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集合論について
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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/18(月) 04:05:17.08
いくらなんでも数学板に集合論全般を扱うスレがないのはおかしいだろ
0004１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/21(木) 09:33:47.52
　
0005１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/21(木) 09:59:49.37
集合論そのものが研究対象だった時代は
100年くらい前に終わったでしょ。
今では、教科書を読めば完了。
0006狸 ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2013/11/21(木) 10:05:48.83
馬鹿板そのものが遊び場だった時期は
昨年くらいの頃に終わったでしょ。
今では、菌愚を無視して終了。

ケケケ狸
0007１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/24(日) 12:22:00.84
　
0011１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/24(日) 18:58:23.08
狸さんってひょっとしてＢ型？
0012１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/24(日) 19:03:48.90
集合論って、情報系>哲学系>数学系の順に人気があるイメージ
0014狸 ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2013/11/26(火) 06:55:16.75
狸

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0015Let's Fight！
垢版 |
2013/11/26(火) 08:38:15.65
無意味な人工物を勝手に問題設定して勝手に解く
これが基礎論の現状
そして自称解析学では重要な役割を果たすというが
どうでもいい命題ばかりでしか貢献できていない
本質的にゴミなのである
0016１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/26(火) 08:46:24.54
>>1
数学者にとってできれば触れたくない分野だからなw
0018１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/26(火) 12:25:13.73
＞無意味な人工物を勝手に問題設定して勝手に解く
これ、基礎論だけの現状ではないだろｗ
0019狸 ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2013/11/26(火) 12:36:43.15
例えば意味があるかどうかも判らないのに、とにかく計算機を使って得ら
れた出力を、『重要な結果だ』と強弁するとか。

狸
0020１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/26(火) 21:59:55.20
勝手な想像だけど、手法が限られている分ものすごくテクニカルで難しい議論を繰り広げてるイメージ
0021１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/26(火) 23:46:49.39
コンピュータに定理生成をさせると馬鹿人間でもこいつらよりはマシと思える。
0022１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/27(水) 03:00:36.47
この分野に"重要な（あるいは魅力的な）未解決問題"ってあるんですかね
誰か詳しい人
0023Let's Fight！
垢版 |
2013/11/27(水) 06:09:01.44
ほとんど無数に未解決問題が創造できる
なにしろ無限公理を追加し放題だからｗ
そして公理をさまざまにいじって
強制法やランダムの定義を少しづつ変えてってのはすでに行われている！
0024狸 ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2013/11/27(水) 14:25:21.16
狸

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0025１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/28(木) 01:25:05.45
へー
0026１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/28(木) 01:38:22.14
竹内薫のゲーデルの不完全性定理は
結構わかりやすい。
書評がボロクソに書かれてるけどそんに悪いかな？
0027１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/28(木) 01:54:04.39
わかりやすいのと
でたらめ書いて馬鹿にわかった気にさせるのは全然別の事だからな
0028１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/28(木) 06:47:09.10
ふーん
0029狸 ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2013/11/28(木) 07:04:48.59
狸

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0031１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/28(木) 10:35:29.26
集合論とは実数について考えるための道具だったのですね
哲学の方から集合論に興味持ったために長いこと勘違いしてました
0032１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/28(木) 19:45:11.39
>>30
元気ですか？
0034１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/28(木) 20:20:00.33
竹内薫の本バカにされてるけど
そもそも不完全性定理って数学の定理じゃないからｗ
>>31
数学者の使う実数とは違うよ
やるだけ無駄　役に立たない
0036狸 ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2013/11/28(木) 20:28:12.90
>>32
はい、毎日元気に馬鹿板潰しに精を出してますぅ～

ケケケ狸
0038狸 ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2013/11/28(木) 20:55:24.63
運営の失敗と言いたいんだろうか

ケケケ狸
0039１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/28(木) 22:10:37.34
ZFCってでかすぎるんだよね
成り立つかどうか胡散臭い定理が結構ある
全体的にあまりに空想的な命題が多すぎて設定次第でどうにでもできてしまうからね
そこが人工的な感じがして今一本気でやればい部分がある
0040１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/28(木) 23:25:10.92
>>36
それはよかった、これからも元気に生きてください
0042１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/29(金) 20:56:22.16
>>12
> 集合論って、情報系>哲学系>数学系の順に人気があるイメージ

こういう事を書く人って集合論も情報系も全然知らないって自白しているも同然ですね。
情報系にとって興味があるのは基本的に計算可能な対象ですから集合でも高々可算無限濃度まで。
連続体濃度以上の一般の集合は情報系にとって関心はありません。
従って、連続体の濃度がどうだとか巨大基数とかが関心の中心になっている現代の集合論は
情報系の関心の範囲外ですし情報系での応用もありません。
同様に、超準解析を始めとして一般の無限集合を用いるモデル論も情報系にとってはほぼ無縁です。
情報系で関心の高い「モデル論」と言えば有限モデル論(finite model theory)です。

集合論と同様に基礎論系統の分野でも証明論、特にGentzen流の還元的証明論なんかは確かに情報系で
関心のある人も多い（といっても、そもそも理論計算機科学屋そのものが情報系では極めて少数派）ですが。

情報系つまり理論計算機科学屋にとって通常の公理的集合論や一般のモデル論なんて関心ありませんよ。
せいぜい情報系のポストにもぐりこんでいる基礎論屋さんだけです、そんな巨大なサイズの枠組みに興味を持つのは。
0043１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/29(金) 22:29:25.02
>>39
ZFよりはるかに弱い集合論もあるし、それなりに研究もされてるよ

たとえば新井敏康「数学基礎論」にはKripke-Platek集合論の
証明論的分析が載ってる。
同じ本の集合論の章に載ってる「BST」も弱い集合論の一つ。
0044１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 03:05:01.88
うお！補足されてる(>>42)、ありがたいですね
実際俺は"集合論も情報系も全然知"らんわ

けど、集合論を勉強しようとした時に内容が最もよく整理されてて
役に立ったのは"情報"分野の本棚ですね
次に哲学。"この公理を採用する正当性は何か？"みたいな
テーマが議論されてて深さという点ではダントツだった
数学の本棚が一番しょぼかった
素人目からは。
0045１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 03:14:41.90
↑"しょぼい"は悪い表現だった
内容は豊かでした

なんていうか、公理を定めてどんどん演繹してくんだけど、
公理を疑ったりみたいな話題にはノータッチだった
俺はそこに一番興味があったんだけど
0046１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 06:55:35.64
ほんとに素人目だな
ここに無料テキストが山ほどあるから勉強しなすこと
http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&;version=1.0&verb=Display&page=past&handle=euclid.pl
0047１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 08:11:14.00
集合は集合か？
0049１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 09:16:31.95
公理を疑うというのはナンセンス。
数学は公理を定めてどんどん演繹してくことにより、なにが導かれるかを明確に示してくれる。
それが目的にあわないなら別の公理を用いればよい。
それがいい加減な思考ではなくて論理的に演繹により示されるのに、なにが不満なんだか。
選択公理のない集合論、無限公理のない集合論、基礎の公理のない集合論(や、これらの否定を公理に持つ集合論)などなど、研究されていて面白い結果も導かれている。
0050１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 11:53:19.60
>>46
いきなりそのシリーズは無理や

案外キュネンの和訳に載ってる数学の哲学的な部分が良いかも
0053１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 19:16:04.59
>>46
助かります！
便利な情報はもっと目立って存在してくれればいいのにと思う
0054１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 19:32:58.91
>>49
数学の体系を「この公理を採用したらこれが演繹できる」っていうペアの平等な寄せ集め
と見るならばそうかもしれないけれども、
現実の"数"の性質をどれだけ忠実に表現しているかっていう視点で
公理系を見ることには意味があると思うんです
0055１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 19:35:46.55
そういうことは「公理を定めてどんどん演繹して」いかないとわからないよ
もちろん、現実の"数"の性質について知るためには、現実の数学について知らなければならないし
0056１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 20:03:26.49
>>53
基礎論は無料でテキストが公開されている場合が多いから
洋書なんかは購入前に調べたほうがいいよ
0058１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 20:32:09.82
基礎論やるんだったら以下のページはおさえとくべき

集合論の公理詳細
http://us.metamath.org/index.html

論理体系のリスト
http://home.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems/index.html

計算量クラスのリストとその図
https://www.math.ucdavis.edu/~greg/zoology/relations.html
https://www.math.ucdavis.edu/~greg/zoology/diagram.xml

逆数学とかの小型の数学体系とか
http://rmzoo.uconn.edu/diagrams.html
0059１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 21:17:47.76
>>58さん
ありがとうございますm(_ _)m
0062１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/12/16(月) 21:15:09.09
Complexity Zoo とか、種類が多すぎてとても追っかけきれそうもない
どういう態度で臨めばいいんだろう…？
0063１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/12/27(金) 05:54:12.77
a?aa?aaaaaaaaa
0064１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/12/28(土) 11:03:16.00
>>62
文字通り動物図鑑とか昆虫図鑑を見るような態度ではないですか？
動物や昆虫と違うのは、いくらでも人工的に新種を作り出せることですが。
0065裁判負一声会さくら接骨院親分歌代英二
垢版 |
2013/12/28(土) 12:52:09.17
qaz
0066１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/05(日) 06:40:16.83
素人なんだけど純粋な疑問がある
空集合って「任意の集合の部分集合」なんだろ？
それで居て空集合は「内部に何も含まない」だろ？
?∋?なのか？　???なの？
どっちなのか分からない
0068１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/05(日) 06:53:32.25
空集合は元を含まないので、空集合が空集合の部分集合であっても矛盾しない。
0070１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/05(日) 15:20:39.47
>>66 集合をビニール袋だと思え。
空集合は何も中身が入っていないビニール袋だ。

x∈A はAという集合にxが含まれている。
A⊂B は集合Bが集合Aを覆う。（含む含まないという言葉を使わない方が理解しやすい）
BがAを覆うというのは、Bの袋から要素を取り除くという操作をしたかもしくは何も操作しないときに
Aにできるということ。

空集合は空集合を覆う。（φ⊂φ）
これは、何もないビニール袋に何も操作しなければなにもないビニール袋のままであるということ。
0072１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/30(木) 10:57:19.45
初コメです。
集合論・数理論理学ガチでやりたいんですけど,不完全性定理終えた今からどの分野やったらいいんですかね?
キューネンの独立性証明の集合論にも興味ありますし,様相論理にも興味あるし,・・・
山本新の｢数学基礎論｣は最後までやったほうがいいのかな
0074１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/30(木) 21:58:43.73
やりたい分野を片っ端からやるしかないでしょ
0076１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/31(金) 01:50:36.01
了解
今一番興味あるのは,｢巨大基数の集合論｣ですけど,結構なハイレベルな気がします。
前提知識はどの位いるのかな？
0078１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/31(金) 16:20:35.11
とある場所で
「対角線論法は間違ってる！
　なぜなら実数は無限小数ではないからだ
　無限小数は全ての桁が確定しないから数ではない
　自然数と実数は１対１対応”し続けられる”」
と吠えてるヤツがいるんだが

実数の完備性（コーシー列の収束）は否定してないらしいが
完備性から非可算性も導かれることが全然分かってない
どうにかならんかね？
0079１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/31(金) 16:26:50.41
害がないなら珍獣の生態観察をして楽しむのがよろし
0080１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/31(金) 19:31:49.39
>>76
二回の反復強制法と多少のモデル理論が分かってれば良い

KunenじゃなくてJechで勉強した、というパターン以外は
キューネンより先にその本読むのはほぼ無理だと思うよ
0084１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/01(土) 01:15:55.15
>>77,80
あざっす


