物理でのテンソル、代数でのテンソル、微分幾何でのテンソル

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/22(月) 17:36:10.14

同じもの？

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/22(月) 17:39:43.25

物理屋がベクトルやテンソルを定義する時に言う変換規則がなんたらみたいなのがよく分からないんだが
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1698800906/

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/22(月) 17:40:47.05

なんで物理屋はテンソルすらまともに定義できないの
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/sci/1698801768/

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/22(月) 17:41:16.08

ベクトル、テンソルの厳密な定義を説明してください。
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/sci/1672825188/

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/22(月) 17:54:34.82

クソすれ
立てたバカ

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/23(火) 19:11:18.16

同じアヌすです

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/23(火) 21:30:25.08

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**１３２人目の素数さん** · 2024/01/28(日) 01:05:22.59

ある変換群（通常は座標変換）のもとで不変のな量のことをその変換群に対するスカラーともいう。
その変換群のもとで座標と同じ形の変換を受けるものを（共変）ベクトルという。
スカラー量を座標で偏微分した量と同じ形の変換をうけるものを（反変）ベクトルという。
共変ベクトルと反変ベクトルの内積はスカラーになる。。。。。

**１３２人目の素数さん** · 2024/02/08(木) 23:34:03.93

テンソル場は、接ベクトル束の一般化
多様体上の(p,q)テンソル束のセクションのこと

特に(1,0)テンソル場がベクトル場、(0,1)テンソル場が1次微分形式

**１３２人目の素数さん** · 2024/02/08(木) 23:35:10.82

座標変換での貼り合わせ条件は、ベクトル束の貼り合わせ条件に他ならない

**１３２人目の素数さん** · 2024/02/12(月) 22:31:25.75

>>10
ゲージ場の実在性

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/12(火) 20:47:55.99

変換規則で定義するより微分演算子をベクトルと定義した方が分かりやすい
テンソルはベクトルの多重線型写像だな

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/05(金) 22:00:20.41

テンソルは単なるデータを入れる箱だよ
それが一番直観的な解釈

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/11(木) 01:03:42.49

単なる多次元配列だとしたら、それは幾何学的テンソルでも物理テンソルでもないな。
ある変換群（普通は座標変換）の元での変換性に基づいて分類したり成分を定義する。
それにより、座標の採り方には依らない形での量の意味が出てくる。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/11(木) 09:10:12.07

>>13
函数論の函も箱

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/11(木) 16:10:04.20

AIで使われるテンソル Tensor（下記）
これが巷で話題に
これを知らないと、時代遅れです

(参考)
https://aizine.ai/tensor-0917/
AI（人工知能）についてもっと知りたくなるメディア
AIZINE（エーアイジン）
テクノロジー
機械学習で使う数学を学ぶなら覚えておこう！「テンソル」とは
2021.09.17

テンソルは、多次元データの集合体で、AI（人工知能）の画像認識、音声認識、自然言語処理、言語翻訳などに欠かせないディープラーニング（深層学習）で必要なデータセットとして広く活用されています。テンソルをうまく使って膨大なデータをAI（人工知能）に反復学習させ、パターン化に成功すれば、有効なシステムやプロダクトが完成します。

この記事で機械学習の学びに有効なテンソルについて理解して、AI関連の先進的な技術やシステムの開発に役立てましょう。

そこで今回は、テンソルと機械学習の関連性や応用例、GoogleのTensorFlowとの関連性などについてお伝えします。

目次
テンソルとは
テンソルと機械学習との関連性
テンソルの応用例
テンソルとTensorFlowの関係性
テンソルを活用すると、さらにこんなことができる

https://www.sbbit.jp/article/cont1/63580
ビジネス＋IT
「テンソル」「ベクトル」「行列」とは？ディープラーニングの情報整理のカラクリ
連載：図でわかる3分間AIキソ講座
執筆：フリーライター三津村直貴
＜目次＞
「テンソル」とは？
「テンソル」と「ベクトル」「行列」の関係
翻訳技術の仕組み、「言葉をベクトル化する」とは？

https://aismiley.co.jp/ai_news/tensorflow/
DXを推進するAIポータルメディア「AIsmiley」｜ AI製品・サービスの比較・検索サイト

