美しい整数の世界

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/17(金) 21:32:13.54

◆この数列の一般項
0 1 5 21 85 341 1365 5461 21845 ...

a_n=(1/12)(4^n-4)
(与えられたすべての項について)

a_n=(4^n-4)/12

a_n=(4^n-1)/3

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/21(火) 19:01:50.41

あるお店では、
サッカーボールとシューズを仕入れ、
それぞれに利益を見込んで
定価をつけた
ボール1個とシューズ1足の仕入れたときの
値段の比は9:11、利益の比は2:3、
定価の比は4:5になった

ボール1個の利益が400円のとき、
シューズ1足の仕入れ値はいくらか？

ーーーーーーーーーーーーーーー

利益の比は2:3なので
ボール1個の利益が400円のとき、
シューズ1足の利益は600円

◆定価の比は4:5になったので
ボールは4000円
シューズは5000円

仕入れたときの値段の比は9:11なので、
ボールは3600円
シューズは4400円

36:44=9:11

∴シューズ1足の仕入れ値は4400円

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/21(火) 20:15:42.00

あるお店では、
サッカーボールとシューズを仕入れ、
それぞれに利益を見込んで
定価をつけた
ボール1個とシューズ1足の仕入れたときの
値段の比は9:11、利益の比は2:3、
定価の比は4:5になった

ボール1個の利益が400円のとき、
シューズ1足の仕入れ値はいくらか？

ーーーーーーーーーーーーーーー

利益の比は2:3なので
ボール1個の利益が400円のとき、
シューズ1足の利益は600円

ボール1個の仕入れ値をxとする
x:(x+k)=9:11

11x=9x+9k
2x=9k
x=(4.5)k

ボール1個の利益が400円のとき、

(x+400):(x+k+600)=4:5

5x+2000=4x+4k+2400
x=4k+400

(4.5)k=4k+400
(0.5)k=400
k=800

したがってx=(4.5)k より、

x=3600
∴x+k=4400

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/22(水) 08:19:30.65

あるお店では、
商品Aと商品Bを仕入れ、
それぞれに利益を見込んで
定価をつけた
商品A1個と商品B1個の仕入れたときの
値段の比は9:11、利益の比は2:3、
定価の比は4:5になった

商品A1個の利益が1350円のとき、
商品B1個の仕入れ値はいくらか？

ーーーーーーーーーーーーーーー

商品A1個の仕入れ値をxとする
x:(x+k)=9:11

11x=9x+9k
2x=9k
x=(4.5)k

利益の比は2:3なので
商品A1個の利益が1350円のとき、
商品B1個の利益は2025円

(x+1350):(x+k+2025)=4:5

5x+6750=4x+4k+8100
x=4k+1350

(4.5)k=4k+1350
(0.5)k=1350
k=2700

したがってx=(4.5)k より、

x=12150
∴x+k=14850

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/22(水) 08:20:33.77

▲

▼

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/22(水) 08:34:46.11

あるお店では、
商品Aと商品Bを仕入れ、
それぞれに利益を見込んで
定価をつけた
商品A1個と商品B1個の仕入れたときの
値段の比は9:11、利益の比は2:3、
定価の比は4:5になった

商品A1個の利益が1350円のとき、
商品B1個の仕入れ値はいくらか？

ーーーーーーーーーーーーーーー

商品A1個の仕入れ値をxとする

x:(x+k)=9:11

11x=9x+9k
2x=9k
x=(4.5)k

商品A1個の利益をyとする

(x+y):{x+k+(1.5)y}=4:5

5x+5y=4x+4k+6y
x=4k+y

(4.5)k=4k+y
(0.5)k=y
k=2y

x=4k+y なのでx=9y

y=1350
x=12150
k=2700

∴x+k=14850

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/22(水) 08:52:03.01

x=4k+y なのでx=9y
x+k=11y

y=1350

∴x+k=14850

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/22(水) 10:14:57.48

▲

▼

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/22(水) 10:22:19.97

あるお店では、
商品Aと商品Bを仕入れ、
それぞれに利益を見込んで
定価をつけた
商品A1個と商品B1個の仕入れたときの
値段の比は9:11、利益の比は2:3、
定価の比は4:5になった

