大学学部レベル質問スレ 23単位目
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
{1の素因数} ⊆ {3}
ととるか
{1の素因数} = {3}
ととるかってこと？ ちょっと疑問になった
ｎを自然数とする。
{ m;自然数 | 正ｍ面体でR^nを充填できる }についての性質って何かある? R^nにおける正m面体とは？
5次元以上では正多胞体はsimplex,cube,orthoplexの3タイプだけで、それぞれn+1胞体,2n胞体,2^n胞体
n+1胞体は立体角がarccos(1/n)だから3次元以上で充填不可
2n胞体は常に可
2^n胞体は知らん >>3ってなにが聞きたいんだろう
どっちにしても真なのでは？ え、後者だと3も素因数だから偽では？
どちらにしても>>2の文は変だけども
「1は3の素因数である」って聞きたかったのかな 大学一年でする幾何学は難しいですか？ 後期の履修登録で迷っているので。 >>8
上から目線の貴重なレスありがとうございます 大学は高校までのように学習内容が決まってるわけじゃないよ
幾何学とだけ言われても内容知らんし、とりあえずシラバス見てから来てね R = (全座標が偶数) ∪ (全座標が奇数)
Δ(p) = {x∈E^n| ∀q∈R p≠q→d(x,p)≦d(x,q)}
E^n=∪Δ(p)
とか >>5
幾何学は無知だから思いついたのを聞いてみた。
サンクス 基礎論に詳しい方からお答えいただければ幸いです。ZF に於いて、正則性公理が他の公理から証明できないことの、有限の立場での証明の載っている文献を紹介してください。よろしくお願いいたします。 >>18
ちょっとよく分からんのだが、{ZFC}＼{正則性公理AR(Axiom of regularity)} ∪ {￢AR}のモデルの存在証明ではなく、｛ZFC＋￢AR}が矛盾を導く直接的な証明ってことか？ 微分方程式の解の存在と一意性の証明に、指数関数が登場しますが、なんか話が良く出来すぎているように思います。
もっと定理の仮定を緩められるんじゃないですか？ >>19
{ZFC}＼{正則性公理AR(Axiom of regularity)} ∪ {￢AR} が矛盾しないことの、有限の立場での証明が知りたいです。 あんま数学的に意味ないのは分かるけど
Fel(n):x^n+y^n=z^nを満たす(x,y,z)は存在しない
をFel(3)やFel(4)について初等数学で個別に証明していくのってnがどれくらいになったら破綻するの？
破綻するとしたらそれはどういう構造が入っちゃって初等数学が通じなくなるの？ >>23
すべての(有限次元)ベクトル空間は数ベクトル空間に同型だからK^nだけ考えればいいだろっていう話？
線形汎関数の空間として自然なものだし構造が豊富だし
Vとその双対空間V^をセットにして考えますよ >>24
多分だけどどこまでも通じると思うよ
やる価値がないってだけ >>23
当たり前だけど同型にも保存される性質とそうでない性質がある
だから保存されない性質に興味があれば別と考える
ちなみに同型を、同一視するとか同じ対象とみなすとか、ポエム的、直観的にのみ議論すると他の数学者には意味不明なものが出来上がる >>27
意味なさそうだから調べられてない感じなんですね
なるほど…
変な事が起きるnを当てる嗅覚さえあれば… >>31
四色問題と違って
すでにすべて解明されているのに別証明付けようというのは
しかも特定のｎだけで？ってのはやる気起こす人居ないと思うけど >>32
未だに初等的証明を夢見てる人いるから潰しておきたいっていう不純な動機だよ
後思いつけば1発の類の問題なので頭の中で適当に眠らせておくだけでいいし 個別に取り組んでみて初めてクンマーの偉大さがわかる、とは思うと。 >>33
ワイルズによる谷山志村予想の解決の系として完全解決される前までの未解決の奇素数ｐの最小値は400万以上みたいね（ウィキペ調べ）
コンピュータの能力依存のことみたいだからどんどん上げていけはするんでしょう >>23に対する>>28の回答が意味ワカラン
双対空間って、線形写像で保たれない性質（ベクトル空間として以外の性質）に興味があるの？
そんなの初めて聞いたわ >>23
R^nの各成分はすべて同型だから、R^2以上は数学に不要という意見の人？ >>36
別に詳しいわけでも誰かから聞いて学んだ話をしてるわけでもないが、ほぼ自明だと思うけど
同型で保存される性質にしか興味がないなら、質問者の言うとおり、いやそれ以上に、例えば有限次元ベクトル空間は全てRnと書いて問題ない
多分群論とかはそのパターンがメイン
何故、ベクトル空間論では同型の枠をはみ出るのかと言われると、
まあそれこそ自然かそうでないかの違いのように、基底という概念がかなり微妙なんじゃないかと思う >>38
双対空間の同型で保存されない興味ある性質って何 >>39
何故、ベクトル空間論では同型の枠をはみ出るのかと言われると、
まあそれこそ自然かそうでないかの違いのように、基底という概念がかなり微妙なんじゃないかと思う
俺が分かるのはここまで まあ>>26の言うように関数空間として見るなら積、つまり代数(多元環)構造に興味があると言えるかもしれない
当然これはただの線形写像では保たれない 双対空間と同型っていったら、単にベクトル空間として同型ではなく、ペアリングがあると言ってるんだよね？
V ～ W*
は
V×W → k
が >>46
coordinate dependant 「環Rの元を成分にもつn×n行列全体をM_n(R)とする。
n≧2でRが体kのときM_n(k)は可除環である」 上三角行列の全体は非可換な環を成すが、行列環の直和にならない T,o,k（迷惑という方は←をあぼーんしてください。）
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https://i.imgur.com/2qsjB5R.jpg 杉浦光夫著『解析入門1』
定理 5.3
I を R の区間、 f を I 上の実数値函数とする。
1) f が I で微分可能で、導函数 f' が I 上可積分（例えば連続）ならば、任意の a, b ∈ I に対し
∫_{a}^{b} f'(x) dx = f(b) - f(a)
が成立つ。
定理 5.4 f を I = [a, b] (a < b) で連続な実数値函数とするとき次のことが成立つ。
2) I における f の任意の一つの原始函数 G は、 G = F + C (C = 定数) の形で基本公式
∫_{a}^{b} f = G(b) - G(a)
が成立つ。 定理 5.4の2)の証明ですが、より一般的な定理 5.3の1)から明らかに成り立ちます。
ですが、杉浦さんはわざわざ以下のように証明しています。
F(x) := ∫_{a}^{x} f と置きます。
任意の x ∈ I に対して、 G'(x) = f(x) = F'(x) だから、 G(x) - F(x) は定数。
G(x) - F(x) = G(a) - F(a) = G(a)。
したがって、 ∫_{a}^{b} f = F(b) = G(b) - G(a)。
より一般的な定理5.3の1)を証明しておきながら、わざわざ特別な場合に成立つ別証明を与えているのはなぜでしょうか？
あと、定理5.3の I ですが、単なる区間ではなく、閉区間と書くべきですよね。 杉浦光夫さんは本当に自分の頭で考えて、『解析入門』を執筆したのでしょうか？
>>55-56
こういう箇所を見てしまうと、ただ単にまとめただけなんだろうなと思ってしまいます。
例えば、定理5.3と定理5.4を別々の教科書から書き写したのではないかと推測してしまいます。 >>56
>定理 5.4の2)の証明ですが、より一般的な定理 5.3の1)から明らかに成り立ちます。
fの条件違うけど大丈夫？ >>56
>あと、定理5.3の I ですが、単なる区間ではなく、閉区間と書くべきですよね
Iは開区間で良いよ >>60
定理 5.3に、「導函数 f' が I 上可積分」と書いてあるので、 I は閉区間でないといけませんよね。
広義積分はまだ登場していません。 微分とか積分とか全く関係ない
２つの主張にある決定的な意味合いの違いがまるで読めてない
数学の教科書が読める知能レベルにない >>61
広義積分？何のこと？
>>62
そうですか 杉浦光夫著『解析入門1』
定理 5.3
I を R の区間、 f を I 上の実数値函数とする。
1) f が I で微分可能で、導函数 f' が I 上可積分（例えば連続）ならば、任意の a, b ∈ I に対し
∫_{a}^{b} f'(x) dx = f(b) - f(a)
が成立つ。
これですが、なぜ以下のように書かなかったんですかね。
I を R の区間、 f を I 上の実数値函数とする。
1) f が I 上可積分（例えば連続）で、 I における f の原始函数 G が存在するならば、任意の a, b ∈ I に対し
∫_{a}^{b} f(x) dx = G(b) - G(a)
が成立つ。 定理5.3と定理5.4を別々の本からそのまま書き写したとすれば、このようなことが起こり得ます。 小平邦彦さんの『解析入門』のほうは、杉浦光夫さんの本にあるこのような不自然さが全くありません。 >>66
これは流石にアホすぎでは
意味が全く違うし Kが有限単体複体でK~がKのregular covering space、その被覆変換が群Gである状況で
Z_2係数のコホモロジーH^1(K~)=0が成り立つ
という記述があったのですがこれはなぜ言えるのでしょうか >>71
英語の古めの論文の内容だったんですが
一般に言えないという指摘を見てもう一度よく読み返したら
H^1(K~)=0の手前でどうも文章が切れてるっぽくて
上の状況下でさらにこれを仮定する的な意味だったようです
お騒がせしてすみません、助かりました 非専門家から質問されたとき、その質問に答えてはならない。
大抵の場合問題設定を間違えている。 >>73
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1694430016/
103 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2023/09/20(水) 12:44:21.79 ID:Zi7vzyix [2/3]
>>101
全く的外れな例えで笑えもしない 他のスレでもそれを貼ってるね。
自分の言葉で語れない人か >>76
「素人質問で恐縮ですが」
で追い込みかけるような恐いおじさんじゃないからそんなに怖がらなくていいよ >>72
2:S^1→S^1とかのあんまりに当たり前の例を考えたらおかしいことを言っているのは直ぐ判ると思うよ 何か変に憤慨？してる人居るけど
答えたければ答えるし
答えられないか答えたくなければ答えないだけ >>78
質問者が読み違えてましたって言ってるのに何を言ってるの？ S を空でない集合とする。
S から R への関数全体の集合はベクトル空間になる。
S から R への関数のうち有界であるようなもの全体からなる部分ベクトル空間を B(S, R) と書く。
f を B(S, R) の元とする。
||f|| := sup {f(x) : x ∈ S} とする。
f → ||f|| は、 B(S, R) のノルムである。 この B(S, R) はよく本で見かけます。（例えば、松坂和夫著『集合・位相入門』など。）
ですが、より一般的な以下の B(S, E) は見かけません。
なぜでしょうか？
E を「Normed Vector Space」とする。
S を空でない集合とする。
S から E への関数全体の集合はベクトル空間になる。
S から E への関数のうち有界であるようなもの全体からなる部分ベクトル空間を B(S, E) と書く。
f を B(S, E) の元とする。
||f|| := sup {|f(x)| : x ∈ S} とする。
f → ||f|| は、 B(S, E) のノルムである。 X, Yは位相空間、Yはハウスドルフ、f: X→Yは連続写像なら、Γ: X→X×Y (Γ(x)=(x, f(x)))によるΓ(X)はX×Yの閉集合。
これを「Yがハウスドルフ⇔Δ: Y→Y×Y (Δ(y)=(y, y))によるΔ(Y)はY×Yの閉集合」を使って示せますか？ 連続写像f: X→S, g: Y→Sがあるとき、
X ×_S Y := {(x, y)∈X×Y| f(x) = g(y)}
と定義する
f': X'→Sとh: X→X'でf'(h(x))=f(x)をみたすものと、g': Y'→Sとi: Y→Y'でh'(i(y))=h(y)をみたすものがあれば、
h ×_S i: X ×_S Y → X' ×_S Y'
が定まる
f: X→Y, id: Y→Yに対して
X = X ×_Y Y
X × Y = X ×_Y (Y × Y)
よって、Γ: X → X × Yは、id_X ×_Y Δ なので、Γ(X)は閉集合
多分こんなんでいける HumphreysのIntroduction to Lie Algebras and Representation Theoryの、Chapter2の最初の命題。
V≠0をn次元ベクトル空間、L⊂gl(V)をsolvable部分Lie代数とすると、x∈Vで、Lの元の共通の固有ベクトルになっているものが存在する。
これがよくわからないです。
たとえば、L = {2×2上三角行列}とします。
[[a b] [0 d]]∈Lの固有値は、aとdですから、a≠dであれば、x=0でない限り、xが共通の固有ベクトルになることはないと思います。
私はどこを勘違いしているのでしょうか？ R, Sを可換環とします。
アティマクのProposition5.1によると、x∈SがR上整であることと、R[x]がR上有限生成であることが同値らしいのですが、R[x]はつねにR上有限生成だと思うのですが、これはどういう意味なのでしょうか？ 数列a_nを、a_n = log(n)と定めます。
すべてのn, kに対して、|a_n - a_(n + k)| = log(1 + k/n) → 0 (n→∞)なので、a_nはCauchy列だと思うのですが、a_nは発散します。
なぜでしょうか？ x∈Qを任意の元とします。Rの有界閉集合はコンパクトなのでxの近傍を含むRのコンパクト集合Kが存在します。K∩Qはxのコンパクトな近傍になります。よって、Qは局所コンパクトだと思うのですが、違うようです。どこが違うのでしょうか？ f_1, f_2, … を集合 X から R への有界な関数列とする。
任意の正の実数 ε に対し、 m, n > n_0 である任意の自然数 m, n に対し、任意の X の元 x に対し、 |f_n(x) - f_m(x)| < ε が成り立つとする。
任意の x に対し、 lim_{n → ∞} f_n(x) が存在し、それを f(x) とする。
このとき、
|f_n(x) - f(x)| ≦ ε
が成り立つことを示せ。
これはどうやって示すのが標準的ですか？ k[[X]]を形式的べき級数環とします。
1/(1 - x) = 1 + x^2 + x^3 + ...
ですから、0でない任意のfは
1/f = 1/(1 - (1 - f)) = 1 + (1 - f) + (1 - f)^2 + ...
となり、k[[X]]で可逆だと思うのですが、k[[X]]は体になりません。
なぜですか？ f_n(x) - ε < f_m(x) < f_n(x) + ε とした上で、 m → ∞ とし、
f_n(x) - ε ≦ f(x) ≦ f_n(x) + ε
を得るというのが標準的ですか？ >>91
f = Xとして、右辺の定数項がいくつになるか計算してみろ >>89
K∩Qはコンパクトではない
たとえば、Kが√2を含むときなど >>86
もちろん固有値はGの元毎に変わる
G = (GL(2)の上三角行列}
でVを立てベクトルの空間として左から作用させるとき
v=[[1],[0]]
が固有ベクトルのひとつ
[[1,2],[0,4]]v = v
[[5,6],[0,8]]v = 5v
と元毎に固有値は違うけどvの張る一次元の空間で作用は閉じてる
つまり表現論で言えばより一般に
可解リー群の任意の有限次元表現は一次元表現を部分加群として含む
が言える >>87
その有限生成はR代数として有限生成ではなくR加群として有限生成 乱数接続ってなんでしょうか？
確率とか統計の話でしょうか？ >>84
f×id:X×Y→Y×Y
Γ=(f×id)^-1(Δ)
>>85
意味不明 >>101
ありがとうございます！
わかりやすい完璧な解答ですね
それにひきかえ>>85は最低
数学ができないのにそれっぽいこと書いて自己満足してるだけのゴミ 今ふと疑問に思ったこと
R^n内の超曲面H: F(x)=0を考える。
点p∈R^n＼Hに対して、F(p)の符号が変わると、pはR^n＼Hのべつの連結成分にうつる。
これと同じことをC^nで考える。
F(p)の偏角は、p∈C^n＼Hの何を意味しているのか？ >>106
いろいろ
F(z)=z^2-1=0
で見よ 群を与えたら、それを基本群にもつ位相空間はあるんですか？ 0でない実数全体が乗法に関してなす群を
基本群にもつ位相空間は想像しづらい 群を与えたら、それを基本群に持つ位相群は存在するか >>0115
それは必ずしも存在するとは限らない。なぜならば、位相群については、
その位相群の単位元を基点とする時の基本群は、必ず可換群になるから。 自由群で作っておいてから
関係式を全部つぶせばよいわけだね Vがユニタリ行列でないとき
Vを相似変換 P^(-1) V P したら
ユニタリ行列になることがありますか？
U= P^(-1) V P >>113
R\0\congZ/2×R+
R+\congR\cong\oplusQ
K(R\0,1)=K(Z/2,1)×\otimesK(Q,1) >>119
V=PUP^-1は普通ユニタリでは無いが？ 与えられたアーベル群に対してそれを基本群に持つ位相群は存在するか、だとどうなんだろう Gがアーベル群だとBGが位相群になるから大丈夫らしい >>122
そうするとGL(n,C)の共役類では
必ずユニタリ行列を選ぶことができるということでよろしいでしょうか? 対象空間のランクの定義で通常の平坦な部分多様体の最大次元という定義と同値な条件として
min{k|Mの全ての測地線があるk次元の平坦部分多様体に含まれる}
という記述が本に書いてあったのですが、このminはmaxの間違いでしょうか？
1次元空間はリーマン曲率が自明なので常に平坦ですよね？ >>129
間違いだと思ったら検索して複数の文献に当たるのが一番
で、文献名は？ Nの倍数/自然数全体 = 1/N となる確率測度はない
https://mathlog.info/articles/487
らしいのですが
Nは自然数、N≧1
lim[s→1+0](Σ[n≧1はNの倍数]1/n^s)/(Σ[n≧1]1/n^s)
これは1/Nになりますか？
確率論これで置き換えていいですか？ (Σ[n∈NZ≧1]1/n^s)/(Σ[n≧1]1/n^s)
= (Σ1/(Nn)^s)/(Σ1/n^s)
= 1/N^s
→ 1/N (s→1) >>131
Nを自然数全体μをNの確率測度で
nの倍数の全体nNを可測とし
μ(nN)=1/nとなるものとすると
μに完全加法性成立しない μ(pZ_p) = 1/p となる測度は入るぞ
p進世界に入ろう ということは
lim←Z/nZ ～ ΠZ_p
にも入るな >>131
これ完全加法性のせいでそうなってる感じだけど
なんか納得いかないな
この手の確率にも完全加法性を課す必然性って何？ >>134-135
たしかにこの環は、μ(Z^)=1で、のふたつの元が互いに素な確率は
(すくなくとも片方は2の倍数ではない)(すくなくとも片方は3の倍数ではない)(すくなくとも片方は5の倍数ではない)...