TensorFlowとは？特徴やメリットと活用事例を解説
最終更新日:2024/02/07

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/12(金) 14:53:18.48

これいいね
https://math.stackexchange.com/questions/2030558/what-is-the-history-of-the-term-tensor
What is the history of the term "tensor"?
asked Nov 25, 2016 at 19:08
Yahya Abdal-Aziz

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/12(金) 15:08:15.82

マラテンソルってなんでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/13(土) 05:31:46.65

tension fieldの強さを測るものではないか

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/13(土) 19:08:18.13

物理と微分幾何で扱うテンソルは同じ。
微分幾何のテンソルはベクトル空間のテンソルで代数は可換環のテンソルで気にする点がちょっと違う。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/13(土) 20:42:12.89

ありがとうございます
そういえば、雪江代数学3に”テンソル代数”がありましたね
（私も書棚のこやしですが）

https://www.アマゾン
代数学3 代数学のひろがり単行本（ソフトカバー） – 2011/3/18
雪江明彦日本評論社

第4章　テンソル代数と双線形形式
4.1　テンソル代数・対称代数・外積代数
4.2　双線形形式
4.3　恒等式の証明
4.4　2次形式
4.5　対称形式と2次形式の違い
4.6　交代形式

レビュー
豆人
5つ星のうち5.0 レベル高い
2024年2月9日に日本で済み
Amazonで購入
著者の講義ビデオを見てわかりやすいなあと思ったので、
１巻から少し読んでみたのですが、この「代数学３代数の広がり」
は、はっきり言って私には歯が立たない・・・。１巻は割と
わかりやすくて、分量も初学者向けにコンパクトでしたが、
３巻は流石に数学のチョモランマ、私は登る前にビビって
下山しました。でも数学の人の評判は良いようです。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/14(日) 09:25:56.28

混ぜっ返しですが
テンソル積というのがありまして
圏論でも、テンソル積よく出てきます

(参考)
https://www.youtube.com/watch?v=iEwtP0Go3m4
【圏論】テンソル積とは「2変数の射」のための物である
alg-d
2024/01/06 圏論(初心者向け)
意味不明な構成をいきなりされることが多いテンソル積、これは一体何者なのか?

https://m-hiyama.はてなブログ.com/entry/20160829/1472445276
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2016-08-29
テンソル積の作り方
内容：
ベクトル空間のテンソル積の要件
テンソル積の構成には2つの圏が必要

https://qiita.com/gyu-don/items/a23cc48937a822bcf3e4
@gyu-don
テンソル積の普遍性による定義
最終更新日 2022年03月27日
はじめに
量子力学では、量子状態をベクトルとして扱うことが多い。そして複数の量子状態を合成した系を考える際にテンソル積を導入する。その際、テンソル積の定義にクロネッカー積を採用している。
一方で、数学では、テンソル積をクロネッカー積としてではなく、双線形写像とその普遍性で定義しているものも見かける。本記事は、クロネッカー積によるテンソル積の定義を理解している読者に、普遍性によるテンソル積の定義のイメージを掴んでもらうことを目標としている。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/14(日) 10:20:42.60

