凸関数と凸解析

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/01(日) 04:49:23.67

凸関数や凸解析に関するスレが無いから建てた

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/01(日) 05:08:30.02

凸関数の基本的性質

(1) 有界閉区間 [a,b]上の凸関数 f(x) は、内部 (a,b)で連続(とくに、リプシッツ連続)。

(2) 有界閉区間 [a,b]上の凸関数 f(x) は、内部 (a,b)で右微分可能かつ左微分可能。

(注意)
凸関数は境界x=a, b まで含めると連続とは限らない。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/01(日) 05:21:20.65

【定義】
関数f(x) が有界閉区間 I=[a,b] で(下に)凸であるとは、任意の x,y ∈I と任意の0≦t≦1に対して、
f(tx+(1-t)y) ≦ t f(x) + (1-t) f(y)
を満たすことである。

-f(x)が凸関数のとき、f(x)を凹関数(上に凸)という。

(注意)
凸関数の定義では、連続性は仮定しない。
しかし、>>2で述べた定理により、内部では必然的に連続となる。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/01(日) 13:26:30.01

凸関数の性質
http://hooktail.maxwell.jp/kagi/3e3f31d87633501322fd53b2886e2519.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/01(日) 22:06:40.82

【定理】凸関数の基本的性質

(1) 有界閉区間 [a,b]上の凸関数 f(x) は、内部 (a,b)で連続(とくに、リプシッツ連続)。

(2) 有界閉区間 [a,b]上の凸関数 f(x) は、内部 (a,b)で右微分可能かつ左微分可能。

(3) 有界閉区間 [a,b]上の凸関数 f(x) は、内部 (a,b)のほとんど至る所の点で微分可能。

(注意)
(1)凸関数は境界x=a, b まで含めると連続とは限らない。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/02(月) 00:50:58.07

C^2関数なら凸性と2階導関数の正値性についても言えるな。
多変数ならヘッセ表列の固有値にも関係してくる。