Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 56
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
前スレ： Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 55
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1623558298/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
（手抜きです。）
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13
（参考）
https://twitter.com/math_jin
math_jin 出版序文リンク Andrew Putman 2021年3月6日
https://drive.google.com/file/d/1n1XMCNyQxswQGrxPIZnCCMx6wJka0ybh/view
20200403の記者会見により、望月Inter-universal Teichmuller theory (abbreviated as IUT) （下記）は、新しい局面に入りました。
査読が終り出版されました。IUTが正しいことは、99％確定です。
このスレは、IUT応援スレとします。番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています。
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、実は 分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！（＾＾；）
（前“応援”スレが、1000又は1000近くになったので、新スレ立てた。）
つづく
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>894
>まずPの意味を言い換えろ
>おサルの2は何もしてないぞｗ
まずP(a),P(b)への言い換えがダメな理由を言え
真のおサルの2は何もしてないぞｗ >>891
Pが分かってないのに間違いとか言っちゃう白痴がか？ >>893
>それがなぜ測度論では正当化できないか分かってない
>だから「P(a),P(b)ならOK」とか馬鹿抜かす
P(1),P(2)が測度論で正当化できなく、P(a),P(b)だとできることが分からない白痴が馬鹿抜かしてるだけだね >>897
>で、サルが何匹いるか知らんが、貴様と同類の馬鹿を晒した一匹が2
それがおまえ 真のおサル２よ
無駄口はいいからとっとと>>899に答えろや
でなけりゃ数学板から去れ この白痴が >>903
＞P(1),P(2)が測度論で正当化できなく、P(a),P(b)だとできる
あ、このバカ、とうとう地雷踏んで爆死したｗｗｗｗｗｗｗ
ほんと おサルの2はサル回しの1そっくりで
粋がるしか能がない正真正銘の大バカパクチー野郎ｗｗｗｗｗｗｗ
おまえ、P(a),P(b)の測度、ここで計算し切って見せろよな
できもせずにオオボラ吹くんじゃねえよ この中卒めｗｗｗ このスレは次から以下のタイトルに変更します
「おサルの墓」
きょんこ「なんでおサルすぐボケてしまうん？」
ω 「アホだからさ！」 サル回しは死んだ
そしてサルも死んだ
チーン(-||-) いやーそれにしても
サル回しの1だけじゃなくおサルの2も
箱入り無数目がぜんぜんわかってなかったんですねー
バカですねーアホですねータワケですねーｗｗｗ >>906
P(a),P(b)が測度論で正当化できない理由まだ？
なに逃げてんの？ おまえも詐欺師か？ >>909
それがおまえ
ほれ、逃げずに答えてみせよ >>906
>おまえ、P(a),P(b)の測度、ここで計算し切って見せろよな
確率測度を含む確率空間を既に示してるぞ？
おまえが理解できず記憶に残ってないだけだろ はい、白痴はさっさと数学板から消えてね
数学板は白痴が来る処じゃないから >>906
ん、P(a),P(b)が測度論で正当化できる、と断言したのはおサルの2 君だよ
君がまずそれを証明しなさい できないならウソツキとして焚刑なｗ >>912
＞確率測度を含む確率空間を既に示してるぞ？
じゃ、ここに書いてみてｗ
逆にP(a),P(b)がOKな形で無理矢理設定したんなら
その時点でP(1)､P(2)もOKになっちゃうんだよな
おサルの2、そんなこともわかんないとか
マジで中卒の馬鹿だろｗｗｗ 要するに
P(1)、P(2)がNGだが
P(a)、P(b)がOK
というのがダメ
要するに
下がOKなら、上もOKだし
上がNGなら、下のNGだよ
アタマわりぃなｗ >>916
>アタマわりぃなｗ
それがおまえ
>要するに
>P(1)、P(2)がNGだが
>P(a)、P(b)がOK
>というのがダメ
取りあえず確率空間は示してるから反論があるなら具体的に頼むわ
ダメだあーダメだあーっておまえ3歳児かよ 具体性が何も無い駄々こねるだけの3歳児は数学板から退去願います >>918
>確率空間は示してるから
示せてないよ
忘れたんだね
所詮、君の数学ってその程度のもんなんだね
さすが人になれなかったサルだわ >2 ●違いサルの2は焼かれて死ねよ
草原の覇者 ω
ｗｗｗｗｗｗｗ 駄々こねるだけの3歳児が何言っても無駄
早く数学板から去れよ ん、確率空間どうした
まだ思い出せないのか？
もう数学板から去れよ
DQN中卒の2こと5Fg/Y08F
ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ!!! おサルの2は、サル回しの１と全く同レベルの中卒パクチーｗｗｗｗｗｗｗ 論理が分からんパクチーは数学板に書き込むんじゃねえ
荒らしは焼いて食っちまうぞｗｗｗｗｗｗｗ こりゃ、おサルの1が悪いな
誰彼みさかいなく、白痴呼ばわりするんだから
自分が低レベルの自覚なしに （＾＾； >>923
ん、まだ検索できないのか？
検索だけならサルの１でもできるぞ >>924
>おサルの2は、サル回しの１と全く同レベルの中卒パクチーｗｗｗｗｗｗｗ
またまた自己紹介乙 >>925
>論理が分からんパクチーは数学板に書き込むんじゃねえ
じゃ書き込むなよｗ >>920
検索もできない
所詮、君のおつむってその程度のもんなんだね
サルの１ですら検索だけならできるのにね
さすが人になれなかったサルだわ >2 猿回しのスレ主です
おサルの1が悪いな
自分のレベルが大して高くないにもかかわらず
数学科出身を鼻にかけて
誰彼みさかいなく、相手を白痴呼ばわりして
数学落ちこぼれの憂さ晴らし
ちょっとは数学勉強してからやってほしいと思うのはおれだけか？
小学生レベルで、シッタカぶりのハナタカだから
全く、お笑いにしかならないのにね 次スレ立てた
よろしくね（＾＾
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 57
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1626002195/ >>926
>こりゃ、おサルの1が悪いな
ついにサル回しからおサルに降格かｗ
じゃ、これからはおサルの1と2と呼ばせてもらう >>927-930
おサルの1＝mZJR2r+m
おサルの2＝5Fg/Y08F
自分が確率空間をどう定義したのか忘れたんなら
所詮その程度のくだらんもんだから二度と思い出さなくて結構
ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ!!!