=(1 - 1/2^2)(1 - 1/3^3)(1- 1/5^2)...
= 1/ζ(2)
となるな なんか最近は物理というか量子力学も
アデール使うみたいね
凄いな ていうかZで普通と違う解釈で押すより
提案されてるZpとかZ^に拡張してはどう？
そこでは問題なく>>138なんだし よくわかってないんだが
Z^で二つの元が互いに素ってどういう感じ？ >>138では、「pの倍数」は、Z_p成分が∈pZ_pの意味で書いたが >>144
いやアンタが138でそう書いてんじゃん
察するにZ^から2元x,yを取ったときに「∃p:素数,x,y∈pZ^」でない確率になってたりするのかな 整域だろうがそうでなかろうか生成する単項イデアルが互いに素、の意味じゃダメなん？ t = (t^1, …, t^k)
x = (x^1, …, t^n)
Γ は、 R^{k + n} の開集合。
f は、 Γ から R^n への連続写像。
∂f^i/∂x^j （i, j ∈ {1, …, n}) は Γ で連続。
R^k のある開集合 G で定義され、値が R^n の元であるような関数 φ が f(t, x) = 0 の書いであるというのは、 f(t, φ(t)) = 0 が G のすべての点 t に対して成り立つことである。
Γ の任意の点 (t, x) において、 det (∂f^i/∂x^j) ≠ 0
f(t_0, x_0) = 0 をみたす Γ の点 (t_0, x_0) に対して、 φ(t_0) = x_0 をみたすような f(t, x) = 0 の解 φ で連続であるようなものが一意的に存在する。
すなわち、点 (t_0, x_0) を含むような空間 R^{k + n} のある開集合 U が存在して、 f(t, x) = 0 をみたすような U のどんな点 (t, x) も x = φ(t) をみたす。
言い換えれば、点 (t_0, x_0) の近傍には f(t, x) = 0 はみたすが x = φ(t) のグラフには属さないような点は1つもない。 >>150
訂正します↓
t = (t^1, …, t^k)
x = (x^1, …, t^n)
Γ は、 R^{k + n} の開集合。
f は、 Γ から R^n への連続写像。
∂f^i/∂x^j （i, j ∈ {1, …, n}) は Γ で連続。
R^k のある開集合 G で定義され、値が R^n の元であるような関数 φ が f(t, x) = 0 の解であるというのは、 f(t, φ(t)) = 0 が G のすべての点 t に対して成り立つことである。
Γ の任意の点 (t, x) において、 det (∂f^i/∂x^j) ≠ 0
f(t_0, x_0) = 0 をみたす Γ の点 (t_0, x_0) に対して、 φ(t_0) = x_0 をみたすような f(t, x) = 0 の解 φ で連続であるようなものが一意的に存在する。
すなわち、点 (t_0, x_0) を含むような空間 R^{k + n} のある開集合 U が存在して、 f(t, x) = 0 をみたすような U のどんな点 (t, x) も x = φ(t) をみたす。
言い換えれば、点 (t_0, x_0) の近傍には f(t, x) = 0 はみたすが x = φ(t) のグラフには属さないような点は1つもない。 後半の言い換えの部分がなんか変じゃないですか？
本当に言い換えになっていますか？ >>147
それだと確率変わってくるんじゃないか？ 陰関数定理のステートメントって変なのが多くないですか？
杉浦光夫さんのステートメントも変だったと思います。
証明を読めばいいということですかね。 今、杉浦さんの解析入門2を見てみましたが、変ではありませんでした。
>>151 はポントリャーギンの本でのステートメントですが、杉浦光夫著『解析入門2』のようにステートメントを書けば、変な感じがなくなります。 gはn次元ベクトル空間
B(v, w)はg上の双線型形式
{X_i}はgの基底
「{X^i}はBに関するgの双対基底」
ってどういう意味ですか？
双対基底はBと無関係にさだまさしりますよね？
（X^i∈g*で、X^i(X_j) = δ_i,j） v∈gに対してB(v, *) によって、gの元を双対空間の元とみなしている >>158
さだま でさだまさしが出るって
お年を召された方なんだろうな f_1(x_1, …, ｘ_n)
f_2(x_1, …, ｘ_n)
…
f_k(x_1, …, ｘ_n)
を点 (a_1, …, a_n) の近傍で定義された C^1 級の関数とする。
(i, j) 成分が ∂f_i/∂x_j であるような関数行列 M(x) を考える。
M(a) の階数が k であれば、点 a のある近傍での M(x) の階数は一定値 k である。
このとき、
f_1(x_1, …, ｘ_n)
f_2(x_1, …, ｘ_n)
…
f_k(x_1, …, ｘ_n)
は独立であるという。
点 a のある近傍での M(x) の階数が k より小さい場合には、
f_1(x_1, …, ｘ_n)
f_2(x_1, …, ｘ_n)
…
f_k(x_1, …, ｘ_n)
は従属であるという。 >>163
はポントリャーギンの常微分方程式の本の補章Iのあるところに書いてある内容です。
「点 a のある近傍での M(x) の階数が k より小さい場合」とありますが、点 a のある近傍で M(x) の階数が一定値を取らない場合にはどうするのでしょうか？ >>164
一定値を取る必要はない
「点aのある近傍Uが存在して任意のx∈Uに対し M(x) の階数＜kとなる場合」と考えればよい 集合M≠∅ に 、写像f:M→Xにより位相空間(X,O)から誘導される位相 Oᴍを導入する。
(M,Oᴍ)がハウスルドルフ空間ならば、fは単射であることを示せ。 >>165
ありがとうございました。
(1) rank M(a) = k ⇒ f_1, f_2, …, f_k は独立。
(2) rank M(a) < k ⇒ f_1, f_2, …, f_k は従属。
(1)は成り立ちますが、(2)も成り立つんですか？ M(a) の階数が k ⇔ 点 a のある近傍での M(x) の階数は一定値 k である。 ⇔ f_1, f_2, …, f_k は独立。
独立、従属というからには、
f_1, f_2, …, f_k は独立でない。 ⇔ f_1, f_2, …, f_k は従属。
は成り立っていなければ、用語としておかしい。
M(a) の階数 < k ⇔ f_1, f_2, …, f_k は従属。
は成り立たないとおかしい。 「点 a のある近傍での M(x) の階数は一定値 k である。」は成り立たない。
⇔
「点 a の任意の近傍には M(x) の階数が k 未満となるような点 x が含まれる。」 >>168
k個のベクトルの生成する次元がkより小さいのだから >>158
この訂正が異常に多く教科書にケチばっかりつけてるアスペは「さだまさし」とか好きなんか笑
さだまさし さだまさし さだまさし…
覚えておこう >>174
> 教科書にケチ
？
「この記述はどういう意味ですか？」と聞くのは「ケチをつける」ということなの？ >>174
たぶんだけど
別の人と間違えられてる！？ >>174
たぶんだけど
別の人と間違えられてる！？ さだまさしが来たな
さたまさしの癖は二度押しで連レスすること さだまさしの癖
「たぶん別の人」が口癖
(もちろん本人) 「階数定理」って何に役に立ちますか？
Walter Rudinの本には、逆写像定理や陰関数定理よりも重要度は低いと書いてありますが。
「階数定理」って、何を言っているのか把握するのが難しくないですか？ >>0181
階数一定の定理のことですか？
これは僕の勉強での感想ですが、階数一定の定理を、
U(n) とか SU(n) が GL(n, C) の実リー部分群であることの証明に使った事があります。
もちろん、『リー群の閉部分群はリー部分群である』という大定理を使えばそれは自明ですが、
階数一定の定理を使うと、この大定理を使わない証明が可能です。 >>183
ありがとうございます。
リー群は知らないのですが、階数一定の定理は利用価値があるんですね。 >>0184
そうですね、階数一定の定理は statement はわかりやすくはない感じですが、利用価値はあると考えています。 >>174
他人をアスペと罵って
自分がアスペになってしまった悲しき人 >>179
レス番間違えただけよｗ>>177,178は
>>175へ向けたもの
でもなんで間違えたかな？自動で付く筈なんだけど
あちこちのスレ同様
データベースがおかしくなっていたかも さたまざし以外 人が殆ど居ないからな どうしても浮き上がってしまう 数学的帰納法の原理の圏論などへの一般化はないのですか？
古典的なコンピュータサイエンスの定理は、ほとんどが数学的帰納法で示されます
ですから、何らかの意味で数学的帰納法の原理の成り立つ圏論的対象から、べつのそのような対象への対応（射、関手、自然変換、etc）が一般的に論じられると、非常に便利です
たとえば、配列がソートできることと、頂点が有限で閉路のない有向グラフがトポロジカルソートできることは、いずれも数学的帰納法で示すことができます
ですから、これらふたつの対象に、圏論のような非常に一般的な文脈での対応が取れれば、非常に便利なのです
たとえば、型tからsへの関数があったとしましょう。
もし、配列とグラフがそのように抽象化できたとして、この関数が
List<t> → Graph<s>
に自然に持ち上がるとすれば、プログラミングにおける多くの処理が抽象化できます
しかし、このようなことが望めるとしたら、すでに誰かが発見しているかも知れません ざたまさしの質問には本人が答える。自演回答者の場合、自演質問者には自演回答者2対する嫌な絡みが無くあっさり引き下がるのが特徴。 >>194
>F代数
αって自然変換のこと？じゃないよねたぶん 双対基底はBと無関係にさだまさしりますよね？
さだまさしりますよね >>192
>非常に便利
引き写せます表せますってだけの
アブストラクトナンセンス（）な
論文書けるってだけじゃ無いかな
大した役に立つと思えんが >>192
>>194
対称モノイダル圏のモノイダルなところが数学的帰納法相当なんじゃないの？ >>194
F代数はモナドにさらに条件つけたバージョンだな >>199
かなとも思ったけどα(A)と表せないものも考えルンかなと
自然変換はどれでもαになり得るというだけでなく
自然変換で無くてなんていうか定義域が制限された自然変換みたいなもの（オブジェクト1つでも可）かなと すくなくともα自体は自然変換ではないよね
ほかの対象Bに対するF(B) → Bへの射の存在が規定されてないし >>192
F代数は、Fを固定しなきゃいかんから、ここまで一般的なのは得られないだろうね
係数拡大みたいなのもできたら、その範囲では何かしらできるかもだが >>203
可換なfα:F(A)→A→B=βF(f):F(A)→F(B)→BがあるときはオブジェクトがA,Bだけの自然変換と見ることができるから
そのような制限付き自然変換となる場合がこのαの射で
A,B,Cだけの自然変換が有る場合がそのような射の合成にあたると さだまざじの曲を聞きながら自演したり教科書にケチをつけたり。 自己関手F, G: C → Cがあって、自然変換τ: F → Gがあったら、F代数とG代数の間になにか対応あるの？ ざたまさしの書き込みにはざたまさじ特有の味があるよな
さだまさしの影響か笑 非アルキメデス距離に関する位相では、開集合は閉集合？ >>23接ベクトル空間と余接ベクトル空間って同型なのに分けてなんで考えるんですか？ なるほど。一言で言うと
さたまざしはポエム的
なのか。俺の持つ違和感の多くがこのワード(=ポエム)で納得解決になった。
夢やファンタジーを含むさたまさじの書き込むポエムは特徴的。 >>207
G代数α:G(A)→Aに対して引き戻しの
F代数ατ(A):F(A)→G(A)→Aが定まるね
β:G(B)→Bに対しても
βτ(B):F(B)→G(B)→Bが定まるから
f:A→BがG代数の射ならそのままF代数の射になる >>216
α: G(A)→Aから、α: τF(A)→G(A)→Aが、定まるのは分かったのですが、射
F(A)
↓
F(B) はどのように定まるのですか >>216
てことでτはG代数の圏からF代数の圏への関手となる
2-カテゴリーね >>221
なんだこいつ
目につくだけで役に立たねーな ああh: A → B から F(h): F(A) → F(B)が定まって、τが自然変換だから
τ(A) α
F(A) → G(A) → A
↓F(f) ↓G(f) ↓f
F(B) → G(B) → B
τ(B) β
全部可換になるのか aとbが互いに素な整数なら
x^a + y^bは既約？ >>229
既約。
bd = ac + 1 となる正整数c,dをとると (xz^c)^a + (yz^d)^b = z^(ac)(x^a + y^bz).
