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分からない問題はここに書いてね 466
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0750１３２人目の素数さん
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2021/04/16(金) 12:24:19.11ID:FMSmwK5I
ありがとうございます！
こんなにあっさりと解けるんですね、、、
こういう解き方の発想、どうやって思いつくのかをもしよかったら教えていただきたいです！
0752１３２人目の素数さん
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2021/04/16(金) 13:10:57.25ID:xwfgxic/
>>741
0<a<b
OBの傾きは、OAの傾きとABの傾きの加重平均だから
それらの中間にある。
∴　ABの傾きは f(a)/a と f(b)/b の中間にはない。
0753１３２人目の素数さん
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2021/04/16(金) 13:19:21.08ID:PH0kEqcg
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』

p.65 演習3

つぎつぎに前の球に含まれるような適当な閉球列の交わりが空集合であるような完備距離空間の例をつくれ。

本当にこんな完備距離空間って存在するんですか？
0756１３２人目の素数さん
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2021/04/16(金) 16:21:54.68ID:NiDHgcDH
そうそう
有界完備の閉集合で単調に減少していかないといけないのでコンパクトでない例をあげないとダメ
有界完備距離空間でコンパクトでない例だから有界だけど全有界でない例やね
それ自体はすぐ上げられるけど、なおかつ閉球の単調減少列で反例を作らないといけないからなぁ
0757１３２人目の素数さん
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2021/04/16(金) 16:48:06.45ID:Jxk/mkxx
math.stackexchange.com
Example of nested closed balls with empty intersection?
で挙げられている例

d(n,n) = 0, d(n,m) = 1 + 1/min(n,m) (n≠m)
で距離付けされた空間: N = {1, 2, ,3, 4, ... }

球列: Ballₙ = B(n, 1+1/n) = {n, n+1, n+2, ... }
Ball₁ ⊃ Ball₂ ⊃ Ball₃ ⊃ ...
∩ₙ Ballₙ = ∅ である.
0758１３２人目の素数さん
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2021/04/16(金) 17:47:21.55ID:KWN7naKQ
Σ(2k)!!/(2k+1)!!=(2n+2)!!/(2n+1)!!-1
らしいのですが、帰納法以外でどうすれば右辺にたどり着けるでしょうか？
和は k=0 から k=n までです
0761１３２人目の素数さん
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2021/04/16(金) 19:42:31.97ID:PH0kEqcg
>>757

ありがとうございました。

こういう極端な例を考えないといけないんですね。

こういう問題の場合、ユークリッド空間のイメージは捨てて考えたほうがいいようですね。
0763１３２人目の素数さん
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2021/04/16(金) 20:25:27.46ID:xwfgxic/
>>758
Σ の中身に (2k+2) - (2k+1) を掛ける。
(2k)!!/(2k+1)!! = (2k+2)!!/(2k+!)!! - (2k)!!/(2k-1)!!
telescoping と云うらしい
0764１３２人目の素数さん
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2021/04/16(金) 21:27:09.26ID:iuAaUDrV
>>763
あー答えの形から気づけと言われればそうですが僕には無理かな〜
ありがとうございました
0765１３２人目の素数さん
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2021/04/17(土) 00:41:54.76ID:efHaSsJn
>>752
質問者>>741 は、これを読んで、加重平均って何のことなんだろって、またまた悩んでいることだろうなあ。
0766１３２人目の素数さん
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2021/04/17(土) 00:58:11.01ID:noLBqZYE
質問者>>741 はそれを読んで

(OBの傾き) = {f(b)-f(0)}/(b-0)
　= {f(b)-f(a) + f(a)-f(0)}/{(b-a) + (a-0)}
　= {(b-a)(ABの傾き) + (a-0)(OAの傾き)}/{(b-a)+(a-0)}
　= {(ABの傾き) と (OAの傾き) の加重平均}
のことだと思ってるよ。。。
0767１３２人目の素数さん
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2021/04/17(土) 01:16:20.84ID:WSKRU0d1
まぁしかし加重平均というのをコレを機会に覚えるのはいい事に間違いはないし
そもそもa〜cの傾きがa〜bの傾きとb〜cの傾きの間に必ず来るというのはいくつか図を書いてみれば常にそうなるのはわかる、わかるがじゃあ、「何例かかいてみたらいつでもそうなるから」なんてのが数学的証明として成立するわけない
結局次のステップとして「何故そうなるのか？」を理解しないと意味ないし
そしてその理由は傾き＝平均変化率＝変化の“割合”の平均になってるのがエッセンスでa〜cの平均はa〜bでの平均とb〜cでの平均を(重みをつけて)平均を取り直したものになってるからというのがミソになってるのは間違いないからな
0768766
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2021/04/17(土) 01:44:40.64ID:noLBqZYE
解説乙
0769１３２人目の素数さん
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2021/04/17(土) 09:38:01.31ID:+1oB9kpo
公平なコインがあり、コインを振って表が出た場合○を、裏が出た場合☓をノートに書くゲームを繰り返し行う。
ゲームを開始してちょうど10回コインを振ったところ、ノートには○が2つと☓が8つ書かれた。ノートの○と☓の数が同じになるまでコインを振るとき、あと何回コインを振ることになると考えられるか。その期待値を求めよ。
0770１３２人目の素数さん
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2021/04/17(土) 11:38:06.74ID:cTPX2a7q
その試行が「終わらない」場合もあるけど、これは問題設定として適切なのか？
それとも終わる場合のみを考えた 条件付き確率として求めるのが正しいのか？
0771１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/17(土) 11:51:44.72ID:WSKRU0d1
枚数差がnのとき同数となるまでの期待値をEnとおくAn=En+n^2とおけば漸化式
An=(1/2)(A(n+1)+A(n-1))
を満たすからE0,E1を求めれば良い
E1=0
E1=Σ[k=0,∞]Ck/(2×4^k)(2k+1)
よりカタラン数の母関数を使って以下ry
0772１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/17(土) 15:10:47.56ID:noLBqZYE
枚数差 n=2 とすると
あと2k回コインを振ったとき初めて同じ枚数になる、という確率が
　p_k 〜 0.19925 / k^(3/2)
よって
　E2 = Σ[k=1,∞] 2k･p_k　　は発散？
0774１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/17(土) 16:30:04.48ID:noLBqZYE
枚数差 n=1 とすると
あと2k+1回コインを振ったとき初めて同じ枚数になる、という確率が
　P_k 〜 1.13 / k^(3/2)
よって
　E1 = Σ[k=0,∞] (2k+1)･P_k　　も発散
0775１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/17(土) 20:19:29.21ID:6DAmp0q3
応用(？)問題

ある大学の進級試験（本試験と呼ぶ）は○☓で答える問題が９問出されて正答率が５割を越える、即ち、５問以上正答で合格とする。
不合格者には追試が用意されていて１問ずつ問題が出されて本試験との通算成績が５割を越えた時点で合格となる。
追試には１問につき１万円が徴収される。

A君は本試験では問題も読まずに無作為に解答したため４問正答５問誤答で本試験は不合格となった。
追試料を100万円準備して追試も無作為に解答することにした。
A君が合格する確率はいくらか？

（尚、出題者は答をもっておりませんので悪しからず。）
0778772
垢版 |
2021/04/17(土) 23:47:16.68ID:noLBqZYE
n=2 と考えてよい
84.2382098507744%
0779１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/18(日) 01:34:00.87ID:RBDdYvgz
n個の箱にk個の玉を入れていく。
各玉がどの箱に入るかについて、その確率は等しく1/nである。
全ての玉を入れ終わったあと、2個以上の玉が入った箱を取り除く。取り除かれる箱の数の期待値を、n=2kの場合にkで表せ。
0783１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/18(日) 07:45:53.43ID:gK9RVIsx
>>775
厳密解を出そうと思ったけど、(1/2)^100の計算は計算機がオーバーフローするので
10万円準備した場合の追試合格確率を計算

> sum(calc(nn))
[1] 0.548828125
0784１３２人目の素数さん
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2021/04/18(日) 08:00:52.85ID:RdIaqb7f
フローするってわかってるなら型変えればいいのに
数値計算もそんなに詳しくないのかな

あと自演はもうやめてね
0786１３２人目の素数さん
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2021/04/18(日) 08:14:41.76ID:gK9RVIsx
>>784
出題時はシミュレーション解しかもっていなかった。
いまも100万のときの厳密解はだせないでいる。
0788１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/18(日) 10:48:10.73ID:FmOnSyhV
>>779
箱iに2個以上入らず取り除かれる確率は(1-1/n)^k k(1/n)(1-1/n)^(k-1)
よって取り除かれる箱の個数の期待値は
n((1-1/n)^k k(1/n)(1-1/n)^(k-1))
0790１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/18(日) 11:52:50.02ID:T2x+9b6/
2k,　　p_k
-------------------------
2,　0.250000000　　　1/4
4,　0.125000000　　　2/16
6,　0.078125000　　　5/64
8,　0.054687500　　　14/256
10,　0.041015625　　　42/1024
12,　0.032226563　　　132/4096
14,　0.026184082　　　429/16384
16,　0.021820068　　　1430/65536
18,　0.018547058　　　4862/262144
20,　0.016017914　　　16796/1048576

30,　0.009029028
40,　0.005970033
50,　0.004318276
60,　0.003308973
70,　0.002639596
80,　0.002168973
90,　0.001823285
100,　0.001560573

2〜10回
　0.548828125　　　　562/1024
　平均 4.220640569395回

2〜100回
　0.842382098507744
　平均 14.710974719367回
0797１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/18(日) 20:40:18.99ID:gK9RVIsx
>>784
言語仕様上無理。

不定長整数の扱えない
> 2^100+1 == 2^100
[1] TRUE
> 2^50+1 == 2^50
[1] FALSE
という仕様なので
0798１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/18(日) 21:01:20.78ID:T2x+9b6/
>>790
2k,　　合格率
-------------------------
2,　0.2500000000　　　1/4
4,　0.3750000000　　　6/16
6,　0.4531250000　　　29/64
8,　0.5078125000　　　130/256
10,　0.5488281250　　　562/1024
12,　0.5810546875　　　2380/4096
14,　0.6072387695　　　9949/16384
16,　0.6290588379　　　41226/65536
18,　0.6476058960　　　169766/262144
20,　0.6636238098　　　695860/1048576
0801１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/19(月) 08:48:49.18ID:ynXYrH4x
nを3以上の整数とする。
x^n-nx+1=f_n(x)*g_n(x)をすべてのxに対して成立させる多項式f_n(x),g_n(x)が存在するならば、それらは有理数係数多項式でないことを示せ。
0804801
垢版 |
2021/04/19(月) 13:12:38.72ID:dRjgjvaU
訂正
多項式→定数でない多項式
0806１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/19(月) 17:50:18.90ID:5S2gubm7
https://youtu.be/5vtaPsr6zoc

Topics in Combinatorics lecture 16.6 --- The Frankl-Wilson theorem on restricted intersection sizes

このFranklってピーター・フランクルさんですか？
0807１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/19(月) 20:22:56.36ID:5S2gubm7
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』

「空間の完備化」についての定理ですが、ややこしいですね。

R を距離空間とする。R^* をその完備化空間とする。

ややこしいのは、構成した R^* が完備であることの証明の部分です。

こういう分かりにくい議論を嫌って、微分積分の本では、デデキントの切断を使った実数論ばかり書かれているんですかね。


p.69

「残るのは、空間 R^* が完備なことの証明である。まず、 R の点からなる基本列 x_1, x_2, …, x_n, … はすべて、 R^* においては、この基本列
で決定される R^* の点 x^* に収束する。このことは R^* の構成からただちに結論される。」

「R の点からなる基本列 x_1, x_2, …, x_n, …」に登場する R は定理の証明中で構成された R^* へのもともとの R の埋め込み R' です。
x_i はもともとの R の基本列が属する類で、その類に属する基本列がすべて R の同一の元に収束するようなものです。
「R^* においては、この基本列で決定される R^* の点 x^*」の一番目の R^* は証明中で構成された R^* で、二番目の R^* は R' の完備空間 R'^* のことです。
「R^* においては、この基本列で決定される R^* の点 x^*」の x^* は R'^* の元です。


このように階層のことなるものを安直に完全に同一視してしまっても問題はないのでしょうか？
0808１３２人目の素数さん
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2021/04/19(月) 22:25:04.78ID:7KbJFYAW
他人を悪く言えば利口に見えると思ってるんだろうな
実際は下劣な性根がバレるだけ
0810１３２人目の素数さん
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2021/04/20(火) 09:48:46.45ID:rcCzw4O6
三角形ABCの垂心をH、AからBCに下ろした垂線の先、BからACに下ろした垂線の先、CからABに下ろした垂線の先をそれぞれD,E,Fとする。直線ADと三角形ABCの外接円の交点でAでないものをGとする。このときの三角形EFHと三角形DEGの面積比を求めよ。
0811１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 09:59:37.08ID:um3o3lUE
空集合について質問です。

集合族 F の任意の元 a, b に対し、 a ∪ b ∈ F であるとき、 F はunion-closedであるという。

空集合もunion-closedでしょうか？

S = {F | F は有限集合の有限な集合族である。F はunion-closedである。}

空集合は S の元でしょうか？
0815１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 12:34:10.56ID:um3o3lUE
>>814
両方YESですか？
その理由を説明してください。
0817１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 12:41:34.84ID:um3o3lUE
>>816
例えば、空集合が有限集合の有限な集合族であるというのはどうやって証明するのでしょうか？
0818１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 13:08:55.44ID:WZ3hwZlG
>>817
Xが有限集合:⇔∀f : X→X monic → epic

X=φのときf : φ→φ を満たすfはf=φのみでφはmonicかつepic
0819１３２人目の素数さん
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2021/04/20(火) 13:11:13.42ID:um3o3lUE
monic, epicという言葉を使わずに説明できないですか？
0821１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 14:30:38.62ID:um3o3lUE
空集合について質問です。

集合族 F の任意の元 a, b に対し、 a ∪ b ∈ F であるとき、 F はunion-closedであるという。

空集合もunion-closedでしょうか？

S = {F | F は有限集合の有限な集合族である。F はunion-closedである。}

空集合は S の元でしょうか？
0822１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 15:04:25.58ID:unfX6SvG
>>821
お前は空集合を集合族に入れてるのか？
空集合を有限集合に入れてるのか？
わざと抜けを作って釣りか？
0823１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 17:10:47.41ID:vILCvJzf
0から１の間で3つの数を無作為に選ぶ。
この3つの数の長さを辺として鋭角三角形ができる確率を求めよ。
0826１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 18:38:58.24ID:um3o3lUE
>>822
何が言いたいのでしょうか？
0827１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 18:41:33.86ID:um3o3lUE
知りたいのは以下の命題が真であるか偽であるかです：

空集合は有限集合の有限な集合族であり、union-closedである。
0828１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 19:02:41.71ID:WZ3hwZlG
>>827
空集合が有限集合である事の証明が理解できないならおそらく数学のちょっと本格的な証明になったらもはや絶望やろ
諦めたら？
0829１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 19:18:23.81ID:um3o3lUE
>>828
空集合 ∋ S は常に偽だから、

空集合 ∋ S ⇒ S は有限集合の集合族である。

は真な命題。

空集合が有限集合であることは自明。

ということでしょうか？
0830１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 19:21:13.78ID:WZ3hwZlG
>>829
違います
集合Xが有限集合
↑この命題の定義が集合論の教科書には必ず載ってます
教科書持ってないならググればすぐ出てきます
その条件を空集合が満たしている事を確認するだけです
0831１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 19:25:03.46ID:um3o3lUE
空集合 ∋ S は常に偽だから、

空集合 ∋ S ⇒ S は有限集合の集合族である。

は真な命題。

空集合が有限集合であることはググれば分かる。

したがって、

空集合は有限集合の有限な集合族であり、union-closedである。

これで合っていますか？
0834１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 19:31:29.31ID:um3o3lUE
「空集合 ∋ S ⇒ S は有限集合である。」は真の命題。
したがって、空集合の要素は有限集合からなる。
したがって、空集合は有限集合からなる集合族である。
さらに、空集合は有限集合である。
したがって、空集合は有限集合からなる有限な集合族である。

これは合っていますか？
0836１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 19:34:59.89ID:um3o3lUE
「空集合 ∋ S ⇒ S は有限集合である。」は真の命題。
「空集合 ∋ S ⇒ S は無限集合である。」は真の命題。

ですから、「空集合は、何々からなる集合で、有限集合である」という命題はすべて真なんですね。
0837１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 19:37:52.77ID:WZ3hwZlG
あのねぇ

S = {F | F は有限集合の有限な集合族である。F はunion-closedである。}

なんでしょ？
で今君が疑問に思ってるのは

φ∈Fであるか？

なんでしょ？
だったら確かめるべきなのは

φ は有限集合の有限な集合族である。
φ はunion-closedである。

この二つの命題が成り立ってるかどうかでしょ？
この二つの命題を確認する以外の方法は存在しません
0838１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 19:40:19.79ID:um3o3lUE
実は、Wikipediaで、以下を読んで「finite union-closed family of finite sets」というのには空集合も含まれるのかなとふと思ったので質問しました。

In combinatorics, the union-closed sets conjecture is an elementary problem, posed by Peter Frankl in 1979 and still open.
A family of sets is said to be union-closed if the union of any two sets from the family remains in the family.

The conjecture states:

For every finite union-closed family of finite sets, other than the family containing only the empty set, there exists
an element that belongs to at least half of the sets in the family.
0840１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 19:43:53.02ID:um3o3lUE
「φ ∋ S ⇒ Sは有限集合である。」は真。
「φ ∋ S, T ⇒ S ∪ T ∈ φ である。」は真。

よって、 φ ∈ S である。
0841１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 19:45:56.91ID:um3o3lUE
で、また論理の話になりますが、

空集合はfinite union-closed family of finite setsであることは分かりました。

空集合はこの予想を満たすことを証明してください。（論理の問題です。）
0843１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 19:47:33.48ID:um3o3lUE
「空集合に属する集合のうち少なくとも半数の集合に属する元が存在する。」は真な命題であることを証明してください。
0844１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 19:49:55.50ID:um3o3lUE
>>843
この類の命題は、どう扱ったらいいのでしょうか？
0845１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 19:50:58.29ID:um3o3lUE
「空集合に属する集合のうち少なくとも半数の集合に属する元が存在する。」
を論理記号で書いてください。
0847１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 20:08:43.54ID:vILCvJzf
0から１の間で3つの数を無作為に選ぶ。
この3つの数の長さを辺として三角形ができるとき、その三角形が鋭角三角形である確率と鈍角三角形である確率はどちらが高いか？
0850１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/20(火) 21:48:58.44ID:um3o3lUE
>>846
あ、そうですね。空集合は元を含まないですもんね。

ということは、このFrankl's Conjectureは今日、否定的に解決されたということですね。
解決までに40年以上かかったということですね。
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