凸関数と凸解析

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/01(日) 04:49:23.67

凸関数や凸解析に関するスレが無いから建てた

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/02(月) 01:58:33.81

>>5の (1) => (3) は Rademacherの定理からも言えるな。

【Rademacherの定理】
f(x)が閉区間 [a,b] 上でリプシッツ連続ならば、ほとんど至るところの内点で微分可能である。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/02(月) 02:22:09.14

さらに、次も成り立つ。

【Alexandrovの定理】
f(x)が閉区間 [a,b] 上で凸関数ならば、ほとんど至るところの内点で２回微分可能である。

アレクサンドロフの定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AD%E3%83%95%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/03(火) 02:18:18.93

>>7-8
これらの定理の証明が書いてある日本語の良い本はありまかすか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/03(火) 08:48:12.51

一般論ではないが、Fatouの定理の証明中で
Rademacherの定理に相当することが
辻正次や能代清の本で示されていたように思う。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/04(水) 00:14:48.38

>>9
日本語ではすぐに思い当たらないが、実解析の詳しめの本には書いてあると思う
「ほとんど至る所」というからには、測度論をやった上での話になるだろう

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/04(水) 08:32:32.62

ラーデマッヘルの定理

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
数学の解析学の分野におけるラーデマッヘルの定理（ラーデマッヘルのていり、英: Rademacher's theorem）とは、ハンス・ラーデマッヘルの名にちなむ、次の定理のことを言う：U を Rn 内のある開部分集合とし、関数 f : U → Rm はリプシッツ連続であるとする。このとき、f は U 内のほとんど至る所でフレシェ微分可能である。すなわち、f が微分可能ではないような U 内の点からなる集合は、そのルベーグ測度がゼロである。

一般化
あるユークリッド空間から任意の距離空間へのリプシッツ関数に対して成立するような、ラーデマッヘルの定理のある一般化版が存在する。その場合、通常の微分の代わりに、距離微分が用いられる。

参考文献
Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis, Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004（18ページおよびその近辺において、ラーデマッヘルの定理とその証明が与えられている）.

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/04(水) 16:29:02.42

【Jensenの不等式】
f(x) は開区間 (a,b) 上の凸関数とし、(a,b)内の点 a_1,a_2,,,,a_nを取る。
このとき，0≦t_i≦1 かつ t_1 + t_2 + … + t_n =1 を満たす任意の実数に対して、
f( Σ_[i=1,,n] t_i a_i) ≦ Σ_[i=1,,n] t_i f(a_i)
が成立する。

さらに、f(x)が狭義の凸かつ t_i > 0 のとき、等号が成立するための必要十分条件は、
a_1 = a_2 = … = a_n である。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/05(木) 14:15:15.24

凸川警部

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/07(土) 16:23:34.46

>>14
【積分型のJensenの不等式】
f(x)は有界閉区間 I 上の連続な凸関数、u(x)を有界閉区間 [a,b] 上の連続関数で u([a,b]) ⊂ I を満たす。
また、p(x)は [a,b] 上の正値連続関数で ∫_[a,b] p(x) dx =1 とする。このとき、
f( ∫_[a,b] u(x) p(x) dx ) ≦ ∫_[a,b] f(u(x)) p(x) dx
が成立する。
さらに、等号が成立するための必要十分条件は、f(x) が定数関数のときに限る。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/08(日) 13:24:30.78

>>12
フレッシシェ微分可能って、R^nでは全微分可能ってこと？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/09(月) 13:58:03.64

領域で狭義凸な関数は唯一の最小点を持つ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/09(月) 15:42:56.31

x^2は狭義凸だが(-2, -1)\cap(1, 2) で唯一の最小点なんて持たないようだが

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/09(月) 19:06:53.05

凸な閉集合上の狭義凸関数はその集合の内点に高々1つの最小点を持つ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/09(月) 21:24:02.55

>>19
そういうスキのない言明だけでまとめられている
初等数学の学習書の出版が望まれる

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/10(火) 01:28:16.65

【凸関数の積分評価】
R^nの開集合U上の凸関数 f(x) とする。
任意のx ∈Uと任意の r>0に対し、 xを中心とし半径 rの閉球を B(x,r) と書くとき、
ある次元にのみ依存する定数 C>0 が存在して、次の不等式を満たす：
sup { f(y) | y \in B(x,r) } ≦ C ∫_[B(x,2r)] |f(y)| dy / vol(B(x,2r)).