この分解と元の式の分解にxz^c, yz^dを代入したものを比べればわかる。 >>231
S^3へのembedingはたくさんあるよ Cを単射な写像の集合とする。
Cが⊆で全順序の時、|C|≦|∪C|か？ 体k上の整域で、k上有限生成加群になってるのは、体になるのか？ >>241
Rは加群としてK上有限生成⇒K⊂Rは整拡大
K⊂Rが整拡大 + Kが体⇒Rは体 >>241
Rを
>体k上の整域で、k上有限生成加群
とする。
kは体なのでRはk上有限次元ベクトル空間。
0でないa∈Rによる掛け算写像a:R→Rは単射。整域なので
よってRの0でない元は可逆（det(a)≠0だから） >>242
一行目を示すために、∀x∈Rに対してk[x]が有限生成であることを示そうと思うんですけど、Rが有限生成加群ならその部分加群も有限生成って言えるのでしょうか？ 有限次元ベクトル空間なのだから当然
より一般に、ネーター環上の有限生成加群がネーター加群であることからもわかる ネーター環でない環Rと無限増大イデアルの列Ikをとって∪Ikを含む素イデアルpをとってpで局所化する 永田,可換体論の補題2.9.7で、λ_(x) = Π[0≤a<n, nZ + a∈(Z/nZ)*](x - ζ^a) はZ[x]の元であるとされてますが、なぜでしょうか？ x^n - 1 = Π[d|n] λ_d(x)と数学的帰納法から分かる シューアの補題を用いてアーベル群の既約表現が1次元であることを示せという問題がわかりません
セールの本では指標の直交関係式を用いて示しています Gをアーベル群
VをCベクトル空間
ρ: G → GL(V)を既約表現
ρ(a)ρ(b) = ρ(b)ρ(a)
なので、シューアの補題より任意のb∈Gに対して、ρ(b)はλ_b id_V (λ_b ∈C)の形
よって、0でないv∈Vが生成する部分空間<v>はG不変だが、Vは既約なのでV = <v> f：X→Yを写像、Xはたかだか可算集合とする。
G:={g：X→Y｜{x∈X|g(x)≠f(x)}は有限集合}と置く。
Gはたかだか可算集合か？ パッと見た感じ、Gも高々加算なんだろうけど、証明の手の付け所が分からん X’をXの有限部分集合の集合とするとX’は高々可算。
よって G’ := {(A, g) | A ∈ X’, g: A → Y} も高々可算。
単射G→G’が存在するのでGも高々可算。 サンクス
なるほど、(A,g)∈G'のAはfと異なる値を与えるような有限個の元を集めたものか
冴えてるね。
俺は愚直にG=∪_{n<N} ｛g：X→Y|gはfとｎ個の点で異なる｝と表して、右辺の各集合が高々可算集合であることを示そうと思ってしまってた。 ℤ加群Mに対して、f:M→ℚ⊗M,x→1⊗xとします。
この時、ker(f)=T(M)であることを教えてください。
ただし、ℚ⊗Mはℤ上のテンソル積で、T(M)はMのねじれ部分群です。 T(M)の像はT(ℚ⊗M)に送られるがT(ℚ⊗M)=0だからm∈ker(f)
mが捻れ元でなければmℤ→ℚ⊗mℤは単射でℚ⊗mℤ→ℚ⊗Mも単射 >>260
ありがとうございます。
mℤ→ℚ⊗mℤが単射というのはどうやって示せるのですか。 >>260
ありがとうございます。
mℤ→ℚ⊗mℤが単射というのはどうやれば示せるのですか。 環付き空間X上の層F, Gの、前層としてのテンソル積
Γ(U, F⊗G) = Γ(U, F)⊗Γ(U, G) （U⊂X: 開集合）
が層にならない例が思いつかないです 2変数関数で無限回偏微分可能だが連続でない関数の例を教えて下さい
どこかで見た記憶があります 済みません、学部レベルではなかったですが宜しくお願いします >>271
どこで見たか覚えていますか？古い活字かTex仕様か記憶はありますか？ f(x, y) := (1 - D(x)) * (1 - D(y)), D はディリクレ関数
f は有理点で無限回偏微分可能であるが、連続ではない。 f(x, y) := D(x) * D(y), D はディリクレ関数
f は無理点で無限回偏微分可能であるが、連続ではない。 ところで、例えば、2変数関数 f は点 (a, b) で2回偏微分可能というとき、 ∂f/∂x および ∂f/∂y の定義域は、点 (a, b) を通り、 x 軸に平行な直線上および点 (a, b) を通り、 y 軸に平行な直線上で定義されてさえいればいいんですか？ あるいは、2変数関数 f が点 (a, b) で2回偏微分可能というときには、 ∂f/∂x および ∂f/∂y は点 (a, b) の近傍で定義されている必要があるんですか？ 以下の暗号を解くと、次の暗号になる。
2040020410203876020436724284
↓
HEHNRQRQLNNL
これが解けません？どういう意味でしょうか マジで初歩的な質問ですまん
当方は工学部出た後趣味で数学やってるものです
線型空間Hの定義見てたら
x∈Hに対しスカラー倍kx∈Hが成り立つとはあっても
k∈Hが要請されてないんだけどもこれってどういうこと？
k∈R or Cしか要請されてない… >>0282
K = R or C で, H が K 上の線型空間とします.
x ∈ H の k によるスカラー倍というのは, k ∈ K というのが前提となっています.
これは, 線型空間の定義がそうなっており, k ∈ H と x ∈ H
に対して積 kx が定義されるというのとは異なります. スカラーkはHの元ではないからです、例えば数ベクトル空間R^nに対して実数(k)倍は定義されてもkはR^nの元ではないですね
k∈RorCは「スカラーkはRorCの元である」という要請ではなく「任意のk∈RorCに対してkx∈H」という要請です(つまりスカラーなるものが先に定義されていてそれがRorCの元である、ということではない)
ところでベクトル空間をHで表すってヒルベルト空間でもやってるの？ >>283
ありがとうございます
理解は出来ましたが出来ればそういう基本が載ってる本を手元に置いておきたいです
何かオススメはありますでしょうか >>283
ありがとうございます
理解は出来ましたが出来ればそういう基本が載ってる本を手元に置いておきたいです
何かオススメはありますでしょうか
>>284
色々教えてくださってありがとうございます
こんな無能が何でヒルベルト空間なんかやってんの？ と言う質問でしたら答えはYesです >>0285
その基本についてですが, 大学数学からのアプローチと高校数学からのアプローチの 2種類があると思います。
大学数学からアプローチするならば, 作用素を持つ群の特別な場合としての加群,そして加群の係数環 A の特別な場合としての A = R, or C の場合と言うふうに行きます.
文献は, N.Bourbaki, 代数, Chap.1, Chap.2 です. 今はフランス語版が Springer から出ています.
高校数学からアプローチするならば, 高校教科書をもう一度読み直すしかないです. つまり, ベクトルを習う前は, 数直線を基本に, 実数 xの 絶対値というものを x の『大きさ』であると我々は認識していました.
そこで, ベクトルというものを習うときには, ベクトル v は『大きさ』の他に『向き』を持つ数学的対象である, と習ったはずです. 高校数学では R^2 とか R^3 とかの要素がベクトル空間の主要な例となっていたはずです.
それでは, ベクトルからなる空間, 例えば R^2 に対して, 今まで習った数直線をどう位置付けするか？ということで, 『大きさは持つが向きは持たない対象』という意味で, 『スカラー』という言葉を我々は使っています. つまり, R の元がスカラーというものだ、と、我々は教わったのですね.
では, ベクトル v ∈ R^2 とスカラー a ∈ R に対して, ax ∈ R^2 はどう定義されるかというと,
a>0 の場合は, av は向きは v と同じで長さは v の a倍のベクトル,
a<0 の場合は, av は向きは v と反対で長さは v の -a 倍のベクトル,
というふうに定義しています.
高校時代の私はこういうふうにベクトルのスカラー倍というものを習いました.
だから, K = R or C がスカラーの集合, H がベクトル空間（線型空間と同じ意味です）
という設定の場合, a ∈ K, x ∈ H に対して, x の a 倍 ax (x のスカラー倍) というものが自然に認識できますね. 訂正
誤 : 高校数学では R^2 とか R^3 とかの要素がベクトル空間の主要な例となっていたはずです.
正 : 高校数学では R^2 とか R^3 とかの要素がベクトルの主要な例となっていたはずです. うーん、あまりにも当たり前ですがやはり数学は難しいですね
修士論文や博士論文書く必要があるような話ではないのでのんびりやります y ≧ 0 で 1, y < 0 で 0 とかでいいんじゃね？
x方向には何回でも偏微分可能だから嘘は言ってない >>297
>x方向には何回でも偏微分可能だから嘘は言ってない
全然ダメ＞定義通り 偏微分可能だが連続でない関数の例として、
よく>>280があげられますが、もっと簡単な
f(x, y) = 0 (xy =0) 1 (otherwise)
でいいと思います
なぜ、こんな簡単なことが思いつかないのでしょうか
べつの本をコピペしてるだけだからでしょうか 偏微分可能だが連続でない関数の例として、
よく>>280があげられますが、もっと簡単な
f(x, y) = 0 (xy =0) 1 (otherwise)
でいいと思います
なぜ、こんな簡単なことが思いつかないのでしょうか
べつの本をコピペしてるだけだからでしょうか 偏微分可能だが連続でない関数の例として、
よく>>280があげられますが、もっと簡単な
f(x, y) = 0 (xy =0) 1 (otherwise)
でいいと思います
なぜ、こんな簡単なことが思いつかないのでしょうか
べつの本をコピペしてるだけだからでしょうか 偏微分可能だが連続でない関数の例として、
よく>>280があげられますが、もっと簡単な
f(x, y) = 0 (xy =0) 1 (otherwise)
でいいと思います
なぜ、こんな簡単なことが思いつかないのでしょうか
べつの本をコピペしてるだけだからでしょうか こう言っちゃアレだけど、托卵にキレる男性というのは社会的に弱者なので、淘汰されても仕方ないと思う
そもそも生後一年は嫡出否認の権利があったのに行使しなかったわけだから、「別の男の種だから育てたくない」は法律的に通用しない
ちゃんと法律や社会制度を理解してクレバーに立ち回れる人は、収入も身長も高くてイケメンであることが多いから、托卵されないんだよね こう言っちゃアレだけど、托卵にキレる男性というのは社会的に弱者なので、淘汰されても仕方ないと思う
そもそも生後一年は嫡出否認の権利があったのに行使しなかったわけだから、「別の男の種だから育てたくない」は法律的に通用しない
ちゃんと法律や社会制度を理解してクレバーに立ち回れる人は、収入も身長も高くてイケメンであることが多いから、托卵されないんだよね こう言っちゃアレだけど、托卵にキレる男性というのは社会的に弱者なので、淘汰されても仕方ないと思う
そもそも生後一年は嫡出否認の権利があったのに行使しなかったわけだから、「別の男の種だから育てたくない」は法律的に通用しない
ちゃんと法律や社会制度を理解してクレバーに立ち回れる人は、収入も身長も高くてイケメンであることが多いから、托卵されないんだよね こう言っちゃアレだけど、托卵にキレる男性というのは社会的に弱者なので、淘汰されても仕方ないと思う
そもそも生後一年は嫡出否認の権利があったのに行使しなかったわけだから、「別の男の種だから育てたくない」は法律的に通用しない
ちゃんと法律や社会制度を理解してクレバーに立ち回れる人は、収入も身長も高くてイケメンであることが多いから、托卵されないんだよね 集合Aが集合B,Cの稠密な部分集合なとき、A^2はB×Cの稠密な部分集合になりますか。 集合Aが集合B,Cの稠密な部分集合なとき、A^2はB×Cの稠密な部分集合になりますか。 >>299
>>267
>2変数関数で無限回偏微分可能
zx,zy,zxx,zxy,zyx,zyy,zxxx,zxxy,zxyx,zyxx,zxyy,zyxy,zyyx,zyyy,…
すべてが定義できなくてはいけないんだけど？
>>297はまるでダメ>>280もちゃんと計算したらダメと分かる >>310
それはお前の計算（何を計算?したか知らんが）が間違ってるだけ >>310
それはお前の計算（何を計算?したか知らんが）が間違ってるだけ >>310
それはお前の計算（何を計算?したか知らんが）が間違ってるだけ >>310
それはお前の計算（何を計算?したか知らんが）が間違ってるだけ f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)
(x, y) ≠ (0, 0)のとき
fx
= (y(x^2 + y^2) + 2x^2y)/(x^2 + y^2)^2
= (3x^2y + y^2)/(x^2 + y^2)^2
より
fx(0, y) = 1/y
一方、
fx(0, 0) = 0
なので、fxは原点で偏微分可能ではない f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)
(x, y) ≠ (0, 0)のとき
fx
= (y(x^2 + y^2) + 2x^2y)/(x^2 + y^2)^2
= (3x^2y + y^2)/(x^2 + y^2)^2
より
fx(0, y) = 1/y
一方、
fx(0, 0) = 0
なので、fxは原点で偏微分可能ではない f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)
(x, y) ≠ (0, 0)のとき
fx
= (y(x^2 + y^2) + 2x^2y)/(x^2 + y^2)^2
= (3x^2y + y^2)/(x^2 + y^2)^2
より
fx(0, y) = 1/y
一方、
fx(0, 0) = 0
なので、fxは原点で偏微分可能ではない f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)
(x, y) ≠ (0, 0)のとき
fx
= (y(x^2 + y^2) + 2x^2y)/(x^2 + y^2)^2
= (3x^2y + y^2)/(x^2 + y^2)^2
より
fx(0, y) = 1/y
一方、
fx(0, 0) = 0
なので、fxは原点で偏微分可能ではない f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)
(x, y) ≠ (0, 0)のとき
fx
= (y(x^2 + y^2) + 2x^2y)/(x^2 + y^2)^2
= (3x^2y + y^2)/(x^2 + y^2)^2
より
fx(0, y) = 1/y
一方、
fx(0, 0) = 0
なので、fxは原点で偏微分可能ではない f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)
(x, y) ≠ (0, 0)のとき
fx
= (y(x^2 + y^2) + 2x^2y)/(x^2 + y^2)^2
= (3x^2y + y^2)/(x^2 + y^2)^2
より
fx(0, y) = 1/y
一方、
fx(0, 0) = 0
なので、fxは原点で偏微分可能ではない f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)
(x, y) ≠ (0, 0)のとき
fx
= (y(x^2 + y^2) + 2x^2y)/(x^2 + y^2)^2
= (3x^2y + y^2)/(x^2 + y^2)^2
より
fx(0, y) = 1/y
一方、
fx(0, 0) = 0
なので、fxは原点で偏微分可能ではない f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)
(x, y) ≠ (0, 0)のとき
fx
= (y(x^2 + y^2) + 2x^2y)/(x^2 + y^2)^2
= (3x^2y + y^2)/(x^2 + y^2)^2
より
fx(0, y) = 1/y
一方、
fx(0, 0) = 0
なので、fxは原点で偏微分可能ではない R^3から2点を除いた空間の整数係数ホモロジー群を求めるにはどうすればよいのでしょうか。 もしかしてこういうのを求めてるのか？
gを[0,1]で定義された滑らかな実数値関数で[0,1/3]で0, [2/3,1]で1を取るようなものとし、R^2上の関数fを
x ≦ 0 または y ≦ 0 のとき 0,
x > 0 かつ y > 0 のとき g(min(x,y)/max(x,y))
で定めると、fはx方向、y方向に任意の回数、任意の順序で偏微分することができるが、原点の回りで連続ではない。 f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)
= cosθ sinθ =(sin2θ)/2
よって座標軸上で0となるので原点の偏微分は0である
原点で不連続なのも明らか >>324
その空間は S^2∨S^2 にホモトピー同値。 方向微分と偏微分を混同したまま議論が進んでいて暗澹たる気持ちになる 実射影平面RP^2およびクラインの壺が、3次元ユークリッド空間R^3に埋め込むことができないことは、どのように証明するのでしょうか。 もし埋め込めるなら、なめらかな関数f: R^3→RによってX = f^(-1)({0})となっており、∂f/∂x_i(x) = 0 (i=1, 2, 3)となる点は無いから、X上いたるところで消えない微分形式dfが定義されるが、これはXが向き付け不可能なことに反する
らしい
https://math.stackexchange.com/questions/1031246/why-mathbbrp2-can-not-be-embedded-to-mathbbr3 もし埋め込めるならR^3は単連結だから像の補集合は非連結だが、これはXが向き付け不可能なことに反する >>335
それ詳しく頼む
なんの定理で調べたらいい？ 全ての置換が偶置換と奇置換のどちらか片方であることの証明に、よく差積多項式への作用が使われますが、なんか変な感じします。
多項式というのがなんか形式的というか人工的というか異質な感じがします。
群論の言葉だけで証明できないんですか？ 違和感がよく言語化できないんですが、「何かに作用させる」というのが、群論だけで閉じてないような感じがします。 >>325
微積分のテキストで
任意の階数で偏微分可能な関数＝任意の階数で偏微分可能でその偏導関数が連続
と書いているのは間違いという事ですか？ >>343
軸方向に沿った方向微分が偏微分でしょ？言うほどそこで混乱してるようにも見えんが
自分が理解してなかっただけじゃね？ gを(0,1)内にサポートを持つ関数として
f(x,y)=g((y-x^2)/x^2) (x≠0)
f(0,y)=0
とかもあるから単に方向微分か偏微分かみたいな言葉の問題ではない ああそうか方向微分を曲線を使って定義する流儀もあるか
多様体だとむしろそっちが普通だしな >>347
>方向微分を曲線を使って定義する流儀
聞いた時無いけどそれ {f(x(t),y(t))' てこと？ >>349
本は↓
ttps://honto.jp/netstore/pd-book_02674104.html
で167頁に以下の記述があります
「一般に, n∈Nに対してn階までの偏導関数がすべて存在して連 続のとき C^n級またはn回連続的微分可能であるという. また、連続関数を C^0級の関数、x, y に関して何回でも偏微分できる関数 (すべてのn∈N に対 しC^n級の関数) を C^∞ 級の関数という.」
上記の中で『x, y に関して何回でも偏微分できる関数』の部分が問題があるのか？と言う疑義です >>350 と同じ様な記述をしている本は他にもあります
例えば裳華房の難波誠著「微分積分学」もそうです >>353
それか「偏導関数が連続」を「偏導関数が x 軸及び y 軸方向に連続」と早とちりしてるのかも 質問です
正方行列Aをn乗して単位行列Eになるとき
A^n = E
行列Aは対角化可能でしょうか？
もしそうなら理由を教えて下さい [[1 1][0 1]]^p = [[1 p] [0 1]]
なので、正標数なら成り立ちませんね 標数0のときは、もし対角化可能でないとすると、大きさ2以上のジョルダン細胞のn乗が単位行列にならないので、成り立ちますね PQ=E
PAQ=J
J^n=PA^nQ=PEQ=E
J=D でない。 ではない。
より、 だから、
任意の、 任意に
無意識にごちゃまぜに使ってるのに気づいた時、｢あ、やべ、文字の使い方を統一しなきゃ｣ってなるめんどくささ何とかしてくれ >>363