商品A1個の利益が1350円のとき、
商品B1個の仕入れ値はいくらか？

ーーーーーーーーーーーーーーー

商品B1個の仕入れ値をxとする

(x-k):x=9:11

11x-11k=9x
2x=11k
x=(5.5)k

商品A1個の利益をyとする

(x-k+y):{x+(1.5)y}=4:5

5x-5k+5y=4x+6y
x=5k+y

(5.5)k=5k+y
(0.5)k=y
k=2y

x=5k+y なのでx=11y

y=1350

∴x=14850

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/22(水) 11:09:38.46

あるお店では、
商品Aと商品Bを仕入れ、
それぞれに利益を見込んで
定価をつけた
商品A1個と商品B1個の仕入れたときの
値段の比は4:5、利益の比は6:11、
定価の比は2:3になった

商品A1個の利益が300円のとき、
商品B1個の仕入れ値はいくらか？

ーーーーーーーーーーーーーーー

商品B1個の仕入れ値をxとする

(x-k):x=4:5

5x-5k=4x
x=5k

商品A1個の利益をyとする

(x-k+y):{x+(11/6)y}=2:3

3x-3k+3y=2x+(11/3)y
x=3k+(2/3)y

5k=3k+(2/3)y
2k=(2/3)y
k=(1/3)y

x=5k なのでx=(5/3)y

y=300
k=100

∴x=500

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/23(木) 21:20:04.69

▲

▼

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/23(木) 21:22:45.50

あるお店では、
商品Aと商品Bを仕入れ、
それぞれに利益を見込んで
定価をつけた
商品A1個と商品B1個の仕入れたときの
値段の比は6:11、利益の比は4:3、
定価の比は8:13になった

商品A1個の利益が1350円のとき、
商品B1個の仕入れ値はいくらか？

▼

商品B1個の仕入れ値をxとする

(x-k):x=6:11

11x-11k=6x
5x=11k
x=(11/5)k

商品A1個の利益をyとする

(x-k+y):{x+(3/4)y}=8:13

13x-13k+13y=8x+6y
5x=13k-7y

11k=13k-7y
2k=7y
k=(7/2)y

y=1350
k=4725

x=(11/5)k なのでx=(77/10)y

∴x=10395

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/23(木) 22:01:43.41

◆仕入れ値を○、売価を□とおく

　 A 　 B
○ 仕 6 ： 11
確定)利 1350 1012.5
□ 売 8 ： 13

6○+1350=8□
11○+1012.5=13□

78○+17550=104□
88○+8100=104□

10○=9450
1.1×9450=10395

答．10395円

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/23(木) 23:08:36.52

(x-k):x=6:11

y:(3/4)y=4:3

(x-k+y):{x+(3/4)y}=8:13

▼

k=4725
y=1350
x=10395

x-k=5670
(3/4)y=1012.5

x-k+y=7020
x+(3/4)y=11407.5

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/05(水) 11:03:19.43

『√(x+√x)が100に最も近くなるような
正整数xを求めよ』

√(x+√x)=100

x+√x=10000

x=(20001)/2-sqrt(40001)/2

{(20001)/2-sqrt(40001)/2}+ sqrt(20001/2-sqrt(40001)/2)=10000

10000　100

√9900

9900+√9900

9900+30√11

30(330+√11)

9999.4987437106619954734479821001206005178126563676806079117604643...

9901+√9901

10000.503768772845986107325512325300189619340238549659217036992303...

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/05(水) 17:06:35.78

『149,218,333をそれぞれ同じ整数で
わり算すると余りが3つとも同じに
なりました
ある整数とはいくつですか？』

ある整数をt,余りをkとする

3つの整数の内、
一番小さい数がtで割り切れるとすると
3つの整数はすべてtの倍数となる

余りkが存在すると、
一番小さい数がtの倍数+kとなる

二番目に小さい数と一番大きい数が
tの倍数+kとなるには
それぞれの差に共通項があればよいので

218-149=69
333-218=115

23x3=69
23x5=115

∴t=23

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/06(木) 15:24:50.10

『123,456,789をそれぞれ同じ整数で
わり算すると余りが3つとも同じに
なりました
ある整数とはいくつですか？』

ある整数をt,余りをkとする

3つの整数の内、
一番小さい数がtで割り切れるとすると
3つの整数はすべてtの倍数となる

余りkが存在すると、
一番小さい数がtの倍数+kとなる

二番目に小さい数と一番大きい数が
tの倍数+kとなるには
それぞれの差に共通の因数があればよいので

456-123=333
789-456=333

111x3=333
37x9=333

∴t={9,37,111}

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/06(木) 23:38:32.12

『(n!)=n^3-nを満たす正整数nを全て求めよ』

(n!)=n^3-n

(n!)=n(n^2-1)

(n!)=(n-1)n(n+1)

((n-2)!)=n+1

n=5

(n!)=5x4x3x2x1=4x5x6

(n-1)n(n+1)=4x5x6

∴n=5