数学の質問スレ
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レベルを問わず、数学に関連する質問をするスレです。
大学の講義から小学校の宿題まで、疑問に思うことがあればこちらへ気軽にどうぞ。
【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
（トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。 単純にある領域の内部と外部の境界線の長さだと思えばいいんでない？
同様に、内部が空っぽの球殻の表面積と言った場合、内側の面も含める
というと抵抗があるかもしれんね。 問題の解説途中に申し訳ありません。
別の問題になりますが、今 「数学の真理をつかんだ25人の天才たち」という本を読んでおります。
そこに、次の2つの演繹について考えてみようとあり、
1） 1=-1であれば、2=0である。(両辺に1を足した)
2) 1=-1であれば、1=1である。(両辺を2乗した)
ということで、
1)は、偽→偽
2)は、偽→真
になる。
つまり、偽である命題からスタートして有効な推論を行うと、偽の命題が導かれる場合と真の命題が導かれる場合がある。
これは、どお言う事～
慣用句にある「嘘から出た実」になる場合があるという事か？
その場合の条件とは何か？
あと、別の項目には無限大には大小があるとかも書かれておりますが凡人には理解できません。
解説よろしくお願いいたします。 >>97 よくある間違い
「まわり」という言葉から「外周」のみにいってしまう。
・まわりの使い方は？
周りは、周囲・周辺など、そのものを取り囲んでいる辺り・環境、縁や外側に沿ったところを表し、名詞として用いる。 「池のまわりを一まわりする」という場合、「池のまわり」は周囲を表すため「周り」、「一まわり」はめぐることを表すため「回り」を使い、「池の周りを一回りする」と書く。
【「回り」「周り」「廻り」 - 違いがわかる事典】
上記より、「まわり」には複数の漢字と意味があるだけではなく、外側に沿ったところを表す意味もあります
つまり、「まわり」という言葉自体に間違いやすい原因があり、これを使用していることは問題だと考えられます
「まわり(外周と内周)の長さ」から「周(外周と内周)の長さ」に変更する必要性を感じます >>105 補足
実際に使われている「まわり(>>105参考)」と、算数で使われる「まわり(外回りと内まわり)」の意味に違いがあることを国語と算数の両方できちんと勉強(説明)する必要があると自分は感じます
「まわり」だけではなく、他にも「または」「絶対」「100%」「無限」「○○(数学)」等々、日常で使われる単語の意味ときちんと区別できる対策ができているか疑問に思います >>104
A→Bという形式の命題を論理内包といって、このような命題では仮定Aが偽ならばBが真だろうが偽だろうが論理内包A→Bは常に真になる
だから、上にあげられている例ではそもそも仮定が偽なんだから1),2)はもとより真 >>106
なるほど。算数では｢まわり｣というと内側の線も含むのですね。
何かソースはありますかね？ 「色のついた部分」のまわりと言った時に、外側だけ入れて内側をハブる理由がわからない
ついうっかり忘れただけなら、まあわからないでもない >>107
解説、有難うございます。
論理内包という概念が今一つつかめませんが勉強します。 >>108
・解説…この問題では、「まわりの長さ」には内周も含む(>>103)
・出典=『プレジデントfamily2023年冬号』より(>>97)、小学5年生の算数の教科書(未確認)
【算数星人のWEB問題集 まわりの長さ】
https://sansu-seijin.jp/tag/mawari/ >>86
＞ このような振り駒の振り直しが起きる確率はどれほど？
このような振り駒の振り直しが「連続で」起きる確率はどれほど？
と聞きたかったので、
>>79 （＝ 1回の振り直しが起きる確率 ）の二乗 ということですね。thx. すみません
A=B*(C+D/E)でEを求める式を教えてください。 A/B=C+D/E