>｢あ、やべ、文字の使い方を統一しなきゃ｣
ては思わない 上２つはともかく
任意の＝arbitrary(形容詞)、任意に＝arbitrarily(副詞)
で別ものだからマジェマジェしても問題ないのでは >>359
A^n = EならばAの最小多項式はX^n-1を割る。
従って標数pがnの約数でなければ最小多項式は分離的でAは対角化可能。 >>366
kwsk
・標数pがnと互いに素で最小多項式p(x)がx^n-1を割り切る
からなぜ対角化可能が言える？ 標数がnと互いにそならばx^n-1は分離多項式（重根を持たない）
よって最小多項式も分離的で単因子多項式も分離的
従ってJordan標準形は対角形 まとめると
標数をpとする
p = 0または、nがpで割り切れない場合は、対角化可能
nがpの倍数なら、そうとは限らない 359です。
>>360-362,366-370
みなさんありがとうございます
勉強になりました 奇数次関数f(x)について
f(x)が極大値を持つこととf(x)が極小値を持つことは同値か。
という問題は何考えればいいんですか。同値って何んですか。 >>373
極大値をもつ ⇒ 極小値を持つ
かつ
極小値を持つ ⇒ 極大値を持つ
を示せ 極大値を持ち極小値ももつならそれは同じ値になるということですか？
それならそんなのウソに決まってますが・・・ 誰も極大値と極小値が同じ値になるなんて言ってない。 どこをどう読んだらそんな意味になるんだ、小学生でもそうはならんだろうに……極大極小ってあなた高校生じゃないんですかね
もはや数学の問題ではなく国語(文章読解)の問題ですよ
数学の問題としては、奇数次の仮定から(x→±∞の極限と中間値の定理を使って)値域は実数全体となるのでどこかで一度増減が変化したらもう一回変化しないといけない、このことを数学的に書けばいいだけです x^3-8x-4がQ上既約な事はどのようにしたら分かりますか？ ZがUFDなので、Z上既約ならQ上でも既約（Gaussの補題）
もし分解するとしたら、1次式と2次式の積になる
もしx - aを因数にもつなら、aは定数項の約数
しかしxに±1, ±2, ±4どれを代入しても0にならない 「極大値」「極小値」「同値」という3つのキーワードが並んでいて、
どのキーワードにも「値」という漢字が含まれているので、本人の中では
「何らかのスカラー値が等しいことを同値と呼ぶ」
という期待感を先に抱いてしまったのだろう。 「極大値」「極小値」「同値」という3つのキーワードが並んでいて、
どのキーワードにも「値」という漢字が含まれているので、本人の中では
「何らかのスカラー値が等しいことを同値と呼ぶ」
という期待感を先に抱いてしまったのだろう。 だから、正確な解説を提示されても、そこから
「スカラー値が等しい」に相当する解釈を脳味噌が勝手に捏造してしまい、
支離滅裂な結論になってしまったのだろう。具体的に言えば、
「極大値をもつ ⇒ 極小値を持つ 」
「極小値を持つ ⇒ 極大値を持つ 」
という2つの条件に「スカラー値が等しい」という
本人の願望を脳味噌が勝手に付け加えてしまい、
「極大値と極小値を持つ場合、それらが同じ値になることを同値と呼ぶのか？」
という解釈に到達してしまったんだろう。 一様収束する関数列が極限と微積分を交換できるのって何に使いますか？ f^2とg^2がリーマン可積分なら、fgはリーマン可積分ですか？ >>387
反例:
f, g : [0, 1] → R を次のように定義する:
f(x) = -1 for x は有理数
f(x) = 1 for x は無理数
g(x) = 1 for x ∈ [0,1] 写像を書くときは定義域を明示するものだと思いますが、
なんで作用素は定義域を明示しないんですか？ 例えば、リーマン積分を[0, 1]上のリーマン可積分関数全体の集合からRへの写像と考えず、
[0,1]上の有界関数全体の集合からRへの作用素と考えると、
何かいいことがあるんですか？ 有界関数しか積分できなくなります
いいことは何もないでしょう >>392
リーマン積分は本来有界関数だけのものです
広義積分というのもありますが 積分に求められる公理って
線形性と加法性と基本定理ぐらい？ >>390
「作用素が定義されるものの全体」を定義域に考えることがあるからでは
例えば微分は「微分可能な関数」を定義してから微分作用素を定義するのではなく、微分(作用素)を定義してから滑らか(C^n級)なものを集めて定義域に考えますね ベクトルの微分が理解できないので誰か分かりやすく教えて下さい
色々と調べましたが数式が多すぎて理解できませんでした…
H = X × W + Bの時、何故dH/dXはW^Tになるのですか？
通常の微分だとWではないのですか？ 俺、こういう微分方程式をやってた学生時代の当時から｢何でこんな個別具体的な微分方程式ばっかやらなあかんねん｣ってひしひしと感じてたわ >>401
「解析」は壮麗な一般論はつくりにくい。 具体的に言えば万有引力下での物体の方程式です
状況としては質量Mの物体Aが原点Oに固定されていて
原点から距離rの位置にある初速度0の物体Bが物体Aに近づいていくことを想定してます
解こうと思ったけど全然当てがつかないです
調べても楕円や双曲線など軌道の計算しか出てきませんでした
物理板で聞くべきことでしょうか？
https://i.imgur.com/ayzfCH5.jpg いや…y=At^(2/3)とかすればそれっぽい答えなるんですかね
なんかすみませんでした… >>400
思いつかんときは
級数解法
逐次近似法
でどう？ >>400
y^2y''+k=0
y'=dy/dx=1/(dx/dy)=1/x*
y''=d(1/x*)/dx=(d(1/x*)/dy)/(dx/dy)=-x**/(x*)^3
y^2y''=-y^2x**/(x*)^3=-k
y^2x**=k(x*)^3
u=x*=dx/dy
y^2u*=ku^3
du/u^3=kdy/y^2
d(1/2u^2)=d(k/y)
1/2u^2=k/y+C
2u^2=1/(k/y+C)=y/(Cy+k)
x*=u=±√(y/2(Cy+k))
x=±∫dy√(y/2(Cy+k)) 微分の連鎖律についての解説動画を見ていたのですが、なぜ df/d(3y+1) が f' になるのですか？
そもそも (3y+1) で微分するということも良く分からない…
あと、d(3y+1)/dx = 3y' になるのも理解出来ないのですが、(3y + 1) を xで微分したら0になるのでは無いですか？
xyもxで微分したらyになりそうなのに仕組みが全くわかりません…
https://i.imgur.com/JPwi4oi.jpg >>403
楕円の場合はケプラー問題とかその手のキーワードでググれば出てくる
Bessel関数とか使った厳密解の出し方出てくるハズ >>403
楕円の場合はケプラー問題とかその手のキーワードでググれば出てくる
Bessel関数とか使った厳密解の出し方出てくるハズ >>409
(f(3y+1))'=f'(3y+1)y'
(h(xy))'=h'(xy)(xy)'=h'(xy)(y+xy') >>409
(f(3y+1))'=f'(3y+1)(3y+1)'=f'(3y+1)3y'
(h(xy))'=h'(xy)(xy)'=h'(xy)(y+xy') >>409
>xyもxで微分したらyになりそうなのに
yはxの関数
y=y(x)と書き直して考えたら良い >>409
>そもそも (3y+1) で微分するということ
気持ち悪い書き方
そこはf(3y(x)+1)をxで微分しているので
f(t)にt=3y(x)+1を合成していると考えよ
h(xy)の方も同様 四元数で素数が分解するか考えたいのですが、
非可換環の整拡大って定義できるんでしょうか 四元数で素数が分解するか考えたいのですが、
非可換環の整拡大って定義できるんでしょうか 四元数で素数が分解するか考えたいのですが、
非可換環の整拡大って定義できるんでしょうか 四元数で素数が分解するか考えたいのですが、
非可換環の整拡大って定義できるんでしょうか V, W : 線形空間
T : V×Wの元(v, w)を基底とする線形空間
N : Tの元の線形結合全体からなるTの部分線形空間
商線形空間T_0 = T/N に対して、
Φ_0 : V×W → T_0（Φ_0(v, w)=[(v, w)]）
と写像を定義すると、(Φ_0, T_0)がVとWのテンソル積になることを示せ。
という問題です。
線形空間Uと双線形写像Φ:V×W→Uを導入して、f:T_0→Uを上手く定義するとf(Φ_0(v, w))=Φ(v, w)が成り立つことを示そうとしているのですが、
f(Φ_0(v, w))=f([(v, w)])以降の計算方法がわかりません…
同値類の変換の仕方を教えて頂きたいです。
よろしくお願いします。 補足です
[(v, w)] := (v, w)のT_0=T/Nでの同値類
示そうとしているのは可換図式の考え方を用いて、
∃!f ∈ Hom(T_0, U) s.t.Φ=f○Φ_0
です p∈Zを素数とする
p = (a + bi + cj + dk)(a' + b'i + c'j + d'k)
= (aa' - bb' - cc' - dd')
+ (ab' + a'b + cd' - c'd)i
+ (ac' + a'c + b'd - bd')j
+ (ad' + a'd + bc' - b'c)k
となるなら
aa' - bb' - cc' - dd' = p
ab' + a'b + cd' - c'd = 0
ac' + a'c + b'd - bd' = 0
ad' + a'd + bc' - b'c = 0
こんなん解けるのか >>406
>1/2u^2=k/y+C
(y')^2=(dy/dx)^2=2(k/y+C)
y'0=0
C=-k/y0
y'<0 for x>0
y'=-√(2(k/y-k/y0))
0<y<y0 for x>0
y=y0cos^2θ (0≦θ<π/2)
dy/dθ=-2y0sinθcosθ
√(2(k/y-k/y0))=(√(2k/y0))tanθ
dθ/dx=(dy/dx)/(dy/dθ)=(√(2k/y0))tanθ/2y0sinθcosθ=(√(k/2y0^3))/cos^3θ
dθcos^3θ=dx√(k/2y0^3)
(3sinθ-sin^3θ)/3=(√(k/2y0^3))x (θ=0 for x=0)
3sinθ-sin^3θ=(3-sin^2θ)sinθ=(2+cos^2θ)sinθ
(2+y/y0)√(1-y/y0)/3=(√(k/2y0^3))x
(y+2y0)√(y0-y)=(3√(k/2))x
(y+2y0)^2(y0-y)=(9/2)kx^2 >>430
>(y+2y0)^2(y0-y)=(9/2)kx^2
z=f(y)=(y+2y0)^2(y0-y)
dz/dy=-3y(y+2y0)
dz/dy<0 for y>0
z=f(y) ⇔ y=g(z) for y>0
y=g((9/2)kx^2)
y=0 for x=√(8y0^3/9k) >>425
>N : Tの元の線形結合全体からなるTの部分線形空間
Tは線形空間なんだからN=Tなのでは？ >>432
自分もそう思ったのですがおそらく双線形(bilinear)であることを言いたいんじゃないかなと >>430
>(y+2y0)^2(y0-y)=(9/2)kx^2
(y+2y0)/x=1/t
(x/t)^2(3y0-x/t)=(9/2)kx^2
x>0
(3y0-x/t)=(9/2)kt^2
(x,y)=(3y0t-(9/2)kt^3, y0-(9/2)kt^2) (t:0→√(2y0/9k))
まあここまでかな >>433
テンサー積の構成なら
NはV,Wの線形性を示す等式により生成される部分空間かな？
N=<(pa+qb,c)-p(a,c)-q(b,c), (a,rc+sd)-r(a,c)-s(a,d)|a,b∈V,c,d∈W,p,q,r,s∈K> >>437
今見返したらそれが書いてありました！
情報が足りなくてすみません！ >>430
>(√(2k/y0))tanθ/2y0sinθcosθ=(√(k/2y0^3))/cos^3θ
=(√(k/2y0^3))/cos^2θ
dθcos^2θ=dx√(k/2y0^3)
(θ+sinθcosθ)/2=x√(k/2y0^3) (θ=0 for x=0)
(x, y)=((θ+sinθcosθ)√(y0^3/2k), y0cos^2θ) (θ:0→π/2)
y=0 for x=π√(y0^3/8k) >>439
>(x, y)=((θ+sinθcosθ)√(y0^3/2k), y0cos^2θ) (θ:0→π/2)
θ←θ/2
(x, y)=((θ+sinθ)√(y0^3/8k), (y0/2)(1+cosθ) (θ:0→π)
x=(arccos(2y/y0-1)+2√((y/y0)(1-y/y0)))√(y0^3/8k) (y:y0→0)
y=0 for x=π√(y0^3/8k) >>439
>(x, y)=((θ+sinθcosθ)√(y0^3/2k), y0cos^2θ) (θ:0→π/2)
θ←θ/2
(x, y)=((θ+sinθ)√(y0^3/8k), (y0/2)(1+cosθ) (θ:0→π)
x=(arccos(2y/y0-1)+2√((y/y0)(1-y/y0)))√(y0^3/8k) (y:y0→0)
y=0 for x=π√(y0^3/8k) 内積の定義で条件<x,x>=0→x=0を外した概念の名前って
半定値内積ですか？ 内積の定義で条件<x,x>=0→x=0を外した概念の名前って
半定値内積ですか？ dx/dyがyによる微分という意味をもつわけではない いや分からん、4行目はｘがもはや独立変数じゃなくなってるし。 >>458
君は理解が浅すぎるようね
計算の経験も少ないみたい ID:/wWTrYRL
ID:pMrleq67
こういう式を羅列するだけの馬鹿の言うことなど耳を貸す必要はない >>460
読み解けないなら別にいいよ
君の思考の限界なのだろう
最後を見て正しい結果だと確認してな >>461
数学科で指導を受けていれば、このような書き方は良くないと指摘されるはずだが >>461
>最後を見て正しい結果だと確認してな
>>441
>x=(arccos(2y/y0-1)+2√((y/y0)(1-y/y0)))√(y0^3/8k) (y:y0→0)
これのことな >>427
>こんなん解けるのか
z=a+bi+cj+dk
zz*=z*z=a^2+b^2+c^2+d^2
zz'=p
(a^2+b^2+c^2+d^2)z'=pz*
z'=pz*/(a^2+b^2+c^2+d^2) >>464
>x=(arccos(2y/y0-1)+2√((y/y0)(1-y/y0)))√(y0^3/8k) (y:y0→0)
少し変形したら
x=(y0arccos√(y/y0)+√(y(y0-y)))√(y0/2k)
になった
まあここまでかな {a_n}と{b_n}がともに等差数列なら{a_n+b_n}も等差数列か。
{c_n}と{d_n}がともに等比数列なら{c_n*d_n}も等比数列か。
どういえばいいでしょうか。 >>471
等差数列である条件を確かめるだけ
等比数列である条件を確かめるだけ ID:MHpELOn7は逆関数の定義を理解していない t-depend の偏微分方程式をフーリエ変換して解いて元の空間に戻すというやり方がありますが、この解法はそもそもフーリエ変換可能な関数クラスでのみ解を求めてませんか？
もっと急増加（？）関数の解を見逃してないですか？ >>469
と思ったけどちょっと進めると
a'=ap/(a^2+b^2+c^2+d^2)
b'=-bp/(a^2+b^2+c^2+d^2)
c'=-cp/(a^2+b^2+c^2+d^2)
d'=-dp/(a^2+b^2+c^2+d^2)
が整数
a'(a^2+b^2+c^2+d^2)=ap
b'(a^2+b^2+c^2+d^2)=-bp
c'(a^2+b^2+c^2+d^2)=-cp
d'(a^2+b^2+c^2+d^2)=-dp
ここで
p|(a^2+b^2+c^2+d^2)
か否かで分けると
a^2+b^2+c^2+d^2=pk
のときは
a'k=a
b'k=-b
c'k=-c
d'k=-d
(a'^2+b'^2+c'^2+d'^2)k=p
よりk=1またはp
k=1のときはz'=z*かつa^2+b^2+c^2+d^2=p
k=pのときはa'^2+b'^2+c'^2+d'^2=1より
a',b',c',d'のどれか1つだけ±1であとは0
a^2+b^2+c^2+d^2がpで割り切れない時は
a'=a''p
b'=b''p
c'=c''p
d'=d''p
より
a”'(a^2+b^2+c^2+d^2)=a
b''(a^2+b^2+c^2+d^2)=-b
c''(a^2+b^2+c^2+d^2)=-c
d''(a^2+b^2+c^2+d^2)=-d
(a''^2+b''^2+c''^2+d''^2)(a^2+b^2+c^2+d^2)=1
より
a''^2+b''^2+c''^2+d''^2=a^2+b^2+c^2+d^2=1
よってa,b,c,dのどれか1つおよびその対応するa'',b'',c'',d''が同じ値の±1あとは0 >>478
君は等差数列とは何かを知らずに>>471を聞いたのか 一定間隔で増える数列ということは知ってますが
条件と言われると困るます >>476
そうだね。で？
まずは、初期値問題の解の存在や一意性などについては勉強した？
してないなら、勉強してからもう一度質問どうぞ。 >>482
解の一意存在性の問題と実際の解法の問題をゴッチャにしてない？ >>483
実際の問題の解法とやらがなぜうまくいくのかの理論的背景を勉強したら？って言ってるだけだよ
そもそも解とは何なのかきちんと答えられる？ >>485
正しい答えと判断できていないのにイイのね？ ω1ススリン木からススリン線を構成する証明で、CCCの証明がマジでわからん
具体的には、｢ある集合Dが反鎖だから｜D|≦ω｣という議論のDが反鎖である証明がわからん
分かる人教えてくれ。 Kunenの集合論 独立性証明の案内 定理5.13 >>476
よくわかんないけど多項式の増大度で抑えられる関数クラスでしか成立してないと言いたい？ フーリエ変換だったら緩増加超関数くらいじゃねぇの？
で、超関数まともに扱うなら解の意味とか考え直さなけりゃ意味ねぇだろ。 角度の平均を求めたいのですが簡単じゃないようでしたどうしたらいいですか
例えば350度と10度の平均は0度だと直感的に分かりますが
足して割るだと180度で正解と180度違う答えになってしまいます
どうしたらいいですか >>498
|a-b|<180か否かで場合分けしたら？ 2つだったらそれでいいですが
10個とかで平均取りたい場合はどうしたらいいですか 2つずつその場合分けで2で割るを10回繰り返すじゃ駄目ですよねえ >>500
じゃ君は
0,120,240の平均は何にしたいの？ その場合は他の角度の平均の計算に影響を与えなければ良いのかなあ
ちょっと調べて見たら
cosの和とsinの和を求めてそれをarctanすれば良いみたい
0, 120, 240 で計算したら123になったけど。。
0, 120, 240, 45 だと45になったのでとりあえず良さそう for (angle in angles) {
val radians = Math.toRadians(angle)
sumX += Math.cos(radians)
sumY += Math.sin(radians)
}
val averageX = sumX / angles.size
val averageY = sumY / angles.size
val averageRadians = Math.atan2(averageY, averageX)
return Math.toDegrees(averageRadians) >>505
>cosの和とsinの和を求めてそれをarctanすれば良いみたい
全然ダメだろｗ >>505
>0, 120, 240, 45 だと45になったのでとりあえず良さそう
その平均が45でイイの？ >>556
0度と180度の平均を求めたらERROR吐くけどどうする? >>507
テほどダメじゃないか
ベクトルの和を計算してその偏角を求めようというわけね
θ=atan2(Σcosθk, Σsinθk) >>506
> / angles.size
向き変わらないから（atan2の値変わらないから）不用
つまり
普通の数で言うところの平均とはちょっと違う >>510
境界条件（ゼロベクトルになる）場合はどうするかは決めておかねばね
ていうかベクトルの和でやると0, 180の平均も90, 270の平均も
どちらもゼロベクトルで区別付かないよな
0, 180の平均は90で90, 270の平均は180（か0か）て具合にしないとね そもそも角度の「平均」で何をしたいのか分からんことには...
