楕円曲線y^2=x^4+6x^2-3の有理点って(±1,±2)以外ないよな

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/22(日) 01:01:37.20

ない…よな…？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/22(日) 01:36:26.70

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　　コーレハヒ・ドイク=ソスレ　[Кolёhahi･doiи=soЭ]
　　　（1921～1989 物理学者ロシア）

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/22(日) 02:45:08.47

もし存在するなら教えてほしい
自分なりに模索してみたが見つからなかった…

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/22(日) 03:05:36.09

楕円曲線？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/22(日) 07:10:12.52

おうそうだ
ずっと探してるんだが見つからないんだ…

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/22(日) 11:30:55.38

数論幾何学が分かるやつ、何人か相手してやりな

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/22(日) 12:15:23.88

そもそも楕円曲線じゃない気がする……

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/22(日) 12:31:59.87

右辺が複2次式だと楕円曲線とは言わない、のか…？
とりあえず無理やり3次の形に持っていこうと思う

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/22(日) 13:16:29.15

整数点がそれだけしかないことは示せるが有理点はどうなるか分からん

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/22(日) 13:56:46.64

代数曲線としてQ上y^2=x^3+1と同型なことから有理点もそれと無限遠点しかないことが分かる

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/22(日) 15:21:41.84

>>10　マジか…！！
ということはそれに対応する有理点が無限にはないが5つは存在するということか
ありがとう

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/23(月) 23:10:53.19

高校数学レベルだと
　y^2 - 4 = (x^2+7)(x^2-1)
ここからどうやればいいんだっけ？

x^2=0 は明らかに解を持たない。

x^2=1 は y^2=4を導く。

では x^2 > 1 なら？？？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/25(水) 21:59:40.09

しまった問題は整数点ではなかったのだな。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/28(土) 21:19:39.26

整数点のみなら
(x^2+y+3)(x^2-y+3)=12

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/05(日) 04:07:57.26

おお、その因数分解は素晴らしい。それなら12の整数範囲での分解の
場合を尽くせば、後は連立代数方程式を解いた解が整数になるかという
だけの簡単な問題になるな。

有理数解については、ｘとｙが有理数であるとして、ｒを有理数とし、
　x^2+y+3 = r
　x^2-y+3 = 12/r
から
y = r/2 - 6/r
x^2 = r/2 + 6/r
するとrが如何なる有理数のときにr/2+6/rが有理数の平方になるか
ということに帰着するのだが、ここからどうすればいいかな。