草原の覇者 ω
ｗｗｗｗｗｗｗ >>931
そう、サル回し失格のおサルの1ことmZJR2r+m
全部、貴様が悪い
自分のレベルが全然高くないにもかかわらず
数学科出身まで詐称して
誰彼みさかいなく、相手を白痴呼ばわりして
数学落ちこぼれの憂さ晴らし
まず実数の定義と線型代数の概念を理解してから
数学板に書けと思うのは朕だけか？
小学生レベルで、シッタカぶりのハナタカなど
全く、お笑いにしかならん 失せろ シッシッ！
草原の覇者 ω
ｗｗｗｗｗｗｗ >>937
>次スレ立てた
別の名は
「草原の覇者ω様が二匹のクソザルを調教するスレ」
ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ!!!
草原の覇者 ω
ｗｗｗｗｗｗｗ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1626002195/11
>宇宙際幾何学のお話ができる場がネット上に存在したのですね。
>5ちゃんねるの利用は初めてなので使い方や雰囲気は分かりませんが、
>私も(たまに)見に来て、議論に参加しようと思います。
>(と言っても、宇宙際幾何学に関しては私は素人に近い状態なので、教えて頂く事が多いとは思いますが。)
既にIUTスレが存在するにも関わらず
こういうことをしらじらしく書く奴は
おサルの1しかいないｗ
ついでにいえば、おサルの1は「素人に近い状態」ではなく「ド素人」
ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊ!!!
草原の覇者 ω
ｗｗｗｗｗｗｗ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1626002195/12
>働かない奴
やれやれ高学歴を自慢して役にも経たないクソ仕事（bullshit-job)に従事し
エッセンシャルワーカーやニートを馬鹿にするクソ野郎がなんか語ってるな
おまえみたいな馬鹿のせいで、日本が、いや地球全体が、腐敗堕落してんだぞ
恥を知れ 高学歴馬鹿ども！！！
ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ
草原の覇者 ω
ｗｗｗｗｗｗｗ おサルの2は、おサルの1を構うのをやめて、真人間として暮らせ
いまならまだ間に合う このままなら貴様もダークトライアドになるぞ おサル、サイコパス全開（>>5）
ご苦労さん（＾＾ >>934
検索ひとつできん白痴は数学板出切禁止と言ったはずだが
サルだから言葉が分らんのか？ >>940
なぜかばってると思ったのか知らんがおまえの誤解に過ぎない
アホは勝手に誤解して勝手に発狂するから困る >>940
ていうかなんでおまえに指図されないといかんの？ｗ
おまえ何様？ｗ >>945
どうも、スレ主です
かなり同意です
さて
>>935
>自分のレベルが全然高くないにもかかわらず
自分のレベルが全然高くないは認める
が、おサルさんよりは上と思うけどどうですか？ｗ（＾＾
>数学科出身まで詐称して
そんなことは言っていないよ
工学部出身ですよ（＾＾；
おれの頭じゃ、数学科へ進学しても食えないって分かるからね
数学科などへは行きません。食える工学部へ行きました（＾＾
>誰彼みさかいなく、相手を白痴呼ばわりして
私が、白痴呼ばわりするのは、あなたのような おサルだけですよ
>数学落ちこぼれの憂さ晴らし
"数学落ちこぼれ"は否定しないがｗ
あなたと違って、人にマウントしての憂さ晴らしの趣味はないよ（＾＾； >>941
おサルの1はswtiZFse 貴様な
>>942
自分が書いたことも思い出せないなら、
もう諦めていいぞ
>>943
構う＝かまう
庇う＝かばう
中卒は漢字も正しく読めんか
>>944
>何様？
草原の覇者 ω様だ
ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ!!!