円盤の縁にポツポツ重りが付いてて位置は角度で指定されている
実はその重心を求めたいのだ
みたいな話ならベクトル平均そのままお出しするのが正しい
いちいち0ベクトルの偏角を定めてやる必要はない Androidアプリでコンパスの向きを表示したくて、
センサーからは大量にデータが届くんだけど
結構バラツキがあってそのまま採用すると
ブルブル震える感じに表示されるので
ある程度直近10個くらいで平均を取った値を採用すれば
動きが滑らかになって良かったという感じでした
なので、割と近しい方位がセンサーからは返ってくるので
0, 180が来る時とかはあまり考慮する必要がありませんでした
359, 1とかは普通に来るので単純に足して割っただけでは駄目だということでした sizeで割るのは不要なんですね。ありがとうございます Xを整列集合、ｆ，ｇ，ｈをXからYへの写像
a=min{x|f(x)≠g(x)}
b=min{x|g(x)≠h(x)}
c=min{x|h(x)≠f(x)}
a=b => a=cか？ f(a)≠g(a), g(a)≠h(a) だからと言って f(a)≠h(a) とは限らない \precの直下に=記号を追加したいんだが、そのTeXコマンドを教えてくれ
例えるなら、＜の直下に＝を追加して、≦にしたいという感じ 行列でAB=IとBA=Iが同値なのとか、det Aの可逆性がAの可逆性と同値なのって、非可換環上の行列でも成り立ちますか？ 四元数体で
det[[i,j],[i,j]]=ij-ji≠0 そもそも非可換環だとab=1とba=1は同値とは限らない 超関数の質問です
普通の1変数関数 f(x) に対して
< f(x) , φ(x) > ＝ ∫ f(x) φ(x) dx
とすると超関数とみなせるというのがピンときません
線形汎関数と普通の関数は全然違うのに同一視できるんですか？ >>526
>同一視できるんですか？
<f,φ>=<g,φ>
∫(f-g)φ=0
f=g a.e. >>530
単射であれば同一視して良いのなら
線形代数で出てくる線形変換とその変換を表す行列も同一視して良いですか？ テイラー展開とはある関数f(x)があった時に別の関数g(x)をg(a)=f(a)、g'(a)=f'(a)、g''(a)=f''(a)、…と定めるとx=aの周りでg(x)がf(x)とよく似た値を取る
というものだと考えてますが
ある一点の関数や導関数の値を揃えるだけでそこから離れたところでも二つの関数がよく似るというのがとても不思議に思います
その理由って既にわかってるんですか？ >>535
>ある一点の関数や導関数の値を揃えるだけでそこから離れたところでも二つの関数がよく似るというのがとても不思議に思います
似るわけ無いじゃん
だから解析関数は特別なんだが >>535
一次関数や2次関数、あるいは多項式に限れば
そんなに不思議なことはないので
それの延長上の現象として理解すればよい だからWeierstrassの多項式近似定理や
Rungeの近似定理は重要
Oka-Weilの近似定理もそう https://i.imgur.com/E7k9CS9.png
ベクトル空間の定義を見て思ったのですが
このベクトル空間の要素aとして一次元の数字を選んでもいいのですか？（2とか3とか√7とか)
それでもこの定義の計算は成り立つと思うんです。
スカラー量もベクトルということでしょうか？ X=(x_1,…,x_m)^t∈ℝ^mとしてP(X)∈ℝ^{n×n}を対称行列の線形和,つまり対称行列の定行列A_0,…,A_mに対して
P(X):ℝ^m→ℝ^{n×n}を
P(X)=A_0+Σ_{k=1}^m x_k A_k
とするとき、P(X)の固有値の最小値λ_min(P(X))が凹関数となる理由を考えているのですがなかなか解法が思いつきません…
どのように考えたら良いでしょうか？ 実対称行列Aの全ての固有値がλ以上
は
任意の実数列ベクトルvに対して v^tAv ≧ λv^tv
と同値。後は凸関数の定義とかから出るはず。 ありがとうございます。
自分でも考えたのですが多分レイリー商の固有値最小の場合から示そうと言うことがわかりました！
ありがとうございます！！ すいません、固有値の最大値最小値定理を用いれば凹関数であることはすぐに示せたのですが、今度はこの固有値の最大値最小値定理
(つまり対称行列Aに対するレイリー商(R_A(x))の最小値がAの固有値の最小値に一致する定理)
を示したいのですがなんの文献またはサイトを見れば良いでしょうか…？
質問を連投してしまいすいませんが、どなたかお願い致します。 すいません、レイリー商で調べたらすぐ出てきました。大変お騒がせしてしまい申し訳ありません… f(A)={f(x)|x∈A}という集合としたとき、x∈Aという論理とf(x)∈f(A)という論理が同値なのは自明ですよね？
自明に思っても自分の感覚で思ったことなのであまり信用ならなくて いや同値じゃないんですかね
X={1,2}、Y={3,4}、f:X→Y、f(1)=3、f(2)=3とすれば
x∈{1}という論理はx=1で真、x=2で偽だけど
f(x)∈{f(x)|x={1}}={3}という論理はx=1でもx=2でも真になる？
x∈A≡f(x)∈f(A)ではなくx∈A→f(x)∈f(A)でしょうか。 x∈f^{-1}(f(A))とf(x)∈f(A)が同値ですね >>553
同値じゃないに決まってんじゃん
f(x)=x^2:R→R
R⊃A=R^+ 実数のべき集合に何かしらの全順序を入れたいんですが簡単な例知りませんか >>559
それwell-definedですか？連続濃度の集合同士でも辞書式って成り立つんですか？ 例えば[0,1]から3進数展開で1が現れる数を除いたもの（カントール集合）と、4進数展開で1が現れる数を除いたものだと辞書式でどっちが大きくなるんですか？
それぞれを実数全体に繰り返しで拡張した集合同士だとどうなりますか？ >>558
整列可能定理で整列すれば良い。
整列集合は、特に全順序集合である 「代数学の基本定理」の道（基本群）を用いた証明なのですが、画像の特にマーカーの箇所がどういう意味なのかがわかりません…
わかる方がいらっしゃいましたら教えていただきたいです
https://i.imgur.com/JtksBhc.jpg >>563
2^Rを辞書式に整列させるにはRを整列させねばならない
辞書式とは「次」がある場合に定義されるものだから
もしRの整列順序≪が与えられたなら
2^Rの整列順序として
A,B⊂Rで
A<B ⇔ ∃x∈B (￢(x∈A)∧∀y≪x (y∈A ⇔ y∈B))
と定義できる（φが最小でRが最大） >>566
α_r(1) = 1 になるように補正してるだけじゃない？ >>568
完全に盲点でした…
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>辞書式とは「次」がある場合に定義されるものだから
違うか
「最小」がある場合に定義されるから整列させねばならない
か
A<B ⇔ ∃x∈B\A ∀y≪x (y∈A ⇔ y∈B)
とすると
A≪B ∧ B≪Aであるのはx∈B\A, y∈A\Bがあって
z≪xであるものはすべてz∈A∩Bまたは￢(z∈A∪B)
かつ
z≪yであるものはすべてz∈A∩Bまたは￢(z∈A∪B)
となるので
x≪yならz=x∈A∩B⊂Aで矛盾
y≪xならz=y∈A∩B⊂Bで矛盾
よってx=yでこれまた矛盾
つまり
A≪BとB≪Aは排反
どちらでも無い場合つまり
￢(A≪B) ∧ ￢(B≪A)であるのは
∀x∈B\A ∃y≪x (y∈(A\B)∪(B\A))
かつ
∀x∈A\B ∃y≪x (y∈(A\B)∪(B\A))
の場合だから
∀x∈(A\B)∪(B\A) ∃y≪x (y∈(A\B)∪(B\A))
となるがこれは(A\B)∪(B\A)に最小が無いことを意味していて
≪が整列順序だからつまり(A\B)∪(B\A)=φすなわちA=Bとなる
よって
2^Rに定義した順序<は全順序 >>573
<が整列順序なのは
φ≠A={X}⊂2^Rに対して
X≠Y∈Aとすると
X<YかY<Xかのいずれかであり
前者の場合は
∃x∈Y\X ∀y≪x (y∈X ⇔ y∈Y)
であるのでこのようなxがただ1つ定まり（複数あったら≪の全順序性から矛盾）
後者の場合は
∃x∈X\Y ∀y≪x (y∈X ⇔ y∈Y)
であるxがただ1つ定まるから
いずれにせよ
∃x∈(X\Y)∪(Y\X) ∀y≪x (y∈X ⇔ y∈Y)
となるxがただ1つ定まる
このxをborder(X,Y)と定めると
≪の整列性より
z=min_≪{x∈R | x=border(X,Y) for ∃X≠∃Y∈A}
が存在するが
z=border(X,Y)となるX,Y∈Aについて
X<YであればX=min_<A
Y<XであればY=min_<A
となり
最小値が存在するから<は整列している >>573
>A≪B ∧ B≪Aであるのは
と
>A≪BとB≪Aは排反
ここは<でした >>573
>￢(A≪B) ∧ ￢(B≪A)であるのは
ここも<でした 対称行列は自身の転置行列と等しいので
対称行列同士の積は対称行列 C: 局所的に小さな圏
A, B∈ob(C)
Hom(-, A) と Hom(-, B) との間に自然同型があれば、AとBは同型？ 恒等射以外に射が全くない圏とかで考えるとできるんじゃね >>581
GL(n,Z)の掛け算を覗いて二つ以上のM(n,Z)の積に分解できない
M(n,Z)の元を一応既約と解釈した >>586
その定義だと、既約な対称行列の2乗は既約でない対称行列になるのでは？ 対称行列の積は一般には対称ではない
ゼロ行列は対称行列だけど(その定義で)既約ではない >>591
自然同型η:hom(-,A)→hom(-,B)とする
射f:A→Bをf=η_A(id_A)
射g:B→Aをg=(η_B)^(-1)(id_B)
と定義すれば自然性によりgf=id_A,fg=id_Bとなり
AとBは同型 体論の質問です
k⊂K⊂Lを体の拡大とします
k⊂K'を体の拡大とし、k同型σ: K → K'があるとします
Lをふくむ十分大きな体Ωの中で考えます
Zornの補題から、ある体K'⊂L'⊂Ωがあって、σはLからL'への同型に延長されます
もし、Lが代数的閉であれば、L = L'が言えます
しかし、そうでない場合は、Lと同型な体への同型へ延長されることしかわかりません
ここで疑問なのですが、L～L'だがL≠L'である例って何ですか？
k = Q, Ω = Cでいろいろ試してみましたが、L = L'にしかならない気がします >>593
k = K = K' = Q
α, βを代数的独立な超越数として
L = Q(α)
L' = Q(β) 1形式のリー微分についての質問です。
UはR^2 (y≠0)であり座標{x, y}について、
L_X(y^(-1)dx-y^(-1)dy)
を計算せよ（X=y^2∂/∂y とする）。
という問題の解き方を教えていただきたいです。
L_Xが微分形式のリー微分です。 >>592
>自然性によりgf=id_A,fg=id_Bとなり
なると分かったけど
もう少し説明した方が良くない？ nを自然数
Aを0以上の整数の集合
自然数x_1, ..., x_kに対して
x_1, ..., x_kのA係数の線形結合
a_1 x_1 + ... + a_k x_k (a_i∈A)
で表せる自然数全体をX = X(x_1, ..., x_k)で表す
nを与えた時、
X = {n, n+1, n+2, ...}
となるx_1, ..., x_kを構成することはできますか？ >>597
n, n+1, ..., 2n-1
2n = n + n
2n + 1 = n + n+1
...
3n - 1 = n + 2n-1
3n = 2n + n
なので、これ以降全部表せる >>597
minX=min{x1,,,,,xk)=n
n=x1≦x2≦,,,≦xk
X⊃nN
min(X-nN)=n+1
n+1=x2
X⊃nN+(n+1)N
min(X-nN-(n+1)N)=n+2
n+2=x3
…
2n-1=xk
k=n
X=nN+(n+1)N+…+(2n-1)N n次正方行列Aの固有多項式は
det(xI - A) = x^n - tr(A)x^(n-1) + ... + (-1)^n det(A)
ですが、n-1次、0次以外の係数は何を意味しているのですか たとえば1次の係数は
逆行列のトレースと行列式の積
すなわち余因子行列のトレース >>582
『ペーシック圏論』p.112の演習問題と同じ。
巻末に答えがあります
自分で考えると自然同型の良い復習になります D^n = {x∈R^n | |x|≦1} から S^(n-1) = {x∈R^n | |x| = 1}へのレトラクション（連続写像r: D^n → S^(n-1)で、r|S^(n-1) = id_S^(n-1)となるもの）が存在しないこと
の短い証明ありますか？ >>605
S→D→Sでn-1次のホモトピーとかホモロジーとかコホモロジートか消えてしまうよ レトラクションr: D→Sがあるとすれば
f: D×[0, 1] → D
f(x, t) = (1 - t)x + t r(x)
が変形レトラクションになるから、DとSはホモトピー同値になるが、Dは可縮でSはそうでないので矛盾 Cを単位円周
L(θ)を原点とC上の点をむすぶ偏角θの線分
とする
ベンツマークBを
B := C∪L(0)∪L(2π/3)∪L(4π/3)
で定義する
Iを閉区間[0, 1]とする
B×Iに以下の同値関係を入れた位相空間をXとする
(x, 0) ～ (y, 1) :⇔ yはxを原点中心に2π/3回転した点
Xの整係数ホモロジー群を求めよ >>608
次数0から順に Z, Z^2, Z.