これをまぜっかえしと思って引用するなら知性を疑う
何もわかってない

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/14(日) 10:37:11.84

”まぜっかえし”は、受け狙いで笑いをさそうしゃれですよ　；ｐ）

スレタイ「物理でのテンソル、代数でのテンソル、微分幾何でのテンソル」
『同じもの？』(>>1より)
とあるでしょ

スレタイに合わせています

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/14(日) 11:14:09.28

>>17 補足

良い機会なので、下記を補足します
下記が、分かり易い

https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/
Expository papers KEITH CONRAD
Linear/Multilinear algebra
(下記以外にTensor products II、Fields and Galois theoryでSeparable extensions and tensor products、Splitting fields and tensor products のpdfがあります)
https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/linmultialg/tensorprod.pdf
TENSOR PRODUCTS I KEITH CONRAD
Ｐ2
Here is a brief history of tensors and tensor products.
Tensor comes from the Latin tendere, which means “to stretch.”
In 1822 Cauchy introduced the Cauchy stress tensor in continuum mechanics, and in 1861 Riemann created the Riemann curvature tensor in geometry, but they did not use those names.
In 1884, Gibbs [7, Chap. 3] introduced tensor products of vectors in R3 with the label “indeterminate product”*3 and applied it to study strain on a body.
He extended the indeterminate product to n dimensions in 1886 [8].
Voigt used tensors to describe stress and strain on crystals in 1898 [25], and the term tensor first appeared with its modern physical meaning there.*4
In geometry Ricci used tensors in the late 1800s and his 1901 paper [22] with Levi-Civita (in English in [15]) was crucial in Einstein’s work on general relativity.
Wide use of the term “tensor” in physics and math is due to Einstein; Ricci and Levi-Civita called tensors by the bland name “systems”.
The notation ⊗ is due to Murray and von Neumann in 1936 [17, Chap. II] for tensor products (they wrote “direct products”) of Hilbert spaces.*5
The tensor product of abelian groups A and B, with that name but written as A◦B instead of A⊗Z B, is due to Whitney [27] in 1938. Tensor products of modules over a commutative ring are due to Bourbaki [2] in 1948.

脚注
*3 Gibbs chose that label since this product was, in his words, “the most general form of product of two vectors,” as it is subject to no laws except bilinearity, which must be satisfied by any operation deserving to be called a product. In 1844, Grassmann created a special tensor called an “open product” [20, Chap. 3].

*4 Writing i, j, and k for the standard basis of R3, Gibbs called a sum ai⊗i+bj⊗j+ck⊗k with positive a, b, and c a right tensor [7, p. 57], but I don’t know if this had an influence on Voigt’s terminology.

*5 I thank Jim Casey for bringing [17] to my attention.

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/14(日) 11:33:32.20

>>25

要約すると
・1822 Cauchy introduced the Cauchy stress tensor in continuum mechanics
・1861 Riemann created the Riemann curvature tensor in geometry,
　but they did not use those names（ tensor使わず）
・1884, Gibbs [7, Chap. 3] introduced tensor products of vectors in R3 with the label “indeterminate product”*3 and applied it to study strain on a body. He extended the indeterminate product to n dimensions in 1886 [8].
・1898 Voigt used tensors to describe stress and strain on crystals
・1800s and 1901 In geometry Ricci used tensors in the late 1800s and his 1901 paper [22] with Levi-Civita (in English in [15]) was crucial in Einstein’s work on general relativity.
・1913 Wide use of the term “tensor” in physics and math is due to Einstein; Ricci and Levi-Civita called tensors by the bland name “systems”.
（この後の年表略す）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/General_relativity
A version of non-Euclidean geometry, called Riemannian geometry, enabled Einstein to develop general relativity by providing the key mathematical framework on which he fit his physical ideas of gravity.[6] This idea was pointed out by mathematician Marcel Grossmann and published by Grossmann and Einstein in 1913.[7]

7 Grossmann for the mathematical part and Einstein for the physical part (1913).
Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation (Outline of a Generalized Theory of Relativity and of a Theory of Gravitation), Zeitschrift für Mathematik und Physik, 62, 225–261. English translate
https://sites.pitt.edu/~jdnorton/teaching/GR&Grav_2007/pdf/Einstein_Entwurf_1913.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/14(日) 15:40:44.67

Woldemar Voigtさん、2 September 1850 – 13 December 1919 German physicist（下記）
特殊相対性理論と関係しているのか
だから、アインシュタインは Voigt notation つまり、用語"tensor"に詳しいのですね

https://en.wikipedia.org/wiki/Voigt_notation
Voigt notation
Voigt notation or Voigt form in multilinear algebra is a way to represent a symmetric tensor by reducing its order.[1] There are a few variants and associated names for this idea: Mandel notation, Mandel–Voigt notation and Nye notation are others found. Kelvin notation is a revival by Helbig[2] of old ideas of Lord Kelvin. The differences here lie in certain weights attached to the selected entries of the tensor. Nomenclature may vary according to what is traditional in the field of application.

