面白い問題おしえて～な 39問目
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前スレ
面白い問題おしえて～な 38問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629715580/
過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/
過去スレ
1 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
4 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
5 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
6 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
7 //science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 //uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/ 過去スレ (続き)
31 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/
32 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/
33 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598637093/
34 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608679703/
35 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1614399625/
36 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1622242743/
37 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1624644393/
38 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629715580/ >>1 乙
39 = 1*2*3 + 4*5 + 6 + 7 勘で √(21 + 2√34) = 5.715059386
[前スレ．987] >>5
正解
正方形ABCDの内部に点Pがあり
AP=√17, BP=2, CP=5
である
一辺の長さを求めよ
解答例
一辺の長さをxとしOA,OB,OCをa,b,cベクトルとする
aa = 4, bb=17, cc=25,
ab = ( 4+17-x^2 )/2 = (21-x^2)/2
ac = ( 4 + 25 - x^2 )/2 = ( 29-x^2)/2
bc = ( 17 + 25 - 2x^2)/2 = 21-x^2
だからグラム行列式は
gram(a,b,c)
= det[[4,(21-x^2)/2,( 29-x^2)/2],
[ (21-x^2)/2, 17, 21-x^2],
[ ( 29-x^2)/2, 21-x^2, 25 ]]
= -x^6/2 + 21 x^4 - (305 x^2)/2
= -x^2( x^4 -42 x^2 + 305 )/2
コレが0だから
x^2 = 21 + √(441-305) = 21 + 2√34.□
3次元版ヘロンを使うでもある ∠ABP = 30° とすると
点P と辺ABの距離 １,
点Pと辺BCの距離 √3,
∴ AB = 4+√3, BC = 1 + √22,
∴ 一辺 = 5.71 (1) √(x-1/x) + √(1-1/x) = x を解け
(2) (y+1)^(1/3)-(y-1)^(1/3) = 1 を解け (1)
因数分解して
{√(x+1) + 1}・√(1-1/x) = xx(1/x),
∴ √(x+1) + 1 = xx, √(1-1/x) = 1/x,
これらより
xx-x-1 = 0,
x = (1+√5)/2 = 1.618034 = φ (黄金比) (2)
両辺を3乗すると
(y+1) - (y-1) - 3(yy-1)^(1/3){(y+1)^(1/3) - (y-1)^(1/3)} = 1^3,
2 - 3(yy-1)^(1/3) = 1,
(yy-1)^(1/3) = 1/3,
yy - 1 = 1/(3^3) = 1/27,
y = ±√(28/27) = (2/9)√21, >>9
(1)、どこかで見たことがある・・・
どこかは忘れた。 (2)の元ネタ
改題して非自明解だけ見つければ桶にしてある
https://youtu.be/LrEZgcM_dB0 >>9
(1) √(x-1/x) + √(1-1/x) = x
⇔ √(1-1/x)(√(x+1) + 1) = x
⇔ √(1-1/x) = x/((√(x+1) + 1))
⇔ √(1-1/x) = √(x+1) - 1
⇒ 1 - 1/x = x + 1 + 1 - 2√(x+1)
⇔ 2√(x+1) = x + 1 + 1/x
⇒ 4x + 4 = x^2 + 1 + 1/x^2 + 2x + 2/x + 2
⇔ x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0, x ≠ 0
⇔ (x^2 - x - 1)^2 = 0, x ≠ 0
⇔ x = (1 ± √5)/2
十分性の確認
√(x-1/x) + √(1-1/x) - x
= 1 + √(2-x) - x
= 1 + √(6 ? 2√5) / 2 - (1 ± √5)/2
= 1 + |√5 ? 1|/2 - (1 ± √5)/2
= (√5 ? 1+2)/2 - (1 ± √5)/2
= ((√5 ? √5) + (1 ? 1))/2
故に x = (1 + √5)/2 前>>3
>>6
面積に根号をつけて一辺の近似値は出た。
√〔｛√(17-1)+√3｝[1+√｛5^2-(√3)^2｝]〕=√(4+√3)(1+√22)
=√(4+√3+4√22+√66)
=5.71119534349……
A(0,x),B(0,0),P｛p,√(4-p^2)｝とし、
△ABPを点Bを中心に時計回りに90°回転させ、
P'｛√(4-p^2),p｝とすると、
∠PP'Cは、△PP'Cにおいて、
ピタゴラスの定理より(2√2)^2+(√17)^2=5^2
直角だとわかり、
四角形ABCP=四角形BP'CP
=△BP'P+△P'CP
=2^2/2+(2√2)√17/2
=2+√34
ヘロンの公式より、
△APC=√(x√2+√17+5)(-x√2+√17+5)(x√2-√17+5)(x√2+√17-5)/2^2
△ABC=△ABP+△BCP+△APC
x^2/2=xp/2+x√(4-p^2)+√｛(x√2+5)^2-(√17)^2｝｛(√17)^2-(x√2-5)^2｝
ここまでできた。 >>7
∠ABP = 30°+ δ とすると
点P と辺ABの距離 １+ (√3)δ,
点Pと辺BCの距離 (√3) - δ,
∴ AB = (4+√3)(1 - δ/4),
BC = (1+√22){1 + √(3/22)･δ},
δ = 0.011780 (rad) = 0.675°
∴ AB = BC = 5.715170
ビブンのことはビブンでせよ… 鈴木貫太郎先生の動画：
藤井聡太 三冠 竜王奪取の確率を計算する
https://www.youtube.com/watch?v=uSQ8b8BE5dI
対 豊島の成績
2017-2020 ０勝６敗
2021 C
通算成績は藤井の８勝９敗なのだが今年の成績8/11=0.7272727
で70%として計算している。
まず、この手法の妥当性を検討したい。
問題
０勝６敗の棋士が８勝３敗になったとき実力が向上したと判断してよいか？
勝利確率が１割以上上昇した場合に実力向上として実力が向上している確率を求めよ。
計算に必要な根源事象は適宜設定して計算せよ。 （脱字修正）
鈴木貫太郎先生の動画：
藤井聡太 三冠 竜王奪取の確率を計算する
https://www.youtube.com/watch?v=uSQ8b8BE5dI
対 豊島の成績
2017-2020 ０勝６敗
2021 ８勝３敗
通算成績は藤井の８勝９敗なのだが今年の成績8/11=0.7272727
で70%として計算している。
まず、この手法の妥当性を検討したい。
問題
０勝６敗の棋士が８勝３敗になったとき実力が向上したと判断してよいか？
勝利確率が１割以上上昇した場合に実力向上として実力が向上している確率を求めよ。
計算に必要な根源事象は適宜設定して計算せよ。 今年の対戦成績でなく通算成績で竜王奪取確率を計算するとこんな結果になった。
https://i.imgur.com/86bx0Ey.png
95％信頼区間は
lower upper
0.06473115 0.84496806
点推定でなく区間推定ができた方が楽しいな。
内閣支持率とかも信頼区間で発表すればいいのにと思う。 >>23
何の証拠も出せない自称医者()の尿瓶ガイジは引っ込んでろ そんな値はもちろん発表しない
何故ならば間違ってるから
無能 >>9 (2)の別解
(y+1)^(1/3)-(y-1)^(1/3) = 1
解が存在すると仮定して
X=(y+1)^(1/3), Y=(y-1)^(1/3) と置くと X - Y = 1
X^3-Y^3=(y+1)-(y-1)=2
X^3-Y^3 = (X-Y)(X^2 + XY + Y^2)
= X^2 + XY + Y^2 = X^2 + X(X-1) + (X-1)^2
= 3X^2 -3X +1 = 2 ∴ X=(3±√21)/6
X^3 = ... = 1 ± 2√21/9 = y + 1 ∴ y = ±(2√21)/9
逆に辿ると
X=(y+1)^{1/3} = (±(2√21)/9 + 1)^{1/3} = (3±√21)/6
{つまり y>0に対して正根, y<0に対して負根, 複素根は採用しない}
は 3X^2 -3X +1 = 2 を満たし Y = X-1 と置くと
(X-Y)(X^2 + XY + Y^2) = 2 即ち X^3 - Y^3 = 2
Y^3 = X^3 - 2 = y+1 - 2 = y-1
よって X - Y = (y+1)^(1/3) - (y-1)^(1/3) = 1 を満たす.
つまり
・( +(2√21)/9 + 1 )^(1/3) - ( +(2√21)/9 - 1 )^(1/3) = 1
・( -(2√21)/9 + 1 )^(1/3) - ( -(2√21)/9 - 1 )^(1/3) = (-1)*( +(2√21)/9 - 1 )^(1/3) - (-1)*( +(2√21)/9 + 1 )^(1/3) = 1
正根に限定するなら y = +(2√21)/9 のみが解である. >>20
∠ABP = 30°+ δ とすると
点P と辺ABの距離
2sin(30°+δ) = cosδ + (√3)sinδ
= 1 + (√3)δ - (1/2)δ^2,
点Pと辺BCの距離
2cos(30°+δ) = (√3)cosδ - sinδ
= √3 - δ - (√3)/2・δ^2,
∴ AB = (4+√3)(1 - δ/4) - {(35/128) + (√3)/2}δ^2,
BC = (1+√22){1 + √(3/22)･δ} + {41/(44√2) - (1/2)}δ^2,
δ = 0.011747429 (rad) = 0.6730781°
∴ AB = BC = 5.7150593444 >>26
>22の答も出せないほうが無能だと思うね。 >>29
問題になってないということに気がつかない能無し尿瓶チンパンジー 順序数ｏから実数への関数ｆで
ｏ１＜ｏ２ ⇒ ｆ（ｏ１）＜＜ｆ（ｏ２）
（＜は順序数の大小関係、＜＜は実数の大小関係を表す）
となるものを考えた場合
例えば非可算な最初の順序数ω１について
ｆ(ω１）が存在するようなｆは存在し得る？
簡単にいえば、
非可算順序数ω１の順序関係を保持した実数への埋め込みは可能？ >>33
ゴメン、検索したら答えがみつかっちゃった・・・
最小の非可算順序数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E3%81%AE%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
ω1 から実数 R への任意の連続関数 f は、ある順序数から先が定数関数になる。
即ち、あるβ∈ω1と実数c∈Rが存在して、β<α ならば f(α)=cとなる。
chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/viewer.html?pdfurl=https%3A%2F%2Fwww.math.fsu.edu%2F~bellenot%2Fclass%2Fsu08%2Ffound%2Fother%2Fomega-one.pdf&clen=95368&chunk=true >>34
http://www.math.fsu.edu/~bellenot/class/su08/found/other/omega-one.pdf 前>>19
>>6
正方形の一辺をxとすると、
P(p,√(4-p^2))とACの距離hは、
x(p+√(4-p^2))=4+2√34
△ABC=△ABP+△PBC+△APC
x^2/2=(x/2)(p+√(4-p^2))+hx√2/2
x^2=x(p+√(4-p^2))+hx√2
x^2=4+2√34+hx√2
△APC内の二つの直角三角形においてピタゴラスの定理より、
√(17-h^2)+√(5^2-h^2)=x√2
解けそうではある。 >>34
へー面白いね
ω1で添え字付けされた実数列みたいなのがあったとしてもし収束するとしたら添え字がある程度大きくなるとずっと定数なのかな？ 前>>36三回二乗したら解けました。
>>6
ピタゴラスの定理より、
AB=BCをpで表すと、
√(17-p^2)+√(4-p^2)=p+√(25-4+p^2)
√(17-p^2)-√(21+p^2)=p-√(4-p^2)
辺々二乗し、
(17-p^2)-2√(17-p^2)(21+p^2)+(21+p^2)=p^2-2p√(4-p^2)+4-p^2
38-2√(17-p^2)(21+p^2)=4-2p√(4-p^2)
17+p√(4-p^2)=√(17-p^2)(21+p^2)
辺々二乗し、
289+34p√(4-p^2)+4p^2-p^4=289+68-4p^2-p^4
34p√(4-p^2)=68-8p^2
17p√(4-p^2)=34-4p^2
辺々二乗し、
289p^2(4-p^2)=4(17-2p^2)^2
289p^4-4・289p^2+4(4p^4-68p^2+289)=0
305p^4-4・357p^2+1156=0
305p^4-1428p^2+1156=0
p^2=｛714-√(714^2-305・1156)｝/305
∴一辺の長さは、
√(17-p^2)+√(4-p^2)
=√[17-｛714-√(714^2-305・1156)｝/305]
+√[4-｛714-√(714^2-305・1156)｝/305]
=5.71505938637…… >>29
おい尿瓶ジジイ
いつになったら医者って証拠出すんだよ
そもそもお前日本語も数学も分からないならここにいる資格ないから 有理数体の加法に着目してできるアーベル群 (Q,+) の部分群からなる集合Xであって、
次を満たすものは存在するか：
X上の(半)順序を包含関係により定めた時、Xは全順序集合であり、
実数全体Rに自然な大小関係を定めて得られる全順序集合と同型になる >>36
x{p+√(4-pp)} = 4 + 2√34,
だから
xp = √34,
x√(4-pp) = 4 + √34, >>42
A=(0,1)からB=(非負整数)^Nへの射像φを
φ(a)_i = [ 2^i a ]
で定める
φの像は[ ( bi) | bi ⊂ Z ∩ [0,2^i) }である
BからC={ c | c はQの可法群の部分群 }への射像ψを
ψ(b) = { q∈Q | pi^bi q ∈ Z }
で定める、ただしpiはi番目の素数である
この時φもψも順序を保つ射像で単射であるから(0,1)とX=im(ψφ)は順序同型である >>43 二回二乗したら解けますた。
xx・pp = 34,
xx(4-pp) = (4+√34)^2 = 50 + 8√34,
辺々たす
4xx = 4(21 + 2√34),
x = √(21+2√34),
p = √{34/(21+2√34)}, >>44
ψの定義がよくわからない…
{ q∈Q | pi^bi q ∈ Z }
の i は{}の中の束縛変数だよね？
∀i ならqは整数にしかなれないし、∃iではψ(b)が群をなさないと思う 前>>39
>>6
分母を有理化して表示するなら、
一辺の長さは、
√｛17-(714-√157216)/305｝
+√｛4-(714-√157216)/305｝
=√｛(4471+√157216)/305｝
+√｛(506+√157216)/305｝
=√｛(4471√305+√157216・305｝/305
+√｛(506√305+√157216・305｝/305
=√(4471√305+√47950880)/305
+√(506√305+√47950880)/305
=5.71505938637…… 10人を正方形の教室の中に入れる
感染症対策のために、人と人との距離が最短でも1mになるように配置する必要がある
そのような配置が可能である正方形の教室の面積の最小値はいくつか？ 前>>47分母の有理化は計算間違いの可能性があるからしないほうが無難。 >>46
∀の方
例えばbi = 1 ( i : odd ) 0 ( i even ) だと
ψ(b)は
1/2,1/5,1/11,1/17,...
で生成されて
1/3,1/7,1/13,...
は含まない 前>>49
>>48
縦横6.74mぐらいかな？
ガラケーのとき保存し、
スマホに移した画像では、
十個の緑色の円だった。 >>22
第34期竜王戦の第1局は 先手の藤井三冠が 123手で勝利した。
10/08&09 セルリアンタワー能楽堂(東京)
今年の成績 ９勝３敗 (勝率 75%)
通算成績 ９勝９敗 (勝率 50%)
http://shogibu.com/fujiisota/toyoshimafujiitaisen.html >>50
あーーなるほど、それらの集合で生成される部分群ってことか…
正解です、お見事！ 正方形ABCDの内部に点Pがあり
AP=√17, BP=2, CP=5
である
一辺の長さを求めよ
***************************
(x-a)^2 + y^2 = 17
x^2 + y^2 = 4
x^2 + (y-a)^2 = 25
x^2 = 21 + 2√34 >>51
L = 0.421279544
S = (1/L)^2 = 2.37372078^2 = 5.63455036 (最小)
http://oeis.org/A281065
次の格子点
x = 0, 0.6, 1.2, 1.8, 2.4
y = 0, 0.8, 1.6, 2.4
に１つおきに10人配置する。
S = 2.4^2 = 5.76 (2.2%ほど大きい…) 1/L = 0.41954209
L = 1 + √(1/2 + √2) = 2.38355107
S = L^2 = 2.38355107^2 = 5.6813157 (0.83%ほど大きい)
配置
A(0,0) B(L,0) C(L,L) D(0,L)
E(1,0) F(L,L-1) G(L-1,L) H(0,1)
I(L-k,k) J(k,L-k)
k = {√2 -1 + √(1+2√2)}/(2√2) = 0.838222144 >>53
今年の勝率を使って乱数発生させて計算するとこんなグラフが得られた。
https://i.imgur.com/Q3zqe7X.png >>55
作図して計測、
https://i.imgur.com/oT8uRcr.png
正方形の辺の長さ
> abs(A-B)
[1] 5.715059
DPの長さは
> abs(D-P)
[1] 6.164414 またチンパンジーがパソコン叩いてキーキー喜んどるな >>59
自称医者()呼ばわりが悔しかったら卒業証書と医師免許出せ 並んだ5つの箱の一つに猫が隠れています。 箱には1から5までの番号がついています。
毎晩、猫はちょうど1つ隣の番号の箱に移動します。
毎朝、あなたは1つの箱を開けて猫を探します。
あなたはこのかくれんぼゲームに勝つことができますか？
猫を見つけるためのあなたの戦略は何ですか？
おまけ：n個の箱が並んでいる場合は？
訳者注
何日かめの時点で確率1で猫を見つける戦略があります とりあえず
2→2→3→4→4→3→2
で追い込めそう n個のときも2→2→3→4→5→…で猫箱の可能性を1つ飛びにしておいてから
再び2→3→4→5→…とすれば追い込めそう あれ、どこがミスってるんだ
最初2を2回開ける必要はないね >>68
そう、まだおしいけどまぁよしでしょう
1サイクル目は3,3,4...,n-1はいいとしてこの次の可能性はnが奇数なら2,4,...n-1に絞られてでもう一度2から開けて行ってもn-1から開けて行ってもいいけどnが偶数だと1,3,5...,n-1に絞られてるので「端からから２個目から開け始める」と言う制約から2サイクル目はn-1から下がっていかないとダメ
1から行くと１回余計にかかる >>69
偶数のときも1手無駄にすれば同じだと考えてた
無駄を減らすならそうだね 猫の時空点は 初期位置によって黒マスか白マスかに限定される.
箱を開ける側は黒マスの逃げ場を潰してから白マスの逃げ場を潰せばよい.
どこかで猫とぶつかる.
>>62
別に悔しくないけど同業者からはちゃんとレスがつくので。
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1632284527/285
麻酔1件2～3時間で8万の方が100人ワクチンの問診して1日15万より俺はストレスが少ない。
輸液路が確保されて心電図・血圧計やSpO2,やEtCO2でリアルタイムにモニターされている患者の方がアナフィラキシーが起こっても対処が容易だろうね。
ワクチン接種後に15分椅子に座らせているだけよりよっぽどリスクが少ないと思う。
内視鏡スレでも同業者からレスがつくよ。
そこで尿瓶を連呼しているのが尿瓶おまる洗浄係。業界ネタが投稿できないから完璧にスルーされているね。 素数判定で平方根以下を調べればいい、
なかなか、わからなかったな、、、 >>73
結局具体的な証拠は出せないのね
尿瓶ってバレてないところに行ってまでレス乞食してるのか
開業医スレからは逃亡した分際で
ここでも当然ゴミ扱いだね >>39
Newton法で求めた数値と合致
> (p=uniroot(f,c(0,2),tol=1e-16)$root)
[1] 1.020278
> sqrt(17-p^2)+sqrt(4-p^2)
[1] 5.715059 >>78
近所のカフェがちょうどこんな座席配置でわろた
やるなあ >>80
お前の数学もどきなんざ誰も興味ないんだよアホが >>82
大円の直径-小円の直径=10と小円の方ベキの定理適用で求まるな >>82 求まらない
δ<r として (x +δ)^2 + y^2 = r^2
f(x) = R - √{ x^2 + y^2 } = R - √{ r^2+δ^2 -2δ*x }
f(x) は定義域内で増加関数なのに
問の条件は f(0) = 18, f(r-δ) = 10 を要求している. 確かに直径の差が10なのにもっと差の縮まるところが18なのはおかしいな 皆さん正解
元ネタ
https://youtu.be/-hWatSku5v0
この動画で学んだ事
”こんな寸法にはならねぇ”
の英訳は
the dimensions in the problem are impossible.
こう言う小中高で使う数学の英語が中々覚えられん 開集合族 Aλ(λ ∈ Λ) が次を満たすとき、Λの濃度を評価せよ
∀η, θ ∈ Λ η ≠ θ → Aη ∩ Aθ = Φ
UAλ ⊆ R 空集合も開集合の一つだから
Aλ を全て空集合にしたら Λ はいくらでも大きくできちゃう
困っちゃう 高々可算無限の稠密部分集合を持つ空間の互いにdisjointな開集合族は高々可算 実数全体に離散位相いれて
開集合族{A[λ]:λ∈R}, A[λ]={λ}を考えたら非加算 >>57
正方形に限らず、縦横比が1.3以下の長方形も許せば
小さくできそう。
例) 次の格子点
x = 0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0
y = 0, (√3)/2, √3, (3√3)/2,
に１つおきに10人配置する。
S = 3√3 = 5.196152423 ・f(x) = x^2 とする。
・g(x) は
f(x) を原点(0,0) を軸にして
右側へ n度 回転させた関数である。
g(x) が 点 (10,0)を通る時、
nの値はいくらか？ >>96
作図して計測
n=
71.56505
108.435
251.5651
288.435 >>97
n=
71.56505
108.435
の2つだな。 普通に方程式を書いて
導出しろっつってんだよ、デコスケ 優等生がくだらないこと書き込むなよって言ってるぞ！黙れよお前ら！ >>96
グラフ G を右回転して 点 P =(10,0) と交差するなら, P を左回転させれば G と交差する.
よって 10sinθ = ( 10cosθ )^2 = 100 - 100sinθ^2
10sinθ^2 +sinθ -10 = 0 , |sinθ|≦1 より sinθ = (-1+√401) /20
θ1 = arcsin( (-1+√401) /20 ) = 72.035... [deg]
θ2 = 180 - θ1 = 107.964... [deg]
が解である.
y = g(x) を明示する必要があるなら
グラフ G を右回転した ( -sinθ.x +cosθ.y) = (+cosθ.x +sinθ.y )^2 を y について整理すれば
... y^2 + ... y + ... = 0
y = g(x) := { ... ±√D} / ... の二価関数を得る. (定義域は D(x)≧0 となる範囲) 訂正:
グラフ G: y = x^2 をθだけ右回転すると
( +sinθ.x +cosθ.y) = (+cosθ.x -sinθ.y )^2
になります たかし君は、川を目指しています。川は直線状で、たかし君と川の真ん中(たかし君から川に下ろした垂線上)にたかし君の苦手な犬がいて、たかし君の歩く速度は犬との距離に比例しています。
たかし君が川に出来るだけ速く行くにはどのようなルートで歩けば良いでしょう？ >>108
犬を射殺する
もしくはその場で川を作ってしまう なんでグラフ回転させるん？
(10,0)回転させたら終わりやろ >>108
犬にまっすぐ近づいて速度を増やし、ゼロ距離で捕獲したまま川に突っ込む また変分問題やろ
δ∫[-1,1]√(1+y'^2)/√x^2+y^2)dx = 0
からオイラーラグランジュのやつ 前>>52
>>82
外円の半径をR,内円の半径をrとすると、
shaded areaの面積Sは、
S=π(R^2-r^2)
=π[R^2-｛(R+10)/2｝^2]
=π(R^2-R^2/4+5R-25)
=3πR^2/4+5πR-25π
内円の中心(10-r,0)
内円の周によるy切片が負のほう(0,18)
原点(0,0)
でできる直角三角形においてピタゴラスの定理より、
r^2=18^2+(r-10)^2
0=324-20r+100
20r=424
r=106/5
R=2r-10
=212/5-10
=162/5
S=3π(162/5)^2/4+5π(162/5)-25π
=(19683+162×25-25^2)π/25
=23108π/25
=2903.83692157…… >>111
速度が犬との距離に「比例」します
したがって近づけば近づくほど遅くなります
>>112
今回の問題はオイラーラグランジュを使わなくても解けます
あと、その座標系で解く場合、非常に計算が煩雑になると思います >>114
極座標 (θ, r) での表示で .... の .... を 0 にしたら最速曲線になるのは たまたま偶然であって
川岸の位置 K に応じた 解曲線(意外と簡単)を求めて 到達時間の比較(これも簡単)をする必要があります.
積分の範囲 ( 0≦θ≦ π-arctan(K) ) が狭まるので 本当にK=0 の時が最速なのかは それほど自明ではないでしょう.
そうなると オイラーラグランジュ を使わないと難しいと思います.