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 14:04:54.61

>>20
高校数学でも関数の定義域が明確に書かれてないのが多い

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 16:15:22.54

凸をデコ、凹をボコと読んではいけない。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 16:18:41.93

凸の字の形が誤解を招く要因になっているが、

単に「凸」といえば、「下に凸」のことであり、
「凸」の字の形は「上に凸」であって、単に「凹」というのがややこしい。
ｙ＝ｘ^2 のグラフは下に凸あるいは単に凹という。
ｙ＝-x^2のグラフは、上に凸あるいは単に凸という。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 16:25:37.00

そこで私は提案したい。数学書においては、凸の字形を上下逆にした活字を特注して
作り、それを用いる。そうして凹の字についても、上下逆にした活字を特注して
作り、それを用いるのだ。そうすれば視覚的にも対応がとれていて、
初学者の間違いや混乱を誘発せずに済むことで、我が国の知的水準が0．01パーセント
程度向上するのではなかろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 19:00:21.92

>ｙ＝ｘ^2 のグラフは下に凸あるいは単に凹という。
>ｙ＝-x^2のグラフは、上に凸あるいは単に凸という。

書き間違えたわ、
ｙ＝ｘ^2 のグラフは下に凸あるいは単に凸という。
ｙ＝-x^2のグラフは、上に凸あるいは単に凹という。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 21:38:25.32

凸関数であるための必要十分条件が、エピグラフが凸集合であることである。

凸性は関数の凸ではなく、エピグラフの凸性から来ている。
従って定義を変えてしまっては、上の綺麗な定理が崩れてしまう。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 23:30:33.65

ハイポグラフになるだけでは？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 17:03:43.97

どうせ凸の字もconvexではないし
字形にこだわって習慣を変えるのは無駄にしかみえん

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 18:49:24.13

>>28
凹集合(concave set)なんて概念ないでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 19:32:32.09

>>30
なんか勘違いしてね？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 22:41:01.61

ハイポグラフのほうが手元にあるようなイメージで
それが凸集合になってるほうが「凸関数」として自然に思えるんだよなぁ
エピグラフのほうから考えるのは最小点の探索から来ているのかしら?

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/14(土) 17:34:36.43

>>32
最適化問題の解を見つけるのが目標だから、コスト等の最小値が視覚的に見やすいようにしたんだろう

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/17(火) 00:32:36.36

凸解析の参考書

W.フェンヒェル (小宮英敏訳)
凸解析の基礎: 凸錐・凸集合・凸関数 (数理経済学叢書 6)
知泉書館 (2017)

福島雅夫
非線形最適化の基礎
朝倉書店 (2001)

田中謙輔
凸解析と最適化理論
オーム社 (2021)

田中謙輔
凸解析と最適化理論 (数理情報科学シリーズ)
牧野書店 (19941)

室田一雄
離散凸解析 (共立叢書現代数学の潮流)
共立出版 (2001)

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/24(火) 02:09:11.86

【定理】
関数y=f(x)がR^nの開集合U上の凸であるための必要十分条件は、そのエピグラフ
Epi(f) = { (x,y) ∈ U×R | f(x) ≦ y }
が R^{n+1} の凸集合となることである。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/24(火) 20:17:57.98

もっと教科書のバリエーションが増えて欲しいが、まあ需要が無いだろうな。
理学部工学部経済学部あたりで必修化できれば、本も売れるだろうが。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/25(水) 04:56:31.59

英語だとConvex function というぐあいに Convex というようだが、
それが凸だとしたら、凹は concave なのか？

convex　も concave も出っ張っている、へこんでいる
というような感じががするけれども、放物線 y=x^2 が
どちらにあたるかといわれても、ある方からみれば出っ張っているが
別のほうからみればへこんでいるからね。
領域みたいに、その内側と外側がはっきりしているなら、
凹凸は自明だとおもうけれども、グラフや関数値の凹凸といわれても
上に凸とか下に凸とかいわないと誤解を生みそうで怖い。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/25(水) 11:48:13.59