Mayer-Vietoris 使っても良いし、これくらいならCW複体に分解してしまってもいい。
S^3内の2成分絡み目の補空間とホモトピー同値だからAlexanderの定理で検算できる。 とりあえず、6個の面、9個の辺、4個の頂点に分割できた
境界写像の作り方がわからない 素直に作ったら辺は10本になりそうだけど数え間違いかな
どれの境界写像の行き先がわからない？ e¹₁
─
e¹₂│e²│e¹₄
─
e¹₃
↑たとえばこういう面e²があったら、境界写像∂はどうなるんでしょうか
より具体的に言うと、各e¹の符号の決定のしかたがわからない e² の境界が B = e¹₁∪e¹₂∪e¹₃∪e¹₄
∂(e²) = Σ a_i e¹_i
a_i = deg(B → B/(B＼e¹_i))
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cellular_homology#Definition
自分とこ以外つぶすだけだから、a_iは全部1？
マイナスはどういう時に出てくるんですか？ ああわかった
ここのdegは、各e^nのD^nとの同相写像の取り方によるのか ていうか
頂点集合の部分集合だから頂点に順序つけて単体分割して
抜く頂点で±決めたらいいだけ
012->02ならマイナスとか
0123->013ならプラスとか κは基数、λが無限基数の時、κ^{<λ}つまり|∪_{順序数α<λ}Map(α,κ)|=∪_{基数θ<λ}|Map(θ,κ)|が成り立つ。
この証明自体は他の本で理解したんだが、｢λが無限基数｣という仮定がどこで使われたのかが分からん
分かる人、頼む 全然知らんのだけど、有限の基数より小さい順序数で基数じゃないのってあるんだっけ >>626
やっぱそうだよね
λが有限のときは∪の中身が全く同じに見える
なんか両辺で微妙に|の位置が違うのが打ち間違いなのか関係してるんだろうか？ >>628
誤植じゃないよ
左辺は全体に｜｜、右辺は∪の中身に｜｜。
んで、右辺の場合は、基数の集合の和集合だから基数になってる。だから右辺の全体に｜｜は要らない。 基数の集合Xの和集合∪Xが基数であることの証明
任意に順序数α∈∪Xを取ると、基数κ∈Xが存在して、α∈κ。
すると、|α|＜κ=|κ|≦|∪X|。つまり、∪Xは自分より真に小さい順序数とは対等にならない、つまり、∪Xは基数 それだと感覚的には有限のときは、∪じゃなくてdisjoint unionにしないと数が合わなそうな気がするなあ
κ=1のとき写像1個しかないから、右辺は1∪1∪…∪1=1になるけど、左辺がどうなるのかよくわからんなMapの構成方法によりそう
とりあえず有限のときに成り立つのか確かめた方がいいんじゃね >>631
>Mapの構成方法によりそう
α×κの部分集合にするのでは
これなら包含があるし合併も自然 なんかκ=1のときλが無限でも成り立たない気がするから、κとλの無限を取り違えてるにわいは一票 定義
Map(X,Y):={f⊆X✕Y|∀x∈X∃!y∈Y<x,y>∈f}
（基礎論では（）を＜＞で書く流儀） κが2のときは両辺ともλに応じてブクブクでかくなってくけど、左辺の∪はdisjointなのに右辺のは違うからλが有限のときは成り立たないので、どっかで無限であること使ってるね 質問者じゃないけど>>609の最後の行の内容が気になる
代数トポロジーのごくごく基礎は知ってるので結び目とか絡み目のwiki眺めてみたけど
絡み目のアレクサンダー多項式を計算するって事でいいんかな？
アレクサンダー多項式を計算するのに補空間が実際にどういう絡み目かはどうやって分かるかと
あとアレクサンダー多項式が計算できたらそこからH_1やH_2はすぐ分かるものなのか
って点を簡単にでも教えてもらえるとありがたい >>637
アレクサンダー多項式は絡み目補空間の被覆空間のホモロジーから出てくるものだから、補空間自体のホモロジー群とは別モノ。
補空間自体のホモロジー群は実は埋め込み方には依らず、今の場合だと成分数から簡単にわかるっていうことが知られていて、アレクサンダーの双対定理とか呼ばれてる。 >>638
なるほど
名前だけは聞いた事あったけどこれ使えば確かにすぐ出るのね
どうもありがとう f が [a, b] で積分可能であるとき、 ∫_{a}^{x} f は [a, b] で連続である。
↑この定理って書いていない微分積分の本がありますが、重要じゃないんですか？ 積分できればどんなに病的な関数でも不定積分は連続になる。
これって重要じゃないんですか？ 1. f が [a, b] で連続で f = g' であるとき、 ∫_a^b f = g(b) - g(a) が成り立つ。
2. f が [a, b] で積分可能で f = g' であるとき、 ∫_a^b f = g(b) - g(a) が成り立つ。
1.を微分積分学の基本定理と書いてある本が多いですが、2.のほうが一般的ですよね。 連続関数だから>>643でいう1.のケースなんだよなぁ >>648
K = F_2(x^2)の上にx∈Ωは分離的ではない Q[x]/(x^3 - 2) って、Q(2^(1/3))なの？Q(2^(1/3) ω)なの？Q(2^(1/3) ω^2)なの？ > 松本多様体の(df)pが線型写像なのは、表現行列(ヤコビ行列)を用いて表せてるから線型写像になるということであってますか？初歩的な質問ですみません。
https://x.com/mathyowa_kun/status/1729783897347522917? 表現行列というのは線型写像に対して定義されるものなのだから
「表現行列を用いて表せるから線型写像」
などという議論はありえない >>653
数学書をどう読んでいたらこういう疑問が出てくるのかわからない
というか仮に
「そうだよ。行列をかける操作は線形写像だから、dfは線形写像だよ」
って言われたらそれで納得するの？ >>653
いろいろと支離滅裂だな
示すべきことが分かってたらこんな疑問出てくる余地がないし
そもそも「表現行列を用いて表せてるから線型写像」というのが数学的に無意味な文だし >>653
線形写像であることを示せって言われてんだから、線形性を確かめたらええやん
なぜそれをしないのか >>653
ベクトルの和とスカラー倍を保つことを示せばいい >>653
そもそも線形写像になるから表現行列が定義できるのではないの 言いたいことは分かる
対応を座標を使って買いたら行列で書けたから線型写像ってことだろ >>653
元質問者はもう居ないかな
df(v)(g)=v(g(f))
なので
df(au+bv)(g)=(au+bv)(g(f))=au(g(f)+bv(g(f)=adf(u)(g)+vdf(v)(g)=(adf(u)+bdf(v))(g)
だから
df(au+bv)=adf(u)+bdf(v)
でdfは線形写像 >>668
>=au(g(f)+bv(g(f)=
=au(g(f))+bv(g(f))= >>668
>=adf(u)(g)+vdf(v)(g)=
=adf(u)(g)+bdf(v)(g)= df(u + v)(g)
= (u + v)(g(f))
= u(g(f)) + v(g(f))
= df(u)(g) + df(v)(g)
= (df(u) + df(v))(g)
df(av)(g)
= av(g(f))
= adf(v)(g)
なるほど
座標使って計算するまでもないんか >>671
>>668のように1次結合でやるほうがいいよ
線形代数のあらゆる場面で1次結合こそが本質 男の子2人産まれるまでの出産数期待値
女の子2人産まれるまでの期待値
男の子1人女の子1人産まれるまでの期待値
は同じですか？確率はどちらも1/2とします これって学部レベルかな？
確率空間が無限だから高校レベルではないんだけどちょっともにょる n人目で男2人揃う確率
n-1人目までに男1人女n-2人
C(n-1, 1) (1/2) (1/2)^(n-2)
n人目が男
1/2
(n - 1) (1/2)^n
Σ[n≥2] n(n-1) (1/2)^n
f(x) = 1/(1 - x) = 1 + x + x^2 + ... (|x| < 1)
f''(x) = 2/(1 - x)^3 = 2*1 + 3*2x + 4*3x^2 + ... (|x| < 1)
(1/2)^2f''(1/2) = 8/2 = 4
n人目で男2人またはn人目で女2人揃う確率
2人目で男2人
1/4
2人目で女2人
1/4
3人目で男2人
2 * 1/8
3人目で女2人
2 * 1/8
2 * 1/2 + 3 * 1/2 = 2.5
n人目で男女1対揃う確率
n-1人目まですべて男
(1/2)^(n-1)
n人目が女
1/2
(1/2)^n
その逆
(1/2)^n
(1/2)^(n-1)
Σ[n≥2] n (1/2)^(n-1)
f(x) = 1/(1 - x) = 1 + x + x^2 + ... (|x| < 1)
f'(x) = 1/(1 - x)^2 = 1 + 2x + 3x^2 + ... (|x| < 1)
f'(1/2) - 1 = 3 >>673
男二人と女二人は同じ
男一人女一人は半分ぐらいじゃ？ 任意の実数列 a = (a_n) に対して、
fのn階導関数が f^(n)(0) = a_n となるC^∞級関数は、構成できるのでしょうか？ 無理
f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2/2! + a_3 x^3/3! + ...
とするしかないが、a_n = n!とかだと、x = 0以外ではどんな小さいxでも収束しない >>679
>a_n = n!とかだと
f(x)=1+x+x^2+x^3+…=1/(1-x) (|x|<1) >>680
ありがとう
そのとおりだ
2乗してくれ 1～9の9個の数字を一列に並べる順列で
・9が8,7,6,5のいずれとも隣り合わない
・8が7,6のいずれとも隣り合わない
をともに満たすものは
48000通りになるらしいのですが
どう計算できますか。 一変数の多項式で２乗した時に項の数が減るものの例を
ご存じの方は教えていただけませんか ふと気になったんだが、
頂点・辺にラベル付けされた立体的なグラフ（３Dグラフィクスで立体的に表示）から、綺麗に2次元で描画するLatex(XyPic)(あるいはMathJax(XyJax))のコードに変換する
そんなソフトってある？結構便利な感じするんだが。
例えば、3次元の画面上に立方体を作図して、各頂点に座標を記入してから、変換したら、
それ2次元に綺麗に描画する\begin{xyjax}… …\end{xyjax}みたいなコードを出力してくれるとか
そういうのが使いたい 俺はコードへの変換がほしいって言ってんだよ
お前の意見は聞いてねぇんだよ、アホ 既存のソフトがあるかは知らんが、俺が作るなら
グラフ(問題)とlatexコード(答え)を生成するプログラムを作って、それを使って教師データを大量に生成して機械学習する 当たる確率がp
k回当たるまでの試行回数の期待値
これ、計算できます？
n回目でk回当たる確率
= n-1回までにk-1回当たり、n回目で当たる確率
= C(n-1, k-1) p^k (1 - p)^(n-k)
だからnの期待値は
Σ[n≥k] n C(n-1, k-1) p^k (1 - p)^(n-k) たとえばk = 1なら
Σ[n≥1] n p (1-p)^(n-1)
= p Σ[n≥1] n (1 - p)^(n-1)
= p df/dx |_[x=1-p] (f = 1/(1-x))
= p 1/p^2
= 1/p
k = 2なら
あ、わかったわ
n C(n-1, k-1) = k C(n, k)だから
Σ[n≥k] n C(n-1, k-1) p^k (1 - p)^(n-k)
= k p^k Σ[n≥k] C(n, k) (1 - p)^(n-k)
= k p^k / k! d^kf/dx|_[x=1-p] (f = 1/(1-x))
= k p^k / k! * k! 1/p^(k+1)
= k/p >>687
俺が作ったのは視点を変えた図を2つ出力して立体視できるようにしたぞ 工学部出てるせいで数学はまともにやってない素人です
実数の構成について質問があります
ペアノ算術から始めてQを構成する所まではいいとして
ペアノ算術だけではQ_1とQ_2の間に何か数がある事を保証できないと思います
例えばデデキント切断でRを構成しようとしてもQにない数はペアノ算術から作った世界にはないんだからそれは空集合だと考えるのが適切な気がします
逆に操作としてデデキント切断を認めて、デデキント切断により生成される数としてRの存在を認めようとするとQまでしかない世界で何らかの実数を構成する操作を構築出来ないと実数が作れない気がします
Qを受け取ってQに対する操作だけでRを作るチューリングマシンを作れれば良いのでしょうがこれは可能なのでしょうか >>696
例えば集合Aに対してべき集合P(A)は構成されてると感じるかな？
デデキントによる構成だと、RはP(Q)の部分集合だから、P(Q)が構成されてると認めればあとは納得できるんじゃないかと思う >>697
逆に集合は構成方法として強力過ぎるから封印して、計算機で扱えるような構成主義的な方向に進むとどうしても2つの実数が比較できない場合ができたり、連続関数は(局所)定数関数しかないみたいな奇妙な話になるから興味があるなら突き進んでもいいとは思うけどオススメはしない >>698
仰っていることはまさにそれで
Qまでしかない世界で
Q_1=q_1/p_1, Q_2=q_2/p_2とおいて
まだペアノ算術の世界なので整数しか取り扱えない計算機で
f(int q_1, int p_1, int q_2, int p_2)
みたいな関数fを考えてもfの内部では整数しか扱えないんだから実数出てこなくね？ って疑問です
そもそも何でこんなこと聞いてるかというと
自然数から出発してるのに、自然数と実数で濃度が違うという事実を納得したいからです >>699
集合は万能すぎるので少し弱めて関数は自由に使えるようにすると、
f : Q → bool
な関数でもってQの部分集合を構成するみたいなのができる
この場合はfが切断になってるかは計算機では判定できなくて困ることになる。神託のある計算機でfが切断だとわかったら、fは1つの実数として扱ってもよいのだが、他の実数と比較するにもまた神託が必要になる感じ
ほかにはQの数列を関数にしてみたり、10進展開を数列にしてみたり、色々方法はあるけど、神託が不要な範囲を調べていくと、比較ができないとか、連続関数がおかしいとかの変な数学ができあがる >>700
濃度については集合の言葉だから集合なしですすむと相性悪そう なるほど、今んとこ切断を実行して帰って来た未定義の数を受理するオラクルをくっつけるしかないという所までは考えていましたがやはりそれしか手がない感じですね
自然数だけの系
と
自然数+(かなり強力な)オラクルの系
なら構造が全然違うので濃度が異なりそうなのは分かります
しかし実数なんてあって当然に思えるのにこうも単純じゃないとは… >>702
切断も自然だし
切断の濃度がドカンと増えるのも
>>697から感覚掴めないかな User
有理数の切断から実数を構成する時に切断全部ではなく制限してからにするのはなぜですか。
ChatGPT
有理数から実数を構成するとき、切断（切り捨てられた数）を制限してから実数を構成するのは、数学的な理由や論理的な整合性を保つためです。これにはいくつかの理由があります。
整合性の維持: 切断を制限することで、数学的な整合性が保たれます。実数の概念を導入する際、すべての切断を考慮に入れると、いくつかの問題が発生する可能性があります。制限することで、無限小や無限大といった概念を含むより整合的な実数体系を構築できます。
収束の考慮: 制限された切断を用いることで、収束性や極限の考え方が適切に取り扱えます。例えば、無理数の場合、その切断列が収束することを考える際に、制限を設けることでより明確になります。
数学的な厳密性: 数学は厳密で論理的な構造を持つ学問であり、実数体系を構築する際には厳密な定義とルールが必要です。制限を加えることで、これらの定義やルールを確立しやすくなります。
有用性と便利さ: 制限された切断を用いることで、実数の概念が数学的に取り扱いやすくなります。これにより、実数に関する定理や公理が適切に成り立ち、数学的な論理が簡潔に表現できます。
例えば、実数は有理数の集合の中で「穴のない線」として定義されることがあります。この定義において、穴のない線とは、有理数の切断を考えたときに、その切断よりも大きな有理数が必ず存在することを意味します。これにより、実数の概念がより明確になり、数学的な論理が整合的に構築されるのです。
・・・・・意味不明 >>705
>数学的な厳密性: 数学は厳密で論理的な構造を持つ学問であり、実数体系を構築する際には厳密な定義とルールが必要です。制限を加えることで、これらの定義やルールを確立しやすくなります。
ここは正しい認識かも
でも一般的にすべてそうだから
具体的に有理数の切断に対する
答えとしては不満 ベクトル値関数を考えることに意味はありますか？
（全）微分についてはそれなりに意味があるようにも思えます。
積分についてはどうですか？ 0≤p≤∞
L^p関数全体のうち、ほとんどいたるところ0な関数全体はイデアル？ >>709
それはさすがにイデアルの定義は確認した？としか言えん >>703
風邪で倒れててレス遅れた
とりあえずQの上に演算は定義されてるので
Q_1とQ_2の間に2^n個の何かを突っ込む(nも2も自然数なのでQの上で計算可能)と常に2^n>nなのでn個じゃ割り振る記号が足りんから、こういう操作の繰り返しで濃度が増える
までは考えた
でもQも無限個あるから2^n=N>nを持って来て2^nをN個の自然数でマッピングするとQの濃度が増えない気がしてそこはまだ分かってない >>710
足し算と掛け算どちらが成り立ちませんか？ そもそもL^p関数同士の積がL^pとは限らないから、環や半群ですらないものの部分集合をイデアルと呼んでもいいのか、ってのは野暮な話か >>711
lim n=∪n=N
lim 2^n=∪2^n=N≠2^N 集合論の中でペアノ算術のモデルを作って有理数全体の集合を定める、という話ではないの？ >>714
あ、ホントだ
2^Nを考えると今度はマッピングにN‘>Nが必要になるから結局これが無限に続いちゃうから真にデカいのか
なるほど 杉浦光夫『解析入門1』p.239定理5.8有限増分の定理IIの証明で、
|∫_0^1 f'(t*b + (1- t)*a) * (b - a) dt| ≦ M * |b - a|
はなぜ成り立つのでしょうか？ M = sup_{x ∈ L} |f'(x)|
と定義していますが、この M に対して上の不等式は示せないように思います。
M よりも大きな定数に対して示すことは容易にできると思います。 >>713
ホンマやな
コンパクト集合上とかにしたらええんか >>717
|∫[a,b] f'(s) ds| ≦ ∫[a,b] |f'(s)| |ds| ≦ ∫[a,b] M |ds| = M |b-a| |∫[a,b] f'(s) ds| ≦ ∫[a,b] |f'(s)| |ds|
が成り立つのはなぜですか？ i,j,k がそれぞれ1から6の整数値をとるとき、
i×min(i, j)×min(j, k) の総和 (6405になるらしい）はどのように計算できますか。