>>114
犬を極とする極座標 r, θ を使う。
たかし君の軌跡を log(r) = f(θ) とすれば
(かかる時間)
= (1/v) √{(⊿r)^2 + (r⊿θ)^2}
= (k/r) √{(⊿r)^2 + (r⊿θ)^2}
= k √{(1/rr)(⊿r/⊿θ)^2 + 1} ⊿θ
= k √{(f '(θ))^2 + 1} ⊿θ
= k *{ log(r)=f(θ) のグラフの長さ} 俺なら光速を超える位置まで移動して過去に遡りまくってから川へ向かうね なんかおかしなことになった
ds^2 = ( dr^2 + r^2dθ^2 )/r^2
と言う計量入れたとき太郎くんがA地点からB地点まで移動するときの所要時間はこの計量におけるA,B間の距離のハズなんだけどt = 1/rという座標関数設定すると計量は
ds^2 = dt^2 + dθ^2
で普通のユークリッド空間の計量に一致する
太郎くんの極座標が(1,0)、川の極方程式がr = -1/cosθとすると(t,θ)平面で考えて太郎くんは(1,0), 川の方程式はt = -cosθになって太郎くんと川の最短距離はt=0,θ=π/2が(仮想的な)最近点になってしまう
つまり最小値なしになってしまう >>117
このグラフの上では、川岸は f(θ)=-log(-cosθ) です。
(r,θ)=(1,0) に最も近い点Kを求めます。
犬は居ぬ。 (log(r), θ) = (0, 0) に最も近い点
でした。 ダメや
ハマった
(x(p),y(p)) ( p ∈ [a,b] )
を経路として所用時間は
∫[a,b] √((x')^2+(y')^2)/√(x^2+y^2) dp
ですなわち所用時間は計量が
ds^2 = (dx^2+dy^2)/(x^2+y^2)
で与えられるときの道のりに等しい
はあってるよな？
それは極座標で表示して
ds^2 = ( dr ^2 + r^2dθ^2)/r^2
で座標関数t = 1/rを用いて(t,θ)座標係では
ds^2 = dt^2 + dθ^2
になる
‥
あれ？
どこおかしい？ >>120
このグラフ上で
(log(r_o), θ_o) = (0,0) と
(log(r_K), θ_K) = (0.8935334657, 1.9923814244)
を直線で結んだ経路。
問題図では 対数らせんになる。
長さ 2.1835717975
r_K = 2.44374931807 >>116
オイラーラグランジュを使わなくとも、座標系の変換により、速度一定の空間にすることができます
そうすると変分法は必要ありません
位置Kの特定も、点と曲線の距離の問題に帰着されます >>117
素晴らしい
まさしくこの変換を用います
>>120
その通りです 川(直線)を変換することにより、その曲線となります >>123
素晴らしい
まさしく その点を元の空間に引き戻した位置へ向かう対数螺旋が正解です >>117 (補足)
このグラフは
横軸に θ
縦軸に log(r)
をとったデカルト座標系のグラフです。
出発点 (0,0) 到着点K( θ_K, log(r_K))
たかし君の軌跡を log(r) = f(θ) としました。 >>124
ありがとうございます. 理解できました. >>126
ダメや
分からん
>>122はどこが間違ってる？ >>130
それですね
r=1/tの変換では速度一定空間になりません >>110
問題の設定通りにプログラムする方が面白いから。 >>108
犬がたかし君に向かってくる場合はどうなるんだろうな？ >>110
プログラムを変更するだけで正弦波の回転とかに応用できるので( ・∀・)ｲｲ!!
https://i.imgur.com/XqJy4wi.png
道具箱に保存しておこうっと。 >>134
無能チンパンジーの尿瓶には聞いてねぇんだよ >>136
a = x * cosθ
yy = ( x sinθ - (x cosθ + b) )^2 + bb ... (1)
= xx*(1-2sinθcosθ) -2bx*(sinθ - cosθ) + 2bb
= xx - 2 * { xx*sinθcosθ + bx*(sinθ - cosθ) - bb } ... (2)
2*Area = xx * sinθcosθ + b * √(yy - bb)
= xx * sinθcosθ + b * ( x*(sinθ - cosθ) - b ) ... (1)より
= (xx - yy) / 2 ... (2)より
よって Area = (xx - yy) / 4
θを経由しない解法を知りたい 図が消えてた
0以上の整数であって2進法で表した時に1が偶数個出現するもの全体からなる集合をEとおく。
lim_(n→∞) #([0,n)∩3Z∩E)/n を求めよ
(ただし、3Zは3の倍数全体からなる集合とする) >>140 納得しました
Q.1.
Lim[θ→+0] {sin(θ) / θ}
上の値を求めよ。
ただし、
A. ロピタルの定理は使えないとする。
B. 近似による sin(θ) = θ は使えないとする。 >>142
lim(n→∞) ((2n)Cn+2×Σ(1≦k≦[n/6]) (2n)C(n-6k))/4^n
みたいな感じかな >>144
【二等辺三角形】＜【扇形】＜【直角三角形】
sinθ<θ<tanθ >>146
もっとシンプルに
lim(n→∞) Σ(|k|≦[n/6]) (2n)C(n-6k)/4^n
でいいのか
結局3の倍数と1が偶数個という条件は極限的に独立とみなせて1/6に近づく (2r-4)r=(r-3)^2
2r=9
r=9/2
blue = π(9/2)^2 - π(5/2)^2 = 14π >>149
まあ結論はそういうことです、正解でいいかなこれは
0以上の整数kの2進法での各桁の和が偶数の時 a(k)=1, そうでない時 a(k)=-1 と定めて
Σ_(0≦3k<2^n) a(3k) = (1/3)Σ_(ω^3=1) Π_(m=0,n-1) (1-ω^(2^m)) = o(2^n)
を使うのが想定解でした >>88
本来、１８と１０が入れ替わった、こういう問題でなかったのだろうか？
https://i.imgur.com/iLA7GVF.png >>151
> (2r-4)r=(r-3)^2
r^2 + 2 r - 9 = 0
r = sqrt(10) - 1
blue = π(sqrt(10) - 1)^2 - π(sqrt(10) - 3)^2 = 4 (sqrt(10) - 2) π >>144
[例2]
半径１なる円において 弧2θを張る弦をABとし、
A,Bにおける接線の交点をCとする。
弧ABの長さは、弧に内接する折線の長さの上限として定義されるから、
それは弦ABよりも大で、折線ACBよりも小である。従って
0 < sinθ < θ < tanθ.
1 > (sinθ)/θ > cosθ. (1)
さて 0 < sinθ < θ から Lim[θ→0] sinθ = 0.
故に (cosθ)^2 = 1 - (sinθ)^2 を用いて Lim[θ→0] cosθ = 1.
故に (1) から標記の関係を得る。 (証終)
高木貞治「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第１章, §9, p.21-22
面積を使えば簡単だろうけど >>148 >>154
外側の円の半径をrとすると、方べきの定理で
(r-18)r = (r-10)^2,
∴ r = 50
内側の円の半径は 41, >>140
辺xの垂直二等分線と
辺yの垂直二等分線の
交点Oの周りに
90°、180°、270°回すのでござるか。 >>136
直線BCとADの交点をI,
d := DA, a := DI, h := CIとする。
BC⊥ADなので
a^2 + h^2 = y^2
(d - a)^2 + (d + h)^2 = x^2
⇒ x^2 - y^2 = 2d (d + h - a)
Area(ABCD) = a*h/2 + (d - a)*(d + h)/2
= d (d + h - a)/2
= (x^2 - y^2)/4 >>144
sin(z) := Σ{n 0..∞} (-1)^n z^(2n+1)/(2n+1)!
x ≠ 0 として、
sin(x)/x = Σ{n 0..∞} (-1)^n x^(2n)/(2n+1)!
= 1 - x^2 Σ{n 0..∞} fn(x)
(fn(x) := (-1)^n x^(2n)/(2n+3)!)
任意の実数 x (≠ 0) に対して
lim{n → ∞} |fn+1(x)/fn(x)| = 0 なので
lim{x → +0} sin(x)/x = 1 >>157
俺は三平方の定理で解いた。
(r-18)^2+(r-10)^2+r^2+(r-10)^2=(r+r-18)^2
からｒ=50 >>153
なるほど
最後の=o(2^n)はどうやって示すんでしょうか
といっても自分の解答も二項分布の6個おきの和が極限的に全体の1/6になる証明が明らかじゃないですね
同じように6乗根を使った和でまとめることは可能ですが… >>166
うーん、方針としては
|(中辺)| ≦ (2/3) Π_(m=0,n-1) |1-ω^(2^m)|
= (2/3) Π_(m=0,n-1) √3
= O(√3^n) = o(2^n)
みたいな感じでやるのが簡単かな
ωが原始三乗根（つまりx^3=1の虚数解）の時は
0以上の整数 m によらず |1-x^(2^m)| = √3 になるし、
x=1 の時は勿論 |1-x^(2^m)| = 0 になるから
絶対値とって上から抑えるのがやりやすいと思う あー、なるほど
二項分布のk個おきの和が全体の1/kに収束することも同じ方法で示せますね、ありがとうございます 前>>113
>>136
AD=BCだから、
AA'⊥ABなるA'を、
△ABC≡△A'ADとなるようにとると、
同様の図形を90°ずつ回転させてあと二つ描くことで、
すなわちArea(ABCD)四つを手裏剣のような形に包囲し、
一辺xの正方形の中に一辺yの正方形がある図になる。
4Area(ABCD)=x^2-y^2
∴Area(ABCD)=(x^2-y^2)/4 2直線と小さい円周との交点を A(右), B(上), C(左), D(下) とおく。
ABCDは円に内接するから、トレミーの定理より
AB･CD + AD･BC = AC･BD
0 = (AB･CD + AD･BC)^2 - (AC･BD)^2
= 4{(r-18)^2+(r-10)^2}{r^2+(r-10)^2} - (r+r-18)^2 {2(r-10)}^2
= 16(r-50)^2,
∴ r = 50. けど、この問題は三平方の定理で解くのが一番シンプルだな。 >>163 >>164
方べきの定理から
r(r-18)=(r-10)^2
∴r=50
が一番スマートかな >>172
>164の図だと三平方の定理を思いつくし
こういう図にすると
https://i.imgur.com/Sbsq57w.png
方べきの定理を思いつくんだろうな。 前>>169
82は>>113で解いた。
勝手に数字変えんなよ。
計算間違いの可能性はあるけど、
ピタゴラスの定理で解くとこうなる。
機械で図を描いてるから数字が紛らわしいけど、
数字は長さじゃなく座標だろう。 >>175
>82の寸法で作図してみれば誤りに気づくと思うよ。 >>88
の元ネタ動画見れば分かる通りこの問題は
「解がない問題可能性」
を常に高校生レベルの生徒に意識させる問題
そういう出題者の意図が全くわからない無能 前>>175
いじけて数字変えるより計算間違いのほうがまし。 自分が解けないと
>世界中の誰も答え出せんわ
と主張するのは底抜けのアホがいるね。 >>178
作図できるスキルがあれば設定どおりに作図できないことにすぐに気づくんだけどね。 前>>178計算訂正。
少数が出るところをあえて分数で表そうとして間違えたと思う。
>>82
外円の半径をR,内円の半径をrとすると、
shaded areaの面積Sは、
S=π(R^2-r^2)
=π[R^2-｛(R+10)/2｝^2]
=π(R^2-R^2/4+5R-25)
=3πR^2/4+5πR-25π
内円の中心(10-r,0)
内円の周によるy切片が負のほう(0,18)
原点(0,0)
でできる直角三角形においてピタゴラスの定理より、
r^2=18^2+(r-10)^2
0=324-20r+100
20r=424
r=21.2
R=2r-10
=42.4-10
=32.4
∴S=π(R^2-r^2)
=π(32.4^2-21.2^2)
=π(1049.76-449.44)
=600.32π
=1885.9609018…… 前>>181補足。
>>82
分数で正確な値を示すとS=15008π/25 前>>182
微妙な数字のレイアウトができない機械であること、
外国人の勝手に数字をいれ換えてしまう国民性、
体制のせいにするユーチューバーに賛同する日本人、現代社会を象徴する問題だと思う。 >>184
問題出してる本人が解ないと言ってる
解ないの百も承知で出してる なんかキレイな形になった。解かなくていいですけどｗ
直線状に順に４点O,A,C,Bがある。
AC:CB=AO:OB ⇔ CはOA,OBの調和平均
AC:CB=AO:OC ⇔ CはOA,OBの相乗平均
AC:CB=AO:OA ⇔ CはOA,OBの相加平均 >>180
また数学もどきでキーキー喚いてるのか
悔しかったらさっさと証拠出せ尿瓶クソジジイが みんなよくこんな難しそうなのを
簡単に解くね。
みんな旧帝大とかの人？
それとも数学科でちゃんと勉強したら
そこらの国立大でもこのくらいは解けるようになるんかな。
ち、ちなみに謙虚な神戸大卒TOEIC700です… （ '‘ω‘） ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;10も18も交点からの距離。;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;中学生の問題だよ。;;;;;;;;;;;;;
;;;円の面積の公式とピタゴラスの定理。
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;/ ∩∩∩∩￣/＼;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;/((^o`-｡-)) /「;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;/っц' υ⌒υ ／|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
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前>>184 >>82
10も18も隙間の距離だが、左には数字がないね。
実は左に 162/7 = 23.142857… のすき間があったらしい。 25頭の馬がいます。
最も速い3頭の馬を特定するために必要な最小のレース数は何ですか？
一度に5頭までのレースができますが、時計はありません。
訳者注
某社の試験問題のようです
正解をnとして「n race で十分」は割とすぐ出ます
実際そのような方法一個示すだけですから
しかし「n-1 raceでは不可能」の証明が難しくキレイな解答を知りません
元ネタでも前半だけ示してお終いでした
おそらくGoogleもそこまで求めてないかもしれませんが是非後半部分も示してみてください まず一組五頭の五組に分けて、それぞれの組でレース
次に直前に決まった各組のトップでレース
ここまでで全体の一位が決まるが、順序関係を整理すると
全体で二位か三位になり得る馬は五頭しかないのでその五頭でレースして終わり
５レースで無理なことは一位を確定しなきゃいけないことから示せるが、さて… >>192
5頭ずつに分けて5回レースをする。……☆
それぞれの1位の馬5頭でレースをする。
（1位から順にa, b, c, d, eと名付ける）
初戦でaと勝負して2位、3位だった馬、
初戦でbと勝負して2位だった馬、
bとcの5頭でレースをする。
以上の7レースで上位3等が確定する。
# 最小性の証明
各馬は少なくとも1度レースに出る必要がある。
従って少なくとも5レース必要だが5レースのみで終わる場合は☆となり上位の馬を確定できない。
6レースでの確定不可能性は……眠くなったのでまた明日。 任意の自然数Nに対して、次のような自然数nが必ず存在することを示せとする
「2^nを十進数表記したとき、0が連続してN個続く部分がある」 α:=log_10(2) は無理数であるから、
任意の ε>0 についてある正の整数 m をとれば mα-[mα]<ε を満たす。整理して
10^[mα] < 2^m < 10^[mα]･10^ε
を得るが、これはすなわち ε を小さくすればするほど、
2^m の上から二番目の桁以降に0が連続するということを意味する M=[N×log_5(10)]+1とおいて
n=4×5^(M-1)+Mとかでも良さそう >>191
図の数字が正しいとすれば、内側の円はも少し右にあって
左側に隙間 ( 162/7 ) ができるはず。
それで R = 162/5 = 32.4 になったんぢゃね？ >>198
任意の自然数Nに対して、
2^n ≡1 [mod(1+10^N)]
を満たすnが必ず存在するから、題意は示された。 前>>190
>>193
1レース5頭中上位3頭までが、
25頭中上位3頭の可能性がある。
5レースで3×5=15(頭)が残る。
第6レースは1戦目1位の奴5頭、
第7レースは1戦目2位の奴5頭、
第8レースは1戦目3位の奴5頭で行う。
第6レースの上位3頭か、
第7レースの上位2頭か、
第8レースの1位の計6頭が、
全15頭のベスト3に入る可能性がある。
第9レースで5頭中上位3頭、
第10レースを残る1頭と第9レースの上位3頭のあわせて4頭で行い、上位3頭を決める。
すでに上位確定してる場合、第9レースで決着しないか考えたいところ。 >>202
2^60 = 1152921504606846976
2^60 = 1 (mod 1001)
だけど何か意味あるの？ >>198
任意の自然数Nに対して、
2^n ≡1 [mod(5^NN)]
を満たすnが必ず存在する。よって、
2^(n+NN) ≡２^NN [mod(10^NN)]
を満たすnが必ず存在する。
ここで、自然数mの桁数をガウス記号を用いて[log(m)]で表すと、
[log(10^NN)]-[log(2^NN)]>N
よって、題意は示された。 ε = 1/{(10^N + 1)･ln(10)} とおけば
10^(-ε) = exp{-1/(10^N + 1)} > 1 - 1/(10^N + 1) = (10^N)/(10^N + 1),
10^ε < 1 + 1/(10^N),
2^m = 10^(mα) の上から二番目以降の桁に0がN個以上連続する。 >>206は細かいこというとN=1,2がダメだけど実質自分の>>200と同じやり方だね
>>207は>>199のεを見積もった感じかな >>200
おいらの定理から
2^φ(5^M) = 1 + k･5^M, k≧1
φ(5^M) = 4・5^(M-1) … おいらの関数
と取れる。
n = φ(5^M) + M に対して
2^n = 2^M + k・10^M
10^M の下M桁は0
2^M は [Mα]+1 桁の数 (α=0.30103…)
0が連続してN個上続くには
M - ([Mα]+1) ≧ N,
M(1-α) -1 > N,
M > (N+α)/(1-α) + 1,
でござるか >>157
>>170
図の数字は正しいとして、内側の円はも少し右にあったとすれば
左側にも隙間 ( 24.4 ) があるはず。
それで r = 50 になったんぢゃね？ >>192
６レースで上位３馬を確実に決めるのは不可能
あるレースの順位が上からa,b,c,d,eだった時に a→b, b→c, c→d, d→e のように矢印で結ぶことにすると、
N≦6試合を終えたタイミングで25の頂点と4N本の矢印を持つ有向グラフGができる
（Gの頂点a,bが a→x→y→…→b のように一つ以上の矢印で辿れることを a>b と表記することにする）
N=6の時点で一位が決まるためにはグラフGは連結でなければならないので、
頂点と矢印の数の関係から、Gはループを持ってはならない
もしグラフGのある３頂点x,y,zが x>z, y>z の関係にあれば、ループの制約から、
グラフGから頂点zを取り除いた際にできるxの連結成分とyの連結成分に属する
いかなる二元の大小も確定しない
これはGが一位を確定するという仮定に反するため、Gの任意の頂点xについて、
y>x が確定しているGの頂点y全体は全順序集合でなければならない…①
したがって、M(<N≦6)レース目に出場した馬hがNレースに参加する場合、
もしhがMレース目で一着でない場合、Nレース目で一着をとらなければ①に反する状況になる
ゆえに、６レース目までで確実に一位を決定するには、
既にあるレースに参加した馬のうち別のレースに参加できるのは
過去参加した全てのレースで一着だった馬のみとなる…②
このような制約のもと６レース目までレースをする際、
もしG全体で一位となる馬 h_1 が１レース目に参加した場合は
制約②から他のレースにも出場する必要があるため、
Gにおいて h_1 から矢印で結ばれる馬が複数存在することになり、二位や三位は決まらない >>212
訂正
誤：
N≦6試合を終えたタイミングで25の頂点と4N本の矢印を持つ有向グラフGができる
正：
N≦6試合を終えたタイミングで25の頂点と4N本の矢印を持つ有向グラフができる。
N=6の時の有向グラフをGとおく。 >>212
ダメでしょ
あくまで向き付けられたループがないだけで向き付けられてない反対向きに進むループは許される
実際同じような構成で7レース行う場合にはx,y,zを1〜3位の馬とすると
x→y→zとx→zでループが出来ます >>214
明示的に書いてないとわかりにくかったかな？
グラフGが連結かつ頂点数が25、矢印の数が24という仮定から
Gにループが無いという結論を導いてるだけだよ
７レース目までやる状況だと頂点数25、矢印の数が28になるから
勿論何らかのループは生じるだろうね 漸化式
a_{n+1}=((n^2+n+1)a_n + n^2+3n+1)/(na_n+1)、
a_1=1
を解け。 あれ？
でもGがツリーで
x1→>x3, x2>x3, 以下xn>x(n+1)
だとツリーかつx>z,y>zだけど1〜3位は順位は確定してないけどトップ3確定てるよ
最も早い3頭の馬を決める
というのはその3頭の順位は確定する必要ないのでは？ >>219
その可能性は見落としてたな…
でも次のように修正すれば大丈夫
【旧】
N=6の時点で一位が決まるためにはグラフGは連結でなければならないので、
【新】
N=6の時点で上位三馬が決まるためにはグラフGは連結でなければならないので、
（補足：もし連結でなければ、Gの半数以下の点しか持たないある連結成分について、
その極大元となる馬が上位三馬に入るかどうかが確定しない）
【旧】
もしグラフGのある３頂点x,y,zが
（中略）
参加できるのは過去参加した全てのレースで一着だった馬のみとなる…②
【新】
1≦M<N≦6 とする。Mレース目に参加した五馬のうち第i着の馬hがNレース目にも出場するとする。
この時、もしiが1でない場合、hがNレース目で5着だった際に全体の上位が確定しなくなる。
（∵Gはループを持たないため、hより上位の馬のうち極大元となる馬が複数存在することになり、
なおかつhより上位の馬は5頭以上存在するため、
極大元のうち上位三馬に入るかどうかが確定しない馬が存在することになる）
したがってどのレースにも、過去に一着以外とったことがない馬しか参加できない…② よくよく考えたら途中のレースはどうでもいいんだな
最終的に頂点数25、辺数24の連結グラフになるには第五レース終了時に連結成分数がちょうど5個になるしかない
各連結成分Ci(i:1〜5)は少なくとも一頭の無敗馬xiを含む
x1が最終レースに参加しないとしてx1の代わりにC1から最終レースに参加した馬が5着だとするとx1がベスト3に入る可能性も入らない可能性も残ってしまう
よってx1〜x5は全て最終レースに参加しなければならない
C1が2頭以上を含むとしてよく、C1にはx1以外には負けたことがない馬zがあるとして良い
この時に最終レースの結果でx1が優勝するとベスト3にzが入る可能性も入らない可能性も残ってしまう >>192
コレ元サイトで「6回で不可能の証明ついてないじゃん」って指摘したら「たしかにその通りで４年前にNeil Turtonという人が証明つけてた」という返事いただきました
そして「常に7回以下でなくとも良いから場合によっては6回以下で判定できるような戦略も含めて判定までの期待値の最小となる戦略は何か」という話題も出たらしくてそちらはオープンだそうな 円周上に10個の点をおく
これらの点を線で結んだとき、円は最大何個の領域に分割できるか？ >>224
n本で分けられる領域数をanとおく
a0 = 1
n本目の弦で新しい領域は最大n個できるから
an = a(n-1) + n
an = (n^2 + n + 2)/2
a10 = 56 >>227
これは不正解です
円周上に点があるだけなので、線の数はもっと多いよ
かといって答えはk=10C2として、a_k
というわけでもありません
円周上の点という拘束があるので ああ、わかった
C[10,2]個の弦全部考えるのね
そして区切りは弦のみで円周は関係ないと >>230
ああ円周も領域の区切りの一つと思ってください
例えばこの図なら4つの領域です
結局n=6なら
凸N角形の対角線の辺で切り分けた時の領域数ね。
凸N角形の内部の点の数MはM=C[N,4]
内部の点は全て分岐数4、境界の点は分岐数N-1として良いから辺数Eとすると
2E = 4M + (N-1)N
により
E= 2M +N(N-1)/2
よって面の数Sは
S= -(N+M) + E + 1
コレに円弧と辺でできるN個の領域足すから答えは
-(N+M) + E + 1 + N
= -(N+C[N,4]) + 2C[N,4] +N(N-1)/2 + 1 + N
= C[N,4] +N(N-1)/2 + 1
かな >>232
本当に素晴らしい
大正解です
まさにオイラーの多面体定理使うのがミソでした 前>>204
>>192
第1レースA,B,C,D,Eの5頭が出走し、
1着A,2着B,3着Cだった。
第2レースF,G,H,I,Jの5頭が出走し、
1着F,2着G,3着Hだった。
第3レースK,L,M,N,Oの5頭が出走し、
1着K,2着L,3着Mだった。
第4レースP,Q,R,S,Tの5頭が出走し、
1着P,2着Q,3着Rだった。
第5レースU,V,W,X,Yの5頭が出走し、
1着U,2着V,3着Wだった。
第6レースA,F,K,P,Uの5頭が出走し、
1着対決をし、1着A,2着F,3着Kだった。
第7〜12レースで点数をつける。
第1レースから第6レースまでの結果、3強の可能性があるのはA,B,C,F,G,Kの6頭だから、
1着5点、2着4点、3着3点、4着2点、5着1点、待機0点として第7レースから第12レースを行う。
着順 １ ２ ３ ４ ５ 待機
７Ｒ Ｋ Ｆ Ｃ Ａ Ｂ Ｇ
８Ｒ Ｇ Ｂ Ａ Ｆ Ｋ Ｃ
９Ｒ Ｂ Ｆ Ａ Ｃ Ｇ Ｋ
10Ｒ Ｃ Ｋ Ｇ Ｂ Ｆ Ａ
11Ｒ Ａ Ｆ Ｋ Ｇ Ｂ Ｃ
12Ｒ Ｋ Ａ Ｂ Ｃ Ｇ Ｆ
点数を集計すると、
Ａ 2+3+3+0+5+4=17
Ｂ 1+4+5+2+0+3=15
Ｃ 3+0+2+5+1+4=13
Ｆ 4+2+4+1+4+0=15
Ｇ 0+5+1+3+2+1=12
Ｋ 5+1+0+4+3+5=18
1位Ｋ 18点
2位Ａ 17点
同点3位Ｂ，Ｆ 15点
第13レースをＢ，Ｆを含む5頭で行い、
Ｂ，Ｆの勝敗を決め、
どっちが3強入りするかを決める。
∴13レース すいません、教えてください。
ゲームAI A,Bがあり、シングルスレッドで対戦するとAの勝率は５割である。
ただし、Aが勝つ試合は試合時間が1分で、Bが勝つ試合は試合時間が10分である。
10並列で試合を行った場合、時刻tにおけるAの勝率をp(t)とおくと
lim t→∞ p(t)はいくつになるか？ AI AとBを10個用意して同時に何試合も試合させるんです。 N角形に一つの頂点Xを追加する。
頂点X と k個先の頂点を結ぶ対角線Lの両側には
(k-1)個、(N-k)個の頂点がある。
それらを結ぶ (k-1)(N-k) 本の対角線がLと交差する。
L は (k-1)(N-k) + 1 の線分と交差するから
Lによって 領域の数が (k-1)(N-k) + 1 だけ増える。
S(N+1) - S(N) = Σ[k=1,N] {(k-1)(N-k) + 1}
= C[N,3] + N,
∴ S(N) = C[N,4] + C[N,2] + 1, どういえば伝わるんだろ？難しい。
問題文修正してみました。
ゲームAI A,Bがあり,A対Bで対戦したときのAの勝率は5割である。
ただしAが勝つ試合は試合時間に1分かかり、Bが勝つ試合は試合時間があ10分かかる。
AとBを10組用意し、時刻0から連続で無限回試合を行う。
時刻tにおける[結果が出ている試合のうちAの勝った数]/[結果が出ている試合数]をp(t)とおく。
lim [t→∞] p(t)の期待値はいくつか？ >>238
ﾁｮﾄ変だった。ｽﾏｿ。
対角線L は (k-1)(N-k) + 1 個の線分に分割されるから ９分目まではAが負けることはないので最初のうちはAの勝率が高く出るはずなんです。
十分長い時間をかければ勝率は5割に落ち着くのかそれともずれるのか。 どの試合も確率1/2で一分かけてAが勝ち、確率1/2で十分かけてBが勝つってこと？
それならp(t)はt→∞で普通に1/2に収束すると思うけど
かかった時間を無視すればコイントスを何回もやるのと同じことだから 同じになりますか。
私の杞憂だったようですね。
ありがとうございます。 これ1〜9分目はAの勝率1だけど10分目で既に1/2になるよな
で11分目でまた抜かして20分目に1/2に戻る
21分目で抜かして30分目に1/2に戻る
この抜かしの度合いがちょっとずつ下がってきて最終的に均等になる
でいいのかな Rを実数全体からなる集合とし、SをRの有限部分集合とする
全単射f:R＼S→Rをつくれ
※R＼SはRからSを除いた集合です RとR\{0}の全単射を作れば十分だけど、それは自然数をズラせばいい aを整数ではない実数とするとき以下の等式を示せ
∫[-∞,∞] sin(√(x^2-a^2))/√(x^2-a^2) dx
= Σ[n=-∞,∞] sin(√(n^2-a^2))/√(n^2-a^2) >235に刺激されてこんな問題を考えてみた。
AI1号とAI2号の通算対戦成績はAI1号の10勝20敗である。
AI1号が勝った10戦の対戦時間（分）は
0.55 0.44 0.42 1.31 8.68 3.69 1.62 2.87 0.44 4.17
AI２号が勝った20戦の対戦時間（分）は
1.84 1.46 1.4 4.36 28.95 12.3 5.4 9.57 1.47 13.91
7.62 12.38 44.24 10.54 10.35 18.76 6.55 3.37 5.88 23.64
である。
新たにAI1号とAI2号を対戦させる。
対戦開始後10分経過したときにAI2号が勝っている確率を求めよ。
計算に必要な前提は適宜設定してそのモデルでの確率を計算すればよい。
例：対戦時間は正規分布に従っている。 >>252
当然虚数になりますが、分母分子でキャンセルされて実数になります。
これは以下のマクローリン展開からも明らか
sin(√x)/√x = 1-x/3!+x^2/5!-...
