分からない問題はここに書いてね 466
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
さあ、今日も1日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね 465
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608546793/
(使用済です: 478) 一階述語論理の真理値割当ては、構造を与えて変数に値割当てをする方法が一般的だと思いますが、それ以外の方法というのはないのでしょうか? x^2-x+y^2-y=z^2-z
を満たす整数の組(x,y,z)が無数に存在することを示せ。 ・x=y のとき
与式を 4倍すると
(2z-1)^2 - 2(2x-1)^2 = −1,
いわゆる「ペル方程式」
(x,y,z) が解ならば (3x+2z-2, 3y+2z-2, 2x+2y+3z-3) も解。
例えば
(x,y,z) = (1,1,0) (1,1,1) (3,3,4) (21,21,15) (85,85,120) …
一般項 (ビネの公式)
x_n = y_n = (1/2) + ((√2 +1)^{2n-1} + (√2 -1)^{2n-1})/(4√2),
z_n = (1/2) + ((√2 +1)^{2n-1} − (√2 -1)^{2n-1})/4, k=(1/2)(1+√(1+8ab)) を整数にするような 整数 a,b を持ってくると、
(x,y,z)=(a+k,b+k,a+b+k) は、x(x-1)+y(y-1)-z(z-1)=0 を満たす。
では、k=(1/2)(1+√(1+8ab)) を整数にするような 整数 a,b は無数にあるか? 答えはある。
適当な整数 r と m を持ってきて、a=2r-1、b=m(m(2r-1)±1)/2 とすれば、
k=(1/2)(1+√(1+8ab))=(1/2)(1+|4mr-2m±1|) >>102 (補足)
{2(2x+2y+3z-3)-1}^2 - {2(3x+2z-2)-1}^2 - {2(3y+2z-2)-1}^2 = (2z-1)^2 - (2x-1)^2 - (2y-1)^2,
(左辺) - (右辺) = - 16(x-y)^2 = 0,
例)
(x,y,z) = (1,1,0) (1,1,1) (3,3,4) (15,15,21) (85,85,120) (493,493,697) (2871,2871,4060) …
に訂正 完全解ならまだしも無限個なら>>100で終わってるのに何がしたいんだか いろいろな解を見つけたいのでは?
・y=x+1 のとき
与式を 4倍すると
(2z-1)^2 - 4x(x-1) - 4y(y-1) = 1,
いわゆる「ペル方程式」
{2(2x+2y+3z-3)-1}^2 - 4(3x+2z-1)(3x+2z-2) - 4(3y+2z-3)(3y+2z-4) = (2z-1)^2 - 4x(x-1) - 4y(y-1),
∴ (x,y,z) が解ならば (3x+2z-1, 3y+2z-3, 2x+2y+3z-3) も解。
例
(x,y,z) = (0,1,1) (1,2,2) (6,7,9) (35,36,50) (204,205,289) …
一般項 (ビネの公式)
x_n = ((√2 +1)^{2n} − (√2 -1)^{2n})/(4√2),
y_n = 1 + ((√2 +1)^{2n} − (√2 -1)^{2n})/(4√2),
z_n = (1/2) + ((√2 +1)^{2n} + (√2 -1)^{2n})/4, 任意の実数 x に対して、
n * cos(n^2*x)
は n → ∞ のとき、収束しないことを証明せよ。 >>107
ちなみに、このことは、松坂和夫著『解析入門上』に証明なしで、あたかも当たり前の事実であるかのように書かれています。 x=0のとき、n*cos(n^2*x) = n → ∞
x≠0のとき、n_k:=√|2πk/x|に対してn_k*cos(n_k^2*x) = n_k*cos(2πk) = n_k → ∞ x/πが無理数の時( (n+1)^2x - n^2x )/(2π)の小数部は[0,1)で一様に分布する cos(n^2*x)が0に収束するとすると、cos((2n)^2*x)もまた0に収束する
しかし、cos((2n)^2*x)
= cos(4*n^2*x)
= 2*cos(2*n^2*x)^2 - 1
= 2*(2*cos(n^2*x)^2 - 1)^2 - 1
→ 2*(2*0^2 - 1)^2 - 1
= 1
よって矛盾し、cos(n^2*x)は0に収束しない
cos(n^2*x)が0以外の値に収束するならn*cos(n^2*x)は無限大に発散するし、
cos(n^2*x)が発散するならn*cos(n^2*x)も発散する >>114
|cos(n^2*x)| と |cos((2n)^2*x)| との間に4倍角公式
cos((2n)^2*x) = T_4(cos(n^2*x))
の関係があるため、
これら両方を cos(72) = (φ-1)/2 = 0.309017 より小さくすることが
できぬのでござるか。なるほど〜
ここに、 T_4(t) = 8t^4 - 8t^2 + 1, >>108
まとめると、当たり前ではなかったということですね。 Richard E. BORCHERDSというフィールズ賞受賞者がYouTubeに講義動画をアップロードしていますが、講義の質はどうですか? それ自分もこの前知っていくつか見た
わりと式の気持ちや具体的な計算が聞ける感じ
相互法則のところではΓ関数とガウス和の類似の話があった
かといって凄く特別な話が聞ける感じでもなかったかな
動画数多くて幅広いから全体でどうなってるかは分からないけど (補足)
[T_4(t)^2 - cos(72)^2] + 4[tt - cos(72)^2]
= 16[tt - cos(72)^2]^2・{cos(72) + 4[tt - cos(18)^2]^2}
≧ 0
∴ |T_4(t)| と |t| の少なくとも一方は cos(72) 以上である。
cos(72) = 1/(2φ) = 0.309017 旅先でバスや電車に乗りながら計算しまくってムーンシャイン予想を証明したんだっけ すべての n に対して、 a_n ≠ 0 とします。
lim sup |a_{n+1}/a_n| < 1 ならば、 Σa_n は絶対収束するという命題があります。
lim |a_{n+1}/a_n| > 1 ならば、 Σa_n は発散するという命題があります。
lim sup |a_{n+1}/a_n| > 1 であるが、 Σa_n は収束する例を挙げてください。 1/2, 1/2, -1, 1/4, 1/4, -1/2, 1/8, 1/8, -1/4, … >>126
ありがとうございました。
lim sup |a_{n+1}/a_n| = 2 > 1 であるが、 Σa_n = 0 ということですね。 >>123
|t| < cos(72) < cos(18) のとき
T_4(t) - cos(72) = 8t^4 - 8t^2 + (1-cos(72))
= 8 [tt - cos(18)^2] [tt - cos(72)^2]
≧ 0,
∴ T_4(t) ≧ cos(72),
Max{|t|, T_4(t)} ≧ cos(72),
あるいは
|cosθ| < cos(72) となるのは
72<θ<108, 252<θ<288 (mod 360)
cos(4θ) < cos(72) となるのは
18<θ<72, 108<θ<162, 198<θ<252, 288<θ<342 (mod 360)
よって 共通部分はない。
Max{|cosθ|, cos(4θ)} ≧ cos(72), xyz空間において
1≦(1+x^2)(1+2y^2)(1+4z^2)≦8
を満たす点(x,y,z)全体からなる領域の体積を求めよ。 >>130
モンテカルロでやってみたら
> nrow(b)/nrow(gr)*6^3
[1] 11.72513
信頼区間は
1] 11.69124 11.75909
x=y=z=seq(-3,3,length.out=200)
f <- function(x,y,z){
a=(1+x^2)*(1+2*y^2)*(1+4*z^2)
1<=a & a <= 8
}
gr=expand.grid(x,y,z)
idx=mapply(f,gr[,1],gr[,2],gr[,3])
b=gr[idx,]
plot3d(b,col=4,xlab='x',ylab='y',zlab='z')
nrow(b)/nrow(gr)*6^3 >>131
モンテカルロでの乱数の分布を立方体から直方体での一様分布に変えて再計算
> nrow(b)/nrow(gr)*xlim*ylim*zlim*2^3
[1] 11.9016 >>130
x,y,zを極座標表示するとかでいけない? (1) 級数 Σa_n において、すべての n に対し a_n > 0 とする。そのとき
lim sup (a_n)^(1/n) ≦ lim sup a_{n+1}/a_n
が成り立つ
(2) 級数 Σa_n において
lim sup (}a_n|)^(1/n) < 1 ならば Σa_n は絶対収束する。
(3) 級数 Σa_n において、すべての n に対し a_n ≠ 0 とする。このとき
lim sup |a_{n+1}/a_n| < 1 ならば Σa_n は絶対収束する。
------------------------------------------------------
級数 Σa_n で、
すべての n に対し a_n > 0 かつ lim sup (a_n)^(1/n) < 1 ≦ lim sup a_{n+1}/a_n
となるようなものはありますか? 級数 Σa_n で、
すべての n に対し |a_n| > 0 かつ lim sup (|a_n|)^(1/n) < 1 ≦ lim sup |a_{n+1}/a_n|
となるようなものはありますか? >>134
これはモンテカルロ法ではできそうにないなぁ p_k+1>p_k^(1+2/(2k-3)), for k>1 >>145 訂正
p_(k+1)>p_k^(1+2/(2k-3)), for k>1 >>144
形状の画像を期待してクリックしましたが、無料版じゃ描画されないみたいで残念。
でも、体積はモンテカルロでの数値と近似しているので>132の形状でいいのだろうと勝手に納得。 前>>85
>>130
球の中心が八面体表面を動いてできる領域かな? 前>>149
切り目の入ったマカロニ12本と球と内部の正八面体を足して掛ける2√2
となりあう正三角形の交わる内角109°ぐらいの値θ,
内部の正八面体の一辺の長さa,
マカロニの半径rがわかればわかる。
V/2√2=4πr^3/3+12πr^2a(360°-θ)/360°+2(1/3)a^2(a√2/2) x^2021+y^2=z^2
を満たす0でない整数の組(x,y,z)は無数に存在することを示せ。 >>121
隣り合った平方数の差は3以上の全ての奇数をとることからxが3以上の奇数であればそれに対応する(y,z)の組が必ず1つ以上存在する
したがって(x,y,z)の組は無限に存在する ((2n)^2021, 2^2019n^2021-1, 2^2019n^2021+1) >>152
たった数行で華麗な解法ですね!驚きました
ありがとうございます (±1, ±1/√2, ±1/2) での接平面
|x| + |y√2| + |2z| = 3,
は八面体をなす。その体積は
9√2 = 12.728
う〜む、だいぶ大きい。
曲面は角が丸く、主軸の長さが 2√7, √14, √7.
