0280１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 05:14:45.43
『復刊 公理論的集合論』西村 敏男・難波 完爾 (2013/4/2) 共立出版
この本はどうですか？
0281１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 10:23:25.13
ZF+V=Lの無矛盾性の証明よりZF+not{V=L}の無矛盾性の証明の方がずっと
難しいのね？なぜ？
0283１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 14:36:22.88
どこが違うからなの？
歴史的には、ZF+not{V=L}の無矛盾性の証明はできることはわかっていたが、
どのように証明するかに手間取ったの？
人間版不完全性定理っていうのはないの？
0284１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 16:22:19.89
「『数学上の問題を解くには方程式書いてコツコツやってもはじまらない。仏の境地に
達すれば何だってスラスラ解けるものだ』。こういう表現だったかどうか正確ではないが
確か（岡潔）先生はそういう意味のことをおっしゃったと思う」

--- 広中平祐
0285１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 17:44:21.52
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0286１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 21:48:52.72
>>280, 283
赤さんの本は公理的集合論の本ではないけど、
公理的な集合論を勉強する前に学部レベルの
素朴集合論の本の内容を身につけた方が効率が良いと思う
（ついでに言うと一階述語論理は先に勉強するに越した事は無い）。

難波完爾先生の本は独特な味がある本だけど、初学者には難しい。

正直な所、Kunenを読む一歩手前の人に適当だと言えるような
水準の本は日本語ではなかなか無い。
「ゲーデルと20世紀の論理学」シリーズの四巻第一章が割とそれに近いか。
0287１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 21:52:44.05
上のレスのアンカーは>>278>>280の間違い

>>283
具体的に構成したり定義したり出来るような対象は
必ずLに含まれるので、V=Lとその否定のどちらが正しそうかと
集合論の知識の無い非専門家の数学者に聞くと、
V=Lが成り立つ方が尤もらしいと答える人が多い。

V=Lの無矛盾性は、実際にLの要素の集まりを考えて
それがZF+V=Lのモデルになっていることを示すだけで良いけど、
その否定の無矛盾性はその種のVを削るような方法では示せず、
モデルを拡大する操作が必要になる。
0288１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/29(火) 01:43:02.27
>>286
>赤さんの本は公理的集合論の本ではないけど、
>公理的な集合論を勉強する前に学部レベルの
>素朴集合論の本の内容を身につけた方が効率が良いと思う
>（ついでに言うと一階述語論理は先に勉強するに越した事は無い）。

えっと、よくわからないですが、赤さんの文庫本は「学部レベルの素朴集合論の本」ではないんですね？
別の本で「学部レベルの素朴集合論」をやるべきということですね？具体的な書名をおしえてください。
0289１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/29(火) 12:53:55.74
公理論的集合論の本じゃないけど
学部レベルの素朴集合論の本だとは言っても良いんじゃないの？
このレベルの本はどれも大して優劣は無いからどれでも気にいった本で良いよ。

日本語の本で
諸定義、集合に関するブール演算、選択公理、濃度、順序数、
という順序で基本的なことを解説するパターンの本はどれでもほぼ同じ。
0290１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/29(火) 20:12:32.06
>>287の前半
>集合論の知識の無い非専門家の数学者に聞くと、
>V=Lが成り立つ方が尤もらしいと答える人が多い。
それは違うのじゃないかな？一般人（非専門家）はむしろ「世界は具体的
に構成したり定義したり出来るような対象だけとは限らないだろう」と
考えて、not{V=L}はあり得ることと考えるのではないか？「V=Lだ！」
とも言わないだろうが。つまり、一般人は、V=Lとnot(V=L)のどちらも
あり得ることだと直感しているのじゃないかな？
0291１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/30(水) 11:57:41.41
無矛盾性（独立性）を示すのに、モデルの存在を示すという方法でなく、
syntacticalにやる方法を書いたものってなにかありますか？
0292１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/30(水) 20:56:21.74
証明論の順序数解析の本とかにはそういう証明があるよ
たとえば新井敏康の数学基礎論の第八章（証明論の章）には
集合論KPの無矛盾性の統語論的証明がある
0293１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/30(水) 21:06:35.91
>>292
ありがとうございます。見てみます。（モデルの有無だけでは、なぜ無矛盾
なのかはわかりにくいと思ったので）
0295１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/01(木) 07:58:11.74
>>294
完全性定理ですね。それはわかっているのですが、
私が「なぜ」と言ったのは、「どういうしくみ・理由で」無矛盾なのかを知りたい
という意味でした。モデルの存在からは、「とにかく無矛盾」としかわからないと
思うので。
0296１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/01(木) 08:07:27.46
間違えました。健全性でした。
0297１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/01(木) 21:07:07.92
どういうも何も、定義上
M |- not φ は M |- φの否定と同値だから
矛盾した理論を解釈するモデルがあったら
意味論のレベルで矛盾律（Aかつnot Aとはならない）が
破綻してしまう。だから
矛盾律 ⇒ 矛盾した理論にはモデルは無い i.e. モデルがあるなら無矛盾
としか言いようがない気がする。
0298１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/01(木) 22:24:07.38
集合論の公理系に限らず、およそ公理系を設定する人は、まあ間違うこと
なく無矛盾で独立な公理系を設定するものだ。
そのとき彼らは必ずしもモデルの存在を確認してそれらの公理系を設定する
わけではないだろう（たとえばユークリッドも）。
ということは、モデルの存在というのは力ずくの最終確認手段に過ぎず、
無矛盾性や独立性を察知するもっと早い方法があるということなのじゃ
ないかな？
0300１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 01:05:46.05
フレーゲが最初に定義した述語論理の体系は矛盾していた。
チャーチの論理定数を含むラムダ計算の体系も矛盾していたため
数学の基礎付けに使おうという元の目的は達しなかった。
ラインハルト基数も矛盾していることが分かった対象の例。
およそ公理系を設定する人は〜というのは何を根拠に言ってるのか。

証明論的に無矛盾を示すためには、可算順序数で整列順序が複雑なものを
表記法を工夫して相当テクニカルに示さないといけないので
モデルを構成するよりも難しくて面倒で「もっと早い方法」とは到底言えない。
0301１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 01:53:49.43
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
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0302１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 09:17:05.88
>>300
まあ間違わないと言っただけで、間違う場合もあるでしょう。
それに、フレーゲ、チャーチの場合は（ラインハルトは知らないが）、
公理系の矛盾と言うより、言語そのものに内在したパラドクスと言うべきと
思うのだが。
3次元空間で4つの基底を指定されたときにはすぐに独立でないと察知できる
わけだが、公理系の場合も或る程度それに似たことができるのではないかな？
少し前に議論されていたACなんかも、ACを一見しただけで、ZFからはそれ
（あるいはその否定）が出てくるはずはないと察知できるよね？
0305１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 12:58:00.50
>3次元空間で4つの基底を指定されたときにはすぐに独立でないと察知できる
さすがクズ哲はあたまいいねー
0307１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 13:32:33.95
なんかウヨウヨわいてきたな
0309１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 15:56:03.76
集合論を勉強しようというわけでもないのに集合論のテクニカルな部分を知りたがる

まともではない
0310１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 21:31:12.78
＞公理系の矛盾と言うより、言語そのものに内在したパラドクス
述語論理のような論理学や言語の部分も公理や推論規則を立てて
形式的に扱うべきだ、というのがツェルメロ・フレンケル・スコーレムや
ゲーデル・ノイマン以後の集合論の考え方。
そうしないと、「きっと独立に違いない」とただ信じることは出来ても独立性を証明することはできない。

＞公理系の場合も或る程度それに似たことができるのではないかな？
「或る程度」、多少はね。ただモデルがあるかどうかはっきりせず、
意味論を後から考えないといけないような場合には一般には難しい。
0311１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 21:32:44.59
＞ACを一見しただけで、ZFからはそれ
＞（あるいはその否定）が出てくるはずはないと察知できるよね？
じゃあ例えば>>248や
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1348851752/561 の疑問にすぐに答えられる？
ここは集合論を勉強する上で初学者がかなり引っ掛かりやすいポイントで、
でも個人的にはかなり微妙で面白い部分だと思う。