>>251
手持ちの想定解答は2種類あります。
一つ目はシャノンの標本化定理を使う方法で
もう一つはAbel-Planaの和公式の類推を証明す露方法です。 >>253
いや、高校生的に√(-a) = (√a)iなんか大学以上の数学だとあんまり出てこないからかえって要確認でしょ？ >>252
∫[-|a|, |a|] sinh(√(aa-xx))/√(aa-xx) dx >>255
わかってるよ、√(-a)=√ai ( for a > 0 )と定義するならそう解釈できるのなんて
問題はそれでいいのかちゃんと描いてくれって言ってるんだよ
√x = exp(1/2 log(x)) のlog(-x)を高校生的にlog(-1) = π/2iにとっていいのかどうかの確認
√zと見て「あれ？ここ今回はどうすんの？」と思えないようでは大学以上の教科書読めてない
「√(-ai) = √a iに決まってる、高校の時習ったでしょ」なんていう方がどうかしてる 0^0は
x^0=1
0^x=0
のどちらが辻褄が合うかというだけの話だろ？
定義をどうするかだけじゃないのか。 >>258
そうなんだけど
この問題の趣旨とそれる。
もっと詳しく証明に挑戦をしてみてさ、
最終的には…
命題A 「0^0 は 1ではない」
命題B 「0^0 は 1である」
この2つのどちらも証明不可能 であるって
説明してほしかった。 >>253
abel-plana使えば
thm
φmfが超越整関数で偶関数、xについて局所一様に一様にlim[|y|→∞]f(x+iy) = 0であるとき
Σ[n=-∞,∞]f(n) = ∫[-∞,∞]f(x)dx
(∵)
abel-planaより任意のNに対して
Σ[n=-N,N]f(n)
= -f(0) + 2Σ[n=0,∞]f(n)
= -f(0) + 2(1/2f(0) + ∫[0,N]f(x)dx
+ ∫[0,N](f(iy)-f(-iy))/(exp(2πy)-1)dy
- ∫[0,∞](f(N+iy)-f(N-iy))/(exp(2πy)-1)dy )
= 2∫[0,N]f(x)dx
= ∫[-N,N]f(x)dx
であるからN→∞をとって主張は成立する
□
が得られる
本問はf(z) = sinc(√x^2-a^2)(ただしsinc(z)が偶関数である超越整関数であることから自然に√はキャンセンされると考える)としてコレが超越整関数である偶関数であることは自明
以下ではim log(z)∈(-π,π]にとるとする
|1 - (a/(x+iy))^2|<2,
|y|>|x|
であるyにおいて
|√( ( x + iy )^2-a^2 )|
=|√(1 - (a/(x+iy))^2)| |x+iy|
<2√2|y|
により
|im√((x+iy)^2-a^2)| < 2√2y
であるから
|sin√((x+iy)^2-a^2)|
≦2exp( im√((x+iy)^2-a^2))
≦2exp( 2√2y )
により定理が使える (1) f(f(x))=-xとなる実連続関数f:R→Rは存在しないことを示せ
(2) f(f(x))=-xとなる実関数f:R→Rを一つ挙げよ >>253, >>262
abel-plana みたいな定理ってどういう教科書を読んで知りましたか？ >>264
オレはオイラーマクローリンのwikiのページの関連項目から知った
すげーと感動 >>262
thmの条件が
× lim[|y|→∞]f(x+iy) = 0
〇 lim[x→∞]|∫[0,∞] im f(x+iy)/(exp(2πy)-1)dy| = 0
などでないとダメですよね？
lim[|y|→∞]f(x+iy) = 0を満たす超越整関数は
実軸方向で必ず発散する、あるいは恒等的に0ですよね？
もう少しよく考えてみてください。 >>266 の続き
thmの条件以外は
>>262
の解答で正解です。
何かのタイポでしょうか？ >>263
(1)ε>0を任意にとる
∪[δ>0]f([-δ,δ]) = R
によりあるδ>0をとれば
-ε,ε∈f([-δ,δ])
である
fは連続だからf([-δ,δ])は連結である
よって[-ε,ε]⊂f([-δ,δ])である
さらにfは全単射であるから
f((-∞,-δ)∪(δ,∞)) ⊂ (-∞,-ε)∪(ε,∞)
である
よって埋め込みφ:R→S^1=R/Zをφ(x)=atan(x)/πで定めてRをS^1の部分空間と見なす時、f:R→RはS^1→S^1に連続に拡張される
この時f^2は仮定によりH^1(S^1)≡Zの-1倍写像を誘導するがコレは平方根を持てないから矛盾 >>286
そうそう
abel-planaの条件はlimf(x+iy)/(exp^(2πy) = 0なのでo(|2πy|)で良い
示したのは|f(x+yi)| = O(exp(2√2y))なので桶 >>260
うーん、良い質問ですねぇ (池上彰 っぽく) >>263
(2)
非交和(0,∞) = A∪Bと全単射g:A→Bを用意しておく
(eg. A = ∪[n∈N](2n-2,2n-1], B = ∪[n∈N](2n-1,2n]でgは(2n-2,2n-1]と(2n-1,2n]を交換する)
f(x)を
f(x) = 0 ( x = 0 )
-x ( x∈A,-x∈B )
g^(-2)(x) ( x∈B )
-g(-x) (-x∈A)
で定めれば良い >>263
g(x)=f(f(x))とおくと
f(g(x))=f(f(f(x)))=g(f(x))
仮定よりg(x)=-xだから
f(-x)=-f(x)
よってf(x)は奇函数である
また(1)より連続ではない
これらを前提にいろいろ考えると・・・
こんなのがつくれました
https://imgur.com/HfPN8nz.jpg >>268
おおお素晴らしい
こういう解法もあるのか回転数に対応させるのはうまいですね
用意していた解法はこんな感じでした
f(f(-・))=idより、f(-・)はfの逆写像
したがってfは全単射
RからRへの連続全単射は単調増加、減少のみ
そのどちらの場合でもf⚪︎fは単調増加
これはf(f(x))=-xと矛盾 >>271
素晴らしい大正解
>>272
お見事
これがこちらで用意していた想定解でした >>249
ヒストグラム書くとわかるけど
対戦時間は正規分布に従っていない。 次の性質をもつ関数 y＝f(x) が存在すれば例をあげ，存在しなければそれを示せ．
1．ある閉区間 [a，b] で連続
2．x∈[a，b] において x が有理数のとき，f(x) は無理数で，x が無理数のとき，f(x) は有理数．
# もちろん，大学以降の知識を使えば自明ですが，高校範囲で可能な限り厳密にお願いします．
# 誰でも考え付く問題なので，大学入試問題として既出であれば教えて下さい． >>216
与式より
(n+1)a_{n+1} + 1 = {(n^3+2n^2+3n+1)a_n + (n^2+3n+1)}/(n･a_n + 1),
a_1 = 1, a_2 = 4, a_3 = 13/3, …
ここで
b_n = Π[k=1,n] (k･a_k + 1)
とおくと
n･a_n + 1 = b_n / b_{n-1},
これは線形漸化式
n･b_{n+1} = (n^3+2n^2+3n+1)b(n) + (n^2+n-1)(n+1)^2･b(n-1),
b_1 = 2, b_2 = 18, b_3 = 252, …
になるから、少しは考え易いかな。 >>276
中間値の定理は高校数学の範囲だけどどんな開区間も有理数を持つはアルキメデスの原理とか使わないといけないからギリギリアウトかもしれないけどそこまで言い出すと何もできないので使わせてもらうことにして
もしそんなf(x)があるならmを(f(b)-f(a))/(b-a)と異なる有理数にとる時g(x)=f(x)-mxは有理数値を取れない
さらにg(a)≠g(a)であるから中間値の定理よりg(a)とg(b)の間にある有理数rをとってくるとc∈[a,b]でg(c) = rとならねばいけないから矛盾 以前に出題されて解がなかった問題の系
【問】xy平面上の円で、その周がちょうど7つの格子点(座標のx成分とy成分が共に整数である点)を通るもののうち、その半径がもっとも小さいものをひとつ求めよ。 >>263
自然数の全体Nを ペア(2つ組)の直和に分解する。
ペア{m,n} に対して Rの区間の4つ組
(m-1,m] (n-1,n] [-m,-m+1) [-n,-n+1)
を対応する。
R-{0} はそれらの直和に分解される。
区間の間に 一対一の対応(全単射)を設定する。
例)
N = {1,2} + {3,4} + {5,6} + … >>272 >>286
thx
でもコレ探索したソースはないん？ 前>>234
>>279
r=1/sin(π/14)だと(0,r)がだめか。
rとrsin(π/14)とrcos(π/14)が整数で、
r=4とか5とかなら面白いかも。 >>286
格子点数 = 7,
中心座標 = (475/22, 225/22)
半径 = (25√442)/22,
(X, Y) = (0, 0) (-2, 14) (-1, 18) (35, 30) (45, 15) (40, -5) (16, -13) >>245
Sは有限集合だから
#S = m, (mは自然数)
S = {s_1, s_2, …, s_m}
とおける。また、アルキメデスの原理から
max(S) ≦ n,
となる自然数nがある。
f(x) = x (x<n+1 または x≠自然数)
= s_(x-n) (x = n+1, n+2, …, n+m)
= x-m (x = n+m+1, n+m+2, …) >>290
S = Q(有理数体) のときはどうでしょう？
Q は可算集合だから
Q = {q_1, q_2, …, q_m, …}
とおける。
補集合R＼Q (無理数の集合) は空でないから 元 a をとる。
f(x) = x (xがaの自然数倍でないとき)
= q_m (x = (2m-1)aのとき)
= x/2, (x が 2aの自然数倍のとき)
Sが任意の可算集合のときも、補集合R＼Sから
可算無限列を取り出せば可能かな～ 前>>288
>>279
あそだ、円の中心は格子点でも原点でもなくていいって最初に思たん忘れてた。 >>278
m < M に対して
d = [ 1/(M-m) ] + 1,
n = [ dm ] + 1,
とおくと
d > 1/(M-m),
dm < n ≦ dm + 1 < dM,
∴ m < n/d < M,
でもいいか >>278
中間値の定理は実数の連続性からきてるし実数の連続性の公理はアルキメデスの原理を含んでるんだからそこまで考える必要はないのでは？ >>295
普通ならそこまでうるさく考えないけど出題者の意向があるからな
高校数学の範囲を超えている可能性があるのはそこくらいだし
それに実際アルキメデスの原理が成立しない実閉体はあるからな
そこでは任意の開区間がかからずしも有理数を含むとは限らない
すなわち任意の開区間が有理数を含むという性質は実数の他の公理から独立な公理
ここに「アレ？大丈夫か？」と思えないようでは少なくとも数学科卒は名乗れない 100人の囚人の名前を1人ずつ1〜100の番号が書かれた100個の木箱に入れて，部屋のテーブルの上に並べる．
囚人は一人ずつ部屋に入り，最大で50個の箱を見ることができるが，その後は部屋を出なければならず，他の囚人とのコミュニケーションも許されない．
もし全ての囚人が自分の名前が書かれた箱を探し出せれば全員が釈放となります
囚人たちは事前に戦略を練るチャンスが与えられます
囚人が勝つ確率が50%を超える戦略を考えて下さい 1/2を越すのは無理じゃない？
少なくとも最初の人が自分の札を見つけられる確率は最大でも50%なんだし 探し出すってのは箱の中身を見たものに限るの？
たとえば50箱の中に自分の名前がなかったけど残りから適当に1箱選んで「これです」って言ってまぐれ当たりするのはセーフ？ 全員が箱を見た後で各自が自分の名前が入った箱は何番か当てる感じに読み取れるな
この前提で考えてみたら？俺はさっぱりわからんが 調べたら30%程度にしかならんみたい
50%はムリ 中間値の定理からアルキメデスの原理導けるんじゃなかったっけ？ >>302
peter winklerのパズル本ですかね？
あれと少し設定が違います あっほんとだ
検索してヒットしたやつは囚人は名前でなく自分の番号を探すという設定だった ちゃんと答えあるの？じゃあ少なくとも一人目が1/2より真に大きい確率で
自分の札を見つけられるってこと？そんなことなくないか？何か見落としてる？ >>298
って設定変えるの忘れてた
× もし全ての囚人が自分の名前が書かれた箱を探し出せれば全員が釈放となります
◯ もし33人の囚人が自分の名前が書かれた箱を探し出せれば全員が釈放となります
元の設定でもいいけどピーターの本有名だから変えてみました >>307
個人プレーで一人一人が自分の名前見つけられる確率は1/2のままです
でも「全体の××%が見つけられれば桶」のルールに変えるとうまい戦略があるんですよ ちなみにピーターの元ネタだと
全員が助かる確率を30%以上にしてください
です
まぁ戦略自体は全く同じなのでピーターの元ネタ知ってる人はそのままコピペすれば正解しますw >>309
なるほどね、でも >>308 の改変だと
全員固定で1～33までの箱を調べればちょうど33人が自分の札を見つけることになって
確率1で成功して助かるけどこれでいいの？ >>311
アレ？
そうか
どうやってもダメか
コレ元ネタのピーターの問題もちょっとインチキくさいところがあってちゃんとした戦略の問題にしたかったんだけどダメやな
ちょっと>>298は練り直します そうか、ピーターの本読み間違ってた
The prisoners have a chance to plot their strategy in advance, and they are going to need it, because unless every single prisoner finds his own name all will subsequently be excuted.
‥‥全ての囚人が自分の名前を見つけられない限り、彼らは全員処刑されてしまうからです
このゲーム、ルールとして全員正解しないと全員処刑されるってルールで、一人一人の正解率を上げなくてもいいから全員が正解する確率を30%以上にあげる戦略を考えなさいだったのね
元々読み間違ってた
これなら原文のままでよかった >>303
だよね
高木の解析概論はこの辺りが怪しいけど 前>>296
>>298
部屋を出るとき、あけてない箱一個📦
こっそり持ちだせ。
うちは百人いる。
五十箱あけて名前が出ない確率は1/2
持ちだした箱から名前が出る確率は1/50
(1/2)(1/50)×100=1
かならず名前は出る。 >>294
は、開区間(m,M)が有理数n/dを含むこと を示す。
アルキメデスの原理は (陽に) 使っていない。 >>314
第3章 積分法、§28、p.87-88 にある。
〔Archimedesの原則〕
εとaとが与えられた正数ならば (εがいかに小さく、aがいかに大きくても)
nε>a になるような自然数nが存在する。
(略証)
Archimedesの原則は実数の連続性(§2)の中に含まれている。
もしもかりにArchimedesの原則が成り立たないとするならば、
すべての自然数nに関して n≦a/ε.
すなわち、すべての自然数の集合が有界、
従って その集合に上限sがあり (定理2．Weierstrass)、
従って s-1 < n ≦ s なる或る自然数nがあり、
従って s < n+1.
(Peanoの公理より) n+1も自然数だから、これは不合理である。
故にArchimedesの原理を承認せざるを得ない！ (終) 前>>296
>>298
囚人たちは事前に与えられた作戦を練るチャンスに、自分の額に名前を書いた。一人目の囚人は五十箱あけるまでに50%の確率で自分の名前が入った箱をあけるが、五十箱までに自分の名前があってもなくても次の囚人といれ替わるとき、その囚人の名前があったかなかったかを首を縦に振るか横に振るかで伝えることができる。つまり二人目以降は100%どっちの五十箱に自分の名前があるかわかる。
囚人百人が百人とも自分の名前が入った箱をあけられる確率は、
0.5×1^99=0.5
∴50%は50%以上である。 江戸時代にユークリッドの原論が漢訳を通じて日本に入ってきた時は
「こんな当たり前のことをいちいち確認してエウクリドって奴ぁ阿呆だなあ」などと言われていたらしいが、
こんな自明に思えそうなことまで細かく問うていた古代ギリシア人の叡智よ >>320
何をどう言ったってアルキメデスの原理は満たさないか他の順序体の性質は全部持ってる体が存在してるんだからどうしようもない f(f(z))=z^2となる複素関数f:C→Cは存在しないことを示せ >>324
複素数値関数ならなんでもいいん？
連続とか制限なし？ >>325
連続とかの制限は何もありません
単なる写像です
それだけで非存在性を示せます >>327
log(z)は多価関数なので
全てのz∈Cに対してff(z)=z^2とはなりません >>324
複素数zについて
f(z)^2=f(f(f(z)))=f(z^2) …①
が成り立つ。
①で z=0,1 の時
f(z)^2 = f(z^2) = f(z) より f(z)=0,1.
①で z=-1 とすると
f(-1)^2 = f(1) = 0,1
となるので、f(-1) は 0,1,-1 のいずれかである。
しかし f(f(-1)) = (-1)^2 = 1 より f(-1)=-1 ではあり得ないので、f(-1)=0,1.
①で z=i として
f(i)^2 = f(-1) = 0,1
を得る。ゆえに f(i)=0,1,-1 となるが、
0,1,-1 のいずれも f による像は 0,1 のどちらかであるから、
f(f(i)) = i^2 が満たされることはない。 >>328
ああ、失礼。
f(z) = exp(√2Log(z))としても
確かにf(f(z)) = z^2 exp(2√2nπi)ですね。 >>329
素晴らしい
あっという間ですね
大正解 >>330
そうですね
Logに限らず、どのような枝を取ってきても結局はff(z)=z^2とはなりません f(f(z)) = z^2 の不動点は {0,1} だけ。
∴ f(z) の不動点も {0,1} に限られる。
∴ f(-1) ≠ -1. d {x^5+1} /d(x^2) を解け。
注意: (x^2) について微分ね。
これの解き方は何通りかあるけど
解き方を見れば数学のセンスが分かる。 >>333
そのことだけからすぐに何かわかる？
>>334
|z|^2≠z^2
>>335
x^2=tとおくかd(x^2)=2xdxと思って5/2x^3 >>336
前者のやり方 x^2 = t, x = ±√t で行くのが正道。
後者のやり方は…邪道だろ。
答えは同じだが、ありなのか？
演算子 である d/d(x^2) について
d(x^2) をまるで1つの 分母や分子の値のように
扱っているけど。
演算子
{ +, -, *, ÷ , Σ、∫ ,d/dx, d/d(x^2)… } 「微分」の定義を知らないのか？
「微分商」じゃないぞ Lim [h-->0] {f(x+h) - f(x)}/h
または
Lim [h-->0+] {f(x+h)-f(x)}/h
Lim [h-->0-] {f(x-h)-f(x)}/h
または
Lim [2h-->0] {f(x+h) - f(x-h)}/2h 計算するだけなら定義に戻らずとも九九みたいに簡便法を用いるわけだけどなんか地雷踏んだかな ・d/dx は微分操作の演算子のこと
・df(x)/dx は f(x) をxについて微分操作すること
↑ これを知っていればどうしても疑問が湧くだろ。
d(x^2)/dx = 2x
→ d(x^2) = 2x dx
なぜ 「両辺に dx をかける」 という操作が合法なのか？
おかしいだろ！？ df(x)/dx は少数ではないんです。
df(x) は分子にあらず、 dx は分母にあらず。
ではなぜ 両辺に dx をかけるなどという
へんてこな操作が合法とされるのか？ 哲学者のバークリーなぞはがdx≠0として途中まで計算しておいて最後にdx=0としてしまうなどけしからんと言ってニュートンに激昂してましたな ほらな、
お前らは本質を理解しないまま
ただ機械的に操作をしているだけなんだよ！
小学生が x^n の微分の値だけを求めるのと同じ！ dxはコベクトルって奴だった記憶
まあ色んな文脈で色々に捉えられてるよね >>344
実際は二階以上の無限小
d^2
D・D
をゼロと同等と変換してるんだけどね。 >>347-350
Δxの特殊な場合だね。
Lim [x-->0] Δx = dx
これは成立する。
>>344
ニュートンだせぇwww
バークリーって奴は
なかなかやるじゃん、バカでは無さそうだな。 ・T = f(x + Δx) - f(x) / Δx
↑ これは xについてΔxだけ変化させたときの
f(x) の「増減を示す変化量 T」
・S = df(x)/dx
↑ これは 「傾き」
変化量 と 傾きは change と slope くらい違う。
英語でいうところの。 Xを非可算無限集合とします
f:X→(0,∞)に対して、
非可算無限個の和Σ_{x∈X} f(x)を
sup{Σ_{x∈Λ} f(x) | Λ⊂X、Λは可算集合}
で定義します
このとき、非可算無限個の和は必ず発散することを示してください fの像が非有界なら発散列をΛとすればよいので像は有界(≦K)としてよい
X=∪[n∈N] f^-1([1/n,K])だから、あるnが存在して[1/n,K]の逆像は非可算
この中からΛを選ぶと和は発散する >>354
素晴らしい
瞬殺でしたか 大正解です
でも有界のKは必要ないんじゃないかな？
あるnに対してf^(-1)([1/n,∞))が非可算が言えるので 事実として知ってても証明は見たこと無かったから良いもの見た そう考えると非可算集合に一種の和みたいな実数値割り当てる積分って神だな… ルベ積の
∫_X |f| dμ=0⇒f=0 a.e.