それにしても,公理的集合論,数理論理学を自主勉強でやってきた物だから,
自分がどの程度出来ているor出来ていないのかがわからない
0085１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/01(土) 18:03:01.22
自主勉強の教材の命題を自力で証明できたらその教材は修了
でいいんじゃない？
0087１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/04(火) 17:16:47.27
直観主義解析学でいうところの「実数」は通常の意味での実数とはまったく別物だから注意してね
0092１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/06(木) 00:30:44.88
自然数は存在するけど負の数や有理数は存在しない、というのは
ちょっと過激すぎるよねえ

まあ、体をなさずモノイドにしかならない自然数は軽視されがちだから
その点はありがたいけど
0093１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/08(土) 19:06:33.73
田中の公理的集合論をそらで復唱できるぐらいになるっていうのは修士レベル?
公理的集合論辺りでは,
どの程度出来て学部4年・修士・博士レベルっていうか知りたいんですけど・・・
0094１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/08(土) 19:13:02.30
1回述語論理の完全性定理の証明抑えて学部3年ぐらい,不完全性定理の証明まで
そらで言えるようになって学部4年or修士1年じゃないのかなぁって
個人的には思ってるんですが。
それと,公理的集合論を深くやる人は,数理論理学は
どの程度抑えておいたほうがいいのかも教えて欲しいです
自然数論の無矛盾性の証明は是非抑えておきたいと思いつつも
全然手を付けていないっていう事もあります・・
0100１３２人目の素数さん
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2014/02/16(日) 16:52:56.34
形式主義を意識しながら圏論を勉強していきたいのですけど,
BGの公理系を学んだ後に圏論やったら見方がどういう風に変わりますかね？
BGの集合論やBGとZFCの関係について学べる本・論文あれば教えてください。
0102１３２人目の素数さん
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2014/02/22(土) 09:10:34.22
BGの一般存在定理あたりかな。
変数は全て束縛、クラス束縛変数は含まない式Aならクラスとして存在。
系として、任意のZFCの式についてそれを充たすクラスの存在がBGで言える。
公理に関する簡単な議論でZFCで証明できるならBGで証明できる。
でも、ZFCに関するかぎり強さは同等。
BGが書いてある本ならほとんど書いているはず。

倉田令二朗、篠田寿一公理的集合論の初めの方など

圏論の見方がどう変わるかはわからない。
クラスに意識はすると思うが。
0103１３２人目の素数さん
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2014/02/22(土) 23:08:24.51
別に大して見方は変わらず、圏論を集合論的に定式化する方法の
一つを学べるだけだよ
0105１３２人目の素数さん
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2014/02/23(日) 14:48:40.14
クラスなんて大したもんじゃないよ

集合全体の集まりをＳとすると
クラスというのは２＾Ｓの要素
そのうちもとのＳに対応するものを
除いたのが集合以外の固有クラス

クラスの要素は集合だから
クラスを要素とする集まりは
クラスですらない
0106１３２人目の素数さん
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2014/02/25(火) 23:27:59.31
明日の16時39分頃に気をつけて下さい。
日本にも世界にも巨大地震が起きませんように。
皆さんも一緒に祈って下さい。

太陽フレアのＸが発生したそうです。
太陽黒点数の100越えが24日間継続しているようです。
0107１３２人目の素数さん
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2014/02/28(金) 02:35:59.16
セマンティクスを使わずに
３つの公理スキーマとＭＰだけを使って
命題論理式の証明を自動で導く
アルゴリズムの名前を教えてください
0109１３２人目の素数さん
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2014/02/28(金) 14:36:25.68
命題論理が完全であり決定可能であるという証明で使われている手法で定理を生み出していくアルゴリズムとはまた違うアルゴリズムなんですか？
0111107
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2014/02/28(金) 16:34:36.53
スレ違いスンマセン

論理学スレはどれも荒れていて
こちらのスレの雰囲気が良かったので

そういうようなアルゴリズムがあったら教えて
あるいは、関連する研究があったら教えて
という意図での質問でした

誰かしら研究はされてるはずと思っているのですがなかなか見つからない

ゲーデル数を使ったアルゴリズムは読んでいる教科書で軽くスケッチされているけど
細かい部分がよくわからないのでレシピがあったら読みたい

たぶん直接的に組むと指数関数的爆発だろうから
素人目には枝刈りのやり方とか研究のしがいがありそうな気が
0112１３２人目の素数さん
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2014/03/01(土) 01:39:26.64
>>110
"順に"っていうならゲーデル数で考えたくなりますけど,ゲーデル数は理屈上の概念であって
実用上あんな巨大な数はまず計算が間に合わないでしょうから っていうのが私の印象
0113１３２人目の素数さん
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2014/03/01(土) 01:51:08.20
変数記号を無限個 {x1、x2、x3、x4、……} 用意するんじゃなくて
{x'、x''、x'''、x''''、……} で代用してコード化すると有限文字（N文字）しか要らないから、
それぞれの文字を0～N-1と対応させてそのまま読むと
m文字の論理式はN進法でm桁のゲーデル数を対応させられる。
つまり N^m くらいしか要らない。

スマリヤンの本にあるゲーデル数化の方法だけど
m文字以下の論理式はある定数c、kに対してc^(m/k)程度はあるから、
このコード化は割と良い線言ってると思うよ。
0115１３２人目の素数さん
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2014/03/05(水) 11:46:52.07
WangのアルゴリズムでLKの証明は作れるから
LKとヒルベルトスタイルの同等性の証明をじっと見つめれば
0116107
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2014/03/05(水) 20:56:52.52
Wang のほうの資料は見つかったけど
同等性のほうの参考文献みつけられません…

同等性はセマンティクスを経由せずに証明できますか？
Deduction Theorem や完全性定理を仮定せずに証明できそうですか？

３つの公理スキーマについては、どの３種類を選ぶかは固定しておりませんが
その手法はそれでも適用できそうですか？
0117107
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2014/03/07(金) 22:24:34.33
セマンティクスを経由しないでという意味が分かりづらかったので説明します

３つの公理スキーマ
（Ａ１） Ｂ⇒（Ｃ⇒Ｂ）
（Ａ２） （Ｂ⇒（Ｃ⇒Ｄ））⇒（（Ｂ⇒Ｃ）⇒（Ｂ⇒Ｄ））
（Ａ３） （￢Ｃ⇒￢Ｂ）⇒（（￢Ｃ⇒Ｂ）⇒Ｃ）
とＭＰからなる公理系から出発すると、Deduction定理などを経由して完全系定理を示すことができて
この公理系はトートロジーの集合と一致することが示せます

一方、ルカシーヴィッツの公理系
（Ｌ１） （￢Ｂ⇒Ｂ）⇒Ｂ
（Ｌ２） Ｂ⇒（￢Ｂ⇒Ｃ）
（Ｌ３） （Ｂ⇒Ｃ）⇒（（Ｃ⇒Ｄ）⇒（Ｂ⇒Ｄ））
も同等の性質を持つ公理系らしいので、完全性定理の証明ができるはずですが
導くのにヒラメキが必要そうで、自分では証明を構成できていません

自分の第一の動機は、ルカシーヴィッツの公理系を出発点にした
完全性定理の証明を見つけたいので、コンピュータを援用したいという動機です

そして、一般の公理系は、適当に３つの公理スキーマを指定して考えることができるので、
適当に３つの公理スキーマが与えられたときに、それが完全性定理を満足するかを
ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要だろう、というのが第２の動機です

よろしくお願いします
0118１３２人目の素数さん
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2014/03/07(金) 22:56:10.71
二つの体系S1、S2が同等であることを確かめるには

S1の公理がS2で証明できることと、S1の推論規則がS2の推論を（何回か）使ってできること
S1とS2を入れ替えて上と同じこと

を確かめればよい
0119107
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2014/03/07(金) 23:13:42.15
(A1)～(A3) が定理であることが示せれば
それを使って完全性定理を示せ、
逆に完全性定理を示せるなら
(A1)～(A3) が定理であることが示せるので、
>118 の条件と >117 の条件は同じ意味になると思います

その >118 での確かめるアルゴリズムがあったらいいのですが…
0120１３２人目の素数さん
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2014/03/08(土) 01:52:42.79
このスレはちょっと活発そうなので,ここで聞いてみたいんですけど,
公理的集合論･数理論理学･証明論･モデル理論と 代数･幾何･解析を扱う方の数学をまたぐ分野ってありますか？
そういう分野,研究にかなり興味あるんですけど。
数学基礎論の理論を代数･幾何･解析の土俵で扱うことが出来るような研究にも興味あります(逆も勿論興味あります)

何で現在,こんなにも｢情報数理と純粋数学｣って住み分けが進んでいるんだろうなっていう気分です。
0122１３２人目の素数さん
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2014/03/08(土) 02:15:11.17
その言葉聴いた事ある・・・でも知らない・
特殊な微積分を構築するんですか・・
0126１３２人目の素数さん
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2014/03/08(土) 12:48:38.78
MSRIって凄いですな 日本で言えば,京大のリポジトリで過去のRIMS研究集会の講演内容を公開してる感じなのかな
0127１３２人目の素数さん
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2014/03/08(土) 16:26:39.54
>>107と>>117でだいぶ言ってることが違ってる気がするけど。
>>116までを読む限り、公理系が完全なのは前提みたいな書き方だから
2^n通りを虱潰しに調べりゃ良いじゃないか、ということになる。

なんで命題論理の公理図式は一般に3つだと思うようになったのか知らないけど
その体系の公理図式が3つであるのは偶然で、大した意味は無いよ
メレディスの図式みたいに一個からトートロジーを全て導き出せるようなものもある

ウカシェヴィチの公理系から上の三つを頑張って示すか、
ウカシェヴィチの公理系が完全であることの証明が載ってる文献を探すのが一番近道だと思う。

＞ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要
そんなアルゴリズムあるのかなあ。そもそも無い可能性もある気がするけど。
0128１３２人目の素数さん
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2014/03/08(土) 17:49:04.92
>>117
＞ルカシーヴィッツの公理系も同等の性質を持つ公理系らしい

違うと思う
117の公理系では重複する前提を１つにまとめられないと思う
0129１３２人目の素数さん
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2014/03/08(土) 17:55:32.28
>>128のつづき

例えば(L1)～(L3)で
（Ａ⇒（Ａ⇒Ｂ））⇒（Ａ⇒Ｂ）
を証明できる？
0130１３２人目の素数さん
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2014/03/08(土) 20:22:17.65
>>128-129

129 の命題式は恒真なので、(L1)～(L3) から証明できると思ってました

自分のネタ元は
Elliott Mendelson 『Introduction to Mathematical Logic, 5th ed.』
の
Exercise 1.58
で
"Prove that a wf B of L is provable in L if and only if B is a tautology."
とあります
0131１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/03/08(土) 20:35:07.14
>>127
＞ >>107と>>117でだいぶ言ってることが違ってる気がするけど。
＞ >>116までを読む限り、公理系が完全なのは前提みたいな書き方だから
＞ 2^n通りを虱潰しに調べりゃ良いじゃないか、ということになる。

とすると、>115 のアルゴリズムはまだ自分では把握できていないのですが、
上記のような考え方でのアルゴリズムになるんですかね？

＞ ウカシェヴィチの公理系から上の三つを頑張って示すか、
＞ ウカシェヴィチの公理系が完全であることの証明が載ってる文献を探すのが一番近道だと思う。

確かに目の前のエクササイズの解答を得るにはそれが良さそうですが、それでも
別の ｎ個の公理図式を与えた場合はどうか、また別の…、というふうに
いくらでも問うことができて、そのたびに解くためにヒラメキが必要とされるのであれば
一般的に解けたといいにくいなあと思うので

＞＞ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要
＞ そんなアルゴリズムあるのかなあ。そもそも無い可能性もある気がするけど。

