微分形式

[0001 １３２人目の素数さん 2022/11/08(火) 16:25:04.50 ID:OtN2/lIN]

微分形式について語ろう
ω=dx∧dy + dy∧dz + dz∧dx

[0002 １３２人目の素数さん 2022/11/08(火) 16:26:39.68 ID:OtN2/lIN]

ω=dx∧dy + dy∧dz + dz∧dx これは何を表しているんだ？

[0003 １３２人目の素数さん 2022/11/08(火) 16:28:26.14 ID:OtN2/lIN]

ド・ラームのコホモロジーとは？

[0004 １３２人目の素数さん 2022/11/08(火) 18:30:47.53 ID:aA/gP0cx]

>>4
p次ド・ラームコホモロジー群は、次で定義される:
H^p(X;d) = Ker(d)/ Im(d)

空間Xが閉多様体ならば、これはp次の実係数特異コホモロジー群と
同型になると言うのが、ド・ラームの定理。

[0005 １３２人目の素数さん 2022/11/08(火) 18:31:51.72 ID:aA/gP0cx]

>>4はアンカーミス
>>3

[0006 １３２人目の素数さん 2022/11/08(火) 20:43:11.11 ID:Bs+5zs2K]

>>2
2階微分形式やろ？

[0007 １３２人目の素数さん 2022/11/09(水) 15:58:03.59 ID:l77LXuBe]

二階じゃなくて二次微分形式だっけ

[0008 １３２人目の素数さん 2022/11/09(水) 20:27:03.19 ID:SMBlDbCt]

そうじゃ無くて、直観的な意味とか

[0009 １３２人目の素数さん 2022/11/09(水) 20:29:37.12 ID:SMBlDbCt]

1次微分形式はベクトル場の双対だから、幾何的な意味は分かりやすいけど、2次以上だと何なのか？
2次元平面を表しているの？

[0010 １３２人目の素数さん 2022/11/09(水) 21:47:34.37 ID:QIQCFUhQ]

1次微分形式から外積で一挙に積み上げる

[0011 １３２人目の素数さん 2022/11/09(水) 21:51:22.34 ID:jwKag0o3]

Faraday-Schouten diagram

[0012 １３２人目の素数さん 2022/11/10(木) 00:45:46.77 ID:SF6KZJ+b]

>>9
無理に直感的に理解する必要無いんじゃね？
っていうか多分人間には無理

[0013 １３２人目の素数さん 2022/11/11(金) 11:13:50.58 ID:tMgnMNHt]

>>12
いや、接平面はイメージ出来るやろw

[0014 １３２人目の素数さん 2022/11/13(日) 03:45:37.72 ID:K9XeEed2]

>>13
ベクトル場でさえ正直イメージは難しい
各点で別の空間を成すからね
ベクトル場もどきはイメージできるけど

[0015 １３２人目の素数さん 2022/11/13(日) 18:14:08.47 ID:A87PjOOL]

>>14
閉形式や完全形式のイメージはどんな感じ？

[0016 １３２人目の素数さん 2022/11/13(日) 21:16:41.54 ID:IqarIZ/R]

>>15
わからん

[0017 １３２人目の素数さん 2022/11/13(日) 22:07:18.53 ID:2+08SPR0]

ポアンカレに聞け

[0018 １３２人目の素数さん 2022/11/13(日) 23:51:12.11 ID:rpSF4G8q]

>>15
電磁気力を使って
電気メッキしてできる被覆面のイメージそのもの。

[0019 １３２人目の素数さん 2022/11/14(月) 08:21:00.47 ID:TQJ/NmcJ]

>>18
de Rham cohomologyのイメージは？

[0020 １３２人目の素数さん 2022/11/14(月) 15:52:27.42 ID:hcigipis]

>>19
ゲェジスライスみたいな同値類縞々。

[0021 １３２人目の素数さん 2022/11/14(月) 16:24:37.88 ID:F7PCj3Xy]

>>電気メッキしてできる被覆面のイメージそのもの。

>>ゲェジスライスみたいな同値類縞々。

趣味の違いが表れているというべきか

[0022 １３２人目の素数さん 2022/11/16(水) 01:18:08.28 ID:y0z96Tn9]

>>15
流体力学でいえば、3次元の閉1-形式ωはrot ω=0となる。

[0023 １３２人目の素数さん 2022/11/16(水) 23:55:03.74 ID:AqGXQw3n]

>>18,20
メッキの剥げてるのを特定のタヌキ皮視点

箔をつけるというより或る意味ラミネート加工フォリエーション葉層。

[0024 １３２人目の素数さん 2022/11/19(土) 12:55:16.54 ID:ZKzwG7WB]

>>19
Hodge理論によれば、調和形式の空間と同型になる。

[0025 １３２人目の素数さん 2022/11/19(土) 14:42:53.92 ID:X0cNy/6h]

コンパクトなら

[0026 １３２人目の素数さん 2022/11/19(土) 22:26:05.64 ID:X0cNy/6h]

>>24
orbifoldの場合は？

[0027 １３２人目の素数さん 2022/11/19(土) 22:28:34.90 ID:ZKzwG7WB]

>>25
コンパクトでなくても、完備ならL2-コホモロジーと同型になる

[0028 １３２人目の素数さん 2022/11/19(土) 22:32:08.00 ID:X0cNy/6h]

>>コンパクトでなくても、完備ならL2-コホモロジーと同型になる
それは嘘
被約L2-コホモロジーとなら同型だが

[0029 １３２人目の素数さん 2022/11/20(日) 08:43:44.94 ID:O3/gkxDr]

関数論では被約でない通常のL2コホモロジーの方が重要

[0030 １３２人目の素数さん 2022/11/20(日) 16:26:07.59 ID:tWmyFac9]

完備の場合は、L2-コホモロジーじゃなくて、L2-調和形式の空間と同型

[0031 １３２人目の素数さん 2022/11/20(日) 16:32:22.43 ID:tWmyFac9]

特異点つき空間で、L2-コホモロジーと交叉コホモロジーと同型になるという予想は解決されたのかな？
孤立特異点くらいなら証明されていたと思うが、一般の場合はどうなっているんだろう。

[0032 １３２人目の素数さん 2022/11/20(日) 17:31:45.30 ID:gdRLw20T]

>>31
未解決

[0033 １３２人目の素数さん 2022/11/20(日) 18:14:28.90 ID:TDgF+rTA]

長瀬先生が示したのはどの場合？

[0034 １３２人目の素数さん 2022/11/20(日) 18:56:43.62 ID:gdRLw20T]

Nagase, Masayoshi Remarks on the L2-cohomology of singular algebraic surfaces. J. Math. Soc. Japan 41 (1989), no. 1, 97–116.

[0035 １３２人目の素数さん 2022/11/20(日) 19:20:11.87 ID:i96LPcIL]

>>33
stratified spaceの場合

Nagase, Masayoshi, L2-cohomology and intersection homology of stratified spaces,
Duke Math. J. 50 (1983), no. 1, 329–368.

[0036 １３２人目の素数さん 2022/11/20(日) 21:31:12.22 ID:O3/gkxDr]

isolated singularityの場合が結構難しかった

[0037 １３２人目の素数さん 2022/11/20(日) 22:05:40.46 ID:tWmyFac9]

凄い結果なんだけど、日本では全然評価されてないね
幾何学賞でも良いほどなのに

[0038 １３２人目の素数さん 2022/11/20(日) 22:07:03.38 ID:tWmyFac9]

大沢先生は複素のカテゴリー（解析空間）でやっていたのかな？

[0039 １３２人目の素数さん 2022/11/20(日) 22:45:16.62 ID:O3/gkxDr]