A/B - C = D/E
(A-BC)/B=D/E
B/(A-BC)=E/D
E=BD/(A-BC) 6面のサイコロを2個同時に振るのと1個振って出目を2倍にするのでは、2～12の出る確率は一緒ですか？ >>116
異なる。
そもそも１個振って２倍だと奇数の目が出る確率は０になる。
たとえば２が出る確率は２個ふった場合は1/36だが１個で２倍だと 1/6。 初項が自然数で、公比が2以上の自然数である等比数列で
どの項にも数字0が現れないような等比数列はありますか？
たおえば{2^n}は第10項が1024なのでダメ、{5^n}だと第8項が390625でダメです。 ない
公比rに対してlog₁₀rが有理数となるのはrが10のべきになるときしかないからこの場合はダメ
lig₁₀rが無理数ならWeylの一様ブンブン定理からarⁿの上2桁が10になる密度はlog₁₀₀(11/10)になる >> 111
年次が上がれば「境界線」とかもっと誤解が少ない用語を使うようになるわけで
「まわり」みたいな狭い意味での「算数用語」を覚えてるかどうかで数学的能力を測るのは感心しないな https://imgur.io/8WdnUEl
〔３〕（２）と〔４〕（２）が解けません。
〔３〕（２）の解答は２／３
〔４〕（２）の解答は７√３
となるようですが、どうしたらその答えになるのか分かりません。
教えてください。 [3]
半径をxとするとOD =x,OB=2x (∵∠B = 30°)かつAO=x
∴AB = 3x
[4]
CG と平面AMNの交点をIとすると□APIQはひし形
AIとMN,PQの交点をJ,KとするとIJ:IK = IM:IP = 1:2
∴IJ:JA = 3:1
∴求める断面積は菱形の面積の7/8
さらにCG:GI = 3:1よりCI = 4/3CG = 4√2
∴ AI = √(8+8+32) = 4√2 前>>85
>>123
〔4〕(2)一辺1の正三角形の面積は√3/4
題意の平面図形は五角形で、一辺4の正三角形を上下てれこにくっつけて下側は上側の3/4だから、
(√3/4)×4^2×(1+3/4)=7√3 >>122
周長（しゅうちょう）は単純閉曲線の始点から終点までの長さ。周囲（ペリメーター、英: perimeter) の長さのこと。英語の perimeter は周囲と周長の両方を指す。【Wikipedia】
小学生の算数で「まわり(算数用語)」などを覚えさせるよりも、「ペリメーター(和製英語)」を覚えさせるほうがいいと思うときがある 質問です。例えばx^2+y^2+z^2=3xyzという式について、解(1,1,1)に対して、(1,1,2)も解です。同様に(2,1,1)、(1,2,1)も解です。
いま、x,y,zの3元2次方程式で、x,y,zがいずれも対称でない式で、(x,y,z)が自然数解のとき、(x,y,z')(z'<z)、(x',y,z)(x'<x)、(x,y',z)(y'<y)も解であるようなものを探しています。あれば教えていただき、なければないことを証明してください
お願いいたします よろしくお願いします
次のとき解法 a とb どちらが正しいのでしょうか
・事象A(以下A)が起こる確率は15%です
・Aが起こったとき、水を3ml獲得できます
・1時間の試行回数は6回です
1時間にどれぐらいの水を獲得できるか。
>>>
a:
期待値 = (Aが起こる確率 × 獲得できる水の量) + (Aが起こらない確率 × 獲得できる水の量)
= 0.6229 × 3 + 0.3771 × 0
= 1.8687
b:
1回の試行でAが起こる確率が15%であるため、1回の試行で獲得する水の量の期待値は
期待値 = Aが起こる確率 × 獲得できる水の量
= 0.15 × 3
= 0.45
1時間に6回の試行を行うことができるため、1時間で獲得できる水の量の期待値は
期待値 = 1回の試行での期待値 × 1時間あたりの試行回数
= 0.45 × 6
= 2.7
<<< bが正しい
aではAが起きる回数が考慮されていない。
Aが１回だけ起きる確率× 3 ml + Aが２回起きる確率 ×6ml +..
