美しい整数の世界

**プリン** · 2023/06/14(水) 22:33:36.78

2を加えて立方数となる
平方数が25の他に整数で存在するか
この問題は一見するに
たいへん難しそうであるが，
私は25がそうした唯一の
平方数であることを厳密に
証明することができる
分数でなら，
バシェの方法がそのような
平方数を無数に提供するが，
整数の理論はとても美しくて，
とても精妙であって，
現在に至るまで，
私以外のどんな著者によっても
知られていないのである

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/18(月) 22:32:32.42

x=(L-1)(L^3-2L^2-4L-4)/6
m=L^3
n=(L-1)L(L+1)(LL+2)/6

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/18(月) 22:33:37.99

驚き過ぎて腰を抜かす猫シナモン

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/18(月) 22:40:58.88

1/6 (L^4 - 3 L^3 - 2 L^2 + 4)

(1/6)(L^4-3L^3-2L^2+4)

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/18(月) 22:45:21.98

n=(L-1)L(L+1)(L^2+2)/6

(1/6)L(L^4+L^2-2)

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/18(月) 23:09:13.83

x=(1/6)(L^4-3L^3-2L^2+4)

table[(1/6)(L^4-3L^3-2L^2+4),{L,1,100}]

{0, -2, -7/3, 6, 34, 290/3, 213, 406,
2108/3, 1134, 1735, 7634/3, 3606, 4966,
20027/3, 8790, 11368, 43418/3, 18171,
22534, 82910/3, 33558, 40381,
144578/3, 57084, 67150, 235469/3,
91206, 105406, 363602/3, 138705,
158038, 537968/3, 202686, 228259,
768530/3, 286578, 319606, 1066223/3,
394134, 435940, 1442954/3, 529431,
581446, 1911602/3, 696870, 760633,
2486018/3, 901176, 978334, 3181025/3,
1147398, 1239706, 4012418/3,
1440909, 1550230, 4996964/3, …}

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/19(火) 15:44:42.61

x=(L-1)(L^3-2L^2-4L-4)/6
m=L^3
n=(L-1)L(L+1)(L^2+2)/6

x=(1/6)(L^4-3L^3-2L^2+4)
n=(1/6)L(L^4+L^2-2)

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/19(火) 17:13:42.85

び、美しぃ!⤵
https://youtube.com/shorts/koGFYqUcJy0?si=fCm5YWFJ4ydRbGIf

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/19(火) 17:17:08.11

さぃきん( ・∀・)ｲｲ!!お↑じ↓さん来なぃね
（気錯なﾀﾒﾛ）

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/19(火) 17:23:24.76

https://youtube.com/shorts/FDBUE9H6hZs?si=5oTmErgw_ktV4QH7
は"り"ね"ず"み"く"ん"可"愛"ぃ"な"ぁ"

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/19(火) 17:28:14.04

https://youtube.com/shorts/Kw9922-kEd0?si=uUtUrCsYAR1Jq5zQ
　　　 ∞
‥ｧﾌﾞﾅ( ·A·)ｨｨ!!て‥

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/19(火) 17:34:49.35

https://youtube.com/shorts/2fbhBF51Ke0?si=L69pCycgMPM6je2c

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/19(火) 17:36:16.53

https://youtube.com/shorts/65C134OR0ow?si=L99TVnXOWF1UV-DV
ｶﾐｶﾐ後に賢ｼﾞｬｧ!侍夢に入る時と入ﾗﾅｨ時が
ぁるんだょなぁ…

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/19(火) 17:39:05.96

むりやりひっくり返してﾊﾟﾆｯｸになってるﾄｺに🐤ゃ🐰ゃ🧸をｸﾞｨｯてｶﾐｶﾐさせてる
‥ってｺﾄ!?

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/19(火) 17:41:49.89

そんなｺﾄたまにしか、無ぃょねっ!?
朝ｼﾞｭ-‥のㇰ"ｧㇵ"ゎ奪ぃ合ってたし、🧸も毛布もﾁﾛﾘﾝｯﾁｬﾏじぶんでしっかり持ってょねっ!?