まだ誰も研究テーマにしたことないでしょうか？
0132１３２人目の素数さん
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2014/03/09(日) 00:00:03.36
かなり踏み込んだ話題でもレスしてくださる方がいらっしゃるようですが,
じゃあ,私も山本新先生の数学基礎論についても埋めれなかった行間が沢山あるんですが・・・
0136１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/01(火) 02:12:29.10
無限公理として ∃y(φ∈y∧∀x(x∈y→x∪{x}∈y)) を採用した場合、
∃y(φ∈y∧∀x(x∈y→{x}∈y)) は証明できますか？
0137１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/01(火) 02:39:15.45
置換公理があれば可能、なければ
ZC（ZFC - 置換公理 + 分出公理）では不可能
0139１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/01(火) 15:00:34.74
可能である事を主張するのは,証明図を見つけたらいいだけいい一方,,
不可能である事を主張するのって大分困難だと思ってるんですが,
それをささっとレスして凄いですね。
0140１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/01(火) 15:04:00.48
質問文を読んでから問題を検討したわけでもあるまいに
ささっとレスすることの何が凄いのだろうか
0141１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/01(火) 21:12:47.16
最近公理的集合論の勉強を始めたばかりなのですが、
整列可能性と可算性の関係はどういう関係なのでしょうか？同じに見えるのですが。
また、選択公理の独立性は話題になるのに、置換公理や無限公理など他の公理の
独立性が話題になることが余りないのは何故なのでしょうか？
0142１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/01(火) 23:10:36.51
割と有名な教科書にそのまま載ってます。
片方が成り立ってもう片方が成り立たないモデルを作れば良い。

>>141
可算⇒整列可能は成り立つけど
整列可能⇒可算は成り立たない。
実際、ちょっと厳密じゃない言い方になるけど
可算な整列順序の順序型の全体は整列可能だけど
ω＝aleph_0の次の基数になる。

置換公理や無限公理の独立性は選択公理より遥かに簡単に示せます。
これも丁寧に書いた教科書なら大抵載ってます。
0144１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/02(水) 20:15:28.26
>>142
ありがとうございます。
可算でないのに整列可能ということがあり得るということですが、どうもよく
わかりません。非可算な集合を整列するとき、最初の可算部分を整列させた後、
残りの非可算の部分をどうやって整列させるのでしょうか？

ところで、無矛盾性や独立性を示すには、モデルの存在によって示すしか他に方法は
方法はないのでしょうか？モデルを持ち出さずに直接？示すことはできないのでしょうか？
また、モデルが矛盾するということはないのでしょうか？
0146１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/02(水) 22:58:02.79
144は任意の非可算集合を整列させることを問題にしているけど
142で言っているのは非可算な整列集合が存在するということだけで、
後者を示すだけなら選択公理みたいなものは使わない。

無矛盾性について言えば、
証明を形式的に分析して0=1に至る証明が存在しないことを
何らかの方法で示すという証明論的方法もあるにはある。
正直あまり実用的な感じではないけど。

あとは教科書読んで勉強して下さい
0147１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/03(木) 15:40:43.86
>142で言っているのは非可算な整列集合が存在するということだけで、
>後者を示すだけなら選択公理みたいなものは使わない。
実数の集合がその例ですね。非可算かつ自然な順序関係によって整列される
0148１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/03(木) 18:28:01.78
>>147
> 実数の集合がその例ですね。非可算かつ自然な順序関係によって整列される

？
0151１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/04(金) 20:31:23.75
>>148
そうか、０以上の実数の集合、としても駄目ですね。
じゃあ、非可算な整列集合ってどういうものだろう？
整列って変な性質ですね
0153１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/04(金) 22:53:16.63
選択公理はどこが変なのでしょうか？無限公理が変だと思わないように
選択公理も全然変だと思わないですけどね。
整列の方は、可算でもなく単なる全順序でもないという、なんだか変な
感じがするけど。
0154１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/04(金) 23:39:15.03
147みたく教科書も読んでない人みたいなレスだな
0155１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/04(金) 23:49:09.46
整列可能定理よりもZornの補題の方が遥かに「成り立ってそうな感じ」がする
0157１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/05(土) 03:07:01.43
>>153
選択公理の帰結や、選択公理と同値な命題を色々眺めてれば何か悟るんじゃね？
0158１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/05(土) 04:44:42.62
選択公理が変だと思う奴はあまりいないだろ
選択公理から出る結果が変だと思うから選択公理も疑われるだけ
有名なのはバナッハ・タルスキーの定理だな
0159１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/05(土) 08:26:10.40
濃度をまともに扱いたければ結局選択公理に頼るしかなくなるから大抵は悟ることになる。
0160１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/05(土) 12:48:31.25
>>151
たしかに変なことが起きるのは非可算な整列集合のときだけかもしれん
可算集合の場合はいくら選択公理を適用してもおかしなことは起きんのじゃないかな
0161１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/05(土) 13:38:50.39
選択公理そのものは認めずに、可算選択や従属選択に制限してADつけ加えるとかもあるけど、実数を扱うならちゃんとした選択公理が欲しい。
たとえばRを、差が有理数な時同値という同値関係～で類別した時に、従属選択ぐらいではR/～の濃度がRの濃度より大きくなったりしてしまう。
0162１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 00:35:26.00
＞R/～の濃度がRの濃度より大きくなったりしてしまう
それはバナッハ・タルスキーの定理よりもよっぽど気持ち悪いですね
0163１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 00:40:03.52
ここはお前の日記帳だ
0165１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 00:57:32.19
集合論が終わったのは全部ラッセルのせいらしいな
0168１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 10:36:34.63
ラッセルが、１足づつある靴下（左右の区別がつかない）の集合から片方を
一つづつ選んだ選択集合は作れないだろうという主旨のことを言っているが、
なんでつくれないんだっけ？
0169１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 11:08:33.83
写像というのは定義域のすべての要素に対してそれぞれ値がただひとつ決まらなければならない。重要なのは順に決めるんじゃなく、一気に全部決まる必要があること。写像は集合の一種。
脚が有限組なら、もちろん具体的に指示して前から順に靴下を選べばよい。終われば一気に決めたのと実質同じだから。しかし、無限組ある場合、このような具体的な指示ではいつまでも対応づけは終わらない。一気に決めた状態に辿り着くことはない。
無限にあっても前の組までの対応から次の組の対応が決まるならそれは具体的な指示だから値は決められるかもしれない。可算選択や従属選択が比較的嫌われないのはそのあたりにあるわけで、その意味で靴下のたとえはあまり適切ではないかも。
また、靴なら右を選ぶという具体的な指示ですべて一気に選べるだろう。
しかし、たとえば無限組の脚がぐちゃぐちゃな配置で前から並んでいない虫で、ペアとなる脚の組から靴下をひとつずつ選ぶ時、適当な指示を与える有効な手段は無いかもしれない。となると、一気に決まると断言することはできない。
選択公理はそれができると断言することにあたる。
0170１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 11:28:18.61
選択公理は、「そういう写像が在る」ということを主張しているだけで、
「そういう写像が決まる」ことを言ってるのじゃないから、ラッセルの
例は、選択公理に対する反例（というのかな）にはならないのでは？
0171１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 11:52:46.06
ラッセルのは反例というよりは、じゃあこの場合は本当に選択関数はあるの？という問いかけでしょう。あるというなら具体的に示して、と。
ヒルベルトの「神学」や、カントールの実無限に対する批判を見れば感じると思うけど、20世紀に抽象数学が発達する以前は具体的手段がないのに選択ができるというのは数学者のスタンダードから外れていた。
まだ選択公理批判が始まった頃はその感覚は相当残っていたんじゃないかと。
0172１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 11:54:36.43
互いに素な（空でない）集合からなる（空でない）集合　から代表元を選び出すことの喩え
左右の区別がつかないので、一斉に左を選ぶというような方法で代表元を指定することはできない
0173１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 11:55:55.92
急にポエム化が進んだな
0175１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 12:00:02.49
可算集合の場合はいくら選択公理を適用してもおかしなことは起きんのじゃないかな
0176１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 12:09:37.12
整列してあれば当然問題ないけどそのような構造を与えてない怪しい可算集合なら安心できないというのもひとつの考え方。
0178１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 12:40:09.79
ラッセルの靴下の例は選択公理の理解に有用だけど
「虚数集合」とか良く分からない用語を勝手に自分流で使ったりするのはアレだね
しかも集合論の話っぽくないし
0179１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 12:44:05.45
行列を習ったばかりの高校生が、複素係数の行列も考えられるのでしょうか？
という趣旨の質問をしたと解釈
0180１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 14:40:40.82
>>176
自然な整列ができない可算集合があるということ？
0181１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 15:41:58.79
可算ということは自然数全体の集合からの1対1ontoな写像はあるはずだから、それを具体的に与えれば整列できるはず。ただ、写像がある、というだけだと、具体的には整列しようがない。
0182１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 18:18:59.77
全単射があれば整列順序は得られるし
具体的な全単射があれば具体的な整列順序が得られるというだけの話じゃないの
0183１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 18:35:34.96
>>182
>全単射があれば整列順序は得られるし

それができるというのがまさしく可算選択公理なわけで。つい当たり前と思ってしまうが、自明からはほど遠い話。
0184１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 18:59:06.26
Xが可算集合であるとは全単射f:X→Nが存在することであり、
x, y∈X に対してx≦y⇔f(x)≦f(y)と定義すると(X,≦)は順序集合となり、fは順序同型写像。
ゆえに(X,≦)は整列集合である。

これだとどこか間違ってるの？
0185１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 19:18:19.83
具体的な全単射が指定されていればそれで整列できるが、全単射があるというだけではそのように順序を与えることができない。
0186１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 19:29:17.01
んん？？
そうなのか？

Xが可算集合であるとは∃f(fはXからNへの全単射)のことであり、
x, y∈X に対してx≦y⇔f(x)≦f(y)と定義すると(X,≦)は順序集合となり、fは順序同型写像。
ゆえに(X,≦)は整列集合である。
したがってXは整列可能な集合である(変数fは消えた)。

上の論証でも、Nが整列集合であることの証明でも、選択公理を使っていない。
0187１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 19:40:29.06
非可算無限ある全単射: X→N から一個の f を取り出すのはまさに選択公理でしょう
0188１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 19:48:48.12
それは選択公理ではなく、ヒルベルトのchoice operatorというやつなのでは。
不定にchoiceされたfは最終的に消えるので「可算集合は整列可能である」は証明できたことになると思う。
0189１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/06(日) 20:06:02.05
何度繰り返しても選択公理を使ってないと思い込んでしまうくらい勘違いしやすいということだな。
0191１３２人目の素数さん
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2014/04/06(日) 20:17:33.68
非常に芳しいやりとりだ。
0192１３２人目の素数さん
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2014/04/06(日) 20:24:37.47
非可算集合は、選択公理のもとでも、整列可能だが、「具体的には整列
しようがない」のね？
0193１３２人目の素数さん
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2014/04/06(日) 20:30:21.36
>>192 実数の全体について言えば、その種の言明は正しい。
0194１３２人目の素数さん
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2014/04/06(日) 20:33:23.45
>>190
最終的な結論は「Xは整列可能である」、つまり∃R[ (X,R)は整列集合) ]だよ。
Rはただの束縛変数。
何の問題もないと思うけど。
0195１３２人目の素数さん
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2014/04/06(日) 20:34:16.61
>>193
「実数の全体」という限定は必要ないのでは？

