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大学学部レベル質問スレ 15単位目
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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/28(月) 18:05:49.69ID:YO0EdTIr
大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 14単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1594758474/
0498１３２人目の素数さん
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2021/02/28(日) 04:19:22.51ID:vAztcVF2
連結は2点への連続写像を作ろうとすると上手くいかない、何かが邪魔をする、ということだから、(2点以上の)部分集合の方が非連結になりやすい。
0499１３２人目の素数さん
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2021/03/01(月) 09:15:12.13ID:xZz6CGzJ
b n が次で与えられている
b0 = 0, b1 = 1
bn = 2b(n-1) + 2 b(n-2)
vを二進付値とする時
v(bn) = n + v( [ n/2 ] )
を示せ
0500◆QZaw55cn4c
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2021/03/01(月) 20:50:03.07ID:mVM2M1hV
>>447
いろいろ考えてみたんですが、ガバガバユルユルな定義ですね
群の公理としては、二つ目の結合則は必要として、一つ目の式はちょっと贅肉が多いのでは？
群の公理は、結合則の他には ∃e∀g　ge = g, かつ ∀g∃h gh = e で十分かと
0501１３２人目の素数さん
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2021/03/01(月) 21:03:03.43ID:b6EQ2gzc
アーベル群ならそれでいいよ
0502１３２人目の素数さん
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2021/03/02(火) 00:25:49.52ID:s/RK2FsU
他の代数系との関係もあるから
共通のは独立に書いた方がわかりやすい
0503１３２人目の素数さん
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2021/03/02(火) 07:57:38.62ID:RHwb3U7G
>>500
そのhでhg=eを示せ
0504１３２人目の素数さん
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2021/03/02(火) 07:58:41.72ID:RHwb3U7G
eg=g示すのが先か
0505◆QZaw55cn4c
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2021/03/02(火) 20:50:17.83ID:9lTkOgWK
>>501
アーベル群＝可換群でなくても、群の公理は①結合則と②∃e∀g　ge = g, かつ ∀g∃h gh = e で十分であることを、これから示しましょう
以下、量化子を省略します

>>504
gh = e ‥‥①
ge = g より ①の g に ge を代入して
geh = e
すなわち g(eh) = e ‥‥②
②と gh = e を辺々比べて eh = h
すなわち eg = g ‥‥③
これが証明すべきことであった．

>>501
gh = e を ge = g に代入するが、gh = e より gh を左辺の g に、 e を右辺の g に代入してよく
ghe = e ‥‥④
④の両辺に g を右からかけて
gheg = eg
③を使って
ghg = g ‥‥⑤
⑤と ge = g を辺々比べて hg = e
これが証明すべきことであった．
0506１３２人目の素数さん
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2021/03/02(火) 20:54:03.77ID:qHnIfoFs
>>505
>すなわち g(eh) = e ‥‥②
>②と gh = e を辺々比べて eh = h
これなんで？
0507１３２人目の素数さん
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2021/03/02(火) 21:03:00.58ID:qHnIfoFs
>>505
>∃e∀g　ge = g, かつ ∀g∃h gh = e
このeについて
∀g (ge=g∧ge'=g) → e=e'
を示してくれますか
端的には
>∀g∃h gh = e
のeが指すものを確定できますか？あるいは公理は
∃! e∀g　ge = g
ですか？
0508１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/02(火) 21:04:07.46ID:qHnIfoFs
>>505
>②と gh = e を辺々比べて eh = h
こちらも
∀g∃! h gh = e
ということですか？
0509１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/02(火) 21:08:29.17ID:qHnIfoFs
>>505
>∃e∀g　ge = g, かつ ∀g∃h gh = e
∃! e∀g　ge = g, かつ ∀g∃! h gh = e
なら問題ないということですか？
!は取れませんか？
0510◆QZaw55cn4c
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2021/03/02(火) 21:12:42.21ID:9lTkOgWK
>>506
g(eh) =e であり、かつ、
g h 　=e ならば
この g は任意にとることができるのだから
eh = h なのでは？