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/19(火) 19:17:58.46

素数13は，
右から読むと31でこちらも素数であり，
389と983も
どちらから読んでも素数である
このような素数は無限にあるだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/19(火) 19:45:16.58

11, 101, 131, 151, 181, 191, 313は，
左から読んでも右から読んでも　
同じ数で，かつ素数である
このような素数は無限にあるだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/19(火) 19:53:16.57

n^3={(1/6)L(L^4+L^2-2)}^3

n^3=(1/216)(L^3)(L^4+L^2-2)^3

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/19(火) 20:14:45.90

◆立方数を9で割ったあまり

あまり1
1、64、343、1000

あまり8
8、125、512、1331

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/26(火) 02:49:08.39

水平思考の特徴は、
論理や数理などコンピュータが
最も得意とする思考方法を全く捨てて、
未整理のまま、しかも生のまま、
対面する問題に体当たりする点にある

私たちの先祖が、
近代文明を迎える前の何万年かの間、
蓄積して来た生物学的情報処理の
本能に立ち返ることである

手段の多様性を認めることである
他者の評価に支配されることなく、
自分の頭の中から、
新しい価値を生み出すことである

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/26(火) 03:00:24.39

◆L,m,nは正の整数

m=L^3
n=(L-1)L(L+1)(L^2+2)/6

n^3の立方数は、
m個の立方数に分割できる

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/26(火) 10:33:04.01

(1), 1/2
(2), 1/3
(3), 1/4, 2/3, 3/2
(4), 1/5
(5), 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2
(6), 1/7, 3/5, 5/3
(7), 1/8, 2/7, 4/5, 5/4, 7/2
(8), 1/9, 3/7, 7/3
(9), 1/10, 2/9, 3/8, 4/7, 5/6, 6/5, 7/4, 8/3, 9/2
(10), 1/11, 5/7, 7/5
(11), 1/12, 2/11, 3/10, 4/9, 5/8, 6/7, 7/6,
8/5, 9/4, 10/3, 11/2
(12), 1/13, 3/11, 5/9, 9/5, 11/3
(13), 1/14, 2/13, 4/11, 7/8, 8/7, 11/4, 13/2
(14), 1/15, 3/13, 5/11, 7/9, 9/7, 11/5, 13/3
(15), 1/16, 2/15, 3/14, 4/13, 5/12, 6/11,
7/10, 8/9, 9/8, 10/7, 11/6, 12/5, 13/4,
14/3, 15/2
(16), 1/17, 5/13, 7/11, 11/7, 13/5

◆分子と分母の合計数と既約分数の個数

3の時,1
4の時,1
5の時,3
6の時,1
7の時,5
8の時,3
9の時,5
10の時,3
11の時,9
12の時,3
13の時,11
14の時,5
15の時,7
16の時,7
17の時,15
18の時,5

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/26(火) 10:40:53.16

(1)並べたルールを推測

正の整数1,2,3,4,5,6,7,8,9…の各直後に
分子と分母の合計数が(その数+2)と
なる既約分数を分母が大きい順に並べる

◆分子と分母の合計数が素数

3の時,1
5の時,3
7の時,5
11の時,9
13の時,11
17の時,15

分子と分母の合計数が素数の場合、
分母は1づつ減ってゆくので
既約分数の個数は、合計数-2となる

◆分子と分母の合計数が合成数

4の時,1
6の時,1
8の時,3
9の時,5
10の時,3
12の時,3
14の時,5
15の時,7
16の時,7
18の時,5

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/26(火) 11:06:31.97

クイズです！
大学生レベルの問題です

123
456
789

↑に棒線を2本加えて0にしてください

(1x5x9)+(2x6x7)+(3x4x8)
-(3x5x7)-(2x4x9)-(1x6x8)

45+84+96-105-72-48

45+180-105-120

∴225-225=0

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/27(水) 21:51:03.43

5×6の場合
宝：1個　同等
宝：2～8個　短軸有利
宝：9～21個　長軸有利
宝：22～30個　同等

□■■■■■
□□■■■■
□□□■■■
□□□□■■
□□□□□■

短軸有利☆

Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2 mod7)+3C(0,n-4)+C(1,n-7),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}]

長軸有利☆

Table[sum[C(2n-1+C(0,30mod n)-C(0,n-2)-2C(0,n-5)-C(1,n-8),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}]

同等☆

Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-9),k-2),{n,9,14}],{k,1,30}]+Table[C(29,k-1)+C(1,k),{k,1,30}]