実際にそういう察知が出来てればカントルはあんなに苦労してなかったはずだし、
（カントルやツェルメロの時代の数学者は>>>302に比べてバカばかりだったとでも言わない限り）
ツェルメロの公理系の選択公理に対する否定的反応も起こらなかったはず。
それにヒルベルトの23問題の第1問題は連続体仮説だけど、彼や当時のその他大勢の数学者は
連続体仮説が集合論の公理系から証明も否定もできない、という可能性は
あまり深刻に考えてなかったはずだよ。
それとも連続体仮説は証明できそうに思えても仕方ないが選択公理はそうではない、
と言えるに足る理由が何かある？

歴史をあまり知らないと後知恵で当然だと思ってしまうことも、
知識が無い段階でいざ証明しようとすると全く自明でないことがしばしばある。

ニュートン曰く、" If I have seen further it is by standing on ye sholders of Giants."
私がより遠くまで見渡せたとするならば、それは巨人の肩の上に乗っていたからだ。
"Dicebat Bernardus Carnotensis nos esse quasi nanos, gigantium humeris insidentes,
ut possimus plura eis et remotiora videre, non utique proprii visus acumine,
aut eminentia corporis, sed quia in altum subvenimur et extollimur magnitudine gigantea."
Bernard de Chartres(12C)
0312１３２人目の素数さん
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2014/05/06(火) 08:17:04.64
>>248
>ZF の任意の可算モデルを M とします。...
>従って、M 内で AC は真。したがって、完全性定理より、ZF から AC は証明可能。
ここは単に、Mが「任意のモデル」でないので完全性定理を適用できないだけではないの？
0313１３２人目の素数さん
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2014/05/06(火) 11:51:04.33
そこはレーヴェンハイム・スコーレムの下降定理から
非可算でACが成立しないモデルがあったら
可算でACが成立しないモデルも取れるから良いんじゃないの？
0314１３２人目の素数さん
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2014/05/06(火) 17:59:38.53
>>313
ゆっくり言ってくれる？
0316１３２人目の素数さん
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2014/05/06(火) 21:42:40.15
>>314
L-S-下降定理:
　言語 L 上の理論 T の任意のモデル M は
　濃度κ = max(|L|, ω)の初等部分構造 N ＜ M を持つ。
　（とくにNとMは全ての閉論理式の真偽が同じになる。）

ZFの言語は可算だからκはアレフ0になる。

だから>>248の最初の文は
「ZFの任意のモデルをM'とし、その可算な初等部分構造を M とします。」
とすれば、最後の部分も
「したがって M 内でACは真、したがって M' 内でACは真、したがって、完全性定理より」
とすれば通用する。
まあその間の部分に間違いがあるから結局ダメなんだけど。
0317１３２人目の素数さん
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2014/05/06(火) 22:12:52.18
モデルの濃度については、可算モデルの範囲でのみ考えていいんだよ。
完全性定理の証明を読んだことがあるならば、判るはずだ。
0318１３２人目の素数さん
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2014/05/06(火) 22:21:02.71
あ、ZF について言えばね。
0319１３２人目の素数さん
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2014/05/07(水) 23:53:49.21
わしらスコーレムのパラドックスからしてよう分からん
モデルの内外って分かりにくいわ
0320１３２人目の素数さん
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2014/05/08(木) 12:45:18.95
モデルの内外なんて難しいことを考えるとわからなくなるよ（教科書には
そう書いてあるものが多いが）。
無限公理とベキ集合公理を満足するモデルを空集合から始めて地道に構成
して行ってみればわかるよ。
0321１３２人目の素数さん
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2014/05/08(木) 12:56:17.36
>>316
>「ZFの任意のモデルをM'とし、その可算な初等部分構造を M とします。」
ここでACを使っていないの？
0322１３２人目の素数さん
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2014/05/08(木) 20:00:37.74
集合論の言語は有限文字しかないから
論理式の集まりに整列順序を入れられる。
だからこの場合ACは無くても可算な初等部分構造を取れる。
0323１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/08(木) 20:02:56.41
というか
「Tからφが証明できる⇔Tの任意のモデルでφが真」
を示すのにACが必要だという話と、
TがACを含まないZFだという話は水準が違う話だから区別しないと。
0324１３２人目の素数さん
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2014/05/10(土) 12:19:33.56
>>322
それってV=Lを仮定した議論じゃない？
0326１３２人目の素数さん
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2014/05/10(土) 13:59:23.54
なんとまた、香ばしい話の展開だ。
0327１３２人目の素数さん
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2014/05/19(月) 18:51:54.49
>>298 >>300
遅レスだが、ZFCの公理の中では、正則性公理だけが（集合存在について）禁止的公理だ。
だから、正則性公理を除いた公理系が無矛盾であることはほぼ自明であるし、
正則性公理を除かない場合も、無矛盾性を示すには正則性公理だけに注意しておけばよい、
なんていうことはないの？ｗ
0328１３２人目の素数さん
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2014/05/19(月) 21:44:07.11
>>327
> 禁止的公理だ。

「禁止的公理」ってなんだよ。任意の公理は（お前の言う）禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。

> 正則性公理を除いた公理系が無矛盾であることはほぼ自明である

数学を学ばないやつってある意味無敵、の一例だな。
0329１３２人目の素数さん
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2014/05/19(月) 22:03:57.17
>「禁止的公理」ってなんだよ。任意の公理は（お前の言う）禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。
どれか他の公理を禁止的に書いてみてくれるか？
0330１３２人目の素数さん
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2014/05/19(月) 22:30:20.09
数学村では定義がなされない自分用語を用いた質問を繰り返すと相手にされなくなる
0331１３２人目の素数さん
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2014/05/19(月) 23:07:50.97
正則性公理を使って ¬∃X∀x[x∈X] が証明されるから,
"禁止的"って言うニュアンスを込めたように,俺は読める。
0332１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 23:18:31.10
>>330
>任意の公理は（お前の言う）禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。
こう言ってるかれ（きみか？）は、定義がわかってるはずだよｗ
0335１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/20(火) 07:59:09.38
選択公理は整列できない集合が存在しえないと言ってるんだから
禁止的じゃないのかとか言わると困るんじゃないのかと思うんだけどね。

それに任意の集合族に選択函数が存在するという選択公理と
任意の無限ゲームに必勝法が存在するという決定の公理は矛盾するし。
0336334
垢版 |
2014/05/20(火) 08:58:02.97
任意の公理は禁止的には非禁止的にも表現できる

という>>328の主張に興味がわいたので質問しただけです。
>>328以外の方はスルーしてください。
0337１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/20(火) 09:49:10.26
流れからはずれるのですが、
正則性公理をはずすと、∃X∀x[x∈X] を公理に加えても矛盾しなくなり
ますが、これでなにかおもしろいことは起きるのでしょうか？
正則性公理をはずした時点で超集合論ができることは知っていますが。
0339１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/20(火) 16:34:29.17
>> 334
任意の集合 B について、{A_λ}_{λ∈Λ} をどれも空集合でないような集合の族とすると、それらの直積が
(&prod;_{λ∈Λ}A_λ) ⊂ B となるような {A_λ} は存在しない。
0343１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/20(火) 17:35:35.32
>まず公理が禁止的という表現の解説を頼む。
>>335によって粉砕された模様
0345１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 07:45:18.33
それなら「P(A)を満たすAが存在する」形式は「¬P(A)を満たすAが存在しない」と書き換えて終わる
0346１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 09:12:28.34
>>345
はあ？
0348１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 10:45:12.28
>>337
∃X∀x[x∈X]を公理にすると分出公理からラッセル集合が作れるので正則公理無しでも矛盾します
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