「上に凸」「下に凸」だってxy座標でy軸の向きが上であることを前提とした言葉だから
コンピュータグラフィックスなど y軸の向きが下の場合に誤解をまねく
convex, concaveの方が誤解を招かないんじゃないかな
「正（の向き）に凸」「増加方向に凸」のような言葉があったらよいけど

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/25(水) 23:41:49.76

>>37
だから、「上に凸」という言葉は海外では使われない（日本の高校数学だけの用語？）。
専門家も凸といえば、自動的に下に凸 (convex)と解釈する。
あくまで凸か凹かだけで判断する。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/25(水) 23:44:51.06

高校数学では、誤解を生む用語が時々あるように思う

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/26(木) 00:20:59.09

>>40
高校数学の内容は文科省の指導要領でがっちり決められているが、恐らく常用漢字外の漢字は出来るだけ使わない方針が取られているように思う。
例えば、高校の教科書では楕円ではなく、だ円と書かれているのはそのためだろう。
おそらく、凹が範囲外なのではないだろうか？
(あるいは、凸ほ範囲外だが、どちらか一方はやむを得ず使用したとか)

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/28(土) 03:15:42.64

味噌汁を入れるお椀の面が凸かといわれたら、椀の中に居る味噌汁の
立場からすれば凸だが、人間の眼で見下ろした感じは凹だという印象を持つ。
放物線ｙ＝ｘ＾２も上から目線だと凹んでいるなという感じを持ってしまう。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/28(土) 14:07:02.51

>>42
視点が違うとしか言いようがない
グラフ上の2点間の直線を引いて、そこから下に出っ張っているかどうかが凸の定義だから

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/28(土) 14:09:52.72

やはり関数の凸性より、集合(エピグラフ)の凸性の方が先にある
歴史的には凸体の研究の方が長いし、深いから

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/29(日) 20:59:34.15

だから漢字の凸を上下ひっくり返した字体を使ってそれでもって凸といっている
のならば（実際はそうではない）自然な感じがするが、
グラフは　U　みたいなのにそれを　凸　と表すのは　視覚的には混乱を招くのだ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/29(日) 21:53:10.10

>>45
字形云々なら凸はconcaveでもないだろ
中途半端な自己満足にしかならない

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/31(火) 17:21:24.32

正則凸領域は？

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/02(木) 18:03:18.18

それはスレ違い
多変数複素関数論のスレでやってくれ

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/04(土) 06:31:12.66

よそでFenchelの双対性をやっていた

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/04(土) 07:21:58.10

離散凸解析って何ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/04(土) 09:59:04.66

「離散凸解析」は，「組合せ構造を兼ね備えた凸関数」あるいは「凸集合と類似した離散構造」を数学的に研究することによって離散最適化の世界に新しい枠組み与えようとする試みである.

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/12(日) 23:35:35.93

微積分と線形代数に続けて読むべき、凸解析の標準テキストってある？

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/13(月) 01:52:56.86

>>52
目標が経済の最適化なら、>>34にある日本語の本でも良い。
例えば、フェンヒェルや福島は数学的にも良い本。

しかし、使われている数学の定理の証明や理論を理解するとなると、ルベーグ積分やフーリエ解析、偏微分方程式の初歩
は必要だろう。
あと、簡単な位相空間の話も必須かな。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/13(月) 02:03:03.41

凸体や凸集合の幾何や解析は長い歴史があるから、洋書ではロックフェラーとか分厚い本が多い
残念ながらこの方面の日本語は無さそう

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/14(火) 02:18:35.42

>>45
wikipediaに次の記述がある

経済学においては、曲線が原点に向かって弓なりに突き出した形になっていることを原点に対して凸[7]、
または原点に向かって凸[8]と呼ぶことがある。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/14(火) 02:25:00.82

>>54
ロックフェラーの最初の本は凸解析で良く参照される本だけど、分厚い。
ただ最初から順番に読めば、予備知識は微積と線形代数程度で十分だろう。

R.T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton Univ. Press. (1977)

R.T. Rockafellar abd J-B. R. Wets, Variational Analysis, Grundlehren der Math. Wissenschaften. 317, Springer-Verlag. (1998).

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/20(水) 02:50:55.04

L^2最小化積分の凹性および
その目覚ましい応用を発見した関啓安に
2022年度の中国の若手科学者を対象とする賞(全分野で4名)が
贈られた