>>507
ge = g かつ gg^-1 = e から ge = eg = e を導きだす >>505 の推論を認めてくださるのならば次のように証明できます
今、ge = eg = e　‥‥①
かつ e' も単位元だから ge' = e'g = e' ‥‥②
であったとする、①に e' → g を代入して　e'e = ee' = e ‥‥③
②に e → g を代入して ee' = e'e = e　‥‥④
③④より e = e' すなわち単位元は、存在すればただ一つ、QED
0511１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/02(火) 21:13:14.72ID:qHnIfoFs
∃!は∃に比べてかなりキツイ条件なので
!が外れないなら>>447の方がよりよいかな
あと
!が外れたとしても
eの存在を規定するよりは>>447の方が気持ちいいかな
0512１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/02(火) 21:14:59.79ID:qHnIfoFs
>>510
>この g は任意にとることができるのだから
>eh = h なのでは？
任意に取れたら何でeh=h？
0513１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/02(火) 21:17:29.65ID:qHnIfoFs
>>510
>ge = eg = e を導きだす >>505 の推論
ge=eg=ｇね？それが分からない
もちろん
ge=eg=gなら単位元の一意性は通常の証明です
0514◆QZaw55cn4c
垢版 |
2021/03/02(火) 21:25:17.71ID:9lTkOgWK
>>512
＞g(eh) =e であり、かつ、
＞g h 　=e ならば
＞eh = h

ここでの演算子を *　とします
任意の元 g に対して
g * X = e
g * Y = e
だったら X = Y ‥‥うーん、確かに逆元は今の段階では単位元も逆元も一つとは限りませんね‥‥


考え直します‥‥
0515１３２人目の素数さん
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2021/03/03(水) 00:24:56.08ID:vCAyKp+X
長い直線とおんなじ感じで長い点線てあるんでしょうか？
任意の二つの点は有限の点列でつながっているけど、全体は整数と順序同型ではない、みたいな
0516１３２人目の素数さん
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2021/03/03(水) 01:06:45.11ID:RlseFId7
すみません方程式についての質問です
数学を専攻したことはありません(物理学科) ググって知ったことについてです。

(1)5次方程式の数値解法があるらしいのだから、一般の5次方程式の解の小数表示を有限回の四則演算で1桁ずつ確定させることもできるんですよね？

(2)「一般の3次方程式の解を有限回の実数の冪根の計算と四則演算で求めることはできない」というのを今知ったのですが
では数値を求めるには(どういうのが効率が良いか分かりませんが)逆三角関数値や三角関数値をマクローリン展開を使って計算していくなどする必要がありますよね？
(そんなことを言ったら実数の冪根もそもそも四則演算も1桁ずつ数値を確定させていくことしかできなくて似たようなものだが)

(3)という事は3次方程式の解の公式について、複素数の冪根を認めて「代数的解法」と称するのは、「実数の冪根を認めるなら対称的に複素数の冪根を認める方が妥当」という専ら形式的なものでしょうか？
それとも、非代数的な解(?)と違って、解の累乗の計算が有機的にできたりと代数の枠組みで有意義な取り決めだとされるんでしょうか？


