面白い数学の問題おしえて～な 40問目
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面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨
前スレ
面白い問題おしえて～な 39問目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1633923732
過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/ おそらくノーヒントでは無理なやつ
とりあえずノーヒント
0<a,b<1に対して
I(a,b) = ∫[0,π/2]1/√(a^2cos^2(θ) + b^2sin^2(θ))dθ
とおく
I((a+b)/2,√(ab)) = I(a,b)
を示せ
特に
π/2 = I(a,b) agm(a,b)
を示せ 2桁以上の好きな素数を思い浮かべてください。
その素数を6で割ってください。
6で割ったあまりに5を足してください。
5を足したあと、4で割ってください。
最後に、4で割ったあまりを強く強く思い浮かべてください...
その数字は、、2ですね？
がはは >>202
スレチ連呼厨って答を出すことができないようだね。
数値解でもサクッと答えればいいのに。
>200みたいな問題は実用的で面白い。 P(n-1,4)=Σ[i=1,n-3]Σ[j=1,n-3]C[n-1,i]C[n-1-i,j]0.4^i×0.3^j×0.2^(n-1-i-j)
P(n-1)=Σ[i=1,4]P(n-1,i) >>206 訂正
×P(n-1)=Σ[i=1,4]P(n-1,i)
〇P(n)=0.4×P(n-1,1)+0.3×P(n-1,2)+0.2×P(n-1,3)+0.1×P(n-1,4) >>200
資金不足で臨床試験が中止に追いやられることもときにはある。
ジュースでなくて採血バッグの個数にした方がリアルだな。
日本人の血液型の割合はおよそA型40%,O型30%,B型20%,AB型10%とされる。
この割合で100人の献血ボランティアがいるとする。
すなわちA型40人,O型30人,B型20人,AB型10人である。
無作為に1人を選んで採血して4種類の血液がそろったら終了する。
同じ人を複数回採血することはない。
(1)99％の確率で4種類の血液をそろえるには何個の採血バッグが必要か？
(2)10個の採血バッグしかないときに4種類の血液が揃う確率はいくらか？ >>203
なんで2桁以上？
5以上でいいのでは？？ >>210
ぐう自己満で草ｗ
（画像の会話考えた香具師も、登場人物もｗ） 宮迫の焼肉屋、
あれって国と自治体の補助金目当てってマジ？
店が繁盛するかどうか、元をとるのに何年かかるかを
まるで考えていないように見えた。 >>205
答えを出すことは簡単だ
だからこそこのスレに似つかわしくない >>201 は多分ノーヒント苦しいのでヒント
まず x = tan(θ) で置換すると
I(a,b) = ∫[0,∞]1/√((x^2+a^2)(x^2+b^2))dx
よって
I((a+b)/2,√(ab))
= ∫[0,∞]1/√((x^2+(a+b)2/2)(x^2+ab))dx
= 1/2∫[-∞,∞]1/√((x^2+(a+b)2/2)(x^2+ab))dx
コレをもう一回置換積分
どう置換するかがミソですがここまで来ればこの手の積分の置換の定石
コレがピタッとI(a,b)になるのがとても心地よい 訂正
I((a+b)/2,√(ab))
= ∫[0,∞]1/√((x^2+(a+b)^2/4)(x^2+ab))dx
= 1/2∫[-∞,∞]1/√((x^2+ab+(a-b)^2/4)(x^2+ab))dx
ですね
受験数学でもでる置換積分
受験の時は「t = ××とおいて...」とそれ答えやんってヒントつくかな？
x^2+abの方が√の外に出てきます >>201
>>215
受験定番の置換t=x+√(x^2+ab)ですね
I((a+b)/2,√(ab))
= 1/2∫[-∞,∞]1/√((x^2+ab+(a-b)^2/4)(x^2+ab))dx
ここで置換 x = (t-ab/t)/2, dx = (1+ab/t^2)/2 dt をする
= 1/2∫[0,∞]1/√(((t-ab/t)^2/4+ab+(a-b)^2/4)((t-ab/t)^2/4+ab)) (1+ab/t^2)/2 dt
= ∫[0,∞]1/√(((t+ab/t)^2+(a-b)^2)t^2) dt