の証明と似てるな a_i (i=1, 2, …, m)は{0,1/n,2/n,…..,n/n}から選ぶものとする。
a_1+a_2+…+a_m=1
を満足する組(a_1, a_2, …, a_m)はいくつあるか？ 重複の制約がないなら0入ってるんだから∞個
制約あるならなんか難しい名前ついてる組み合わせの数使わないと無理っぽい 言い換えれば
x_i (i=1, 2, …, m) は {1, 2, …, n, n+1} から選ぶものとする。
x_1 + x_2 + … + x_m = n+m,
を満足する自然数の組(x_1, x_2, …, x_m) はいくつあるか？
(略解)
n+m 個の玉を一列に並べ、その間 (n+m-1 カ所) に m-1 枚の仕切りを入れる。
C[n+m-1,m-1] とおり。
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984) p.58 安価なジェネリックの抗うつ薬、コロナ重症化リスクを低減させる可能性 研究
試験では有志７４１人を対象に、１００ミリグラムのフルボキサミンを１日２回、１０日間にわたって投与。７５６人には偽薬を投与した。
その結果、フルボキサミンを投与された患者では約１１％に当たる７９人が緊急治療室や病室での治療を必要としたのに対し、偽薬を投与された患者ではこの割合は約１６％だった。
https://www.cnn.co.jp/fringe/35178770.html
問題
一人の重症者を減らすためには何人に投薬する必要があるか？
業界用語ではNumbers Needed to Treat (NNT)
NNTの95%信頼区間も併せて計算せよ。 >>369
応用問題 フルボキサミン投与によって重症化リスクが半分以下になる確率を求めよ。
これを計算すると特効薬といえるほどのインパクトはないことがわかるな。 実数列 X ＝ {x_1, x_2, ... , x_n} に対して
<X>_h ＝ √{h + (x_1)^2 + (x_2)^2 + ... + (x_n)^2} と定義する。
実数列 Y ＝ {y_1, y_2, ... , y_n} とするとき、
<X + Y>_h ≦ <X>_h・<Y>_h
が成り立つような最小の非負実数 h を求めよ。
ただし、X + Y＝ {x_1+y_1, x_2+y_2, ... , x_n+y_n} とする。 >>371
NNTくらい医学生でも計算できる。
裏口シリツだとは無理かもしれんが、 >>372
補足
nは固定で任意のX, Yに対してです >>374
番号読めんか？
お前の作ったアホ作文の部分が解答不能だといってる
お前が作れるのはせいぜい小学生でもできる引き算と割り算で答えが出る問題だけ
そこがお前の知能で到達できる限界だよ >>378
∠ABCが直角ならBC=15
直線BCで対称に折り返した図形を考える
BC=x, AB=yとおく
x^2+y^2=24^2+7^2=25^2
他方、方べきの定理より
7×25=(y-x)(y+x)=y^2-x^2
2式から2x^2=450
∴x=15 角ABC = π/2 かつBが円の中心だとする。
円の半径をr, 直線ABとCDの交点をEとすると
AC^2 = 7^2 + 24^2, r^2 + BC^2 = AC^2
BC^2 + r^2 = EC^2, (EC + 7)^2 + 24^2 = 4r^2
故に BC = 15, AC = EC = 25, r = 20. >>377
>370は無情報事前分布を設定することで計算できるよ。
あんたにできないだけ。 >>381
数学の問題にすらなってないということが分からないのが尿瓶 BC=x, AB=BD=R とおく。
AB^2 + BC^2 = AC^2, (∠B=90°)
AD^2 + CD^2 = AC^2, (∠D=90°)
∴ RR + xx = 25^2,
トレミーより
AD･BC + CD･AB = AC･BD,
24x +7R = 25R,
∴ 4x = 3R,
これらより
x = 15, R = 20. 3^a + 4^b = 5^c を満たす自然数a, b, cをすべて求めよ >>386
おい
鹿齢はどうなったんだよ？
馬と鹿がお似合いだって言ってんだろ >>390
馬齢、鹿齢と証書はどうしたって聞いてんだよ >>388
(i) b≧2 の時
5^c ≡ 3^a ( mod 8 ) であるからa,cともに偶数
c = 2m, a = 2nとおける
この時
4^b = (5^m -3^n )(5^m + 3^n)‥①
である
よって
5^m -3^n = 2^k‥②
5^m + 3^n = 2^l‥③
となるk,lがとれるが左辺はどちらも偶数だからk,l≧1
k,l≧2だと2×5^m = 2^k+2^l≡0 (mod 4)で矛盾
よってどちらか1であるが③の右辺は2でないのは容易だからk=1
よって
5^ m = 2^(l -1) + 1‥④
3^n = 2^(l-1) -1‥⑤
⑤によりl=3,n=1,m=1,a=2,c=2,b=2と決まる
(ii) b=1 の時
mod 8で考えてaは偶数、cは奇数
mod 3で考えてcは偶数
矛盾するから解なし >>389
こうやって自分の主張が通らないと他人に迷惑かけて悪目立ちしてる相手が愛想尽かすまで繰り返す
小学生の精神
発達障害の能無し >>392
正解です！
自然数にゼロを含める場合は(a, b, c) = (0, 1, 1)も解となりますが議論の大筋は変わりませんね a,b,cに0を許す場合の変更点は
b=1の場合を
mod 5で考えてaは偶数cは奇数
mod 3で考えてcは偶数またはa=0
よってこの場合の解は(a,b,c)=(0,1,1)のみ
に変更して
b=0の場合
LHS:even,RHS:oddより解なし
を追加で対応できますな 最近おもったけど
お前ら整数問題が好きだよな。
有理数空間 Q で
中間値の定理や挟み込みの定理
そういうのを証明するが得意そうで……スキ。 〔類題〕
3^a + 4^b + 5^c = 6^d を満たす自然数a, b, c, dをすべて求めよ。 >>372
>>375
(<X>_h・<Y>_h)^2 - (<X+Y>_h)^2
= (h+|X|^2)(h+|Y|^2) - (h + |X+Y|^2)
= h(h-1) + h(|X|^2+|Y|^2) - (|X|^2 + |Y|^2 +2(X・Y)) + (|X||Y|)^2
= h(h-1) + (h-1)(|X|^2+|Y|^2) - 2(X・Y) + (|X||Y|)^2
≧ h(h-1) + 2(h-1)Z - 2Z + Z^2 ( Z=|X||Y| )
= h(h-1) -2(2-h)Z + Z^2
= 3h -4 + (2-h-Z)^2
≧ 3h -4,
これがつねに非負だから
h ≧ 4/3, >>398
(3,1,1,2)と(3,3,3,3)は見つけたけどコレ答え持ってんの？
思いつき？ 非負整数に広げても a≡3 mod 4, b≡1 mod 2, c≡1 mod 4 以外の解が
(0,1,0,1) と (3,3,3,3) のみであることまでは mod 4,5,16 あたりで示せたけど
この先もっと絞れるんかこれ…？ >>399
距離空間の元 X, Y に対し ⊿不等式が成り立つ。
d(X+Y) ≦ d(X) + d(Y),
また
<X>_h ＝ √{h + d(X)^2}
と定義する。
(<X>_h・<Y>_h)^2 - (<X+Y>_h)^2
= {h+d(X)^2} {h+d(Y)^2} - {h + d(X+Y)^2}
= h(h-1) + h{d(X)^2+d(Y)^2} - d(X+Y)^2 + {d(X)d(Y)}^2
≧ h(h-1) + h{d(X)^2+d(Y)^2} - {d(X)+d(Y)}^2 + {d(X)d(Y)}^2 (⊿不等式)
≧ h(h-1) + 2(h-1)Z - 2Z + Z^2 ( Z=d(X)d(Y) )
= h(h-1) -2(2-h)Z + Z^2
= 3h -4 + (2-h-Z)^2
≧ 3h -4,
これがつねに非負だから
h ≧ 4/3, 超音波内視鏡を施行するときの鎮静に
デキスメデトミジン（D)を使った24人中10人（10/24＝0.4166）が次もその検査を受けて良いと答え、
プロポフォール(P)を使った24人中20人が（20/24＝0.833）が次もその検査を受けてよい
と答えた。
このことからPの方が有用であると結論した。
この結論が正しい確率を求めよ。
参考文献（というより、解き方が書いてある）
瀕死の統計学を救え! ―有意性検定から「仮説が正しい確率」へ >>402
〔補題〕
d(X) が距離ならば
log(<X>_h) = (1/2)log{h + d(X)^2}, h≧4/3
も距離 …でもないな。 X=O のとき 0 にならぬ。
D(X) = log(1+d(X))
ならいいかな。 a，b，c は実数の定数とする。
任意の t∈[0，1]、x∈(-∞，∞) に対して
P＝a x^2 + b t^3 x^3 + c t^5 x^4
が上に有界 (ある正の数 M が存在して P≦M) となる a，b，c の必要十分条件を求めよ。 不等式 4^x - 2・3^x + 2 ≦ 0 を解け >>408
f(x) = 4^x -2×3^x +2 とおいてf'(x)=0の解はx=log(log(3)/log(2))/log(4/3)のみ、コレをaとおいて
f'(1) = 4log4 - 3log9< 0
f'(2) = 16log4 - 9log9 > 0
よって
1<a<2, f(x)はx<aで単調減少、x>aで単調増加
一方でf(1)=f(2)=0 g(y) = 2 y^(x-1) とおくと
(左辺) = 4^x - 2・3^x + 2
= 2g(4) - 3g(3) + g(1)
= g(4) + g(4) - 3g((4+4+1)/3) + g(1),
・x<1 または x>2 のとき
g(y) は下に凸。 (左辺) > 0,
・1≦x≦2 のとき
g(y) は上に凸(広義)。 (左辺) ≦ 0, 似たような問題ばかりですまんけど
f(f(x))=x^2-2を満たす連続関数f:[-2,∞)→[-2,∞)を一つ挙げよ.
(連続関数f:R→Rには拡張出来なかったのでだれかチャレンジしてみてください. そもそも存在しないかもしれないのでその場合はごめんなさい) >>416
f (x) = floor(x) mod 10 >>417
「連続」関数です
しかもそれだとfの値が整数なので、
例えばf(f(π))=π^2-2になるはずですが、整数ではないので矛盾です 本当ごめんなさい、重大な問題が発生したので
>>416はf:[2,∞)→[2,∞)ということにしてください
途中まで解いていた人がいたらごめんなさい >>420
素晴らしい
正解です
最初はそれに加えて
-2≦x≦2の範囲ではf(x)=2cos(√2arccos(x/2))
と考えていましたが、そもそもcos(arccos(x))=xとは限らないのでダメでしたね >>411
>>412
a≦0,c<0もしくはa≦0,b=c=0
という事？
a＝0、b＝1、c＝−1 は非有界になるよ ああ、t→0のときxがそれよりも早く遠ざかるとマズいのか 想定の解答は>>414でしたが、
>>415はお見事の一言 単調増加な全単射 f:R→R は f(x)=g(g(x)) を満たす単調増加な全単射 g:R→R を持つことを示せ >>421
f(x) を偶関数として
f(x) = ((|x|+√(xx-4))/2)^{√2} + ((|x|-√(xx-4))/2)^{√2} (|x|≧1)
= 2cos((√2)arccos(|x|/2)) (-1≦x≦1)
とすれば実数Rで連続かも…
x=0 では微分不可能
x=2 ではなめらか
f(x) = 2 + 2(x-2) + (1/6)(x-2)^2 - (1/90)(x-2)^3 + (1/720)(x-2)^4 … 訂正ｽﾏｿ
(|x|≦2) と (-2≦x≦2) でした… f(f(0)) = -2 で最小となるはずだから
f(2cos(π/√2)) = f(-1.2114) = -2
まで延ばすしかないけど、f(-2)=2 と繋がらないな。。。 >>427
arccosの定義に依りますが、その場合だと
f(0)=2cos(√2π/2) ＜ 0 なので、
arccos(|f(0)|/2)=arccos(|cos(√2π/2)|)
=π-√2π/2
になるので、そもそもf(f(0))=-2になりません... >>406
再度、挑戦
c>0だとt関係なくダメなのでc≦0
c=0のときb≠0だと同じくダメなのでb=0、そしてa≦0
c<0のときt=0上を考えるとa≦0が必要
c<0,a=0のときb≠0だとx=±1/t^(1.1)上t→+0で上に非有界になるのでb=0
よって
a,c<0もしくはa=b=0,c<0もしくはa≦0.b=c=0
が必要
後半2つは十分であることも明らか
a,c<0のときは判別式からt<ε(a,b,c)=32ac/(9b^2)のとき極値はx=0のときのみになり最大値は常に0、t≧εのときも最大値はa,b,cの関数で抑えられるので十分 >>426
こんな感じなんだろうか
fは単調増加全単射だから連続で
固定点の集合F={x∈R|f(x)=x}の補集合は開区間の直和ΣI_i
その各開区間から代表a_i∈I_iを選ぶ
I_i上でx<f(x)とする(逆でも同様)
f(a_i)が固定点bを飛び越えるとa_i<b=f(b)<f(a_i)となりfの単調増加性に矛盾するので[a_i,f(a_i)]⊂I_i
I_i=Σ[n∈Z](f^n(a_i),f^(n+1)]と書ける
a_i<g(a_i)<f(a_i)を適当に選び座標点(a_i,g(a_i))と(f(a_i),f(g(a_i)))を単調増加な曲線で結び、それを区間[a_i,f(a_i)]上のgのグラフとする
これをfの像と逆像でI_iに拡張する
固定点b∈Fにおいてはg(b)=bとする
このように定めるとgは題意を満たす >>431
お疲れ様でした
正解です
細かい突っ込みはあるけど些細な事で即修整可能なので省略
実は >>406 を随分前に数学板に出したことがあり「全角」(何故かいつも数式を全角で入力していた)と呼ばれていた人のレスが以下のものだった
自分の想像の範囲を超えていて何かカッコ良かったのを覚えている
----------------------------------------------------------
ａ＜０，ｃ＜０またはａ≦０，ｂ＝０，ｃ≦０。
ａ＜０，ｃ＜０のとき
ｂｔ＾３ｘ＾３
≦｜ｂ｜ｔ＾３｜ｘ｜＾３
≦（｜ｂ｜／３）（（ｘ＾２）＾（９／１０）＋２（ｔ＾５ｘ＾４）＾（９／１０））。
ａｘ＾２＋（｜ｂ｜／３）（ｘ＾２）＾（９／１０）と
ｃ（ｔ＾５ｘ＾４）＋（２｜ｂ｜／３）（ｔ＾５ｘ＾４）＾（９／１０）は上に有界なので
ａｘ＾２＋ｂｔ＾３ｘ＾３＋ｃｔ＾５ｘ＾４は上に有界。
---------------------------------------------------------- >>432
最後の部分ちょっと修正
座標点(a_i,g(a_i))と(g(a_i),f(a_i))を単調増加な曲線で結び、それを区間[a_i,g(a_i)]上のgのグラフとする
(区間(g(a_i),f(a_i)]上のグラフはf(g(x))=g(f(x))から自動的に定まる)
>>433
あれ、まだミスが…
今後のためにも教えてください >>432
だいたい正解ってことでOKです！
一つだけ訂正箇所があるとすれば、
曲線で結ぶのは二点 (a_i,g(a_i)) と (f(a_i),f(g(a_i))) ではなくて
(a_i,g(a_i)) と (g(a_i),f(a_i)) って所かな
この区間での g の値が定まったら、例えば x∈(g(a_i),f(a_i)] については
g(x) = f(g^(-1)(x))
と一意に定まるからね >>434
いや本当に些細なことなんだけど
「a,c<0のときは判別式からt<ε(a,b,c)=32ac/(9b^2)のとき」
の部分で b＝0 かどうかの場合分けとか元々 t∈[0, 1] で考えているので ε がその区間に入らない時の場合分けの話です 〔類題〕
不等式 4^x - 3・2^x + 2 ≦ 0 を解け。
* やさしいです 任意の実数 x に対して f(f(x)) = sinx を満たす、区分的に初等的な実関数 f:R→R を一つ挙げよ 1+2^x+2^(2x+1)が平方数となる非負整数xを求めよ x=0は解
x>0のときm=2^(x-1),k=m+1とおくと
ある自然数nがありn^2=k^2+7m^2と書ける
mとkは互いに素なのでnとkも互いに素
(n-k)(n+k)=7m^2なのでn-kかn+kが7の倍数
n-k=7dの場合(dとkは互いに素)
d(7d+2k)=m^2
mは2の冪なのでdも7d+2kも2の冪になる必要があるが
dとkが互いに素なのでd=2,k=9のみが可能
このときx=4で解となる
n+k=7dの場合
同様にdと(7d-2k)は2の冪であり(d,k)=(1,3)もしくは(2^(i+1),7×2^i-1)となるがk=m+1を満たさず不適
よって解はx=0,4のみ 8(1+2^x+2^{2x+1}) = 7 + (1+2^{x+2})^2 = 7 + XX,
これが 8YY となるから
XX - 8YY = -7, いわゆるペル方程式。
(X,Y) = (1,1) (2,5) (4,11) …
(X,Y) が解ならば (3X+8Y,X+3Y) も解。
X = 1 + 2^{x+2} を満たすのは
x=0, X=5, Y=2,
x=4, X=65, Y=23, >>437
4^x - 3・2^x + 2 <= 0
<=> (2^x - 2)(2^x - 1) <= 0
<=> 1 <= 2^x <= 2
<=> 0 <= x <= 1 >>438
1<a<π/2とする
座標(a,1)と(π/2,a)を線分で結びa≦x≦π/2でのf(x)のグラフとする
これをf(sin(x))=sin(f(x))とf(f(x))=sin(x)を使って0<x≦π/2のグラフに拡張する
さらにf(0)=0とおき、これをsinと同じ形で貼り合わせていけば良い >>436
たしかにそうですね、ありがとうございます
あと遅れながら全角氏の解答も理解しました
不等式スレの方ですかね？絶妙な変形でAMGMに持ち込む技よく見かけます >>440
> mは2の冪なのでdも7d+2kも2の冪になる必要があるが
> dとkが互いに素なのでd=2,k=9のみが可能
ここは何故ですか？ >>445
d=1のとき7d+2kは9以上の奇数になり不適
d=2^i(iは自然数)のときkは奇数で7d+2kを2が割る回数はちょうど1回になるのでi=1 >>443
あーそうか、逆正弦もアリだったか…正解です
想定解は
f(x) = -sinx (0<x≦π),
-x (-π<x≦0)
と定めて周期2πで拡張するものでした
簡単でしょ >>447
面白いですね
昨日の方法に引きずられてしまいましたがこんな簡単な方法があったとは… 早い人は３分位で解くかも
【問】
Ｒで微分可能な関数で、以下の性質を満たす関数 f(x) の例を１つ挙げよ
x が有理数のとき f(x) は有理数の値をとる
x が無理数のとき f(x) は無理数の値をとる
f’(x) は任意の区間で定数ではない 望月さんのABC予想の証明
あれってどうなったんだろう…。
全くの新理論で言葉などを新しく定義し
世界中 60億人の人類のうち、
まともに理解しているのが本人だけ…
っていう状況だけを見ると
精神病のあれっぽいよな。
悪ふざけやハッタリで600pも論文出すような人じゃなく
本気で発表しているし…。 あれっぽいですね、シリアの北の方の。
けっきょく政府軍が勝ったのかな。 F(x), G(x)はともに任意の実数xで微分可能な定数関数ではない関数とする。このとき、任意の実数xで
F(x)=G(F(x)),
G(x)=F(G(x))
を満たすならば
F(x)=G(x)=xを示せ >>454
F(x)とG(x)の像は定数でない連続写像の像なのである区間〈a,b〉,〈c,d〉(端点は±∞も含み〈は開端か閉端とする)となる
c,d間でF(x)=x、a,b間でG(x)=x,となるので〈a,b〉=〈c,d〉
端点が有限だとすると連続性から端は閉であり、その点で最大値(もしくは最小値)をとるので微分は0、左(もしくは右)から微分は1で近づくので矛盾
よって端点は±∞ 周期的な関数も可能か。
>>451 の f(x) の [-1, 1) の部分をたくさんつなぐ。
g(x) = n + f(x-2n),
n = [(x+1)/2] は x/2 に最も近い整数。(2n-1 ≦ x < 2n+1)
g '(2n) = f '(0) = 1,
g '(2n±1) = f '(±1) = 1/4. 前>>321
>>378
∠ABC=∠Rとかどこにも書いてないんだが。
ADとBCを延長し交点をOとし△OAB∽△OCDだから、
OC=c,OD=dとおくと、
√(625-x^2):7=(c+x):d=(d+x):c
(625-x^2):49=(c^2+2cx+x^2):d^2=(d^2+2dx+x^2):c^2
△ODCにおいてピタゴラスの定理より、
d^2+49=c^2 >>459
C^∞級の関数の構成は無理そうですかね… 某youtubeの動画に影響を受けてできた問題
まあ勿論計算機使えば簡単に解ける問題なので、
うまいやり方を見つけられるかなってことなんだけど
(2^17+3^10+6^7)/(2^13+3^10+6^6) を約分せよ 分子をN、分母をD とする。
N - D = 2^17 - 2^13 + 6^7 - 6^6
= (2^4-1)･2^13 + (6-1)･6^6
= (16-1)･2^13 + 5･6^6
= (16-1)(2^6)(2^7 + 3^5),
16D - N = (16-1)3^10 + (16-6)6^6
= (16-1)･3^10 + 10･6^6
= (16-1)･3^5(3^5 + 2^7),
辺々たして 16-1 で割ると
D = (2^6 + 3^5) (2^7 + 3^5),
N/D = 1 + (N-D)/D
= 1 + 3･5･(2^6)/(2^6+3^5)
= 1 + 960/307,
分母は 2,3,5 と素だから、これ以上は約せない。
計算機がなくても簡単かも 6^2=2^5+2^2と6^1=2^2+2^1を使って
(2^7+3^5)(2^10+3^5)/((2^7+3^5)(2^6+3^5)) (2^10 + 3^5) - (2^6 + 3^5) = (2^4 - 1)(2^6) = 3･5･2^6,
左辺はどちらも 2,3,5 で割り切れない。 まあだいたいそんな感じ
(2^a+3^b)(2^c+3^d) = 2^(a+c) + 3^(b+d) + 6^n
みたいな形になる組で共通因数を持つもののペアを見つけてできた問題でした 某YouTubeの動画の問題
(6^8 + 3^12 + 2^19)/(3^8 + 2^14 + 2^11) を約分せよ。
MathLABO
http://www.youtube.com/watch?v=rpsOW-11EzE 07:35 >>451 >>459
は Rで C^1級ですが
境界点では 2階微分可能ではありません…orz ・発症3日以内にパクスロビドを投与された患者のうち登録後後28日目までに入院した患者は0.8％（3/389人が入院し、死亡はなし）であったのに対し、プラセボ（偽薬）を投与された患者のうち、入院または死亡した患者は7.0％（27/385人が入院し、7人がその後死亡）であり、パクスロビドは入院または死亡のリスクを89％減少させた。
問題
一人の死亡を減らすのに必要な投薬人数を計算せよ。 >>467
b=d の場合は
2^{a-n} + 2^{c-n} = 3^{n-b} = 3^{n-d},
だけど
2^3 + 2^0 = 3^2, (カタラン)
に限るのかな？ (続き)
2^{2m+7} + 3^{2m} + 6^{m+2} = (2^{m+2} + 3^m) (2^{m+5} + 3^m)
は 2^3 + 2^0 = 3^2 に
2^{2m+3} + 3^{2m} + 6^{m+1} = (2^{m+2} + 3^m) (2^{m+1} + 3^m)
は 2^1 + 2^0 = 3^1 に基づくね。 前>>461
>>378
これは考え方を変える。
どんなけユニークでオリジナリティーにあふれた解き方ができるか。
(答案1)
ピタゴラスの定理よりAC=√(24^2+7^2)
=√(576+49)
=√625
=25
ぱっと見AB=20,BC=15なら、
BC:AB:AC=3:4:5
ADの延長線とBCの延長線の交点をOとすると、
△OAB∽△OCD
∵二角が等しいから。
OD/OB=OC/OA
OD/(OC+BC)=OC/(OD+AD)
OD/(OC+15)=OC/(OD+24)=7/20
7OC+105=20OD
7OD+168=20OC
140OC+2100=400OD
49OD+1176=140OC
辺々足すと351OD=3276
117OD=1092
39OD=364
3OD=28
OD=28/3
OC=20OD/7-15
=80/3-15
=(80-45)/3
=35/3
∴x=15は妥当。 前>>473補足。
CD:OD:OC=7:28/3:35/3
=21:28:35
=3:4:5 まあ要は 2^x･3^y (整数x,yは0以上) と表せるような数同士の足し算で
再びそのような数が得られる関係式をまずは全て求めればいいんだけど、本質的には
1+1=2, 1+2=3, 1+3=4, 1+8=9
の四通りとその 2^x･3^y 倍しかなくて、そのうち約分の問題が作れるのが
1+2=3, 1+8=9 の組だけだったってことなんだよね f:R→R は微分可能で
f(x)=0 をみたすxが存在する
定数a>0,b>1 が存在し、任意のxに対して |f'(x)|≦a|f(x)|^b をみたす
このときfは恒等的に0であることを示せ >>477
f(α)=f '(α)=0
のとき、x=α近傍では、y=f(x)は凸関数なので、
平均値の定理より、x=α近傍では、
|f '(x)|>|f(x)-f(α)|/|x-α|
・・・解りません。oTL >>477
関数 f の零点 p をとる。
正の数 ε を 0<εa<1 を満たし、かつ x=p+ε について
任意の t∈(p,x) が f(t)<1/2 を満たすように定める。この時
∫_[p,x] |f(t)| dt
=∫_[p,x] |∫_[p,t] f'(s) ds| dt
≦∫_[p,x] ∫_[p,t] |f'(s)| dsdt
≦∫_(p≦s≦t≦x) a|f(s)|^b dsdt
=∫_[p,x] a(x-s)|f(s)|･|f(s)|^(b-1) ds
≦(1/2)^(b-1) ･ ∫_[p,x] |f(s)| ds.
ゆえに ∫_[p,x] |f(t)| ds = 0 より f(t)=0 (∀t∈[p,x]) が成り立つ。
同様にしてある y<p が存在して f(t)=0 (∀t∈[y,p]) が成り立つので、f^(-1)({0}) は開集合。
これは閉集合でもあるので実数全体でなければならない。 >>479 正解
微分の平均値の定理を使って同じような議論をするのが
用意した解答でした 2^a+2^b+2^c+2^d+2^e=n!の自然数解が高々有限個である事を示せ 1,2,4,8,16,32,64のどんな5つの組み合わせも127の倍数にならないので左辺は127の倍数になりえない
よってn<127 2^a+2^b+2^c+2^d+2^e < 2^{a+b+c+d+e},
AM-GM より
2^a+2^b+2^c+2^d+2^e ≧ 5･2^{(a+b+c+d+e)/5},
与式より
5･2^{(a+b+c+d+e)/5} ≦ n! ≦ 2^{a+b+c+d+e},
[ log_2(n!) ] ≦ a+b+c+d+e ≦ [5･log_2(n!/5)] = m,
m/5 < a+b+c+d+e ≦ m,
5個の自然数の和がm以下であるような組合せの数は,
mカ所の境目から5つの仕切りを選ぶ方法の数
C[m,5] = m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)/5!