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/27(水) 21:52:07.53

5 * 6 [2] : 203 , 197 , 35
5 * 6 [3] : 1801 , 1727 , 532
5 * 6 [4] : 11418 , 11008 , 4979
5 * 6 [5] : 55469 , 54036 , 33001
5 * 6 [6] : 215265 , 211894 , 166616
5 * 6 [7] : 685784 , 680768 , 669248
5 * 6 [8] : 1827737 , 1825076 , 2200112
5 * 6 [9] : 4130886 , 4139080 , 6037184
5 * 6 [10] : 7995426 , 8023257 , 14026332
5 * 6 [11] : 13346984 , 13395944 , 27884372
5 * 6 [12] : 19312228 , 19372871 , 47808126
5 * 6 [13] : 24301031 , 24358063 , 71100756
5 * 6 [14] : 26642430 , 26684251 , 92095994
5 * 6 [15] : 25463979 , 25488051 , 104165490

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/28(木) 23:13:08.32

🧸🦔kawaiiんだょなぁ｡｡｡
https://youtube.com/shorts/J_063XN9ZYM?si=NZtxG_aIbdgMk0KY

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/28(木) 23:14:51.82

微妙なあげくに虫食ってんだょなぁ｡｡｡
https://youtube.com/shorts/5Q-1KQaoTKQ?si=UXN9kA-i54XBnWRT

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/30(土) 05:05:33.59

{(x+m-1)(x+m)/2}^2 － {(x-1)x/2}^2
　= {x + (m-1)/2} {xx + (m-1)x + (m-1)m/2},

　x + (m-1)/2 = (1/6)(LL-1)^2,
　xx + (m-1)x + (m-1)m/2 = (1/36)(LL-1)(LL+2)^3,

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/31(日) 13:22:52.00

{(x+m-1)(x+m)/2}^2 － {(x-1)x/2}^2
　= m {x + (m-1)/2} {xx + (m-1)x + (m-1)m/2},
　　

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/14(日) 18:33:25.01

◆1ユニット1000万枚の宝くじ

1ユニットに1等1億円が1枚入っている

売れ残りのくじは
当選者unknownとして廃棄される

全てのくじが売れた場合
1等1億円の当選確率は1/10000000

一回で10枚購入するのと
1日1枚づつ10日かけて購入するのとで

1等の当選確率に差は生じるか？

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/16(火) 10:58:20.85

整数に対して美しさというような何らかの評価関数を与えるとすればどのようなものが適切だろうか。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 22:42:50.60

■superPCM関数とは？

奇数の数列2n-1から
合成数を取り除くアルゴリズム

Product
Combination
Mod

によって素数を1
合成数を0に振り分ける

これはアナログをデジタルに変換する
PCM(Pulse Coded Modulation)と
同じ発想

奇数の数列2n-1は乗積Πを掛けると
その都度出力されてしまうので、
C(0,3-a)を使って一度だけ出力する

Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]

◆aの範囲{a,3,30}

3は固定値、
終値の30は最大50まで設定できる
これはnの初期値
しかし、aの終値は40や50に設定しても
30の時と精度に差は生じない

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 23:19:25.82

■合成数はどうやって取り除く？

奇数の数列1,3,5,7,9,11,13,15,17,19…
に対して

数列1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0…は
a_n=n^2 mod3

数列1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0…は
a_n=n^4 mod5

これを繰り返してゆくと、

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1)
{C(0,n-2)+((n+1)^2mod3)}
{C(0,n-3)+((n-3)^4mod5)}
{C(0,n-4)+((n-4)^6mod7)}
{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)}
{C(0,n-7)+((n-7)^12mod13)}
{C(0,n-9)+((n-9)^16mod17)}},{n,1,180}]

{n,1,180}の範囲で精度100％が得られる

modの前後の数値を変数aとnで
置き換えると

Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]

変数aとnを使うと乗積の計算が入るので
概ね200より大きな素数の判定となる

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 23:38:18.83

▲

▼

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 23:41:33.04

■superPCM関数とは？

奇数の数列2n-1から
合成数を取り除くアルゴリズム

PCM(Product Combination Mod)

によって素数を1
合成数を0に振り分ける(量子化)

これはアナログをデジタルに変換する
PCM(Pulse Coded Modulation)と
同じ発想

奇数の数列2n-1は乗積Πを掛けると
その都度出力されてしまうので、
C(0,3-a)を使って一度だけ出力する

Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]

◆aの範囲{a,3,30}

3は固定値、
終値の30は最大50まで設定できる
これはnの初期値
しかし、aの終値は40や50に設定しても
30の時と精度に差は生じない

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 23:52:16.46

■合成数はどうやって取り除く？

奇数の数列1,3,5,7,9,11,13,15,17,19…
に対して

数列1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0…は
a_n=n^2 mod3

数列1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0…は
a_n=n^4 mod5

これを繰り返してゆくと、

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1)
{C(0,n-2)+((n+1)^2mod3)}
{C(0,n-3)+((n-3)^4mod5)}
{C(0,n-4)+((n-4)^6mod7)}
{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)}
{C(0,n-7)+((n-7)^12mod13)}
{C(0,n-9)+((n-9)^16mod17)}},{n,1,180}]