= ∫[0,∞]1/√((t^2+a^2)(t^2+b^2)) dt
= I(a,b)
この関係式から楕円関数論を見通したガウスは凄い >>220
素晴らしい
大正解
同じ置換2発で
J((a+b)/2,√ab) = 1/2( abI(a,b) + J(a,b))‥(❇︎)
が示せます
そこまでできたとして次は
問題
a[n],b[n]を
a[0]=a, b[0]=b
a[n+1]=(a[n]+b[n])/2,
b[n+1]=√(a[n]b[n])
で定めるとき
J( a,b )/ I( a,b )
= ( a^2 + b^2 )/2 + Σ[n:0〜∞]2^n((a[n] - b[n])/2)^2
である事を示してください
----
(❇︎)がキーですがコレだけでは無理
とりあえずノーヒントで
しかしおそらくノーヒントは苦しいでしょう >>218-219
面白そうな問題だから自力で解くまでこのスレ見ないでおこうと思ったけど全く解けないからスレ来てみたら、そういうことか
まず2n-1でもいけることに気付けないとダメだった… >>224
不正解です
すみません
19だと
1000...01で作れるので簡単でした なので改題
79の正の倍数において、各桁の和の最小値は何か？ 素朴な疑問だけど
「各位の和はいくらか？」って
パズルの要素以外で役に立つ機会ってある？
何か自然科学などの計算に応用されたりしてるんかな？
「何桁ですか？」は使う場合があるのは理解できる。
10の何乗になるかが分かるから、
その数の大きさをおおざっぱに把握できるし。 例えば、 59^59 は何桁になりますか？
は使う場面も想像できるけど
これの各位の和はいくらになりますか？
は使う場面がまったく思いつかん。
というか各位の和って何か意味ある数じゃないよね。 >>234
そうじゃない。
ただ、各位の和 に
現実への応用が存在するんかなぁと思っただけ。 >>230
これで正解なんですが、証明もお願いします >>236
すみません
想定解は発想もかなり必要ですが、かなりの力技でもあるので方針だけでおkです 自作の中学生用実力テスト作ったんだけど、解かせる人いなくて詰んだ
道ゆく中学生に全部正解したら1500円あげると言いながらビラみたいに撒いたら解いてくれるだろうか
不審者扱いされるだろうか 中学23年生のお兄さんでよければ解くよ？書いてごらん 3^n/2^n < k < (3^n-1)/(2^n-1) を満たす正整数n, k が存在しないことの証明か、反例をあげよ >>237
ヨコだけど計算機マターやろ
1が不可能は自明
10^nを79で割ったあまりは
[1,8,10,18,21,22,38,46,52,62,64,65,67]
で78出てこないので2も無理
78-10^nを79で割ったあまりは
[11,13,14,16,26,32,40,56,57,60,68,70,77]
一致してるの出てこないので3も無理 >>241
解答ありがとうございます
すみません
10^nを79で割ったあまりは
[1,8,10,18,21,22,38,46,52,62,64,65,67]
↑このパターンだけというのはどのように導いたのでしょうか
あと3が無理の結論ですが、1と2を使った数字が出ないことも否定されるのでしょうか？ >>243
すみません前半自己解決しました
単純に余りがループするだけでしたね >>243
10^m + 2×10^n ≡ 0 ( mod 79 )が解を持つなら
10^m + 10^n + 10^k ≡ 0 ( mod 79 )が解を持ち
10^m ≡ 78 - 10^n ( mod 79 )が解を持つから最後だけ否定しとけば十分でしょ >>245
あーなるほど
失礼しました
ありがとうこういう解法もあるのか
お見事でした 用意していた想定解は次の通りです
まずmod 79で考えて、
0,1,2,...,78を頂点に持つ有向グラフを考える
頂点kに対して、頂点(k+1)にコスト1の有向辺を、
頂点10*kにコスト0の有向辺をつける
これをk=0,1,...,78の全てに行う
問題は頂点1から頂点0への最短経路問題になる
あとはダイクストラ法などを使ってこのグラフの最短経路問題を解けばいい
という感じでした >>245
>10^m + 10^n + 10^k ≡ 0 ( mod 79 )が解を持ち
>10^m ≡ 78 - 10^n ( mod 79 )が解を持つから
ここがよくわからない。
10^(k+l) ≡ 1 ( mod 79 )
となるような適当な l をみつけて、
10^(m+l) ≡ 78 - 10^(n+l) ( mod 79 )