和がm/5 以下の組合せを除くと
C[m,5] - C[m/5,5]
∴ 自然数解の数はこれ以下である。 n(よってmも)は固定ではないからそれではダメじゃないの
固定なら変形しなくても有限個なのは明らかだし {1,2,4,8,16,32} のどんな5つの組み合わせも63の倍数にならないので
左辺は63の倍数になりえない。
一方、7! = 5040 = 63×80 は 63の倍数。
よって n<6
でいい？
>>483 はnを固定したとき 左辺 ≧ 10 より n≧4,
n=4 {1,1,1,1,4} {1,1,2,3,3} {2,2,2,2,3}
n=5 {2,2,4,5,6} {3,3,3,5,6} {3,4,4,4,6} {3,4,5,5,5}
n=6 ? 皆さん正解です
元ネタ
https://youtu.be/p4OY8dUb7B4
1番省エネなのはmod 63ですね
2^aはmod 63では1,2,4,8,16,32で次元戻る
この中から重複を許して５個選んで0を作ることができない
実際重複がなければ2進表示考えて明らか
重複してるときは２個まとめて数が減らせるのでもっと無理
しかしn≧7ならn!は63の倍数でなければならないからn≦6が必要
みたいな n=6 {3,3,6,7,9} {4,5,5,7,9} {4,6,6,6,9} {4,6,7,8,8}
n=4 5 + 30 + 5 = 40 とおり
n=5 60 + 20 + 20 + 20 = 120 とおり
n=6 60 + 60 + 20 + 60 = 200 とおり
計 40 + 120 + 200 = 360 とおり (∴ 有限) >>483
m' = m/5 + log_2(5) < a+b+c+d+e ≦ m,
和が m' 以下の組合せを除くと
C[m,5] - C[m',5]
と修正
n=4 m=11, m'=4
C[m,5] = 462 以下
n=5 m=22, m'=6
C[m,5] - C[m',5] = 26328 以下
n=6 m=35, m'=9
C[m,5] - C[m',5] = 324506 以下
合計 462 + 26328 + 324506 = 351296 以下
3桁も緩い上限だが、有限であることは分かる。 0≦θ≦πで、y=-x/tanθ+(θ/π×tanθ) の直線の通過領域(包絡線)を求めよ。
包絡線にarctanθが入ってしまって合っているかわかりません、、お教えください。。 >>490
x cotθ + y - θ/π tanθ = 0‥①
θで微分して
-tan(θ)/π - (θ sec^2(θ))/π - x csc^2(θ) = 0‥②
①から
θ/π = ( x cotθ + y ) cot(θ)
②から
θ /π = ( -tan(θ)/π - x csc^2(θ) )sin^2(θ)
よって
( x cotθ + y ) cot(θ) - ( -tan(θ)/π - x csc^2(θ) )sin^2(θ) = 0‥③
θで微分して
(2 sin^2(θ))/π + (tan^2(θ))/π - 2 x cot(θ) csc^2(θ) - y csc^2(θ) = 0‥④
解いて
x = (sin^2(θ) (cos(2 θ) + 3) tan(θ))/(2π),
y = - (2 tan(θ))/π tan(θ)
ここからθも消せるっぽいけど疲れた ②から
θ /π = ( -tan(θ)/π - x csc^2(θ) )cos^2(θ)
だった
めんどくさいなぁ φ=(1+√5)/2とする
y=(φ^3)xとy=-φxの間の角度 開区間 (0,1) 上の可算で稠密な点集合 A,B を任意にとる。
この時、全単射なC^∞級関数 f:(0,1)→(0,1) であって f(A)=B を満たすものが存在することを示せ。 back&forthはC^∞との兼ね合いが謎すぎるし何か関数解析的飛び道具でも使うんだろうか ほー…このやり方back&forthなんてお洒落な名前ついてたのか、知らなかった
イメージ的には、各ステップで集合A×Bの対応づけられたペアの有限集合だけじゃなくて、
その有限集合に合致する"関数fの暫定的な姿"も一緒に更新しながら
構成していくのがいいかも（というかそれが想定解の方法）
勿論、AとBの対応づけが全て終わった時に関数fも
ちゃんとC^∞級のある関数に収束してる必要があるけどね 前>>474
>>493
0＜θ＜π/2
cosθ=(1,5)・(-2,3)/(√26)(√13)
=(-2+15)/13√2
=1/√2
∴45°と135° >>495
作図して計測
https://i.imgur.com/lQ8NvIu.png
おまけ
calc <- function(a,b,print=F){
A=1+1i*a
B=1+1i*b
if(print){
source('toolmini.R')
Plot(-5,5)
axy(tan(Arg(A)),0i,-5,5)
axy(tan(Arg(B)),0i,-5,5,col=2)}
(Arg(A)-Arg(B))*180/pi
}
> phi=(1+sqrt(5))/2
> calc(phi^3,-phi)
[1] 135 >493と>495では何度回転しているか？
> calc(-3/2,-phi)
[1] 1.972593 >>499
各ステップでは有限点だからいくらでもC^∞全単射与えておけるだろうけど、最終的な関数はABの対応だけから稠密性と連続性によって自動的に決まってしまうはずだからABの点を対応させる以外の付加は結局意味ないように思えるんだよなぁ
それとも想像してるback&forth手順に齟齬があるのか… >>503
まさにそのABの点を対応させる以外の情報を付加する意味について補足
勿論ABの点の対応だけ考えれば最終的に関数の姿は決まるし、
稠密性から連続性も保証されるだろうけど、できた関数がC^∞になるように調整するためには
付加情報を考えないと非常にややこしいことになりそうなんだよね
（まあ自分ができなかったってだけだから、付加情報を考えない構成が
不可能と主張するつもりはないのでそれに挑戦するのはアリだとは思っている）
一般に関数がある点で滑らかであるかどうかは、その点に十分近い全ての点が
どんな位置関係にあるかによって総合的に判定される訳だから、
既に決められた複数の（もしかしたら莫大な数が必要になるかも知れない）A×Bペアから
収束先の滑らかさを保証するための次のペアの範囲を具体的に決めるのは
おそらく非常に難しい手続きが必要になる
一方、暫定関数という付加情報を考える方法であれば、
少なくとも暫定的なC^∞級関数fのグラフに十分近い点をとり続けていれば
収束先もC^∞関数として存在することが保証されるため、
各ステップでのA×Bのペアの選び方が容易になる
（…ように各ステップでの関数の更新先の姿の候補を定めることが比較的容易に可能）
というのが理由というかメリットかな
説明するの難しい… あれこれC^ω級でもいけるっぽい…？まあいいや問題はC^∞級のままで (1) 感度0.4 特異度0.9の検査で100人中30人が陽性、70人が陰性であったとき、この集団の感染率を求めよ
(2) 感度0.4 特異度0.9の検査で100人中50人が陽性、50人が陰性であったとき、この集団の感染率を求めよ 解析知らなすぎて滑らかな関数を作る方法すらよく分かってない
C^ωだと一部で全体が決まってしまう感じだからかなり厳しいと思うし、C^∞もそんなに調節して作れる感じはしないんだよなぁ
フレシェ空間(？)とかで関数族を絞っていってBaire的に存在だけ言うとかならまだありえるかもだけど… ヒントいるかな
暫定関数fの更新方法の例だけど、
g(x)=e^(-1/(1-x^2)), (|x|<1)
0 (|x|≧1)
をx軸方向やy軸方向に縮小したものを足す感じ
最終的にfがC^∞級関数に収束する必要がある訳だけど、
それはつまり任意の正の整数mについて、nステップ目の暫定関数f_nのm階導関数が
n→∞である連続関数に一様収束するように定めれば十分なので、
y軸方向にどれだけ縮小すれば良いかの範囲はそれを参考に定めれば良い >>497
実数 a と実数の有限集合Sに対し
p(a,S)(z) = Π[s∈S](z-s)/(a-s)
とする
Dは単位閉円盤{ |z|≦1 }とする
補題 定数b,cがS∩[u,v] = φを満たすとき関数族{p(a,S)(z) | a∈[u,v] }、{p'(a,S)(z) | a∈[u,v] }は共にD上一様有界である
∵) { p'(a,S)(z) | a∈[u,v], z∈D }はコンパクト集合だから有界である
よって一様有界
) { p(a,S)(z) | a∈[u,v], z∈D }はコンパクト集合だから有界である
よって一様有界□
以外主張を示す
AとBを並べて
A={a1,a2,...}, B={b1,b2,...}
とする関数列fnを
(1)fn:は実係数多項式関数の列で(0,1)上単調増加でinff'(t)>0, fn((0,1)) = (0,1)、またsup{ |fi'(z)| z∈D } < 2
(2)i≦nに対しfn(a_i)∈B、bi∈fn(A)
を満たすように構成していく
f0(z) = zで良い
f(n-1)(z)まで構成できたとする
まずg(z)を(1)と(2)のi<nとi=nの前半だけ満たすものとして以下のように定める
f(n-1)(an)∈Bであればg(z)=f(n-1)(z)でよい
そうでないとする
a=an, S={a1,...,a(n-1),0,1}としてp(a,S)(z)を考えるとき十分小さいeを選んで任意のr∈(0,e)に対しf(n-1)+p(a,S)が(1)の条件を満たすようにとれる
そこで(f(n-1)(an)-e,f(n-1)(an)+e)からBの元bを任意に選び
g(z) = f(n-1)(z) + (b-f(n-1)(a))p(a,S)(z)
と定めるときg(z)が求める条件を満たす
fnを構成する
bn∈g(A)であればfn(z)=g(z)でよい
そうでないとする
閉区間[u,v]をS={a1,...,an,0,1}とdisjointかつbn∈g([u,v])ととる(これはb∈[0,1]＼g(S)=∪[[u,v]∩S=φ]g([u,v])により可能である)
補題により十分小さいe>0を任意のr∈(0,e)とa∈[u,v]に対しg(z)+rp(a,S)(z)が(1)の条件を満たすようにとれる
そこでa∈A∩[u,v]を|g(a)-bn|<eとなるようにとる(これはg(A∩[u,v])がg([u,v])で稠密だから可能)
そこでfn(z)=g(z)+(bn-g(a))p(a,S)(z)とおけば条件が満たされる
以上により条件を満たす関数列fn(z)が構成できた
fn(z)は正則関数の同程度連続関数族なのでアスコリアルツィラより極限を持つ部分列fniがとれるがlim[i→∞]fniが求める条件を満たす□ >>509
うおっ、お疲れ様…正解です
そうそう、e^(-1/(1-x^2)) とかじゃなくて
多項式関数を足していく方法でもうまくいくのよね
|z|<1 の範囲で rp(a,S)(z) の任意階の導関数の絶対値が 1/(n+1)! 以下になり、
なおかつrp(a,S)の各次数の係数の絶対値が 1/n! 以下になるよう r の範囲を定めて…
みたいに何がなんでもという勢いで絶対収束させる方法を想定してたけど、
後でアスコリアルツェラ使うのであればこの辺の範囲の定め方は若干手を抜けるということなのかな…
ともあれお見事でした！ 約14億立方kmの海水は何年で沸騰しますか？原発は7度も上がった水が1秒に70トンも海水に流しています。
世界の原発の数は434基ですその全てが1秒に70トンも7度上昇させると仮定します >>511
現在の海水の温度を平均20度とし、地球上に海水しか水分がないと仮定すると
1.6689×10^7年 海水温上昇ωの原因は原発か
温暖化ωωωの原因も原発だろうな 接線4本引いて大円に外接する四角形描くんだろうなまでは思いついた 直交軸を u軸, v軸とする。
最左点 (-9, 9/2) で2円が接しているのを利用する。
左上円 (u+9/2)^2 + (v-9/2)^2 = (9/2)^2, 中心 (-9/2, 9/2)
大円 (u+9-R)^2 + (v-9/2)^2 = RR, 中心 (R-9, 9/2)
大円の中心～(-5/2, -5/2) の距離 R-5/2,
大円の中心～(3, -3) の距離 R-3,
∴ R = 85/8, 中心(13/8, 9/2)
大円の中心～(6, 6) の距離 R-6,
∴ x = 12. 大円の中心～(x/2,x/2) の距離が R - x/2
だから x=12.
デカルト流… >>512
さっそくYou Tubeの気候変動に関する国際連合枠組条約チャンネルに教えていただいた計算書きこみしてきました ケーキを均等に3つに切るってもしこのように切ったらスポンジの角度は何度にすればいい
均等って120度じゃなくても質量が同じならよくないか
半径aのケーキがあったとする。
中央の縦線(x=0) から斜めにナイフを入れ
底に達したとき x=b だったとする。(0<b<a)
xより右側の部分の面積は aa･arccos(x/a) - x√(aa-xx),
これを 0～b で積分すると
aab･arccos(b/a) - (1/3)(2aa+bb)√(aa-bb) + (2/3)a^3,
これが (π/3)aab に等しくなるのは
b = 0.536900336865209045 のとき >>517
ツイ元の出題者的に9の円は最左点で接していることは前提にないようですね
実際はそうだとしてもそのことも証明する必要があるようです あ、直径か
なら中心(13/8,9/2)でヨロピコ >>514
直線が垂直に交わる交点を原点として直径5,6,9の円は中心の位置はわかっている
大円の中心の位置を(p,q)として半径rとする
大円が3つの円と接する条件でp,q,rを求められる
大円と中心(x/2,x/2)で半径x/2の円が接する条件でxが求められる 大円の中心を (a, b) 半径をRとすれば図から
(a+9/2)^2 + (b-9/2)^2 = (R-9/2)^2,
(a+5/2)^2 + (b+5/2)^2 = (R-5/2)^2,
(a-3)^2 + (b+3)^2 = (R-3)^2,
その差をとれば
-a + 3.5b = R + 3.5
-5a + 5b = R + 3.75
11a - b = R + 2.75
これを使えば
(a, b) = (13/8, 9/2)
R = 85/8. 半径が確定している３つの円の中心をA,B,C, 半径をa,b,c、大円の中心をP、半径をrとしてP,rの満たすべき方程式は
PA + a = r、PB + b = r, PC + c = r
PA +a-b = PBの両辺を二乗して
2PA = 1/(a-b)( PB^2-PA^2 )
右辺はPの座標についての一次式でux+vy+w=0とおくとき(u,v)はABベクトルに平行である
同様にして
2PA = 1/(a-c)( PC^2-PA^2 )
を得るから
1/(a-b)( PB^2-PA^2 ) = 1/(a-c)( PC^2-PA^2 )
を得るが両辺の一時の項の係数のなすベクトルは平行ではない
よってこの方程式を満たすPが一意に定まる
コレはPが満たすべき必要条件であるが解がある事は容易にわかるからこの条件を満たすPが解である >>522
S(x) = aa･arccos(x/a) - x√(aa-xx),
より
S(0) = (π/2)aa = 1.570796326795 aa,
S(b/2) = 1.0404162231472 aa,
S(b) = 0.5510840122076 aa,
ここに b = 0.536900336865209 a,
0～b で積分する所でシンプソン-1/3則を使うと
{S(0)+4S(b/2)+S(b)}/6 = 1.0472575386 aa,
これは π/3 = 1.0471975512 に近い。 N sin(N!π/e)
=N sin(N! πΣ(-1)^k/k!)
= N sin( Nπ(-1)^(N-1)+π(-1)^N+π/(N+1)(-1)^(N+1)πN!Σ[k≧N+2](-1)^k/k!)
= N (-1)^(N+1)sin( π/(N+1)(-1)^(N+1)+πN!Σ[k≧N+2](-1)^k/k!)
= N sin( π/(N+1)-(-1)^NπN!Σ[k≧N+2](-1)^k/k!)
〜Nπ/(N+1)
→π Nが偶数のときは
(奇数) - 1/(N+1) < N!/e < (奇数) - 1/(N+2),
Nが奇数のときは
(偶数) + 1/(N+2) < N!/e < (偶数) + 1/(N+1),
いずれにしても
sin(π/(N+2)) < sin(N!π/e) < sin(π/(N+1)) < π/(N+1), Σ[k=1,∞] (-1)^(k-1) /((N+1)(N+2)…(N+k))
= 1/(N+1) - 1/((N+1)(N+2)) + ……
= 1/N - 2/N^2 + 5/N^3 - 15/N^4 + 52/N^5 - 203/N^6 + ……
より
N・sin(N!π/e) = π{1 - 2/N + (5 -ππ/6)/N^2 - (15-ππ)/N^3 + (52 -(9/2)ππ +(1/120)π^4)/N^4 - (203 -(113/6)ππ +(1/12)π^4)/N^5 + …… } a1,a2,...,an を負でない整数とする
f:R→R が任意の実数yと任意の0でない整数dに対して
Σ[i=1,n]f(y + ai・d) = 0
を満たすとき、f=0であることを示せ >>538
表せないから sin って書いてんだろが。 ln x が x の整式で表せないことを示せ
↑ ちょーかんたんだよね マクローリン展開なら可能ですね。
もっとも係数 (-1)k /(2k+1)! は整数ではありませんが… >>537
環 R[x] は単項イデアル整域であるから、イデアル (Σ_i x^ai, Σ_i x^2ai, Σ_i x^3ai, …) を生成する g∈R[x] がとれる。
イデアル (g(x)) は任意の正の整数mについて、
xをx^mに移す環R[x]のR-準同型写像について閉じているので、g(x^m)はg(x)で割りきれる。
これはgの根を何乗しても再びgの根になることを意味する。
そのような根は0か1の累乗根しかあり得ない。
仮に0以外の根を持つならばgは根として1を持つことになり、g(1)=0 となるが、
Σ_i x^ai ∈ (g(x)) のxに1を代入しても0にならないため矛盾する。
したがって g は根を持っていたとしても 0 のみであり、
これはある非負整数 k が存在して g(x)=x^k であることを意味する。
ゆえに任意の実数yについて f(y)=0 が成り立つ。 >>544
マクローリン展開は0を含む区間で微分可能な
関数に対する式であることを思い出しましょう >>542
それって級数にした後で
それが収束することまで説明しないとだめなんじゃねーの？ >>545 正解
Σ[j=0,m]bj・f(y + jd) = 0 ∀y,d≠0 をみたすbjに多項式 Σ[j=0,m]bj・x^j を対応させて
イデアルになることを利用する問題でした 「実数全体で有界な整式は定数関数に限る」
が言えればいいんだけどな。
リュービルに訊いてみよう… オイラーの公式って
あれって公式じゃなくて虚数への指数関数の定義だよな。
だって公式っていうのは
定義から導かれる定理を数式化したものだろ？
オイラーの式はどの定義からも導かれないので公式(定理の数式化)ではない。
したがって、あれは
オイラーの等式って呼ぶべきだと思う、ぜったいそうよ （ '‘ω‘) e^iπ = -1
↑
単に e^it で t=πの時の値を述べているだけじゃん。
もしも、これを公式と呼ぶのであれば
f(x) = x^2 について x=3 のとき、
x^2 = 9 となる
↑ これも「正方形の公式」だと名付けるのがアリになってしまう。 >>550
P(x) はn次の整式とする。
P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + …… + a_1 x + a_0, (a_n≠0)
n≧1 とすると
x > 2(|a_{n-1}| + … + |a_1| + |a_0|)/|a_n| かつ x>1
に対して
(1/2)|a_n| x^n > |a_{n-1} x^{n-1} + …… + a_1 x + a_0|,
よって
|P(x)| > (1/2)|a_n| x^n → ∞ (x→∞)
∴ P(x) が実数全体で有界ならば 定数関数 (n=0) に限る。 a1,a2,...,an を負でない整数とする
f:R→R が任意の実数yと整数1≦d≦n-1に対して
Σ[i=1,n]f(y + ai・d) = 0
を満たすとき、fは周期関数であることを示せ x^3+x+1=0の3解をα、β、γとしf(x) = α^[x]+β^[x]+γ^[x]としてf(x+3)+f(x+1)+f(x)=0 とするとf(n) = Σciαi^nとおいた時のαiは
p(x)=x^a1+x^a2+‥+x^anとおくときのすべてのdについてのp(x^d)=0の共通解でなければならない
何乗してもp(x)=0の解でなければならないから1の冪根しか許されない >>559
最初f(n)=Σciαi^nとおくというのはとりあえずαi固定してciを与えておくということ？nは0〜n-1で動かす？
何が仮定されてるのか掴みきれなかった (背理法)
sin(x) が整式だったと仮定すると、その零点は代数的数である。
∴ πは代数的数である。
これは リンデマンの定理(1882)と矛盾する。(終)
かなり牛刀だ… P(x) をn次の整式とする。
P(x)^2 + P(x + π/2)^2 は 2n次の整式である。
これが定数関数ならば、P(x)も定数関数(n=0)に限る。 >>560
ちょっと不正確だった
まずxが整数の場合にしてn=3くらいの場合
a1=p,a2=q,a3=r (ただしp≧q≧r=0)とでも置いて
数列f(n)が漸化式
f(n+p)+fn+q)+f(n+r)=0
を満たすのだから方程式
x^p + y^q + x^r=0
の解α、β、γを使って
f(n)=uα^n+vβ^n+wγ^n+... (異なるp-r解の時)
または
f(n)=unα^n+vα^n+wγ^n+... (α=βの時)
または
....
とあるけどめんどくさいので最初の場合だけ考える
コレがd=2の場合の漸化式も満たすから
uα^(n+2p)+vβ^(n+2q)+γ^(n+2r)+...=0
がnについて恒等式よりα、β、γは方程式
x^(2p)+x^(2q)+x^(2r)=0
の解でなければならない
この調子でf(n)の表示に出てくるα、β...は方程式
x^(dp)+x^(dq)+x^(dr)=0
全てを満たさなければならない
しかしそれは一の冪根の時しか起こらない
重解があっても同じ議論(x^dnで括った後の議論がやや長くなるだけ)
しかも周期は高々p-rで抑えられるからするなくとも(q-r)!を周期として持つ
結局f(n+a) が全ての(a∈[0,1))で高々周期(p-r)!を持つのだからf(x)も周期関数 >>563
上の問題は1≦d≦n-1だけが仮定されてる
n=3のときはd=1,2だけど、それで解が1の冪根だけと言える？ sin xがn次の整式f(x)と仮定すると2回微分した-sin xはn-2次の整式である
そしてf''(x)=-f(x)でなければならない
このことからn=0が得られるが、これは矛盾 >>550の解答が王道。
あとのは、三角関数の性質を「お題」にした大喜利。 前>>500
>>521
ホールケーキの円の中心と半円側の端を通るスポンジの傾きをθ,高さを1とすると、
四分円二つの最大高さは2
半円の体積をV1とすると、
四分円二つの体積は(V1/4×2)×4=2V1
つまり三等分。
∴示された。 前>>567補足。
>>521
∴スポンジの角度θは0°＜θ＜90°なら何度でもよい。
(いちごを載せるなら生クリームにめりこませるなど落ちない工夫が必要だが) 前>>567補足。
>>521
∴スポンジの角度θは0°＜θ＜90°なら何度でもよい。
(いちごを載せるなら生クリームにめりこませるなど落ちない工夫が必要だが) 前>>569
数学板
面白い問題おしえてーなスレッド
568
#が全角になって変換しませんでした。
削除してください。
お願いします。
とお願いしてください。
お願いします。 >>521
中央の縦線(x=0)にナイフを入れ、深さの2/3まで切る。
底から1/3の高さで 右側面からナイフを入れ、中央(x=0)まで切る。
できた半円柱を取り出す。
残ったケーキを対称に二等分する。 >>521
横軸をxとする。
スポンジの深さが 1-ax だったとすると
左： ∫[-1,0] 2(1-ax)√(1-xx) dx = π/2 + 2a/3,
右： ∫[0,1] 2(1-ax)√(1-xx) dx = π/2 - 2a/3,
この比が 2：1 になるのは a = π/4 = 0.7854 のとき。
左端の深さ 1+π/4 = 1.7854
右端の深さ 1-π/4 = 0.2146
いちごは、外周に近いところを一周するように載せるとすると
外周も３等分した方がいいのか？ >>575
(a,b,c) = (5,6,9)
O (13/8，9/2) R = 85/8,
x = 12,
(a,b,c) = (4,5,3)
O(0.67255239004416，-1.03758731674027) R = 4.84055882713771
x = 3.58885562536879
(a,b,c) = (5,6,3)
O(0.573818085970165，-2.04527234388066) R = 5.60727128955247
x = 3.39674390621436
(a,b,c) = (3,2,4)
O (-1.10298913452835，0.613994567264175) R = 3.65095110537757
x = 2.46720496707275 >>573
ワイの最高のボケが無視された… （ '‘ω‘) 大円の半径をR,
8R/(b+c) = r とおくと rの2次方程式
bc(a(a+b+c)-bc)rr + {a^3(b+c) +aa((b+c)^2+2bc) - abc(b+c) + 2bbcc}r - (aa+bc)^2 - aa(b+c)^2 = 0,
→ r
→ R = (b+c)r/8,
大円の中心を O (u,v)
u = (b-a){(a+c)(b+c)+8cR}/{8a(b+c)},
v = (c-a){(a+b)(b+c)+8bR}/{8a(b+c)},
第4円の直径をx
(x/2 - u)^2 + (x/2 - v)^2 - (x/2 - R)^2 = 0,
xx/4 + (R-u-v)x + (uu+vv-RR) = 0,
x = 2[-(R-u-v) + √(2(R-u)(R-v))], 二次元xy平面上に長さ有限の曲線Lがある
x軸と平行で、y座標がαの直線と、Lとの共有点を「α切り口」と呼ぶ
(1) ある実数αがあって、α切り口が可算無限個である曲線Lはあるか？
(2) 非可算無限個のαに対して、α切り口が無限個である曲線Lはあるか？
(3) (1次元ルベーグ測度で)ほとんど全てのα∈Rに対して、α切り口は有限個であることを証明せよ >>580
すみません
長さ有限の「連続曲線」という条件を加え忘れていました 部分群を有限個しか持たない群は有限群といえるか？
いえるなら証明を、そうでないなら反例をあげよ。 >>582
言える
反例Gがあるとすればその任意のsub-quotientの中にはGしか反例がないものが取れる
何故ならばGが有限個しか部分群を持たないのでsub-quotientも有限集合になる
特にGの任意のG以外のsub-quotientは有限群になる
Gの単位群でない非自明部分集合の全体をXとする
単位元でないgによって生成される<g>は単位群でない非自明部分群なのでXは空集合でない
g∈Gに対してXへの作用をH→gHg^(-1)で定める
あるH∈XにおいてN_G(H)=Gとなれば、すなわちHがGの正規部分群ならH,G/Hが有限群だからGが有限群となる
任意のHについてN_G(H)が真の部分群なら仮定によりそれは有限群であるが
この時G = ∪[H∈X]N_G(H)は有限集合である 無限群Gは無限個の部分群を持つ：
・位数無限の元が存在するとき
この元をaとすると, <a^k> (k=1,2,...) は異なる(無限個の)Gの部分群
・～しないとき
どの元も有限位数なので, Gは有限生成ではない
極小生成系から a1, a2, ... を取ると, <a1>, <a2>, ... は異なる(無限個の)Gの部分群
---
というわけで, 有限群になる >>584
> どの元も有限位数なので, Gは有限生成ではない
コレはどうやって証明するんですか？ >>584
同じ質問
どうやって証明するんですか？ >>577
(a,b,c)=(4,5,3)
R = (331+84√31)/165,
(u, v) = ((179+21√31)/440, -(157+21√31)/264)
x = (124-√31)/33,
(a,b,c) = (5,6,3)
R = 3(162+55√17)/208,
(u, v) = ((74+11√17)/208, -(61+11√17)/52)
x = (63-√17)/52,
(a,b,c) = (3,2,4)
R = 3(307+105√17)/608,
(u, v) = (-(191+35√17)/304, (229+35√17)/608)
x = (51-√17)/19, 確か二元により生成され、単位元以外の全ての元の位数が5であるような群が
必ず有限群になるかどうかは未解決だったような m個の元から生成されてる自由群の元に一斉にx^n=eの関係式を課すとき群として成立するための条件として知られてるm,nの組はどれくらいあるんだろう？
例えばn=2だったらC2の直積になる気がするけどn=3とかだとどうなるんだ Aをアルファベットとする任意のrelationのワードの集合Rをどんなにデタラメに与えても群<A|R>は構成されますがな ああ、マズいときは生成元が潰れるだけなのか
群として成立するではなく生成元が潰れないというべきだった へぇ
面白いな
こんな問題あったんだ
まぁいずれにせよ有限生成、全ての元位数有限生成から有限群はでないんですな
反例もあると
まあそもそも>>582はどのみち解決してるからいいんだけど まさしく>>590の群は自由バーンサイド群B(m,n)と呼ばれてるものになるのか
そしてB(m,3)は必ず有限群になる
B(2,3)はF_3上のハイゼンベルク群(位数27)、B(3,3)だと位数2187の群になると… B(1,n) は巡回群 Z_n，位数 n,
n=2 のときは B(m,2) = (Z_2)^m, 基本アーベル群，位数 2^m,
n=3 のときはバーンサイド自身によって有限性が示された。(1902)
n=4 の場合の完全な証明はかなり遅れて1940年にサノフによって得られた。
B(2,4) は位数 2^12,
n=6 の場合はホールが1957年に証明した。
B(2,6) は位数 2^28・3^35,
(参考文献)
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984) p.115-116
W. Burnside: Quart. J. Math., ３３, p.230-238 (1902)
I. N. Sanov: Leningrad State Univ. Ann., １０, p.166-170 (1940)
M. Hall: Proc. Nat. Acad. Sci., ４３, p.751-753 (1957) a1,a2,...,an を負でない実数とする
f:R→R が任意の実数yと整数1≦d≦n-1に対して
Σ[i=1,n]f(y + ai・d) = 0
を満たすとき、fは周期関数であることを示せ >>599
めんどくさいのてn=4, a:0,3,7,12くらいで
p(x) = x^0 + x^3 + x^7 + x^12とおく
既出のように定数cを任意にとる時、p(x)の根α,β,‥と定数u,v,‥を
f(k+c) = uα^k + vβ^k+‥
を満たすように取れる
条件によりα,α^2,α^3は全てp(x)の根でなければならない
よってα^3=θ、α^7=φ、α^12=ψとおくと
θ+φ+ψ = -1
θ^2+φ^2+ψ^2 = -1
θ^3+φ^3+ψ^3 = -1
である
一方で1の原始4乗根をζ、ζ^2=ξ、ζ^3=ηとすれば
ζ+ξ+η=-1
ζ^2+ξ^2+η^2=-1
ζ^3+ξ^3+η^3=-1
であるからαはζ、ξ、ηのいずれかとなる >>600
ごめん分かりにくかったかもだけど
新たな問題としてa_iたちを実数に変えた >>601
条件コレで終わり？
同じのが入ってもいいの？ >>602-603
遅くなって申し訳ない
条件はそれだけで同じのでも大丈夫です 例えば
f(x)+f(x+1)+f(x+π)=0,
f(x)+f(x+2)+f(x+2π)=0
の条件だけから周期性が言えるってこと？ちょっと信じられんが
一つ目から
f(x+2π)=f(x+π)+f(x+π+1)
=f(x)+2f(x+1)+f(x+2).