草原の覇者 ω
ｗｗｗｗｗｗｗ >>946
>自分のレベルが全然高くないは認めるが、
>おサルさんよりは上と思うけどどうですか？
おサルさんは君だよ、キ・ミ
自分でも認めただろ？忘れたのかい？
>工学部出身ですよ
>おれの頭じゃ、数学科へ進学しても食えないって分かるからね
>数学科などへは行きません。食える工学部へ行きました
実数の定義も分からん奴なんて、工学部に行ってもダメだろｗ
ま、Ｆラン大学なら仕方ないが
君のオツムじゃ高専どころか工業高校卒が関の山
>"数学落ちこぼれ"は否定しないが
できるわけがないｗ
>あなたと違って、人にマウントしての憂さ晴らしの趣味はないよ
ちっちっち、ウソをついちゃいけないよ
わけのわからんコピペは他人にマウントしたいためだろ
でも中身について突っ込まれると答えられないから完全に自爆行為
ほんと、キミはアサハカなおサルさんだんねえ >1 >>935
＞アホ
ま、否定はしません
しかし、一応、ω番目のアホと名乗っておきますｗ
あなたがω+1番目なのか、２ω番目なのか、ω^2番目なのか
ω＾ω番目なのか、ε0番目なのか、ω１（最初の非可算基数）番目なのか
・・・についてはわかりませんが、私より賢いヒトも
きっと沢山いらっしゃるでしょう
したがってω番目というのは決して傲慢ではなく
むしろ謙虚な評価なのです 分かるかな？ >>948
>おサルさんは君だよ、キ・ミ
妄想でしょ？
テンプレ>>5 に、貴方の正体を定義していますｗ（＾＾
サイコパスのおサルです
私？
私は、猿回しですよ（＾＾
さて
（再録）
テンプレ>>6の通り
”（前スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1623558298/158より）
＜上昇列 ０＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない
ことも分からん「考えなしの素人」に数学はムリ”
(引用終り)
でしたね？ｗ
この発言覚えていますか？ 前スレで公開処刑されましたねｗ（＾＾
なお、私は、>>705で
”1．シングルトン(＝単集合(下記))に限らないが、一般的な”可算多重に重なったもの”は、思念としては考えられるってことでいいでしょ？ それは当然、正則性公理で禁止されていない
2．その一例として、カッコ{}が、可算多重に重なったものとしての、シングルトンが考えられる（もっと具体的には空集合Φが中心にあるシングルトン）”
が、考えられると書きましたよ
逃げてますよね？ あなたはｗｗｗ （＾＾ >>950
＞私は、猿回しですよ
いや、1、君は自らサルだと自白したｗ
で、可算多重{}も最外側の{}がないから
シングルトンたり得ないと示されたｗ
「思念」？意味ないな
集合論では集合でないものは存在しない
おサルの1は死んだのさｗ >>300
＞ (1) xの全ての要素は順序数である
＞ (2) ∀y.(y⊆x＆y≠{}→∃m∈y．m=max y)
上記の条件を満たす降下列はみな有限長
おサルの1は死んだのさｗ おサルの墓
「なんでおサルすぐ死んでしまうん？」
「アホだからさ！」
ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ!!! >>953
(引用開始)
>>300
集合形式による降下列の定義についても考えてみました
(1) xの全ての要素は順序数である
(2) ∀y.(y⊆x＆y≠{}→∃m∈y．m=max y)
要するに、空でないいかなる部分集合にも最大元がある、ってことです
上記(１)(２)を満たすｘは必ず有限集合になる筈ですが、如何でしょうか？
(引用終り)
１．正確には、この上記の記述でしょ？ >>300は
２．さて、ｘ＝Ｎ＝{0,1,2.・・・}（自然数の全てを含む集合）
とすると、””y⊆xだから、ｙ＝Ｎとすると、ｙには最大限はない
３．あるいは、Ｎ⊆x のようにＮを含むｘは、同様にｙ＝Ｎとすると、ｙには最大限はない
だから、ｘ＝Ｎは上記(1)(2) の範囲外！
４．一方、ｘが順序数の有限個の集合ならば、任意の部分集合には（順序数としての）最大値があるので
上記(1)(2)を満たす
５．(1) xの全ての要素は順序数である→(1) xの全ての要素は全順序 と変更すると
ｘ＝-Ｎ＝{0,-1,-2.・・・}とできる。ｘは無限集合だが、任意の部分集合には、最大値が存在する
６．さて、問題の下記は、ｘ＝ω（＝Ｎ：{0,1,2.・・・}（自然数の全てを含む集合））として
については、（繰り返すが3項の通り）上記の(1)(2) の範囲外。
だから、下記の「＜上昇列 ０＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」については無力でしょ？
何も関係ないし、何も語っていないよね、それってｗ（＾＾；
（再録）
テンプレ>>6の通り
”（前スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1623558298/158より）
＜上昇列 ０＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない
ことも分からん「考えなしの素人」に数学はムリ”
(引用終り) >>950
(引用開始)
なお、私は、>>705で
”1．シングルトン(＝単集合(下記))に限らないが、一般的な”可算多重に重なったもの”は、思念としては考えられるってことでいいでしょ？ それは当然、正則性公理で禁止されていない
2．その一例として、カッコ{}が、可算多重に重なったものとしての、シングルトンが考えられる（もっと具体的には空集合Φが中心にあるシングルトン）”
が、考えられると書きましたよ
逃げてますよね？ あなたはｗｗｗ （＾＾
(引用終り)
こちらはどうですか？
何か、言ったらどうですか？
ｗｗｗ（＾＾； >>955 訂正
６．さて、問題の下記は、ｘ＝ω（＝Ｎ：{0,1,2.・・・}（自然数の全てを含む集合））として
については、（繰り返すが3項の通り）上記の(1)(2) の範囲外。
↓
６．さて、問題の下記は、ｘ＝ω（＝Ｎ：{0,1,2.・・・}（自然数の全てを含む集合））として
（繰り返すが3項の通り）上記の(1)(2) の範囲外。
分かると思うが（＾＾； >>955
おサルの1は、ホントバカだな おまえマジで高卒だろ
そんなんじゃ、阪大どころか、阪工大も受かんねぇよ（嘲）
{0,1,2,…ω} から、ωを含む降下列つくってみ？
どう頑張ったって、無限列にできねぇから
それはなぜだかわかるか？
わかるまでここに書きこむなよ おサルの1！
ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ!!!
草原の覇者 ω
ｗｗｗｗｗｗｗ >>956
＞カッコ{}が、可算多重に重なったものとしての、シングルトンが考えられる
カッコ{}が、可算多重に重なった「図形」は考えられる
しかし、それはシングルトンではない
なぜなら、最も外側の{}がないから
まだ、そんな簡単なことが理解できねぇのか
このバカザルの1は！
ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ!!!
草原の覇者 ω
ｗｗｗｗｗｗｗ 悪いがこの阪大どころか阪工大も受からん
どこぞの工業高校卒のバカザルの1が
俺様に勝つ日は永遠に来ないだろうｗ
ここまで酷い白痴とはおもわなかった
おまえ生きる価値ねぇな
ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ!!!