として期待値を計算しなければならない 数学素人です。
添付画像にある矩形の縦幅xはどのような式ないし考え方を用いれば導出できるものなのでしょうか。
https://i.imgur.com/1HP2cPs.png
前提として以下の情報がわかっている状態です。
・矩形の横幅は100cm
・矩形を構成する内部の矩形はそれぞれ縦0.525、横1の比率である
どうかご助言お願いします。 灰色の四角とピンクの四角に注目する
両者の縦を見比べると前者は後者の三倍だから横も三倍になっているはず
すると両者の横を合わせた100cmというのはピンクの横の長さの四倍であるはず
つまりピンクの横は100cmを四等分したものとなるので25cmと分かる
すると灰色の横が75cmだから縦は75/0.525cmになる >>131
ご回答ありがとうございます！
そういう見方をすればよかったのですね、とてもスッキリしました。 130です。連投すみません。
仮に右側にある3つ矩形の比率が1:1になった場合は >>131 の方法では答えが導きだせないと思うのですが、
その場合はどのように考えればよかったでしょうか。
ご助言お願いします。 >>134
横から口挟んで悪いけど、 75×1で75cmでいいでしょ。 ピンクの四角の縦:ピンクの四角の横=p:1のとき
ピンクの四角の横の長さ=ピンクの四角の縦の長さ/p=x/3/pだから
100=灰色の横の長さ+ピンクの横の長さ=x/0.525+x/3/p=x(40p+7)/(21p)
x=2100p/(40p+7) p=1ならx=2100/47[cm] >>134,136
おやおや、灰色の部分だけは0.525:1のまんまってことなのか。そっちも1:1かと思った。
すまんかった。 前>>85
>>130
0.525:1=525:1000=21:40
40x/21+40x/63=100
2x・3+2x=63・5
8x=315
x=39.375(cm) 今合成関数の問題を解いているのですが、ｆ⁻¹（２）＝−1の変形の仕方がわからないので教えてください。ただの計算問題ですみません 連投すみません。一応元の問題も乗っけておきます。
kは０でないとする。関数ｆ（ｘ）＝ｋｘ＋ｋ²とその逆関数ｆ⁻¹（ｘ）について、ｆ（１）＝６，ｆ⁻¹であるとき、定数ｋの値を求めよ。 ｆ⁻¹（２）＝－1からf(-1)=2がわかる
これとf(1)=6をf(x)の式に代入して連立して解けばk=2 前>>139
>>128
(15/100)3・6=27(ml)
∴27ml
数値的にBが妥当と考えられる。 前>>143修正。
>>128
(15/100)3・6=2.7(ml)
∴2.7ml
数値的にBが妥当と考えられる。 >>146
大丈夫か、このひと？
とっくに答えが出てるのに延々と（誤答混じりに）レスし続けるのは、
どこか壊れてるからなんじゃないなかな？ 質問先がここで良いのか解りませんがお願いします
スレチでしたら誘導していただけるとありがたい
学び直しとして中学2年用のドリルをやっています
現在図形と合同が終わったところなんですが
この範囲の問題を解くのが楽しいのでもっと解いてみたくなりました
特定範囲が苦手な子向けのものや、解き方のポイント解説本などではなく
ひたすらこの範囲の応用問題を解きたいです
オススメのドリルなどあったら教えてください
手持ちで消化中なのは「ハイクラステスト中2数学」というドリルです 以下の問いに答えよ。
(1) m≦n であって、mn+2=C[m+n,m]を満たす正の整数の組(m,n)を1つ求めよ。
(2) m≦n であって、mn+2=C[m+n,m]を満たす正の整数の組(m,n)は、(1)で求めた組に限ることを示せ。
去年の熊本大の問題なのですが
この問題、(1)で白答あるいは誤った組を求めた場合、
(2)は解答不能になるのではないでしょうか。
なのでこれは欠陥問題ではありまんか？ 単純にall or nothingなだけで欠陥ではないやろ せっかくの親切に難癖つけられるくらいなら、ノーヒントで死人量産して怒られた方がマシだな いや親切なのはいいですよ。ただ問題の形式がまずいと言いたいわけで。
以下の問いに答えよ。
(1) m≦n であって、mn+2=C[m+n,m]を満たす正の整数の組(m,n)を1つ求めよ。
(2) m≦n であって、mn+2=C[m+n,m]を満たす正の整数の組(m,n)をすべて求めよ。
だったらマズくなかったはずです。
(実際、別の題材でこの形式の出題例があったと思います。) かりに答案が
[解答]
(1) (m,n)=(3,4)が一つの例である。
(2) (1)で求めた例以外に(m,n)=(2,2)もある。よって(2)は証明不能な不適切問題である。
だった場合、(1)は誤答として0点でしょうが、
(2)はこの解答がいうように不適切問題になりませんか？ >>154
俺が採点者なら、その場合(1) ,(2)あわせて(1)の配点と同じだけ点を与える。 lim[n→∞] (Γ(1+1/n))^n がexp(-γ)になるようなのですが
証明教えてほしいです
左辺のΓはガンマ関数で、右辺のγはオイラー定数です >>156
ガンマ関数の無限積表示(Weierstrass)（例えば解析概論p.250）
Γ(s)^{-1}= e^{γs} s Π_{n≧1}[(1+s/n) e^{-s/n}]
からすぐ出ると思いますが
Γ(1+1/n)=1/n Γ(1/n)など使って >>157-158
ありがとうございます
早とちりというのは項別に極限取るのはマズいってことでしょうかね？
項別に極限取れればexp(-γ)が出そうに見えます >>159
はい、無限積のなかに２つのパラメータがいるので極限操作の交換を許すことをチェックすれば良いです
そこを抑えれば大丈夫だと思います >>160 >>161
をとった和の形にした方が和と極限の交換が見やすくなって証明ができますね
thx >>161
たしかに1/n=εと思えばディガンマ関数の値そのものですね！
ありがとうございます 素数の定義に2以上の自然数ってあるが
3や4以上のようにn以上の場合素数とするみたいなに考える分野ってなんて言いますか？ >>165
そんな分野があるとは知りませんでした
ソースは？ 【数論】または【数論 テキスト】でウェブ検索
『画像』で検索すれば、テキストとかが表示されます >>3や4以上のようにn以上の場合素数とするみたいなに考える分野
↑これを貼ってもらえればありがたいのですが 各面が合同な正三角形でできた6面体は
「合同な2つの正四面体を1つの面ではり合わせたもの」に限りますか。
また、各面が合同な正多角形でできた多面体で
正多面体でないものは上記以外にもありますか。 【お悩み相談】前戯だけで２年…年の差婚の夫と「最後までしたい」
https://otekomachi.yomiuri.co.jp/advice/20221228-OKT8T354746/
陰茎を膣に挿入する性交の「前」に行うから「前戯」というのであって、
その後に性交がなされないのなら、前戯というのは言葉としておかしくないですか。
この場合はただの 戯れ とでも言うべきかと思うのですが。 >>177
挿入に至ることを前提としたプレイで、その挿入がないことが不満だということ。
なので、妻の側は前戯と呼んで良い。
一方、夫の方は挿入ができないのでペッティングだけで済ませているので、前戯とは呼んで欲しくないかも。
したがって、君の発言は夫の側に立ったもの。 >>177 質問する板を間違ってますよ
相談者が使用している「前戯」ですが、Q&Aを確認するに、「絶頂」と混同しているのではないでしょうか。「前戯」を「絶頂」に置き換えてみてください
【お悩み相談】前戯だけで２年…年の差婚の夫と「最後までしたい」
つまり【お悩み相談】の内容は、絶頂に至らない性行為が2年…年の差婚の夫と「絶頂に至る満足できる性行為がしたい」
相談者が「絶頂(オーガズム)」する前に性行為が終わり不満感(ストレス)を生じているように読み取れます
前戯→性行為→後戯
性行為が絡まない前戯または後戯は、「戯れ」よりは「愛撫」かな >>179
>「前戯」を「絶頂」に置き換えてみてください
あほか。置き換えたら、「絶頂だけで２年…」になるぞｗ
性行為は性交とイコールではない。前戯だけでも性行為は性行為なんだよ。
要するに挿入しないから絶頂に至れないってこと。おまえら童貞か？ 全然わからないので、お願いします。
a,bを正の数とするとき、以下が成り立つことを証明せよ。
(a+b)/2 ≧ log_{10}(1+√(((10^a)-1)*(10^b)-1)) (10ᵃ-1)(10ᵇ-1)
=10ᵃ⁺ᵇ-10ᵃ-10ᵇ+1
≦10ᵃ⁺ᵇ-2×10^((a+b)/2) + 1
与；log₁₀( 1+√((10ᵃ-1)(10ᵇ-1)) )≦ (a+b)/2
holds if
log₁₀( 1+√(10ᵃ⁺ᵇ-2×10^((a+b)/2) + 1) )≦ (a+b)/2
iff
( 1+√(10ᵃ⁺ᵇ-2×10^((a+b)/2) + 1)≦ 10^( (a+b)/2 )
iff
1+√(x²-2x+1) ≦ x ( where x = 10^( (a+b)/2 ) ) 「最後までしたい」とか、よく女の方が恥ずかしくもなく言えるなあ
既婚の女はつつましさがなくていかんわ。 戦前生まれの人は言うことが違うねぇ
さすがですわ、お爺ちゃんｗ 【問題】
p>0のとき、
lim_[x→∞](x^p/e^x) = lim_[x→∞]x^(p)e^(-x) = 0
であることを次の方法により証明せよ。
(1) x^(p)e^(-x)が減少するようなxの範囲を求めよ。
(2) 自然数nについて、lim_[n→∞](n^p/e^n) = 0。したがって、lim_[x→∞](x^p/e^x) = 0。
(1)は解けました。
→ 微分して (p-x)e^(-x)x^(p-1) より、x>pで与式は減少
(2)がわかりません。
ヒントには、
a_n = n^p/e^n とおく。十分大きな n_0 を選べば、
0 < a_(n+1) < r*a_n (n ≧ n_0、0 < r < 1)
が成り立つことを導く。
とあります。
この方針で説明していただけるとありがたいです。 >>188
a_(n+1)/a_n =(1+1/n)^p/e = {(1+1/n)^n}^(p/n) /e
数列 b_n =(1+1/n)^nは単調増加でeに収束するので、b_n < e
f(x)=e^xは単調増加関数でf(0)=1,f(1)=e >e/2 なので、 十分大きい
n_0をとれば 任意のn≧n_0で e^(p/n) <e/2 とできるので、
n≧n_0 で a_(n+1)/a_n <( b_n)^(p/n)/e < e^(p/n)/e < e/2/e=1/2
これより、
a_n /a_(n-1) ×a_(n-1)/a_(n-1) ×…×a_(n_0+1)/a_n_0 = a_n/a_n0 <(1/2)^(n-n_0)
a_n < a_n_0 ×(1/2)^(n-n_0)
lim_[n→∞] (1/2)^(n-n_0) =0 また a_n >0より、
lim[n→∞]a_n =0 おっと、 訂正
× a_n /a_(n-1) ×a_(n-1)/a_(n-1) ×…×a_(n_0+1)/a_n_0 = a_n/a_n0 <(1/2)^(n-n_0)
○ a_n /a_(n-1) ×a_(n-1)/a_(n-2) ×…×a_(n_0+1)/a_n_0 = a_n/a_n0 <(1/2)^(n-n_0)
(1+1/n)^n が単調増加することも証明しないといけないのかな？ 変な問題やな
「十分大きなn_0をとれば」なんて話だから受験数学ではないんだろうけど、受験数学縛りがないならなんでこんなクソみたいな方針でとけとか意味わからん
xⁿ/e^x = (x/e^(x/n))^n = n^n (t/e^t)^n
で終わりやん >>190-191
ありがとうございます。
> f(x)=e^xは単調増加関数でf(0)=1,f(1)=e >e/2 なので、
> 十分大きいn_0をとれば 任意のn≧n_0で e^(p/n) <e/2 とできる
をもうすこし説明していただけないでしょうか？
あと、問題の「したがって、lim_[x→∞](x^p/e^x) = 0」の部分は自明なのでしょうか？
※ (1+1/n)^n が単調増加することの証明はいろんなサイトにあるので、そちらで学びます
>>192
受験数学ではなく、矢野健太郎・田代嘉宏「社会科学者のための基礎数学」の
「初等関数の微分」の章の章末課題の問題なのですが、
このテキストでは数列の極限は扱っていないので、いきなり出てくるのは違和感があります。
（対象読者も文系の（数3やってない）学生なので） >>192の補足です。
> f(x)=e^xは単調増加関数で
わかります。
> f(0)=1,f(1)=e >e/2 なので、
e/2 がどこから出てくるのかわかりません。
e > re > 1 となるようなrの一つの値が1/2ということでしょうか。
> 十分大きいn_0をとれば 任意のn≧n_0で e^(p/n) <e/2 とできる
まったくわかりません。 >>192
まぁヒントの方針に従わずに
① e^t > t²/2示しておく
② xⁿ/e^x = ( x/e^(x/n) )ⁿ = nⁿ (t/eᵗ)ⁿ
③ 0 < (t/eᵗ)ⁿ < (2t/t²)ⁿ でハサミウチ
の方が楽やけどな pより大きい最小の整数をmとして(1+1/m)^m/eをrと置く 0<r<e/e=1
m以上のnについてa[n+1]/a[n]=(1+1/n)^p/e<r
Π[n=m,∞]r=0だからΠ[n=m,∞]{a[n+1]/a[n]}=0 >>194-195
ありがとうございます。
ますますわからなくなりましたので、ひとまずは諦めます。
数列の極限についてきちんと学ばないといけないことはわかったので、
勉強しなおします。 >>193
>e/2 がどこから出てくるのかわかりません。
そうだよね。別にe/2でなくても、eより小さい数値 c ( c<e)ならなんでもいいんです。
そうすれば、c/e = r <1 なので、 a_n < a_n_0 × r^(n-n_0) となって 右辺はn→∞で
０に収束しますから。r=1/2にしておくと見た目わかりやすいかなと思っただけｗ >>193
>> 十分大きいn_0をとれば 任意のn≧n_0で e^(p/n) <e/2 とできる
>まったくわかりません。
はしょり過ぎたかな？
f(x)=e^xは単調増加関数でf(0)=1, f(1)=e となっているので、中間値の定理から
f(α)=e/2 となる α（0<α<1) が存在する。そして、x<αであれば f(x) < e/2
一方、p/nはnを大きくしていけば単調減少で0に近づいていくので、 p/n_0 <α
となるような n_0が存在して、n≧n_0 となる任意のnで p/n < αとなる。
したがって、n≧n_0ではf(p/n)=e^(n/p) <e/2 が成立する。 ヒントの方針に従わないのなら、ロビタルの定理を使うのが一番簡単かな。
ロピタルの定理から、lim x/e^x = lim 1/e^x =0 となるので、>>191さん
がやったのと類似の変形で、t=x/p とおいて、
x^p/e^x = (tp)^p /e^(tp) = p^p × ( t/e^t )^p
となるので、 u= t/e^t とすれば、lim[x→∞]x^p/e^x = lim[u→0]p^p×u^p =0 せやね
ロピタっていいなら
xⁿ/e^x = n!/e^x → 0
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