(3)に関しては、(「解法があるかないか」のような)字面に惑わされて起こる感覚的な思い込みを捨てて、単に論理的に言えることだけを理解しようとすれば意味のない質問と化す類の愚問かもしれませんが
もしかしたら「虚数にはこういう有機的な意味があるんだ！」と言われる文脈のように、多数で共有される感覚としての答えが存在する可能性もあると思って聞きました。
0518１３２人目の素数さん
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2021/03/03(水) 01:19:55.46ID:CGS3YUU8
>>516
まぁこの話は昔のヨーロッパでやってた方程式の解の公式の懸賞問題の取り決めとかも関わってるから純数学的にどうこうの問題も絡んでて微妙
“複素数のルート”を三次方程式の解の公式で使うのがありかなしかは「ありにするのが正解」とか「そんなのはイインチキ、ダメ」とか一概に言えるもんでもなく微妙
しかし確実に言えるのは
「五次以上の方程式だと複素数のルートを認めたとしても解けない」
「四次、三次は複素数のルートを認めれば必ず解ける、ルートは実数のルートとiしか認めないなら作図可能性と可解性が同値になる」
0519１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/03(水) 01:24:16.42ID:RlseFId7
>>518
ありがとうございます
全体的なニュアンスは伝わってきますし具体的な部分でも作図可能性～のところだけ分かりませんが2次方程式以下のことであるのは分かります
一応>>516の(1)と(2)にもYes,Noでいいので答えてくれないでしょうか。両方yesですよね？
0520１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/03(水) 02:07:09.29ID:RlseFId7
にわか知識でなんJにスレ立てて楽しんできた

【クイズ😆】一般のn次方程式で、解を有限回の四則演算で求められるのは○次以下である
https://swallow.5ch.net/test/read.cgi/livejupiter/1614702665/

こういう感じで答えが1次→2次→(3次→)…と変わっていってしかも7次とか大きい数まで問題が作れたら面白い気がする😆
5次方程式の解を構成できる超冪根とかいう奴、6次方程式に通用する同様の概念は作れないのかな？(ほぼ独り言😆)
0522１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/03(水) 10:05:14.21ID:RlseFId7
>>521
ありがとうございます！
0524１３２人目の素数さん
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2021/03/03(水) 12:59:07.74ID:zG/lqqO3
正解は○=1だよな
0525１３２人目の素数さん
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2021/03/03(水) 13:13:14.76ID:nTI+qAnq
と思うじゃん？
「係数から」有限回の四則演算～とは書かれていない、これは罠だったんだ
0529１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/03(水) 17:11:15.29ID:RlseFId7
>>528
その解自体はどう求めるの？ってなったらどうやっても一般の(任意の)方程式から解を求めてるとは言わんよね
0530１３２人目の素数さん
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2021/03/03(水) 22:47:30.05ID:c6oCII/v
>>515
なに言ってんのか知れン
0532１３２人目の素数さん
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2021/03/03(水) 22:49:04.12ID:c6oCII/v
>>516
多分君は数値を特定するということとは10進法の桁をひとつひとつ決めていくモノだと思っているのだろう
0534１３２人目の素数さん
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2021/03/03(水) 23:26:16.39ID:c6oCII/v
>>533
やはりね
小数表記を求めることを以て解法とするのであれば何でも解ける
代数的解法はべき乗根と四則を（小数表記では無く）確定した値を表すモノとして使って一般の方程式の解を表すということであって
べき乗根が実数のべき乗根に限るとはしないのが通常の解釈
小数表記なら実数であれ複素数であれやることは同じだし
もちろん実数のべき乗に限ればどうなるかというコトを考えても良い
結論的には>>518で尽きているだろう
0538１３２人目の素数さん
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2021/03/04(木) 07:36:13.72ID:DY7dzUfk
>>536
アホーか
>>516でそうではないかと尋ねているからそうだと言った
自分が尋ねていてそうだよと答えられて当たり前じゃんと返すとはな
もちろんそれは>>518で尽きていることだからすでに答えられている
0539１３２人目の素数さん
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2021/03/04(木) 08:05:38.61ID:zRYLg81o
テンソルって概念が分からん

スカラー→ベクトル→行列　という拡張の流れは分かるんだが
テンソルって出てくるときはたいてい行列のような形で表記されている
行列は「２次のテンソル」なんて話を聞いたことがある

じゃあテンソルってのは
スカラー（０次元)→ベクトル(1次元）→行列（２次元）→？（３次元）→？？（４次元）→…
という拡張の流れの中にあるものを総称したものなのか？
0540１３２人目の素数さん
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2021/03/04(木) 08:21:05.61ID:4Nhg0Q4J
多重線形を線形したものがテンソルです
物理に出てくるテンソルは数学のそれの成分表示したものです
2次のテンソルを成分表示すれば添字が2個だから行列の形で書いてるだけで、もちろん行列そのものではないです
演算(積)が行列のものとは異なります
0541１３２人目の素数さん
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2021/03/04(木) 09:17:24.07ID:zRYLg81o
「物理で出てくるテンソル」「数学のそれ」
って言い方も分からん
行列なら物理で出てこようが数学で出てこようが数値が２次元に並んだもので演算は共通だけどテンソルだと違うの？
0542１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 13:42:03.67ID:bKHikyXz
同じさ
数学では色んな見方をするだけだ
物理でも用途によって使うが
0544１３２人目の素数さん
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2021/03/04(木) 15:17:48.77ID:CUIXoIWf
>>541
数学のテンソルはg_ab dx^a dx^b

物理のテンソルは g_ab

本来のテンソルの一部分しか見てないので、わけのわからないこと言い始めるわけですね

多様体論の座標変換の話で終わるだけなのに、変換性がどーたらこーたらを満たす行列だーとか言い始めるわけです
0545１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 15:42:46.05ID:T6XhnBRF
物理系が対称性を持つとき、物理量もその対称性を持つ
多くの場合、その対称性は行列で書かれたリー群やリー環で表現される(表現Vを1つ固定する)
物理系を変換したとき、変換しないものがスカラー(自明表現)、Vとして変換するのがベクトル、Vのテンソル積表現として変換するのがテンソル
時空に対する対称性の場合、符号表現がテンソルされてるものは「擬」という接頭語がついたり、元の群の被覆群の表現に属するものはスピノルと呼ばれたりする
0548１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 19:28:07.95ID:zRYLg81o
テンソルがちんぷんかんぷんだから、テンソルを「テンソル積」で説明されてもわからん
テンソルってのはあくまで数学における概念で、物理学はそれを利用してるだけ、ってとこはいいんだよな？
それとも量子力学の変な記号みたいに数学とは別に物理学で独自に発展しちゃってる部分もあるわけ？
そう言えばテンソルって言葉は物理学でしか聞いたことがない
0549１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 19:36:04.48ID:zRYLg81o
量子力学の変な記号ってのは「ディラックのブラケット記法」っていう、＞　とか　＜　とか|使うやつのことね
0551１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 20:06:23.73ID:6wZGTihV
>>548
テンソル代数をイデアルで割って個別の具体的なナンチャラ代数を定義していく。
0552１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 20:29:55.23ID:T6XhnBRF
>>548
上にも書いたように考えてる物理系の対称性とそれの自然な表現Vを1つ固定して考えている
Vのテンソル積表現というのは数学的にはっきりしてて、それはV⊗V⊗…⊗V(ただしいくつかはVの反傾表現V'とすることもある)として作られていて
いわゆるテンソルとはこの線形空間の元(もしくはそれを基底で展開したときの係数)
0553１３２人目の素数さん
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2021/03/04(木) 21:07:56.59ID:4Nhg0Q4J
>>541
例えば、ベクトル解析における作用素div,rotとかも実はテンソル(正確にはある次数の微分形式からなる線形空間上の外微分)
ただし物理では普通微分作用素を並べた「ベクトル」として扱っている、これは数学でいうと基底を固定して成分表示したものになっている

根本のところの「もの」は同じだけど、物理では計算面から見て実用しやすい形で定義している(と思う)
0554１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 22:20:40.61ID:bKHikyXz
>>549
ブラケットは数学での2次形式と同じだけど
転置記号もいらないし複雑な式も入れるし便利に魔改造されてるな
0555１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 22:23:14.68ID:bKHikyXz
>>548
テンソルって経済でも使えそうだがなー
言語学でも多重相関を調べるのに使わんかしらん
0556１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 23:48:01.75ID:VEVIDWr+
>>554
>転置記号もいらないし
代わりに右と左がいるやん
0557１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 23:53:19.78ID:VEVIDWr+
>>555
ディープラーニングで
0559１３２人目の素数さん
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2021/03/05(金) 02:20:05.10ID:9AQyOZRj
>>545
ベクトルバンドル、ベクトル束
スピンバンドル、スピン束
なら言うけど

テンソルバンドル、テンソル束
は
言わないよなー。
0561１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/05(金) 02:38:44.78ID:motBJKwN
>>559
それってカニやサソリやクモが節足動物だという話をしてるところに、蟹座や蠍座はあるけど蜘蛛座はないよなー、と言い出してるようなもの

>>560
テンソル積の普遍性を言いたいんだろうけど、ここで質問されてるテンソルとは話がずれてる
0565１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/05(金) 03:14:46.48ID:motBJKwN
>>563
ベクトル束のテンソル積は取れるからね
でも、それも結局はベクトル束
本筋ではないことを言うのは混乱の元だからやめよう、という話
0567１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/05(金) 08:03:53.48ID:SWWZv1v8
>>558
だから別に便利にってこと無いってこと
0573１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/06(土) 12:59:32.14ID:PmxUoqJo
>>572
特性方程式p(x)求めて
x^5+9x^4+30x^3+36x^2+20x+9÷p(x)のあまりax^2+bx+c求めてaA^2+bA+cIを求める
0576１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/06(土) 22:02:58.52ID:NFvwQDpA
数学のフィルトレーションだの自然なフィルターだのは
物理や工学のフィルターとは明らかにことなる。
ちなみに確率微分方程式の参考書で上の意味のフィルターを使う場合には
カルマンフィルタは絶対登場しない
明らかにフィルタの意味が違うから
位相にしてもなんで日本数学界の馬鹿たれどもはこういう紛らわしい訳語を選択するんだろ。
0577１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/06(土) 22:26:50.31ID:nbSOpobn
それ日本の学会が決めてないと思う
0578１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/06(土) 22:29:26.13ID:nbSOpobn
ultrafilterを検索すると濾過装置ばっかり出てくるよね
0581580
垢版 |
2021/03/07(日) 05:06:21.00ID:b7zzL7Gj
>>576じゃなく
>>577へのアンカー
0582１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/07(日) 05:11:36.94ID:b7zzL7Gj
>>577
Filtrationは日本と関係ない話だったな。
情報の増大系をFilterというのは日本の話じゃない。

でもTopologyを位相と訳したのは日本の学会だろ
0583１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/07(日) 08:06:39.76ID:ZsNGtVKl
本当かどうか知らんが、位相の訳語は「位置」と「形相」に由来しているらしい
ソースは加藤十吉『位相幾何学』
0584１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/07(日) 08:26:11.68ID:ZsNGtVKl
>>580
数学ではCGPMやIUPACのような規格標準化のための組織は存在しないよ
どこどこの組織が「〇〇は～とする」なんて定めるわけではないです
0585１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/07(日) 10:15:38.83ID:UrORCwc2
文脈で分かるじゃん
0588１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/07(日) 17:04:26.07ID:Ax93y6LC
趣味で数学をしてるアホ大学生です。

(X,B(X),μ)という測度空間を考えることにして
{fn}という関数列が
(1)fn≦Mを満たし、
(2)fnがfにL2で収束する
⇒
|f|≦M a.e.-μはなりたちますか？

δ>0として、
成り立たないと仮定すると、
∃A;μ可測集合,μ(A)>0,f|A≧M+δ

すると,
∫_X |fn-f|^2dμ
=∫_A |fn-f|^2dμ + ∫_A^c |fn-f|^2dμ
≧∫_A |fn-f|^2dμ
≧δ^2μ(A)
>0
なので矛盾

と考えました。
0589◆QZaw55cn4c
垢版 |
2021/03/07(日) 20:43:45.61ID:+cRDkVEs
>>513,512 (>>514 の解消）
>>500 という主張の証明を考え直しました

>>500
＞群の公理は、結合則の他には ∃e∀g　ge = g　‥‥①, かつ ∀g∃h gh = e ‥‥②で「必要十分」（修正）

証明のツボ：②の h に対して②を再適用すれば ∀h∃H hH = e ‥‥③

>>504
eg = ege (∵①）
= eghH (∵③）
= eeH (∵②）
= eH (∵①）
= ghH (∵②）
= ge (∵②・③）
= g (∵①）

>>503
hg = hge (∵①）
= hghH((∵③）
= heH(∵②）
= hH (∵②・③）
= e
以上が証明すべきことであった
0590１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/07(日) 22:14:51.64ID:u7YtHJ1m
>>589
2⃣にはeの一意性が要るのでは？
具体的には
gh=eのeとhH=eのeが同じである理由を教えてください
0591１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/07(日) 22:20:48.38ID:u7YtHJ1m
こうしたらどうでしょう？
∃e∀g∃h ge=g, gh=e
これならeとして複数考えられたとしてもそのうちの1つのeで>>589の考察が出来ますよ
0592◆QZaw55cn4c
垢版 |
2021/03/07(日) 22:29:38.18ID:+cRDkVEs
>>590
そういう読み方ではありません
∃e∀g　ge = g　‥‥①,
で少なくとも一つの e が存在すれば、その e に対して
∀g∃h gh = e ‥‥②
が成立すると定義します。これらは定義・公理です、したがって
∀h∃H hH = e ‥‥③
は②のh の対して②を再適用しただけですから、③の e は ②の e と同一の単位元です、すなわち
「gh=eのeとhH=eのeは同じ」

①②が同時に成立すれば、ge = eg = g　で　e の一意性、続いて gh = hg = e から逆元の一意性を示せます
0594１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/07(日) 22:50:26.59ID:u7YtHJ1m
>>592
>そういう読み方ではありません
それならばやはり>>591で
0596◆QZaw55cn4c
垢版 |
2021/03/09(火) 16:04:09.61ID:+5fKxQbl
>>594
さらに考え直しました
∃e∀g　ge = g
かつ
∃e(∀g　ge = g → ∀g∃h gh = e)
あたりが私の気持ちに近いかもしれません…
0597１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 16:06:54.68ID:SKEI5bO2
松坂和夫著『解析入門上』の複素整級数のところに以下の記述があります。

C の部分集合 S で一様収束する複素連続関数列の極限関数が複素連続関数になるという命題の証明について、
R の区間 I で一様収束する実連続関数列の極限関数が実連続関数になるという命題の（この本での）証明を
そのまま用いるわけにはいかないということを言っています：


「さらに、一様収束する連続関数列の極限はまた連続である。（厳密にいえば、実変数の場合の9.1節の定理4は定理3に依拠しており、定理3の記述は
やや実変数に“局限”された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。しかしそれは容易であるから、ここではあらためて述べない。実際には
この定理は、後の距離空間の位相の章でみるように、もっと一般的な状況のもとに直接かつ簡単に証明することができる。）」


「定理3の記述はやや実変数に“局限”された形になっている」という箇所が何を言いたいのか分かりません。

定理3を見てみても実変数に“局限”などされていないと思います。

定理3で登場する x_0 は R の区間 I の任意の点ですので、かならず I の集積点になります。
一方、 z_0 を C の任意の空でない部分集合 S の任意の点とすると、 z_0 はかならずしも S の集積点にはなりません。（S の孤立点になる可能性があります。）

ですが、孤立点においては、関数はかならず連続ですから、証明に「多少の補正を要」するとは思いません。
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