草原の覇者 ω
ｗｗｗｗｗｗｗ >>958
>{0,1,2,…ω} から、ωを含む降下列つくってみ？
>どう頑張ったって、無限列にできねぇから
またまた話をそらすぅ〜ｗ
あんたの頭は、ほんとロジックめためた だね（＾＾
問題は、
（再録）
テンプレ>>6の通り
”（前スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1623558298/158より）
＜上昇列 ０＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない”
がどうかでしょ？ つまり、”＜上昇列 ０＜・・・＜ω”が、有限列 or 無限列？ ってのが問題でさ
つまり、場合分けで、a)有限列 or b)無限列 ってことね
で
（>>955より）
(引用開始)
>>300
集合形式による降下列の定義についても考えてみました
(1) xの全ての要素は順序数である
(2) ∀y.(y⊆x＆y≠{}→∃m∈y．m=max y)
要するに、空でないいかなる部分集合にも最大元がある、ってことです
上記(１)(２)を満たすｘは必ず有限集合になる筈ですが、如何でしょうか？
(引用終り)
この(1)(2)を満たすｘは有限集合だから、上記の場合a)有限列のことしか語っていない
しかし、a)有限列の場合は、何も問題ないし、語るべきことはない
b)無限列の場合が、本来問題になっていることだが
(1)(2)を満たすｘは有限集合だから、
本来の問題とは無関係な命題でしかないよね
あんた、あたま 腐ってないか、お主（＾＾ >>961
横から失礼
１は、>>300の(1)(2)を満たす集合はみな有限集合だと認めてるけど、
その理由を>>955で十分に示せていない、と思うが如何？
具体的には、ωには最大元がないといってるが、それだけでは十分でない
ωだけでなく順序数の無限集合には、それ自体に最大元が存在したとしても、
必ず最大元を持たない部分集合が存在すると示す必要がある、と思うが如何？ >>962
ありがとう
下記の問題 11と解答を見てください。ポイントは、「定理 11.5 (整列集合の比較定理)」かな？
あと、尾畑研 問 13.3と13.4とを。解答がないが、必要な人は尾畑先生に聞いてください
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/
藤岡敦のホームページ
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2020/st1/st1.html
２０２０年度春学期「集合と位相１」
§１１．整列集合 ６月２２日分資料（６月１６日版）
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2020/st1/200622st1.pdf
２０２０年６月２２日集合と位相１（藤岡敦担当）授業資料 1
§11. 整列集合
(抜粋)
N 上の大小関係を考えよう. このとき, N の重要な性質として, 任意の空でない部分集合は最
小元をもつことが挙げられる. 証明は数学的帰納法を用いればよい. このような性質をもつ順
序集合を考えよう.
定理 11.5 (整列集合の比較定理) (W, ≦), (W′, ≦′) を整列集合とすると, 次の (1)〜(3) の何れか 1 つのみがなりたつ.
(1) W ? W′.
(2) W ? W′?a′? となる a′ ∈ W′ が存在する.
(3) W?a? ? W′ となる a ∈ W が存在する.
証明
（略）
問題 11
7. (X, ≦) を順序集合とする. a, b ∈ X に対して, b ≦ a のとき a ≦?1b と定めると, ≦?1 は X の順序関係となる.
なお, ≦?1 を ≦ の双対順序, (X, ≦?1) を (X, ≦) の双対順序集合という.
(W, ≦) を整列集合とし, N 上の大小関係を考える.
(1) W が無限集合ならば, N は W または W のある切片と順序同型であることを示せ.
(2) (W, ≦?1) が整列集合ならば, W は有限集合であることを示せ.
つづく >>963
つづき
問題 11 の解答
7. (1) N?n? ? W となる n ∈ N が存在すると仮定する. このとき, N?n? は (n ? 1) 個の元から
なる有限集合である. W は無限集合だから, これは矛盾である. よって, 整列集合の比較
定理より, N は W または W のある切片と順序同型である.
(2) 背理法により示す.
W が無限集合であると仮定する. (1) より, N は順序関係 ≦ に関して W のある部分集
合と順序同型である. よって, N の双対順序集合は順序関係 ≦?1 に関して W のある部分
集合と順序同型である.
ここで, N の双対順序集合は最小元をもたないから, 整列集合ではない. (W, ≦?1) は整
列集合だから, これは矛盾である.
したがって, W は有限集合である.
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
GAIRON-book : 2018/6/21(19:23) 東北大 尾畑研 第13章 整列集合
(抜粋)
問 13.3 有限な全順序集合は整列集合であることを示せ.
問 13.4 整列集合 (X, ?) には無限下降列が存在しない. ただし, 無限下降列とは,
X の元の列 x1, x2, ・ ・ ・ ∈ X で
x1 > x2 > ・ ・ ・ > xn > xn+1 > ・ ・ ・
を満たすものをいう.
(引用終り)
以上 >>963
コピペせずに自分の言葉で書くのがいいと思うけど如何？
確かに問われてるのは以下の７．
文字化けしてるところを^に置き換えました
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
問題 11
7. (X, ≦) を順序集合とする.
a, b ∈ X に対して, b ≦ a のとき a ≦^-1 b と定めると, ≦^-1 は X の順序関係となる.
なお, ≦^-1 を ≦ の双対順序, (X, ≦^-1) を (X, ≦) の双対順序集合という.
(W, ≦) を整列集合とし, N 上の大小関係を考える.
(1) W が無限集合ならば, N は W または W のある切片と順序同型であることを示せ.
(2) (W, ≦^-1) が整列集合ならば, W は有限集合であることを示せ. >>964
同様に解答の文字化けも直しました
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
問題 11 の解答
7.
(1) N<n>(= {x ∈ N | x < n}) ≃ W となる n ∈ N が存在すると仮定する.
このとき, N<n> は (n - 1) 個の元からなる有限集合である.
W は無限集合だから, これは矛盾である.
よって, 整列集合の比較定理より, N は W または W のある切片と順序同型である.
(2) 背理法により示す.W が無限集合であると仮定する.
(1) より, N は順序関係 ≦ に関して W のある部分集合と順序同型である.