二つ目から
f(x+2π)=-f(x)-f(x+2).
ゆえに
f(x)+f(x+1)+f(x+2)=0.
いけたわ…まじか >>606
誤
f(x+2π)=f(x+π)+f(x+π+1)
正
f(x+2π)=-f(x+π)-f(x+π+1) n個の変数x1,…,xnの1次以上n-1次以下の基本対称式で生成される
環 R[x1,…,xn] のイデアルの多項式 (x1)^n-(x2)^n が属することを示せば良さそうだな 定理 N次元空間上の関f(x1,...,xN)が任意の点(a1,...aN)と1≦k≦Nに対し
f(a1,...,aN)
+f(a1+k,a2,...)...+f(a1,a2,...,a(N-1),aN+k)=0
を満たすとき
Σ[k=0,N]f(a1+k,a2,...,aN)=0
である
以下N次元空間の単位ベクトルeiを第i成分のみ1であるものとしE = { ei | i:1〜N }とおく
条件は格子点Pと1≦k≦Nに対し
f(P) + Σ[e∈E]f(P+ke) = 0
と書ける
また1≦k≦Nに対し
Zk = { (x1,...,xN ) | xi = 0 (∀i>k) }
Tk = { (x1,...,xN ) | xi ≧ 0 (∀i),Σxi ≦ k }
とおく
補題
1≦k≦Nに対し
Σ[v∈Tk]f(P+v) = 0
∵ )
0 = Σ[1≦i≦k, 0≦j≦k-i, v∈E, w∈Tj ]f(P+iv+j)
= k Σ[v∈Tk]f(P+v) □
定理の証明
1≦k≦Nとk≦l≦Nに対して
Σ[v∈Z(N-k+1)∩Tl]f(P+v)=0
を示せばよい
k=1の時は補題である
k<k0の時示されたとしてk=k0とする
k≦l≦Nに対して帰納法の仮定から
Σ[v∈Z(N-k+2)∩Tl]f(P+v)=0
Σ[v∈Z(N-k+2)∩T(l-1)]f(P+e(N-k+2)+v)=0
であるが辺々引けば
Σ[v∈Z(N-k+1)∩Tl]f(P+v)=0
である□ 補題の証明の訂正
補題
h(x1,...,xN) = Σxi
とする
1≦k≦Nに対し
Σ[v∈Tk]f(P+v) = 0
∵ )
0 = Σ[w∈T(k-1),1≦i≦k-h(w) ]
(f(P+w)+Σ[e∈E]f(P+w+ie))
= kΣ[v∈Tk]f(P+v). □
>>611
>>599の解答
>>599の関数f(x)に対しan=0としてよい
N=n-1とおけば
F(p) + ΣF(p+d ei)
= f( c + Σaixi ) + Σ[i=1,n-1]f( c + Σaixi + aid )
=0
で定理の条件満たす
この時定理により
0=Σ[k=0,N]F(k)=f(c+a1k)
なのでfは周期関数
まぁ>>606のアイデア一般化してまとめただけやけど うーん、読み辛い
Fとは何？
あと、任意の点と言ったり格子点と言ったり変数の範囲が実数なのか整数なのか不明確 >>613
出題のfと定理で使ったfが被ってしまったので定理の方をFに変えた
別に読まなくてもいいよ
基本>>606がやったのと同じ
そもそも>>599はaiがただの実定数で条件式は連続性もなんもないただの代数関係なので事実上a1〜anをいくつか足したり引いたりして写り合う格子上の関係式に過ぎないすなわち>>599は例えばN=2の場合
階数2の格子Z^2上の関数Fが
F(x,y) + F(x+d,y)+F(x,y+d)=0 (1≦∀d≦2)
を満たす時F(x,y)+F(x+1,y)+F(x+2)=0
を示せ
と言ってるのとほぼ同じ
>>599がやった計算は格子点が
A
BC
DEF
でF(P)を[P]と略記すれば条件より
0 = ( [A] + [B] + [C] ) + ( [B] + [D] + [E] )
+( [C] + [E] + [F] ) + ( [A] + [D] + [ F] )
= 2 ( [A] + [B] + [C] + [D] + [E] + [ F] )
となる
コレはN=2の場合たまたまそうなったわけではなく、よくよく考えると一般のNでも一辺kの“N+1面体”でもその中の“小N+1面体”を全部足し合わせれば中の各点をk回ずつ出す事になる
それが補題
N=2の場合は[A]+[B]+[C]=0なので即[D]+[E]+[F]=0になるけどN≧3の時は線分だけ残して残り全部取り去るのはいくつかステップ踏まないとダメだけどできるって主張が定理
コレもN=3,4くらいでやってみればすぐわかる
あとはまとめただけ 最初にそう書いてくれれば…
だから>>610は最初から整数格子上での話だったわけだ でもコレ中々面白かった
>>599読んで、ああコレ実は格子上の関数の話に過ぎないと気づいてノートに>>614の図書いて「なーる、コレで0になるのか」と気づいた
でN=3とN=4に拡張できるかやってみてちょうど中の点が3回ずつと4回ずつでてきたの見た時は「おおぉ」と唸ってしまった
なんか重さ調整して上手いこと足しあわせればできるやろなとは思ってたけど、最初試しにダメ元で全部重さ1で足してみたらそれだけでうまくいってなんかすごくいい気分だったな ニュートンの恒等式で普通に解けるけど、
まあ>>610の方がこの問題には特化してるか。 f(x) + f(x+1) + f(x+π) = 0,
f(x+1) + f(x+2) + f(x+π+1) = 0,
f(x+π) + f(x+π+1) + f(x+2π) = 0,
と
f(x) + f(x+2) + f(x+2π) = 0,
から f(x+π), f(x+π+1), f(x+2π) の3つを消去すれば
f(x) + f(x+1) + f(x+2)=0,
階差をとれば
f(x+3) - f(x) = 0,
同様に f(x+1), f(x+π+1), f(x+2) の3つを消去すれば
f(x) + f(x+π) + f(x+2π) = 0,
階差をとれば
f(x+3π) - f(x) = 0, 2以上の自然数nに対して、
2+2^(1/2)+2^(1/3)+...+2^(1/n)
は無理数であることを示せ. >>619
LをQ(2,2^(1/2),2^(1/3),...,2^(1/n)のガロア閉包とする
1≦k≦nに対してKをQ(2^(1/k))のガロア閉包とすれば
tr[L/Q](2^(1/k))
= tr[K/Q](tr[L/K](2^(1/k)))
= tr[K/Q]([L:K]2^(1/k))
= 0
よって
tr[L/Q](2+2^(1/2)+2^(1/3)+...+2^(1/n)) = 0
であるが2+2^(1/2)+2^(1/3)+...+2^(1/n)>0により2+2^(1/2)+2^(1/3)+...+2^(1/n)は有理数ではあり得ない >>580
ヒントおながいします
(2)はある？ない？ >>623
(1)も(2)も「あります」
(2)のヒントはカントール集合です (3)のヒントですが、αについて、α切り口の個数を積分すると、とある値になります
そこから証明できます なるほど
切り口無限のaが測度>0ならその積分値は無限になるはず、でも有限だからそんな事はないか
もそっと考えてみる >>626
仰る通りです
積分の有限性を曲線の長さの有限性に帰着させれば勝ちです 無理数の無理数乗が有理数になることはあるか?
とかどうっすか 君がブラウワーじゃないなら
2 = √2^√2^√2 結局√2^√2が無理数って直接は証明されてないの？
証明されてても良さそうなもんだけど >>634
おお
でもその証明の中で排中律使ってそうではあるw
どうなんだろうか だから (√2)^log_2(9)=3 という明らかな例があるんだからそれを出せばいいとあれほど log(2)9より√2の方が無理数だとわかりやすいからね しかし√2^√2の無理性は相当に難しい
log[2]9の無理性なら高校生でも理解できる
その意味では√2^log[2]9の方に分がある気もする >> 無理数の無理数乗が有理数になることはあるか?
√2^√2が有理数ならこれがその例である
√2^√2が無理数なら2 = √2^√2^√2がその例である
√2^√2の無理性を証明する必要はない オイラーの等式より
e^iπ = -1
e … きっと無理数！
iπ … ぜったい無理数！！
証明終わり！ 虚部が無理数だから
虚数の無理数やろがい！！
実数だったら実数って家や、ハゲ！ 虚数の無理数の虚数の無理数乗が有理数になることはあるか >>650
神戸大文系おじさんですが
めっちゃ早口で長文失礼します！
これって問いとして成立しないだろ。
指数の関数のうち、基底部が虚数だと
(実数でやるような)累乗の操作が出来ないじゃん。
実証の例…
a = (i^4) とおくと
a = i^4 = -1 * -1 = +1
また b = +1とおく。
この時点で、 a = b が成立している。
つぎに、これの両辺を 3/4乗すると
a^(3/4) = (i^4)^(3/4) = i^3 = -1 * i = -i
b^(3/4) = 1^(3/4) = 1
以上より 左辺と右辺が等しいので
-i = 1 が得られ… るわけねーだろ、ハゲ！！
指数の関数の低に虚数を置くな、ハゲ！！ p^4+10^4≡1 (mod 200)をみたす200以下の素数pをすべて求めよ p^4 ≡ 1 ( mod 8 ) iff p odd
p^4 ≡ 1 ( mod 25 ) iff p ≡ 1,7,18,24 ( mod 25 )
p = 101,151,7,107,157,43,193,149,199 p^4 ≡ 1 (mod 16) iff p:odd
(略証)
{p-1, p+1} は共に偶数で、一方が4の倍数。
pp - 1 = (p-1)(p+1) = 8a,
pp + 1 = 2b, (b：奇数),
p^4 - 1 = 16ab, 自然数nをいくつかの正の実数の和に分割したとき、それらの積の最大値をM(n)とする.
極限lim(n→∞)M(n)^(1/n)を求めよ. >>652
p^2-1 = 24m
を使って ガーってしてグワー！ってやったら
簡単に解けそう。 まづ、nをk個の正数の和に分割する。
積の最大値は AM-GM により (n/k)^k である。(全部 n/k のとき)
次に個数kを変えて
M(n)^(1/n) = (n/k)^(k/n) が最大となるkを求める。
x^(1/x) が最大となるのは x=e のとき だから
k は n/e をはさむ自然数 |k - n/e| < 1,
(1/n)log(M(n)) = (k/n)log(n/k)
≒ 1/e - (e/2nn)(k - n/e)^2 → 1/e (n→∞)
M(n)^(1.n) → e^(1/e) (n→∞) (補足)
|e - n/k| = (e/k)|k - n/e| < e/k → 0 (n→∞)
∴ x = n/k → e (n→∞) >>643
This number was used in a non-constructive proof that
an irrational number raised to an irrational power may be a rational number:
"(√p)^(√2) is either rational or irrational.
If it is rational, our statement is proved.
If it is irrational, {(√p)^(√2)}^(√2) = (√p)^2 = p, proves our statement." (Jarden, 1953)
http://oeis.org/A078333 >>637
>>642
a,b (≧2) は互いに素な自然数とする。
log_a(b) = m/n (m,nは自然数)
と仮定すると
b = a^(m/n),
b^n = a^m,
これは互いに素であることに反する。
∴ log_a(b) は無理数。 >>662
これって a が自然数ってところの条件は
外しちゃってもいけるかな？bだけ自然数にして。
assuming , log_e(b) を有理数
Then,
log_e(b) = ln_(b) = m/n
(b は自然数、 m,n は互いに素な自然数)
b = e^(m/n)
→ b^n = e^m
→ e^m - b^n = 0 … 式A
ここで f(x) = x^m -b^n = 0 という
有理係数の代数方程式について考える。
式Aは この方程式の解 x = e の場合に相当する。
ところが、 e は超越数であるので
この方程式の解には成り得ない、よって式Aは成立しない。
以上より bが自然数のとき、
ln_(b) は必ず無理数となる。 >>657
その神はコロナウィルスに感染してるかも。
気をつけて… >>664
「e が超越数である」
っていうのは定義でもないし持ち出したら不味いかな…。
d(sinx)/dx = cos(x) くらいの軽いノリで
持ち出したけど… >>668
部分積分を繰り返す。
∫[0,x] t^4 exp(-t) dt
= [ - (t^4 + 4t^3 + 12t^2 + 24t + 24) exp(-t) ](t=0,x)
= 24 - (x^4 + 4x^3 + 12x^2 + 24x + 24)exp(-x)
→ 24, (x→∞)
(s-1) ζ(s) → 1 (s→1+o),
{(2√2)/9801}Σ[n=0,∞] (4n)!(1103+26390n)/{(n!)^4･396^(4n)} = 1/π,
ラマヌジャンの公式
24×1 + 10 + 44 = 78 かな? >>666
eが超越数であることはエルミートによって1873年に証明された。
(参考書)
数セミ増刊「数学100の定理」日本評論社 (1983) p.85 >>671
サンクス。
んじゃ eが超越数であるので
「kが自然数である時、ln(k) は無理数となる」
って当たり前のように使ってもええんやな。
d sin(x) /dx = cos(x) くらいのノリで。 論文書くつもりなら問題ないわな
しかし自分の数学力を上げたいと思うならそういう態度は大概マイナスになる
エルミートの定理の証明なんて大して難しくないものを「××に証明されてる」で終わらせる“引用病”に陥る ○ ◻︎ △に数字(自然数)を入れて正しい式にしましょう
○÷(◻︎+△) + ◻︎÷(○+△) + △÷(○+◻︎) = 4 ○=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999
△=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579
◻︎=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036 >>670
わーすごい！！ありがとうございます！！ 今日撮った写真を、明日以降撮った写真でないことを、１週間後に証明したい。
現実的で、簡単な方法は？ >>679
写真を撮った後に髪を染めたりして証拠を残す >>679
写真を現像して
それを銀行の金庫で預かってもらう。
手続きとその書類はちゃんと保存しておくこと。
で、1週間後に証拠を見せる相手と一緒に受け取りに行く。 当日の日付がはいった新聞と一緒に撮影して、
ただちにそのデジタル画像をNFT化しておく。 机の上にコインが1枚だけ置かれている
正方形状に4枚コインを追加するもしくは取り去るを何度か行い最初とは別の位置にコインが1枚だけ置かれている状態にせよ ただし正方形の大きさや角度は自由で、途中コインを同じ位置にも重ねて置けるとする 000
010
000
↓
000
021
011
↓
010
122
021
こういうイメージかな？
数字はその場所にあるコインの枚数 {A, B, ..., I} = {1, 2, ..., 9}とする.
AB|C
+DE|F
--+-
GH|I
+|
という虫食い算が成り立つ時 A, B, ..., I を求めよ.
※縦方向と横方向でそれぞれ足し算の筆算が成立している.
※解は2通りある. すみません。ずれちゃいましたが酌んでくれると助かります。
□□|□
+□□|□
―――+―
□□|□ >>689
無の盤面から可能な配置を考える。
>>691的な書き方を使うことにする。
011 000 010 001
011 110 101 020
000 110 010 100
左から (一番目)+(二番目)-(三番目) を実行して (四番目) を得る。
000
121
000
等の配置も縮小や回転により可能として良い。
121 000 101 020
000 000 000 000
000 121 101 020
左から (一番目)+(二番目)-(三番目) を実行して (四番目) を得る。
000
022
000
等の配置も縮小や回転により可能として良い。
1210 0121 0220 1111
左から (一番目)+(二番目)-(三番目) を実行して (四番目) を得る。
（必要であればあらかじめ周りに十分細かい
11
11
を格子状に十分に配置することにより、
0220等の特定の配置をマイナスするために一時的にコインを取り除く必要がある別の点いおいても
コインの不足が起きないようにすることが可能）
よって、初期配置の 10000 に対して 01111 を足して 11110 を引けば
00001 を得る。 >>698
おお、戦略的な解き方ですね
正解です！
自分が用意していた答えはパズル的なもので
12枚の追加と消去で実現するものです
これも是非考えてみてください >>689
いくつか解を作ってみて思ったんだけど
コインの置ける所を格子点に限定した場合
初期コインの座標が(0,0)なら
最終コインの座標は(4(n+m),4(n-m))(n,m∈Z)と書けるときのみ実現可能な気がする
((2(n+m),2(n-m))が必要なことまでは示せたが…さて) >>694
プログラムで総当たりして検索
[,1] [,2] [,3]
[1,] 4 8 2
[2,] 1 5 7
[3,] 6 3 9
[,1] [,2] [,3]
[1,] 5 8 3
[2,] 1 4 6
[3,] 7 2 9
※解は2通りある. を確認 >>694
プログラムついでに０も許すと
[,1] [,2] [,3]
[1,] 2 9 1
[2,] 0 5 6
[3,] 3 4 7
[,1] [,2] [,3]
[1,] 2 9 1
[2,] 0 6 7
[3,] 3 5 8
[,1] [,2] [,3]
[1,] 4 8 2
[2,] 1 5 7
[3,] 6 3 9
[,1] [,2] [,3]
[1,] 5 9 4
[2,] 0 2 3
[3,] 6 1 7
[,1] [,2] [,3]
[1,] 5 8 3
[2,] 1 4 6
[3,] 7 2 9
[,1] [,2] [,3]
[1,] 6 9 5
[2,] 0 2 3
[3,] 7 1 8
の６通りになった。 S^dはd次元球面とする
S^(n+1)の部分空間XがS^nと同相であるときS^(n+1)＼S^nはちょうど２つの連結成分を持つ事を示せ 森重文さんが高校時代に解けなかったとかいう「大学への数学」誌上の問題について
どなたかご存じの方、その問題内容を教えていただけませんか？
「x>0を無理数として……等差数列についての問題……」らしいのですが。
（著作権の問題があるようでしたら参考文献でも教えていただければありがたいです） 次回からスレタイ変えようよ
「面白い数学の問題おしえて〜な」とかにしてさ
数学関係ない問題が多すぎる
いつ撮った写真か信じさせるとか山はなぜ美しいかとか意味わからん
数学板に何しにきてるんだか Σ(k=1～n) 1/(sin(x/2^k))=- sin3x/((sin2x)(sinx))をみたすxを求めよ。ただしnは自然数。 分からない問題スレにもあるってことは答え用意してないパターンか 対角成分が偶数、その他の成分が奇数であるようなm次正方行列のランクがm-1以上であることを示せ。 mod2でそのような偶数次の行列式は≡1だから
(帰納法で対角0他1の(m+1)次の行列式は(-1)^m×m) 任意の正の整数nに対して
(1/n)Σ[k=1,n]log[n]k>1/2
が成り立つことを示せ． n=2もダメじゃないか
まぁ等号も許すとして
k(n-k+1)≧nをk=1〜nまで掛けて(n!)^2≧n^nかな >>717
おっと,そうでしたね
まさにその不等式が元ネタの不等式でした Σ[k=1,n]log(k)
>∫[x=1,n]logxdx ( always holds )
=nlogn-n+1
>1/2logn
holds if (n-1/2)(logn-1) + 1/2 > 0
if n>e.
LHS = RHS = 1/2 if n=2. (1) どんな三角形でも、3分割して組み替えることで鏡映に出来ることを示せ.
(2) 内角が全て自然数°の三角形は2分割して組み替えることで鏡映の出来ることを示せ.
(ここでn分割とは、n個の連結成分の和にすることとする) どんな球でも少なくとも5分割して組み替えることで元の球が2つできることを示せ. >>721
折れ線とはなんでしょうか
>>722
(2)は右の切れ端を左に写す時に鏡映にしているので不正解ですね >>722
(1)については正解です 素晴らしい
こちらが用意していた解法は、内心から辺に垂線を引き、その垂線で切断して組み替える、というものでした >>722
ごめん(1)はよく見たら不正解でした
角度の違う三角形になりませんか？ >>728
合ってるのでは？
最大角から下ろした垂線の足から2辺の中点に向かって切れば二等辺三角形よっつに分かれる
真ん中の線は切らなければ切るのは２箇所 >>729
大変失礼しました
下２つの三角形は確かに二等辺になりますね >>731
イメージはこうです
最近趣味で独学で数学の勉強を始めました。
掲示板に初書き込みします。
問題というか問題提起なんですが、
「運」というものを数学的に定義してみたくて記述方法を考えています。
結果の良し悪しは関係なく低確率であればあるほど値が高くなり、
かつ数学的に処理しやすい定義を思いついたので評価して下さい。
要約すると、運の総和は0（ゼロサムゲーム）になることと、
確率によって運の大小関係がはっきりとするような実数値（運値）を定義します。
確率X(1), X(2), X(3)……X(n)とする時
運値をそれぞれY(1), Y(2) ,Y(3)……Y(n)とする。
そしてk番目の運値Y(k)を
Y(k)=(1/k){1-kX(k)}と定義することにする。
確率の総和
Σ [k=1, n]X(k)=1
となることから運値の総和は
Σ [k=1, n]Y(k)=0・・・①
となる。
このとき、このY(k)についての偏差値、
すなわち運の偏差値は一般的な統計学と同様に
Z(k)=10{Y(k)-μ}/σ+50
で求めることにする。
このときΣ [k=1, n]Y(k)=0より
μ=0である。
したがって
σ=√{Σ [k=1, n] Y(k)^2/n}
=(1/n)√{nΣ [k=1, n] X(k)^2-1}
また10を底とし運指数を指数とした数 I(k)を定義する。
つまり
I(k)=10^Y(k)・・・②
また①を満たすので、指数法則により
Π [k=1, n] I(k)=10^{Σ [k=1, n]Y(k)}
=10^0=1
となり、運を指数表記で評価することもできる。
というものです。独学ゆえ私が単に無知なだけだったらすみません。 （√（A_n＋1 －α＾2）－√（A_n －α＾2）＝ A_n
ただし、A_1 ＝ √（α＾2＋β＾2）
この時、A_n を求めよ。 >>734
よく分からんけどギャンブルの数学の小ネタを教えてやろう。
例として100人を集めてコインの裏表を当てるゲームをやるとする。
表が出れば +1万円、裏が出れば-1万円。
毎回 1/2 の確率であたったりハズレたりするので
1万回ほどやれば全員が期待値である ±0円 へ近づく。
結果としては、大勝する人や大負けする人がわずかに居るが、
大抵は ±0円となる。 これは常識だろう。
ところが、途中経過での収支
(例えば500回目での勝ち負け金額) について見てみると
面白いことに偏りがあり arcsin の形になる。
つまり、収支がマイナスの者が約45人、プラスの者が約45人、
ほぼプラマイ 0 の者が約10人というように。
結果として、ゲーム大会中にずっと機嫌の良い45人とずっと機嫌の悪い45人と
普通の10人に分かれる。
繰り返すが、最終的な着地点、収支は同じだろうに…だ。
これの応用として、パチスロなどのギャンブル番組では
プレイヤーを4人以上用意する。
プレイヤーが1人だと撮影時間中にずっと不機嫌になる危険性があるため。 >>734
です。申し訳ありません。数式に誤りがありました。
誤：Y(k)=(1/k){1-kX(k)} 正：Y(k)=(1/n){1-nX(k)}・・・☆
これで①を満たすよね…… Σ☆＝(n/n)-(n/n)Σ [k=1, n]X(k)=0
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿________________
正しく書き直すと、
確率X(1), X(2), X(3)……X(n)とする時
運値をそれぞれY(1), Y(2) ,Y(3)……Y(n)とする。
そしてk番目の運値Y(k)を
Y(k)=(1/n){1-nX(k)}・・・☆と定義することにする。
確率の総和
Σ [k=1, n]X(k)=1
となることから運値の総和は
Σ [k=1, n]Y(k)=0・・・①
となる。
このとき、このY(k)についての偏差値、
すなわち運の偏差値は一般的な統計学と同様に
Z(k)=10{Y(k)-μ}/σ+50
で求めることにする。
このときΣ [k=1, n]Y(k)=0より
μ=0である。
したがって
σ=√{Σ [k=1, n] Y(k)^2/n}
=(1/n)√{nΣ [k=1, n] X(k)^2-1}
また10を底とし運値を指数とした数I(k)を定義する。
つまり
I(k)=10^Y(k)・・・②
また①を満たすので、指数法則により
Π [k=1, n] I(k)=10^{Σ [k=1, n]Y(k)}
=10^0=1
となり、運を指数表記で評価することもできる。 ＞＞738
逆正弦法則のことですね。
これも何かしらの数学的操作をすることによって
運に相当する曲線が求まりそうだと感じております。
ご指導ありがとうございます。 活用例：確率X(1)=5/10, X(2)=3/10, X(3)=2/10 のとき、
運値Y(1)=-5/30, Y(2)=1/30, Y(3)=4/30を取る。
ここで運値に対しての標準偏差は
σ=√(14)/30≒0.12472……なので、
偏差値Z(1)=10*(-5/√14)+50≒36.6369……
偏差値Z(2)=10*( 1/√14)+50≒52.6726……
偏差値Z(3)=10*( 4/√14)+50≒60.6904……
また運指数I(k)=10^Y(k)より
運指数I(1)=10^(-5/30)≒0.681292……
運指数I(2)=10^( 1/30)≒1.079775……
運指数I(3)=10^( 4/30)≒1.359356……
高確率ならば運値は低く、低確率ならば運値は高くなり、
正負のある実数値として運値は現れるので、その確率を引き当てたときの
その人の運の数値化・視覚化に役立つのではないだろうか？ >>732
多分こういう事だと思うんだけど
https://sagecell.sagemath.org/?z=eJyljzsOgzAMQPdIuYPFlA8FNWXlJChDEgGNiJII6NDb11CEmLp0sGzLz0-2gRYUJRbTgxKHqaFkffarwTL7WtUMDEiwGA44JZTkO46CX1YGnUsLm8TO83Lx8WxAw5BmmMBH6AyU5qaElUq4qjLyKPXmy-pfWyMsmvC-bhew3c-PzXrTmKvzx1xrSgY_bp-n8B5TZIDPli6FNLeFDa--4F9CXhF1ItnH6UA-8idh7g==&;lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==
でもこれだと３つの角を2aθ,2bθ,2cθ (a<b<c)として
c-b|2b,c-a|2a,b-a|2a
のどれかが成り立ってないとうまくいかないと思う
(図の例は(a,b,c=(2,3,4))
例えば(a,b,c)=(2,5,8),θ=π/30のときダメじゃない？ 2011年頃の東大模試だったとおもうのですが・・・
log10(2)について、１０進数で表したとき小数点以下でもっともよく現れる数字は？
みたいな問題を知ってる人いないでしょうか？（あやふやでloge(2)だったかも・・・）
ご存知の人いましたら教えて頂けないでしょうか。 円周上に自由に4点ABCDをとる。四角形ABCDが円の中心を含む確率を求めよ。 >>744
正規数の問題
√2が正規数か否か解決してないやろ >>745
原点を含む事象をAとする
中心を極とする極座標での各点の偏角をa,b,c,dとする、ただし偏角は[-π,π)をとるとする
a=0,b,c>0,d<0という事象Eを考えてP(A)=P(A|E)である
bcd座標空間においてO(0,0,0),X(π,0,0),Y(0,π,0),Z(0,0,-π)とする
Eはこの座標空間の一辺πの立方体でA∩Eは四面体OXYZの外側である
よってP(A|E)=2/3である >>748
答えてるやん？
問題がそのままその通りなら未解決問題やっての 訂正
log[10]2の正規性は完全にオープンっぽいな
正しいとも間違ってるともわかってないっぽい
↓わかってたら書いてると思う
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E6%95%B0
もちろん受験で出るハズもない まあたぶん 2^n の最高位の桁に最もよく表れる数字は？の記憶違いでしょう >>751
ありがとう
なんか場合分けして各確率を出してたようなきがする・・・
底がeかもだけど思い出せなくて >>751
とりあえず
1234567890/9999999999
は世紀数でおk？ 初めて知ったけど、この定数の連分数展開面白いね
かなり気まぐれに数字が爆発してる
https://oeis.org/A030167/a030167.txt
円周率なんかの連分数はずっと安定して見える
https://oeis.org/A001203/b001203.txt
数字が爆発する箇所は一応予想もされてるようだ 元の10進小数で同桁数の進行部分は有理数的だから、桁数が上がるところで連分数近似の補正も大きくなるということか >>745
偏角を一様分布乱数を発生させて１００個描出してみる。
https://i.imgur.com/MzNlS4n.png
このケースでは５０個が中心がABCDの内部にある。
俺は面積使ってプログラムにカウントさせたが、尿瓶おまる洗浄係とその仲間なら学問の矜持によって手作業でカウントするであろう。
１００マンコやって数えてみると、
> replicate(1e6,f()) |> mean()
[1] 0.500236
予想は1/2だな。
おまけ
R言語(ver4.1.1)のコード
f=\(print=FALSE){
arg=sort(runif(4,-pi,pi))
P=exp(1i*arg)
O=0i
A=P[1]
B=P[2]
C=P[3]
D=P[4]
S2=ABC2S(A,C,B)+ABC2S(A,C,D)
S4=ABC2S(O,A,B)+ABC2S(O,B,C)+ABC2S(O,C,D)+ABC2S(O,D,A)
if(print){
source('toolmini.R)
Plot(-1,1,axes=F)
pt(O)
Cir(0i,1,col=8)
for(i in 1:4) pt(P[i],LETTERS[i])
Polygon(P[1:4])
cat(c(S2,S4,'\n'))}
S4-S2<1e-10
}
layout(1) ; f(T)
par(mfrow=c(10,10))
par(mar=c(0,0,0,0))
re=numeric()
for(i in 1:100) re[i]=f(T)
mean(re)
replicate(1e6,f()) |> mean() n以下の自然数を10進数表記したとき、先頭の数が1である確率をP(n)とする
limsup_{n→∞} P(n)
を求めよ. 先頭桁がkである事象をEkとする
P(E1)=...=P(E9),P(E1)+...+P(E9) = 1 おっと訂正
n=10^m-1の時はP(E1)=1/9
n=2×10^m-1のとき
P(E1)
=P(E1|X<10^m)×P(X<10^m)+P(E1|X≧10^m)×P(X≧10^m)
=1/18+1/2
=5/9
∴収束しない >>762
上に有界な数列の「limsup」なので値は存在します >>765
"ベートーベンの法則"や英語でググってもこのスレの765の発言しか出てこないんだがどういう法則？ ああ、ベンフォードの法則か
ボケを殺してしまったみたいで申し訳ない >>745
中心が四角形の辺の上にあってもよいとしてシミュレーションしても1/2になった。
1万回やって0.5005の結果だった。
解析解と乖離しているなぁ。 >>768
アホか
条件付き確率で3/4かけ忘れてるだけやろ
誰も突っ込まないのはみんなそんな事わかりきってるから
もう終わってる問題をいつまでもいつまでもいつまでもいつまでも
ええ加減にせえや能無し >>747
a=0,b,c>0,d<0
という設定にすると
b,c,dの偏角がすべて正の場合やすべて負の場合が排除されているので
>円周上に自由に4点ABCDをとる
という題意に反する。
a=0,b,c>0,d<0
の設定
すなわり、bは[-π,π),ｃは[0,π),dは[-π,0)とから乱数発生させて１００個シミュレーションすると
https://i.imgur.com/9zlwAGq.png
図では62個が四角形ABCDの内部に円の中心がある。
１万回シミュレーションして
> replicate(1e4,f()) |> mean()
[1] 0.6561
>
>747のとおり、ほぼ、2/3と返ってきた。
シミュレーションと一致して気分が( ・∀・)ｲｲ!! んで、＞誰の心にも届かん
というのは証明はまだ終わっていないぞ。 そういう当たり前の話を人から言われてやっと気付ける無能 >>769
終わってない問題といえばこれ！
んで、＞誰の心にも届かん
というのは証明はまだなの？
学問の矜持という道具は無力なのかよ？
あんたは、
俺の心に届かん
を
誰の心にも届かん
と一般化してんじゃないの？
一般化するなら証明がいるぞ。
証明まだぁ？？ 文章の意味すら取れてない
こんな簡単な文章すら理解できないクズ >>774
他人のどうこう言う前にスレタイ位読めるようになれよ 発展問題
円周上および円内に自由に4点ABCDをとる。四角形ABCDが円の中心を含む確率を求めよ。 >>777
凹四角形の場合はどの四角形を選ぶかで中心を含むかどうかが変わるから面倒だな。 >>778
少なくとも１つの凹四角形が中心を含めばよいことにする。
まず、実験
https://i.imgur.com/6pQn1c6.png
１００個中４９個が中心を含んでいる。 >>779
解析解を出せればネ申だね。
モンテカルロ解と照合したいのでよろぴく。 >>782
100万回のシミュレーション
> replicate(1e6,f(F)) |> mean()
[1] 0.499463
0.5の予感。 自分で自分の答え出せてないじゃん、アホか？
まあアホだからこんな寝言言ってるんだろうが シュミなんか組むまでもない
自分でどれだけ意味ない問題出したのか気づけない時点でどうしようもない無能だが、最低でもシュミ組んで答えわかった時点でまだ自分がどれだけ意味ないこと言ってる無能か気付けない
無限に無能 四角形の内部にあるかの判定をどうプログラムするかが面白い。
ベクトルの外積で判定させた。 全ての多角形は鋭角三角形の有限直和であることを示してください >>787
だから自分で自分の答えも出せないようなクソみたいな問題出すなって言ってんだよ
引っ込んでろ無能ゴミジジイ >>786
理論と現実が乖離するのは治験では時折みられる。
不整脈死が増えたCAST試験はしばしば言及される。
シミュレーションできるものはシミュレーションした方が( ・∀・)ｲｲ!!
麻酔分野ではTIVAの登場以来、３コンパートメントモデルを用いてシミュレーションした論文が多いね。
俺もフェンタニル投与のタイムミングを決めるのに使っている。
抜管して退室させたいから。 応用問題
円周上および円内に自由に4点をとる。４点を結んで凸四角形ができる確率を求めよ。 「ベルトランのパラドックス知らんのか」って言われてるのに
なおも阿呆な主張を続ける謎 発展問題
円周を含む円の内部に順にA,B,C,Dの点を無作為に選ぶ。
A,B,C,D,Aを順に線分で結んだときに凸四角形が形成されてその内部（辺を含む)の円の中心が含まれる確率はいくつか？ >>794
アンタはもうここにいる資格ないから
隔離スレででも喚いてろ 自分で出しておいて自分で答え出せないアホが発展問題だってw >794(補足)
The proof of the pudding is in the eating.
100回実験してみた。
https://i.imgur.com/3B7urNS.png
凸四角形が円の中心を含んだら赤丸で表示
13個が該当した。
解析解が投稿されたら100万回の結果と照合してみよう。 >>790
で、いつになったら板名やスレタイ読めるようになるんだ？ >>797
解析解を求める問題なら解析回用意してから出せよ。クズ 複素解析、多変数関数解析、解析学の概論…
って色々な科目名をみかけたけどさ。
工学部の人の言う 「解析」 って
何をもってして解析と呼んでいるの？
例えば、高校の数学でやってきたような
微積分や二次関数は解析じゃないのか？
整数問題を解いてきたのは解析じゃないのか？
行列は線形代数Iみたいなオシャレな科目名になってるけど
あれは 「行列解析」 では無いのか？
解析ってなんだ！？ >>802
実験して得られた解以外をそう読んでいると思う。
３人でジャンケンしてアイコになる確率1/3も解析解。
でも現実はそうならん。 アホ尿瓶にちゃんと解ける問題出すのなんか不可能
受験問題レベルですら1人で解けないのに
コイツにできるのは小学生でも解けるような問題か手間だけかかって面白くもなんともない問題しか出せない
当たり前
面白いかどうか解けないのにわかるわけがない
でアホな計算ベタベタ貼り付けてまじめに解答用意した問題が流れていく
それ何度注意されても元々他人に迷惑がられてオレすごいと思うのが目的だから屁とも思わない
ともかく他の人の迷惑になるような事をする事が恥ずかしいという基本的な思考回路が潰れてしまってるのでほっとく以外対処しようがない まあ無視したところで粘着するんだけどなこいつは
どこからそのモチベ湧いて来るんだか
入院して電子機器没収されるまで続くんだろう 前>>570
>>765ベートーヴェンの法則とはなんでしょう？
人生交響曲が九作書けたら死ぬってことか。
じゃあ俺は五六作でいいや。
図書館に俺の棚ができるぐらいでいい。
>>791
xy平面に原点を中心とした同心円を4つ等間隔に描き、
いちばん小さい四分円の面積を1とすると、
外にいくにつれバウムクーヘン型の領域の面積は、
3,5,7となる。
いちばん外側の円の半径RはπR^2=(1+3+5+7)×4=64
R=8/√π
面積32の円の半径rはπr^2=32より、
r=4√2/√π
頂点と重心の距離がrの正三角形の面積は、
(4√2/√π)^2(3/2)(√3/2)=(32/π)(3√3/4)=24√3/π
凸になる確率=(64-24√3/π)/64
ろくじゅうよんぶんのろくじゅうよんひくにじゅうよんるーとさんばーぱい。 前>>806つづき。
>>791
凸になる確率=(8π-3√3)/8π=0.79325166421……
約79.3% 前>>807
>>791
円を4つの同心円で分割して約79.3%と出たけど、
円をn個の同心円で分割すると、
凸になる確率はある値に近づく可能性がある。
80%とか75%とか。 x, y, z を複素数とするとき以下の不等式を示せ
また等号成立の条件も求めよ
|x| + |y| + |z| + |x + y + z|
≧ |x + y| + |y + z| + |z + x| 乱数発生させて100個描いてみた。
https://i.imgur.com/Mj6VST4.png
この図だと70個が凸四角形 2500個に増やす
https://i.imgur.com/kJIRrTK.png
1757/2500=0.7028
70%強になるみたいだな。 な、全く聞く耳持たず
せめてこれだけ怒られたら、しばらくの間くらいしおらしくしてるなら人間としての心を持ってるのかとも思るけどもうこれ
他人の気持ちを気遣うとかいう当たり前の心の回路が完全に壊れてる 二次元平面上に、「全ての辺が長さ1の線分で、全ての次数(頂点についている辺の個数)が4のグラフ」を描け. >>813
すみません、「有限グラフ」という条件を書き忘れました >>815
あー知ってたか
>>816
後付け申し訳ないけど二次元上のグラフなので、辺は交わらないということでお願いします
>>817
ああああ虚空の真か
それは盲点でした
じゃあ有限グラフは空を含まないという流儀でお願いします 素数の問題です
2と3と5のかけ算を使ってしらみつぶしに素数を探して
素数が見つかったら今度は素数を加えて同じ事をする
2と3と5と7というふうにこれをやっていくとしらみつぶしとはいへ
素数がかんたんに見つかるという方法を発見しましたこれに間違いはありますか？
例
2.4.6.8.10.12.14.16.18.20.22
3.6.9.12.15.18.21.24.27.30.33
5.10.15.20.25.30.35.40.45.50.55
7.14.21.28.35.42.49.56.63.70.77
11.22.33.44.55.66.77.88.99.110.121
13.26.39.52.65.78.91.104.117.130.143 これが正しかったらイメージとしては
素数をシラミ潰しに探すプログラムが作れると思うんですが
俺はプログラムのつくり方は知りません >>820
補足としては素数が見つかった時点で
すぐにその素数からの早見表を作っていくことです
そうじゃないと桁数が多くなると判別が難しくなるので 長さ１ｍの金太郎飴を任意の2箇所で切って、その間の部分がもらえるとする。
もらえる金太郎飴の長さの期待値と中央値を求めよ。 [0,1]×[0,1]の一様分布での|x-y|の平均と中央値だとして
l = |x-y|の確率密度は2(1-l)dl
E(l) = ∫[0,1]2l(1-l)dl = 1/3
F(x) = P(l≦x) = 2x-x^2
F(x) = 1/2 iff x = 1-1/√2
シュミいらんぞ
他の問題流れるからな 半径1メートルの巨大ピザがある.
巨大ピザ上の任意の2点を結ぶ線分を直径とする円で
ピザがくり抜かれて貰える。
その円の中に巨大ピザが存在しない部分は欠損のまま貰える
https://i.imgur.com/jDgP0od.png
もらえるピザが巨大ピザの1/4以上の大きさである確率の概算値を求めよ 半径1メートルの巨大ピザがある.
巨大ピザ上の任意の2点を結ぶ線分を直径とする円で
ピザがくり抜かれて貰える。
その円の中に巨大ピザが存在しない部分は欠損のまま貰える
https://i.imgur.com/jDgP0od.png
もらえるピザが巨大ピザの1/4以上の大きさである確率の概算値を求めよ やはり、食い物の話題の方が現実的でいいな。
半径1メートルの巨大ピザがある.
巨大ピザ上の任意の3点を頂点とする三角形でピザがくり抜かれて貰える。
もらえるピザが巨大ピザの1/4以上の大きさである確率の概算値を求めよ。 >>832
さぁ？
とりあえずこれしか今んとこ思いつかん ちょっと気になっただけだけど
次数5ではできないんかねこれ >>831
お見事！ 大正解です素晴らしい
>>832
実はこれは最小ではなくて、これより小さい本数の
例えばこんな解があります
https://i.imgur.com/wRs0Dhb.jpg
まあこれも最小なのかは分からないけど >>834
うーん
ごめんなさい
これについては分からないな... 4って数に意味はあるの？
もっと大きい数だと存在しないとか？ >>837
次数が一般の場合は全くわかりません
大きすぎると多面体定理とかで矛盾が導けそうではありますね
テキトーですが それはもちろんあるよ
4-regularの解をいずれかの方向に1平行移動したやつ重ねて対応する頂点結べばいい 半径１ｍの巨大チョコボールがある。
これを任意の平面で二分割して大きい方が貰える。
(1) 貰えるチョコの体積の期待値と中央値を求めよ。
(2) 貰えるチョコの切断面を含む表面積の期待値と中央値を求めよ。
参考画像
https://i.imgur.com/trMXmkx.png
https://i.imgur.com/lfkbVR9.png 俺が出題する問題は解答不能とか言ってた椰子も食べ物を題材にすると食いつきが(・∀・)ｲｲ!! ｗｗｗ 次数が6の場合は平面グラフの次数についての定理からそもそも無理か
あるとしたら次数5ってことにはなるけど
ある頂点から180ﾟ未満の範囲に辺が五本延びている必要があって
隣と繋がれないために反対側に延びるしかない頂点の連鎖ができるから
有限性と矛盾、みたいな感じで反証できるのかしら >>826
じゃあ、シミュレーションでなくて数値積分での期待値をレスしておくよ。
> f <- function(x,y) dunif(x+y,0,1)*dunif(y,0,1)
> vf=Vectorize(f,vectorize.args = 'y')
> pdf <- function(x) integrate(function(y) vf(x,y),-1,1)$value
> pdf=Vectorize(pdf)
> integrate(\(x) abs(x)*pdf(x),-1,1)$value
[1] 0.3333292 >>845
6-regularがplanerでないのはすぐ示せるけど残念ながら5-regularかつplanerは無限に存在する
5-regular planerでググると画像とか論文とか色々出てくる
しかも全部線分になるやつとか出てくる
こんなのとか
http://faculty.capebretonu.ca/jpreen/ef/D53.gif
なので不可能である事示すのは角度だけではダメで“長さ1”まで考えないとダメやな
ちょっとどうやればいいかわからん >>843
大きい方が貰えるほど世の中は甘くないとして、改題してみる。
半径１ｍの巨大チョコボールがある。
これを平面のナイフで任意の面で切ってナイフの右側面に接した方が貰える
貰えるチョコの体積の元のチョコの3/4以上が貰える確率を求めよ。 >>844
お前は散々バカにされて生えた草でも食ってろ
ハナからまともに相手にされてないことに気づかないのか？ こちらにも投下しておきます
790 １３２人目の素数さん[] 2021/12/14(火) 14:31:35.14 ID:F+7G/uQ5
予備校の講師が面白い問題を紹介してくれたので
和が100となるn個の自然数がある時、それらn個の数の積の最大値は？
この問題は高校数学だけの知識で論述出来ますか？できない場合どこまで書けば許容されますか？ 分割の中に5以上のnがあるとき
n→(n-2),2
に置き換えると積は
n→(n-2)×2=2n-4
と増大するので積が最大となる分割で5以上は現れない
分割の中に4が2つ以上あるとき
4,4→2,3,3
に置き換えると積は
4×4→2×3×3
と増大するので積が最大となる分割で4は２個以上現れない
分割の中に2が３つ以上あるとき
2,2,2→3,3
に置き換えると積は
2×2×2→3×3
と増大するので最大値を与える分割で2は３つ以上現れない
分割の中に1があるとき
任意に分割の中の他の項nを選んで
n,1→n+1
に置き換えると積は
n×1→n+1
と増大するので最大値を与える分割で1は現れない
以上により積が最大となる分割では4が1個以下2が2個以下残りは3である
該当するのは
2×2 + 3×32
4×1 + 3×32
の２組だけでありそれぞれで与えられる積は共に4×3^32であるからコレが求める最大値である >>854
同じような説明を講師にもされたのですが雰囲気だけの説明だったので困ってました
とてもわかりやすい説明ありがとうございました >>809 解こうと思ったけど思ったより手強くて、なかなか糸口が見つけられずにいる
単純な三角不等式の組み合わせだけじゃ無理そうな雰囲気を感じる 前>>808
>>853
(100/n)^nがいちばんおっきなる思う。 前>>857
>>853
3^32×2^2＞2^50=4^25 前>>858
>>854でやってるじゃん！
おんなじだ。あってるね。 >>738
アークサインの法則ネタ
表裏の区別のある平面の包丁で体積１の球形のチョコボールを任意の平面で二分割して表に接した方のチョコがもらえる。貰えるチョコの体積の分布はどうなるか？
これを実験してみると
形状パラメータ0.5，0.5のベータ分布がそっくりの分布が得られた。
アークサインの法則が成り立つような気がする。
理由は知らん。 そやろ
n固定ならq =[100/n],r=100-nqとしたときのq^(n-r)×(q+1)^rだけどそれじゃ面白くもなんともないしな
n動いても大して面白くないけど
実際予備校講師の解答と同じみたいやし >>854
それは n = 33, 34 の時の解だけでは？
「和が100となるn個の自然数がある時、それらn個の数の積の最大値」ではない >>856
不等式の証明は意外と簡単だけど等号成立条件が難しい >>824
発展問題
一辺の長さが１の立方体のキャラメルがある。
平面の包丁を使って任意の方向で二分割して大きい方が貰える。
貰えるキャラメル片の体積の期待値を概算せよ。 >>809
できた
C^4の超平面P:x,y,z,wはx+y+z+w=0上の関数Fを
F(x,y,z,w) = ( |x| + |y| + |z| + |w| )
-( |x+y| + |x+z| + |x+w| + |y+z| + |y+w| + |z+w|)/2
と定める
主張
F≧0である
等号成立は
xyzw=0かまたはx,y,z,wが複素平面上原点を通る同一直線上に並び、原点で1個と3個に分けられる...(❇︎)
ときである
以下sは複素平面のCの座標関数とする
補題
実軸を除いてd(|s|-|1+s|)は異なる値をとる
さらに虚軸成分は0ではない
また実軸上ではd(|s|-|1+s|)の虚軸成分は0である
(∵)
α=arg(1+s), β=arg(s)とおく、ただし偏角は[-π,π)に値をとるとする
このとき
d(s)の実軸方向成分=cis(β)-cis(α)の実部
d(s)の虚軸方向成分=cis(β)-cis(α)の虚部
であるから主張は成り立つ□ 主張の証明
(∵) xyzw=0のときF=0となるのは容易であるからxyzw≠0として良い
また(❇︎)のときF=0は容易であるから(❇︎)が必要条件である事のみ示せば良い
すなわちPのxyzw≠0においてF≧0であるか極小値でないかのいずれかであり、極小かつF=0となるには(❇︎)が必要である事を示せば良い
Pの(❇︎)を満たす部分をZとする
|w|が最大として(x',y',z',w') = (x/w,y/w,z/w,w/w)とおけば
F(x,y,z,w)=0⇔F(x',y',z',w')=0、
(x,y,z,w)∈Z⇔(x',y',z',w')∈Z
であるからw=1かつ|x|,|y|,|z|≦1として良い
このとき
F=|x|+|y|+|z|-|x+1|-|y+1|-|z+1|+1
である
(i)x,y,z全て実数のとき
x+y+z=-1より全て正はありえない
さらにx,y,z∈[-1,1]より負の数は最低でも２つ必要である
３つとも負の数なら
F = -x-y-z-(x+1)-(y+1)-(z+1)+1=0
であり、このとき(x,y,z,w)は常にZに入る
負の数か２つならx,y<0<zとしてよく