「1から6」を「1からn」に一般化もできるでしょうか。 https://i.imgur.com/cwVlaO8.jpg
被積分関数がベクトル値関数の場合の三角不等式の証明が解析入門1には書いてないと思います。 >>725
ds は微分形式と思っている人がそれが表すメジャーを示すとき使う記号
したがって方向がなくなり ∫_a^b |ds|=∫_b^a |ds| となる
幾何系の人が正確を期して用いる >>726
あんまり学部レベルっぽく無いけど
Σ_iΣ_jΣ_k imin(i,j)min(j,k)
=Σ_i iΣ_j min(i,j)Σ_k min(j,k)
=Σ_i iΣ_j min(i,j){(1+…+j)+j(6-j)}
=Σ_i iΣ_j min(i,j){j(j+1)/2+j(6-j)}
=Σ_i iΣ_j min(i,j)j(13-j)/2
=Σ_i i{(1^2(13-1)/2+…+i^2(13-i)/2)+i((i+1)(13-(i+1))/2+…+6(13-6)/2)}
って感じでΣn^mの公式使っていけば出るは出るよ >>725
リーマン和
Σ f(ξ_i)(x_{i+1} - x_i)
を
Σ f(ξ_i)|x_{i+1} - x_i|
として積分を計算したことを表す https://i.imgur.com/8MmVBpX.jpg
被積分関数がベクトル値関数の場合の三角不等式の証明を書きました。 最大値最小値の定理って実数の連続性と同値なんですか？
Wikipediaによるとそうらしいですが
最大値・最小値の定理⇔デデキント完備
とか
最大値・最小値⇔中間値の定理
って直接的な証明(他の同値命題を経由しない)あるんですか？ >>718
>M よりも大きな定数に対して示すことは容易にできると思います
どうして大きければ容易なの？ >>718
Mより大きな定数で出来るならそれやって定数をMに近づければいいだけだろ。
極限知らないの？ 体上多項式環（何変数でもいい）の素イデアルで、高さhだがh個の元で生成できないもの
昨日から考えてるけど、出てこない
たとえば代数閉体上n変数多項式環の極大イデアルで考えると、高さnで(x_1 - a_1, ..., x_n - a_n)の形のものしかないから、作れない
だから例があるとすれば、非代数閉体上か、極大でない素イデアル
体上多項式環はUFDだから、高さ1の素イデアルは単項
だから例があるとすれば、高さ2以上のもの
3変数多項式環で、V(I)が既約1次元だけど、2つの方程式では書けないものとか考えてるけど
たとえばk[x, y, z]/(y^2 - xz)の中なら、(x, y)は高さ1だが単項でないものの例だけど
k[x, y, z]では、(y^2 - xz, x, y)は高さ2で(x, y)だけで生成できるから違うし
4変数までいかないと無い？ 実係数の多項式 p の虚根を α とするとその共役複素数も p の根であることは容易に分かります。
α とその共役複素数の重複度が一致することを簡単に証明できますか？
考えた証明は以下です。
α の共役複素数を β とする。
α の重複度を m, β の重複度を n とする。
m ≠ n と仮定して矛盾を導く。
m > n と仮定しても一般性を失わない。
p(x) = (x - α)^m * (x - β)^n * q(x), q(α) ≠ 0, q(β) ≠ 0
p(x) = [(x - α) * (x - β)]^n * [(x - α)^(m - n) * q(x)]
[(x - α) * (x - β)]^n は実係数の多項式である。
(x - α)^(m - n) * q(x) が実係数の多項式でないことがあり得るか？
実係数の多項式 p1 と実係数でない多項式 p2 の積が実係数の多項式 p になると仮定して矛盾を導く。
p2 の、係数が実数でない項のうち次数が最小であるものを c * x^k とする。
p の次数が k である項の係数は明らかに実数ではない。
これは矛盾である。
よって、 (x - α)^(m - n) * q(x) は α を根にもつ実係数の多項式である。
よって、この多項式は β も根にもつ。
これは p の根 β の重複度が n であることと矛盾する。
よって、 m = n でなければならない。
もっと簡単な証明はありますか？ 重複度が等しいことは対称性から直感的に分かります。
上の証明も対称性を利用してはいますが、もっとうまく綺麗な証明はないでしょうか？ >>733
中間値から完備は、Aを上に有界で空でないのにsup Aを持たないと仮定すると、
f(x) =
1 (x ∈ Aの上界)
-1 (それ以外)
が連続関数になっちゃうから中間値に反する
でできる
最大値から直接は思いつかんな >>740
とおもったけど、傾ければ最大値でええやんか
f(x) =
-x (x ∈ Aの上界)
x (それ以外) 多分数学の質問だと思うからこっちに書く
円周率100万桁求めるプログラム書いたとして、そのプログラムの正しさの検証ってどうやってやるの？ 以下は、永田雅宜「大学院への代数学演習」の問題8.3の解答です。
(☆)が明らかに間違っていますが、どう直せばいいでしょうか。
問題
Kが可換体で、f(x)∈K[x]が既約なら、Kの任意の有限次ガロア拡大におけるf(x)の既約因子はすべて同じ次数であることを示せ。（神戸大）
解答
Kのガロア拡大L上で、f(x)の既約因子g_i(x) (i = 1, ..., m)について、最高次の係数は1としてよい。ガロア群G(L/K)により、Lの自己同型が得られ、それらにより各g_i(x)はあるg_j(x)に写される。
f(x)の根はガロア群の元で写されるから ---- (☆)
、g_i(x)全体が互いにK上共役で、次数は互いに等しい。 永田先生は「数学の本の間違いは考えればわかるから訂正しなくていい」と言い放った >>745
>「数学の本の間違いは考えればわかるから訂正しなくていい」
ダヨネー MをLをふくむfの分解体とする。十分大きな拡大体をとることで、Mはガロア拡大としてよい。
ガロア理論の基本定理から、Lに対応するGal(M/K)の正規部分群Hがあって、Gal(L/K) ～ Gal(M/K)/H
f(x)の根はGal(M/K)の元で写されるから、g_i(x)の根とg_j(x)の根を写すGal(M/K)の元が存在。
それをLに制限したらg_i(x)とg_j(x)を共役にできる。 てか
体K係数の既約多項式f(x)とf(x)の根α、βでσ∈G_Kでσ(α) = βとなるσが採りえない例とかあるん？ Kを代数体
K^×_AをKのイデール群
K^×_A∞+をイデール群の単位元の連結成分
K_abをKの最大アーベル拡大
相互律写像
( , K): K^×_A → Gal(K_ab/K)
は全射で核はK^× K^×_A の閉包
というのが類体論の主定理だけど、それって結局イデール類群の無限素点の成分が消えるだけってことじゃないの？
Kの実埋込みの個数をr_1個、複素埋込みのペアの個数をr_2個とすると
K^×_A∞+ = (R_>0)^r_1 × (C^×)^r_2
で、K^×には負の数があるんだから、K^×かけて閉包取ったら、(R^×)^r_1 × (C^×)^r_2 全体じゃないの？ >>749
なぜそれが反例になるん？
反例つくるなら
K = ...
f(x) = ...
を与えないとだめやろ >>750
K^×は対角に作用するから、実埋め込みが2個以上の場合違う >>751
絶対Galois群
G_K = projlim[LはKのGalois拡大]Gal(L/K) = Gal(Kの代数閉包/K) >>750
たとえばQ(√-1)/Qだとどうなるの 局所コンパクトの定義って次の2種を見かけるんだが、同値だったっけ？
１．∀x∈X∃Aコンパクト[x∈op(A)]
２．∀x∈X,x∈∃U開集合[cl(U)コンパクト]
(op,clはそれぞれ開核作用素、閉包作用素) >>758
1⇒2ってハウスドルフとかいらんのかな >>758
2⇒1はいえる
1⇒2はハウスドルフとかいる（コンパクト集合が閉集合ならいい）
と思うしらんけど 1⇒2の反例作れたから、やっぱり第一感のほうがあってたわ
ハウスドルフかなんかが必要 >>768
実数体Rに1点付け加えた空間R∪{∞}で
開集合は空とRの開集合に∞をつけたものにすると
∞を含む閉集合が全体だけになるので、2が成り立たなくなる
これで反例になってると思う >>７６９
Y:=R∪{∞}には∞を含むコンパクトが無い >>770
{∞}自体がコンパクトで開集合で非閉集合になってるはず >>７７１
確かに、x∈∀U開集合、cl(U)=R∪{∞}になって、これはコンパクトじゃない、
従って、（２）が成り立たない、ってなりますね。
勉強になります。 Mathpedia https://old.math.jp/wiki/ って数年前に比べて結構充実してきてるんだが、
ここって誰が書いてんの？
分担で執筆してんのかな？
ぐどいぐらいに行間を埋めて書いてくれてんのはありがたいが、証明は文章がすし詰め状態みたいに詰められてるから、目で追うのがだるい >>774
嫌儲と同じ
誰かが稼いでる・人気があるのが気に入らない >>774
自分より数学ができない奴が数学を語るのは許せない
自分より数学ができない奴が自分より稼いでるのは許せない
という嫉妬・歪んだ正義感 >>774
ヨビノリたくみとか嫌ってるのは大多数が院生やポスドク
数学で自分より稼いでるのが気に入らないという嫌儲思想 >>774
Mathpediaのチューターも外野から金取るなとか言われてるが
これ言ってるの大半は院生やポスドクや教員や学者崩れ >>774
ガロア理論のページ30分で読んだ
非常に見通しよくまとまっているね >>774
よさげだねぇ、読んでないけど
数学はこういうふうにネットで全部無料公開すればいい
技術的には容易なのに案外やる人がいなかった そりゃ金になるのに
無料公開する人は
少なかろうばい >>677 気になって調べたが, これは可能.
f : R → R が R 上 C^∞ で任意の n ∈ N に対して f^(n)(0) = a_n となればいいわけ.
f は原点の周りで実解析的とまでは要求していない. しかしながら, この条件を満たしていて,
なおかつ f は R-{0} 上実解析とすることもできる.
文献: H.Whitney / Analytic Extensions of Differentiable Functions Defined in Closed sets. wikipediaと違って荒らしが記事ぶっ壊しにこないから書く方も楽でいいのかもね >>786
年間万冊出れば3桁万円よ
3桁冊後半でも2桁万円には あと著書は業績になるけんど
サイトに書いてもならんしな >>787
その文献の Theorem I に一般的な形で書いてある。
証明には Whitney Cube を使う。 確認だが、A⊆X⊆Yで、
AがXで連結⇒AはYで連結？ >>792
何冊買わせることが出来ると思ってんだよ。
数学科の学生向けだと一学年何十人しかいないだろ
自分のゼミなら数名だぞ。 定本解析概論p.132
t = tan(x/2)
という変換をしろと書いてあります。
その数行先に、同じ変換をわざわざ
t = sin(x) / (1 + cos(x))
と書き換えています。
何か意図はありますか？ >>794
パー券みたくに1人100冊をノルマにしたら？ >>796
明らかに tan(x/2) の形のほうが関数の挙動が分かりやすいのに、わざわざ分かりにくい
in(x) / (1 + cos(x)) を登場させます。
なぜですか？ 局所コンパクト空間にどういう条件があればパラコンパクトになりますか？ >>797
そんな雑念を抱かず赤旗配達しに行けよバカ Xは局所コンパクト、ハウスドルフとする
｛U;開集合⊆X｜Uはコンパクト｝がXの基底ならば、Xは全不連結
この証明が分からん 最近局所コンパクト流行ってるのか？
宿題ならどこまで自分で考えたか書いたほうがいいぞ あまり参考文献まんまのことをタダサイトに書くのはちょっと… 距離付け定理みたいにinfを使ってうまく関数を定義するコツみたいのありますか？ 定本解析概論p.132
t = tan(x/2)
と変数変換しています。
その数行先に、同じ変換をわざわざ
t = sin(x) / (1 + cos(x))
と書き換えています。
書き換え後の式のほうが関数の挙動がつかみにくいです。
なぜ、このような書き換えを行ったのでしょうか？ 連続関数f:X->YのグラフはXxYの閉集合である。 >>808
訂正
局所連結で高々加算個のコンパクト集合の和集合として表わせる あれσコンパクトな多様体はパラコンパクトだった記憶があるんだけど一般の空間だとなんか違うんかな 定本解析概論p.132
t = tan(x/2)
と変数変換しています。
その数行先に、同じ変換をわざわざ
t = sin(x) / (1 + cos(x))
と書き換えています。
書き換え後の式のほうが関数の挙動がつかみにくいです。
なぜ、このような書き換えを行ったのでしょうか？ 定本解析概論
↓が成り立つと証明なしに書かれています。
どのように証明するのでしょうか？
F を2変数の有理関数とする。
π が F(cos t, sin t) の周期ならば、 F(u, v) = F(-u, -v) が成り立つ。 F(0,0)≠0としてよく、(0,0)の近傍で実解析的としてよい
仮定より奇数次の係数は0 F(u,v)=G(u^2,uv,v^2)+(u^2+v^2-1)H(u,v). >>810
位相空間が局所コンパクトかつσコンパクトならパラコンパクト（松島Ⅱ章§15補題2）
σコンパクト多様体ならパラコンパクト多様体（ラノベ4章§14注意p201） F(x,y)＝y^2＋(x^2＋y^2－1)x と置くと、F(cos t, sin t)＝sin^2 t であるから、
周期はちょうどπであるが、しかし F(x,y)＝F(－x,－y) は成り立たない。 あの太宰治の小説にも登場する『解析概論』にこんな重大な誤りがまだ残されていたとは！みたいな。 歴代の名だたる日本人数学者たちが見落としてきた誤りを発見したということですよね？ 学会で発表してみたら？
多分だけど思い違いしてるかもね Kを非アルキメデス付値体、vをKの付値、LをKの有限次代数拡大
vのLへの延長が複数ある場合ってどんな場合ですか？ >>823
K = Q
L = Q(√-1)
で、vをZのイデアル(5)に関する付値とすれば、
Z[√-1]のイデアル(2 + √-1)に関する付値と、(2 - √-1)に関する付値がvの延長 G: 位相群
H⊂G: 部分群
G/Hがハウスドルフ⇔HがGの閉集合
これどうやって示すのですか >>826
{eH}が閉集合になることを経由すればできるんじゃないの？知らんけど iとi+1を動く線分上を動く点をα
中心-i半径1の円上を動く点をβして
積z=αβ全体の作る図形の図示して面積を求めよ
線分上を動く点αをいい感じに三角関数で表すことが出来ればうまく計算出来そうですがサッパリです
方針とかあれば教えていただけると幸いです >>826
G×G→G
(x, y) →xy^(-1) >>829
複素平面上の図形に定数をかけると原点中心の回転プラス相似変換になることを利用する。
αを固定するとβの軌跡は-αiを中心とする半径|α|の円周になるが、これらは全て0,2の二点を通るので図は両端の円が囲む部分の差分みたいな形になる。 3次元多様体Mで2次のホモロジーH_2(M)の元はMの中の埋め込まれた向き付け可能な閉曲面で代表できる
という定理の証明がのっている文献を知っている人いたら教えて欲しいです
HatcherのNotes on Basic 3-Manifold Topology(p.59)で出てきたのですが証明がよく分からなくて >>825
これが局所体だと一意になるの面白いな
延長が一意にならない具合は、ガロア群とかアデールとか使って記述できるの？ >>834
L/Kを代数拡大, vをKの非Archimedes付値
wをvのひとつの延長とすれば、vの延長になっているLの付値は
w_σ(a) = w(σa) (σ∈Aut(L/K))
の形で得られる 以下の問題に対する解答を2つ作りました。
どっちがいい解答ですか？
直感的には1のほうがいいように思いますが。
W を R^n の n - 1 次元以下の部分空間とする。
W は R^n の超平面に含まれることを示せ。
1. グラム・シュミットの直交化により、 W の任意の元と直交するベクトル a が存在する。
W の任意の元は (a, x) = 0 をみたす。よって、超平面上の点である。
2. W の基底を a_1, …, a_m とする。
第 i 行が a_i であるような行列を A とする。
線形写像 x → A * x を考える。
rank A = m ≦ n - 1 だから、 dim ker A = n - rank A ≧ 1 である。
ker A のゼロでないベクトルを a とする。
(a, a_i) = 0 であるから、 a は W の任意の元と直交する。
すなわち、 W の任意の元は (a, x) = 0 をみたす。
よって、超平面上の点である。 >>836
FをE直交補空間とする。a∈F、a=/0とすればE⊂{a}の直交補空間。 何処まで示せば良いかは出題者の感覚で決まるからね
何ともかとも 状況によるけど、元の設定で内積を全力で表に出すのはアレかな どのみち超平面の定義で内積はいる。どのくらい次元が落ちるか明示的に分かる。
整理しただけともいえるが。 >>840
>どのみち超平面の定義で内積はいる
なんで？
超平面はn-1次元部分アフィン空間 定義を述べよ
>W を R^n の n - 1 次元以下の部分空間 >>842
ん？
N-1次元部分アフィン空間が超平面の定義ね あるH：{x∈R^n|a・x=b}にE⊂Hを示せばいいんだろ Wの基底a1,…,amを延長してa1,…,am,…a(n-1)とできます
でいいんじゃないの？ R上の線型空間 E の超平面とは何であるかを定義するのに、
E に内積が入っている必要はないね。
実際、H が E の超平面であるとは、0 でない線型形式 f : E → R
と b ∈ R が存在して、H = {x ∈ E | f(x) = b} となることだから。 >>850
綺麗だけど
「平面」の幾何的定義に合致するのは
n-1次元アフィン空間とするものと
俺は思うけんドナ 解空間で定義するのは
陰関数みたくて
なんか不様な感 代数幾何の人はそればっかだから
それのが当たり前で
逆に基底とかを不様に思うのだろかいな まあcoordinate-freeがモゥとも良いのは
確かにその通りとは思うけんど 線型代数の問題に代数幾何を持ちだすのは如何なものか、何か得するの？ >>851
>850 の定義はEがn次元ならば、>851の定義と
同値ですよね。どのみち、内積は必要ないです。
あと、僕は代数幾何の人間ではありません。工場勤務のおっさんです。 工場勤務のおっさんか、この問題どこから拾ってきたの >>836
直感的に分かってなさそうなので突っ込んでみただけ 内積無くしてグラムシュミットの直交化ってどうすんだｗ W が R^n の k次元の部分線型空間で, k<n とする時, W の R 上基底 {x_1, ・・・, x_k}
が存在する. ここで, R^n の R 上基底 {y_1, ・・・, y_n} で, 1 ≦ i ≦ k に対して y_i = x_i となるものが存在する.
そこで, R^n から R への線型写像 f を, f(y_i) = 0 for i<n, f(y_n) = 1 で定義すれば, f は 0 ではなく,
H = Ker(f) は R^n の超平面で, W は H に含まれる.
なお, H の R 上基底として, {y_1, ・・・, y_{n-1}} が取れることもわかる.
あ、ちなみに体 K 上の線型空間 E の K 上の次元とは, EのK 上の基底 B の基数のことね.
(E の K 上の基底B の濃度は, B の取り方によらず, 一意に定まる. ここで, 選択公理は仮定する.) >>863 の証明では、内積の概念は一切使っていない。 >>866
いえ、>>863 の証明では、係数環は少なくとも体であったほうがいいでしょう。
一般の、単位元を持つ環上の加群の場合、>>863 の証明がそのまま通用するかどうかは、
自信がありません。何しろ、工場勤務のおっさんの学識には、相当な限界がありますから。 >>867
一般に、形式的体系 ZF の下で、『任意の体 K 上の線型空間 E に対し、E の K 上基底 B が存在する』という命題は、
選択公理と同値です。
僕には弱い選択公理というのがどういう公理かわからないですが、
その弱い選択公理が通常の選択公理よりも真に弱いならば、一般論としては、
任意の体 K 上の線型空間 E に、K 上基底が存在することすら保証されません。
従って、体 K 上の線型空間の K 上の次元の定義すらできないと考えます。 R^nの(n-1)次元部分空間を超平面という（佐武、付録§4） H={x∈R^n|a・x=c}の形の集合、但しa≠0、をR~nの超平面という。（杉浦Ⅰ、Ⅰ章§4） 無限次元を区別しないで、有限じゃないのは全部∞と定義すれば選択公理はいらない ID:6p8uALMM
この人つまらないことに拘る人だから気にしないでいいよ >>873
そりゃ>>870じゃ原点通らない超平面ないやん
やっぱアフィンじゃないと 工場勤務の人、
>>811
>>812
についてはどう思いますか？
>>812
は
>>817
によって誤りであると思いますが。 >>812
本を見たが、そこが眼目ではなくて、「従ってF(cosx, sinx）はcos2xとsin2xとの有理函数として表わされるからである」が眼目である。
その意味で>>817は反例ではない。 正則なリンデルーフ空間はパラコンパクトである。
証明はどうしたらいいのですか？ >>878
つまり元々u^2+v^2=1の単位円上の話ね 今日において、岩澤「代数関数論」みたいにリーマン面を代数関数体として扱うメリットって何 工場勤務の人はおそらくアマゾンにレビューを書いていた数学博士の人だと思います。
マイケル・スピヴァックの『多変数の解析学』のレビューも書いていました。
https://i.imgur.com/Ow4JcuN.jpg
↑は、マイケル・スピヴァックの『多変数の解析学』の問題3-35ですが、この本のここまでの知識で容易には解けないと思います。
これは出題ミスでしょうか？
(a)について：
g が1番目と3番目のタイプのときに、 v(g(U)) = |det g| * v(U) が成り立つことは簡単に分かると思います。
g が2番目のタイプのときを考えます。
U = [a_1, b_1] ✕ … ✕ [a_n, b_n] とします。
g(U) = {(x_1, …, x_n) ∈ R^n : x_i ∈ [a_i, b_i] (i ≠ k), x_j + a_k ≦ x_k ≦ x_j + b_k} です。
これはいわゆる「縦線領域」なので、Jordan可測です。（『多変数の解析学』には縦線領域がJordan可測であることの証明はありません。）
A を g(U) を含む任意の閉直方体とします。
g(U) はJordan可測なので、 ∫_A χ_{g(U)} は存在します。
∫_A χ_{g(U)} は存在しますので、Fubiniの定理を適用することができます。
Fubiniの定理により、 v(g(U)) = ∫_A χ_{g(U)} = v(U) = |det g| * v(U) が成り立つことが分かります。
このように(a)については、縦線領域がJordan可測であることさえ証明できれば解けます。 問題は(b)です。
g が(a)の3つのタイプの線形変換の合成でかけることは容易に分かります。
著者の頭の中のストーリーは以下のようなものだったのではないかと思います。
g = g_1 ・ g_2 ・ … ・ g_m としたとき、
U は閉直方体だから、(a)より、
v(g_m(U)) = |det g_m| * v(U) が成り立つ。
g_m(U) は閉直方体だから、(a)より、
v(g_{m-1}(g_m(U))) = |det g_{m-1}| * v(g_m(U)) = |det g_{m-1}| * |det g_m| * v(U) = |det (g_{m-1} ・ g_m)| * v(U) が成り立つ。
以下同様。
ですが、もしも、 g_m が(a)の2番目のタイプであった場合には、 g_m(U) は閉直方体ではないため、上のストーリー通りには行きません。
この問題をこの本のここまでの知識で容易に解決することはできるでしょうか？
松坂和夫著『解析入門下』に U がJordan可測であるとき、 g(U) もJordan可測で、
v(g(U)) = |det g| * v(U)
が成り立つことの証明がありますので、それを見ればいいのですが、出題ミスでないかと疑っています。
問題3-35は変数変換の公式の証明で使われるため、この本の問題の中でも重要な問題だと思います。 >>878
つまり高木貞治は間違った書いたというのは事実だということですね。 >>885
数学の本は考えればわかる間違いは間違いのうちに入らない
あなたのレスも「間違った書いた」を「間違ったことを書いた」と補って読めばよいだけ そもそもこいつの頭の程度で間違ってるというのはほんとに間違っていた場合でもどうでもいいしょうもないことあげつらってる場合ばっかり
「俺様かしこい、著者よりかしこい」と思いたいだけのために著者をあざ笑うためだけの難癖でそのような行為が他人を不愉快にすることが永遠に理解できない知能
人間として終わってる >>880
位相空間とは位相が定義されている空間です
T1分離公理：位相空間の任意の点と異なる点に対して片方のみを含む開集合が存在する
T3分離公理：位相空間の任意の閉集合とそれに属さない点に対し、それらを分離する開集合が存在する
位相空間が正則であるとは、T1とT3分離公理を満たすことをいう
位相空間の任意の開被覆が可算部分被覆を持つときリンデルーフの性質をもつという
位相空間の任意の開被覆が局所有限かつそれを細分する被覆が存在するときパラコンパクトという 数学の専門書ですからね。
誤植レベルの間違いなんて、間違いのうちに入らないですね。
そもそも本文を読めばそれだけで全てがすんなり理解できるとか、
演習問題を本文の知識だけですんなり解けるとか、
そういう考え方は改めた方がいいと思います。
受験参考書じゃないんだから。 で、出たーッ悪書の正当化！
誤植なんて絶対に本が悪いのに謎ロジックで読者が悪いことにする！ 悪書はもちろんある
局所的な問題ではなく全体の論述や構成に問題がある本 >>891
誤植が有るより無い方が良いとは思うがそれだけだろ。
悪とか正当化とか能無しゼロイチ思考は学問とか向かないから、大学なんか行かないで頭悪くても出来る仕事探したほうがいいぞ 岩波の基礎数学第１刷は
1ページに１つ以上のミスプリがあった感じ 「証明がちょっとでも間違ってたら全滅」
みたいな価値観は受験数学の弊害かもな。
(大学以降の)数学書にちょっとした証明のミスがあっても、
それは一般の本に誤字脱字があるのと同じレベルのことでしかない。
高校数学で止まっているド素人はこの感覚が分からないので、
「ナニ！？証明が間違っているだと？大事件じゃないか！」
と鬼の首を取ったように騒ぎ立てるわけだ。 目的が違うんだよ。数学を勉強して理解するじゃなくて、本の粗探して著者より俺は偉いと自己満足するんだよ 本の誤植を見つけたって出版社に報告するわけでもなし 馬鹿アスペ一号とは本スレで、微積分、線型代数の本の粗探していた通称松坂君
馬鹿アスペ二号はそれの物真似
馬鹿アスペ三号は解析概論君 俺、論理式で書けば紛れなく&簡潔に書けることを>>889みたいに日本語(英語)で書くやつはマジで嫌い >>915
お前の書いた論理式なんか読みたくねーよ >>915
あれ？T1の定義ってこれで合ってるんだっけ？ >>918
上にT1て書いてあるのT0の定義じゃね？ >>920
「対して」の対象が2つ（2点）か1つ（点の組）かはっきりしないからだな P:=コンパクトかつハウスドルフかつ全不連結かつ第2可算かつ孤立点無し
とする。
１ カントール集合は性質Pを持つ
２ 位相空間Xが性質Pを持つならば、カントール集合に同相である。
この証明が載ってる文献・サイトを教えてくれ L.E.J. Brouwer, On the structure of perfect sets of points, Proc. Akad. Amsterdam 12 (1910), 785–794. https://i.imgur.com/tSS2fkA.jpg
1の分割の定義（定理）ですが、これ分かりにくすぎるんですが、
どうすればいいですか？ >>934
(2)を分かりやすく書き換えると以下になります。
(2) 各 x ∈ A に対して、開集合 V で以下の性質をみたすものがある:
V 上の少なくとも1点で正の値をとる Φ の元は有限個しかない。 >>935 訂正します：
>>934
(2)を分かりやすく書き換えると以下になります。
(2) 各 x ∈ A に対して、 x を含む開集合 V で以下の性質をみたすものがある:
V 上の少なくとも1点で正の値をとる Φ の元は有限個しかない。 >>938 工場勤務のおっさんです。
僕がこのコメントの前に書いたコメントは、最後のやつでは >>890 のものです。
荒らしている人は違う人ですね。 よく昆虫の新種が発見されたというニュースがあるじゃないですか。
>>812
の高木貞治の誤ちの発見は、そういうのに匹敵しますよね。 >>939
オーディオケーブルの違いによって、スピーカーから出てくる音に測定器で分かるような違いは発生しないと思うのですが。 >>943
違うよ、なぜか同じだと思いたがる奴はいる、簡単だからだろ >>939
>荒らしている人は
ID:XUbGE3vU >>927
>カントール集合は性質Pを持つ
コンパクト？ L. E. J. Brouwer Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten Mathematische Annalen 71, pp. 97–115 しっかし
せっかく人名を排除すべく
T0～T5とか呼ぶようにしても
ハウスドルフは消えんね モチーフの圏にゼータの詳しい情報が
詰まっているらしい >>936
何で各点ではダメで各点の開近傍をとる必要があるのかまで述べないと分かりやすくならない コンパクト、ハウスドルフ、全不連結、第２可算、孤立点無し な空間がカントール集合に同相となる
っていう証明を学んでるんだが、
この空間が非可算集合になるってどうやって分かる？ [0,1]との単射の存在を示す。よってℵ1である。 >>961
カントール集合がコンパクトってなんで？ 927 ：１３２人目の素数さん[]：2023/12/23(土) 10:32:35.50 ID:XWumClN3
P:=コンパクトかつハウスドルフかつ全不連結かつ第2可算かつ孤立点無し
とする。
１ カントール集合は性質Pを持つ
２ 位相空間Xが性質Pを持つならば、カントール集合に同相である。
この証明が載ってる文献・サイトを教えてくれ >>976
反例: 一点空間 {a} の自明な位相. 位相空間Xに孤立点がない って言ったら、
∀x∈X ￢[{x}はxの近傍]
って理解でいいのか？ コンパクトかつハウスドルフかつ全不連結かつ第2可算かつ孤立点無し
コンパクトとは任意の開被覆に対して有限部分被覆が取れること
ハウスドルフとは任意の異なる二点が開集合で分離できること
第２可算とは可算開基があること
空間からその導集合を引いた集合の点が孤立点
連結とは同時に開集合かつ閉集合である部分集合が自明なものしかないこと [AB]と書かれたカードを①、[B]と書かれたカードを②として左から並べていく
連続で同じカードを並べる確率は2/3で異なるカードを並べる確率は1/3であり、一番左のカードは①である
カードをn枚並べて文字列を作る時、文字列の左からn番目の文字がAである確率をa_nとする
(1)n>1に対してa_{n+1}をa_nとa_{n-1}の式で表せ
(2)lim_{n→∞}a_nを求めよ 完全不連結とは各点の連結成分がすべて一点のみからなること しかしカントール集合なんて病的なものに興味を持つのだろう たとえば関数は全部解析的であれば用が足りる人にとって、コンパクト台をもつ非定数C^∞関数は病的で反例のためだけの存在だが、ふつうの数学学習者にとってはそうではない 質問者がそんなことを気にしてるのか、違うだろ、論点ずらし このスレッドは１０００を超えました。
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