高校数学の質問スレ Part410
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
（トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレ Part409
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608682829/ >>885
レスありがとうございます。こういうレスは実に美しい。
具体的に解が存在しない数を列挙すれば、証明は無理でも法則性に気づいたかも。
遅ればせながら1から100まででやってみる
> n=100
> (1:n)[calc3(1:n)]
[1] 2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 58 62 66 70 74 78 82 86 90 94 98
プログラムがきちんと動作していることの確認にもなって( ・∀・)ｲｲ!!
オマケのコード（R言語）
calc <- function(n72){
library(numbers)
is.wholenumber = function(x, tol = .Machine$double.eps^0.5) abs(x - round(x)) < tol
d=divisors(n72)
e=cbind(d,n72/d)
re=apply(e,1,function(x) (x[1]-x[2])/2)
re[is.wholenumber(re)]
}
# calc=Vectorize(calc)
calc3 <- function(n) length(calc(n))==0
calc3=Vectorize(calc3)
n=100
(1:n)[calc3(1:n)]
101以後も当然成立している。
> sapply(101:111, calc)
[[1]]
[1] -50 50
[[2]]
numeric(0)
[[3]]
[1] -51 51
[[4]]
[1] -25 -11 11 25
[[5]]
[1] -52 -16 -8 -4 4 8 16 52
[[6]]
numeric(0)
[[7]]
[1] -53 53
[[8]]
[1] -26 -6 6 26
[[9]]
[1] -54 54
[[10]]
numeric(0)
[[11]]
[1] -55 -17 17 55 P (4/√141 , -141/125) = (0.33686 , - 1.128)
Q (√3 , 1/2) = (1.732 , 0.5) のとき
PQ = 2.1440474 (m≒7/6) >>891
偏微分方程式を連立すれば極値になるをWolframが返してくれる。
下記の入力すればあとは終わり。レンジてチンみたいなものだな。
d/dx((1/(x^2 - 1) - 1/(y^2 - 1))^2 + (x - y)^2) = 0, d/dy((1/(x^2 - 1) - 1/(y^2 - 1))^2 + (x - y)^2) = 0 こういう問題も道具を使わないと計算は無理だと思う。
期待値の達人がサクッと答えるかと思ったら逃げまくりでワロタ。
袋の中に菓子が10種類入っている。各種類について個数は1,2,3,4,5,6,7,8,9,10で合計55個である。
この袋から無作為に1個ずつ菓子を取り出すが、袋の中の菓子の種類が9種類になったらそれ以後は取り出せない。
取り出せる菓子の数をnとするときnの期待値と95%区間を求めよ。 P ({√(205-84√3) -3}/14 , - {14√3 -3 -√(205-84√3)}/12) = ( 0.33672325 , -1.12788215 )
Q (√3 , 1/2) = (1.7320508 , 0.5) のとき
PQ = 2.1440474087 (m=7/6) ある入試問題を改題
曲線y=log(1+cos(x))の0<= x <= π/2の部分の長さを小数点第2位まで求めよ。計算機を使ってもよい。
Wolfram先生の厳密解 2 tanh^(-1)(1/sqrt(2)) >>907
2 tanh^(-1)(1/sqrt(2)) = log(3 + 2*sqrt(2)) https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E3%81%AE%E9%95%B7%E3%81%95&;assumption=%7B%22F%22%2C+%22ArcLength%22%2C+%22curve%22%7D+-%3E%22log%281%2Bcos%28x%29%29%22&assumption=%7B%22F%22%2C+%22ArcLength%22%2C+%22b%22%7D+-%3E%22pi%2F2%22&assumption=%7B%22C%22%2C+%22%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E3%81%AE%E9%95%B7%E3%81%95%22%7D+-%3E+%7B%22Formula%22%7D&assumption=%7B%22F%22%2C+%22ArcLength%22%2C+%22a%22%7D+-%3E%220%22&lang=ja >>907
これ私立医だったら紙で厳密解出せる問題だね
京大のやや易くらいかな
というか君は計算機使わないと解けないとか私立医未満か >>872
面積の比率はどうなるやら。
θや÷2は省略
sin×cos=1とした場合
sec×csc
cot
tan
(sec-1)×sin
(csc-1)×cos トケジは期待値も統計も分からないから医者にはなれない 数え上げれば答えがでるような問題に答えがわかったから何なの？
「数え上げれば良い」以上の意味はないし、その答えに興味もない。
それこそどうしても値が知りたい病気ならPC使えば良い。
プログラミング技術を自慢したい人はプログラミングの板へ行け。
答えの値が予想外とかなら興味を引かれるだろうが、単に値を述べられてもだから何？ってだけでしょ。
ここは数学板だから、答えに至る技術に興味ある人は多かろうが、「数え上げれば良い」じゃあゴミ同然だね。
プログラミングにしても、同じ技術で答えが出るような問題多数並べてるようじゃやはりゴミ同然だね。 何言っても聞かないよ
どんなに最もで反論の余地がなくても、それならそれで「あいつは他人を罵倒ばかりしてるクズだ、そんなやつのいう事を聞く必要はない」と結局自分の都合の良い言葉を作文して無視してしまう
コイツにとって論理とは自分の行動が正当であるという事を自分を納得させるための道具でしかないからどんな正論も通じない
そして相手が自分を止められない事をそれを自分が優秀であると捉えて悦に浸ってしまう
止めようないよ
ある一定の割合で「他人に迷惑をかける事が自分の利益になる」という独特な哲学を身につけてしまったものは他人は止める事はできないと思う
むかし読んだその手の本に書いてあった
無視するしかないよ ガチャとかのクジの問題ばかり
人力だと難しい問題を出題して自分で解くバカ
それが唯一の楽しみの無職の爺さん
しかも期待値npや中学幾何の問題すらPCを使わないと解けないアホ
ランダウの記号すら知らなかった
大学行ってないのは明らか pが2,3以外の素数のとき
1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + … + 1/(p-1)^2
を通分した時の分子はpの倍数んなると一般に言えますか？ 特性方程式を使った漸化式なのですが
a[n+1]+2=3(a[n]+2)
b[n+1]=3b[n]
そもそもb[n]の等比数列というのが考えられません😭
なぜcとおくかは、このような式を導きたいときにαはいくつであるかを求めているに過ぎないとわかりました！ 1番最初の式がなぜ成り立つのかわからないということです a[n+1]+2=3(a[n]+2)
a[n]=3^n-2とすると
a[n+1]+2=3・3^n
おかしい計算になるのですが… +2を右辺に持ってけば前の項と次の項の関係になっていました 式通りの数列ですよね😅？ 期待値も分かってないクズの分際で出題なんてもう出禁だな。ここのスレからも一般社会も。 >>890
対偶の設定が間違っていると思う。
｛aが有理数 かつ bが有理数 かつa+b√(2)=0｝ ならば｛ a=0かつb=0｝
の対偶は
｛a≠0またはb≠0｝ならば ｛aが有理数でない、または bが有理数でない または a+b√(2)≠0｝
ではないかな？ >>909
これは便利だな。
簡単に自作関数結果の検算に使えますね。
CurveLength <- function(f='log(1+cos(x))',from=0,to=pi/2){
Df <- eval(str2lang(paste("deriv(~ ",f,",","'x',func=TRUE)")))
f1 <- Vectorize(function(x) as.numeric(attributes(Df(x))))
integrate(function(x) sqrt(1+f1(x)^2), from, to, rel.tol = 1e-12)}
まあ、数値解しかでないけど。
> CurveLength()$value
[1] 1.762747 >>917
1≦a<p に対して
ab ≡ 1 (mod p)
をみたすbが1つずつある。(1≦b<p)、
ab = 1 + p･q (qは整数)
1/a = b - p･(q/a),
これを
1/a ≡' b (mod p)
と書けば (広義の合同)
与式 = Σ 1/a^2 ≡' Σ b^2
= Σ[k=1,p-1] k^2
= p･(p-1)(2p-1)/6
≡ 0 (mod p) (← p>3)
∴ pの倍数んなると一般に言える。 >>910
厳密解
y = log(1+cos(x)),
y ' = - sin(x)/(1+cos(x)),
√{1+(y ')^2} = √{2/(1+cos(x))} = 1/cos(x/2),
より
L = ∫√{1+(y ')^2} = ∫1/cos(x/2) dx
= log|(1+sin(x/2)/(1-sin(x/2))|
= - 2log|tan((π-x)/4))|,
tan(π/4) = 1, tan(π/8) = √2 - 1. >>918
なぜ等比数列と言えるのかからわからないみたいです…
等比数列型の漸化式はわかりますが両辺に2が足されて右辺にだけ3がかけられているので >>928
a[1]+2、a[2]+2、a[3]+2、……、a[n]+2、……という数列を考えそれをb[n]とすればa[n]+2=b[n]、a[n+1]+2=b[n+1]
a[n+1]+2=3(a[n]+2)に代入すればb[n+1]=3b[n]になるのだからb[n]は等比数列
特性方程式とかやる段階になってないんじゃないのか？ >>929
bnの数列が考えられていませんでした、わかりましたありがとうございますm(_ _)m 正矢
余矢
残正矢
残余矢
半正矢
半余矢
半残正矢
半残余矢
外正割
外余割
これらは学校ではまず習いませんが、土木や測位には非常に重要な三角関数だそうですが、どうしてそうなるのですか? それを使わないところで聞くんじゃなくてそれを使う業界のスレで聞くべきことなんじゃないか？ 本当に土木で使うのか？
どれもsin,cos,tanで表現出来るんじゃないの？ すごく基本的な事を質問するのですが、
正や負や０の値を取る連続な関数を２乗した関数の導関数は、
正や負や０になる事はあっても、
２乗した関数は増減があるだけで、負にはならないんですよね？？ >>933
そんなの覚えるよりsin, cos, tanで表わした方が楽で間違いないからさ 9人の野球チームで誰もが投手をやりたがったため、次の試合の9個のポジションはクジで選ぶことにした。
9人全員が前の試合とは異なるポジションになる確率を求めよ。
分数解 ： 16687/45360
導出法（省略ｗ）
１００万回のシミュレーション解
> sim <- function(n) all(!(1:n)==sample(n))
> mean(replicate(1e6,sim(9)))
[1] 0.368626
両者が近似するので多分、あっていると思う。
10人のソープ嬢と10人の客で問題を考えたのだが、スレの趣旨から上記のように改題したｗ またアホが出て来た
組み合わせ問題ばっかりwww
まずは期待値から勉強しろよアホ 計算してみたら、９人でも１１人でもほとんど確率が変わらなかった。
> calc(9)
[[1]]
Big Rational ('bigq') :
[1] 16687/45360
[[2]]
[1] 0.3678792
> calc(10)
[[1]]
Big Rational ('bigq') :
[1] 16481/44800
[[2]]
[1] 0.3678795
> calc(11)
[[1]]
Big Rational ('bigq') :
[1] 1468457/3991680
[[2]]
[1] 0.3678794
数を増やして、グラフにしてみる。黒点はシミュレーション解。
https://i.imgur.com/96LLpR0.png 唐突にスレ違いの話題をひけらかし始めるプログラムおじさん >>947
前の話題で恥かくとそれを流してしまうためにまたしょうもないレスを連発するんだよ
こどおじの精神構造はちゃっちい >>933
Wikipediaの
三角関数の公式の一覧
↓
古い関数
にあるやつか
三角関数を数表で計算していた時代に
そのまま計算すると精度の悪い
1-cosθ 正矢
(1/2)(1-cosθ) 半正矢
等に名前をつけて別の表にしていた
今はその都度計算すれば事足りるな 実はプログラムも統計も期待値も何一つ分かってなかったプログラムおじさん 特性方程式は係数比較から出てきたものだという理解でよいと思いますが、出てきたαを(〇-α)=p(〇-α)に代入すればいいものを
教科書では問題の漸化式から特性方程式を引いて上のような式を出しているのはなぜなのでしょうか？
引いているα =pα+qを変形すればα-pα=q
これを引いても移行すればqの値になるはずなので間違っていないのはわかるんですけど cos( 2π*e*n!/3 ) のn→∞の極限値を求めよ (eは自然の底)
という問題なのですが、どうすればいいのでしょうか
そもそも極限値は収束するのでしょうか。
なんかnが大きくなってもぐるぐる回るだけで収束しないように思えたりします。 いやまあ最初のレスだけで意図は分かるんだけど最近知恵袋に回答するのにも億劫になってきたくらいだから式変形とかじゃなくて日本語の説明するのが正味ダルい
別に>>952の1行目の理解でももちろん良いがそうやって引き算で(○-α)=p(○-α)という漸化式を導き出しても良いじゃんっていうそれだけだが
まあ俺以外にレスする人は丁寧に説明してあげてほしい🤪
後1次不定方程式でも全く同じ式変形をするね
2x-3y=1 (x,yは整数)
2(-1)-3(-1)=1
辺々引いて
2(x+1)-3(y+1)=0
2(x+1)=3(y+1) >>959
> https://imgur.com/a/0jtwGVt こういう式です
それを特性方程式（これは線形代数等に出てくる用語）と呼ぶのは、受験業界造語。
a_{n+1}=f(a_n)
という形の漸化式を少しでも簡単なものに帰着しようとするというのが方針。
f(x)=xの解aはfの不動点と呼ばれるものだが、不動点が0だと少しは簡単になるはず。というわけで、
fの不動点aを用いて、b_n=a_n-a, g(x)=f(x+a)-aとおくと、
b_{n+1}=g(b_n)であり、gは0を不動点に持つ。
で、少しは簡単になるでしょ。という話。 >>960
引き算してなぜ導けるのかわからないですね…
https://imgur.com/a/PBa8Sbu
画像では変形前から変形後の式を引けば特性方程式が出てくるとあります、これが理解できれば特性方程式を引けば変形後の式を導けることが言えますがわかりません^^;;
>>961
高校レベルでお願いします😢 >>962
辺々引き算してるだけだよ？
>>960の最後の方の1次不定方程式の例(もう習ったのでは？)の方は分かる？
後具体例で理解した方がいい
a_(n+1)=2a_n +1…①と
-1=2(-1)+1…②が同時に成り立つならば※実際に計算してみると後者の等式は成り立ってるよね
辺々引くことによって ※いわゆる連立。①-②。
a_(n+1)-(-1)=(2a_n-2(-1))+(1-1)
(a_(n+1)+1)=2(a_n+1)
ここで左辺と右辺の括弧内の形が(a_○ +1)で共通しているから等比数列に帰着する。遡って、共通したのは②のところでx=2x+1を成り立たせる数x=-1を使ったから。当然ながら1=2・0+1を①から引いても共通した形にはならない >>963
「①と②が同時に成り立つならば辺々引いて等比数列の形になる」の部分がわからないのですが…これは連立方程式のどの辺りの知識が足りないのか。。
等比数列の形に変形したいときに、成り立たなければならない式が1と2であることは理解できます >>953
e = Σ[k=0,∞] 1/(k!) を使う。 >>954
0 < e*n! - Σ[k=0,n] n! / k!
= Σ[k=n+1,∞] 1/{(n+1)(n+2)…k}
< Σ[k=n+1,∞] 1/(n+1)^{k-n} (← 等比級数)
= 1/n,
ここで
Σ[k=0,n] n! / k! = 6N + n(n-1) + n + 1 ≡ ±1 (mod 3)
k≦n-3 のとき 6の倍数となるのがミソである。
cos(2π(1/3 + 1/3n)) < (与式) < cos(2π(1/3 - 1/3n)),
cos(2π/3) - 2π/3n < (与式) < cos(2π/3) + 2π/3n,
-1/2 - 2π/3n < (与式) < -1/2 + 2π/3n,
(与式) → cos(2π/3) = -1/2, (n→∞) 例の一次方程式はわかりますが漸化式の計算に関係があるかは全く… >>944
客とソープ嬢の数が同じ場合は２日続けてソープに行った場合に全員が前日と別のソープ嬢に当たる確率はほぼ1/eで
これは１０人でも１００人でも確率は大差ないってことになるな。
スレ的には教室で席替えの問題にした方がいいな。 >>968
2020年12月、文部科学大臣の会見でこれまで40人だった小学校のクラスの上限人数を全国で35人以下に引き下げることが発表されました。
https://toyokeizai.net/articles/-/398232
こういう問題になるかな。
一クラス３５人の教室で次の学期は席替えをすることになりました。
席を無作為に選ぶとき、全員が今の席と異なる席に割り当てられる確率はいくらでしょう？ 同じような問題の繰り返し
１年後も同じ事していそう
そんな事しても期待値npを知らなかった事実は消えはしない >>962
最初の質問のときに自分で係数比較って言ってるじゃん
a_(n)とa_(n+1)の係数はいじっていないんだから辺々引き算したらそれらの項は消えて定数項を比較するだけの方程式が残る n人の野球チームで
ちょうどk人が前の試合とは異なるポジションになる確率は
p(k) = C[n,k] (!k) / n! = {1/(n-k)!}Σ[j=0,k] (-1)^j / j!,
!k は subfactorial で
!0 = 1,
!1 = 0,
!2 = 1,
!3 = 2,
!4 = 9,
!5 = 44，
!6 = 265,
!7 = 1854,
!8 = 14833,
!9 = 133496,
http://oeis.org/A000166 を参照 そんな問題解く暇あるなら早くリクエストに答えろよ
↓↓↓
862:１３２人目の素数さん 2021/03/18(木) 16:15:56.49 ID:7H5ZKplv
>>861
すごいプログラムですね。
999999999999までの自然数の中でピタゴラス数の組み合わせが最も多いのはいくつか教えてよ。
そのプログラム使えば分かるんでしょ？ プログラムキチガイ
PCじゃ解けないから、面白い問題スレに書き込んでヒント貰おうとしているwww
↓↓↓
151:１３２人目の素数さん 2021/03/19(金) 01:45:06.97 ID:/qXspel8
某スレより
問：999999999999以下で最も多くの種類のピタゴラス三角形の底辺となりうる数は何か？
解説：ピタゴラス三角形とはご存じの通り、辺長がいずれも正整数の直角三角形のことであるが、
例えば 24 は (24,7,25),(24,10,26),(24,32,40),(24,70,74),(24,143,145) の5種類のピタゴラス三角形の底辺となりうる。
(ここで「底辺」は斜辺でない辺のいずれかを指す)
24未満の正整数で5種類以上のピタゴラス三角形の底辺となりうる数はないので、
「24以下で最も多くの種類のピタゴラス三角形の底辺となりうる数は何か？」の解は24である。
上の問いは、同様のことを1兆未満の正整数で求めよというもの。
計算機で総当たりするより理詰めで解く方が向いていると思ったのでこちらのスレに移動してみる。 subfactorial は k個の順列のうちで 不動点がないものの数。
特定のk人に注目したとき
・誰も異なるポジションにならない確率は
(n-k)! /n!
・全員が異なるポジションになる確率は (ド・モルガンで)
Σ[j=0,k] (-1)^j C[k,j] (n-j)! /n! >>965
なんか手品を見ているようです。
ありがとうございます 応用(？)問題
5種類の菓子が沢山あって無作為に選んだ菓子を子供10人に１日１回1人1個ずつ配る。
10人全員に前日と違う種類の菓子が配られる確率はいくらか？ 無意味な問題ばかり出すなあ
このスレを埋めて終わらせるのが目的だろ
そんな事をしても
期待値npを知らなかった事はずっと語り継がれるのによwww >>979
subfactorialって初めて聞きました。
便利な公式を教えていただいたので、早速、関数化して保存。
subfactorial <- function(n,k){
j=0:k
p=sum((-1)^j*choose(k,j)*factorial(n-j)/factorial(n))
list(MASS::fractions(p),p)
}
動作確認
> subfactorial(9,9)
[[1]]
[1] 16687/45360
[[2]]
[1] 0.3678792
すでにn=9で1/eに近い
> exp(-1)
[1] 0.3678794 >>982
2秒で暗算は無理
1048576 / 9765625 >>981
発展問題
前日と同じ菓子を配られた子供は配った人を罵倒するという。
罵倒する子供の数の期待値とその９５％信頼区間を求めよ。 プログラムおじさん、
1/1+1/2+･･･+1/n
は収束するのか発散するのか、収束するならいくつになるのか教えてください
私立医でも解ける問題なので簡単だと思いますが >>989
プログラムで解いてみました。
> VGAM::zeta(1)
[1] Inf >>991
どんなプログラムですか？
あと私立医でも紙とペンで解けますけど、あなたはできないんですか？ 自称医者だしなあ
正体は中卒の発達障害の爺さんだよ >>964
確認だが引いた後に等比数列の形になる式の計算は丁寧に載せたんだから「なんで辺々引いた式が成り立つのか分からない」ってことでいいか？
だとしたら第1にその部分は1次不定方程式で辺々引く計算と全く同じなのになんでそっちが分かって文字がa_nとa_(n+1)になると分からなくなるの？
そして本当にそれが分からないんだとしたら連立方程式をいまいち理解していないのかも？
x+y=1…①
x-y=0…②
と連立方程式があった時に①+②や①-②の式が成り立つことが保証されるのは
①,② (①,②が成り立っている)⇒①+②や
①,②⇒①-②
が成り立つからだ。①,②はx,yについての条件である時点で当然「成り立ってる等式」だからね
原始的にはA=a B=bが成り立つ時A+B=a+bが成り立つと言ってるだけ
で>>963における①は問題文で与えられている漸化式で、②は明らかに常に成り立つ計算式だから、当然2つとも成り立っている 他のスレでは元気に書き込みしてるようですが、>>992に答えてもらえないのは何なんでしょう？ >>980
(補足)
整数部分(?) 6N + nn + 1 が 3で割り切れない、すなわち
nn ≠ -1 (mod 3)
となる件
奇素数p で割り切れない剰余 {1,2,…,p-1} のうち
≡ x^2 の形に書けるもの(平方剰余) と書けないもの(非剰余)が同数
(p-1)/2 個ずつあります。
もし -1 が平方剰余ならば、±x のペアで平方剰余になるので、
(p-1)/2 = 2q, ∴ p = 4q + 1.
p=3 はこの形ではないので、-1 は非剰余になります。 (終) レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