Applications
The notation is named after physicist Woldemar Voigt & John Nye (scientist). It is useful, for example, in calculations involving constitutive models to simulate materials, such as the generalized Hooke's law, as well as finite element analysis,[4] and Diffusion MRI.[5]

https://en.wikipedia.org/wiki/Woldemar_Voigt
Woldemar Voigt
Woldemar Voigt (German: [foːkt] ⓘ; 2 September 1850 – 13 December 1919) was a German physicist.
Voigt transformation
Further information: History of Lorentz transformations

https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_Lorentz_transformations
History of Lorentz transformations
Electrodynamics and special relativity
Overview
In physics, analogous transformations have been introduced by Voigt (1887) related to an incompressible medium, and by Heaviside (1888), Thomson (1889), Searle (1896) and Lorentz (1892, 1895) who analyzed Maxwell's equations.
They were completed by Larmor (1897, 1900) and Lorentz (1899, 1904), and brought into their modern form by Poincaré (1905) who gave the transformation the name of Lorentz.[3]
Eventually, Einstein (1905) showed in his development of special relativity that the transformations follow from the principle of relativity and constant light speed alone by modifying the traditional concepts of space and time, without requiring a mechanical aether in contradistinction to Lorentz and Poincaré.[4]
Minkowski (1907–1908) used them to argue that space and time are inseparably connected as spacetime.
Voigt (1887)
Woldemar Voigt (1887)[R 1] developed a transformation in connection with the Doppler effect and an incompressible medium, being in modern notation:[5][6]

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/14(日) 17:09:42.29

これも参考に貼っておきます

https://mathoverflow.net/questions/75765/who-coined-the-name-tensor-and-why
Who coined the name tensor and why?
Who coined the name "tensor" and why? What does the word "tensor" really mean, not the mathematical definition?
asked Sep 18, 2011 at 16:59
Meseret Tiruye

2 Answers
Sorted by:
18
I think the OP referes to the modern meaning of the word, in which case, according to that website, it first appeared in german physicist Woldemar Voigt's paper Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung published in 1898. (I do not have access to this paper, but probably this deals with deformation tensors in crystals).
answered Sep 18, 2011 at 17:21
Thomas Sauvaget
3
This is the right answer. Voigt used the word tensor to describe stress and strain (i.e., things that stretched). In mechanics there is the stress tensor, strain tensor, and elasticity tensor. More precisely, it seems that what interested Voigt were special cases of symmetric tensors. See en.wikipedia.org/wiki/Woldemar_Voigt and en.wikipedia.org/wiki/Voigt_notation. –
KConrad
Sep 18, 2011 at 20:09

11
A tensor muscle is a muscle that stretches some part of the body, e.g. the tensor veli palatini or tensor tympani. The word ultimately derives from the Latin tendere meaning "to stretch", see Douglas Harper's etymonline.
Hamilton first introduced the term to mathematics; see its entry in "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics".
http://jeff560.tripod.com/t.html
answered Sep 18, 2011 at 17:14
Charles
2
Hamilton's usage has been abandoned, however, and the word means something entirely different now. –
Ryan Reich
Sep 19, 2011 at 5:48

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/14(日) 17:12:49.95

追加
https://jeff560.tripod.com/t.html
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (T)
Last revision: Apr. 13, 2019

TENSOR was one of the family of terms introduced by William Rowan Hamilton (1805-1865) in his study of QUATERNIONS. VECTOR and SCALAR and VERSOR were among the others. The tensor is for quaternions what the MODULUS is for complex numbers. The term derives from the Latin tendĕre to stretch.
In 1846 Hamilton wrote in The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine XXIX. 27:
Since the square of a scalar is always positive, while the square of a vector is always negative, the algebraical excess of the former over the latter square is always a positive number; if then we make (TQ)2 = (SQ)2 — (VQ)2, and if we suppose TQ to be always a real and positive or absolute number, which we may call the tensor of the quaternion Q, we shall not thereby diminish the generality of that quaternion. This tensor is what was called in former articles the modulus.
The passage is reproduced in Section 19 of “On Quaternions”. This ‘article’ is a compilation of 18 short papers published in the Philosophical Magazine between 1844 and 1850 made by the editors of Hamilton’s Mathematical Papers. The editors concatenated them to form a seamless whole, with no indication as to how the material was distributed into the individual papers.
Tensor in Hamilton’s sense is no longer used.
[Information for this article was provided by David Wilkins and Julio González Cabillón.]