よって, N の双対順序集合は順序関係 ≦^-1 に関して W のある部分集合と順序同型である.
ここで, N の双対順序集合は最小元をもたないから, 整列集合ではない.
(W, ≦^-1) は整列集合だから, これは矛盾である.
したがって, W は有限集合である. >>963-964
7.(1)の解答で「整列集合の比較定理」を使っているので
まずステートメントを示します
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
W<a>は {x ∈ W | x < a} を表す
定理 11.5 (整列集合の比較定理)
(W, ≦), (W′, ≦′) を整列集合とすると,
次の (1)〜(3) の何れか 1 つのみがなりたつ.
(1) W ≃ W′.
(2) W ≃ W′<a′> となる a′ ∈ W′ が存在する.
(3) W<a> ≃ W′ となる a ∈ W が存在する. >>959
>しかし、それはシングルトンではない
>なぜなら、最も外側の{}がないから
ほいよ（＾＾
（>>731より再録）
(引用開始)
2．個人的に下記の”現場の集合論としての素朴集合論”（檜山正幸）って言葉が気に入っているんだ
”集合概念が必要な場面では、ZFC公理的集合論が使われているのでしょうか？ -- 使われません。日常的にZFC公理的集合論を使う人なんていない”
で、「最外側の{}がない」という批判は、ZFCではそうかも知れないが（これも証明がない）、
例えば、「超越数α」と書いたとする。超越数αの最外側の{}はどこに？ （超越数αは元とも考えられるが、ZFC内で集合として構築できるはず）
超越数の集合の最外側の{}はどこに？ そんなものはいらないでしょ。お主の「２．そもそも最外側の{}がない」って例多数あるよね
(引用終り)
以上 >>967の追記
7.(1)の証明の意味
「Ｎより大きい順序数はＮを切片として含む」（比較定理より）
「したがって、無限順序数ＷがＮを含まないなら、ＷはＮの切片Ｎ<n>と等しくなる」
「しかし、Ｎ<n>は有限集合だから矛盾」 >>966の追記
＞N の双対順序集合は最小元をもたないから, 整列集合ではない.
{0,1,…ω}についていえば、ωを抜いた集合がもし無限集合なら
Ｎと同型の部分集合が取れて、最大元を持たない
つまり、そのような部分集合は双対順序では最小元を持たず、
したがって{0,1,…ω}の双対順序も整列集合にならない >>968
>「最外側の{}がない」という批判は、ZFCではそうかも知れないが（これも証明がない）
最外側の｛｝＝インデクス集合の最大元、ってことはわかってる？
無限重の｛｝
＝インデクス集合が無限集合
＝インデクス集合がＮと同型の部分集合を持つ
＝Ｎには最大元は存在しない
＝最外側の｛｝が存在しない要素がある
となるのは、わかってる？ >>968
>例えば、「超越数α」と書いたとする。
>超越数αの最外側の{}はどこに？
>（超越数αは元とも考えられるが、ZFC内で集合として構築できるはず）
1は超越数に限らず、実数がZFC内でどう定義されてるか理解してる？
デデキント流なら有理数の切断だし
カントル流なら有理数の基本列（コーシー列の条件を満たす無限数列）だけど
いずれにしても、実数は集合としては
有理数の集合の対集合（デデキント流） もしくは
自然数と有理数の対集合の無限集合（コーシー列） となるので
必ず最外側の{}は存在するよ
大学１年の微分積分学の冒頭で習う筈なんだけど、もしかして知らなかった？ >>968
>超越数の集合の最外側の{}はどこに？
>>973で「理工系の大学１年生なら必ず知ってる解答」を書いたので読んでね
>そんなものはいらないでしょ。
ZFC上で考えるなら、集合である必要があるので、当然、ありますけどね
>「２．そもそも最外側の{}がない」って例多数あるよね
多数？いや、一つもないんじゃないですか？
超越数だろうが何だろうが、実数には最外側の{}があることは示したので
他に例があると思うなら、ここでお示しいただければ、
どこに最外側の{}があるか返答するけど、どう？ >>974
下記のノイマン構成で
例えば
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
↓（余計な {}, {{}},とを抜くと）
3 := suc(2) = {{{{}}}}
とできるよ
これは、任意のｎについても同じだよ
つまり、ノイマン構成のｎは、一番内部の空集合{}から見ると、カッコ{と、}とが、ｎ重になった集合だよ
下記の（ツエルメロによる）シングルトンによる自然数の構成と同じだよ
ｎ→∞を考えると、∞重になった集合が、考えられる。ノイマン構成も、（ツエルメロによる）シングルトン構成も同じだよ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
形式的な定義
自然数の公理
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc (a):=a∪{a}
0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。
このように定義された集合 n は丁度（通常の意味で）n 個の元を含むことになる。また、これは有限順序数の構成であり、（通常の意味で）n ? m が成り立つことと n が m の部分集合であることは同値である。
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り) >>975
>ｎ→∞を考えると、∞重になった集合が、考えられる。
それが最外側の{}がない例といってるんなら
「ｎ→∞」の考え方がおかしいんじゃないかな
ｎ→∞の手順を具体的に示してくれる？
>ノイマン構成も、（ツエルメロによる）シングルトン構成も同じだよ
ノイマン構成のωの定義は以下の通り
{}∈ω かつ ｘ∈ωなら、ｘ∪{ｘ}∈ω となる最小の集合
ツェルメロ構成のωも同様なら以下の通り
{}∈ω かつ ｘ∈ωなら、{ｘ}∈ω となる最小の集合
上記って、シングルトンじゃなくて無限集合だけど？ >>971
(引用開始)
{0,1,…ω}についていえば、ωを抜いた集合がもし無限集合なら
Ｎと同型の部分集合が取れて、最大元を持たない
つまり、そのような部分集合は双対順序では最小元を持たず、
したがって{0,1,…ω}の双対順序も整列集合にならない
(引用終り)
これ
なんか言った気になっているのかな？
１．{0,1,…ω}で、ωを抜いた集合は、N＝{0,1,…}で自然数の集合で。無限集合だよ
２．この双対順序として、簡単に0又は負の整数を考えて、それを-Nとして
-N＝{0,-1,…}で、これは最小元を持たず、整列集合にならないよ
３．だから、N’＝{0,1,…ω}の双対順序、それを-N’として
-N’＝{0,-1,…,-ω}だけど、これは最小元を持たない部分集合 -N＝{0,-1,…}を含むから
よって、整列集合にならないよ
これで
なんか言った気になっているのかな？（＾＾；
小学生に、自然数、正の数、負の数、整数を教えている気分になってきたぜ >>976
>>ｎ→∞を考えると、∞重になった集合が、考えられる。
>それが最外側の{}がない例といってるんなら
最外側の{}があるとか、ないとか
そんなことは言っていない
ノイマン構成と、（ツエルメロによる）シングルトンによる自然数の構成は
兄弟か親戚みたいなものですよ、ってこと
>ｎ→∞の手順を具体的に示してくれる？
普通の添え字集合の極限です
あんた、前スレで、添え字集合に全く反応できなかったよね
哀れだな
>上記って、シングルトンじゃなくて無限集合だけど？
だから、なんども言っているが
ノイマン構成で自然数N＝{0,1,…} が出来たあとで
これを、添え字集合として、シングルトンのｎ→∞の極限を考えれば良いってこと
数学的な主張は、それだけだよ
最外側の{}があるとか、ないとか
そんなことは言っていないし、問題にしていない >>977
＞なんか言った気になっているのかな？
>>300の(1)(2)は理解した？
降下列{0,1,…ω}で、ωを抜いた集合が、無限集合だとする
いっとくけど、上記の集合は別に全ての自然数を要素とするとは
一言ももいってないので、必ずしもNとは一致しない
しかし、順序集合としてNと同型となるので、最大元が存在しない
したがって(2)を満たさないので、降下列だという前提と矛盾する
また、双対順序集合として考えた場合は整列集合にならない
ほんとにわかってるのかな？
もしかして、大学行ってない？
だったら全く理解できなくても仕方ないけど >>978
>ノイマン構成と、（ツエルメロによる）シングルトンによる自然数の構成は
>兄弟か親戚みたいなものですよ、ってこと
それは結構だけど、もしノイマン構成と全く同じく
ツェルメロ構成のωを考えるなら、
シングルトンにはならないよ
それはわかってる？
>>ｎ→∞の手順を具体的に示してくれる？
>普通の添え字集合の極限です
「普通の添え字集合の極限」を具体的に示してくれる？
>だから、なんども言っているが
>ノイマン構成で自然数N＝{0,1,…} が出来たあとで
>これを、添え字集合として、シングルトンのｎ→∞の極限を考えれば良いってこと
>数学的な主張は、それだけだよ
誰だかいってたけど、
図形として定義できたからっていって
それが集合になるとは限らないんだけど
数学的には、最外側の{}がなかったら集合じゃないよ
>最外側の{}があるとか、ないとか
>そんなことは言っていないし、問題にしていない
それって問題外じゃね？
最外側の{}がないなら、集合じゃないよ
そこ、分かってなかったら、集合は初歩から分かってないことになるけど
もしかして、大学行ってない？
だったら集合が全く理解できなくても仕方ないけど >>978
>最外側の{}があるとか、ないとか
>そんなことは言っていないし、問題にしていない
最外側の{}が定まってなければ何が要素かも定まっていないと思いますけど？
集合の基本中の基本が分かってないようですね >>978
>普通の添え字集合の極限です
定義を具体的に書いてみて
コピペじゃなくあなた自身の理解してる内容で >>974
>ZFC上で考えるなら、集合である必要があるので、当然、ありますけどね
21世紀は、ZFCは絶対じゃないよ
それは、”現場の集合論としての素朴集合論”（檜山正幸）>>968に書いた通り
それから、カッコ｛｝のあるなしは、集合の判定基準にならない（例 下記ラッセルのパラドックス R={x｜ x not∈ x}）
さらに、現代数学の概念は、集合に縛られないよ（例：圏論）
だから、可算多重シングルトンなる数学概念が考えられるんだよ
可算多重シングルトンが、ZFCの内なのか、あるいはZFCの外だが何か別の集合論の枠内か、あるいは集合論の外なのか？
それはともかく、可算多重シングルトンなる数学概念が考えられるよ
それ、普通だよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ラッセルのパラドックス
概要
ラッセルのパラドックスとは、自分自身を要素として含まない集合全体の集合 R={x｜ x not∈ x}の存在から矛盾が導かれるという、素朴集合論におけるパラドックスである。 >>983
つまりZFでは集合でないことを認めるのですね？ >>973
>自然数と有理数の対集合の無限集合（コーシー列） となるので
>必ず最外側の{}は存在するよ
違うな。下記の澤野嘉宏先生の
”(有理数のコーシー列). {an}∞ n=1 ⊂ Q”が本質であって
集合のカッコ{}は、不要。なお、{an}は数列のカッコ{}であって、集合とは意味違う
集合のカッコ{}は、無理につけることも可だが、付ける付けないは、任意ってことです
なお、お主無限のパラドックス（下記）でも読んだら？
無限分かってないね
https://www.comp.tmu.ac.jp/yosihiro/teaching/
首都大学東京理工学研究科数学専攻 澤野嘉宏のホームページ
https://www.comp.tmu.ac.jp/yosihiro/teaching/calculus4/jissuunokousei.pdf
澤野嘉宏
1 実数とは
定義 1.1. 数列のあらわし方として，
a1, a2, ・ ・ ・ , an, ・ ・ ・
や
(an)∞ n=1
などがあるが，ここでは
{an}∞ n=1
という記号を用いる．
定義 1.2 (有理数のコーシー列). {an}∞ n=1 ⊂ Q がコーシー列であるとは，任意の有理数
ε > 0 に対してそれに応じてある N ∈ N が決まり，m, n ? N のときに，
|am - an| < ε
が成り立つことをいう．
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
パラドックス
「無限」
ガリレオのパラドックス
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
以上二つは（他にも数学や物理関係には同様のものが多いが）、無限というものが一見直感に反する、ということを述べているだけのことで、論理でいうところの矛盾ではない。濃度の記事などを参照。
スコーレムのパラドックス
下降型レーヴェンハイム-スコーレムの定理によると、ZF 集合論も可算モデルを持つことになるが、ZF 集合論の中には非可算集合が存在する。このことは一見不合理のように見えるので、スコーレムのパラドックスと呼ばれる。これは、形式体系内での集合概念と、メタ理論内の集合概念の違いをはっきり認識していないと不可解に見えるというに過ぎない。 >>984
>つまりZFでは集合でないことを認めるのですね？
認めるも認めないもないよ
単に添え字集合としての極限である、可算無限シングルトンが考えられると主張しているだけのこと
それが、ZFC内か、あるいは外か
それは、得られた極限がどんなものかによるでしょ？
有理数のコーシー列の極限が、有理数になるか、あるいは有理数の外の無理数になるか？
それは得られた極限次第ってことですよ >>985
>https://www.comp.tmu.ac.jp/yosihiro/teaching/calculus4/jissuunokousei.pdf
>澤野嘉宏
> 1 実数とは
>定義 1.1. 数列のあらわし方として，
>a1, a2, ・ ・ ・ , an, ・ ・ ・
数列を、順序組と考えると、下記のように順序対の入れ子としての定義が考えられる
そして無限列なら、無限順序組であり、下記の応用で、カッコ{}の多重無限は当然になるよ
いずれにせよ、ｎ→∞を考えることが、本質なんだよ
その根本の本質を外したら、ダメダメなのです
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E7%B5%84
順序組
順序対の入れ子としての定義
集合論における順序対のモデル化は順序対を用いても定義できる。ただし、順序対は既に定義されているものとする（そして、順序対は二つ組である）。
0-組（空組）は空集合 Φ とする。
n > 0 に対する n-組は、初項と (n - 1)-組との順序対
(a_{1},a_{2},a_{3},・・・ ,a_{n}):=(a_{1},(a_{2},a_{3},・・・ ,a_{n}))
と定める。
この構成を (n - 1)-組に対しても帰納的に適用して、最終的に
(a_{1},a_{2},a_{3},・・・ ,a_{n}) def=(a_{1},(a_{2},(a_{3},(・・・ ,(a_{n},Φ )・・・ )))).
同様の仕方で、要素を後ろに追記していく形に定義することもできる:
0-組 Φ;
n > 0 に対して (a_{1},a_{2},a_{3},・・・ ,a_{n}):=((a_{1},a_{2},a_{3},・・・ ,a_{n-1}),a_{n}).
したがって帰納的に
(a_{1},a_{2},a_{3},・・・ ,a_{n}) def=((・・・ (((Φ ,a_{1}),a_{2}),a_{3}),・・・ ),a_{n}).
さて集合論において、順序対は集合として定義される（例えばクラトフスキーの定義）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%AF%BE
順序対
クラトフスキーの定義
Kuratowski (1921) は今日的に広く受け入れられている順序対 (a, b) の定義[5][注 4]
(a,b)_K:={{a},{a,b}}
を提唱した。 >>986
>それは、得られた極限がどんなものかによるでしょ？
無限重シングルトンのことを今話題にしてるんじゃないの？
何を話題にしてるつもりなの？ 頭おかしい？ >>983
「シングルトン」って言葉の意味は知ってるかい？
「唯一の要素をもつ”集合”」って意味だよ
もし、集合でないかも、というなら、シングルトンって呼んだらダメだよ
>>985
{an}∞ n=1が 有理数全体の集合Qの部分集合なら
当然、集合の{}は存在するけど
数列を対集合の集合とせずに、有理数の集合としても問題はないけど
コーシー列だから集積点がないとか
2つ以上の集積点をもつとかいうことはない
集積点は必ず1つだけ存在する
数列のそれぞれの項は有理数だから、{}は無理なくつけられる
つけるつけないに、任意性はない 必ず付く
>>986
最外部の{}がないなら集合ではない
もし基礎の公理を外しても同様に集合ではない
つまり、…{{{}}}…という形の可算無限{}が集合ではないのは
基礎の公理以前の問題
基礎の公理を外して、別の公理を入れた場合
{{{…}}}という形の可算無限{}はシングルトン、
すなわち単一の要素をもつ集合として認められる
ただ、これはツェルメロ構成のωとは異なると思う
というのは、これをω＋１、ω＋２と延長することはできそうもないから >>989
＞数列を、順序組と考えると、下記のように順序対の入れ子としての定義が考えられる
順序対の入れ子として定義できるのは、有限順序組だけだよ
＞そして無限列なら、無限順序組であり、下記の応用で、カッコ{}の多重無限は当然になるよ
悪いけど、無限列は最後の要素がないから、上記の手続きが終了せず、順序対の入れ子にはできない
無限列の場合、別の方法（例えば、位置を表す自然数と要素の組の集合）を用いるしかない
考えればわかることなんだけど、もしかして１ってまったく考えずに漫然と書き流してる？
それじゃ悪いけど数学は死ぬまでわからないだろうね https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E7%B5%84
「順序対の入れ子」として定義できるのは、有限列のみだが
「写像」として定義するなら、無限列でもOK
X＝{1,2,3,…}
Y={a1,a2,a3,…}
F＝{(1,a1),(2,a2),(3,a3),…} >>990
