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引き続き代数幾何を勉強するためのスレッド
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0424１３２人目の素数さん
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2021/04/08(木) 16:40:25.48ID:6eVb2X+V
C[x_0, ..., x_n]_k → H^0(X, O(k))を上の方法で定める。

これが同型であることを示す。

線形性は明らか。

単車性:
多項式fが零切断に移るとすると、各ファイバーL'_xに制限しても0。つまり、L_x上の関数として0。

(1) 包含L ⊂ P^n × C^(n+1)
(2) 第2成分への射影P^n × C^(n+1) → C^(n+1)
(3) f: C^(n+1) → C

を考える。(1)と(2)の合成は全射で、(3)はfが0でなければ零写像ではない。だから、すべてのファイバーに制限して0ということは、fは0である。

あとは全射性。
0426１３２人目の素数さん
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2021/04/08(木) 17:43:37.78ID:YjSipr/Q
そんなの簡単じゃん？
0427１３２人目の素数さん
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2021/04/08(木) 18:09:53.24ID:qarOrhFK
>>414
symmetric monoidal categoryのピカール群は群である
ある環付き空間の上の連接層の圏はsymmetric monoidal categoryである
0428１３２人目の素数さん
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2021/04/08(木) 18:17:08.45ID:RAlTyCe6
>>424
まず、s∈H^0(X, O(k))を0でない任意の切断とする。次に、f∈H^0(X, O(k))をk次多項式Fから定まる切断とする。比

s/f

を考える。これは、局所的にXの有理型関数で、開被覆の共通部分で変換関数が約分されて消えるから、X全体の有理型関数になる。
O(k)の切断はL_x上の切断だから、s/fはC^(n+1)＼{0}上の有理型関数を定める。作り方から

G = F s/f

はC^(n+1)＼{0}上の正則関数。Hartogsの定理から、これはC^(n+1)上の正則関数に拡張できる。
s/fがP^n上の関数で、Fは斉次多項式だったから、G(λz) = λ^k G(z)。これを満たす正則関数、これはk次の斉次多項式。作り方から、sはGの像。
0430１３２人目の素数さん
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2021/04/08(木) 18:34:40.28ID:X0PQTMdP
O(n)を次数付き加群に附随する層として定義した場合は、これハナクソレベルに簡単なのね
0431１３２人目の素数さん
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2021/04/08(木) 18:37:25.05ID:X0PQTMdP
だから多分、O(1)を先に定義しておいて、O(-1)が∪(x, l) (x∈l⊂C^(n+1))であることを示す方が簡単だと思う
0433１３２人目の素数さん
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2021/04/08(木) 18:46:01.59ID:XjvEzdzE
Caution 5.13.1
If S is a graded ring which is not a polynomial ring, then it is not true in general that Γ_*(Ox) = S (Ex 5.14)

とあるし、polynomial の場合に正しい事の証明 prop 5.13も15行ほどあるので自明とまで言えるかは構成次第だな
0434１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 09:18:37.19ID:3GCwrPsa
>>428
「Hartogsの定理から」というのはよく使われるが
本当は「Hurwitzの定理から」が正しい。
0435１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 10:11:41.33ID:v8bnWiHF
>>432
直線束はファイバーの集まり∪E_xで、E_xはどれも同型ですよね？
だから直線束は全部同型なんじゃないんですか？
0436１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 10:24:17.73ID:+5E/9eYU
たとえばP^1で考えてみたら？
P^nのPicard群はZだけど、別に一般的に考えなくても、自分の知ってる直線束2つ（OとO(1)とか、OとO(-1)とか、O(1)とO(2)とか）が同型でないこと調べたら？
0437１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 10:30:32.39ID:TdAftJCZ
symmetric monoidal categoryのピカール群は群である
ある環付き空間の上の連接層の圏はsymmetric monoidal categoryである
したがって群にならなければ矛盾する
0439１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 11:40:33.03ID:3GCwrPsa
>>437
骸骨の踊り
>>438
クラゲのダンス
0441１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 12:27:32.92ID:E3aFQLXs
肉だけで骨のない論文もあるそうだ
0443１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 14:31:40.64ID:bRuNFsMc
>>436>>438
それらが同型ではないという事実自体は知っています
たとえばOとO(1)は大域切断が異なります
私の疑問は、それらはともに同型な1次元ベクトル空間の合併なのにもかかわらず、なぜ同型ではないのか、ということてす
0445１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 15:07:34.97ID:LfT2FSAo
層って、すべての点xのstalkが同型なら同型でしょ？
なら直線束の切断の層って、stalkは全部O_X,xだから、全部同型なんじゃないの？
0446１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 15:12:39.99ID:UNorA8In
張り合わせかたが違ったら全体として同型にならないのは当たり前やん？
R×[0,1]の端っこの張り合わせかた変えたら片方は円環になってもう一方はメビウスの帯になるでしょ？
0447１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 15:13:42.38ID:kwQSHqXv
前層の準同型φ: F → Gがあって、φが各xのstalkに誘導する準同型φ_x: F_x → G_xがすべて同型なら、FとGは同型
だが、各F_xとG_xに同型が存在しても、FとGは同型とは限らない。

もしそうなら、おっしゃる通り、与えられた階数rの局所自由層はすべて同型になってしまう
0448１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 15:30:18.32ID:kwQSHqXv
正則直線束(L_1, π_1), (L_2, π_2)が同型とは、複素多様体としての双正則同型f: L_1 → L_2で、

・π_2○f = π_1
・∀x∈X、fはベクトル空間の同型写像(L_1)_x →(L_2)_xを誘導する

となるものが存在すること。

Xの開被覆U = {U_i}を十分細かく取れば（L_1, L_2が局所自明になる開被覆の共通部分を取ればよい）、∀i

φ_1,i: π_1^(-1)(U_i) 〜 U_i × C
φ_2,i: π_2^(-1)(U_i) 〜 U_i × C

とできて、{(π_1^(-1)(U_i), φ_1,i)}, {(π_2^(-1)(U_i), φ_2,i)}はそれぞれL_1, L_2の正則な座標近傍。だから、fが同型であることは、∀i, j

ψ_i,j = φ_j○f○φ_i^(-1): (U_i∩U_j) × C → (U_i∩U_j) × C

が双正則で、ψ_i,jが各点xに誘導する線形写像

ψ_i,j(x, ・): C → C

が同型となること。
0450１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 15:50:40.30ID:UNorA8In
結局この問題も前のHartshorneのprop 5.13絡みなんだよな
Sが次数付環k[x0‥xn]、M=S、N=x0S+‥xnSをそれぞれ次数付きS加群としたとき、M^、N^がそれぞれO(0), O(1)になる
この時Γ(P, M^) = M0、Γ(P,N^) = N0になるならO(0)、O(1)は非同型と言える(Global sectionの次元も計算できたことになる)
改めてRiemann-Rochのすごさがわかるなぁ
0451１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 16:36:33.20ID:8TIV0ok8
Cartier divisorの方が自然だとは思うが、Weil divisorの方が簡単だし代数的サイクルなどにも発展していくのか？
0452１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 16:38:02.96ID:+jZWjCNF
1-コサイクル{(U_i, φ_i,j)}与えたときに、ラインバンドルはどう決まるんだっけ？
0453１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 17:22:56.79ID:0dIFm++m
どうもこうも、そんなの決まらないんだが？
0454１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 17:40:51.88ID:dxf/Jq5q
X = ∪U_i
L = ∪L_x （L_x = π^(-1)({x})）L_x 〜 C

とする。φ_i,jは、

φ_i,j: (U_i∩U_j) × C → (U_i∩U_j) × C
φ_i,j(x, z) = g_i,j(x) z （g_i,j(x)∈GL(1, C)）

と表せて、各g_i,jは

g_j,i g_i,j = 1
g_k,i g_j,k g_i,j = 1

を満たすとする。
π^(-1)(U_i) = U_i × Cとし、Lはすべてのiに関するπ^(-1)(U_i)の和集合とする。
π^(-1)(U_i)とπ^(-1)(U_j)は、φ_i,jで移りあう点を同一視する。
こういうことができるためには、第3のπ^(-1)(U_k)を取ったときに、π^(-1)(U_i∩U_j∩U_k)上で

φ_j,i○φ_i,j = 1
φ_jk○φ_i,j = φ_i,k ⇔ φ_k,i○φ_jk○φ_i,j

を満たすことが必要十分だが、それはcocycle条件そのもの。
0456１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 17:45:14.66ID:dxf/Jq5q
>>454
> φ_jk○φ_i,j = φ_i,k ⇔ φ_k,i○φ_jk○φ_i,j
→ φ_j,i○φ_i,j = 1
φ_jk○φ_i,j = φ_i,k ⇔ φ_k,i○φ_jk○φ_i,j = 1
0457１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 17:46:09.58ID:dxf/Jq5q
>>454
> φ_jk○φ_i,j = φ_i,k ⇔ φ_k,i○φ_jk○φ_i,j
→ φ_jk○φ_i,j = φ_i,k ⇔ φ_k,i○φ_jk○φ_i,j = 1
0460１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 19:07:35.66ID:KiK2xRnH
>>458
(1) Pic(X)が群であることを示す
テンソル積が積、自明なline bundleが単位元、双対が逆

(2) Pic(X) → H^1(X, O_X^*)の全射性を示す
まず、line bundleを取ると変換関数が1-cocycleをなすから写像が定まる
任意の1-cocycleはline bundleを定めるから全射

(3) 単射性を示す
2つのline bindleの変換関数の比がcoboundaryになっているなら、それは同じline bundleの変換関数である
0461１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 19:48:32.43ID:0dIFm++m
おまえら微分幾何学やれよな？
0463１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 20:06:14.30ID:FEQi9Dfh
複素平面から原点を除いた空間はスキーム論では

Spec(C[t, t^(-1)])

ですが、多項式の零点集合ではないので座表を使った代数幾何では扱えないのでしょうか？
0466１３２人目の素数さん
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2021/04/09(金) 20:22:55.52ID:j3YOIiPF
ならない
固有な群スキームがアーベル多様体
一次元アーベル多様体＝楕円曲線
0467１３２人目の素数さん
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2021/04/10(土) 12:55:13.37ID:wn4NxpCt
なかなか導来圏の話にはならないな
0468１３２人目の素数さん
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2021/04/10(土) 13:08:44.82ID:KHPdg7H/
なかなかというか、導来圏の代数幾何学への応用は最先端の発展途上なテーマなイメージがあるが
0470１３２人目の素数さん
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2021/04/10(土) 14:52:33.36ID:0tHJ3yUM
代数幾何絡みの導来圏のテーマってフーリエ向井変換とtilting complexの話しか知らないな
なんか発展あったのかな？
0471１３２人目の素数さん
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2021/04/10(土) 16:26:36.21ID:EFz2VEzr
small resolutionの特徴づけみたいことができるらしいが
0472１３２人目の素数さん
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2021/04/10(土) 18:26:02.00ID:bbH7DaOd
代数幾何学よりもトポロジーのが難しいみたいね
0474１３２人目の素数さん
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2021/04/10(土) 19:24:46.81ID:EFz2VEzr
孤立特異点の分類の話で
特異点解消が一次元の例外集合
を持つものでできるとき
その解消をsmall resolutionという
こういうものはあまり多くないから
これらを特徴づけるいろんな条件が考案されている
その中に導来圏を使ったものがあるらしい
0476１３２人目の素数さん
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2021/04/10(土) 21:58:51.03ID:f1DhxLvS
最底曲線異円
0477１３２人目の素数さん
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2021/04/11(日) 09:57:48.30ID:KGrFTw4L
>>476
それはアンビエント空間の性質による
0478１３２人目の素数さん
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2021/04/11(日) 19:19:59.13ID:VyqPGIur
おまえらホモけ？
0479１３２人目の素数さん
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2021/04/11(日) 23:27:41.83ID:KGrFTw4L
ホモホモセブンはみなもと太郎
0480１３２人目の素数さん
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2021/04/12(月) 00:13:23.46ID:IThnS6hf
やっぱクリスタル・コホモロジーよりエターナル・コホモロジーの方が進化系なん？
0481１３２人目の素数さん
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2021/04/12(月) 00:14:34.52ID:IThnS6hf
ムーンシャインとかsyzygyとかも代数？エターナル・コホモロジーとどっちが強い？
0482１３２人目の素数さん
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2021/04/12(月) 07:26:10.00ID:TlvGEE9Q
代数の話題ばっかり
0483１３２人目の素数さん
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2021/04/12(月) 09:08:42.78ID:IThnS6hf
コホモロジーというのは障害らしいですね
モンスターというのも倒すべきなんでしょうか？
0484１３２人目の素数さん
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2021/04/12(月) 09:09:46.56ID:IThnS6hf
クリスタルやミラーシンメトリーやムーンシャインなどを駆使してモンスターを退治するんですよね？
0486１３２人目の素数さん
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2021/04/12(月) 09:12:04.12ID:IThnS6hf
導雷圏というのもアラベスクみたいでいいですよね
素敵な世界観です
0488１３２人目の素数さん
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2021/04/12(月) 10:57:05.03ID:NQ9QfMs5
代数馬鹿
0491１３２人目の素数さん
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2021/04/12(月) 21:35:57.01ID:5/SBLh5+
リーマン幾何学やれや！
0493１３２人目の素数さん
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2021/04/13(火) 11:45:59.30ID:yW80uLSi
またモチーフが出てきそう
0496１３２人目の素数さん
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2021/04/14(水) 10:52:23.96ID:idkneJaw
なんで、そうなる？
0497１３２人目の素数さん
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2021/04/14(水) 11:17:43.80ID:dMNaG8eB
τ∈H := {z∈C | Im(z) > 0}に対して

C_τ: y^2 = 4x^3 - g_2(τ)x - g_3(τ) ⊂P^2

とする。ただし、

L = Z⊕Zτ
g_2(τ) = 60 Σ[z∈L＼{0}] 1/z^4
g_3(τ) = 140 Σ[z∈L＼{0}] 1/z^6。

τも座標だと思って、

M: y^2 = 4x^3 - g_2(τ)x - g_3(τ) ⊂ P^2 × H

としてみる。
γ = [[a b], [c d]]∈SL(2, Z), τ∈Hに対して、

γτ = (aτ + b)/(cτ + d)

とする。Y = PSL(2, Z)＼Hとすると、C_τの同型類とYの点が1対1に対応するので、

M → Y

が定まる。


ここまで勉強した。
0498１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/14(水) 11:26:01.70ID:nbbeLNA7
>>134
5章のテータ関数の章がまったく読解できんから教えてくれ。


まず、Corollaly 5.5. に出てくる双線型形式S(v, v)の定義がわからん。
おそらくVのHermitian form Hの実部からできる対称双線型形式なんだろうが、どこで定義されてる？


それ以上に、困ってるのは以下の2つ

おそらくB^上の双線型形式であろうu^(v)の定義がどこに書いてあるのか全く見つからない。

この章で頻繁に引用されるTheorem 2. 13. が存在しない。どの命題の間違いなのかも検討がつかない。
0500１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/14(水) 19:57:17.10ID:pEuPByzD
アホな質問ですみませんが
微分方程式で言う特異点と代数幾何で特異点って同じ意味ですか
あと特異点解消定理と微分方程式ってどれくらい関係あるんですか
0502１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/15(木) 10:33:44.69ID:PD95UyjK
>>500
同じ意味ではないが関連性はある
あと、特異点解消定理が微分方程式の解の特異性の解析に
応用されたことがある
0503１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/15(木) 15:22:06.15ID:TsAAlHQ4
回答ありがとうございました
違う意味なのかー
でもたまたま言葉尻と偶然重なったというか
関連性自体はあるのですね
関連性に興味出てきました
0504１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/15(木) 15:24:32.08ID:TsAAlHQ4
>>502
>特異点解消定理が微分方程式の解の特異性の解析に
>応用されたことがある

>>501
>D-module齧ったら同じに見えてくる

宜しければ該当する論文やテキストなど具体的に挙げて下されば幸いですm(_ _)m
0505１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/15(木) 22:02:32.71ID:PD95UyjK
M. F. Atiyah, Resolution of singularities and division of distributions, Comm. Pure
Appl. Math. 23 (1970), 145–150.
0506１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/15(木) 23:16:30.21ID:TsAAlHQ4
>>505
わざわざすみませんですがそれはググったらすぐ出てくるヤツですが
ページ数もめっちゃ少ないしイチからちゃんと勉強できる文献じゃないですね
textがいいなー
0507１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/15(木) 23:21:46.00ID:TsAAlHQ4
ていうかもしかして回答してくれた人も
即興でググって出たソースだけで回答してくれたパターンかも？
どうもあんまり両者は関係してないっぽく感じてきた
0508１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/16(金) 09:27:19.80ID:xFfdzcNk
Malgrange, B., Int´egrales asymptotiques et monodromie, (French) Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 7 ´
(1974), 405-430 (1975).
Varchenko, A. N., Newton polyhedra and estimates of oscillatory integrals, (Russian) Funkcional.
Anal. i Priloˇzen. 10 (1976), no. 3, 1338.
0509１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/16(金) 09:50:08.31ID:KP1Dj/iG
Grothendieckとか言う弟子が自分の研究継がなかったことに癇癪起こす老害
0510１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/16(金) 15:33:21.56ID:9onlqWfK
>>506
Varchenkoのはすごく有名だからtextもこの辺でググれば
いろいろなものが見つかるのではないか
0511１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/16(金) 16:13:21.19ID:9onlqWfK
J.M.Kantor Singularities and Newton polygons 教育的

M.Greenblatt Newton polygons and local integrability of negative powers of smooth functions in the plane

標準的
0513１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/16(金) 18:45:48.60ID:gkcwsKFV
>>512
Varchenkoは？
0514１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/16(金) 18:47:49.13ID:kEgiC2fv
ｴﾝﾍﾟﾝﾒﾝ
ｼｮｯｸﾍﾟﾝﾒﾝ
ｶﾘｨﾍﾟﾝﾒﾝ
ｼﾞｪｱﾑｱｼﾞｽﾝ
0516１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/16(金) 22:45:39.34ID:tgwvgWTY
ホッジって、何をほじるんだ？
ハナクソか？＊←これハナクソか？
ハナクソつけたらベクトルが反転するのか？
冗談じゃねえよ。やってらんね
0521１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/17(土) 09:25:38.50ID:aLfem3ol
Hodgeの星
0522１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/17(土) 20:28:34.99ID:LcNt3RS8
X = Spec(R)
Y = Spec(R/I)

とする。閉埋め込み

i: Y → X

における

Γ(X, i_*(O_Y))
Γ(Y, i^(-1)(O_X))

は何になるか考えてる。ただし、i_*(F)は、開集合U⊂Xに対して、F(i^(-1)(U))を対応させる前層。i^(-1)(F)は、開集合V⊂Yに対して、indlim[i(V)⊂U]F(U)を対応させる前層。
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