日本ではD加群を盛り立てていたから
L2は日陰の存在だった

[0040 １３２人目の素数さん 2022/11/21(月) 05:57:43.40 ID:XuWZLDN0]

代数幾何屋は解析が嫌いだから読まないし
解析やは代数幾何がわからないので読めない

[0041 １３２人目の素数さん 2022/11/21(月) 21:09:01.71 ID:XuWZLDN0]

幾何屋は基本的に複素が嫌い

[0042 １３２人目の素数さん 2022/11/21(月) 22:33:00.19 ID:prJ3gCvB]

>>36
Cheegerのテクニカルな評価のやつか
あの様な結果は代数では出せないし、解析の醍醐味だと思うが

[0043 １３２人目の素数さん 2022/11/21(月) 22:36:28.91 ID:prJ3gCvB]

>>41
複素だと代数幾何にマウント取られるからな
K"ahler-EinsteinでようやくDonaldsonやが解決したが、
代数幾何の人達はさらに先に進んでいるからね
たたし、出来る所しかやってなくて、解析が絡むと放置する

[0044 １３２人目の素数さん 2022/11/21(月) 23:04:26.14 ID:TcadVfZe]

Intersection Homology の参考図書

A. Borel ed., Intersection Cohomology, 2nd printing, Birkhaeuser, (2008).

F. Kirwan and J. Woolf, An Introduction to Intersection Homology Theory, 2nd ed.,
Chapman and Hall/CRC, (2006).

L. G. Maxim, Intersection Homology & Perverse Sheaves: with Applications to Singularities,
GTM 281, Springer (2020).

G. Friedman, Singular Intersection Homology, New Mathematical Monographs Book 33,
Cambridge University Press, (2020).

最近、2冊の大著が出たね

[0045 １３２人目の素数さん 2022/11/21(月) 23:11:20.23 ID:prJ3gCvB]

>>41
複素（正則）のカテゴリーだと、単純に切り貼りが自由に出来ないというのもある

[0046 １３２人目の素数さん 2022/11/21(月) 23:13:27.44 ID:prJ3gCvB]

>>44
そう、しかも両方とも分厚いんだよね
こういう分厚い本が出るということは、もう分野的に終わりなのかなあ？

上にもあるように、重要な問題が未解決なんだけど

[0047 １３２人目の素数さん 2022/11/22(火) 07:16:55.21 ID:4Pri4uD7]

>>43
そのように放置されている問題のリストがあれば
ありがたいのだが

[0048 １３２人目の素数さん 2022/11/22(火) 10:45:32.93 ID:ajgi5H4e]

保型形式を微分形式として解説してる本てないよな

[0049 １３２人目の素数さん 2022/11/22(火) 10:59:05.53 ID:j0bCoDwl]

>>48

これは？

紀伊国屋数学叢書
保型形式と整数論
土井公二/三宅敏恒

[0050 １３２人目の素数さん 2022/11/22(火) 13:18:22.95 ID:ajgi5H4e]

>>49　thx
微分として出てくるけど
微分形式と微分の関係がわからない

[0051 １３２人目の素数さん 2022/11/22(火) 14:13:41.84 ID:j0bCoDwl]

アーベル微分は
複素解析的な1次微分形式

[0052 １３２人目の素数さん 2022/11/22(火) 15:46:30.85 ID:ajgi5H4e]

(m, n)-微分というのがあって
(m, 0)-微分は正則 m 次微分とよばれ
別名が第一種アーベル微分
(−1, 1)微分はベルトラミ微分とよばれるらしい
　
これらと微分形式の関係が書かれた本ありますか

[0053 １３２人目の素数さん 2022/11/22(火) 16:11:22.12 ID:j0bCoDwl]

タイヒミュラー空間論では(2,0)-微分がよく使われるし
ベルトラミ微分も基本的
タイヒミュラー空間上のWei-Petersson計量の曲率の話なんかは
微分幾何だから微分形式も必須
つまり
リーマン面の変形を反映する幾何学的構造の話として
それらの関係を論じたものならないわけではない。

[0054 １３２人目の素数さん 2022/11/22(火) 16:53:50.34 ID:ajgi5H4e]

詳しい案内どうもです
どうやら重さ2kの保型形式というのは単なる微分形式
ではなくて、k-foldの微分形式だということらしいです
このあたりがわからず混乱しておりお騒がせしました
　
あとは、kが半整数のときは何を意味するかが問題・・

[0055 １３２人目の素数さん 2022/11/22(火) 16:58:33.21 ID:j0bCoDwl]

>>54

>>kが半整数のときは何を意味するかが問題

これについては土井・三宅とか
清水先生の本をご参照ください。

[0056 １３２人目の素数さん 2022/11/22(火) 20:52:30.63 ID:gUuSkwaX]

>>48
そもそも、保型形式って微分形式なの？

[0057 １３２人目の素数さん 2022/11/22(火) 20:54:29.26 ID:gUuSkwaX]

留数は微分形式で定義すると良いというのは知っているが、
保型形式もそうやって微分形式で理解出来るということ？

[0058 １３２人目の素数さん 2022/11/22(火) 21:26:42.42 ID:4Pri4uD7]

原型が標準束の切断

[0059 １３２人目の素数さん 2022/11/22(火) 21:53:47.82 ID:Hnwu8Yk0]

>>31
Cheeger-Goresky-MacPherson予想

[0060 １３２人目の素数さん 2022/11/22(火) 22:00:11.62 ID:Hnwu8Yk0]

複素関数ろんのCauchyの積分定理も、微分形式を使えばStokesの公式から簡単に得られる

[0061 １３２人目の素数さん 2022/11/22(火) 22:00:50.61 ID:4Pri4uD7]

Cheeger, J., Goresky, M., MacPherson, R.: L 2 Cohomology and intersection
homology of singular algebraic varieties. Seminar on differential geometry,
Yau, S.T. (ed.) Princeton University Press, Princeton, NJ 1982

[0062 １３２人目の素数さん 2022/11/23(水) 03:06:35.13 ID:46qxcm8F]

>>47
複素幾何なら参考になれば

RIMS 共同研究報告集 No.1731
複素幾何学の諸問題 Open Problems in Complex Geometry, (2010)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/1731.html

RIMS 共同研究報告集 No.2211
複素幾何学の諸問題 II Open Problems in Complex Geometry II, (2021)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/2211.html

[0063 １３２人目の素数さん 2022/11/23(水) 09:33:12.27 ID:dI57As+/]

>>62
IIではIで放置された問題の解決が一行で要約されている。

[0064 １３２人目の素数さん 2022/11/23(水) 10:08:54.14 ID:4ETl72G6]

>>56
微分幾何的な意味での微分形式ではないらしく
複素解析的な微分形式で考えないとあかんらしい
保型形式の本にはあまり詳しく書かれていない
まともにやろうとすると説明がやっかいだから？

[0065 １３２人目の素数さん 2022/11/23(水) 13:11:40.20 ID:46qxcm8F]

>>63
まさかすぐに解かれるとは思わなかったんだろうね

[0066 １３２人目の素数さん 2022/11/23(水) 13:24:26.10 ID:5B6hbaci]

>>65
Iの前から数えて40年目の解決だった

[0067 １３２人目の素数さん 2022/11/23(水) 13:32:41.16 ID:5B6hbaci]

すでに有名な話だったから1行で済ませた

[0068 １３２人目の素数さん 2022/11/23(水) 15:22:10.25 ID:46qxcm8F]

>>66
どんな問題？

[0069 １３２人目の素数さん 2022/11/24(木) 00:15:23.75 ID:5GwQ/ugy]

>>64
？
微分幾何だろうが複素解析だろうが、微分形式の定義は同じ

[0070 １３２人目の素数さん 2022/11/24(木) 00:54:15.93 ID:lfS/Mwj6]

そういうのいいからｗ

[0071 １３２人目の素数さん 2022/11/24(木) 05:48:26.15 ID:vVpUrry0]

>>68
IとIIを眺めてごらん

[0072 １３２人目の素数さん 2022/11/25(金) 23:54:21.96 ID:Zd5MYZKj]

>>15
D. Bachman, A Geometric Approach to Differential Forms, 2nd ed. Birkhaeuser (2012)

J. P. Fortney, A Visual Introduction to Differential Forms and Calculus on Manifolds, Birkhaeuser, (2018)

[0073 １３２人目の素数さん 2022/11/26(土) 00:51:06.22 ID:FLe7xSIT]

微分形式の本

・多様体を勉強した後に読むと良い本

森田茂之，微分形式の幾何学，岩波現代数学の基礎 (2005)

坪井俊，幾何学III 微分形式，大学数学の入門，東京大学出版会 (2008)

Bott and Tu, 微分形式と代数トポロジー，丸善出版 (2020)

栗田稔，微分形式とその応用　―曲線・曲面から解析力学まで─，現代数学社 (2019)

フランダース， 微分形式の理論: およびその物理科学への応用，岩波書店 (1967)

[0074 １３２人目の素数さん 2022/11/26(土) 04:05:18.47 ID:kDVjv+OI]

>>69
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%BD%A2%E5%BC%8F

[0075 １３２人目の素数さん 2022/11/26(土) 07:14:58.96 ID:xE0lerTW]

Wikiで放置されているこの手の劣悪な訳を集めて
改訳と並べて出版できれば良いと思われる

[0076 １３２人目の素数さん 2022/11/26(土) 07:33:49.01 ID:kDVjv+OI]

>>75
中国辺りはとっくに日英特許文献完訳システム稼働させてそう。

[0077 １３２人目の素数さん 2022/11/26(土) 09:25:26.53 ID:xE0lerTW]

これくらいなら内閣府の肝いりで
すぐにでもできそうだが

[0078 １３２人目の素数さん 2022/11/26(土) 18:32:33.17 ID:AheRWPMC]

法律的な問題がクリアできないような気がする

[0079 １３２人目の素数さん 2022/11/26(土) 23:07:24.57 ID:hrpRgDFV]

>>64
>>74
こういう書き込みするあたり、実微分形式と複素微分形式が別物だと思っているんだな

微分形式は実でも複素でも定義は同じ
特に複素の場合は、複素構造があふから、正則と反正則に分解出来るということ

結局、線形代数の話なんだが、それを理解してないから、実微分形式と複素微分形式が全然別物と誤解してしまう

[0080 １３２人目の素数さん 2022/11/26(土) 23:28:43.09 ID:zGIYaNq4]

しつこいよ
なにがそんなに悔しいんだ？

[0081 １３２人目の素数さん 2022/11/27(日) 00:28:18.05 ID:q3+nnP9D]

>>80
間違いを素直に認める謙虚な姿勢は大事だぞ
でないと、自分の誤解を改めることが出来ず進歩が無い



69 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2022/11/24(木) 00:15:23.75 ID:5GwQ/ugy
>>64
？
微分幾何だろうが複素解析だろうが、微分形式の定義は同じ

70 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2022/11/24(木) 00:54:15.93 ID:lfS/Mwj6
そういうのいいからｗ

[0082 １３２人目の素数さん 2022/11/27(日) 13:08:07.40 ID:cd9wx0Qp]

ここでそんな下らん言い争いは辞めてくれ
どうしてもしたけりゃ、以下のスレでやってくれ

ケーラー多様体・ホッジ分解
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1612652658/

[0083 １３２人目の素数さん 2022/11/27(日) 17:46:55.58 ID:cQxn0V2n]

>>81
そういうナントカの一つ覚えみたいな
単純な話ではないからな

[0084 １３２人目の素数さん 2022/11/28(月) 02:55:28.19 ID:6piu02TN]

>>58
一般の保型形式は捻れているベクトル束の切断として表される
つまり、座標系がグローバルに取れない

ゼータ関数だって解析接続したら表示が変わる、つまり、定義域が変わるとその表記が代わるのは当然だろう。
特に、一般の場合には値が直積束ではなく捻れているベクトル束であるということ

[0085 １３２人目の素数さん 2022/11/28(月) 06:41:03.86 ID:3iytGQo2]

>>84
カギ括弧つきの「捻る」ってなんでカギ括弧付けて記載するのかがいまいちピンと来ない。

[0086 １３２人目の素数さん 2022/11/28(月) 09:17:55.12 ID:1DWIax2H]

>>85
>>84の文章のどこにカギ括弧つきの「捻る」が付いているのか？
お前の目が悪いだけだろ

[0087 １３２人目の素数さん 2022/11/28(月) 12:01:07.89 ID:hskfJ+20]

ワロタ
保型形式のスレあったほうがいいな

[0088 １３２人目の素数さん 2022/11/28(月) 15:23:07.74 ID:3iytGQo2]

>>86
ここのレスに限定した話ではなく
一般に数学や物理のPDFで「捻れ」てるにカギ括弧付けてる場合が多く見られる。

なんかこのスレでムキムキしてる誰かさんみたいな粗探しではなくこっちは疑問として提示してる。

[0089 １３２人目の素数さん 2022/12/03(土) 01:49:14.87 ID:VH2rKI2y]

H"olmanderのL2理論の成功により、微分形式の解析が一気に広まったね

[0090 １３２人目の素数さん 2022/12/03(土) 06:37:44.66 ID:qJ9san2u]

H"olmander--->Kodaira-H"ormander-

[0091 １３２人目の素数さん 2022/12/03(土) 06:48:00.51 ID:qJ9san2u]

訂正
Kodaira-H"ormander-
ー−−＞
Bochner-Kodaira-Andreotti-Vesentini-Kohn-H"ormander

[0092 １３２人目の素数さん 2022/12/03(土) 08:00:55.60 ID:AznH32Xs]

>>91
おいおい、Hodgeを抜かすのかよｗ
微分形式の解析はHodgeの調和積分論（完全な証明は小平による）によって大きく発展を遂げた

[0093 １３２人目の素数さん 2022/12/03(土) 08:04:18.84 ID:qJ9san2u]

じゃ
Riemann-Hilbert-Weyl-Hodge-Bpochner-Kodaira-・・・

[0094 １３２人目の素数さん 2022/12/03(土) 08:05:26.21 ID:qJ9san2u]

訂正
Bpochner--->Bochner

[0095 １３２人目の素数さん 2022/12/04(日) 00:33:51.75 ID:74LPh/8J]

H"ormander以降はどうなの？

[0096 １３２人目の素数さん 2022/12/04(日) 22:05:01.19 ID:N2JNDSvZ]

>>H"ormander以降はどうなの？
H"ormander(65)-Skoda(72)-Fefferman(74)-・・・

[0097 １３２人目の素数さん 2022/12/05(月) 12:34:06.91 ID:36HivrxM]

Skoda以後とFefferman以後は分かれる。

[0098 １３２人目の素数さん 2022/12/06(火) 00:15:01.85 ID:EkknZKl9]

Donaldoson理論も接続1-formに対する、微分形式の解析だね

[0099 １３２人目の素数さん 2022/12/07(水) 15:58:19.63 ID:aowQjg+r]

>>98
なるほど
微分形式で非線形解析を行っている研究って他にある？

K"ahler-Einsteinは非線形だけど、K"ahlerポテンシャルの関数についての議論に帰着されるから、
微分形式の非線形解析ではないからね

[0100 １３２人目の素数さん 2022/12/07(水) 18:25:17.95 ID:GL6vFCAQ]

>>99
Siuのglobal rigidity