F=-x-y+z-(x+1)-(y+1)-(z+1)+1=2z>0
である (ii) x,y,zのうち実部が-1/2以下の点が２つ以上あるとき
re(x),re(y)≦-1/2として良い
このとき
F=(|x| - |x+1|) + (|y| - |1+y|) + ( |z| + 1 - |z+1|) ≧0
である
等号成立はzが0以上の実数であることが必要で
よってx+yも実数である
さらに|x|=|1+x|,|y|=|1+y|によりre(x)=re(y)=-1/2であるがこのときz=-1-x-y=0となり仮定に反するから等号が成立することはない
(iii) (i),(ii)ではなく、|x|,|y|,|z|のうち1未満であるものが２つあるとき
このとき補題によりd(|x|-|x+1|), d(|y|-|y+1|),d(|z|-|z+1|)は全て相異なる
|x|,|y|<1として良い
このとき微小なe=(a,b)を
( d(|x|-|x+1|) - d(|y|-|y+1|) )・e< 0, | x + a+bi | < 1, | y - (a+bi) |<1
と選べるからこの点でFは極小値を取り得ない
(iv) 実部が-1/2より大きい点が2点あり、その虚部が同符号でないとき
re(x),re(y)>-1/2, im(x)>0≧im(y)として良い
このときd(|x|-|x+1|)の虚部は正でありd(|y|-|y+1|) の虚部は負である
またy=1なら(x,z)=(-1,-1)となるので仮定に反するからy≠1である
よって微小なe=(0,-c)を
d(|x|-|x+1|)・e < 0, d(|y|-|y+1|) ・e > 0, | x + (-ci) | < 1, | y - (-ci) |<1
ととれるからこの点でFは極小値を取り得ない (v) (i)〜(iv)全てに該当しないとき
im(x)>√3/2とする
このときre(x)>-1/2であり仮定からy,zは虚部が0以上かまたは実部が-1/2以下である
特に虚部は-√3/2以上である
ここでim(y)≧0とするとim(x+y)>√3/2となりim(x+y+z)>0となりx+y+z=-1に反する
よってim(y),im(z)<0であるがre(y),re(z)≦-1/2となって(ii)に該当するから矛盾する
よって|im(x)|,|im(y)|,|im(z)|≦√3/2である
うち２つは絶対値が1だから|x|=|y|=1として良い
re(x),re(y)≧1/2とするとre(z)≧-1と合わせてre(x+y+z)≧0となり矛盾する
re(x),re(y)≦-1/2とすると(ii)に該当するので仮定に反する
re(x)≧1/2,re(y)≦-1/2とするとこのときre(z) = re(-x-y-1)≦-1/2となり(ii)に該当するので仮定に反する
以上により(v)はありえない
以上により全てのケースで主張が示された□
定理
複素数x,y,zにおいて
|x|+|y|+|z|+|x+y+z|+1≧|y+z|+|z+x|+|x+y|
である
等号成立はxyz(x+y+z)=0であるか、x/(x+y+z),y/(x+y+z),z/(x+y+z)が全て0でない実数でその中の負の数が1個か3個のときである
(∵)前主張より直ちに従う□ 問題の意味は小学生にもわかるであろう問題
球形のチョコボールと立方体のチョコキューブがあり、両者の重量は同じである。
それぞれを任意の平面で二分割して大きい方のチョコ片が貰える。
チョコボールとチョコキューブのどちらのチョコ片を貰う方が沢山もらえると期待できるか？ もっと一般に、複素数の有限列 {a_λ}_λ∈Λ について
Σ_(L⊂Λ) (-1)^(#L) |Σ_(λ∈L)a_λ|
の符号について何か言えたりするんだろうか
あとは >>809 の主張が一般のバナッハ空間でも成り立つかどうかという拡張も考えられそう >>809
(|x| + |y| + |z| + |x + y + z|)^2 - (|x + y| + |y + z| + |z + x|)^2
= 2 {(|x^2 + xy + zx| + |yz| - |x^2 + xy + zx + yz|)
+(|y^2 + xy + yz| + |zx| - |y^2 + xy + yz + zx|)
+ (|z^2 + zx + yz| +|xy| - |z^2 + zx + yz + xy|)}
≧ 0 >>873
Hlawkaの不等式でググると出てくるけどL^1では成り立つみたい >>875
なるほど、確かにL^p系は成り立ってても不思議ではないな
x∈R^3 について ||x||≦1 が
x∈(８点 (0,0,±1), (0,±1,0), (±1,0,0), ±(1,1,1) の凸包)
と同値になるようにノルム ||x|| を定めると
これが >>873 の後半の反例になることがわかってしまったので、
何ででも成り立つ訳ではなさそうだけど ググれば複素数の乗法構造使わない一発証明もあった
|x|^2+|y|^2+|z|^2+|x+y+z|^2=|x+y|^2+|y+z|^2+|z+x|^2
に注意して
(|x|+|y|+|z|+|x+y+z|-|x+y|-|y+z|-|z+x|)×(|x|+|y|+|z|+|x+y+z|)
= (|x|+|y|-|x+y|)(|z|-|x+y|+|x+y+z|)+(cyc.)≧0
まぁ等号条件はこういうのだと分からないけど >>873
同じこと思ったけどググっても見つけれないな
1,2,3変数だけ成立で4変数以上は反例あるんかな
シンプルな不等式なのに成立理由が結局よくわからん 数学とか分からんけど
2桁の整数xについて
x^2+(x+1)^2
の下1桁が5で無い時必ず素数になるのはどうして x = 10 のときからして 10^2 + 11^2 = 221 = 13 * 17 なの草
下一桁が5にならない2桁の整数は54個あってその内素数になるのがたったの29個 >>880
x=10で成立しない
10^2+(10+1)^2=221=13*17 成立する場合
> z[isPrime(z)]
[1] 313 421 613 761 1013 1201 1301 1741 1861 2113 2381 2521
[13] 3121 3613 4513 5101 7321 8581 9661 9941 10513 12641 13613 14281
[25] 14621 15313 16381 19013 19801
成立しないな場合
> z[!isPrime(z)]
[1] 221 481 841 1513 2813 3281 3961 4141 4901 5513 5941 6161
[13] 6613 7081 7813 8321 9113 11101 11401 12013 12961 16021 17113 17861
[25] 18241 xの値で記述すると
> n=10:99
成立する場合
> n[sapply(n,f)]
[1] 12 14 17 19 22 24 25 29 30 32 34 35 39 42 47 50 60 65 69 70 72 79 82 84 85
[26] 87 90 97 99
> g=\(x){
+ y=x^2+(x+1)^2
+ y%%10!=5 & !isPrime(y)
+ }
成立しない場合
> n[sapply(n,g)]
[1] 10 15 20 27 37 40 44 45 49 52 54 55 57 59 62 64 67 74 75 77 80 89 92 94 95 >>872
三次元的には球も立方体も対称なので、どちらでも同じかと思ったけど、違うみたいだな。 >>887
673 １３２人目の素数さん[sage] 2021/10/11(月) 13:05:51.23 ID:qOF1Ryfq
どっちの式も()を解くように計算すると2.5x+10になるから答えが一緒なのね
>>672 俺の年はおっさんだよ。
(馬の年齢－4歳)×2.5＋20歳が馬齢の人間年齢換算になると調べて質問した。
馬は4歳で肉体が完成、馬齢4歳で人間年齢20歳になる。その後は1年で2.5歳ずつ年取るからこういう式になるのかなと
681 １３２人目の素数さん[sage] 2021/10/18(月) 08:42:58.43 ID:RIpG+M8m
>>673
馬が産まれた時に既に10歳というのは補正が必要そう。
682 １３２人目の素数さん[sage] 2021/10/22(金) 09:30:42.73 ID:7Vn+WHAB
>>681
https://i.imgur.com/Dc1YsbD.png
おい、鹿の年齢はどうした？
お前には馬と鹿がお似合いだって言っただろうが 前>>859
>>872
5種類の切り方で概算すると、
立方体 (1+0.75+0.5+0.75+1)/5=0.8
球 ｛1+(1-v)+0.5+(1-v)+1｝=4.5-2v
∵半径(3/4πの三乗根)の球の中心から(3/4πの三乗根)の1/2の点を水平に切った欠球の体積vは、
v=π∫[t=0→3/4πの三乗根の1/2]｛1-(1-t^2)｝dt
=π∫[t=0→3/4πの三乗根の1/2](2t-t^2)dt
=π[t^2-t^3/3](t=3/4πの三乗根の1/2)
=π(3/4π)(1/t-1/3)(t=3/4πの三乗根の1/2)
=(3-t)/4t(t=3/4πの三乗根の1/2)
球-立方体=4.5-2v-0.8
=3.7-2v
=3.7-(3-t)/2t(t=3/4πの三乗根の1/2)
これが正なら球が得。 前>>889
>>872
3/4πの三乗根は(3/4π)^(1/3)=0.62035049089……
t=0.31017524545……
球-立方体=3.7-(3-t)/2t
=3.7-3/2t+0.5
=4.2-3/0.62035049089……
＜4.2-3/0.7=(2.94-3)/0.7＜0
∴立方体のほうが期待できる。 前>>890確認。
きのこの山とたけのこの里ではどっちがチョコレートが多くて得か？ という問題と似ている。
答えはきのこの山。凹凸が多いほうだ。
すなわち球より立方体であってる。 >>892
大きい方が貰えるという設定がミソだな。
チョコの微笑片を包丁でどちらが削り取りやすいかと考えると
球なら表面近くを削ればどこでも微笑片がとれるけど、立方体だと頂点近傍でないと微笑片はとりにくい。
大きい方が貰えるのだから、微小片がとれやすい球を選ぶ方が沢山のチョコが貰えると期待できる。
これを定量的に計算できる人は凄いと思う。俺はモンテカルロ解しか持ち合わせていない。 こういう問題設定にすると、球でも立方体でも同じ。
球形のチョコボールと立方体のチョコキューブがあり両者の重量は同じである。
表裏が区別できる平面の包丁を使って任意の方向で二分割して表側に接したチョコ片が貰える。
チョコボールとチョコキューブのどちらのチョコ片を貰う方が沢山もらえると期待できるか？" しかし貧乏臭い問題だな
尿瓶ジジイにはお似合いだねw >>894（補足）
PC上で実験してみると、
平均値も中央値も同じだけど、球形のチョコボールの方がギャンブラー向き。
https://i.imgur.com/tcoJHjS.png >>896おい、途中でぶん投げるなよ穀潰しジジイ
673 １３２人目の素数さん[sage] 2021/10/11(月) 13:05:51.23 ID:qOF1Ryfq
どっちの式も()を解くように計算すると2.5x+10になるから答えが一緒なのね
>>672 俺の年はおっさんだよ。
(馬の年齢－4歳)×2.5＋20歳が馬齢の人間年齢換算になると調べて質問した。
馬は4歳で肉体が完成、馬齢4歳で人間年齢20歳になる。その後は1年で2.5歳ずつ年取るからこういう式になるのかなと
681 １３２人目の素数さん[sage] 2021/10/18(月) 08:42:58.43 ID:RIpG+M8m
>>673
馬が産まれた時に既に10歳というのは補正が必要そう。
682 １３２人目の素数さん[sage] 2021/10/22(金) 09:30:42.73 ID:7Vn+WHAB
>>681
https://i.imgur.com/Dc1YsbD.png
鹿の年齢はどうした？
お前には馬と鹿がお似合いだって言っただろうが 問題として成立してない
確率論の基礎を何も分かってない 解が一意じゃないから解けないって散々言われてんのにね
意味不明 >>873
これ前半も要素４つ以上で反例あったわ
a=1, b=1, c=1, d=-2 とおいたら
|a| + |b| + |c| + |d| + |a+b+c| + |b+c+d| + |c+d+a| + |d+a+b| = 8,
|a+b| + |a+c| + |a+d| + |b+c| + |b+d| + |c+d| + |a+b+c+d| = 10
だから同じような不等式が成り立たない
>>809 がどうして成り立つのかいよいよ謎めいてきたな… 暇つぶしに
lim[n→∞]∫[0,1]√(1+n^2x^n)dx
模試の問題らしいので受験数学縛りで >>901
ググると出てくると思うけど一般化がそもそも違う >>904
n^2x^n って n^(2 * (x^n)) のこと？ 図形の問題。
長さ1の正方形の額縁がある。
この中に 多角形である N角形 を置いて回転させたい。
今、N角形のうち、以下を満たすものを最大回転可能N角形と呼ぶ。
・最も長い対角線が1以下である
・回転可能な大きさであり、かつ、その面積は他のどのようなN角形よりも大きい。
この時、最大回転N角形を求めるとそれは"ユニークな正N角形"の事だろう…
と直感的に思われるが実はそうではない。
「Nの値によっては
最大回転N角形が正N角形と同一ではない場合が起こり得る」
Q.1. これが起こるもっとも小さい自然数Nはいくらか？
Q.2. その時の最大回転N角形はどのような形状か？
それぞれの角度N個、 および 、最長と最短の対角線の長さ2つを答えよ。 降水確率というときに何をもって同様に確からしい根元事象として設定しているのかはよくわからんが、予報士の確信の度合いを示す指標であることはすぐにわかる。
確率は人の心の中にある。
他の例、
安倍晋三が仮病である確率 N=4のとき対角線が直交しててどちらも長さ1のやつが最大回転可能
そういうのはいっぱいあるからN=4が最小値やな >>909
そういう正三角形や正方形は
「正N角形 = 最大回転可能多角形 」 になっちゃうから
ダメなんだよなぁ。
回転可能で面積を最大にする形状、
それが「正N角形にならない」 のはどういう場合で、それは何角形か？ >>912
問題文そう読めんけど
まぁいいんだけど >>912の文章でもダメやろ
くだけた文章にするのはいいけど最低限違う意味にとれてしまう文章はあかんやろ >>913 >>914
ごめんなさい。
とにかく、回転可能な多角形で
なるべく面積を大きくするような形状を求めて…
それが正多角形ではないような奴
が登場するからそれを見つけてください。
よろしくお願いします… ぺこり m(_ _)m 根元事象という仮想の一様分布モデルで確率計算するのだから、一意に定まるかどうかはどういうモデルを使うかによるので自分で設定すれば( ・∀・)ｲｲ!!
例
1kgの巨大チョコボールがある。
図のように小さな粒からできており、この粒を点とみなして無作為に選んだ3点を結ぶ平面で巨大チョコボールを分割して大きいほうがもらえる。
もらえるチョコの重さの期待値を概算せよ。
https://i.imgur.com/klkzLe7.png >>915
まぁ謝んなくてもいいけどまだ文章ダメやろ
N=4のとき対角線が長さ1で直交してる場合、回転可能で面積最大、正方形でないと全て条件満たしてるんだから
「回転可能なN角形で面積最大のものが“全て”正N角形でない」
でしょ？
N=4の場合回転可能で面積最大である必要十分条件が対角線の長さ1で直交してるだからその中に正方形が入るのでアウト
って意味だよね？ >>917
ん？ 正方形じゃん。
四角形で…対角線の長さが1で…直行している…
そういう四角形って、それはまさにユニークな正方形 1つ だろ。
N=4 の時の解は ユニークな正方形1つ だよ。
(対角線は 1、 1辺が √2/2 の) >>915はつまり、Nによっては回転可能・面積最大の正N角形より
面積が真に大きい回転可能N角形が存在するということ？
>>911は正方形と面積が同じだから該当しないと。 条件にあるのは、 もっとも長い対角線の長さが1以下 だぞ。
「長さ1の対角線2本が 直行する四角形」って
それ、正方形じゃん。
回転可能N角形が…
正N角形にならないようなNを探せ って問題だよ。 >>921
イヤだって例えば
(1/3,0),(-2/3,0),(0,1/3),(0,2/3)
の凸包は
対角線の長1、直交、面積1/2で最大
だけど正方形じゃないやん？ >>918
この>>911の図形は、対角線がそれぞれの中点で
交差してない四角形を想定してるんだと思う。 >>917
あ、これちょっと条件緩すぎるな
直交してる交点がはじに寄りすぎると回転できない
でもピッタリ中点で直交しなくてもややどちらかにずれるだけなら回転可能だから少なくとも
面積最大、回転可能、正方形でない
ものが存在してる >>920
「Nによっては回転可能・面積最大の正N角形より
面積が真に大きい回転可能N角形が存在する」
Yes です！
直感的に 「正」という字にこだわってしまうのが落とし穴なんです。
N角形をいろいろと考えると
ついつい、正N角形が答えだと思ってしまいがち。
直感的には信じられないかもしれないけど
「最大回転可能N角形 が 正N角形の形状 になっていない」
ものが存在するんスよ、あるNの値において。
(Nが3や4の時は明らかにそんなものは存在しないですよね)
「上下・左右に対称な正N角形」 が答えになりそうだと思いがち。
しかし、それはどのN多角形にも適用されるわけじゃないんです、マジで。 >>927
イヤ両方ずらしてるから等脚台形
N=4の場合でも正方形でない回転可能な正方形でない形は山ほどある >>907 の回答を
ちゃんと用意したから
正解がなければ
夕方には ここに貼るわ。 >>928
それだと面積が 1/2 より小さくなるだろ。
最大な回転可能N角形 を求めるんだぞ？
でもって それが 正N角形の相似形になっていないようなもの。
N=4 だと正方形だってば。 >>930
ならん
対角線が直交してて長さ1なら面積1/2 長さ1の対角線2本を直行させて作る四角形って
それ 1辺√2/2 の正方形 じゃん。
ユニークに定まるじゃん。 >>933
座標まで書いてるやん？>>922
正方形なってないやん？ >>933
いわゆる多角形だからいわゆる"width"の最大値は辺、対角線の最大値に等しい
>>922の等脚台形は対角線は共に1、辺の長さは√2/3=0.4714、√8/3=0.9428、√5/3=0.7453なのでwidth=1
なので回転可能
面積=1/2×1×1×sin(π/2)=1/2 おっと>>922の座標最後の点は(0,-2/3)ね >>935
そのとおりだわ、ごめん。
四角形は台形を変化させるだけだから
解が無数に存在するわ。
「そのN角形のうち、 「正」N角形が解と成り得ない無いもの
が表れるもっとも小さいNの値」 を求めよ。
って言わないといけんかった。 そもそも、四角形の枠の中を回転させるんだから
N=4 の時は 正四角形も含めて無数に解が存在するのは
よく考えたら当たり前だな。 >>904
コレ受験縛りだと面白くないかな
受験縛りなしで
しかしそれだと収束定理うまく使うと4,5行でかける
でもそのままズバリ積分とlimは交換できないんだけど 受験縛りってガバガバでいいなら弧長積分だと思って極限はカクッとした折れ線の長さで2ですみたいな感じじゃないの それなら元のグラフ2x^(n/2)だから横1縦2で長さ3？ あ、正確には2n/(n+2)x^((n+2)/2)か 実際の模試では誘導があってまずこの積分計算を別の積分計算に還元します
元の積分はnに関して一様に可積分でも単調収束でもないので評価が難しい
そこで一様可積分な別の積分計算に還元します
すると受験縛りがなければlimと積分交換して終わりです
受験縛りだとハサミウチ >>916
割面と球の中心との距離が一様分布するように設定すると、分布が変わるなぁ。 雪が溶けたら何になるか
(1)水になる
(2)春になる
どちらも正しい。
キャンディーズの歌だと 川になる が答。
転落事故が起きた
(1)不注意が原因
(2)防護柵がなかったのが原因
(3)万有引力が原因
どの主張にも根拠はある。
政治資金規正法は
規制でなくて、規正としているのも
増やすのが正しいのか、減らすのが正しいのか どちらにも言い分があるから。 次の総理が女性である確率を求めよ？
男か女のどちらかだから、1/2
日本では過去に女性が首相になったことはないから0
男女比は日本の総人口で計算すべき
総人口でなくて有権者数の男女比で計算すべき
有権者でなく被選挙権のある人数の男女比で計算すべき
衆議院・参議院で年齢が異なるのでそれも勘案すべき
参議院議員から総理誕生は例がないから衆議院議員の被選挙権人数だけでいい
国会議員の男女比で計算すべき
現職議員が次期総理を選ぶ国会で議員をやっているとは限らないから現職議員の男女比で計算するはおかしい
一意には定まらない。
∵ 確率は人の心の中にある。
ユネスコ憲章みたいだな。 ここは面白い問題のスレだ
面白くないガイジはひっこんでろ >>904
I = ∫[0,1]√(1+n^2x^n)dx、J = ∫[0,1]1/√(1+n^2x^n)dxとおいて
I = [x√(1+n^2x^n)] - ∫n^3x^n/(2√(1+n^2x^n))dx
. = √(1+n^2)-(n/2)(I - J)
∴ I = ( nJ + 2√( n^2 + 1 ) )/( n + 2 )
(0,1)において0≦1/√(1+n^2x^n)≦1より一様可積分であり1/√(1+n^2x^n)は1に各点収束するからlim J = 1
∴ lim I = lim ( nJ + 2√( n^2 + 1 ) )/( n + 2 ) = 3 「どちらかの一辺が自然数の長方形」達の非交和で長方形を作ったとき、その長方形も、どちらかの一辺が自然数であることを証明せよ. >>954がおったまげまたのではない泥臭いやつ
分割の辺と頂点の作るグラフを考える
例えば
┏━┳┓
┣┳┻┫
┗┻━┛
なら頂点が10個、辺が横向きが7本、縦向きが6本の計13本からなるグラフである
各辺にその長さ13個が指定されるわけだけど、それが各面について縦横２つの方程式が導かれる
例なら8個の方程式となる
この方程式の解で各面の縦か横のいずれかは有理数だが全体の縦、横は共に無理数の解があるとして矛盾を導く
解の正の実数のはるQベクトル空間をVとする
dimV=1ならよい
dimV≧2とする
Vの基底をv1=1,v2,...,vnとして各vk(k≧2)に対して十分近い有理数wkを選んでw1=1,w2=v2としてviをwiにマップするQ準同型をとればdimΣQwi=2だから最初からdimV=2としてよい
同じ手法でv2は超越数としてよい
このとき全長方形の縦横はV＼Qの元だから面積はVの元ではない
しかし各小長方形の面積は仮定よりVの元である
よって矛盾を生じた□
この証明引っ提げて解答読んでびっくらこいたな 面積のくだりちょっとおかしいな
エスパーして読んでちょ >>904
実数a,b≧0に対して |√a-√b|≦√(a+b)≦√a+√b が成り立つことを利用して
∫[0,1]|1-nx^(n/2)|dx ≦ ∫[0,1]√(1+n^2x^n)dx ≦ ∫[0,1]1+nx^(n/2)dx
の挟み撃ちでいけそうだな
左辺に lim(n→∞) n^(-2/n) が出現するから高校範囲ではややめんどいけど 部分積分使わずに受験縛りでやる手もあるのはある
上からはそれでいける
下からが中々いいのが見つからない
できるのはできる >>956
ご存知でしたか
>>957
おーなるほど
代数的にも解けるのか 面白い ということで皆さん知っていたかもしれませんが>>954のおったまげた解法です
{R_k}_k を条件を満たす分割とする
R=[a,b]×[c,d]=∪_k [a_k,b_k]×[c_k,d_k]=∪_k R_k
とする
∫_α^β e^(2πix)dx = 0 ⇔ α-β∈Z に注意すれば、
(∫_a^b e^(2πix) dx)* (∫_c^d e^(2πiy) dy)
=∫_R e^(2πi(x+y)) dxdy
=Σ_k ∫_(R_k) e^(2πi(x+y)) dxdy
= Σ_k (∫_(a_k)^(b_k) e^(2πix) dx)* (∫_(c_k)^(d_k) e^(2πiy) dy)
=0
より、
∫_a^b e^(2πix) dx = 0
or
∫_c^d e^(2πix) dx = 0
となり、a-b∈Z or c-d∈Z >>962の焼き直しに過ぎないが、積分を経由しない書き方も可能。
Gはアーベル群とする。f：R^2 → G は写像とする。長方形 [a,b]×[c,d]⊂R^2 に対して、
f([a,b]×[c,d])：＝ f(a,c)－f(a,d)－f(b,c)＋f(b,d)
と定義すると、分割
a＝x_1＜x_2＜…＜x_n＝b,
c＝y_1＜y_2＜…＜y_m＝d
に対して
f([a,b]×[c,d])＝Σ[i＝1～n－1, j＝1～m－1] f([x_i, x_{i＋1}]×[y_j, y_{j＋1}])
となることが分かる(右辺を地道に計算すると左辺になる)。
このことから、長方形 I⊂R^2 が長方形の非交和 I＝∪[i＝1～n] I_i
になるとき、f(I)＝Σ[i＝1～n] f(I_i) となることが示せる。
よって、長方形 I⊂R^2 の少なくとも片方の辺が整数のとき、かつそのときのみ
f(I)＝o となるような f；R^2 → G とアーベル群Gが作れたなら、>>954は直ちに従う。
そして、G＝(複素数全体), f(a,b)：＝ e^{2πi(a＋b)} と置けばよい。 >>963
おーありがとうございます
なるほど確かに∫_R e^(2πi(x+y))dxdyの欲しい性質のみ抽象的に取り出せばおkですね
この手法が適応出来る安直な一般化として「直方体」とかの多次元でも使えるのがあると思いますが
なんか他に応用できないかな ∫_R e^(2π√(-1) (x+y)) dxdyってようするにχを指示関数として、χ_Rをフーリエ逆変換して(1,1)を代入したものだよね
だから(1,1)代入する前の
F(s,t)=∫_R e^(2π√(-1) (sx+ty)) dxdy
って形の方がRの情報が失われずに色々出来そうではある >>965
なるほどその見方は確かに熱いですね
それならプランシュレルの定理とか、ハウスドルフ=ヤングの不等式とかが使えるので何か言えそうですね
ありがとうございます めっちゃアホな質問でスマン。
図を見てもらいたいから張りたいんだけど
Imgur が貼れない 。("お断りします" と言われる)
普通のアップローダーだと貼れるんだけど
いちいちDLしてもらう必要があって不便。
Imgurみたいなサイトとそれを貼れるブラウザを教えてくれ。
答えを張りたいんや >>969
この六角形は現実的に応用するとすれば
中華料理用？チャーハンなどのお皿、
食器の形として実用的。
一般の正六角形のお皿のように
ちゃんと食器棚に入る。(面積は正六角形よりも4%ほど少ないだけ)
しかも左奥と右奥にスペースがあるので
ここに醤油用の小皿などをおける。
省スペース食器としては実に良いデザイン。 誘導の使い方がよく分からんけどとりあえずtan(kπ/n)は多項式
C[n,1]x-C[n,3]x^3+C[n,5]x^5....
の根だからtan(kπ/n)+1は多項式
C[n,1](x-1)-C[n,3](x-1)^3+C[n,5](x-1)^5....
の根
よって求めるのはこれの-一次の係数/定数項
定数項は
-C[n,1]+C[n,3]-C[n,5]...
= -im(1+i)^n=-2^((n-1)/2)
一次の項は
C[n,1]-3C[n,3]+5C[n,5]...
=n(C[n-1,0]-C[n-1,2]+C[n-1,4]...
= re(1+i)^(n-1)=n2^((n-1)/2)
より求める和はn
かな
誘導がポイんだけどピンポイントにハマらない (x_k + (1-x_k)i)^n が実数、x_kも実数であることから
(x + (1-x)i)^n = f(x) + g(x)i (f(x),g(x): 実数係数多項式) とおけば {x_k} は g(x)=0 の解
って気づけば誘導に乗れる >>972
>>907の問題、回答とその実用の話だから
ギリギリセーフ。 エロ画像が生まれたのは江戸時代からとされるが最初の浮世絵に始まり春画が生まれ頭の良い人の中から情報を深奥の霊子レベルで破瓜から数式処理を施した栄養源であり生物の進化の時に女を食すというカーマストラという宗教書等があります。Qエロ画像ってどうやって作るの？ >>975
なるほどそれやな
答え出すより誘導の意味考える方が難しい >>973
似た問題に、
Σ[k=1,n-1]1/sin^2(kπ/n)=(n^2-1)/3
がある。これを利用して、
Σ[k=1,∞]1/k^2=π^2/6
を導くことができるのは、初見の人には面白いはず。 Rを平面上の凸四角形ABCDとする
R上の経路p:[0,1]→Rにおいてp(0)が辺AB上、p(1)が辺CD上にあるときpはRを縦断するといい、p(0)が辺BC上、p(1)が辺DA上にあるときpはRを縦断するという
今RのPL部分集合(i.e. 有限個の線分と三角形の和集合による集合)X,YによってR=X∪Yと被覆されているときX上の経路でRを縦断するものか、もしくはY上の経路でRを横断するものがとれる事を示せ 谷口凌晟兵庫区三川口町2.5.8.1201
殺人未遂罪にて千葉刑務所に服役中。 >>971
４人で食事するときの回転テーブルではどうだろ。 半径１の球の表面および内部のから三点を無作為に選んで
この三点を結ぶ面と球の中心との距離の期待値と中央値を概算せよ。 この程度ですら自力では解けないから面白いかどうかの判定すらできん能無し >>982
使えなくはないけど
そういう巨大なのは使う頻度もすくないし
サイズの収納の手間とスペースの節約はたいして重要ではないと思う。
それと食事中に、向かい側の人が回転させた時に、
その反対側の人の醤油の小皿などに当たって溢す事故が
置きて危ない。
目の前での回転を考えれば
上下左右 が対称形であるのが一番安全だよ。 >>983
例えば 北側に座っている人が
食事中にうっかり、ギリギリの位置に醤油皿を置いた場合、
もしも誰かがこれを回転させたら ぶつかって倒れるので
すげぇ使いづらい。 二人もいるの？
本格的に実用数学や統計を専門にやるスレを作って誘導した方がいいのかなこれ 次スレのタイトルを
「面白い数学の問題おしえて〜な」
にしていいか？ それだと「これも立派な数学だ」とか言い張られそうなのがちょっと心配
>>3あたりにルール貼るとかの方がはっきりした根拠ができていいかもと思っているけどどうだろう
（というかルール文的なのは昔あった気がする） 数学どころか山がなぜ美しいかみたいなこと言い出すやつらだぞ
数学という表記は要ると思う >>951みたいな書き込みするからな尿瓶は
バカにつける薬ない 0時まで誰も立ててなかったら俺が>>994のスレタイで立てる このスレッドは１０００を超えました。
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