{n,1,180}の範囲で精度100％が得られる

+((n-5)^8mod9)と
+((n-8)^14mod15)が抜けているが
これらは1と0以外を出力するので、
0とのコンビネーションを二回かけて
1と0 だけにする
さらに、
modの前後の数値を変数aとnで
置き換えると

Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]

変数aとnを使うと乗積の計算が入るので
概ね100より大きな素数の判定となる

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/25(木) 23:31:29.68

原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 の
出力アルゴリズム

[z-y=1]

Table[2n{(n+1)^(C(1,a-2))}+C(0,3mod a),{n,1,50},{a,1,3}]

[z-y=2]

Table[4(n+1)^{(C(1,a-1))+1}+(C(1,a-1))(-1)^a,{n,1,30},{a,0,2}]

[z-y=8]

Table[4(2n+3)+{(2n+1)^(2C(1,a-1))}(C(1,a-1))-8(C(0,a-1)),{n,1,30},{a,0,2}]

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/28(日) 13:50:32.48

◆図形を平行四辺形とする
https://i.imgur.com/bL5y16d.png

直角三角形の短辺の長さxは、
9^2-8^2=81-64=17 なので、x=√17

直角三角形の面積s1は、 s1=4x

台形の短辺の長さyは、y=10-x
台形の長辺の長さは10

台形の面積s2は
s2=8(y+10)/2=8(20-x)/2=80-4x

したがって図形の面積s3は、

∴s3=s1+s2=4x+(80-4x)=80

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/28(日) 14:23:35.16

①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/30(火) 21:10:19.15

500位だったから上げた

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/30(火) 22:54:15.33

82位だった

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/30(火) 23:12:31.65

７９

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/30(火) 23:58:53.23

３８

>>543
辺長 9 を使わなくても面積は出そうですが…
菱型ぢゃないぜよ、と言いたかった？

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/01(水) 00:04:45.50

１

「なぜ1番なんですか？
2位じゃダメなんでしょうか？」

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/01(水) 00:59:22.40

1世帯あたりの支出額(円/年)

2021年
　1位　宮崎市　　4184円
　2位　浜松市　　3728円
　3位　宇都宮市　3129円

2022年
　1位　宮崎市　　4053円
　2位　宇都宮市　3763円
　3位　浜松市　　3434円

2023年
　1位　浜松市　　4041円
　2位　宮崎市　　3497円
　3位　宇都宮市　3200円

やっぱり1位じゃないとね。　2位ぢゃダメですね。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/01(水) 01:00:50.78

551蓬莱
https://www.551horai.co.jp/

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/01(水) 06:56:07.43

ぶたまん

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/04(土) 01:55:56.94

閏年によるズレ
5時間48分46秒=20926秒
1日=86400秒

20926/86400≒0.2421991

400年に97回の閏年で
97/400=0.2425で近似している

33年に8回の閏年で
8/33≒0.242424…

n年にm回の閏年で97/400よりも
よりよい近似を出したい

■お題
『nを1000以下として最近似する
m,nの値を求めよ』

◆1000年に242回の閏年で
242/1000=121/500=0.242000…

122/504=61/252≒0.2420634…

ここから一気に、
8倍のオーダーを採る

(61x8)/(252x8)=488/2016

489/2019=163/673≒0.24219910847

◆デフォルト値
20926/86400≒0.2421991

∴m=163， n=673

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/04(土) 01:58:00.30

n≦1000で最高精度が出る

n≦10000を設定したのはミス

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/04(土) 02:13:23.41

[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である

[証明]
k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする

x^3-(x+k)^2=2…‥①
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-k^2=2kx+2
x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)…‥②
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③

②より、kは偶数，kx+1は奇数

◆なぜkは偶数？

②より、
右辺は2があるので常に偶数

左辺のx^2(x-1)は、
xが奇数のとき偶数
xが偶数のとき偶数

したがって、x^2(x-1)は常に偶数

kが奇数の時、
左辺x^2(x-1)-k^2は偶数か奇数となり
右辺が常に偶数である事と矛盾

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/04(土) 02:17:48.07

kが奇数の時、
左辺x^2(x-1)-k^2は奇数となり
右辺が偶数である事と矛盾