なお、可算集合は、選択公理がなくても、整列可能
0196１３２人目の素数さん
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2014/04/06(日) 20:36:41.60
>>195 ω_1 のような非加算順序数の場合は？整列順序を、論理式
x∈y∨x＝y で定義できると思うけど。
0197１３２人目の素数さん
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2014/04/06(日) 20:37:50.99
「芳しい」というより、「香ばしい」やりとりだな。
自然数の整列性は、自然数の定義にもよるだろうが、
普通の定義、例えばベアノの自然数なら、証明できる。
その上で、整列順序の存在は、
可算集合と自然数集合との全単射の存在と同値。
可算選択は、数学的帰納法に過ぎない。
0199１３２人目の素数さん
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2014/04/06(日) 20:42:57.01
＞可算選択は、数学的帰納法に過ぎない。
可算整列は、数学的帰納法に過ぎない。
の間違い？
0202１３２人目の素数さん
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2014/04/06(日) 21:06:39.40
>>183
可算選択公理 axiom of countable choice ってのは
A_n≠φ（n∈ω）のとき選択函数 f : N→∪A_n で f(n) ∈ A_nとなるものが存在する、
という主張のことを言うと思うんだけど。

https://www.google.co.jp/search?q=axiom+of+countable+choice

可算集合が整列できないなんていう変な主張のことじゃないよ。

一個以上あるものから一個を取り出すだけなら
（具体的なものを取れるかどうかは分からないけど）選択公理は要らない。
0204１３２人目の素数さん
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2014/04/06(日) 21:16:21.36
>>203
だからそれ（存在量化された命題から、一つの実例を選び出す）は選択関数じゃないっての
選択公理とは、「存在量化された命題から、一つの実例を選び出す」という操作を無限回行えることを保証する公理
0205１３２人目の素数さん
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2014/04/06(日) 21:20:20.28
「存在量化された命題から、一つの実例を選び出す」という操作を無限回　　しかも一括で　　行えることを保証する公理

と言った方がいいかも
0206１３２人目の素数さん
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2014/04/06(日) 21:21:32.37
選択函数ってのは
空でない集合の族 F = {A_i} (i∈I), A_i ≠φがあったときに
f(i)∈A_i となるような函数
（つまり A_i たちからそれぞれ要素 f(i) をチョイスする函数）
のことを言う、という風に定義されてると思うけど。

選択函数とか或る集合が可算であるとか、可算選択公理とかの
定義を確認した方が良いと思う。
0207１３２人目の素数さん
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2014/04/06(日) 21:42:22.59
与えられた集合 X の整列順序を ZFC の具体的な論理式で書き下してくれとか、
与えられた、空でない集合族 (A_i)_{i∈I} (A_i ≠ φ)の
選択関数を具体的に構成してくれとか、そういう要求でないのかな？
0208１３２人目の素数さん
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2014/04/06(日) 22:07:51.00
そういう具体的に～ってできるの？
0209１３２人目の素数さん
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2014/04/06(日) 22:13:21.67
たとえば、実数の全体の整列順序関係を、ZFC + GCH 内で具体的な論理式で
書き下すことが不可能なことは、すでに知られているよ。
0210１３２人目の素数さん
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2014/04/06(日) 22:14:55.10
>>192
バナッハタルスキの件も、「具体的には整列しようがない」非可算集合を整列しちゃう
ところから生じているの？
0213１３２人目の素数さん
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2014/04/07(月) 01:22:10.73
バナッハ・タルスキーは、体積が違う球体が作れてしまうのが
選択公理のせいではないことは分かっている
0214１３２人目の素数さん
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2014/04/07(月) 04:03:21.91
今までの議論ざっくり見ましたが,大学2,3年生ぐらいの議論という事ですか?
曖昧な表現や思い込み･勘違いな表現が多数見受けられましたが。
0215１３２人目の素数さん
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2014/04/07(月) 07:04:16.99
単に定義について勘違いをしてた人が居ただけ
まああまり高度なポイントではなくて
きちんと本に書いてある定義に則って話をするかどうかということだけど
0216１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/07(月) 07:07:01.78
選択公理→ハーンバナッハ→バナッハタルスキ
だから、選択公理のせいではないとは言えない
0218１３２人目の素数さん
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2014/04/07(月) 10:22:44.34
>>215
定義の意味についての議論もあるね
0219１３２人目の素数さん
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2014/04/07(月) 10:24:54.67
ACがあれば証明されるけどACより弱い定理から導かれるのでACが必要というわけではなくAC無しでも証明できる
0223１３２人目の素数さん
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2014/04/07(月) 12:21:03.28
>>183を見る限り、定義の勘違いだけではなさそうだが…
本当は必要ないのに、特別な公理が必要だと思い違いをしてて、こっちの方が深刻
0224１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/07(月) 21:30:48.96
深刻にならずにやろうぜｗ
0225１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/10(木) 14:04:13.78
選択公理も含めて、どの公理もその独立性は直感的に明らかだと思うんだが、
独立だと思っていたら実は独立でなかったというような公理はなにかあったの？
0226１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/10(木) 19:16:43.07
ZF + not ACのモデルの存在は直感的に明らかということでOK？

というか分出公理は置換公理から出て来るとか、
公理同士の依存関係は結構あるよ
分出公理や空集合の存在を除いても確か除いて良い公理があったような
0227１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/10(木) 19:30:17.10
> ZF + not ACのモデルの存在は直感的に明らかということでOK？
そのつもり。+ ACも + not ACもどちらも直感的に矛盾しそうにない。
> というか分出公理は置換公理から出て来るとか
分出公理と置換公理は、むしろ直感的に等価だと感じる方に属する。
0228１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/10(木) 19:57:13.17
分出公理から置換公理は出ないから等価というのはおかしいよ。
置換公理の方が遥かに強い。
0229１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/10(木) 20:27:58.02
不用意だった。あなたの言うとおりだ。
ただ、置換公理->分出公理であることは、直感的にもわかりやすいよね。
一方、分出公理!->置換公理であることはオレにはすぐにはわからないのだが
0231１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/10(木) 20:41:57.10
分出公理から置換公理は出ない
0232１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/10(木) 21:42:15.56
>>229
累積的階層のR(ω+ω)がZCのモデルになって
置換公理以外は分出も含めて成り立つけど置換公理は満たさない
特に順序数ω＋ωが存在しない

「明らか」という言葉は簡単に証明できると言える場合以外使わない方が無難だと思う
0233１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/10(木) 22:18:53.70
僕は昔集合論を勉強し始まったころ、ZF から AC が証明できると思い込んで、
しかもそれが「直観的にも明らか」だと信じてしまっていた経験がある。

後でゲーデルやコーエンの理論を読んで、じっくり反省しました。
0235１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/10(木) 22:58:53.31
ちょっと初歩的な質問をさせて貰いますが,
｢ACがZFから独立である事を証明するには,ZF+￢ACのモデルの存在を言えばいい｣って言うのは何故ですか？
0236１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/11(金) 09:08:21.81
それだけじゃダメだけどな
0237１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/11(金) 09:15:05.52
>>233
それがあなたなりの根拠があってそう直感したということだったとしたら
おもしろいね。どういう根拠だったか知りたい。少なくとも、￢ACの独立性は
正しく直感していたということなわけだし。

>>234
なにか代わりの公理を入れて？

>>235
完全性定理
0238１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/11(金) 09:48:54.27
ブルバキのは確かR(x)を満たすxが存在するならその存在するもののうちひとつを表す記号(なければなんでもよい)
τ_xR(x)
があるので、これを用いれば選択関数が簡単に作れてしまうという、半ば反則的な方法をとっていたと思う。
0239１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/11(金) 10:34:19.41
それは選択関数そのものじゃないの？
0240１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/11(金) 10:57:11.65
そのものじゃないでしょ。でもすべてのx∈Xについてf(x)≠φならば、選択関数gが
g(x)=τ_y(y∈f(x))
で定義できる。
0241１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/11(金) 22:24:32.26
数理論理学的にはちょっと違うけどね。
たとえば選択公理を認めても選択函数はdefinableなもの
（上で言うところの「具体的」な函数）になるとは
限らないけど、ブルバキのτ（ι記号とも言う）を使。うなら
必ず論理式で具体的に書けるような関数になる

集合論は「明らか」だと思われるようなことに
実は数学的・論理学的にすごく微妙subtleな点があるのが面白さの一つだと思う
0242１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/12(土) 07:59:17.41
キューネン『集合論』は、集合論の入門書ですか？それとももっとレベルが高いですか？
0243１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/12(土) 08:33:51.39
レベルが高い入門書です。
何年か前に30年近くぶりに新版が出て内容が一変してます。
0244１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/12(土) 09:08:55.59
ある程度集合論について知識持った方に聞きたいんですけど,
どの学年でどの程度の知識を持っているのが大体の相場なんでしょうか？
例えば, 学部○年で,松坂の集合位相入門の,濃度･順序数をほぼ完璧に理解。○年で,不完全性定理を理解。
修士or博士○年で強制法理解････とか･･
0246１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/12(土) 12:19:39.02
>>241
>集合論は「明らか」だと思われるようなことに
>実は数学的・論理学的にすごく微妙subtleな点があるのが面白さの一つだと思う
それは集合論に限ったことではないと思うのだが、どう？
それに、（これも一般に）微妙な点というのは弱みであることも多い
（むしろふつううはそう）と思うが、どう？
0247１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/14(月) 00:34:27.71
しかし研究対象がそもそもsubtleに出来ているのなら
それをそのままsubtleに（霊妙に、とでも訳せば良いのか）理解しないといけない。

Einstein曰く、"Subtle is the Lord, but malicious He is not."
神は霊妙ではかりがたい。だが悪意は持たない。
0248１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/14(月) 07:56:26.63
>>237
根拠となったのは、以下の主張です。

ZF の任意の可算モデルを M とします。以下、ZF の論理式A(x_1, ... , x_n)
は M に変数を持つものとして解釈します。M は可算だから、整列可能。従って、
任意の論理式 A(y, x_1, ... , x_n) と M の元の列 a_1, ... , a_n に対し、
A(y, a_1, ... , a_n) なる y∈M が存在すれば、そのような y の最小限を
f(a_1, ... , a_n) とおき、A(y, a_1, ... , a_n) なる y∈M が存在しなければ、
M の最小元を f(a_1, ... , a_n) とおきます。

こうすることによって、M 上の論理式には全てスコーレム関数が定義できるわけで、
M は ZFC のモデルとなります。

従って、M 内で AC は真。したがって、完全性定理より、ZF から AC は証明可能。

この論証の間違いを理解するのに、数ヶ月かかりました（笑）
0249１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/14(月) 17:37:54.29
様相論理って面白いんですか？
結構体系が別れていて,研究分野としての整理があんまり出来ていない感じがしてるんですけど
0250１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/14(月) 20:18:07.65
体系に番号や記号もそれぞれ振られているし整理はそれなりにされてると思う。。
ただ一言で様相と言っても我々の言語にはいろいろな種類の様相
（証明可能性、義務、知識、信念、……）があり得るので
そういったことに応じていろんな体系があるという感じに理解すると良いと思う。
唯一のthe 必然性がある訳じゃない。
0251１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/14(月) 21:07:35.27
>>248
ACを証明するのにACを使ってしまった、ということでしょ？
ここに書かれたことは、あなたにとってACは、それ自身他の論証の根拠として
つい使ってしまうほど自明のことであったということではないの？あなたが
ACを導いた根拠なのではないよね？
0252１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/14(月) 21:26:23.17
＞ACを証明するのにACを使ってしまった、ということでしょ？
違うような。

ZFの可算モデルを取るときにACを使ってるけど、
「ZFの任意のモデルで～～が成り立つ。よってZF |- ～～」
を示す時にACを使うのは（あまり）問題が無い。

問題なのはMの住人が「Vは可算」だと信じていないといけないような証明になっているということ。
0253１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/14(月) 22:05:53.55
数か月考えてみるわ
0254１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/23(水) 10:24:05.52
V=L |- CH は、まあそうだろなと思うが、V=L |- ACの方は、なんでこの二つが
関係するのかと思ってしまうのだが、みなさんはどう？
0255１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/23(水) 14:16:15.81
　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
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　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　私は死なないわよ。
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　 でも最近一寸太ったかしら。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　 　　　　Windows ver.10 で　　　　
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　元の痩せた姿にしてよね。
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　 　　　
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
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0256１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/23(水) 21:38:36.54
論理式を使って定義できるような対象しか存在しないなら
その定義のされ方に着目することで整列順序付けができてもおかしくは無いのかな、
というイメージはあるけど。
0257１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/24(木) 13:53:42.75
>>256
あっ、そうだね。
私がわからないのは、整列可能性 <-> AC　の方かな？
これもそんなにおかしいことではない？
0258１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/24(木) 19:55:50.83
→は、考えている集合たちの要素たち全体を整列する。
あとはただ整列順序に関する a の最小要素を選べば（choiceすれば）良い。

←は、まず全体から一つ要素を選んで一番小さい 0 番目の要素とする。
次に残りから一つ要素を選んで（choiceして）その次に小さい 1 番目の要素とする。
次に残りから……
次に残りから一つ要素を選んで ω 番目の要素とする。
次に残りから一つ要素を選んで ω + 1 番目の要素とする。 ……
というのを残りが尽きるまでひたすら繰り返す。アイデアは簡単だが厳密に書くと結構分かりにくくなる。
0259１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/24(木) 20:52:34.66
>←は、まず全体から一つ要素を選んで一番小さい 0 番目の要素とする。
>次に残りから…
こう言うと、これらの操作を順々にやるように聞こえるが、ACではもちろん、
これらの操作を一気に（同時に）やるんだよね。
たしかにアイデアは簡単だ。
なのにその独立性を示すのになんで強制法もようなテクニックがいるの？
0261１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/24(木) 23:24:20.17
うん、それは関係ないとは思うが、
V=Lが独立なら、CHもACも独立なのじゃなかった？
そして、V=Lが独立なのは明らかだろうと思うのだが。
0263１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/25(金) 09:30:08.22
not[ZF|-V=L], ZF|-(V=L->CH), ZF|-(V=L->AC)　に比べて、
not[ZF|-AC] やnot[ZF|-not AC]を示すのが難しくなるのは
どうしてだろう？ということかな
0264１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/25(金) 09:33:35.56
数学において「明らか」とか「自明」という表現は
「あまりにも簡単に証明できるのでバカバカしくて書いてられない」という
意味です。
0266１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/25(金) 12:07:12.74
文脈に応じていろんな明らかがあるよ
0267１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/25(金) 12:16:17.22
～セミナーにて～
優秀なA君「明らかです」
馬鹿なB君「明らかです」

意味が違う
0269１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/25(金) 20:19:13.41
ACの独立性などに比べると不完全性定理は自明な定理だと言っても264には注意されるのかな？
0270１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/25(金) 21:05:27.46
V=L → GCH → ACなので、
ZFからACが導けないなら当然V=Lも導けないが
逆を言うのはかなり困難だと思う。
＞V=Lが独立なら、CHもACも独立なのじゃなかった？
これは何情報？

そもそもACを認めない時点で基数の一般論が
ちょっと工夫しないといけなくなるのでその時点で自明とは言い難い
0271１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/27(日) 13:47:36.65
松坂和雄の整列定理から選択公理を導くところだけど、整列集合にする順序関係
があるとしても、そのうちどれを選ぶのかということを指定するルールを明示しない
限り証明になっていない気がするんだけどあれでいいの？
0274１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/27(日) 14:41:00.77
Xを集合とし、X上の整列順序全体の集合を X’とする。
整列可能定理とは、任意の集合Xに対してX’≠φが成り立つということ。

選択公理とは、添え字付けられた空でない集合の族(A_λ｜λ∈∧)に対して
Π_λ A_λ ≠ φが成り立つということ。

選択公理を証明するとはすなわち、単にΠ_λ A_λ ≠ φを示すことに他ならない。
Π_λ A_λ ≠ φを示すには、空でない集合YであってY⊂Π_λ A_λを満たすものを
1つ作れば十分である。

添え字付けられた空でない集合の族(A_λ｜λ∈∧)は(∪_λ A_λ)’≠φを満たすとする。
写像 F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λを以下のように定める。
まず、ρ∈(∪_λ A_λ)’を任意に取る。このとき、(∪_λ A_λ, ρ)は整列集合である。
各λ∈∧に対して、f(λ)：＝min A_λとして写像 f ：∧→∪_λ A_λを定める。
ただし、右辺のminは(∪_λ A_λ, ρ)におけるminとする。従って、このfはρごとに定まる。
F(ρ)：＝f として F(ρ) を定義すれば F(ρ)：∧→∪_λ A_λである。
特にF(ρ)∈Π_λ A_λである。ρ∈(∪_λ A_λ)’だったから、以上より
写像 F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λが定義できた。
Y＝{ F(ρ)｜ρ∈(∪_λ A_λ)’}と置けば、(∪_λ A_λ)’≠φにより Y ≠ φ である。
また、F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λにより Y ⊂ Π_λ A_λ である。
従って φ ≠ Y ⊂ Π_λ A_λ となったので、Π_λ A_λ≠φである。以上より、次が言えた。

・添え字付けられた空でない集合の族 (A_λ｜λ∈∧) が (∪_λ A_λ)’≠φを満たすならば、
　Π_λ A_λ ≠ φである。

系：整列可能定理が成り立てば選択公理も成り立つ。
0275271
垢版 |
2014/04/27(日) 14:45:43.56
>>272
いや、>>270の人が言っている疑問とは違くて、ある集合に適切な順序関係を加えれば整列集合とすることができるので
個々の部分集合から最小値を取り出せる、よってその最小値を取り出す操作を選択関数
とするって証明に書いてある。だけどその際適切な順序関係がたくさんある中からひとつを
選ぶ操作を指定しない限り選択関数を指定していることにならないと思うんだけどどうなんだろ。
0276275
垢版 |
2014/04/27(日) 14:49:19.48
>>274
あ、分かった。ありがとう。そうか空でないと言えればそれでいいのか。
0277１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/27(日) 20:05:45.29
教科書にはそうとしか書いてないはずだけど、
整列可能の定義を何だと思ってたの？
0278１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 01:29:11.69
公理論的集合論について予備知識なしで読める本を教えてください。
赤 攝也『集合論入門』(ちくま学芸文庫)は古すぎるでしょうか？
0279１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 02:04:42.24
>>278
共立『Q&A数学基礎論入門』
文系学生対象の講義を元にした本らしい
一応ZFの公理系は書いてある
0280１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 05:14:45.43
『復刊 公理論的集合論』西村 敏男・難波 完爾 (2013/4/2) 共立出版
この本はどうですか？
0281１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 10:23:25.13
ZF+V=Lの無矛盾性の証明よりZF+not{V=L}の無矛盾性の証明の方がずっと
難しいのね？なぜ？
0283１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 14:36:22.88
どこが違うからなの？
歴史的には、ZF+not{V=L}の無矛盾性の証明はできることはわかっていたが、
どのように証明するかに手間取ったの？
人間版不完全性定理っていうのはないの？
0284１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 16:22:19.89
「『数学上の問題を解くには方程式書いてコツコツやってもはじまらない。仏の境地に
達すれば何だってスラスラ解けるものだ』。こういう表現だったかどうか正確ではないが
確か（岡潔）先生はそういう意味のことをおっしゃったと思う」

--- 広中平祐
0285１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 17:44:21.52
　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
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　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　私は死なないわよ。
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　 でも最近一寸太ったかしら。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　 　　　　Windows ver.10 で　　　　
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　元の痩せた姿にしてよね。
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　 　　　
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0286１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 21:48:52.72
>>280, 283
赤さんの本は公理的集合論の本ではないけど、
公理的な集合論を勉強する前に学部レベルの
素朴集合論の本の内容を身につけた方が効率が良いと思う
（ついでに言うと一階述語論理は先に勉強するに越した事は無い）。

難波完爾先生の本は独特な味がある本だけど、初学者には難しい。

正直な所、Kunenを読む一歩手前の人に適当だと言えるような
水準の本は日本語ではなかなか無い。
「ゲーデルと20世紀の論理学」シリーズの四巻第一章が割とそれに近いか。
0287１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 21:52:44.05
上のレスのアンカーは>>278>>280の間違い

>>283
具体的に構成したり定義したり出来るような対象は
必ずLに含まれるので、V=Lとその否定のどちらが正しそうかと
集合論の知識の無い非専門家の数学者に聞くと、
V=Lが成り立つ方が尤もらしいと答える人が多い。

V=Lの無矛盾性は、実際にLの要素の集まりを考えて
それがZF+V=Lのモデルになっていることを示すだけで良いけど、
その否定の無矛盾性はその種のVを削るような方法では示せず、
モデルを拡大する操作が必要になる。
0288１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/29(火) 01:43:02.27
>>286
>赤さんの本は公理的集合論の本ではないけど、
>公理的な集合論を勉強する前に学部レベルの
>素朴集合論の本の内容を身につけた方が効率が良いと思う
>（ついでに言うと一階述語論理は先に勉強するに越した事は無い）。

えっと、よくわからないですが、赤さんの文庫本は「学部レベルの素朴集合論の本」ではないんですね？
別の本で「学部レベルの素朴集合論」をやるべきということですね？具体的な書名をおしえてください。
0289１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/29(火) 12:53:55.74
公理論的集合論の本じゃないけど
学部レベルの素朴集合論の本だとは言っても良いんじゃないの？
このレベルの本はどれも大して優劣は無いからどれでも気にいった本で良いよ。

日本語の本で
諸定義、集合に関するブール演算、選択公理、濃度、順序数、
という順序で基本的なことを解説するパターンの本はどれでもほぼ同じ。
0290１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/29(火) 20:12:32.06
>>287の前半
>集合論の知識の無い非専門家の数学者に聞くと、
>V=Lが成り立つ方が尤もらしいと答える人が多い。
それは違うのじゃないかな？一般人（非専門家）はむしろ「世界は具体的
に構成したり定義したり出来るような対象だけとは限らないだろう」と
考えて、not{V=L}はあり得ることと考えるのではないか？「V=Lだ！」
とも言わないだろうが。つまり、一般人は、V=Lとnot(V=L)のどちらも
あり得ることだと直感しているのじゃないかな？
0291１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/30(水) 11:57:41.41
無矛盾性（独立性）を示すのに、モデルの存在を示すという方法でなく、
syntacticalにやる方法を書いたものってなにかありますか？
0292１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/30(水) 20:56:21.74
証明論の順序数解析の本とかにはそういう証明があるよ
たとえば新井敏康の数学基礎論の第八章（証明論の章）には
集合論KPの無矛盾性の統語論的証明がある
0293１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/30(水) 21:06:35.91
>>292
ありがとうございます。見てみます。（モデルの有無だけでは、なぜ無矛盾
なのかはわかりにくいと思ったので）
0295１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/01(木) 07:58:11.74
>>294
完全性定理ですね。それはわかっているのですが、
私が「なぜ」と言ったのは、「どういうしくみ・理由で」無矛盾なのかを知りたい
という意味でした。モデルの存在からは、「とにかく無矛盾」としかわからないと
思うので。
0296１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/01(木) 08:07:27.46
間違えました。健全性でした。
0297１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/01(木) 21:07:07.92
どういうも何も、定義上
M |- not φ は M |- φの否定と同値だから
矛盾した理論を解釈するモデルがあったら
意味論のレベルで矛盾律（Aかつnot Aとはならない）が
破綻してしまう。だから
矛盾律 ⇒ 矛盾した理論にはモデルは無い i.e. モデルがあるなら無矛盾
としか言いようがない気がする。
0298１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/01(木) 22:24:07.38
集合論の公理系に限らず、およそ公理系を設定する人は、まあ間違うこと
なく無矛盾で独立な公理系を設定するものだ。
そのとき彼らは必ずしもモデルの存在を確認してそれらの公理系を設定する
わけではないだろう（たとえばユークリッドも）。
ということは、モデルの存在というのは力ずくの最終確認手段に過ぎず、
無矛盾性や独立性を察知するもっと早い方法があるということなのじゃ
ないかな？
0300１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 01:05:46.05
フレーゲが最初に定義した述語論理の体系は矛盾していた。
チャーチの論理定数を含むラムダ計算の体系も矛盾していたため
数学の基礎付けに使おうという元の目的は達しなかった。
ラインハルト基数も矛盾していることが分かった対象の例。
およそ公理系を設定する人は～というのは何を根拠に言ってるのか。

証明論的に無矛盾を示すためには、可算順序数で整列順序が複雑なものを
表記法を工夫して相当テクニカルに示さないといけないので
モデルを構成するよりも難しくて面倒で「もっと早い方法」とは到底言えない。
0301１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 01:53:49.43
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
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0302１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 09:17:05.88
>>300
まあ間違わないと言っただけで、間違う場合もあるでしょう。
それに、フレーゲ、チャーチの場合は（ラインハルトは知らないが）、
公理系の矛盾と言うより、言語そのものに内在したパラドクスと言うべきと
思うのだが。
3次元空間で4つの基底を指定されたときにはすぐに独立でないと察知できる
わけだが、公理系の場合も或る程度それに似たことができるのではないかな？
少し前に議論されていたACなんかも、ACを一見しただけで、ZFからはそれ
（あるいはその否定）が出てくるはずはないと察知できるよね？
0305１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 12:58:00.50
>3次元空間で4つの基底を指定されたときにはすぐに独立でないと察知できる
さすがクズ哲はあたまいいねー
0307１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 13:32:33.95
なんかウヨウヨわいてきたな
0309１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 15:56:03.76
集合論を勉強しようというわけでもないのに集合論のテクニカルな部分を知りたがる

まともではない
0310１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 21:31:12.78
＞公理系の矛盾と言うより、言語そのものに内在したパラドクス
述語論理のような論理学や言語の部分も公理や推論規則を立てて
形式的に扱うべきだ、というのがツェルメロ・フレンケル・スコーレムや
ゲーデル・ノイマン以後の集合論の考え方。
そうしないと、「きっと独立に違いない」とただ信じることは出来ても独立性を証明することはできない。

＞公理系の場合も或る程度それに似たことができるのではないかな？
「或る程度」、多少はね。ただモデルがあるかどうかはっきりせず、
意味論を後から考えないといけないような場合には一般には難しい。
0311１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 21:32:44.59
＞ACを一見しただけで、ZFからはそれ
＞（あるいはその否定）が出てくるはずはないと察知できるよね？
じゃあ例えば>>248や
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1348851752/561 の疑問にすぐに答えられる？
ここは集合論を勉強する上で初学者がかなり引っ掛かりやすいポイントで、
でも個人的にはかなり微妙で面白い部分だと思う。

実際にそういう察知が出来てればカントルはあんなに苦労してなかったはずだし、
（カントルやツェルメロの時代の数学者は>>>302に比べてバカばかりだったとでも言わない限り）
ツェルメロの公理系の選択公理に対する否定的反応も起こらなかったはず。
それにヒルベルトの23問題の第1問題は連続体仮説だけど、彼や当時のその他大勢の数学者は
連続体仮説が集合論の公理系から証明も否定もできない、という可能性は
あまり深刻に考えてなかったはずだよ。
それとも連続体仮説は証明できそうに思えても仕方ないが選択公理はそうではない、
と言えるに足る理由が何かある？

歴史をあまり知らないと後知恵で当然だと思ってしまうことも、
知識が無い段階でいざ証明しようとすると全く自明でないことがしばしばある。

ニュートン曰く、" If I have seen further it is by standing on ye sholders of Giants."
私がより遠くまで見渡せたとするならば、それは巨人の肩の上に乗っていたからだ。
"Dicebat Bernardus Carnotensis nos esse quasi nanos, gigantium humeris insidentes,
ut possimus plura eis et remotiora videre, non utique proprii visus acumine,
aut eminentia corporis, sed quia in altum subvenimur et extollimur magnitudine gigantea."
Bernard de Chartres(12C)
0312１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/06(火) 08:17:04.64
>>248
>ZF の任意の可算モデルを M とします。...
>従って、M 内で AC は真。したがって、完全性定理より、ZF から AC は証明可能。
ここは単に、Mが「任意のモデル」でないので完全性定理を適用できないだけではないの？
0313１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/06(火) 11:51:04.33
そこはレーヴェンハイム・スコーレムの下降定理から
非可算でACが成立しないモデルがあったら
可算でACが成立しないモデルも取れるから良いんじゃないの？
0314１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/06(火) 17:59:38.53
>>313
ゆっくり言ってくれる？
0316１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/06(火) 21:42:40.15
>>314
L-S-下降定理:
　言語 L 上の理論 T の任意のモデル M は
　濃度κ = max(|L|, ω)の初等部分構造 N ＜ M を持つ。
　（とくにNとMは全ての閉論理式の真偽が同じになる。）

ZFの言語は可算だからκはアレフ0になる。

だから>>248の最初の文は
「ZFの任意のモデルをM'とし、その可算な初等部分構造を M とします。」
とすれば、最後の部分も
「したがって M 内でACは真、したがって M' 内でACは真、したがって、完全性定理より」
とすれば通用する。
まあその間の部分に間違いがあるから結局ダメなんだけど。
0317１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/06(火) 22:12:52.18
モデルの濃度については、可算モデルの範囲でのみ考えていいんだよ。
完全性定理の証明を読んだことがあるならば、判るはずだ。
0318１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/06(火) 22:21:02.71
あ、ZF について言えばね。
0319１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/07(水) 23:53:49.21
わしらスコーレムのパラドックスからしてよう分からん
モデルの内外って分かりにくいわ
0320１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/08(木) 12:45:18.95
モデルの内外なんて難しいことを考えるとわからなくなるよ（教科書には
そう書いてあるものが多いが）。
無限公理とベキ集合公理を満足するモデルを空集合から始めて地道に構成
して行ってみればわかるよ。
0321１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/08(木) 12:56:17.36
>>316
>「ZFの任意のモデルをM'とし、その可算な初等部分構造を M とします。」
ここでACを使っていないの？
0322１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/08(木) 20:00:37.74
集合論の言語は有限文字しかないから
論理式の集まりに整列順序を入れられる。
だからこの場合ACは無くても可算な初等部分構造を取れる。
0323１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/08(木) 20:02:56.41
というか
「Tからφが証明できる⇔Tの任意のモデルでφが真」
を示すのにACが必要だという話と、
TがACを含まないZFだという話は水準が違う話だから区別しないと。
0324１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/10(土) 12:19:33.56
>>322
それってV=Lを仮定した議論じゃない？
0326１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/10(土) 13:59:23.54
なんとまた、香ばしい話の展開だ。
0327１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 18:51:54.49
>>298 >>300
遅レスだが、ZFCの公理の中では、正則性公理だけが（集合存在について）禁止的公理だ。
だから、正則性公理を除いた公理系が無矛盾であることはほぼ自明であるし、
正則性公理を除かない場合も、無矛盾性を示すには正則性公理だけに注意しておけばよい、
なんていうことはないの？ｗ
0328１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 21:44:07.11
>>327
> 禁止的公理だ。

「禁止的公理」ってなんだよ。任意の公理は（お前の言う）禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。

> 正則性公理を除いた公理系が無矛盾であることはほぼ自明である

数学を学ばないやつってある意味無敵、の一例だな。
0329１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 22:03:57.17
>「禁止的公理」ってなんだよ。任意の公理は（お前の言う）禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。
どれか他の公理を禁止的に書いてみてくれるか？
0330１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 22:30:20.09
数学村では定義がなされない自分用語を用いた質問を繰り返すと相手にされなくなる
0331１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 23:07:50.97
正則性公理を使って ￢∃X∀x[x∈X] が証明されるから,
"禁止的"って言うニュアンスを込めたように,俺は読める。
0332１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 23:18:31.10
>>330
>任意の公理は（お前の言う）禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。
こう言ってるかれ（きみか？）は、定義がわかってるはずだよｗ
0335１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/20(火) 07:59:09.38
選択公理は整列できない集合が存在しえないと言ってるんだから
禁止的じゃないのかとか言わると困るんじゃないのかと思うんだけどね。

それに任意の集合族に選択函数が存在するという選択公理と
任意の無限ゲームに必勝法が存在するという決定の公理は矛盾するし。
0336334
垢版 |
2014/05/20(火) 08:58:02.97
任意の公理は禁止的には非禁止的にも表現できる

という>>328の主張に興味がわいたので質問しただけです。
>>328以外の方はスルーしてください。
0337１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/20(火) 09:49:10.26
流れからはずれるのですが、
正則性公理をはずすと、∃X∀x[x∈X] を公理に加えても矛盾しなくなり
ますが、これでなにかおもしろいことは起きるのでしょうか？
正則性公理をはずした時点で超集合論ができることは知っていますが。
0339１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/20(火) 16:34:29.17
>> 334
任意の集合 B について、{A_λ}_{λ∈Λ} をどれも空集合でないような集合の族とすると、それらの直積が
(&prod;_{λ∈Λ}A_λ) ⊂ B となるような {A_λ} は存在しない。
0343１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/20(火) 17:35:35.32
>まず公理が禁止的という表現の解説を頼む。
>>335によって粉砕された模様
0345１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 07:45:18.33
それなら「P(A)を満たすAが存在する」形式は「￢P(A)を満たすAが存在しない」と書き換えて終わる
0346１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 09:12:28.34
>>345
はあ？
0348１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 10:45:12.28
>>337
∃X∀x[x∈X]を公理にすると分出公理からラッセル集合が作れるので正則公理無しでも矛盾します
0349１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 11:12:37.03
なるほど。
∃X∀x[x∈X]で存在保証されたXをAとおいて、
B={x∈A|not(x∈x)}を考えれば不合理に陥りますね。
空集合の反対があってもよいのにと思ったのですが、
うまくいかないものですね。なぜでしょうか？ｗ
0350１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 11:36:40.54
空集合の逆なら、∃X∀x[￢(X∈x)]なのでは？
これならどうなる？
0351１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 11:39:52.05
それは全然だめ。対公理に反する
0353１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 15:13:19.92
こんな超基本的なことも自分で分からないまま、
「証明は奴隷の仕事。俺は哲学徒だから物事を俯瞰的に観るのだ」などとほざいてんだろうなあ
0355１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/23(金) 23:44:33.55
皆のコメをぼーっと見てたんだけど,博士課程以上のトークしている人も居れば,
集合論の話をブルーバックス程度で聞きかじった程度の知識で無知さらけ出してる人も居るようですね。
0360１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/24(土) 21:05:36.57
>>348
> 分出公理からラッセル集合が作れる

ラッセル集合って真のクラスであって集合の元にはならないから、
分出公理からラッセル集合は作れないと思うのだが
0361１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/25(日) 13:36:36.03
>>351-352
よくわからんが X∈{X} が成り立たないような X が存在してほしい、ってことなんじゃないの？
そのためには対集合を作る操作に制限をかけざるを得ないが。
0364１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/25(日) 15:14:39.07
わざわざ
＞∃X∀x[x∈X] を公理に加え
と書くくらいなのだから
>>337は、Xをクラスではなく集合のつもりで書いてあるのでは？
0365360
垢版 |
2014/05/25(日) 15:25:33.52
ああ、理解した。色々誤解してたすまん。
0367１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/25(日) 20:51:09.33
>359
>>311はその道のプロ。
その他はだいたいふつうの愛好家。
集合論を学んでいるｗことを特別なことのように思っている若い学生が少し居るｗ
0368359
垢版 |
2014/05/25(日) 22:04:52.83
まあ>>311は俺が書いた訳なんだけど。

平均的な数学研究者よりは詳しいかもしれないけど
集合論の博士課程レベルの話じゃないよ。
学部には普通は集合論の講義は無いけど、
Kunen一冊読めば分かるレベルだからせいぜい修士初年級のレベル。
0369１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/25(日) 22:41:21.77
>>311 の一連のコメントがよいのは全体にopenな感じだからかな？
詳しいかどうかよりも。でもニュートンはいらんかったかな？ｗ
0370１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/26(月) 01:19:31.61
やっぱりKunenは有名なんだな
カナモリの巨大基数挑戦したいしKunenも挑戦したい
0372１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/26(月) 10:05:42.00
KunenとAwodeyではどっちを勉強するのがよいでしょうか
0373１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/27(火) 00:26:05.59
いや分野違うし