一方、八面体は角が尖っていて 主軸の長さは 6, 3√2, 3.
なので大きくなった? x>0, y>0, z>0ならば
(x+y)^z+(x+z)^y+(y+z)^x>2
どうしたら示せますか?
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
にあった不等式です >>87
赤い部分の面積は2つ合わせてθ/2
あとは他の部分をどう計算するか
http://imgur.com/5IGmaVP.png >赤い部分の面積は2つ合わせてθ/2
訂正:θ/4 >>157
関数はx≧0,y≧0,z≧0から原点を除いた領域まで連続に拡張できるからそこで考える
まずx+y=a, z=0の領域において端点での値は2、未定定数法より極値はx+y=a/2の時で、その値は2a^(a/2)+1
この最小値はa=1/eの時1+2e^(-1/2e)>2
領域x+y+z=aで考える
この領域では(a-x)^x+(a-y)^y+(a-z)^z
境界では>2
極値はやはり未定定数法よりx=y=z=a/3のとき3(2a/3)^(a/3)
コレの最小値はa=3/(2e)のとき3e^(1/(2e))>2 集合論のブール値モデルを理解したい素人なのですが、前提知識として、集合論と位相空間論以外に何を理解している必要があるでしょうか? 0^0の極限が1だから最小値は3だと思ったけど違ったか >>158
>>161
ありがとうございます。x+y+z=a上の極値を未定乗数法で考えたらわかりました。 スレ違いかもしれないですが、教えて欲しいです。
例えば4月は10個5円、5月は3個20円のものがあれば、5月と4月の差は
3*20-10*5=10円で計算できますが、この計算式以外に5月と4月の差である10円を算出する方法はありますかね 前>>150
違うなぁ。正八面体表面を動き回る球体を2√2倍じゃない。
>>132の輪郭は辺に平行な線を描いてない。
辺や面の中央ほど中心方向にくぼんでる。
まるで重力に引っ張られてるみたいに。
立方体内部の立体の2√2倍と考えて、
0≦x≦√7,0≦y≦√14/2,0≦z≦√7/2だけを求めて16√2倍か。
>>130推定値を出してみる。
過不足相殺するとして(1/8)√7(√14/2)(√7/2)16√2=7√7
=7×2.64171……
=18.49197……
≒18.492 前>>167
内部の八面体の体積は√7(√14/2)(√7/2)=7√14/4=6.5……
端っこが丸いったって2倍に膨れるわけがねえでな、
11か、いって12か。 >>156
(±1, ±1/√2, ±1/2) で接する凸曲面
|x|^a + |y√2|^a + |2z|^a = 3,
は角が丸まる。
a = log(9)/log(7) = 1.12915
とおけば、主軸の長さも 2√7, √14, √7
体積は 11.4929 でやや小さめ… >>166
あるよ。
()を使わない前提で
3*20-10*5=10
の他に
3*20-5*10=10
20*3-5*10=10
20*3-10*5=10
3*20-10-10-10-10-10=10
20+20+20-5*10=10
20+20+20-10*5=10
3*20-10-10-10-10=10
20*3-10-10-10-10=10
列挙漏れがあるかなぁ? >>166
なぜその計算で出てくる10円が「5月と4月の差」と呼ばれるものになるのか理解出来ない
何を計算してんの?それ 問題にしてみる
購入数と単価は
4月は10個5円、5月は3個20円、6月は5個10円、7月は4個15円のとき購入総額を括弧や空白を使わないで計算する式は何通りあるか。
計算式の例
10*5+20+20+20+10*5+15+15+15+15
5*10+3*20+5*10+15*4
系統的に列挙するのも面倒そうだな。 >>170
20+20+20-10-10-10-10-10が漏れていた。 >>172
順不同で途中で別の月の値を入れる
計算式20+20+15+15+15+15+20+10*5+5*10
とかでもいいことにすると更に厄介。 >>170
>>172
確かに*や+の選び方とか並べ替え方で数式が色々できるね、抜けてました。ありがとう。
>>171
情報不足で申し訳ない。
個数*単価の月額売上(支払でも可)を計算したかった。
4月と5月の売上を比べると5月の売上が10円多い計算だけど、この10円増えた根拠を知れる計算式ってあるかなという意図だった。
4月と5月を比べて、5月の売上が多いのは、
・(5月減要素)個数は4月が多い
・(5月増要素)数量は5月が多い
・(5月増要素)単価は5月が高い
だと、思うんだけど各要素の計算式(複数必要?)を使って、4月と5月の売上の差の10円を算出することってできるのかな >>150
計算シタイナーの公式
v(r) = (4π/3)r^3 + Mr^2 + Sr + v(0),
一辺の長さaの正八面体の場合
M = 6(2π-θ)・a,
S = (2√3)・a^2,
v(0) = (√2)/3・a^3,
ここに
θ = arccos(-1/3) = 1.910633236 = 109.47122°
>>167
面の中央 (±1, ±1, ±1) はかなり平坦…
|x| + |y| + |z| ≒ 3, >>157
{x+y, y+z, z+x} の中に1以上のものが…
2個以上のとき 明らかに成立。
1個のとき
x+y ≧ 1 > y+z, z+x とする。
(x+y)^z ≧ 1,
(y+z)^x + (z+x)^y > (y+z) + (z+x) > x+y ≧ 1, (0<x,y<1)
辺々たす。
0個のとき
0 < x, y, z < 1.
f(z) = (x+y)^(1-z) は下に凸だから
f(z) < f(0)(1-z) + f(1)z, (0<z<1)
(x+y)^(1-z) < (x+y)(1-z) + z < x+y+z,
(x+y)^z > (x+y)/(x+y+z) … ベルヌーイ
巡回的にたす。 不定積分ですが
∫(e^x)(sinx)dx
=(e^x)(sinx)-∫(e^x)(cosx)dx
=・・・
または
=(e^x)(-cosx)-∫(e^x)(-cosx)dx
=・・・
前者と後者ですが、計算を進めていくと両者とも当然同じ解になりますが、
計算のやりやすさを考えると、前者と後者はどちらがお勧めですか? >>180
天下り的になるけど、特に工学部は大学進学後もe^(-ax)sinbxやe^(-ax)cosbxの積分を嫌になるほど使うので、結果を暗記した方がいい
受験対策にもなるし大学進学後も役立つ
それほど多用するし暗記する価値があるとは覚えておいてほしい >>177
Measure
Surface area
Volume
を凸体の3基本量 と云うらしい。
木原太郎「分子と宇宙」岩波新書 (黄版) 104 (1979) 第7章
J. Phys. Soc. Jpn., 6, p.289 (1951)
J. Phys. Soc. Jpn., 8, p.686 (1953)
J. Phys. Soc. Jpn., 12, p.564 (1957)
Rev. mod. phys., 25, p.831 (1953)
Rev. mod. phys., 27, p.412 (1955) 二項定理の収束域((1+x)^αのαの値によって変化する)についてちゃんと書いてある本を教えて下さい。
収束区間が (-1, 1) であることは大抵の本に書いてありますが、収束域まで書いてある本を教えて下さい。 二項定理の収束域((1+x)^αのαの値によって変化する)についてちゃんと書いてある本を教えて下さい。
収束区間が (-1, 1) であることは大抵の本に書いてありますが、収束域まで書いてある本を教えて下さい。 (1+x)^α が収束するような実数(複素数)全体の集合のことです。 上で (1+x)^α と書きましたが、 (1+x)^α を二項展開したべき級数に置き換えてください。 αが非負の整数である場合を除いて1でしょ?
そんな程度の事いちいち書いてある教科書なんかないんじゃないの? 1000以下の素数は246個以下であることを示せ。 primes = let
sieve (p:ps) xs = let
(h,~(_:t)) = span (< p*p) xs
in h ++ sieve ps [x | x <- t, rem x p /= 0]
in 2: 3: sieve (tail primes) [5,7..]
main = print $ length $ takeWhile ( <= 1000 ) primes
----
168 >>192
無意味な解答で時間の浪費ですね
素数の定義に基づき計算機を使わず示してください 二項級数は一般化された超幾何級数に含まれる
てのは牛刀だな ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています