分からない問題はここに書いてね 466
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さあ、今日も1日がんばろう★☆ 前スレ 分からない問題はここに書いてね 465 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608546793/ (使用済です: 478)
[a, b] で、連続な関数列 {f_n} が f(x) に一様収束するとき、 f_n^2 は f^2 に一様収束する。 証明: 有名な定理により、 f(x) は [a, b] で連続である。 M := max {f(x) | x ∈ [a, b]} M_n := max {f_n(x) | x ∈ [a, b]} m := min {f(x) | x ∈ [a, b]} m_n := min {f_n(x) | x ∈ [a, b]} とおく。 n > N ⇒ |f_n(x) - f(x)| < 1 for any x ∈ [a, b] n > N ⇒ m - 1 ≦ f(x) - 1 ≦ f_n(x) ≦ f(x) + 1 ≦ M + 1 for any x ∈ [a, b] min{m_1, …, m_N, m+1} ≦ f_n(x) ≦ max{M_1, …, M_N, M+1} for any x ∈ [a, b] ∴∃K such that |f_n(x)| ≦ K for any n and for any x ∈ [a, b] ε を任意の正の実数とする。 n > N ⇒ |f_n(x) - f(x)| < ε for any x ∈ [a, b] n > N ⇒ |f_n^2(x) - f^2(x)| ≦ |f_n(x) - f(x)| * |f_n(x) + f(x)| ≦ |f_n(x) - f(x)| * (|f_n(x)| + |f(x)|) < (K + |f(x)|)*ε for any x ∈ [a, b] ∴f_n^2 は f^2 に一様収束する。 >>279 今、演習問題を見ていたら、一様有界という概念が書いてありました。 >>280 勝手にコンパクトという仮定いれればそら言える もしコンパクトという条件があるならその旨明記しないと正しい答え出せるはずがない そんな事も未だにわかってないからダメなんだよ いつまでこんな事やってんの? もう自分でもわかってるんじゃないの? 君には無理だよ 前>>274 訂正。 >>218 (1/6)^b(5/6)^(a-b)×10^2=5^(a-b+2)/{2^(a-2)3^a} ∴ 5^(a-b+2)/{2^(a-2)3^a}% 前>>284 検証。 たとえば2回振って1回4を出す確率は、 5(a-b+2)/{2^(a-2}3^a}にa=2,b=1を代入すると、 5^3/(2×3^2)=125/18 =6.944……(%) 7%弱か。そんなもんだろ。 複素平面上の円周C:|z|=1と、Cの周上または内部に定点A(α)がある。 C上を動点Pが一周するとき、PにおけるCの接線をl_P、l_Pに関してAと線対称な点をQ(w)とする。 u=w^2-wとするとき、点R(u)が動いてできる領域をαで表せ。 前>>284 検証を訂正。 たとえば2回振って1回4を出す確率は、 5(a-b+2)/{2^(a-2}3^a}にa=2,b=1を代入すると、 5^3/3^2=125/9 =13.88……(%) 1回さいころ投げて4が出る確率は1/6 2回目4が出ない確率は5/6 掛けると5/36 逆に1回目4が出ず2回目4が出る確率は(5/6)(1/6)=5/36 足して5/36+5/36=10/36 =5/18 百分率で5/18×100=500/18 =250/9 =27.7…(%) ちょうど倍だな。 >>218 これを正規分布近似で計算するとき P[X<31] - P[X<30] P[X<30.5] - P[X<29.5] P[X<30]-P[X<29] のどれで計算するのが正しいやり方? どれも、0.0003808148に近似しないだけど? >>257 こういうのは、面白い問題教えてーなスレでさも自分は答え知ってる風に出題すると誰かが教えてくれる 何回操作でアルゴリズムが終了するか?系の問題は難問多そう >>294 答は分からないけど、どんな形状になるのかは興味があったのでAの位置をランダムに選んで描画してみた。 軌跡に重なりがあるのでモンテカルロ法で数値解を出すのも難しそう。 https://i.imgur.com/i0pnefD.gif 動き始めるまで数秒かかります。 >>295 Wolfram先生のお告げでは 余り0で商は 301983115909103483509004063940644603909090817284162792879834706942678752925627499240204407980065868314025660690154546773808290452918116762380038082112282892615967360242777120758819027974503024206472930141071558921465590250303826575057958274872586222281214425256648508964861643928802042093601868475224808866213147030426789706606859944301892801477395393158600292428157672301414000 >>294 w=2e^(iθ)-α'e^(2iθ) (α'はαの複素共役) でw^2-wを計算する、かな >>295 Lucasの定理 2021 = 729×2 + 243×2 + 27×2 + 9×2 + 3 + 2 = 2202212 (三進) 312 = 243+27×2+9+3×2 = 102120 (三進) 2202212 - 102120 ───── 2100022 繰り下げが出るから3の倍数 繰り下げが出ない素数を選ばないと面白くない >>261 シンプルかどうか分からない問題だが… 〔レヴィの方程式〕 u(x,y,z) (∂u/∂x) +i(∂u/∂y) + 2i(x+iy)(∂u/∂z) = f(z), 右辺はzのみの実関数であり、解析的ではない。 (大意) もしもこの方程式が C^1 級の解uをもてば、 右辺のfは必然的に解析関数でなければならない。 Hans Lewy (1958) 数セミ増刊「数学・物理100の方程式」日本評論社 (1989) p.69 dy/dx=e^(x^2) 単に初等関数で積分できないこういうのとか? 解が初等関数で書けない有名かつシンプルな微分方程式ならAiry方程式y''=xyもなかなか 空集合の基底とは? 少なくともベクトル空間ではないが nCk=pとなる整数n,k,p(n≧k≧0)の組(n,k,p)は何組あるか。 ただし0C0=1とする。 >>313 訂正 pを正整数の定数とする。 nCk=pとなる整数n,k(n≧k≧0)の組(n,k)の数をpで表せ。 ただし0C0=1とする。 xy平面上の2つの楕円C,Dがあり、それぞれの周上の点(x,y)は C:2x^2+y^2=1 D:x^2+2y^2=1 を満たす。 C上の(1/√2,0)に点Pがあり、時刻t=0でC上を反時計まわりに動きはじめ、一周したところで停止する。 またD上の(0,1/√2)に点Qがあり、時刻t=0でD上を反時計まわりに、かつ∠POQ=90°となるように動き、一周したところで停止する。 P,Qの中点Rの描く軌跡上の点で、原点からの距離が最大となるものを全て求めよ。 >>316 それが分かっても問題を解くことには繋がりません >>315 幾何学の濫觴:作図して計測 https://i.imgur.com/5EmkZ7D.png https://i.imgur.com/5muktp7.png 測定は道具をつかって R <- Vectorize(function(t){ p1=cos(t)/sqrt(2) p2=sin(t) q=2*pi-t q1=sin(q) q2=cos(q)/sqrt(2) r1=p1/2+q1/2 r2=p2/2+q2/2 OR=r1+1i*r2 abs(OR) }) optimize(R, c(0,2*pi)) > optimize(R, c(0,2*pi)) $minimum [1] 3.141593 $objective [1] 0.5 t=πのとき最小値0.5と数値解がでる。 答がでたら、辻褄合わせの理屈を考えればよいw >>319 やはり、動画にした方が説得力があるな。 https://i.imgur.com/EtfxHrI.gif 罵倒厨ってこういう動画は作れないみたいね。 できるのは罵倒だけw >>319 求めるのは最大値だった。 > optimize(R, c(0,pi),maximum = TRUE) $maximum [1] 1.570796 $objective [1] 0.7071068 t=π/2, 3/2πのとき1/√2が最大値 >>321 こういう簡単な問題を出題すると厳密解を返してくれるのですね。 