ほとんど数学と文学どっちを勉強するのが良いですか？って質問に近いぞ
0374１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/27(火) 00:31:05.98
>>371
新版は、
・モデル理論などの或る程度の知識を前提としているので
その分self-containedではない
・その代わり旧版よりかなり議論が整理されている。
・旧版出版後に分かって来た事実についてかなりupdateされている。
・演習問題が、旧版では章末に纏められていたけど新版では本文の間に挿入されている
・旧版の演習問題は、訳者が解答集を作成している
0375１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/27(火) 10:46:25.65
>>373
そんなに違わんやろｗ
英語と独語のどっち、くらいの違いだがや
答えてやれよ
0376１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/27(火) 11:19:46.06
オレ的には躊躇なくKunen。Awodeyは時間を無駄にする可能性が大いにある。
0377１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/06(水) 10:27:46.77
{}
0378１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/07(木) 20:18:01.68
そんなつまんないことよりも、こっちこっち↓笑える休憩タイム。


【天才霊能者八意先生に関するサイト】

天才霊能者の八意先生は埼玉県八潮市生まれ育ちの２１歳です。
悩んだ時にはまず八意先生に相談しましょう。
以下のサイトを読み終わったら、
腹を抱えて大笑いしてしまうことをお約束します。

http://blog.goo.ne.jp/nichikon1/e/e6f2fcf0abd101f4cb6e50399421197d
http://blog.goo.ne.jp/nichikon1/c/9bb4322846693ae17f0b6080edca7dd1
http://blog.goo.ne.jp/nichikon1/c/aab06d5a40edbe719a91303f8cd9be11
http://blog.goo.ne.jp/nichikon1/c/ae90214bf06a9430fcfabfde25b2141f
http://blog.goo.ne.jp/nichikon1/c/677e5914e5ebf50fffbd0f963732410b
http://www.reinou.jp/bai.html
http://www.reinou.jp/rei.html
http://www.reinou.jp/warashi.html

http://www.reinou.jp
http://blog.goo.ne.jp/nichikon1

八意先生が口にしたことは絶対に起こりませんｗ
でも、人生の悩みなんて、八意先生が指ぱっちんで解決してくれます。

一応、コメントも含めてすべて読んでみてください。
☆コメントの書き込みも大歓迎です。☆
0379１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/11(木) 17:21:24.81
大平さんの『関数のはなし』を読んでいたら、
その昔、関数とは1対1または多対１の因果関係を指すとはかぎらず、
何価関数なんて言葉もあったそうで、現在の意味での関数は写像と
読んでいたということが書いてありました。

しかし集合論の発展によって、従来のそうした概念は棄てられ、
現在の意味での関数という概念になったということが書いてあります。

詳しいことはその本では触れていません。この経緯について簡単に
解説してくださったり、その点について詳しく書かれている集合論の
著書をご存知でしたら、ぜひとも教えていただきたいです。
0381１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/11(木) 19:14:28.83
ディリクレの定義だね（別の教科書で間接的に知ったから詳しくはわからないけど
どうもいろんな数学者ごとの類似の概念がいくつも混在していた時期があったらしい
0382１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/11(木) 21:35:24.64
>>379
へーッ。昔の関数概念の方が自然で好きだな。
0384１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/11(木) 22:51:45.89
＞何価関数なんて言葉もあったそうで
いや今でもあるけど……

いまでも数理論理の専門家以外は、（つまり代数や幾何や解析の専門家は）
一意に値が決まることよりも「関数」の代数的な性質が
「自然」で数学的本質をよく表していることの方を重要視する
0386１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/17(水) 21:13:23.49
>>385
代数だと、多価関数を考えるよりも、
複数の一価価値どうしの共役性の話に
してしまうような気がする。
解析では、関数は局所で定義されるものだから、
大域で眺めると自然に多価性が出てくる。
0387１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/20(土) 03:45:48.88
『数学基礎論へのいざない (数学基礎論シリーズ)』を読んでたら、初っぱなから
「p→q はもっとも日常的用法から『剥離』しているように見える」とか出てきてうんざりした。
0388384
垢版 |
2014/09/20(土) 06:43:47.49
確かに位相的の方が良さそうですね
じゃあそれで
0389１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/20(土) 12:31:26.36
>387
「ならば」という言葉を対応付けるのが間違っているのにな。
「pの時はqになる」とか他の言葉を考えないのかね。
（『は』による叙述範囲の限定）
0390１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/20(土) 14:11:54.63
叙述範囲に入ってない場合はどうなるか、
真偽値不定なのかデフォルトで真なのかという問題じゃないの？
日常言語学派的な語用論的説明が一番分かりやすいと思う

>>387
まあまあ良い本だけど文章は正直上手くないよね
0392１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/08/27(木) 15:58:58.49ID:yi4FuQWD
集合論って活用できる範囲や事柄は
具体的にどういったところが挙げられますかね？

ちなみ自分は経済哲学の分野で必要で勉強し活用していました。
応用範囲について詳しい方いたら教えてくださいな。
0394１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/08/27(木) 22:27:20.76ID:8R0TBFv+
経済学でいうところの集合論というのは、数学では普通、点集合論とか位相空間論と呼ばれるもののことだと思う
大昔、点集合論は（純粋）集合論の一分野とされていた
どちらにせよ、数学の全範囲で使われるんだけど
0395１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/08/27(木) 23:59:14.53ID:8R0TBFv+
全範囲は言い過ぎか
群論・環論で位相抜きの議論はいくらでもあるし
0396１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/08/28(金) 01:04:15.97ID:HEHjdWlX
位相空間論かどうか微妙だが
フィルターとかその双対のイデアルは
集合論でも割と使う
0397１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/09/03(木) 19:15:50.50ID:RnfB8QmP
392ですがありがとうございます！

回答内容もありがたいのですが約一年ぶりの書き込みに
こんなに皆さんレスくれたことに今感動してますｗ
0398１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/09(金) 21:34:07.84ID:nnfMbhzM
大型書店の数学書を一通り調べても見つからなかったのですが、
集合が自分自身の他に空集合でない極小元ｘを含む場合も
正則性公理か何かに反することが証明できるんですか？

A{A, x｜x≠Φ, ｘ￢∈ｘ｝
0400１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/10(土) 01:57:11.77ID:+l5Dt7F5
>>399
ｘは純粋に集合の元でしかなく、それゆえにｘは自分自身を元とする単集合｛ｘ｝として
解釈しようとしてもできない…というつもりです。それを満たすようなｘは
現代の数学だと空集合以外扱われていない印象を受けましたが、
それは単にあまり研究されていないだけなのか、
それともＡ｛Ａ｝という単集合の場合と同様に
∀Ａ（Ａ≠Φ→∃x∈Ａ∀t∈Ａ(t￢∈x))　から
厳密に矛盾が導かれるのかということを疑問に思いまして…
0403１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/10(土) 07:28:36.07ID:hcdGIEYa
まず、a∈bの否定は￢(a∈b)であって、
a￢∈bと書いてる数学書なんか
この世に一冊も無いと思うんだけど。

A{A}も意味不明。A∈{A}とかA={A}なら意味分かるけど。

人に何か聞くときは自分で考案した表記法使っても理解されない、
というのは素人とか玄人とか関係ないと思うけど。
0404１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/10(土) 08:16:49.29ID:LqMeNCyW
定義をきちんとしたあとで、一歩一歩進んでいくと論旨も追いやすいね。
定義は自由だけど、業界の慣習にある程度は従うことも大切。
0406１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/10(土) 12:17:28.19ID:+l5Dt7F5
>>403
すみません、￢(a∈b)とA={A}という意味です。
何しろド文系なもので、少しでも学んでいければと思います。
0408１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/10(土) 13:23:36.57ID:+l5Dt7F5
元としてＡ自身と、空集合でない極小元ｘの二つがあるということです。
書き直すと　Ａ={Ａ(Ａ∈Ａ), x(x≠Φ∧￢(ｘ∈ｘ))｝ の方がまだいいでしょうか？
0409１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/10(土) 13:55:00.69ID:XHmWOSP1
外延性公理が成立して無いように見える
0411１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/10(土) 16:33:35.17ID:+l5Dt7F5
なるほど、確かに和集合になりますね。しかしそれでも定義から
｛Ａ｝＝｛｛Ａ｝∪｛ｘ｝｝＝｛Ａ、ｘ｝
となって、いくら分解してもＡにｘが含まれているため
外延性公理も正則性公理も成立してしまうように見えて悩んでます。
0412１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/10(土) 16:42:27.21ID:XHmWOSP1
素朴集合論以上に素朴だな
0413１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/10(土) 16:43:33.09ID:in07sVnf
君は集合論の公理なんて気にする前に、まず集合というものを直観的に把握することを目標にすべき
めちゃくちゃだ
0414１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/10(土) 16:51:25.80ID:5vry4+fh
プロパークラスを素で突っ込んでくるあたり、数学書を何も読んでないらしい。
0415１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/10(土) 19:16:17.61ID:+l5Dt7F5
愚問だからこそ、こんなこと書いてる数学書なんてこの世に一冊もないのでしょうね。
だからこそできる人に聞かなければ独学じゃ一生判断できないわけですし。
結論としてはこのような構成もやはり集合ではなく、真のクラスに分類されるのですか？
0416１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/10(土) 19:31:36.76ID:XHmWOSP1
素朴を大袈裟に魅せる数学書はなかなか無いだろうな
需要はあるかも
0418１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/10(土) 21:04:28.98ID:hcdGIEYa
>>408
「極小」というのはあくまで～～の中で極小、
というように範囲を定めた上で初めて意味を持つ概念なので
xがどの範囲で極小と言っているのか分からない。

x≠φ∧￢(x∈x)は、「xが～～の中で極小」ということを表現していないけど。

たぶん正則性公理に出てくる「極小」という言葉の意味を
間違えているんじゃないかな。
これは∈を前順序とみたときの極小元のことを言っている。

ちなみにja.wikipedia.orgの正則性公理の記事は間違っている。

というわけで>>411は何を言っているか良く分からない。

基本的に、書店で立ち読みしたりネットでググったりしただけで
きちんとした知識が身に付くと思わない方が良いよ。
0420１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/11(日) 10:27:22.84ID:IMiaN9S+
>>418
ウィキペディアのあの記事は不正確なんですね。危なかった。
では空集合以外の極小元はどう範囲を定めようとしても
∈が前順序とされる条件に抵触するのですか？
0421１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/11(日) 12:09:33.03ID:NgdA1rqz
だから、どの範囲での極小元の事を言ってるんだよ。
∈が前順序となることに矛盾するなんて言ってないよ。

良いからきちんとした教科書を読みなよ。
0422１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/11(日) 12:47:20.17ID:fn9rql3+
「トンデモは数式に全角文字を使いたがる」というが、コイツはまさに当てはまってるな。
正確に言うと「トンデモは全角・半角の使い分けに拘りが無い」といったところか。

>>411
＞｛Ａ｝＝｛｛Ａ｝∪｛ｘ｝｝＝｛Ａ、ｘ｝

2つ目の等号は成り立たないよ。{ A }∪{ x }＝{ A, x } だから

{ { A }∪{ x } } ＝ { { A, x } }

にしかならない。まさかこいつ、{ } の中の { } は省略可能だと思ってるのか？
こいつにとっては { { } } も空集合であり、{ { } } ＝ { } なのか？
0423１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/11(日) 13:00:33.09ID:xY9v7uyz
{A} = {A, x} ならば、A = x だな。
0424１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/11(日) 16:50:21.91ID:IMiaN9S+
>>422
全角は単に自分が見やすいからですが、半角の方が適切ならそちらに合わせます。

