またぞろガロア理論の入門書かあ、と思いつつも、著者が David Cox ということもあり、念のため調査。紀伊國屋書店の紹介ページでは Google プレビュー という機能があって、中身をかなり立ち読みできる。目次を眺めていると、おお～、レムニスケートの等分に関するアーベルの定理が紹介されている。さすが Cox である。期待を裏切らないねえ～。 0011１３２人目の素数さん2021/03/14(日) 10:08:58.43ID:Hwo8nYTD>>10 関連 https://core.ac.uk/download/pdf/229766844.pdf Lemniscate の Galois 理論について，Cox と Hyde の論説による On the Galois theory of the lemniscate, after an article by Cox and Hyde 数学専攻 田代卓真 中央大学学術リポジトリ（年代不明） Takuma TASHIRO
はじめに 本論文は，David Cox, Trevor Hyde, The Galois theory for the lemniscates, Journal of Number Theory 135 (2014) に基づく総合報告である．
下記 Galois Theory. by Harold M. Edwards これ、倉田令二朗の種本です 倉田令二朗が、証明で、さかんにEdwardsを引用しています。 第一論文の英訳も載っているよ （アマゾンのリンクが通らないので、下記でも）
https://www.jstor.org/stable/2323619?seq=1 Reviewed Work: Galois Theory. by Harold M. Edwards Review by: Peter M. Neumann The American Mathematical Monthly Vol. 93, No. 5 (May, 1986), pp. 407-411 (5 pages) 0017１３２人目の素数さん2021/03/14(日) 17:24:06.59ID:EmYi6ITH>>14 ＞なかなか面白かったよ 理解もせずに面白いとか頭オカシイよ
The Key Theorem and an Example Next Cauchy takes a departure to state and prove his main result, which was new:
Theorem: The number of different values of a non-symmetric function of n variables cannot be less than the largest prime number p contained in n without becoming equal to 2.
He employs the notation: NRM=1.2.3...n,=number of different values the function can take,=size of each block; so in the foregoing example, n=3,N=3!=6,R=3,M=2. Note that R?M=N, as developed above. Let's walk through another example to exemplify the theorem, with K(x1,x2,x3,x4,x5)=x1x2+x3x4+x5. We have n=5,N=5!=120 for this function. Since the largest prime less than or equal to n is now p=5, the theorem asserts that this or any other function cannot take a total of three or four values; ie, R≠3 and R≠4 for this function. Here are a few Ks with different values:
K1=a1a2+a3a4+a5K2=a1a4+a2a3+a5K3=a1a3+a2a4+a5. Each one is associated with a block of functions, or substitutions if you will, giving the same value. K1, for example is associated with
K′1=a4a3+a1a2+a5, where K1 and K′1 are identified respectively with the substitutions:
(1 2 3 4) (1 2 3 4),
(1 2 3 4) (4 3 1 2).
I'm leaving out the 5 even though they are substitutions on 5 letters, because the 5 is always unchanged for the first block (and the other two shown for that matter). It looks like there will be another four blocks like this, where each of a4,a3,a2,a1 plays the role of that last summand sitting at the end of K; that is, it looks like R=15 and therefore M=120/R=120/15=8. If so, K certainly satisfies the theorem. (引用終り) 以上 0031１３２人目の素数さん2022/01/03(月) 11:21:10.93ID:M7Pqf1pT これ良いね https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H18-tamagawa.pdf 平成18年度(第28回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，H180731) ガロア理論とその発展 玉川安騎男 §0. はじめに ガロア理論とは、Evariste Galois (1811-1832) によって創始された、代 数方程式の解の置換に関する理論です。その基本定理は「体」と「群」と いう代数学の基本概念を用いて述べることができ、現在でも整数論の研 究の中で最も基本的な道具の１つであり続けています。 この講義では、まず、ガロア理論の基本定理の感じをつかんでもらう ことを目標にしたいと思います。次に、ガロア理論の古典的に有名な応用 （ギリシャ数学３大難問のうちの角の３等分問題と立方体倍積問題の否定 的解決、あるいは、５次以上の方程式の加減乗除とべき根のみを用いた解 の公式の非存在の証明、など）の中から題材を選んで解説したいと思いま す。最後に、遠アーベル幾何など、現代の整数論・数論幾何におけるガロ ア理論の展開についても紹介したいと思います。
元のHPでも項を分けてるのに 番号消して微分ガロア理論が ドローン制御に使えるかのごとく 見せかけるのは完全な詐欺だよ SET A 0045１３２人目の素数さん2022/05/17(火) 10:46:09.84ID:82lta/pC>>42 SET Aは一時、阪大工学部に勤めてただけで 卒業したわけではないらしい 0046１３２人目の素数さん2022/05/17(火) 11:00:53.34ID:mW0T2h3E>>41 補足 >微分ガロア理論・・の方法を用いて力学系の非可積分性やカオス、およびそれらの関連性について明らかにする。
https://researchmap.jp/7000003296 石川 雅雄 イシカワ マサオ (Masao Ishikawa) 学歴 1988年4月 - 1992年3月東京大学 大学院理学系研究科博士課程 数学専攻 1986年4月 - 1988年3月東京大学 大学院理学系研究科修士課程 数学専攻 0054１３２人目の素数さん2022/12/19(月) 08:24:07.78ID:KRlSoN+A 下記について調べた https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_extension Galois extension very irreducible polynomial in {\displaystyle F[x]}F[x] with at least one root in {\displaystyle E}E splits over {\displaystyle E}E and is separable.
(参考) https://sites.pitt.edu/~gmc/ Gregory M. Constantine: Home Page Professor of Mathematics Department of Mathematics, The University of Pittsburgh
https://sites.pitt.edu/~gmc/ Greg Constantine: Fields Final exam -- Autumn 2007 The course has four major themes: 1. The Tower Law, algebraic extensions, and constructions by straightedge and compass 2. The fundamental theorem of Galois theory. 3. The primitive element theorem and the fundamental theorem of algebra. 4. Insolvability by radicals of polynomial equations.
Resources used for Field Theory, are: Kaplansky's "Fields and Rings", Chicago lectures in mathematics, The University of Chicago Press, 1972 [This is the main resource, by far.] David Cox's "Galois Theory", Wiley, New York, 2004 Mark Dickinson's notes "Galois theory: The proofs, the whole proofs, and nothing but the proofs"
・Galois theory notes （下記PDF） ・Field theory: homework sets
（下記PDFに冒頭の定理の証明がある） https://sites.pitt.edu/~gmc/algebra/galoistheory.pdf GALOIS THEORY: THE PROOFS, THE WHOLE PROOFS, AND NOTHING BUT THE PROOFS MARK DICKINSON Contents 1. Notation and conventions 1 2. Field extensions 1 3. Algebraic extensions 4 4. Splitting fields 6 5. Normality 7 6. Separability 7 7. Galois extensions 8 8. Linear independence of characters 10 9. Fixed fields 13 10. The Fundamental Theorem 14
I’ve adopted a slightly different method of proof from the textbook for many of the Galois theory results. For your reference, here’s a summary of the main results and their proofs, without any of that pesky history and motivation?or distracting examples?to get in the way. Just the proofs1 . Almost all of the hard work lies in three main theorems: Corollary 7.9 (a splitting field of a separable polynomial is Galois), Theorem 8.1 (linear independence of characters), and Theorem 9.1 (the degree of K over KH is bounded by the order of H).
1 and the occasional definition or two. Not to mention the theorems, lemmas and so forth. (引用終り) 以上 0056１３２人目の素数さん2022/12/22(木) 06:30:42.98ID:CT6RQiGn 1はガロア理論だけじゃなく数学全般無理だから 数学を完全に諦めたほうがいいよ 0057１３２人目の素数さん2022/12/22(木) 06:35:03.67ID:CT6RQiGn ガロア理論はともかくとしてラグランジュの分解式を使った 円分方程式の解法が理解できないっては、知的怠慢だね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E6%98%8E%E7%BE%A4 自明群、自明な群 (trivial group)、単位群 はただ1つの元からなる群である。すべてのそのような群は同型であるので、英語などではしばしば定冠詞をつけて the trivial group などと呼ばれる。自明群のただ1つの元は単位元であるので普通 0, 1, e のように文脈に応じて表記される。群の演算が * であれば e * e = e によって定義される。 (引用終り) 以上 0066１３２人目の素数さん2023/01/03(火) 13:18:23.25ID:JnLpt9Qh ＞Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。
その無限群の要素の例を示せ（配点5点）。
a = 2^{1/3} ω、ωは1の複素原始3乗根 K = Q(a)とするとき、Aut(K/Q)はどうなるか（配点5点）。 0067１３２人目の素数さん2023/01/03(火) 16:34:45.45ID:aZhrx//w>>63 追加
ありがとう ”Galoisは、Chevalierへの手紙”下記より 「the theory of ambiguity to transcendental analysis」ね P9 ”were directed on the application of the theory of ambiguity to transcendental analysis. It was to see, a priori, in a relation between transcendental quantities or functions, what exchanges can be done, what quantities we could substitute to the given quantities, without changing the relation. This makes one recognise immediately lots of expressions that one could look for. ” ですね
https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/004/10/0093-0100 The Last Mathematical Testament of Galois Evariste Galois's last mathematical testament in the form ofa letter to his friend Auguste Chevallier is reproduced here in English translation I.
P3 The last application of the theory of equations is related to the modular equation of elliptic functions.
P5 For p = 7 we find a group of (p + 1) (p - 1) /2 permutations, where ∞ 1 2 4 are respectively related to 0 3 6 5. This group has its substitutions of the form 略 b being the letter corresponding to c, and a a letter which is a residue or non-residue according as c.
For p = 11, the same substitutions take place with the same notations, ∞ 1 3 4 5 9 are respectively related to o 2 6 8 10 7. Thus, for the case of p = 5,7,11, the modular equation is reduced to degree p. In all rigor, this reduction is not possible in the higher cases.
The third paper concerns the integrals. We know that a. sum of terms of the same elliptic function is always reduced to a single term plus algebraic or logarithmic quantities.
(参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%A8%99%E8%A1%A8 指標表 群論において、指標表（しひょうひょう、英: character table）とは、与えられた群について、その全ての既約表現の指標を表にまとめたものである。これは直交関係などにより対象としている群についての比較的少ない情報から計算できて、群の性質をそこから引き出すことができる。 化学・結晶学・分光学において点群の指標表は、対称性の観点から分子振動を分類したり、2つの量子状態間の遷移が可能かどうかを考える場合に用いられる。 定義 有限群 G の複素数体 C 上既約表現 X: G → GLn(C) に対して写像 χ = Tr X: G → C を次数 n の既約指標という。既約指標の数と共役類の数は等しい。群 G の既約指標 χ1, …, χk と共役類の完全代表系 g1, …, gk に対して正方行列 T = [ χi(gj) ]1 ? i, j ? k を指標表という[1]。指標は類関数なので指標表は矛盾なく定まるが、行と列に関する入れ替えを除いてしか決まらない。
指標表 詳細は「指標表」を参照 有限群の既約複素指標は群 G についての多くの有用な情報を凝縮された形で表現する指標表をなす。各行は既約表現によってラベルづけられ、行の成分は G のそれぞれの共役類上の表現の指標である。列は G の共役類（の代表元）によってラベル付けられる。第一行を自明指標でラベル付け、第一列を単位元（の共役類）でラベル付けるのが通例である。第一列の成分は単位元における既約指標の値、既約指標の次数である。