>>990
>>それは、得られた極限がどんなものかによるでしょ？
>無限重シングルトンのことを今話題にしてるんじゃないの？
n重シングルトンのｎ→∞の極限を、（可算）無限重シングルトンと呼ぶってことだ
で、n重シングルトンのｎ→∞の極限が、どういう性質を持つのか？
それは、極限を認めてから考えるべきことであって、極限を考えることを止めるのは、数学としてはおかしいよね
>>991
>「シングルトン」って言葉の意味は知ってるかい？
>「唯一の要素をもつ”集合”」って意味だよ
>もし、集合でないかも、というなら、シングルトンって呼んだらダメだよ
それについては、上記の通りだ
極限を認めてから考えるべきことであって、極限を考えることを止めるのは、数学としてはおかしいよね
>というのは、これをω＋１、ω＋２と延長することはできそうもないから
そんなことはない、ω＋１＝{ω}, ω＋2＝{{ω}} とすれば良いよ
>>992
>順序対の入れ子として定義できるのは、有限順序組だけだよ
じゃ、無限長のコーシー列はどうするんだ？ クラトフスキー流の集合にはできないのかね？
>悪いけど、無限列は最後の要素がないから、上記の手続きが終了せず、順序対の入れ子にはできない
だから、極限を使うんだよ、極限を
>>993
>「写像」として定義するなら、無限列でもOK
>X＝{1,2,3,…}
>Y={a1,a2,a3,…}
>F＝{(1,a1),(2,a2),(3,a3),…}
それって、添え字集合を使うってことでしょ？
で、添え字集合で、ｎ→∞の極限を考えないとだめでしょ？ 有限で終わったらだめだよね
（再録）
テンプレ>>6の通り
”（前スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1623558298/158より）
＜上昇列 ０＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない”
とか、ほざいていたバカは誰なの？ >>994
>n重シングルトンのｎ→∞の極限を、（可算）無限重シングルトンと呼ぶってことだ
だから極限の定義を示せと何度言わせるんだ？
>で、n重シングルトンのｎ→∞の極限が、どういう性質を持つのか？
>それは、極限を認めてから考えるべきことであって、極限を考えることを止めるのは、数学としてはおかしいよね
認めるも何も定義が示されてないのに何を言ってるの？馬鹿？
別に考えることを止めるなんて一言も言ってない。
むしろおまえが極限の定義を示すことを止めてるんだけど？ 馬鹿？
おまえが極限を持ち出したんだからおまえが定義を示せ 早くしろ 愚図るな おまえは3才児か >>994
極限を考えること自体は否定しないけど
「シングルトン」＝「唯一の要素をもつ集合」だから
そう呼ぶのは性質について述べることになりＮＧってことではないかい？
>これ（ω＝{{{…}}}）をω＋１、ω＋２と延長することはできそうもないから
>そんなことはない、ω＋１＝{ω}, ω＋2＝{{ω}} とすれば良いよ
その場合ω＝{ω}＝{{ω}}となるから、延長になってないのではないかい？
あと、添え字集合の件は、ωを無限公理の方法で構成すればいいだけ
で、ツェルメロ流でも同じやり方をとると、シングルトンではなく無限集合になる
そもそも1は無限重{}の構成に、添え字用いてなかったっけ？ >>995
>>それは、極限を認めてから考えるべきことであって、極限を考えることを止めるのは、数学としてはおかしいよね
>認めるも何も定義が示されてないのに何を言ってるの？馬鹿？
"極限"の定義、ほい
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90
極限
数学においては、数列など、ある種の数学的対象をひとまとまりに並べて考えたものについての極限（きょくげん、英: limit）がしばしば考察される。直感的には、数の列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを数列の極限あるいは極限値といい、この数列は収束するという。収束せず正の無限大、負の無限大、振動することを発散するという。
目次
1 数列の極限
1.1 数列の収束
1.2 極限値の性質
1.3 数列の発散
1.4 様々な極限
1.5 点列
2 関数
2.1 変数の収束に伴う関数の挙動
2.2 無限遠点における挙動
3 関数列の収束
4 位相空間
5 圏論
(引用終り)
>>997
>極限を考えること自体は否定しないけど
>「シングルトン」＝「唯一の要素をもつ集合」だから
>そう呼ぶのは性質について述べることになりＮＧってことではないかい？
えらく呼び方にこだわるね
じゃあ、”シングルトンの極限”とでも呼んでくれ
数学の用語でも、時代により変化するのは多いよ(下記)
>その場合ω＝{ω}＝{{ω}}となるから、延長になってないのではないかい？
"ω＝{ω}＝{{ω}}"は、証明がない。つーか、それ、順序数の考え分かってないのでは？ 集合の濃度と勘違いしてない？
順序数は、集合の濃度と異なる演算規則があるよ
（参考）
http://izumi-math.jp/F_Nakamura/nitehinarumono.pdf
数学の言葉…その似て非なるもの
札幌旭丘高校 中村文則
★解と根
根と係数の関係，根の公式，根の判別式，重根……，昔の教科書はこのように記載されていた。
1 次方程式2 4 =x を解くとその根はx = 2
1 次不等式2 4 >x を解くとその解はx > 2
「では解と根はどう違うの？」
これでは混乱してしまうからという理由で，昭和48 年の学習指導要領の改定では，「解と根」を統一して「解」と表現することになった。 >>998
何の定義にもなってなくて草
おまえアホだろ この応援スレとは
IUTスレや海外数学者のツイッターを
荒らしたmath jinの出張所です
（参考）
https://twitter.com/math_jin
math_jin 出版序文リンク Andrew Putman 2021年3月6日
https://drive.google...ZnCCMx6wJka0ybh/view
>>1
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