つまり{{A, x}}の中に要素の要素としてxが入っているとしても
この階層のレベル(?)ではあくまで{A}の単集合とみなされ、
正則性公理でいう極小元xが入っている状態には当てはまらないということでしょうか？
0426１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/11(日) 18:31:21.50ID:IMiaN9S+
xは集合Aの元であり、空集合でなく、Aの部分集合tに含まれても
逆にtを含むことはない…といったところです。
0427１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/11(日) 18:39:10.15ID:IMiaN9S+
>>426
訂正　x≠Φは私の思いつきの部分で、一般的には極小元=Φですよね。
0428１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/12(月) 15:35:36.76ID:WN0eQD9H
A={A}
これを認めちゃうと
A-A=0
{A}-A=0
外延性公理が成立しないように見える
0429１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/12(月) 15:46:55.08ID:3wnebymM
A={A}は正則性公理（基礎の公理、axiom of foundation）に反するから
ダメなだけで外延性公理とは矛盾しないよ。
そういう集合が実際に存在するAFAという体系もあって、
外延性は成立している。
0431１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/13(火) 18:33:48.41ID:z/f9Hfmm
いろいろ問題はあるけど、あの創価学会だってテロは起こさない（と思っているが…）。

もし、所謂「イスラム国」が壊滅させられるか、テロをやめない限り、
イスラム教を否定する方向に舵を切らざるをえない。

現状で、もしシリア難民を大量に受け入れたら、必ずテロリストは混ざってくるだろう。
現在でも、まだまだ単なるスパイですら、バカサヨのおかげでまともに取り締まれない。
テロリストが居ても奇異に感じられないほど、イスラム教徒の数がふえたら、
新幹線、原発施設、あらゆる公共施設が容易に標的にされる可能性がある。

宗教の自由を尊重したいのはやまやまだし、
日本人のムスリムの活動を否定する気もしないけれど、
憲法九条でテロが防げるわけでもなし。
あまりかんばしくないけれど、テロリストはしっかり排除できるような体制になるまで、
シリア難民の大量受け入れには反対だ。
0432１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/12/18(金) 10:19:30.25ID:cingKdUw
　酢ーーーーーーーーーーーー
　酢酢酢酢酢ーーーーーーーーー
　酢っ酢っ酢酢酢酢はぁとーーーー♪
0434酢酸
垢版 |
2016/01/16(土) 02:22:43.04ID:fpLJI1uC
なんか、すさんでるね。
0436１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/03/10(金) 00:08:45.09ID:q/sOfII+
而平时有着缝隙偷窥癖好的他因偷看邻座女生文绪而渐渐喜欢上了她。
3905电影网讯 改编自《白兔糖》作者宇仁田由美的同名漫画《偷窥》近日正式曝光首款预告片和海报，
预告中男主町田启太和女主佐佐木心音略微情色又青春搞笑的场景大肆公开福島，给人一种纯情般的畅快感。
人生的青春幽默物语。而实际上，文绪其实也从缝隙中观察的平作。
平日喜欢偷窥的平作喜欢从窗帘偷看观察隔壁家文绪的生活画像，而因一件小事二人成为了朋友，
但一直过着单相思的生活。在NHK电视剧小说《花子与安妮》中担任男主的町田在该片中出演一位青春荷尔蒙冲动型的大学生平作，
《偷窥》由《女阴》、《谎言的诱惑》的导演吉田孝太掌镜同时担任编剧，描绘了一出奔走于恋爱、情色、
”同时对于原著吉田也说：“福井宇仁田由美老师的作品最重要的主题就是‘平等的个性’，
吉田导演称：“只有町田表现出了笨笨的平作的样子，而佐佐木自身就有着如太阳一般的魅力，将文绪自由奔放的个性展露无疑。
除此以外，中村映里子、八木将康和久住翠希等年轻演员一并共演。
所以这次我通过银幕将平作喜欢偷窥的癖好和文绪喜欢偷拍的趣味都一并展现出来，期待大家去观看。
0437１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/11(木) 10:30:26.25ID:OnYg4SYI
基幹講座 数学 集合・論理と位相
という本は演習問題がありますか。また、あるとしたら解答が付いていますか。
0448１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/16(火) 02:59:44.67ID:CgXtkXk8
集合論の本には稀に atom あるいは urelement を含めるものがありますが、
記述が煩雑になるだけで、全く利点を見出せません
しかも実際には本文中に atom はほとんど登場しないという始末
これは一体何がしたいのでしょうか
0459１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/16(火) 12:25:45.92ID:GHzBK8D0
>>437
ありますよ。解答も付いてます。
この本は定義域が空集合の写像についても言及していて、連続する量化記号に一節使っていて、素朴集合論のみですが、説明も注意も細かくて、そこはさすが基礎論の専門家だと思った。
0481１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/06/01(木) 00:19:42.50ID:bvIWK4JR
置換公理って集合論やそれに近い分野以外で必要になる場面はありますか？
0482１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/06/01(木) 17:55:43.28ID:hRrDF6dS
素朴集合論を理解したら、公理的集合論も余裕？
0484１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/06/02(金) 13:34:14.63ID:Nx0e+K/h
>>483
何をおっしゃりたいのか分かりません
数学の本を読んできた結果、数学の基礎として（分出公理では足りず）置換公理も必要なのか疑問を抱いたのですが
0485１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/06/03(土) 16:56:47.06ID:RTi6aQi3
痴漢公理@徳島
0488￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2017/06/04(日) 12:41:23.30ID:+ujylFoS
痴漢行為を行ってる奴も叩け

￥
0491１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/06/04(日) 16:26:57.90ID:P6ISpByY
>>484
ブルーバックスから出ている竹内外史の集合論の本（題名：集合とはなにか）に、
置換公理がないと集合がω＋ω程度しか必要なくなって貧弱になるというような
ことが書いていたような。
0509１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/06/05(月) 15:59:32.57ID:5I093hZw
もう罵倒の言葉しか出てこないか
プライドを守るにはそれしかないもんな
それにしても、数学の本を読んだ事ある人はどこに行ったのやら
0510１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/06/05(月) 16:30:16.74ID:jJS0qh75
目次見て読んだ気になって503みたいなこと言うとか間抜けすぎて言葉もないわ。
まあ>>506なんだろうけど。
実際p.157に分出公理の弱さと置換公理の強さについて書かれてるから>>484は読むと良い。
0511１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/06/05(月) 16:36:14.44ID:5I093hZw
じゃあ俺が再度尋ねるけど、
「置換公理って集合論やそれに近い分野以外で必要になる場面はありますか？」
ID:P6ISpByY も ID:jJS0qh75 も一体何をしてるつもりなのかね
0512１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/06/05(月) 16:43:59.36ID:jJS0qh75
そのp.157にちょうど分出公理では存在が証明できない可算集合が挙げられているぞ。
アレフ０の集合すら自由に出来ない領域で、お前は数学で何をするつもりだ？

まあ間抜けを誤魔化そうと脳足りんが必死になってるんだろうが。
0513１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/06/05(月) 16:48:12.94ID:5I093hZw
それって集合論プロパーの領域でしょ
大体ね、どんな公理を追加しようと、存在を証明できない可算集合が残るのは当たり前でしょうが
気付けよ、そのぐらいｗ
0514506
垢版 |
2017/06/05(月) 17:47:37.38ID:IPeDf11H
俺の言った通りじゃないか
相手をしてる奴はなんなの？
0515￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2017/06/05(月) 18:04:33.57ID:zhDHDNnu
★★★数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、日頃から真面目に学問に精進すべき。★★★

￥
0538１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/06/09(金) 02:05:17.05ID:n40WEixe
集合論は集合論であって数学ではないだろｗ
0539￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2017/06/09(金) 02:45:39.35ID:XVb2Gvc9
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★

￥
0550１３２人目の素数さん
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2017/06/10(土) 21:25:41.15ID:bXBgW80d
集合論の創始者って誰なの？
0552￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2017/06/11(日) 03:31:33.02ID:tztLSjWP
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★

￥
0563学術
垢版 |
2017/06/12(月) 19:38:04.17ID:j/wxpJ/h
ビトゲンシュタイン　ラッセル　カッセルスタイン。
0564学術
垢版 |
2017/06/12(月) 19:54:32.25ID:j/wxpJ/h
ステインレス　絶対性批評理論。
0565￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2017/06/12(月) 19:55:40.75ID:Lt75QqGT
■■■馬鹿板をスルと菅官房長官みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■

￥
0566学術
垢版 |
2017/06/12(月) 19:58:22.66ID:j/wxpJ/h
アイネ　クライネ　ナハト　ムジーク？

エンド　オブ　ターゲ？
0577１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/21(金) 22:14:20.29ID:TROq1Jv/
☆ 日本人の婚姻数と出生数を増やしましょう。そのためには、☆
① 公的年金と生活保護を段階的に廃止して、満18歳以上の日本人に、
ベーシックインカムの導入は必須です。月額約60000円位ならば、廃止すれば
財源的には可能です。ベーシックインカム、でぜひググってみてください。
② 人工子宮は、既に完成しています。独身でも自分の赤ちゃんが欲しい方々へ。
人工子宮、でぜひググってみてください。日本のために、お願い致します。☆☆
0578１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/22(日) 00:47:34.05ID:ucC0W3rz
>>481の質問に適切な回答ができる人はいませんか？
0581１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/24(火) 15:10:54.65ID:odSGLAQ0
>>580
置換公理の内容そのままやんけ
「置換公理が無いと置換公理が成り立たないんじゃない？」って、何アホなこと言ってんのよ
0582１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/24(火) 17:26:32.72ID:c7M7V1+J
だからそのまんま、つうこと。
ZFの中で関数が使えなくなる（と思う）
0583１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/25(水) 10:48:04.36ID:z2FhQXb7
>>582
だな
0584１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/25(水) 10:49:39.62ID:z2FhQXb7
関数ってもクラス関数だけどな
0587１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/25(水) 13:01:48.26ID:0tvnccA+
特異点解消なんてある意味、よい性質をもつ図形の射による像(の射による像の…)がどれだけグチャグチャになるかを見る問題だ。
0589１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/25(水) 16:15:12.72ID:YcdLyubD
んん？
もしかして、置換公理と一緒に分出公理も排除して考えてる人がいやしまいか
0590１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/25(水) 19:57:24.82ID:z2FhQXb7
置換公理を採用しないと順序数全体が全順序と言えなくなったかな？
0593１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/26(木) 02:57:15.89ID:mEYHIm5a
役立つかではなく、必要か、
という厳密な話題だと認識していたのだが
0605１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/04(木) 13:59:34.27ID:4V9t1bpU
お母様。ぼくは高校の時そう1年か2年の始め宇宙が無から始まったと思っていました。

中学の時、あるところに行く道が幾通りかある時自分が選んだ道筋は後から見たら当然実現したことになってる。

と思った。で、宇宙が無から出来たらこの宇宙の法則では当然この宇宙が生まれこうなった。という理屈があるだろう。

と言う事で、これを解明する理論が万有理論である●●論なのだ。そしてその研究をやって来たのだ。で、これは

集合論では無限が実現出来れはその結果からさらに無限が生まれさらに・・・と続く。これは不完全性理論が成り立つ

理由であるが、宇宙膨張の理由だろう。集合論ではその要素である元はまず数えられる存在であり、まず 0 がある。

その集合である｛０｝とする。これを1と数える。それらの集合を｛０、｛０｝｝を2と数え又｛０、｛０｝｛０、｛０｝｝を3と数え・・・・。

こうして何も無いと言う概念の 0　から数の概念を生み出していく。これは集合論の数の創造だが。

数学をやった者なら酔っ払ってもわかるよな。



835名無しさん＠お腹いっぱい。2018/01/04(木) 00:07:18.97ID:nZUhCplw

しかし思うと確かゲーデルの不完全定理ではその体系が正しいとはその体系の内部では決定できない。

とか言うのもあって、バイトする暇もないくらいなんだが、酒は飲みたいのう。
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