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/14(日) 17:13:11.35

つづき

TENSOR, TENSOR ANALYSIS, TENSOR CALCULUS, etc. are 20th century terms associated with the ABSOLUTE DIFFERENTIAL CALCULUS developed by Ricci-Curbastroin the 1880s and -90s on the basis of earlier work by Riemann, Christoffel, Bianchi and others. See Kline ch. 37 “The Differential Geometry of Gauss and Riemann” and ch. 48 “Tensor Analysis and Differential Geometry.”
Ricci’s most influential publication was a substantial article written with his former student Levi-Civita. The article by the two Italians was written in French and appeared in the leading German mathematical journal: “Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications,” Mathematische Annalen, 54 (1901), p. 125-201. The word tensor does not appear: Ricci and Levi-Civita write about systèmes. Tensor is due to the well-known Goettingen physicist Woldemar Voigt (1850-1919), who used it in his Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung of 1898 (OED and Julio González Cabillón).
Critically tensor was the term adopted by Einstein and Grossmann in their first publication on general relativity, Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation (Outline of a Generalized Theory of Relativity and of a Theory of Gravitation) (1913). Einstein made the subject fashionable. MacTutor relates that on a visit to Princeton in 1921 he commented on the large audience his lecture attracted: “I never realised that so many Americans were interested in tensor analysis.” See also MacTutor: General Relativity.
The OED reports that tensor analysis is found in English in 1922 in H. L. Brose’s translation of Weyl’s Space-Time-Matter (Raum, Zeit, Materie): “Tensor analysis tells us how, by differentiating with respect to the space co-ordinates, a new tensor can be derived from the old one in a manner entirely independent of the co-ordinate system. This method, like tensor algebra, is of extreme simplicity.” The phrase tensor calculus appears in the same book. When Levi-Civita’s Lezioni di calcolo differenziale assoluto was translated into English in 1926, its title included an explanation: The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors).
[This entry was contributed by John Aldrich.]
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/14(日) 17:28:59.93

なので、ハミルトンの話を入れて、>>26を修正しておきます

・1822 Cauchy introduced the Cauchy stress tensor in continuum mechanics
・1846 ハミルトンはロンドン、エディンバラ、ダブリンの哲学雑誌XXIX の寄稿で
　用語群で、VECTOR、SCALAR、VERSORなどと共に、用語tensorを導入したが
　その意味は、四元数の研究に特化した用語で、その後使われなくなった
・1861 Riemann created the Riemann curvature tensor in geometry,
　but they did not use those names（用語tensor使わず）
・1884, Gibbs [7, Chap. 3] introduced tensor products of vectors in R3 with the label “indeterminate product”*3 and applied it to study strain on a body. He extended the indeterminate product to n dimensions in 1886 [8].
・1898 Voigt used tensors to describe stress and strain on crystals
・1800s and 1901 In geometry Ricci used tensors in the late 1800s and his 1901 paper [22] with Levi-Civita (in English in [15]) was crucial in Einstein’s work on general relativity.
・1913 Wide use of the term “tensor” in physics and math is due to Einstein; Ricci and Levi-Civita called tensors by the bland name “systems”.
（この後の年表略す）

要するに最初は
1822 Cauchy stress tensor （但し、用語tensor使わず）
1846 ハミルトンが、四元数の研究で VECTOR、SCALAR、用語tensorを導入したが、用語tensorは現在とは別の意味でその後使われなくなった
1898 Voigt used tensors to describe stress and strain on crystals （これはCauchy stress tensorと同じ）
1913 Einsteinが一般相対性理論で Ricci and Levi-Civita called tensors を採用した
が、実はRicci and Levi-Civita自身は用語tensorを使っていなかった
（ドイツの物理学者 Voigtの特殊相対性理論への貢献があって、Einsteinは用語tensorの使用を思いついたのでしょう）

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/14(日) 17:59:08.67

長文荒らしが来た

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/14(日) 21:03:17.07

ぼく中学生？
この程度で長文っていってたら、大学入試の国語問題は解けないよ
速読力を鍛えなさい！

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/14(日) 21:25:05.66

誰も読まない長文

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/14(日) 22:12:29.23

だれも読まなくても、いいのです

実は、私も別の視点で長年疑問に思っていた
学部時代に、線形代数でベクトルと行列をやって
さらに進んで、応力テンソルや相対性理論の４次元時空テンソルを学んで
「はて、ベクトルと行列、テンソルの関係は、どうか？」と

あと、行列は２次元に数を配置するが、数を３次元配置した行列はどうか？とか
（大学紀要に３次元配置行列について書いている数学論文を見つけて、ニヤリとしました。でも対して有用ではなかったみたいです）

雪江さんの代数学3には、抽象数学のテンソル積
圏論をかじると、テンソル積が出てきて、こんなところにも・・

この話は、いろいろ調べたことがありましてね
で、今回はちょっと突っ込んで書いてみました
気が向いたら、また書きます

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/14(日) 22:14:35.66

>>35 誤変換訂正

（大学紀要に３次元配置行列について書いている数学論文を見つけて、ニヤリとしました。でも対して有用ではなかったみたいです）
　　↓
（大学紀要に３次元配置行列について書いている数学論文を見つけて、ニヤリとしました。でも大して有用ではなかったみたいです）

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/15(月) 10:47:07.93

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6
線型代数学

歴史
線型代数の歴史は線型方程式系を行列式を用いて解くという研究からはじまった。歴史的には行列式は行列より以前に現れている。西洋の数学史において、行列式はライプニッツが1693年により用いられたのが最初であり、その後、ガブリエル・クラメルがいわゆる「クラメルの公式」で線型方程式系を解く方法を1750年に編み出した。更に後年になってガウスが測地学の研究から「ガウスの消去法」を用いて線型方程式系を解く方法を開発した[3]。おそらく1860年代には行列式の公理的な定義がワイエルシュトラスとクロネッカーによって与えられていた[4]。

最初に行列代数(matrix algebra)の研究が現れたのは1800年代半ばのイングランドであるとされる。1844年、グラスマンは著書「Theory of Extension(拡大の理論)」を出版し、この本には今日の線型代数学の基本概念に相当する(当時としては)新しい内容が含まれていた。1848年、シルベスターがラテン語で子宮を意味するmatrix(行列)という用語を導入した。線型変換の構成に関する研究全体で、ケイリーは行列の積と逆行列の概念定義した[5]。重要なのは、ケイリーが一つの文字で行列を表記する方法を使ったため、行列が文字を縦横に並べた集合体として扱われたことである。ケイリーはまた行列と行列式との関係を認識しており、「行列の理論はいろいろあるが、私に言わせれば、行列式の理論よりも重要である」と述べている[3]。 1882年、トルコのフセイン・テフフィグ・パシャは "Linear Algebra"(線型代数)と名付けられた本を出版した[6]。公理的な（実数体上の）線型空間の定義や線型変換の定義はペアノによって1888年に与えられ[7]、1900年までには有限次元ベクトル空間の理論が現れた。線型代数が最初に現代化されるのは20世紀の初めの四半世紀であり、ここで多くのアイデアと前世紀に誕生した抽象代数学の概念が導入されていくこととなる。量子力学における行列の使用、特殊相対論、統計学における利用の広がりなど、純粋数学を超えて応用されていった。コンピュータの登場でガウスの消去法の効率的アルゴリズムの研究や、モデルの定式化やシミュレーションなどにも線型代数は必須の道具となっている[3]。

これらの概念の起源に関する議論については en:determinants (「行列式」英語版)、及びen:Gaussian elimination(「ガウスの消去法」英語版)を参照のこと。

なお、日本の和算においては、上述のライプニッツより10年早い時期に同様の研究が(関孝和 1683)によって行われている[2]。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/15(月) 11:16:09.07

これいいね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90
ベクトル解析
歴史
現代の学校教育では古典力学の導入からベクトルを用いた物理教育が行われ、数学でも幾何ベクトル・線型代数学・ベクトル解析といったベクトルの概念が普通に教えられている。しかし古典力学の登場と同時にベクトルも誕生したのではなく、物理法則などを表記するために19世紀に生まれ[1]、20世紀になり高次元ベクトル場にまで一般化された。

ベクトルが誕生するまでは直交座標系を用いた解析幾何学やウィリアム・ローワン・ハミルトンが考案した四元数を用いた記法が主流であり、力学・電磁気学の教育・研究でも解析幾何学的な多変数微積分学を用いた力学や四元数表記の電磁気学が普通であった[1]。
余談だが、同じようにベクトルを扱う数学理論である線型代数も登場時期はほぼ同じであり、こちらは完成が遅れたため教育に本格的に導入されるのは20世紀後半、数学教育の現代化が言われ出した頃である。
20世紀前半は教えられている物理数学が現代とは違っていたのであり、ベクトルは数学ではなく物理学の授業で導入され、行列式が先に教えられていたし[2]、行列を用いて量子力学を定式化したヴェルナー・ハイゼンベルクも線型代数を習っていなかった。日本でも明治初期の物理教育では、四元数に基づく電磁気学が教えられていたことは有名である。

ベクトルを初めて教育に導入したのはウィラード・ギブスとされ、1880年代のイェール大学の講義で記号こそ現代とは違うものの、外積・内積やベクトル解析の概念などが当時使われていたが、イギリスの四元数の著書もある物理学者ピーター・ガスリー・テイトの評判も大変不評であったという[1]。今日用いられている記号や専門用語の大半は1901年に出版されたギブスとエドウィン・ウィルソン（英語版）の共著『ベクトル解析』によって確立された。

しかし、ギブス以降の物理学の教育ではベクトルは四元数を推進していたハミルトンやテイトのいたイギリスにおいて寧ろ盛んに用いられるようになり、物理学における常識的な概念となった[1]。（イギリスのオリヴァー・ヘヴィサイドの存在が影響していると考えられる。）しかしながら20世紀に入ってからはむしろスピン角運動量などの概念も四元数に非常に類似しており、ハミルトンには先見性があったのではないかとされる[1]。

https://en.wikipedia.org/wiki/A_History_of_Vector_Analysis
A History of Vector Analysis

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/15(月) 18:02:14.90

Tensorという雑誌は今もあるようだ

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/15(月) 18:11:58.29

Tensor. New series
the Tensor Society

English ed
(1950)-

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/15(月) 21:09:25.74

>>39-40
ありがとうございます
そういうウンチクを書けるのは、御大かな

さて、下記を再掲しておきますが
いまどき ITやAIの「テンソル」は、私が調べた限りでは
従来の数学のテンソルとは、コンセプトが全く異なります！；ｐ）

要するに、下記のとおりで
”ベクトルは1列の数字だけなので「1種類（1次元）のテンソル」として表せますし、行列は行と列で2種類の要素があるので「2種類（2次元）のテンソル」ということになります。その上で、各種類あたりの項目数を付け加えて「1種類で4項目のテンソル」なら「4次元のベクトル」ということになりますし、「2種類で3項目と4項目のテンソル」なら「3行4列の行列」ということになります”
みたいなことなのです

『テンソル積とはあぁぁ～・・』などと、数学のテンソル（およびベクトル、行列）について語ると
白眼視されることは、必定でしょう
お気をつけあそばせｗ　；ｐ）

（>>16より再掲）
https://www.sbbit.jp/article/cont1/63580
ビジネス＋IT
ITと経営の融合でビジネスの課題を解決する
「テンソル」「ベクトル」「行列」とは？ディープラーニングの情報整理のカラクリ
連載：図でわかる3分間AIキソ講座執筆：フリーライター三津村直貴

「テンソル」と「ベクトル」「行列」の関係
　テンソルがただの数値の集まりと違うのは「数値の種類（次元/軸の数）がいくつあるか」「1種類あたり何項目あるか」などの基本情報を付け加えるだけで、膨大な数値の集まりをきれいに整理できてしまう点にあります。

　そして、テンソルを使うと「ベクトル」や「行列」といった特殊な形の情報もまとめて扱うことができるようになります。

　たとえば、ベクトルは1列の数字だけなので「1種類（1次元）のテンソル」として表せますし、行列は行と列で2種類の要素があるので「2種類（2次元）のテンソル」ということになります。その上で、各種類あたりの項目数を付け加えて「1種類で4項目のテンソル」なら「4次元のベクトル」ということになりますし、「2種類で3項目と4項目のテンソル」なら「3行4列の行列」ということになります。

　端的に言えば「名前が変わっただけ」なのですが、ベクトルや行列の計算は高校で習ったように、さまざまな方法論が開発されています。そのため、もっと種類や項目数の多い多次元のテンソルに比べると計算が（比較的）簡単なのです。ベクトルや行列を計算するためのアルゴリズムを使って処理できるので、できればベクトルや行列のようなシンプルな形式にしたいというイメージです。

　ただ、複雑で大規模なニューラルネットワークでは、次元数が大きく計算の難しい多次元のテンソルが使われています。こうした規模の大きなテンソルの計算はコンピュータでも難しく、通常のCPUでは処理に時間がかかるため、並列計算に特化したGPUなどが使われています。

　近年はテンソル計算に特化したコンピュータやアルゴリズムが開発されており、コンピュータの「テンソルを扱う能力」は飛躍的に向上しています。

【次ページ】翻訳技術の仕組み、「言葉をベクトル化する」とは？

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/15(月) 21:16:53.52

The Journal of the Tensor Society (JTS) is the official organ of The Tensor Society and publishes original research articles in differential geometry, relativity, cosmology, and all interdisciplinary areas in mathematics that utilize differential geometric methods and structures. The following main areas are covered: differentiable manifolds, Finsler geometry, Lie groups, local and global differential geometry, General Relativity, and geometric theories of gravitation; cosmology, dark energy, dark matter, the accelerating universe, geometric models for particle physics; supergravity and supersymmetric field theories; classical and quantum field theory; gauge theories; topological field theories; and the geometry of chaos. In addition to original research, the Journal of the Tensor Society also publishes focused review articles that assess the state of the art, identify upcoming challenges, and propose promising solutions for the community.

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/15(月) 22:59:10.56

>>42
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/16(火) 08:48:03.85

Uses of Killing and Killing-Yano Tensors
Ulf Lindström, Özgür Sarıoğlu

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 17:27:00.60

けつも　かおも　あなるもそりませう
アヌステンソルですうう

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 19:22:47.71

面白い
ザブトン一枚

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 21:59:42.38

ＡＩのテンソル

https://ウィキペディア
TensorFlow（テンソルフロー、テンサーフロー）とは、Googleが開発しオープンソースで公開している、機械学習に用いるためのソフトウェアライブラリである。

概要
機械学習や数値解析、ニューラルネットワーク（ディープラーニング）に対応しており、GoogleとDeepMindの各種サービスなどでも広く活用されている。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 21:59:59.41

https://en.wikipedia.org/wiki/TensorFlow
TensorFlow is a free and open-source software library for machine learning and artificial intelligence. It can be used across a range of tasks but has a particular focus on training and inference of deep neural networks.[3][4]

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/26(金) 00:31:18.07

同じ数学といっても線形代数と微分幾何じゃベクトルの意味が違う
同類だけど

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/26(金) 17:14:26.75

こちらにも転載しておきます
”ベクトルの概念を数学と物理で捕らえ方が異なる点を指摘して注意を喚起してくれた本です”

(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1713536729/155-156
書評：”永田雅嗣（可換体論で高名な永田雅宜の子息）”
なるほど

アマゾン
エレガント線形代数単行本 – 1997/1/1 現代数学社
K.イエーニヒ (著), 永田雅嗣 (翻訳)
書評
日本から
雑学家
5つ星のうち5.0 初学者むきの丁寧な本
2006年4月23日に日本でレビュー済み
ベクトルの概念を数学と物理で捕らえ方が異なる点を指摘して注意を喚起してくれた本です。これが初学者を惑わす一因です。このことを明確に読者に意識させて書かれた本をほかに見たことがない。
物語調で書かれ他書ではあまり見ないイラストも多いので完読しやすい。その上、初学者むきの勉強法のアドバイスもあり参考になります。

雑記：翻訳は「ε‐δ論法からトポロジーへ」を書かれた永田雅嗣（可換体論で高名な永田雅宜の子息）
併読おすすめは「線形代数のコツ」「図で整理!例題で納得!線形空間入門」梶原健

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/27(土) 09:42:48.62

永田くんは京大の体育の授業で息止め競争を
した時一番だった

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/27(土) 11:02:38.28

>>51
コメントありがとうございます