2を加えて立方数となる
平方数が25の他に整数で存在するか
この問題は一見するに
たいへん難しそうであるが，
私は25がそうした唯一の
平方数であることを厳密に
証明することができる
分数でなら，
バシェの方法がそのような
平方数を無数に提供するが，
整数の理論はとても美しくて，
とても精妙であって，
現在に至るまで，
私以外のどんな著者によっても
知られていないのである
■superPCM関数とは？
奇数の数列2n-1から
合成数を取り除くアルゴリズム
PCM(Product Combination Mod)
によって素数を1
合成数を0に振り分ける(量子化)
これはアナログをデジタルに変換する
PCM(Pulse Coded Modulation)と
同じ発想
奇数の数列2n-1は乗積Πを掛けると
その都度出力されてしまうので、
C(0,3-a)を使って一度だけ出力する
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]
◆aの範囲{a,3,30}
3は固定値、
終値の30は最大50まで設定できる
これはnの初期値
しかし、aの終値は40や50に設定しても
30の時と精度に差は生じない
■合成数はどうやって取り除く？
奇数の数列1,3,5,7,9,11,13,15,17,19…
に対して
数列1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0…は
a_n=n^2 mod3
数列1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0…は
a_n=n^4 mod5
これを繰り返してゆくと、
Table[(C(0,n-1))+{(2n-1)
{C(0,n-2)+((n+1)^2mod3)}
{C(0,n-3)+((n-3)^4mod5)}
{C(0,n-4)+((n-4)^6mod7)}
{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)}
{C(0,n-7)+((n-7)^12mod13)}
{C(0,n-9)+((n-9)^16mod17)}},{n,1,180}]
{n,1,180}の範囲で精度100％が得られる
+((n-5)^8mod9)と
+((n-8)^14mod15)が抜けているが
これらは1と0以外を出力するので、
0とのコンビネーションを二回かけて
1と0 だけにする
さらに、
modの前後の数値を変数aとnで
置き換えると
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]
変数aとnを使うと乗積の計算が入るので
概ね100より大きな素数の判定となる
原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 の
出力アルゴリズム
[z-y=1]
Table[2n{(n+1)^(C(1,a-2))}+C(0,3mod a),{n,1,50},{a,1,3}]
[z-y=2]
Table[4(n+1)^{(C(1,a-1))+1}+(C(1,a-1))(-1)^a,{n,1,30},{a,0,2}]
[z-y=8]
Table[4(2n+3)+{(2n+1)^(2C(1,a-1))}(C(1,a-1))-8(C(0,a-1)),{n,1,30},{a,0,2}]
◆図形を平行四辺形とする
https://i.imgur.com/bL5y16d.png
直角三角形の短辺の長さxは、
9^2-8^2=81-64=17 なので、x=√17
直角三角形の面積s1は、 s1=4x
台形の短辺の長さyは、y=10-x
台形の長辺の長さは10
台形の面積s2は
s2=8(y+10)/2=8(20-x)/2=80-4x
したがって図形の面積s3は、
∴s3=s1+s2=4x+(80-4x)=80 0545１３２人目の素数さん2024/04/30(火) 21:10:19.15ID:dbyjbpZp
500位だったから上げた
0546１３２人目の素数さん2024/04/30(火) 22:54:15.33ID:dbyjbpZp
82位だった
0547１３２人目の素数さん2024/04/30(火) 23:12:31.65ID:dbyjbpZp
７９
0548１３２人目の素数さん2024/04/30(火) 23:58:53.23ID:ElCKljKY
３８
>>543
辺長 9 を使わなくても面積は出そうですが…
菱型ぢゃないぜよ、と言いたかった？ 0549１３２人目の素数さん2024/05/01(水) 00:04:45.50ID:AD3i5GdB
１
「なぜ1番なんですか？
2位じゃダメなんでしょうか？」
0550１３２人目の素数さん2024/05/01(水) 00:59:22.40ID:AD3i5GdB
1世帯あたりの支出額(円/年)
2021年
1位 宮崎市 4184円
2位 浜松市 3728円
3位 宇都宮市 3129円
2022年
1位 宮崎市 4053円
2位 宇都宮市 3763円
3位 浜松市 3434円
2023年
1位 浜松市 4041円
2位 宮崎市 3497円
3位 宇都宮市 3200円
やっぱり1位じゃないとね。 2位ぢゃダメですね。
0551１３２人目の素数さん2024/05/01(水) 01:00:50.78ID:AD3i5GdB
0552１３２人目の素数さん2024/05/01(水) 06:56:07.43ID:sgJI4piv
ぶたまん
閏年によるズレ
5時間48分46秒=20926秒
1日=86400秒
20926/86400≒0.2421991
400年に97回の閏年で
97/400=0.2425で近似している
33年に8回の閏年で
8/33≒0.242424…
n年にm回の閏年で97/400よりも
よりよい近似を出したい
■お題
『nを1000以下として最近似する
m,nの値を求めよ』
◆1000年に242回の閏年で
242/1000=121/500=0.242000…
122/504=61/252≒0.2420634…
ここから一気に、
8倍のオーダーを採る
(61x8)/(252x8)=488/2016
489/2019=163/673≒0.24219910847
◆デフォルト値
20926/86400≒0.2421991
∴m=163， n=673
n≦1000で最高精度が出る
n≦10000を設定したのはミス
[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2…‥①
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-k^2=2kx+2
x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)…‥②
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③
②より、kは偶数，kx+1は奇数
◆なぜkは偶数？
②より、
右辺は2があるので常に偶数
左辺のx^2(x-1)は、
xが奇数のとき偶数
xが偶数のとき偶数
したがって、x^2(x-1)は常に偶数
kが奇数の時、
左辺x^2(x-1)-k^2は偶数か奇数となり
右辺が常に偶数である事と矛盾
kが奇数の時、
左辺x^2(x-1)-k^2は奇数となり
右辺が偶数である事と矛盾
◆kは偶数なので，kx+1は奇数
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③
③より、(k^2)/2は偶数
kx+1は奇数なので，
x^2(x-1)/2は奇数
x^2は奇数，(x-1)/2も奇数
x^2は奇数なのでxは奇数
(x-1)/2も奇数なので
(x-1)は奇数の二倍
奇数は2n-1なので，(x-1)=4n-2
つまり、x=4n-1
xは4の倍数-1
{3,7,11,15,19,23,27,31…}
x=4n-1，k=2mとおく
↓
◆x=4n-1，k=2mとおく
x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入
(4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、
m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1
m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1
m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④
(※wolframによる精密な結果)
④より、
左辺m(m+4n-1)は，4n-1が奇数なので
mが偶数でも奇数でも常に偶数
右辺16n^2(n-1)+5n-1は，
nが偶数のとき奇数となる
左辺は常に偶数なので
nは奇数となる
x=4n-1から
x=4(2n-1)-1=8n-5
つまり、xは8の倍数-5
{3,11,19,27,35,43,51,59…}となる
x=8l-5，k=2mとおく
↓
◆x=8l-5，k=2mとおく
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入
(8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1
(8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
16l(4l-5)+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤
⑤は、l=m=1のとき、
原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす
↓
[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2…‥①
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-k^2=2kx+2
x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)…‥②
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③
②より、
右辺は2があるので常に偶数
左辺のx^2(x-1)は、
xが奇数のとき偶数
xが偶数のとき偶数
したがって、x^2(x-1)は常に偶数
kが奇数の時、
左辺x^2(x-1)-k^2は奇数となり
右辺が偶数である事と矛盾
kは偶数，kx+1は奇数となる
◆x=8l-5，k=2mとおく
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入
(8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1
(8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
16l(4l-5)+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)+16l(5-4l)=25…‥⑤
⑤は、l=m=1のとき、
原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす
↓
◆l=m=1
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)+16l(5-4l)=25…‥⑤
l=m=1のとき、
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)と16l(5-4l)は，
ともに平方数である
l=m=1のとき⑤は
原始ピタゴラス数の等式である
⑤は原始ピタゴラス数の等式なので
l=m=1しか解を持たない
l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入
∴整数解は、k=2,x=3
□□□■■ 4
□□□■■
■■■□□
■■■□□
■■■□□
9
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)+16l(5-4l)=25…‥⑤
l=m=1のとき⑤は
原始ピタゴラス数の等式である
⑤は
a^2+b^2=c^2を満たす(a,b,cは自然数)
c=5の時，a<b を満たす自然数の組は
一組だけである
a^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
b^2=16l(5-4l)
したがって⑤は
l=m=1しか解を持たない
l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入
∴整数解は、k=2,x=3
▲
▼
■お題
50円の割引券が1枚ある
この割引券を使い、
100円の商品Aか、200円の商品Bを
50円引きで購入したい
以下の①～③から正しいものを選べ
①Aに割引券を使うほうが得である
②Bに割引券を使うほうが得である
③①、②のいずれも誤りである
100円の商品を50円引きで買うと
50％の得
200円の商品を50円引きで買うと
25％の得
200円の商品を100円引きで買うと
50％の得
200円の商品購入時に
100円の商品の2倍の便益を得る
とすると
どちらも損得はないので③
2を加えて立方数となる
平方数が25の他に整数で存在するか
この問題は一見するに
たいへん難しそうであるが，
私は25がそうした唯一の
平方数であることを厳密に
証明することができる
分数でなら，
バシェの方法がそのような
平方数を無数に提供するが，
整数の理論はとても美しくて，
とても精妙であって，
現在に至るまで，
私以外のどんな著者によっても
知られていないのである
[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2…‥①
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-k^2=2kx+2
x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)…‥②
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③
②より、
右辺は2があるので常に偶数
左辺のx^2(x-1)は、
xが奇数のとき偶数
xが偶数のとき偶数
したがって、x^2(x-1)は常に偶数
kが奇数の時、
左辺x^2(x-1)-k^2は奇数となり
右辺が偶数である事と矛盾
kは偶数，kx+1は奇数となる
◆kは偶数なので，kx+1は奇数
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③
③より、(k^2)/2は偶数
kx+1は奇数なので，
x^2(x-1)/2は奇数
x^2は奇数，(x-1)/2も奇数
x^2は奇数なのでxは奇数
(x-1)/2も奇数なので
(x-1)は奇数の二倍
奇数は2n-1なので，(x-1)=4n-2
つまり、x=4n-1
xは4の倍数-1
{3,7,11,15,19,23,27,31…}となる
x=4n-1，k=2mとおく
↓
◆x=4n-1，k=2mとおく
x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入
(4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、
m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1
m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1
m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④
(※wolfram出力)
④より、
左辺m(m+4n-1)は，4n-1が奇数なので
mが偶数でも奇数でも常に偶数
右辺16n^2(n-1)+5n-1は，
nが偶数のとき奇数となる
左辺は常に偶数なので
nは奇数となる
x=4n-1から
x=4(2l-1)-1=8l-5
つまり、xは8の倍数-5
{3,11,19,27,35,43,51,59…}となる
x=8l-5，k=2mとおく
↓
◆x=8l-5，k=2mとおく
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入
(8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1
(8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
16l(4l-5)+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)+16l(5-4l)=25…‥⑤
⑤は、l=m=1のとき、
原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす
↓
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)+16l(5-4l)=25…‥⑤
l=m=1のとき、
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)と16l(5-4l)は，
ともに平方数である
l=m=1のとき⑤は
原始ピタゴラス数の等式である
⑤は
a^2+b^2=c^2を満たす(a,b,cは自然数)
c=5の時，a<b を満たす自然数の組は
一組だけである
a^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
b^2=16l(5-4l)
したがって⑤は
l=m=1しか解を持たない
l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入
∴整数解は、k=2,x=3
◆予算は200円, 50円引きクーポン一枚
100円の商品二つをクーポン一枚で
購入すると、支払いは150円
200円の商品一つをクーポン一枚で
購入すると、支払いは150円
※どちらも支払い総額が同じ
素数を知ったのは確か4歳くらいの時
聡明で美しい数字を想った
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59…
何か法則性は無いのか
すぐ近くに次の素数が現れると思えば
すぐ近くには無かったり
これが3桁4桁5桁となっていくと
複雑な羅列が顕著になる
この素数に子供ながらにして興味津々
になった記憶がある
小学低学年の時だったか
数列ａnで階差数列をしていけば
容易ではないかと思ったりした
浅はかな学童
その内にリーマン予想を知る
複素数の関数が必要であること
学童の“大学への数学”“Z会”クラスの
学力では無理だったのだ
そしてリーマンζ(s)を解き明かす目標の
日々となる
そう2008年の「リーマンショック」には
ビックリした
「リーマンやっちゃったよ」なんて
街の声に誰かがリーマン解いたのか
そう思ったのである
しばらくしてリーマンとは
米国投資銀行であり
その倒産を意味するを知る
またサラリーマンをリーマンとここ
日本では呼ぶようだが
「おまえリーマンとしてはゼロ点だな」
なんて地下鉄で説教しているのを聴くと
ドキッとくる
■R
# 宝の数を変化させる
treasure0 <- function(m=3,n=4,k=2){
y=1:(m*n)
(z=matrix(y,ncol=n,byrow=T))
(P=as.vector(z))
(Q=as.vector(t(z)))
PQ <- function(x){
p=q=numeric(k)
for(i in 1:k){
p[i]=which(P==x[i])
q[i]=which(Q==x[i])
}
min(p)-min(q)
}
tre=combn(m*n,k)
re=apply(tre,2,PQ)
return(c(短軸有利=sum(re<0),長軸有利=sum(re>0),同等=sum(re==0)))
}
sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))
> sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0
長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0
同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1
重合度nのPVA(ポリビニルアルコール)
があるとする
ここに、
大過剰のホルムアルデヒド(HCHO)
を用いて架橋を行う
即ち、各HCHO分子はPVAの隣り合う
2つのOH基を架橋する
PVAのOH基をHCHOで架橋したものは
ビニロンと呼ばれる繊維になり、
残存するOH基の量に応じて吸水性などの
パラメータが変わる
ここで、各HCHO分子は全くランダムな
位置を架橋していくとし、
PVAとは架橋以外の相互作用をしないとする
もし、
片端から3,4つ目のOHが架橋され、
その後
6,7つ目のOHも架橋されたとすると、
HCHOは5つ目のOHを
架橋できないことになる
(隣り合うOHの架橋以外の相互作用を
認めないという仮定を用いた)
HCHOは大過剰存在するので、
隣り合うOHがなくなるまで
架橋は進むとする
このとき、全てのOHの内、
いくつが架橋されずに残ると
期待されるかnで表せ
Table[Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}],{n,1,20}]
最近では、
虚部が小さい方から10兆個までの
複素零点は
すべてリーマン予想を満たすことが
計算されており、
現在までにまだ反例は知られていない
現在では
多くの数学者がリーマン予想は正しいと
考えているようである
しかし
無限にある零点からみれば
有限に過ぎない10兆個程度の零点の
例などは零点分布の真の姿を反映する
には至らないとして、
この計算結果に対して慎重な数学者もいる
歴史上有名な数学者の中でも
リーマン予想を疑っていた数学者はいる
37×3=111
37×6=222
37×9=333
37×12=444
37×15=555
37×18=666
37×21=777
37×24=888
37×27=999
271×41=11111
271×82=22222
271×123=33333
271×164=44444
271×205=55555
271×246=66666
271×287=77777
271×328=88888
271×369=99999
8547×13=111111
8547×26=222222
8547×39=333333
8547×52=444444
8547×65=555555
8547×78=666666
8547×91=777777
8547×104=888888
8547×117=999999
1111111=239×4649
11111111111=21649×513239
不可説不可説転
https://www.youtube..../watch?v=ruSJZ32MLwg ■haskellに移植
import Data.List
import Data.List.Split
m = 5 -- 縦マス(短軸）
n = 6 -- 横マス(長軸)
k = 5 -- 宝の数
q = [0..m*n-1]
matQ = chunksOf n q
matP = transpose matQ --行列を転置して
p = concat matP -- 配列に変換
combinations :: Int -> [a] -> [[a]]
combinations 0 _ = [ [] ]
combinations n xs = [ y:ys | y:xs' <- tails xs, ys <- combinations (n-1) xs']
treasure = combinations k q -- 宝の組み合わせ
ip y = minimum $ map(\x -> elemIndices x p!!0) y -- 宝の、配列ｐでのindex列を求めて最小値を返す
iq y = minimum $ map(\x -> elemIndices x q!!0) y
idxp = map ip treasure -- 宝の組み合せで実行して
idxq = map iq treasure
p_q = zipWith (-) idxp idxq -- 差をとって大小判別
p1st = length $ filter (<0) p_q -- 短軸方向探索ｐが先に宝をみつける
q1st = length $ filter (>0) p_q
draw = length $ filter (==0) p_q
main = do
putStrLn $ "p1st = " ++ show p1st ++ ", q1st = " ++ show q1st ++ ", draw = " ++ show draw
>matrix.exe
p1st = 55469, q1st = 54036, draw = 33001
> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1
4×5の場合
宝：1個 同等
宝：2～5個 短軸有利
宝：6～13個 長軸有利
宝：14～20個 同等
□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]
長軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,C(3,n-2)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]
同等☆
Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}]
◆ロト7一等当選確率
(37x36x35x34x33x32x31)/(7x6x5x4x3x2x1)=
(37x36x35x34x33x32x31)/(35x18x8)=
(37x2x34x33x4x31)=10295472
1/10295472ですが、
この10295472通り買えば
確実に当たるわけですよ
◆a,b,cを相異なる実数とする
これらの数の間に
a(1-b)=b(1-c)=c(1-a)が成り立つ
aがとりえない値は(0), (-1)である
a(1-b)=b(1-c)=c(1-a)
a-ab=b-bc=c-ac
a-ab+ac=b-bc-c
a(1-b+c)=-(bc-b+c)
a(1-(b-c))=-(bc-(b-c))
(b-c)=M，(M≠0) とおく
a(1-M)=-(bc-M)
a=-1かつbc=1 のとき等式が成立する
bc≠0 ，b=1/c なので
b,cを満たす実数は無数に存在する
◆a,b,cを相異なる実数とする
これらの数の間に
a(1-b)=b(1-c)=c(1-a)が成り立つ
aがとりえない値は(0), (1)である
a(1-b)=b(1-c)=c(1-a)
a-ab=b-bc=c-ac
a-ab+ac=b-bc-c
a(1-b+c)=-(bc-b+c)
a(1-(b-c))=-(bc-(b-c))
(b-c)=M，(M≠0) とおく
a(1-M)=-(bc-M)
a=-1かつbc=1 のとき等式が成立する
bc≠0 ，b=1/c なので
b,cを満たす実数は無数に存在する
◆a,b,cを相異なる実数とする
これらの数の間に
a(1-b)=b(1-c)=c(1-a)が成り立つ
aがとりえない値は(0), (1)である[∵b≠c]
a(1-b)=b(1-c)=c(1-a)
a-ab=b-bc=c-ac
a-ab+ac=b-bc-c
a(1-b+c)=-(bc-b+c)
a(1-(b-c))=-(bc-(b-c))
(b-c)=M，(M≠0) とおく
a(1-M)=-(bc-M)
a=-1かつbc=1 のとき等式が成立する
b≠c，b=1/c なので
b,cを満たす実数は無数に存在する
◆この数列の一般項
0 1 5 21 85 341 1365 5461 21845 ...
a_n=(1/12)(4^n-4)
(与えられたすべての項について)
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)+16l(5-4l)=25…‥⑤
l=m=1のとき、
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)=9 ,
16l(5-4l)=16 となり，
ともに平方数である
l=m=1のとき⑤は
原始ピタゴラス数の等式である
⑤は
a^2+b^2=c^2を満たす(a,b,cは自然数)
c=5の時，a<b を満たす自然数の組は
一組だけである[a=3,b=4]
a^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
b^2=16l(5-4l)
したがって⑤は
l=m=1しか解を持たない
l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入
∴整数解は、k=2,x=3
◆この数列の一般項
0 1 5 21 85 341 1365 5461 21845 ...
a_n=(1/12)(4^n-4)
(与えられたすべての項について)
a_n=(4^n-4)/12
a_n=(4^n-1)/3