が解を持つからってこと？ >>249
> ここがよくわからない。
> 10^(k+l) ≡ 1 ( mod 79 )
> となるような適当な l をみつけて、
> 10^(m+l) ≡ 78 - 10^(n+l) ( mod 79 )
> が解を持つからってこと？
そう、l ≡ -k ( mod 78 ) を満たす正の整数でよい 7×143=1001
11×91=1001
13×77=1001
17×5882353=100000001
19×52631579=1000000001
23×4347826087=100000000001
29×3448275862069=100000000000001 >>226の出題者ですが「41」の方が良かったかもしれませんね
41の場合、実は5が最小値なのですが
その場合は100021や1002001、10003、などの可能性を全て否定しないといけないので
>>247のようにグラフ理論を用いた解法の方が幾分か楽かもしれません いわゆるゼロサム問題やな
上の方で出てたエルデシュの問題と同じ類
でもこっちは和がゼロになる最小の元数なので簡単
プログラム理論的にはdpの典型演習問題
10はZ/41Zの乗法群で位数5
A1=[1,10,18,16,37]
位数が奇数なのでこの中で和が0になるやつはない
２つの和で表される集合を探す
A2 = ns [ mod ( x+y ) 41 | x<- A1, y<-A1 ]
( ns は同じダブり消してるだけ)
= [2,6,11,12,14,17,19,20,26,28,32,33,34,36,38]
以下同文で繰り返す
let a3 = ns [ mod ( x + y ) 41 | x<-a2,y<-a1 ]
let a4 = ns [ mod ( x + y ) 41 | x<-a3,y<-a1 ]
let a5 = ns [ mod ( x + y ) 41 | x<-a4,y<-a1 ]
[2,6,11,12,14,17,19,20,26,28,32,33,34,36,38]
[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40]
[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40]
a5にゼロが出て終了
まぁ位数の最小素因子で絶対0が出るのでもちろん4まで出なかった時点で5確定やけどな f:(-1,1)→Rを
f(x) = x-x^2+x^4-x^8+...=Σ_{k=1}^∞ x^(2^k)
と定める.
極限lim(x→1-0)f(x)は存在するか？ >>256
訂正します
f:(-1,1)→Rを
f(x) = x-x^2+x^4-x^8+...=Σ_{k=0}^∞ (-1)^k x^(2^k)
と定める.
極限lim(x→1-0)f(x)は存在するか？
です >>257
g(t) = Σ[k=-∞,∞] e^(-πi(k+t)) x^(2^|k+t|)
と置くときgは周期1の関数で
g(t) = Σ[n=-∞,∞] a_n e^(2πint)
とフーリエ展開できる
係数は
a_n = ∫[0,1]Σ[k=-∞,∞] e^(-πi(k+t)) x^(2^|k+t|) e^(-2πint) dt
= ∫[-∞,∞] x^(2^|t|) e^(-πi(2n+1)t) dt
= ∫[1,∞] x^u u^(-πi(2n+1)/log2) du/(u log2) + complex conj.
= Γ(-πi(2n+1)/log2,-log x) (-log x)^(πi/log2) / log2 + complex conj.
ガンマ関数は虚軸方向に関して指数で急減少するので、g(0)の主要項はn=0で
a_0→2|Γ(-πi/log2)/log2| cos(πlog(-log x)/log2 + θ)
= 0.00274922168 * cos(πlog(-log x)/log2 + θ) as x→1-0
したがって振動する >>259
修正:係数の式のミス
a_n = ...
=...
...
× Γ(-πi(2n+1)/log2,-log x) (-log x)^(πi/log2) / log2 + complex conj.
〇 Γ(-πi(2n+1)/log2,-log x) (-log x)^(πi(2n+1)/log2) / log2 + complex conj.
補足:θはarg(Γ(-πi/log2))=1.513321789...,
f(x)=x-x^2+x^4-...
≒ 1/2 + 0.00274922168 cos(πlog(-log x)/log2 - 1.513321789)
(x→1-0) >>257
f(x)=x-f(x^2) --- (*)
x^4=1-ε,0<ε<1/2と置くとx-x^2>ε/4より
f((1-ε)^(1/4))=f(x)=x-x^2+f(x^4)>ε/4+f(1-ε)
これを繰り返して
f((1-ε)^(1/4^n))
>f(1-ε)+ε/4+ε/4^2+...+ε/4^(n+1)
=f(1-ε)+ε(1-1/4^n)/3
ε=0.1,n>2とすると
f(0.9^(1/4^n))
>f(0.9)+0.1*(1-1/4^3)/3
>0.9-0.9^2+0.9^4-0.9^8+0.9^16-0.9^32+0.9^64-0.9^128+0.1*21/64
>0.50058
したがって(*)と合わせて考えると
0.5から少なくとも0.00058の距離で振動し収束しない f((1-ε)^(1/4))=f(x)=x-x^2+f(x^4)>ε/4+f(1-ε)
これを繰り返して
f((1-ε)^(1/4^n))
>f(1-ε)+ε/4+ε/4^2+...+ε/4^(n+1)
コレ合ってる？
２回目は
f((1-ε)^(1/16))>(1-(1-ε)^(1/16))+f((1-ε)^(1/4))
ではないの？
ε変化していかない？ 最小の40項足してもf(0.9)が1/2を超えると思えないんだけど
https://ideone.com/dW9xfg おっと評価してるのはf(0.9^(1/16)) = f(0.993436601584)か
それでもダメっぽい
https://ideone.com/2qGFH4 >>259,260
おー面白い解法ありがとうございます。
tを加えて周期関数にしてフーリエの流れは全く思いつきませんでした
>>261
おみごとです こちらが想定していた解法でした
以下用意していた解答
極限が存在していると仮定する
f(x) = x-f(x^2)
より存在するならば極限値は1/2
さらにx＜1ならば、x^2＜xより、
f(x) = x-x^2+f(x^4) ＞ f(x^4)
よって任意のa＜1に対して
f(a）,f(a^(1/4)),f(a^(1/16)),...は単調増大
f(0.999) = 0.500125...
より極限値が1/2であることに矛盾 >>257 の別の面白い解答見つけたので貼ります(Hardy, Divergent Series, p77より)
g(t) = f(e^t) - Σ[n=0,∞] t^n/(n!(1+2^n))
は恒等式
g(t) + g(2t) = 0
を満たすのでg(-2^u)はuの周期関数で
x→1-0でf(x)が収束 ⇔ t→-0でg(t)が収束 ⇔ g(t)は定数関数
しかしg(t)はRe t<0で解析的で
x→-0でIm g(x+2πi/3)→∞
(∵Im ω^(2^k) = √3/2 (-1)^k, ω=e^(2πi/3))
であるのでg(t)は定数関数でない
したがってlim[x→1-0]f(x)は収束しない >>267
それいけてる？
f(e^t)
=e^t-e^(2t)+e^(4t)-e^(8t)+...
はre(t)<0のとき成立するけどre(t)=0のとき成立するかはアーベルの定理くらいしか思いつかないけどアーベルの定理なら展開
f(x)
=x-x^2+x^4-x^8+...ー①
本体がx=exp(2πi/3)まで連続に延長できないとダメなのでは？
f(e^t)-Σ[n=0,∞] t^n/(n!(1+2^n))
が定数で収束半径∞
→f(e^t)が収束半径∞
はいえてもそこから①にexp(2πi/3)を代入できる事は正当化できるの？ >本体がx=exp(2πi/3)まで連続に延長できないとダメなのでは？
x=r exp(2πi/3),0<r<1まで解析接続できる(境界は含まない)ので問題ない
fとgの級数の定義式から導かれることは
f(x)は|x|<1で解析的でg(t)はRe(t)<0で解析的
論法はg(t)が定数関数と仮定すると
一致の定理よりg(t)はRe(t)<0の全領域で定数になるはずだが
x→-0でg(x+2πi/3)は∞に発散し
（なぜならばr→1-0でf(r exp(2πi/3))→∞）
∞に発散する点の近傍では異なる値を取るので定数関数であることに矛盾 あぁ今わかった
虚部の方が+i∞に行くのね
なるほろ >>271
n = 2^1011= 2x2x2x.... >>271
1346 = 2 * 673
(1 + 2)(1 + 673) = 2022 よくよく考えたら虚部の方が∞に行くってのも変な言い方だったな
実部も-∞に行くわな
h(t)=Σ[n=0,∞] t^n/(n!(1+2^n))は明らかに整関数
なのでg(t) = f(exp(t)) - h(t)が定数関数ならf(exp(t))も整関数で特にφ(r) = f(exp( r + 2πi/3 )( r∈(-1,0))は有界な関数にならなければいけないが
φ(r) = exp(2πi/3 )(e^r + e^(2r) + e^(4r) + e^(8r)+...)
はr→-0で発散してしまう
arg(x)=0での議論がarg(x)=2π/3での議論に結びつくのが面白い
そこでは振動の話ではなく収束性の話だから初等的に処理できる
計算機もいらんし
素晴らしい あ、いや嘘書いた
やっぱり実部の挙動はよくわからんな
re φ(r) = √3/2(e^r - e^(2r) + e^(4r) - ... )
im φ(r) = 1/2(e^r + e^(2r) + e^(4r) + ... )
で相変わらず実部は交代級数になってるんやな
しかし虚部は絶対級数でr→-0で発散してしまう そうか、そしてさらにわかった
そもそも
ψ(r) = f(e^(r+πi)) ( r∈(-1,1))
でいいんだ
ψ(r) = -e^r + e^(2r) + e^(4r) + e^(8r) +...
最小の一項以外全部符号揃う
つまり
「lim[x→1-0]f(x)は収束しない、なぜならlim[x→-1+0]f(x)が発散するから」
となるわけだ
面白い >>278
それはおかしいんでないか？
f(e^z)=e^z - e^(2z) + e^(4z) - e^(8z) +...
に注意深くz=r+πiを代入すると
ψ(r) = -e^r - e^(2r) + e^(4r) - e^(8r) +...
だと思う
2πi/3でうまくいってたのは
2^k≡(-1)^k mod 3
が成り立つからim((-1)^k e^((2πi/3)2^k))>0が言える >>279
あ、ほんとだ
さすがにそこまで甘くはないのかw a>0とする
lim[x→1-0](x+x^a+x^(a^2)+x^(a^3)+...)=∞
を示せ >>274
1 + 2 + 673 + 1346 = 2022 でいいんじゃないの？ >>271
約数の総和が2022になる自然数は1346の１個しかないが、
約数の総和が24になる自然数は14,15,23の3個がある。
約数の総和が72になる自然数は30，46，51，55，71の5個がある
１から2022までの自然数で
約数の総和がその数になる自然数がもっとも多いのはいくつか？ >>272
2^1011の約数の和は4.38e304なんだが問題の意味わかってる？ 内訳は
1440 : 552 570 594 616 790 826 874 885 957 958 969 1015 1045 1077 1195 1253 1343 1349 1357 1363 1439
2016 : 660 672 852 858 910 940 992 1002 1012 1162 1222 1245 1353 1435 1495 1509 1547 1757 1837 1909 1927 >>282-285
解説ありがとうございます。
勉強になりました。
アホな書き込みをして失礼しました。
ち、ちなみに謙虚な神戸大卒TOEIC700です ブンケー ＼(^o^)／ 辺の長さが1,2,3,4,…,95の適当な並び替えであり、内角が全て等しい95角形は存在するか？ 前>>140
>>290
トリケラトプスもレッドキングも実際には見たことない。
四角形で四辺を1,2,3,4にしようとしても4が入らないし、1,2,4,3にしても3のところが√14
∴むりっぽい。 >>288
列挙した数字の約数の和が1440や2016になる
例
552の場合：1+2+3+4+6+8+12+23+24+46+69+92+138+184+276+552=1440
2016の場合：1+41+47+1927=2016 >>289
やはり、国立大学卒業の人は卒業大学を言えるんだなぁ
尿瓶おまる洗浄係はシリツ卒であることが判明している。 >>295
正解です
複素平面を使い、5角形を2π/19ずつ回転させて等差数列の重みを乗せるという解法でした ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