次はもう少し難しくしますのでよろしくお願いいたします。 マルチジジイしつこいぞ。 本当は統計も期待値もプログラムも理解していないのに御託を並べて滑稽だな。 動画作成のプログラムを組むのがそれなりに楽しめる。 罵倒しか楽しみのない人がいるみたいだね。 罵倒って事実述べてるだけですがな 「0.7.71..だから1/√2(キリッ)」っていつまでこのレベルなんwww 前に代数計算の方法例示してやったやん? 意味わからないならせめていつものお得意の“思考0”でRに移植したらええがな あれもう何ヶ月も前やろ? 一歩も進んでませんがなwwwwww 無理ならもうMathematica買えよ 0.7.01‥って、おもちゃ箱じゃなくてゴミ箱行きですがなwwwww >>326 動画も作れないガイジがなんか言ってる。 >>326 数値作成に用いた関数を数式に起こせばいいだけだから興味あればやれば? >>328 興味なんかあるわけなかろう?wwwwwww >>329 興味の問題じゃなくて動画作成できないんじゃないの? 粘土じゃ無理だし。 >>319 > 幾何学の濫觴:作図して計測 測量工学じゃねぇか大嘘吐きめ 幾何学は工学じゃねぇぞ大莫迦野郎が 数値解好きな人向けの出題です。 C[2021,334]を4で割った余りを求めよ。 [1,1,1,1,1,1,0,0,1,0,1] [0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,0] [1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,1] シミュレーション好きな方向けの出題です。 n個の箱とk個の玉があり、玉を1つずつ箱に投げ入れる。1つの玉がどの箱に入るかは同様に確からしい。 k個全ての玉が箱に入ったあと、入っている玉の数が最も多い箱の1つをA、最も少ない箱の1つをBとし、Aに入っている玉の個数をM、Bに入っている玉の個数をmとする。 M-mの期待値をn,kで表せ。 >>335 2進法で繰り上がり4回だから、2で4回割り切れる。 n! の 2ベキ指数 は [n/2] + [n/4] + [n/8] + ・・・・・ = n - {nの2進表示中の「1」の数} 足し算のとき繰り上がると「1」が減るから 1 増える。 >>335 [1,0,1] [1,1,0] [0,1,0,1] [1,1,1,0] [1,1,0,0,1,0,1] [1,0,0,1,1,1,0] [1,1,1,0,0,1,0,1] [0,1,0,0,1,1,1,0] [1,1,1,1,0,0,1,0,1] [1,0,1,0,0,1,1,1,0] >>334 17829777589108096114928584776740198149977236119423589048089282609254256312774091965579392628987898910938486814893307546221525273615966024639215985452355141962098376242775384214399378198557575866830393869210247127632912772901643120824322530265573285857439030847245077551768449122375439512178326674991634237773196473280183634247945246941264456506966197645453665954314442051697912987168306268500×4 + 0 pを素数の定数とする。 k≦nなる正整数の組(n,k)で、nCk=pとなるものをすべて求めよ。 nCkの素因子は全てn以下ゆえコレが素数になるにはnCk≦nが必要 k=1,n-1ではnC1=nで‥ 2≦k≦n-2の時nCk≧nC2によりn(n-1)/2≦nが必要でn≦3が必要 以下略 連続するk個の自然数の積はk!で割り切れるっていうことは 素数が局所的に多くあるときは約数の多い数も多くなるって言える? >>342 の趣旨は k=0,n のとき nCk = 1, ∴ 不適 k=1,n-1 のとき nCk = n, n≧3 かつ 2≦k≦n-2 のとき nCk > n, ∴ 合成数 で 不適 から pC1 = pC(p-1) = p に限る… ねね、nを1以上の整数とした時、6n-1と6n+1の両方が素数の時それは双子素数だよね 6n-1と6n+1のどちらも合成数の時、そのいちばん小さいnってどのぐらいなの? ほんとだ、100ぐらいでもうでてきちゃうのね ありがとうございました! 5人でジャンケンをして最後に残った一人が賞品をもらえる。 一度負けた人は以後のジャンケンには参加しない。 太郎と次郎は談合して 二人が参加している間は太郎はグー・チョキ・パーの順に出して 次郎はチョキ・パー・グーの順に出すことに決めた。 太郎が勝者になったら賞品は次郎と山分け。 太郎の勝利確率は0.25であるか検討せよ。 a,bは正整数の定数とする。 数列{x[n]}を x[1]=a,x[2]=b,x[n+2]=x[n+1]+x[n] により定める。 このとき「aとbは互いに素である」ことは、「任意の正整数kについてx[k+1]とx[k]は互いに素である」ための、 (A)必要条件である (B)十分条件である (C)必要十分条件である (D)必要条件でも十分条件でもない のいずれであるか。 n 6n-1 6n+1 --------------- 1 5 7 2 11 13 3 17 19 4・ 23 25・ 5 29 31 6・ 35・ 37 7 41 43 8・ 47 49・ 9・ 53 55・ 10・ 59 61 11 65・ 67 12・ 71 73 13 77・ 79 14・ 83 85・ 15・ 89 91・ 16・ 95・ 97 17 101 103 18・ 107 109 19 113 115・ 20・ 119・ 121・ (・印は合成数) 少なくとも7*5!+1までに出ることはわかる 実際には順番に試していくしかないだろうな 5と6と7の最小公倍数が210だから216の前後は6n-1だが5の倍数と6n+1だが7の倍数 もっと小さいのがあるかどうかはしらみつぶしになるのかなあ? 方程式 (x^x)-x-2=0 の解を全て求めよ。 xlogxは凸 expは単調増加凸 ∴x^xは凸 x=0までfx)=x^x-x-2を拡張して f(0)=-1, f(1)=-2, f(2)=0 より解はx=2のみ 負の実数で幾何学的な(geometricな)べきと解釈するならlogのどのブランチをとるのか指定がないから解けない 負の整数まで入れて算術的な(arithmeticな)べきと解釈するなら(その場合一つの問題の中に違う意味のべきが混在する事になるけど)x=-1の場合を除いてx^x-x-2は代数的整数になり得ないしx=-1は解ではない >>353 直感では、 次郎は勝つことはないから太郎が最終勝者になる確率は1/5から1/4になる気がする。 10,16,22,34,52,82,??,304,772… 前>>287 >>353 太郎がグー✊で次郎がチョキ✌のとき勝者が出るのはあとの3人が、 グー✊グー✊グー✊か、 グー✊グー✊チョキ✌かグー✊チョキ✌グー✊かチョキ✌グー✊グー✊か、 グー✊チョキ✌チョキ✌かチョキ✌グー✊チョキ✌かチョキ✌チョキ✌グー✊か、 チョキ✌チョキ✌グー✊ の8通り。 計算でいうと2×2×2=8(通り) グー✊グー✊グー✊のとき次郎を除いた4人で勝者になる確率は0.25 太郎が勝つ確率の期待値に0.25×1/8=1/32を算入。 あとの3人のうち2人がグー✊のときは3通りあり、 3個1やで1/3×3/8=1/8を算入。 あとの3人のうち1人がグー✊のときは3通りあり、 2個1やで1/2×3/8=3/16を算入。 あとの3人が3人ともチョキなら太郎の一人勝ち。 1×1/8を算入。 太郎が勝つ確率の期待値=1/32+1/8+3/16+1/8 =15/32 =0.46875 ∴4割6分8厘7毛5糸 前>>366 訂正。 >>353 太郎がグー✊で次郎がチョキ✌のとき勝者が出るのはあとの3人が、 グー✊グー✊グー✊か、 グー✊グー✊チョキ✌かグー✊チョキ✌グー✊かチョキ✌グー✊グー✊か、 グー✊チョキ✌チョキ✌かチョキ✌グー✊チョキ✌かチョキ✌チョキ✌グー✊か、 チョキ✌チョキ✌チョキ✌ の8通り。 計算でいうと2×2×2=8(通り) グー✊グー✊グー✊のとき次郎を除いた4人で勝者になる確率は0.25 太郎が勝つ確率の期待値に0.25×1/8=1/32を算入。 あとの3人のうち2人がグー✊のときは3通りあり、 3個1やで1/3×3/8=1/8を算入。 あとの3人のうち1人がグー✊のときは3通りあり、 2個1やで1/2×3/8=3/16を算入。 あとの3人が3人ともチョキなら太郎の一人勝ち。 1×1/8を算入。 太郎が勝つ確率の期待値=1/32+1/8+3/16+1/8 =15/32 =0.46875 ∴4割6分8厘7毛5糸 表が出る確率がp、裏が出る確率が1-pのコインがある。 コインを繰り返し投げる操作を行い、表が合計n回出たか、または裏が合計n回出たとき、操作を終了する。 操作が終了するまでにコインが投げられた回数の期待値をnとpで表せ。 p=1/2は確か超有名問題でできるんだよな 一般のpでできるんかな E(1,p)= 1 E(2,p)= 2 + 2p - 2p^2 E(3,p)= 3 + 3p + 3p^2 - 12p^3 + 6p^4 E(4,p)= 4 + 4p + 4p^2 + 4p^3 - 52p^4 + 60p^5 - 20p^6 E(5,p)= 5 + 5p + 5p^2 + 5p^3 + 5p^4 - 205p^5 + 395p^6 - 280p^7 + 70p^8 E(6,p)= 6 + 6p + 6p^2 + 6p^3 + 6p^4 + 6p^5 - 786p^6 + 2184p^7 - 2436p^8 + 1260p^9 - 252p^10 E(7,p)= 7 + 7p + 7p^2 + 7p^3 + 7p^4 + 7p^5 + 7p^6 - 2996p^7 + 11018p^8 - 17010p^9 + 13566p^10 - 5544p^11 + 924p^12 E(8,p)= 8 + 8p + 8p^2 + 8p^3 + 8p^4 + 8p^5 + 8p^6 + 8p^7 - 11432p^8 + 52632p^9 - 104616p^10 + 113784p^11 - 71016p^12 + 24024p^13 - 3432p^14 E(9,p)= 9 + 9p + 9p^2 + 9p^3 + 9p^4 + 9p^5 + 9p^6 + 9p^7 + 9p^8 - 43749p^9 + 242667p^10 - 592713p^11 + 821007p^12 - 693693p^13 + 356499p^14 - 102960p^15 + 12870p^16 ...一般項をどうやって求めるべきか (1)方程式 x^4-2x^2+1-(2/x^2)+(1/x^4)=0 を解け。 (2)aを正の実定数とする。方程式 x^4-2ax^2+1-(2/x^2)+(1/x^4)=0 を解け。 >>373 f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x^2-1)- ((a+b+c)/5+abc) とおく (i) a+b+c<0 の時 f(0) = -(a+b+c)/5 > 0 より成立 (ii) b+c<1 の時 a+ b+c < -1 + 1 = 0 だから(i)より成立 (iii) -(a+b+c)/5 - abc > 0 の時 f(1) = f(-1)= -(a+b+c)/5 - abc > 0 より成立 (iv) 一般の時 b+c≧1‥@、-(a+b+c)/5 - abc ≧ 0‥Aの時を考えればよいがb,c≦1と合わせて@を満たすb,cはbc平面において(1,0),(0,1),(1,1)を結ぶ三角形の内部、Aは双曲線の外側で共有点はa=-1の時の(b,c)=(1,0),(0,1)のみ 対称性より(a,b,c)=(-1,1,0)として良い この時f(x)=x(x^2-1)^2でf(1/2)>0より成立 >>373 f(x) = (x-a)(x+1)(x-b)(x-c)(x-1) (a≦-1≦b≦c≦1) とする。 -1≦x≦1 における f(x) の最大値を M とすると、 5M > a + (-1) + b + c + 1 - 5{a(-1)bc・1}, が成り立つことを示して下さい。 よろしくお願いします。(darvish-yu) >>369 0≦k≦n-1 とする。 n+k回目でオモテ終了する確率は OMOTE(n,k) = ( C[n+k-1, n-1] p^{n-1} (1-p)^k )・p, n+k回目でウラ終了する確率 URA(n,k) = ( C[n+k-1, k] p^k (1-p)^{n-1} )・(1-p), (n+k) の期待値は E(n,p) = Σ[k=0, n-1] (n+k)(OMOTE(n, k) + URA(n, k)) かな? 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read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる