IUTを読むための用語集資料スレ2

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/01(火) 18:11:43.01

テンプレは後で

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 16:42:24.13

>>42

下記分かりやすい
ご推奨です

https://shitijyou-a.github.io/
七条彰紀のノート 2020 shitijyou-a
(PDFダウンロード可)
https://shitijyou-a.github.io/math/alg-geo/intro-to-artin-stacks/
Artin スタック入門
七条彰紀
2020 年 2 月 16 日

概要
スキーム論と圏論（2 圏の初歩を含む）まで学んだ者の為にArtin スタック（代数的スタック）への入
門を書いた．面白みや詳細な議論よりも，Artin スタックへの短い入門を旨としている．ほとんどの部分で
命題の証明はしない．命題(8.10) と節(7) 全体は適切な参考文献が見当たらなかったので，独自に定義・
証明している．

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 16:45:46.05

>>43
追加ご参考

https://shitijyou-a.github.io/
七条彰紀のノート 2020 shitijyou-a
https://shitijyou-a.github.io/math/alg-geo/#/math/
代数幾何学つい
代数幾何学とは，代数学と幾何学を行き来する数学の一分野です．

代数学と幾何学の結びつき
多項式で定まる図形はアフィン代数多様体 (affine algebraic variety) と呼ばれます．

スキームへ，更なる一般化へ
アフィン代数多様体は数学の歴史の中でも古くから扱われていました．現代的には，スキーム (scheme)が代数幾何学の中心的研究対象です．スキームは可換環 (commutative ring) と呼ばれる純粋な代数的対象から出発して構成されます．可換環からアフィンスキームというものが構成され，これを貼り合わせて一般のスキームが作られます．アフィン代数多様体はアフィンスキームの理想的に扱いやすい場合として扱われるように成りました．

スキームの誕生には Weil予想というものが深く関わっています．「この予想を解決するには（アフィン）代数多様体では手狭だ，足りない」という理由で代数多様体が一般化されたのです．さらに「スキームでは手狭だ，足りない」というわけで代数的空間 (algebraic space)などが生まれ，「まだ足りない」とArtin スタック (Artin stack)というものも生まれています．

スキームの一般化は他にもいっぱいあります．私が知る限りのものを列挙してみます（順番は適当です）．

Formal schemes,
Schemes over ,
Blue schemes,
Rigid spaces,
Adic spaces,
Non-commutative schemes,
Higher stack.
いずれも何かの問題を解決するために，あるいは興味深いために生まれ，研究されています．

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 07:46:32.13

メモ
http://www.math.chuo-u.ac.jp/morita.htm
森田茂之氏による特別講演（ENCOUNTERwithMATHEMATICS番外編）中央大学
http://www.math.chuo-u.ac.jp/lecture_notes_almostwhole.pdf
特性類と不変量
森田茂之
ver. 2013 年 3 月

目次
7 モジュライ空間 142
8 モジュライ空間のサイクル，コサイクルの作り方 158
9 低次元トポロジーの謎 161
10 夢

P187
第 19 回 (2012 年 11 月 28 日)
10 夢
9 章まで行って，低次元トポロジーの謎，という事で幾つかの問題についてお話をしました．今日は新しい
章，どういうタイトルをつけようかと思いました. 本当は夢に向かってとかいろいろ考えたり，予想とか書こ
うとも思ったのですが，それにはあまりになんというか，理論的というか実験的なので，「夢」としました．

P195
4. 絶対 Galois 群

http://www.math.chuo-u.ac.jp/morita_newser.htm
森田茂之氏による特別講演：新シリーズ（ENCOUNTERwithMATHEMATICS番外編）中央大学
2013年秋から、全体を仕切りなおして新シリーズを開始します．
http://www.math.chuo-u.ac.jp/LN_in_Chuo_v11.pdf
トポロジーの課題探訪
　―特性類と不変量を中心として―
森田茂之
2013 年 10 月 9 日-

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/21(日) 06:55:19.90

メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/Perverse_sheaf
Perverse sheaf
The mathematical term perverse sheaves refers to a certain abelian category associated to a topological space X, which may be a real or complex manifold, or a more general topologically stratified space, usually singular. This concept was introduced in the thesis of Zoghman Mebkhout, gaining more popularity after the (independent) work of Joseph Bernstein, Alexander Beilinson, and Pierre Deligne (1982) as a formalisation of the Riemann-Hilbert correspondence, which related the topology of singular spaces (intersection homology of Mark Goresky and Robert MacPherson) and the algebraic theory of differential equations (microlocal calculus and holonomic D-modules of Joseph Bernstein, Masaki Kashiwara and Takahiro Kawai). It was clear from the outset that perverse sheaves are fundamental mathematical objects at the crossroads of algebraic geometry, topology, analysis and differential equations. They also play an important role in number theory, algebra, and representation theory. The properties characterizing perverse sheaves already appeared in the 75's paper of Kashiwara on the constructibility of solutions of holonomic D-modules.

Contents
1 Preliminary remarks
2 Definition and examples
3 Properties
4 Applications
5 String Theory

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/21(日) 06:56:16.02

>>46
つづき

String Theory
Massless fields in superstring compactifications have been identified with cohomology classes on the target space (i.e. four-dimensional Minkowski space with a six-dimensional Calabi-Yau (CY) manifold). The determination of the matter and interaction content requires a detailed analysis of the (co)homology of these spaces: nearly all massless fields in the effective physics model are represented by certain (co)homology elements. However, a troubling consequence occurs when the target space is singular. A singular target space means that only the CY manifold is singular as Minkowski space is smooth. Such a singular CY manifold is called a conifold as it is a CY manifold that admits conical singularities. Andrew Strominger observed (A. Strominger, 1995) that conifolds correspond to massless blackholes.

These singular target spaces, i.e. conifolds, correspond to certain mild degenerations of algebraic varieties which appear in a large class of supersymmetric theories, including superstring theory (E. Witten, 1982).

In the winter of 2002, T. Hubsch and A. Rahman met with R.M. Goresky to discuss this obstruction and in discussions between R.M. Goresky and R. MacPherson, R. MacPherson made the observation that there was such a perverse sheaf that could have the cohomology that satisfied Hubsch's conjecture and resolved the obstruction. R.M. Goresky and T. Hubsch advised A. Rahman's Ph.D. dissertation on the construction of a self-dual perverse sheaf (A. Rahman, 2009) using the zig-zag construction of MacPherson-Vilonen (R. MacPherson & K. Vilonen, 1986). This perverse sheaf proved the Hübsch conjecture for isolated conic singularities, satisfied Poincarè duality, and aligned with some of the properties of the Kähler package.

Satisfaction of all of the Kähler package by this Perverse sheaf for higher codimension strata is still an open problem.

See also
Mixed Hodge module
Mixed perverse sheaf
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/22(月) 12:13:03.70

メモ
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/index.html
田口雄一郎
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/bunsho.html
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/cft.pdf
類体論1
田口雄一郎

1「整数論札幌夏の学校」に於ける講義 (2006 年 8 月 28 日) のノート。
2これらは 1 次元の体で、それを高次元の体 (或いは scheme) に一般化したものが
「高次元類体論」である。古典的な類体論について、予備知識を仮定せず、約 180分で概説した。

序. この講演では古典的類体論について、その概略を解説する。類体
論とは
特別な体のアーベル拡大についてはよくわかる
といふ話である。「特別な体」とは、大域体 (有限次代数体、有限体上
の一変数代数関数体) 及び局所体 (R, C, Qp の有限次拡大、Fp((t)) の
有限次拡大) の事2である。「よくわかる」とは、主に
・ Abel 拡大 L/K の Galois 群の構造が K の言葉で書ける
(わかり易い群で近似できる)、
・ Abel 拡大 L/K に於いて、K の素イデアルがどう分解するかが
よくわかる、
といふ事を指す。
1. 古典的定式化.

さらに詳しくは [7], [2], [3] や岩波の『数
学辞典』第 4 版の「類体論」の項を参照されたい。
References

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/26(金) 07:23:45.20

メモ
https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+fibration
Grothendieck fibration Last revised on January 13, 2021
Contents
1. Idea
2. Definition
3. Fibrations versus pseudofunctors
4. Fibrations versus presheaves of categories

https://ncatlab.org/joyalscatlab/published/Grothendieck+fibrations
Joyal's CatLab
Grothendieck fibrations Revised on November 20, 2020

https://arxiv.org/pdf/1806.06129.pdf
CATEGORICAL NOTIONS OF FIBRATION
FOSCO LOREGIAN AND EMILY RIEHL
Date: Original version December 20, 2010; revised version February 19, 2019.

https://en.wikipedia.org/wiki/Fibred_category
Fibred categories (or fibered categories) are abstract entities in mathematics used to provide a general framework for descent theory.
Similar setups appear in various guises in mathematics, in particular in algebraic geometry, which is the context in which fibred categories originally appeared. Fibered categories are used to define stacks, which are fibered categories (over a site) with "descent". Fibrations also play an important role in categorical semantics of type theory, and in particular that of dependent type theories.
Fibred categories were introduced by Alexander Grothendieck (1959, 1971), and developed in more detail by Jean Giraud (1964, 1971).

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/26(金) 07:30:20.63

>>49
>Fibred categories (or fibered categories) are abstract entities in mathematics used to provide a general framework for descent theory.

追加
https://en.wikipedia.org/wiki/Descent_(mathematics)
Descent (mathematics)
In mathematics, the idea of descent extends the intuitive idea of 'gluing' in topology. Since the topologists' glue is the use of equivalence relations on topological spaces, the theory starts with some ideas on identification.

Contents
1 Descent of vector bundles
2 History
3 Fully faithful descent

Descent of vector bundles

Therefore, by going to a more abstract level one can eliminate the combinatorial side (that is, leave out the indices) and get something that makes sense for p not of the special form of covering with which we began. This then allows a category theory approach: what remains to do is to re-express the gluing conditions.

History
The ideas were developed in the period 1955–1965 (which was roughly the time at which the requirements of algebraic topology were met but those of algebraic geometry were not). From the point of view of abstract category theory the work of comonads of Beck was a summation of those ideas; see Beck's monadicity theorem.

The difficulties of algebraic geometry with passage to the quotient are acute. The urgency (to put it that way) of the problem for the geometers accounts for the title of the 1959 Grothendieck seminar TDTE on theorems of descent and techniques of existence (see FGA) connecting the descent question with the representable functor question in algebraic geometry in general, and the moduli problem in particular.

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/29(月) 23:34:59.52

「ライプニッツは間違っていたのか?」
「ラインハートは間違っていたのか?」

”数学の歴史を見渡してみると，paradigm shift とかquantum leap などという言
葉でしかよべないような大きな変革の前後では，何が正しいのかが一見して判断できないよ
うな状況が生れていて，一部の例外的な数学力を持った人達だけが，その状況での研究の最
先端で，後で整理してみると正しいことが厳密に説明できるようになる種類の結論を導いて
ゆく，というパターンが見られることがあります．”

（参考）
https://researchmap.jp/read0078210/misc/11902282/
渕野昌
フチノサカエ (Sakaé FUCHINO)
2018年9月
間違いと真理: 解析学と集合論の場合
数学セミナー
https://researchmap.jp/read0078210/misc/11902282/attachment_file.pdf

1. ライプニッツは間違っていたのか?

　数学の歴史を見渡してみると，paradigm shift とかquantum leap などという言
葉でしかよべないような大きな変革の前後では，何が正しいのかが一見して判断できないよ
うな状況が生れていて，一部の例外的な数学力を持った人達だけが，その状況での研究の最
先端で，後で整理してみると正しいことが厳密に説明できるようになる種類の結論を導いて
ゆく，というパターンが見られることがあります．そのようなとき，最先端で仕事をしてい
る人には何が正しいかについての確固とした直観があって，後から見て大きな間違いと判定
できるようなミスをすることはほとんどないとしても，研究の前線で何が起っているかを見
定めるだけの力のない人には，正しい議論と間違った議論がほとんど区別できない，という
ような混沌とした状況になってしまうことも少なくありません．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/29(月) 23:35:30.19

>>51
つづき

近代になってからの数学の歴史でも，何が本当に正しいのかが判然としないような枠組
で，何世紀にもわたって，数学理論の研究が進展してゆくという流れが一度ならず起ってい
ます．
17 世紀，18 世紀における解析学(「微分積分学」というような題で大学で講義される科
目の内容を含む数学分野) は，そのような状況の典型的なものの一つ，と言うことができるで
しょう．

例えば，ライプニッツの(1670 年代くらいの頃の) \微分係数" の理解は，変量x を無限
小量1) dx だけ変化させたときの，x の関数(ライプニッツの理解ではx の式として書ける
変量) であるところのy の変化としての無限小量をdy とするとき，それらの比dy
dx のことで
ある，というようなものだったと思われますが2) ，ライプニッツ以降，一世紀以上の間，こ
の「無限小」が数学的に厳密化されることはなく，その直観的な理解だけに頼って解析学が
発展してゆくことになります．このような展開を可能にしたのは，ひとつには，解析学の物
理での応用の華々しい成功がその裏にあって，解析学が，当時の「理論物理学」という\実
験科学" として発展し得たことで，厳密化を先送りすることができたのだろうと思うのです

このような歴史的な発展を経た後では，無限小の概念は，解析学の誕生の際のエピソード
にすぎず，教育的に，「無限小」に言及することがあれば，それは，極限の厳密な扱いについ
て来られるだけの能力のない人のための，poor man's math にすぎない，というような位置
付けがなされることになって現在に至っている，というように理解されることも多いかもし
れません．

この見方で言うと，「ライプニッツの解析学の基礎付けは間違っていた」ということになっ
て，この「間違いから発展した数学」という企画にドンピシャリな記事が書けてしまうこと
になり，私は，あと数ページかけて結末を書けばいいことになるはずですが，真実はそんな
『数セミ』記事の筆者の目論見より奇なり．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/29(月) 23:35:57.24

>>52
つづき

というのは，1960 年代の初めに，アブラハム・ロビンソン(Abraham Robinson, 1918{
1974) が，20 世紀の前半に得られた数理論理学での研究成果を用いると，ライプニッツの無
限小の，厳密な数学的定式化が可能になることを示しているからです．ロビンソンは，彼の
手法をNon-standard Analysis とよびましたが，これは，齋藤正彦先生によって「超準解析」
と日本語訳されています[齋藤1976]．

超準解析を用いると，この全微分可能性が一変数の関数の微分可能性の自然な拡張になっているこ
とが，容易に理解できます．

5. ラインハートは間違っていたのか?

ラインハート(William Reinhardt, 1939{1998) は1960 年代終り
に，V からV への(自明でない) 初等的埋め込みが存在する，という命題を，究極の巨大基
数公理として提案しました．
ところが，この提案からしばらくして，キューネンにより，そのような初等埋め込みの存在
がZFC と矛盾することが証明されてしまったのです．

ラインハートの矛盾する公理の提案，という\間違い" は，数学に，肯定的な意味でも否
定的な意味でも大きな影響を与えたと言えると思います．否定的な影響の一つは，(主に集合
論をあまりよく知らない人たちの) 巨大基数に対する不信感をあおったことでしょうが，肯定
的な影響の方は，この矛盾を避けて，いかにして大きな巨大基数の理論を展開できるか，とい
う挑戦的問題を提起して，研究の進展を促したことでしょう．実はラインハート基数はZFC
とは矛盾することが知られているものの，選択公理を除いたZF と矛盾するかどうかは分っ
ていません．最近ではZF と矛盾しないなら，そのことから何が導けるか，という観点から
の研究もいくつもなされているほどです42) ．

ZF にラインハート基数の存在公理を
付け加えた体系の妥当性の間接証明のようなものが何らかの形で得られないとは限らないの
で，その意味で，ZF に対しては，ラインハートは実は間違っていなかった，という結論が得
られる，というシナリオの可能性もゼロではないかもしれません．

集合論やそれを含む数理論理学は20 世紀の後半以降に爆発的な発展を遂げた(かつ，さ
らに遂げつつある) ので，間違いとそのフォローアップ，として捉えられるような流れも，こ
こで話したこと以外にもたくさん起っています．しかし私の知っている限りでは，そのよう
な場合の間違いのフォローアップは，それが単に間違いの綻び合せになっているのではなく
て，より積極的に次の創造的なステップへの契機となっていることの方が圧倒的に多い，と
いう印象を受けます．
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/08(木) 16:43:14.26

メモ
http://www.is.nagoya-u.ac.jp/dep-ss/phil/kukita/
久木田水生のページ名古屋大
http://www.is.nagoya-u.ac.jp/dep-ss/phil/kukita/others.html
その他
過去の講義ノート
研究会やゼミなどのために作成した資料
http://www.is.nagoya-u.ac.jp/dep-ss/phil/kukita/others/Yonedas_lemma.pdf
米田埋め込みと米田の補題
久木田水生
Cate 研 2011 年 10 月 20 日

米田埋め込みとは，任意の局所小圏 C を C 上の前層 presheaf（Cop から Set への関手圏）に埋め込む関
手である．本稿では関手のいくつかの性質の定義を導入し，米田埋め込みを定義する．そしてそれが実際に埋
め込みになっていることを確認する．米田埋め込みとは直接関係はないが，第 1 節では圏同値の二つの定義を
紹介し，それらの定義が等しいことを確認する．

1 関手の性質と圏同値

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/08(木) 17:15:41.34

メモ
http://alg-d.com/math/kan_extension/
トップ > 数学 > 圏論
圏論
このページについて
※特に断らない限り、圏はlocally smallであると仮定しています。

http://alg-d.com/math/kan_extension/review.html
トップ > 数学 > 圏論 > レビューを書くページ
2020年07月25日更新
レビューを書くページ

通りすがり | 2020年8月 5日 21:22
通りすがりです。

私はKan拡張は随伴である事を極めて強く用いる派ですが、Lan/RanというNotationはセンスが悪いと感じました。おそらくこれはNotationに対する趣味の問題でしょう。私の選好するNotationはKashiwaraと同じ†を使うものです。同書の他のNotationは苦手なのですが。

あと、凄く個人的な趣味なのですが、私は米田埋め込みを「ユニタリ変換」のようなアナロジーでとらえています。なので、†で書きたいのです。このNotationなら米田の補題は別の形ではy†y=Idと書けます。なんかユニタリ行列みたいじゃないですか。こういうアナロジーが結構インスピレーションを刺激してくれるので、この書き方が好きというだけです。Lan/Ranだとそんな感じにならないですよね。

Cisinskiは同じ本を指していますね。ただ、この本は少し階層が違う本ではないでしょうか。Higher Categoryの教科書ですので、圏論の基礎程度の内容はすべて分かっている方が読むはずの本だと思います。個人的には、比較的モデル圏の使用量がマイルドな(∞,1)-圏の導入書としては注目しています。

「圏論の基礎を辞書的に読む」という方は結構いるのですが、私は謎めいた主張だと思います。何故ならば本当に基礎的な内容しか書いていないからです。これはこの本が書かれた1970年代レベルの圏論と比較しても、かなりElementaryな内容しか書かれていないものです。かといってAbel圏や加法圏の内容が専門的に詳しい訳でもないので、この本を辞書的に用いるユーザー層は正直言って分かりません。

幸いにして具体例が豊富にありますので、それを一つ一つちゃんとフォローしていけば、学部1-2年生でも読めるはずです。

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 09:03:06.97

Galois connectionを、「ガロア接続」と訳しているけど、ガロア関係くらいの方が分かりやすくね？
なんか、ソフトウェア分野では、「随伴（ガロア接続）」なんて使われているのかｗ（＾＾；

https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_connection
Galois connection

Antitone Galois connections
Galois theory
The motivating example comes from Galois theory: suppose L/K is a field extension. Let A be the set of all subfields of L that contain K, ordered by inclusion ⊆. If E is such a subfield, write Gal(L/E) for the group of field automorphisms of L that hold E fixed. Let B be the set of subgroups of Gal(L/K), ordered by inclusion ⊆. For such a subgroup G, define Fix(G) to be the field consisting of all elements of L that are held fixed by all elements of G. Then the maps E → Gal(L/E) and G → Fix(G) form an antitone Galois connection.

7 Connection to category theory
8 Applications in the theory of programming

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E6%8E%A5%E7%B6%9A
ガロア接続

https://www.jstage.jst.go.jp/article/jssstconference/2003/0/2003_0_51/_pdf
日本ソフトウェア科学会第 20 回大会（2003 年度）論文集 1
抽象解釈にみられる圏論的構成について
木下佳樹　　　西澤弘毅
† 東京大学情報理工学系研究科コンピュータ科学専攻
完備束と随伴

本稿は以下のように構成する．第 2 節では完備束
および随伴（ガロア接続）に関する用語を確定し，後
に使う基本的な事実を列挙する．

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 09:07:57.49

「A 'killer application' is etale cohomology.」だって

https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_topos_theory
History of topos theory

Contents
1 In the school of Grothendieck
2 From pure category theory to categorical logic
3 Position of topos theory
4 Summary

In the school of Grothendieck
During the latter part of the 1950s, the foundations of algebraic geometry were being rewritten; and it is here that the origins of the topos concept are to be found. At that time the Weil conjectures were an outstanding motivation to research. As we now know, the route towards their proof, and other advances, lay in the construction of etale cohomology.

Summary
The topos concept arose in algebraic geometry, as a consequence of combining the concept of sheaf and closure under categorical operations. It plays a certain definite role in cohomology theories. A 'killer application' is etale cohomology.

The subsequent developments associated with logic are more interdisciplinary. They include examples drawing on homotopy theory (classifying toposes). They involve links between category theory and mathematical logic, and also (as a high-level, organisational discussion) between category theory and theoretical computer science based on type theory. Granted the general view of Saunders Mac Lane about ubiquity of concepts, this gives them a definite status. The use of toposes as unifying bridges in mathematics has been pioneered by Olivia Caramello in her 2017 book.[1]

References
Caramello, Olivia (2017). Theories, Sites, Toposes: Relating and studying mathematical theories through topos-theoretic `bridges. Oxford University Press. doi:10.1093/oso/9780198758914.001.0001. ISBN 9780198758914.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 09:11:58.29

Category Theory Brief Historical Sketch

https://plato.stanford.edu/entries/category-theory/
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Category Theory
First published Fri Dec 6, 1996; substantive revision Thu Aug 29, 2019

1. General Definitions, Examples and Applications
1.1 Definitions
1.2 Examples
1.3 Fundamental Concepts of the Theory
2. Brief Historical Sketch
3. Philosophical Significance
Bibliography
Academic Tools
Other Internet Resources
Related Entries

2. Brief Historical Sketch
It is difficult to do justice to the short but intricate history of the field. In particular it is not possible to mention all those who have contributed to its rapid development. With this word of caution out of the way, we will look at some of the main historical threads.

Categories, functors, natural transformations, limits and colimits appeared almost out of nowhere in a paper by Eilenberg & Mac?Lane (1945) entitled “General Theory of Natural Equivalences.” We say “almost,” because their earlier paper (1942) contains specific functors and natural transformations at work, limited to groups. A desire to clarify and abstract their 1942 results led Eilenberg & Mac?Lane to devise category theory. The central notion at the time, as their title indicates, was that of natural transformation. In order to give a general definition of the latter, they defined functor, borrowing the term from Carnap, and in order to define functor, they borrowed the word ‘category’ from the philosophy of Aristotle, Kant, and C. S. Peirce, but redefining it mathematically.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 11:36:08.97

メモ下記誘（いざな）い　《拡大版》なかなか良いね
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
望月出張講演
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20Taihimyuuraa%20riron%20he%20no%20izanai%20(kakudaiban).pdf
望月出張講演
[13] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い　《拡大版》（東京大学 2013年06月） PDF

P12
実は、先ほどの IUTeich の議論は上半平面上の古典的なテータ関数
θ(t) = Σe^(-πn^2t)
に対するヤコビの変換式
(t) = t^-1/2・θ(1/t)
(=ある意味、先ほど出てきたガウス積分の計算の関数版と見做せる!)と、様々な側面において非常によく似ている(下表を参照)!

{q^j^2} j=1, ...,l テータ関数のガウス分布型展開

Log-link による +,x の回転に対する絶対遠アーベル幾何の適用

回転 ← → t→1/t 即ち ∞→ 0 への解析接続

過去の論文のレベルでいうと、絶対遠アーベル幾何やエタール・テータ関数の様々な剛性性質に関する
・ Semi-graphs of Anabelioids
・ The Etale Theta Function ...
・ The Geometry of Frobenioids I, II
・ Topics in Absolute Anab. Geo. III
の結果や理論を適用することによって主定理を帰結する:
主定理: θ-link の左辺に対して、軽微な不定性を除いて、右辺の「異質」な環構造しか用いない言葉により、明示的なアルゴリズムによる記述を与えることができる。

P14
ポイント:
・Gun OX のコア性(coricity)!
・二種類の数学的対象を関連付ける、様々な形の「Kummer 理論」

(93後半の解説を参照):
抽象的なモノイド = Frobenius 型の対象
数論的基本群・ガロア群 = etale 型の対象
ここで、ガウス積分の計算との類似を思い出そう:

log-, θ-link や対数・テータ格子の定義← → デカルト座標
絶対遠アーベル幾何を用いたアルゴリズムによる記述く→極座標
円分物 ((1)) の確保=剛性が肝心! ← → S' による座標変換
・「log-shell」=「入れ物」log(-)への作用

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 11:58:52.00

>>59
P14（追加引用）
絶対遠アーベル幾何を用いたアルゴリズムによる記述く←→極座標
円分物 (＝～Z(1)) の確保=剛性が肝心! ← → S^1 による座標変換
・「log-shell」=「入れ物」log(-)への作用
log(Oxk) ← {q^j^2} j=1, ...,l
を実現するためには、Log-link の活用が必要不可欠である。
... 一方、対数・テータ格子の非可換性によって様々な困難が生じる。
→ 後の「体積計算」では、(等式ではなく!) 不等式しか出ない!
主定理のアルゴリズムの出力に対して、体積計算を行うと、
§1 で解説したように次のような帰結が得られる。
系:「Szpiro 予想」(←→「ABC 予想」)。
先ほどの議論は、§3 の最後に解説したヤコビの変換式との類似で考えると、様々な類似点が浮かび上がる:
(引用終り)

素人の推定だが
楕円曲線を抽象化して、「log-shell」=「入れ物」log(-)
に入れて、
log(Oxk) ← {q^j^2} j=1, ...,l
を実現するために、Log-link の活用を活用すると
様々なqに対する楕円曲線の特性（コピー）が得られる

それらを集めて（積分）すると
「体積計算」では、(等式ではなく!) 不等式しか出ない
けれど、
”系:「Szpiro 予想」(←→「ABC 予想」)”が得られる
ってことかな？

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 12:30:39.04

当時のフェルマーが大定理の証明をできてたなんて誰も思ってないけど
大定理を巡って数論が大きく発展したのは事実で、フェルマーはやはり偉大な数学者である
望月先生もその辺りに落ち着くんだろうな

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 12:40:11.57

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/IUT-references.html
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/documents/RIMS-Lille%20-%20Promenade%20in%20Inter-Universal%20Teichm%C3%BCller%20Theory.pdf
PROMENADE IN INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY - 復元 Version 1 - ε - 03/09/2021
>LCF, coricity & Mono-theta Environments

(多分下記)LCF：by Joshua Lederberg, and extended by H. S. M. Coxeter and Robert Frucht

https://en.wikipedia.org/wiki/LCF_notation
LCF notation

In combinatorial mathematics, LCF notation or LCF code is a notation devised by Joshua Lederberg, and extended by H. S. M. Coxeter and Robert Frucht, for the representation of cubic graphs that contain a Hamiltonian cycle.[2][3] The cycle itself includes two out of the three adjacencies for each vertex, and the LCF notation specifies how far along the cycle each vertex's third neighbor is. A single graph may have multiple different representations in LCF notation.

Contents
1 Description
2 Applications
3 Examples
4 Extended LCF notation

https://mathworld.wolfram.com/LCFNotation.html
LCF Notation Wolfram

LCF notation is a concise and convenient notation devised by Joshua Lederberg (winner of the 1958 Nobel Prize in Physiology and Medicine) for the representation of cubic Hamiltonian graphs (Lederberg 1965). The notation was subsequently modified by Frucht (1976) and Coxeter et al. (1981), and hence was dubbed "LCF notation" by Frucht (1976). Pegg (2003) used the notation to describe many of the cubic symmetric graphs. The notation only applies to Hamiltonian graphs, since it achieves its symmetry and conciseness by placing a Hamiltonian cycle in a circular embedding and then connecting specified pairs of nodes with edges.

https://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/FruchtNotation_600.gif

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 16:09:36.13

フェルマーは予想者、もっちーは証明者
証明が正しくなければ何も残らない

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 20:12:32.14

>>61
＞望月先生もその辺りに落ち着くんだろうな

そうですね
そこらは、今年の4回の国際会議を経て
見えてくると思います

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 23:08:22.79

メモ（これ面白い）
https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics
Timeline of category theory and related mathematics

Contents
1 Timeline to 1945: before the definitions
2 1945?1970
3 1971?1980
4 1981?1990
5 1991?2000
6 2001?present
7 See also

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 23:22:16.42

メモ
Categorical logic - higher-order logics
https://en.wikipedia.org/wiki/Categorical_logic
Categorical logic

Internal languages
This can be seen as a formalization and generalization of proof by diagram chasing. One defines a suitable internal language naming relevant constituents of a category, and then applies categorical semantics to turn assertions in a logic over the internal language into corresponding categorical statements. This has been most successful in the theory of toposes, where the internal language of a topos together with the semantics of intuitionistic higher-order logic in a topos enables one to reason about the objects and morphisms of a topos "as if they were sets and functions".

Further reading
Lambek, J. and Scott, P. J., 1986. Introduction to Higher Order Categorical Logic. Fairly accessible introduction, but somewhat dated. The categorical approach to higher-order logics over polymorphic and dependent types was developed largely after this book was published.
Jacobs, Bart (1999). Categorical Logic and Type Theory. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 141. North Holland, Elsevier. ISBN 0-444-50170-3. A comprehensive monograph written by a computer scientist; it covers both first-order and higher-order logics, and also polymorphic and dependent types. The focus is on fibred category as universal tool in categorical logic, which is necessary in dealing with polymorphic and dependent types.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 00:00:34.67

メモ
”He and others went on to show that higher order logic was beautifully captured in the setting of category theory (more specifically toposes).”
https://math.mit.edu/~dspivak/
David Spivak
Research Scientist
Department of Mathematics
MIT
https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/#
Category Theory for Scientists MIT OpenCourseWare, Massachusetts Institute of Technology
https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/textbook/
Category Theory for Scientists
Textbook
https://math.mit.edu/~dspivak/CT4S.pdf
Category Theory for Scientists
(Old Version)
David I. Spivak
September 17, 2013

P10
Bill Lawvere saw category theory as a new foundation for all mathematical thought.
Mathematicians had been searching for foundations in the 19th century and were reasonably satisfied with set theory as the foundation. But Lawvere showed that the category
of sets is simply a category with certain nice properties, not necessarily the center of
the mathematical universe. He explained how whole algebraic theories can be viewed
as examples of a single system. He and others went on to show that higher order logic
was beautifully captured in the setting of category theory (more specifically toposes).
It is here also that Grothendieck and his school worked out major results in algebraic
geometry.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 12:37:55.08

メモ（これ、結構いいかも）

https://twitter.com/math_jin
math_jinさんがリツイート
京大軽音オリエンテーション
@kulmcorient
3月14日
#数理解析研究所
↓
■ 数学入門講座 2012
数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」
望月新一（京都大学数理解析研究所）
http://kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H24-mochizuki.pdf
（pdf、全22頁）

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/special-01.back.html
数理研数学入門公開講座　バックナンバー（講義ノート）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H24-mochizuki.pdf
2012年7月30日-8月2日（第34回）演題及び講師
数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」望月新一

有理数体Ｑのような「数体」と、複数のドーナツの表面を合体させたような形をしたコンパクトな「位相曲面」は一見して全く異質な数学的対象であり、初等的な可換環論、つまり、「加減乗除」が可能な数学的対象としての構造の理論から見ても直接的に関連付けることは難しい。しかし数体の拡大体の対称性を記述する「絶対ガロア群」と、コンパクトな位相曲面の有限次の被覆の対称性を統制する「副有限基本群」を通して両者を改めて眺めてみると、「二次元的な群論的絡まり合い」という形で大変に興味深い構造的な類似性が浮かび上がってくる。本講義では様々な側面におけるこの種の類似性に焦点を当てながら、数体と位相曲面の基礎的な理論について解説する。
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 14:33:04.05

これ面白い（理解してるとは言ってない）
これ、結構いいかも（理解してるとは言ってない）

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 16:43:03.61

メモ

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talks.html
星裕一郎
講演

宇宙際 Teichmuller 理論入門 I～III
代数的整数論とその周辺 2015,
京都大学数理解析研究所,
2015.11.30-2015.12.4.
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20151201.pdf
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20151201_appendix.pdf
宇宙際 Teichmuller 理論入門 I (講演スライド; 付録),

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20151202.pdf
宇宙際 Teichmuller 理論入門 II (講演スライド),

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20151203.pdf
宇宙際 Teichmuller 理論入門 III (講演スライド),

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 16:46:14.43

>>69
ありがとう
下記10人に入っていないことは、確かだ

https://twitter.com/math_jin
math_jinさんがリツイート
石倉徹也 Tetsuya ISHIKURA
@i_tetsuya137
4月3日
返信先:
@ryomakom
さん
望月さんによると理解者は10人。それ以外は懐疑派と傍観者ですから、記事が否定的になるのは仕方ないですかね

頑張って理解したものだけが理論の凄さをわかるという、信じるものは救われる的な要素がある宇宙際理論ゆえに、理解者が増えないのでしょう

強力な使徒が必要かと
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 16:47:12.66

>>71
補足

もっとも、10人と言っていたのは、何年も前のこと
いま、100人くらいに増えてて居ると思うよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:13:16.93

メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/Categorification
Categorification

In mathematics, categorification is the process of replacing set-theoretic theorems with category-theoretic analogues. Categorification, when done successfully, replaces sets with categories, functions with functors, and equations with natural isomorphisms of functors satisfying additional properties. The term was coined by Louis Crane.

The reverse of categorification is the process of decategorification. Decategorification is a systematic process by which isomorphic objects in a category are identified as equal. Whereas decategorification is a straightforward process, categorification is usually much less straightforward. In the representation theory of Lie algebras, modules over specific algebras are the principle objects of study, and there are several frameworks for what a categorification of such a module should be, e.g., so called (weak) abelian categorifications.[1]

Categorification and decategorification are not precise mathematical procedures, but rather a class of possible analogues. They are used in a similar way to the words like 'generalization', and not like 'sheafification'.[2]

Contents
1 Examples of categorification
2 Abelian categorifications
3 See also

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:13:42.66

>>73
つづき

Examples of categorification
One form of categorification takes a structure described in terms of sets, and interprets the sets as isomorphism classes of objects in a category. For example, the set of natural numbers can be seen as the set of cardinalities of finite sets (and any two sets with the same cardinality are isomorphic). In this case, operations on the set of natural numbers, such as addition and multiplication, can be seen as carrying information about products and coproducts of the category of finite sets. Less abstractly, the idea here is that manipulating sets of actual objects, and taking coproducts (combining two sets in a union) or products (building arrays of things to keep track of large numbers of them) came first. Later, the concrete structure of sets was abstracted away - taken "only up to isomorphism", to produce the abstract theory of arithmetic. This is a "decategorification" - categorification reverses this step.

Other examples include homology theories in topology. Emmy Noether gave the modern formulation of homology as the rank of certain free abelian groups by categorifying the notion of a Betti number.[3] See also Khovanov homology as a knot invariant in knot theory.

An example in finite group theory is that the ring of symmetric functions is categorified by the category of representations of the symmetric group. The decategorification map sends the Specht module indexed by partition {\displaystyle \lambda }\lambda to the Schur function indexed by the same partition,
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:25:20.81

メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/Gluing_axiom
Gluing axiom

In mathematics, the gluing axiom is introduced to define what a sheaf {F} on a topological space X must satisfy, given that it is a presheaf, which is by definition a contravariant functor
{F}: {O}(X)→ C
to a category C}C which initially one takes to be the category of sets. Here {O}(X) is the partial order of open sets of X ordered by inclusion maps; and considered as a category in the standard way, with a unique morphism
U→ V
if U is a subset of V}V, and none otherwise.

As phrased in the sheaf article, there is a certain axiom that F must satisfy, for any open cover of an open set of X. For example, given open sets U and V with union X and intersection W, the required condition is that
{F}(X) is the subset of {F}(U) ｘ {F}(V) With equal image in {F}(W)
In less formal language, a section s}s of F}F over X}X is equally well given by a pair of sections :(s',s'') on U and V respectively, which 'agree' in the sense that s' and s''have a common image in {F}(W) under the respective restriction maps
{F}(U)→ {F}(W)
and
{F}(V)→ {F}.
The first major hurdle in sheaf theory is to see that this gluing or patching axiom is a correct abstraction from the usual idea in geometric situations. For example, a vector field is a section of a tangent bundle on a smooth manifold; this says that a vector field on the union of two open sets is (no more and no less than) vector fields on the two sets that agree where they overlap.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:25:46.73

>>75
つづき

Given this basic understanding, there are further issues in the theory, and some will be addressed here. A different direction is that of the Grothendieck topology, and yet another is the logical status of 'local existence' (see Kripke?Joyal semantics).

Sheafification
To turn a given presheaf {P} into a sheaf {F}, there is a standard device called sheafification or sheaving. The rough intuition of what one should do, at least for a presheaf of sets, is to introduce an equivalence relation, which makes equivalent data given by different covers on the overlaps by refining the covers. One approach is therefore to go to the stalks and recover the sheaf space of the best possible sheaf {F} produced from {P}.

This use of language strongly suggests that we are dealing here with adjoint functors. Therefore, it makes sense to observe that the sheaves on X form a full subcategory of the presheaves on X. Implicit in that is the statement that a morphism of sheaves is nothing more than a natural transformation of the sheaves, considered as functors. Therefore, we get an abstract characterisation of sheafification as left adjoint to the inclusion. In some applications, naturally, one does need a description.

In more abstract language, the sheaves on X}X form a reflective subcategory of the presheaves (Mac Lane?Moerdijk Sheaves in Geometry and Logic p. 86). In topos theory, for a Lawvere?Tierney topology and its sheaves, there is an analogous result (ibid. p. 227).
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:33:45.32

>>74
>Other examples include homology theories in topology. Emmy Noether gave the modern formulation of homology as the rank of certain free abelian groups by categorifying the notion of a Betti number.[3] See also Khovanov homology as a knot invariant in knot theory.

追加
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%90%E3%83%8E%E3%83%95%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC
コバノフホモロジー(英: Khovanov homology)は、鎖複体のホモロジーとしてできる向きづけられた結び目の不変量である。コバノフホモロジーはジョーンズ多項式のカテゴリ化（英語版）として考えられる。

コバノフホモロジーは1990年代の終わりに、ミハイル・コバノフ（英語版）(Mikhail Khovanov)により導入された。彼は当時はカリフォルニア大学デービス校に在籍しており、現在はコロンビア大学に所属している。

目次
1 概要
2 定義
3 関連する理論
4 結び目（絡み目）多項式との関係
5 応用

概要
結び目もしくは絡み目 L を表現する図形 D に、コバノフ括弧 [D]、これは次数付きベクトル空間の鎖複体、を割り当てる。すると、ジョーンズ多項式の構成の中でのカウフマン括弧の類似物となる。次に、[D] を（次数付きベクトル空間の中の）一連の次数シフトと（鎖複体の中の）高さシフトにより正規化して、新しい複体 C(D) を得る。この複体のホモロジーは L の不変量であることが分かり、その次数付きオイラー標数は L のジョーンズ多項式であることが分かる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Khovanov_homology
Khovanov homology

Contents
1 Overview
2 Definition
3 Related theories
4 The relation to link (knot) polynomials
5 Applications

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:40:30.82

>>75
追加

https://mathoverflow.net/questions/4841/what-precisely-is-categorification#
mathoverflow
What precisely Is “Categorification”?
asked Nov 10 '09 at 11:22
Gil Kalai

anser 45
One way to think of categorification is that it's a generalization of enumerative combinatorics. When a combinatorialist sees a complicated formula that turns out to be positive they think "aha! this must be counting the size of some set!" and when they see an equality of two different positive formulas they think "aha! there must be a bijection explaining this equality!" This is a special case of categorification, because when you decategorify a set you just get a number and when you decategorify a bijection you just get an equality. As a combinatorialist I'm sure you can come up with some examples that nicely illustrate how this sort of categorification is not totally well-defined. ("What exactly do Catalan numbers count?" has many answers rather than a single right answer.)

A more sophisticated kind of categorification in combinatorics is "Combinatorial Species" which categorify power series with positive coefficients.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:42:49.45

>>78
追加

https://ncatlab.org/nlab/show/vertical+categorification
vertical categorification

Contents
1. Idea
2. Variants
As a section of decategorification
Examples
As internalization in nCat
Examples
As homotopy coherent resolution
Examples
3. Contrast to horizontal categorification
4. Homotopification versus laxification
5. Related entries
6. References

1. Idea

Roughly speaking, vertical categorification is a procedure in which structures are generalized from the context of set theory to category theory or from category theory to higher category theory.

What precisely that means may depend on circumstances and authors, to some extent. The following lists some common procedures that are known as categorification. They are in general different but may in cases lead to the same categorified notions, as discussed in the examples.

See also categorification in representation theory.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 11:28:58.79

>>78
＞One way to think of categorification is that it's a generalization of enumerative combinatorics. When a combinatorialist sees a complicated formula that turns out to be positive they think "aha! this must be counting the size of some set!" and when they see an equality of two different positive formulas they think "aha! there must be a bijection explaining this equality!"
＞A more sophisticated kind of categorification in combinatorics is "Combinatorial Species" which categorify power series with positive coefficients.

・IUTは、何らかの手段で、楕円曲線（又はそれが入っている空間（宇宙））を圏論化する
　anabelioid など？
・そうすると、見えてくるものがあるのです
・特に、enumerative combinatorics、 "Combinatorial Species" を使うのが、スジ（筋）かな
・そして、そこには不定性があり、不等式が出る！！

のかな？？（＾＾
早く、学部ないし修士レベルの解説を書く段階にならないかな？
（今は、プロ研究者用解説の段階でしょうね）

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-japanese.html
望月過去と現在
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20ni%20tsuite%20no%20FAQ.pdf
1 “宇宙際”についてのFAQ.1 (これは今後書く予定のサーベイとは関係ありません.)
注）1(株) 豊田中央研究所　山下剛

Q1. 宇宙を取り替える, って数学基礎論的・論理学的に非自明な操作をしているの？

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 11:29:39.06

>>80
つづき

Q2. じゃあ, 宇宙を取り替えるってどういう意味？
A2. 宇宙際 Teichm¨uller 理論では, 環構造そのものを変形します. スキーム論とは環論だと思う
と, by definition でスキーム論が通用しない局面がしばしば出てくるということです. 一方のス
キーム論での操作や基点などを他方のスキーム論にもちこむことはできません. 一方での恣意
的なラベル付けが他方では通用しない, それは “宇宙を取り替える” ということではないか, と
いう意味で使っています. 厳密な意味での Grothendieck 宇宙を取り替えると考えてもいいです
し, 数学基礎論的に厳密な観点からはあくまで 1 つの Grothendieck 宇宙の中で考えてその中に
別々にスキーム論があって, それを取り替えることを “宇宙を取り替える” という言葉で表現し
ていると考えてもいいです. また, その新しい幾何学ではそこから生じる不定性を統制する・剛
性 (rigidity) で抑える・(1 の冪根の p 進 log をとると 0 になる等の) 適当な操作で消す・(不定性
のため像がはっきりしないがある入れ物には入っていることは分かるなどにより) 見積もること
などや, ある不定性と他の不定性が連動している (synchronize) ことを用いることなどが大事に
なってきます. それにはそもそも不定性の存在に気付かないといけないわけですが, 不定性の存
在を明確に意識するのにも役に立つ考え方です. “その新しい幾何学” と書きましたが, 従来の
幾何学では (多項式写像であれ連続写像であれ可微分写像であれ) 環構造と整合的な射 (環付き
トポスの射) を考えるのが幾何学であるという視点に立つならば, それは幾何学という枠組みす
ら超えているかもしれません.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 11:30:12.15

>>81
つづき

Q3. たくさん宇宙を取り替るとしても, もともとそれらをすべて含むような宇宙をとってきてそ
の宇宙で議論をすれば, 宇宙を取り替える必要はないんじゃないの？

Q4. よく分かんない. 分かりやすいおもちゃ的な例を挙げて欲しい
A4. 別のたとえをしますと, R 上の (適当な) 関数 f(x) とその Fourier 変換 ˆf(ξ) の変数 x, ξ が
住んでいる定義域は同じ R と考えることもできますが, “本当は” その住んでいる場所って違い
ますよね. そういう感覚に近いです. 上半平面の ∞ カスプと 0 カスプと取り替える座標変換
z 7→ －1
z も, どこを基点に座標を考えているのかを替える (ラベル付けを替える)“宇宙替え” の
おもちゃ版とみなせます. この Fourier 変換と座標変換の 2 つの例は, テータ関数 (あるいは一
般に保型性をもつ関数) の関数等式 θ(t) = √1tθ(1t)
の視点では同じことを言っているにすぎませ
ん. また, A3 で “各スキーム論が局所的にあり宇宙を取り替えて別のスキーム論に移ると考え
る方が自然です” と答えました. “座標変換を宇宙替え (のおもちゃ版) と見なす” という上で挙
げた例は, その意味でも (可微分) 多様体を大きな Euclid 空間の部分集合と見るのではなく局所
的なものを座標変換で貼り合せたものと見る見方と類似的です.
同一視はできても本来的起源が違う対象を別のものと思うsensitiveな感覚が宇宙際Teichm¨uller
理論では大事になってきます. R
2 に異なる 2 つの正則構造を入れると, どちらも C で同じもの
です. 正則構造のみしか見えない視点では両者をつなげることはできませんが, 下部構造の R2
を考えると非正則なつながり方が見えてそのズレを計ることができる, ということと類似のこ
とを宇宙際 Teichm¨uller 理論ではします. つまり, 数体の数論的正則構造 (=環構造) を非スキー
ム論的に変形し, 変形前と変形後は環としては同じものですが, スキーム論だけでは見えないそ
のつながり方を mono-analytic な視点を導入して見えるようにしてズレを計算する, ということ
をします. 宇宙際 Teichm¨uller 理論ではそのようにある 1 つの数論的正則構造の視点でのみ意味
をもつ性質を uniradial と呼び, 他の数論的正則構造たちとも共通する性質を coric と呼び, あ
る数論的正則構造の視点で別の数論的正則構造たちを記述できる性質を multiradial と呼んで
います.

Q5. abc 予想の証明に宇宙を取り替える必要って本当にあるの？

注 3: 2013 年 4 月現在, 宇宙際 Teichm¨uller 理論の論文は詳細の点検中にあります. 上記文章は
2013 年 4 月現在においてその理論の正しさの主張や保証をするものではありません.
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 11:32:01.66

>下記10人に入っていないことは、確かだ
自惚れるのもいい加減にしろ
大学1年4月の課程さえちんぷんかんぷんの馬鹿が

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 17:05:57.77

これ、良くまとまっている
http://blog.livedoor.jp/abc_conjecture/archives/44597227.html
【数学】ABC予想ニュース【最新情報】
2018年01月24日
宇宙際タイヒミュラー理論のまとめWiki
(2018.1.24更新)

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 17:31:12.16

>>83
ほいよ
お前下記でも読んでみなｗ

John Carlos Baez / Azimuthは、ちょっと大物かも
David Roberts は、三流だと思うが

https://johncarlosbaez.wordpress.com/about/
About
Hello! This is the official blog of the Azimuth Project.
You can read about many things here: from math to physics to earth science and biology, computer science and the technologies of today and tomorrow—but in general, centered around the theme of what scientists, engineers and programmers can do to help save a planet in crisis.

https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/10/13/category-theory-course/
Azimuth
Category Theory Course
I’m teaching a course on category theory at U.C. Riverside, and since my website is still suffering from reduced functionality I’ll put the course notes here for now. I taught an introductory course on category theory in 2016, but this one is a bit more advanced.

David Roberts says:
14 October, 2018 at 10:09 pm
Amusingly, that example on the first page on lecture one about fd vector spaces having skeleton the standard R^ns is one that Mochizuki (and Go Yamashita, acting as a proxy) claim shouldn’t do! See eg the bottom of page 2 in this FAQ by Yamashita http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/FAQ%20on%20IUTeich.pdf namely the dialogue in A4. Odd…

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 17:32:05.64

>>85
つづき

Reply
Todd Trimble says:
15 October, 2018 at 12:00 am
I’m somewhat sympathetic to the sentiment that working with a skeleton can be occasionally confusing. Mainly because it can cause one to “see” things which are not actually there! One of my favorite examples is the conceptual distinction between linear orderings of the set \{1, 2, \ldots, n\} and permutations thereon. Because it’s hard not to notice the usual ordering there, it’s very tempting to conflate the two — an urge which goes away when one works not with this skeleton of finite sets, but finite sets more generally, where the distinction becomes totally clear. I gather that Mochizuki (or Yamashita) is driving at something similar.

Reply
David Roberts says:
15 October, 2018 at 11:04 am
I agree that blind reduction to the skeleton is not the way to do things, but I have taught first-year linear algebra a number of times, and our course uses exclusively the skeleton :-). Not to mention in physics, where everything is R^3 or R^4, and one just makes sure the not-standard basis is explicit.

https://en.wikipedia.org/wiki/John_C._Baez
John Carlos Baez (/ˈbaɪɛz/; born June 12, 1961) is an American mathematical physicist and a professor of mathematics at the University of California, Riverside (UCR)[2] in Riverside, California. He has worked on spin foams in loop quantum gravity, applications of higher categories to physics, and applied category theory.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/John_Baez%2C_physicist_%282009%29.jpg

Blogs
Baez runs the blog "Azimuth", where he writes about a variety of topics ranging from This Week's Finds in Mathematical Physics to the current focus, combating climate change and various other environmental issues.[11]
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 17:45:16.37

>>85
>ほいよ
>お前下記でも読んでみなｗ

あんた
読めないんだろ？ｗ（＾＾
だったら、同じじゃんか！！ｗｗ（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 17:53:22.02

>>85
>http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/FAQ%20on%20IUTeich.pdf namely the dialogue in A4. Odd…
（追加）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/FAQ%20on%20IUTeich.pdf
(上記URLと下記URLは同じ内容だが、下記の方が文字化けがないのでいいね)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/DOCUMENTS/IUfaq_en2.pdf
FAQ on Inter-universal Teichmüller Theory
By Go Yamashita, RIMS, Kyoto University.
September 2018

Q8. Can you give examples of further research or results that arose from inter-universal Teichmüller theory?
A8. I myself am interested in pursuing the possibility of applying various ideas that appear in
inter-universal Teichmüller theory to the study of the Riemann zeta function. At the present

time, I have obtained some interesting observations, but no substantive results. Hoshi is studying an application of inter-universal Teichmüller theory to the birational section conjecture
in birational anabelian geometry, while Porowski and Minamide are studying numerical improvements of certain height inequalities in inter-universal Teichmüller theory. I also hear that
Dimitrov is studying the possibility of applying inter-universal Teichmüller theory to the study
of Siegel-zeroes.
References
[pGC] S. Mochizuki, The Local Pro-p Anabelian Geometry of Curves. Invent. Math. 138 (1999), p.319423.
[EtTh] S. Mochizuki, The Étale Theta Function and its Frobenioid-theoretic Manifestations. Publ. Res.
Inst. Math. Sci. 45 (2009), p.227349.
[AbsTopII] S. Mochizuki, Topics in Absolute Anabelian Geometry II: Decomposition Groups. J. Math. Sci.
Univ. Tokyo 20 (2013), p.171269.
[AbsTopIII] S. Mochizuki, Topics in Absolute Anabelian Geometry III: Global Reconstruction Algorithms. J.
Math. Sci. Univ. Tokyo 22 (2015), p.9391156.
[FAQ] G. Yamashita, FAQ on Inter-Universality, an informal note available at
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-english.html
[Y] G. Yamashita, A proof of the abc conjecture after Mochizuki, preprint available at
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/myworks.html

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/14(水) 21:50:00.36

>>80

圏論化
https://talk.hyuki.net/04/
圏論と学びをめぐる往復書簡
No.04
圏論と通常の数学
土岡俊介→結城浩
2020-01-14

圏論化
三つ目は、やや専門的な話になりますが、通常の数学の対象（集合論的対象）の圏論版を考えることが重要であることが知られていて、圏論化（categorification）と呼ばれています。そして、定理の主張に圏は登場しないものの、圏論化の手法でしか証明が知られていない通常の数学の定理があり、数学の深い結果とされます（ここでは紹介できませんが）。

圏論化の例として、アーベル圏（いくつかの性質や構造をもつ圏のこと）は線型空間の圏論版（の一つ）と思うことができます。

圏論化の文脈では、もはや圏論は「多様な数学的対象や数学的事実に対して抽象度が高く統一的な表現を与える」言語というよりは、「特定の数学の定理の証明を行うための素材」または「特定の数学の定理の本質をあぶり出すための概念装置」となっています。数学では、（フェルマーの定理のような）小学生でもわかる自然数の特定の性質を証明するために、さまざまな概念を導入しますが、それと変わらない営みだと言ってよいでしょう。齋藤恭司さんが、監修者まえがきで「何ゆえに圏という概念を導入する必然性があるのか、当時の私には不明であった」への答えとして挙げられている例も、この視点に通じるものがあると思います。あるいは『連接層の導来圏に関わる諸問題』（戸田幸伸、数学書房）を眺めてみると、さらに雰囲気を垣間見られるかもしれません。

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/14(水) 21:58:09.78

>>85
>John Carlos Baez / Azimuthは、ちょっと大物かも
>David Roberts は、三流だと思うが

John Carlos Baezは、一流ですね（下記）
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics
Timeline of category theory and related mathematics

1995 John Baez-James Dolan Opetopic sets (opetopes) based on operads. Weak n-categories are n-opetopic sets.
1995 John Baez-James Dolan Introduced the periodic table of mathematics which identifies k-tuply monoidal n-categories. It mirrors the table of homotopy groups of the spheres.
1995 John Baez?James Dolan Outlined a program in which n-dimensional TQFTs are described as n-category representations.
1995 John Baez?James Dolan Proposed n-dimensional deformation quantization.
1995 John Baez?James Dolan Tangle hypothesis: The n-category of framed n-tangles in n + k dimensions is (n + k)-equivalent to the free weak k-tuply monoidal n-category with duals on one object.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/14(水) 21:58:39.03

>>90
つづき

1995 John Baez-James Dolan Cobordism hypothesis (Extended TQFT hypothesis I): The n-category of which n-dimensional extended TQFTs are representations, nCob, is the free stable weak n-category with duals on one object.
1995 John Baez-James Dolan Stabilization hypothesis: After suspending a weak n-category n + 2 times, further suspensions have no essential effect. The suspension functor S: nCatk→nCatk+1 is an equivalence of categories for k = n + 2.
1995 John Baez-James Dolan Extended TQFT hypothesis II: An n-dimensional unitary extended TQFT is a weak n-functor, preserving all levels of duality, from the free stable weak n-category with duals on one object to nHilb.

https://en.wikipedia.org/wiki/John_C._Baez
John Carlos Baez (/?ba??z/; born June 12, 1961) is an American mathematical physicist and a professor of mathematics at the University of California, Riverside (UCR)[2] in Riverside, California. He has worked on spin foams in loop quantum gravity, applications of higher categories to physics, and applied category theory.

Baez is also the author of This Week's Finds in Mathematical Physics,[3] an irregular column on the internet featuring mathematical exposition and criticism.
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/14(水) 23:28:54.47

>>89
圏論化

https://mathsoc.jp/publication/tushin/bookreview.html
TOP Page > 日本数学会の出版物 > 数学通信 > 総目次「書評」
21 巻(2016 年度)
圏論の歩き方委員会　編：圏論の歩き方
評者:安田　健彦, 掲載巻号:21(1) pp.103-
https://mathsoc.jp/publication/tushin/2101/2101yasuda.pdf
書　　評
圏論の歩き方
圏論の歩き方委員会　編集，日本評論社，2015 年
大阪大学大学院理学研究科
安田　健彦

第 14 章「表現論と圏論化」（著：土岡俊介）は，私の専門分野に少し関連していて個人的に
興味を持った．ここでは表現論における圏論化を論じている．圏論化とは例えば，ある種の
整数をあるベクトル空間の次元と解釈し，二つの整数間の等式をベクトル空間の間の同型射
から導くというぐあいに，ある数学的対象（数や等式）を，より豊かな圏での対応物（ベクト
ル空間や同型射）の「影」と見なすこと，またそのような圏を構成することだ．圏論化のハ
イライトは非負性の証明で，この章で例を用いて説明している．非負性とは，ある数が整数
であることは定義からすぐに従うが，それが実は非負になる非自明な主張のことである．章
の後半はモジュラー表現の最近の話題にまで触れている．その部分は完全な理解が難しかっ
たが，分野の進展の様子が垣間見られて面白い．

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/15(木) 07:12:27.17

メモ
圏と論理
ローヴェア理論（等式理論のグラフ図示・圏論化）
圏の大きさ,矛盾の回避
(参考)
https://www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp/~kihara/pdf/teach/LectureNotes-category-theory.pdf
圏と論理へのいざない・レクチャーノート
木原貴行
名古屋大学情報学部・情報学研究科
最終更新日: 2020 年4 月3 日

P29
x 3. 自由代数，等式理論，ローヴェア理論
3.1. 等式理論と自由代数

モノイドの理論に対して自由モノイド，群の理論に対して自由群の概念があるように，
等式理論が与えられれば対応する自由代数がある．これについても，等式理論のモデル理論をグラ
フ図示の文脈で導入した後に自由代数の一般論を議論していく．自由代数の概念は，後の節で説明
するモナドや随伴といった圏論における重要概念とも深く結びついていく．
この前段階のステップとして，まずは数理論理学（あるいは普遍代数）の言葉を用いて，等式理
論の定義を与えよう．ただし，次の等式理論と項モデルの項目は，その後のローヴェア理論（等式
理論のグラフ図示・圏論化）に進むための中間ステップに過ぎないので，あまり理解できなくとも
ローヴェア理論のところまで進んでしまって，等式理論とローヴェア理論を見比べながら読むとい
いかもしれない．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/15(木) 07:13:31.34

つづき

■等式理論と項モデル: 等式理論とは，関数記号のみを言語に持ち，項に関する等式s t のみを
公理に持つ理論である．より具体的には，まず，等式理論の言語と項は以下によって定義される．
定義3.1. 言語(language) あるいはシグネチャ(signature) とは，形式的な記号の集合L であ
り，さらに各f P L に対して，引数(arity) と呼ばれる自然数が割り当てられている．各記号
f P L は関数記号と呼ばれ，f の引数がn の場合にはn 変数関数記号と呼ばれる．引数0 の関数
記号はしばしば定数記号と呼ばれる．
言語L が与えられたとき，L の記号以外に，可算個の変数記号を用意する．L の項(term) と
は，以下のように帰納的に定義される．
1. 定数記号c P L および変数記号x は項である．
2. f がn 変数関数記号であり，t1; t2; : : : ; tn が項ならば，fpt1; t2; : : : ; tnq は項である．
変数記号を含まない項は，閉項(closed term) と呼ばれる．

例3.2 (モノイドと群の言語). モノイドの言語LMon は2 項関数記号と定数記号" からなる集合t; "u で
ある．群の言語LGrp は，とe に1 変数関数記号
1 を加えた集合t; ";
1u である．通常，px; yq を
x y と略記し，
1pxq をx1 と略記する．このとき，x; y; z; u; v が変数記号ならば，たとえばpx "q y
はLMon およびLGrp の項であり，pz pu1 vqq " はLGrp の項であるが，LMon の項ではない．また，
これらは閉項ではないが，たとえば" "1 は閉項である．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/15(木) 07:14:05.40

つづき

§ 8. 補遺，あとがき，参考文献
8.1. 圏の大きさについて
圏に関するテキストを読んだとき，「大きい」「小さい」「局所的に小さい」などの修飾語を見か
けたことがある人も多いかと思う．これはある種の矛盾の回避のために導入されるものであるが，
初学者はあまり気にしないのがよいと思う．このようなものは実際に矛盾にぶつかってはじめて
有り難みがわかるので，まずは何度か矛盾してみるのがよい．つまり，「『大きさ』に気をつけない
と，矛盾することがある」ということだけ認識しておいて，何かふとしたときに矛盾が発生したら，
「あ，これはきっといわゆる『大きさ』ってやつのせいだな」と意識できるようであればよい．矛
盾に達して初めて，「大きさ」の詳細について学べば十分である．ここでは，圏の大きさに関して，
あまり数学的詳細に立ち入らない概説を与える．

まず，圏とは，多重有向グラフに少し構造の付加されたものであったが，確かに圏の理論に現れ
る多重有向グラフはちょっとだけ大きめである．たとえば，本稿で扱うグラフであれば，そのかな
り多くは無限グラフである．とはいえ，数理論理学に近い分野の人であれば，グラフ理論と聞け
ば，無限グラフ（多くの場合には非可算無限グラフ）に関するグラフ彩色の問題であるとか無限ラ
ムゼー理論などを最初に思い浮かべる人もいるだろう*1．

このように，グラフの研究において無限
グラフを扱うことも珍しくはない．実際のところ，人間には有限はむずかしすぎるし，無限の方が
有限より簡単なことは多いので，とくに無限を恐れる必要はない．

*1 たとえば，筆者の周辺だと有限組合せ論を研究している人よりも無限組合せ論を研究している人の方が多いので，グ
ラフといえばもちろん無限グラフを指す．これをサンプリングバイアスという．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/15(木) 07:14:33.91

>>95
つづき

■カントールのパラドックス: しかし，さらに大きいサイズのグラフとなると，少し注意を払う必
要がある．たとえば，例 1.17 で挙げた，集合全体を頂点とし関数を辺とする圏 Set などである．
ところが，
「集合をすべて集めたものは集合ではない」
ということは集合論の創始者カントールが既に気づいていたことであり，カントールのパラドック
スとも言われていた．とはいえ，集合という日常用語に引きずられるとパラドックスに見えるもの
の，「集合」という用語はあくまで数学用語である．つまり，形式的には，特定の数学的概念を「集
合」と読んでいるに過ぎないから，「集合」を「机」「ビール」「X」などの別の名に差し替えてもよ
い．そして，実際には，
「X をすべて集めたものは X ではない」
というパターンがある．

■大きさのスケール: さて，圏のテキストでは，「大きい」「小さい」という二元的な区分けをする
ことが多い．この「大きい」「小さい」という二元的な考え方は，矛盾のひとつの回避法というだけ
であって，絶対的なものではない．矛盾の回避法はいくらでもあり，どれを選択するも自由である．
そして，この二元的な区分けにおいては，集合とクラスの区別等と言った話が出てくるが，その
直感的な意味は理解しにくい．それなら「大きさ」という概念を導入してしまった方が，「大きい」
ものにも大きさのレベルがあり，「どういうものを考えるとどれくらい大きくなるか」などが明確
になって良いだろう．何事もゼロかイチである，というように白黒付けてしまうと，誤解を招きが
ちである．あらゆる概念に対して，白と黒の中間の階層があると認識して，とりあえずグラデー
ションを付けて理解しようと試みることが重要である．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/15(木) 07:14:56.98

>>96
つづき

■グロタンディーク宇宙:
一般に，強到達不可能基数 k について，ランク k 未満の集合全体の集合 Vk のことをグロタン
ティーク宇宙 (Grothendieck universe) という．大層な名前が付いているが，かなり初等的な概念
なのであまり恐れる必要はないと思う．この集合 Vk は，いわゆる ZFC 集合論の公理というもの
をすべて満たすので，通常の数学で用いられるありとあらゆる操作で閉じている，というのが良い
ところである．このため，通常の数学に現れる集合はすべて Vk の中に入っていると思ってよい．
集合の大きさについて，U1 “ Vk0 までではなく，無限の系列を考えたい理由についても少し説
明しよう．たとえば，集合と関数の圏 Set や小さい圏の圏 Cat は共に大きさ 2 だが局所的に大き
さ 1 である．大きさ 2 とはいっても，Vk0`2 くらいには属すから，大きさ 2 の中では最も小さい部
類であろう．Set や Cat を頂点に持つ圏を考えたい場合には，たとえばランク k0 ` ω 未満の集
合全体の圏や，ランク k0 ` ω 未満の圏全体の圏などを考えればよいが，このランクはあまり良い
閉包性を持たない．Set や Cat を頂点に持ち，さらに Set と Cat のように良い閉包性を持つ圏
Set1 や Cat1 を考えたい場合は，k0 の次の強到達不可能基数を持ち出せばよい．すると次は Set1
や Cat1 を頂点に持つ圏 Set2 や Cat2 を考えたくなる．これを任意に繰り返すことを認めよう，
というのが無限の系列を扱う理由である．
この系列を具体的に得るためには無限個の強到達不可能基数が必要になるが，とはいえ，最初の
無限個の強到達不可能基数などはたいした大きさにはならないので，そんなに問題ではないだろ
う．たとえばマーロ基数というとても小型の巨大基数概念があるが，これを持ってくれば，その下
にはマーロ基数個の強到達不可能基数があるはずである．
とはいったものの，集合論の人たちにとっては，もっと遥かに大きい巨大基数サイズのグラフの
構造を研究することもまた日常茶飯事である．
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/16(金) 07:19:07.39

>>89 追加

圏論化に関連して
https://talk.hyuki.net/04/
圏論と学びをめぐる往復書簡
No.04
圏論と通常の数学
土岡俊介→結城浩
2020-01-14

「圏論ならでは」について、思い浮かんだことを線型代数に関連させて三つ書いてみます。

自明に自明
一つ目は、通常の数学について、どこが特殊性を使っているところで、どこが一般論から従うところかを切り分ける手段を提供するところでしょう。スローガンで言えば、Jon Peter Mayによる

Perhaps the purpose of categorical algebra is to show that which is formal is formally formal.
や、その元となったPeter John Freydによる

Perhaps the purpose of categorical algebra is to show that which is trivial is trivially trivial.
になるかと思います（これらの出典や意味については、Mathematics Stack Exchangeの「“The purpose of being categorical is to make that which is formal, formally formal” what does it mean?」が参考になります）。

例えば『ベーシック圏論』の例1.2.4 (c)の、忘却関手U:Vectk→Setに対する自由構成関手
F:Set→Vectk
を考えてみます。
略

一般随伴関手定理
二つ目は、圏論の定理から通常の数学の定理を示せることです。今の場合Fの存在を、具体的な線型空間F(S)を構成することなく、一般随伴関手定理（定理6.3.10, GAFT）によって集合の濃度算などから示すことができます。

今の例のFでは「どういう構成法かわからないが存在するだけでありがたい」ということはなさそうですが、通常の数学では（少なくとも私には）思いもよらない構成法で興味深いです。ちなみにS. Langの教科書Algebra（GTM211, Springer, 2002年）では、自由群構成関手F:Set→GrpをGAFTで構成しています（Proposition 12.1. ベーシック圏論では例1.2.4 (a)で通常の構成の面倒さが説明され、GAFTの使い方については演習問題6.3.24で扱われています）。

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/16(金) 07:25:29.68

関係ないけど、思い出したのでメモする

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%83%AA%E3%82%BE%E3%83%BC%E3%83%B3
パベル・ウリゾーン

関連項目
ウリゾーンの距離化定理
ウリゾーンの補題
メンガー・ウリゾーン次元

https://en.wikipedia.org/wiki/Pavel_Urysohn
Pavel Urysohn

Pavel Samuilovich Urysohn (February 3, 1898 ? August 17, 1924) was a Soviet mathematician who is best known for his contributions in dimension theory, and for developing Urysohn's metrization theorem and Urysohn's lemma, both of which are fundamental results in topology. His name is also commemorated in the terms Urysohn universal space, Frechet?Urysohn space, Menger?Urysohn dimension and Urysohn integral equation. He and Pavel Alexandrov formulated the modern definition of compactness in 1923.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 11:59:07.65

メモ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%99%E3%83%8B%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%89
数論幾何学では、フロベニオイドは、グローバルフィールドの有限拡張のモデルでの線束の理論を一般化する追加の構造を持つ圏である。フロベニオイドは望月新一（2008）によって導入された。「フロベニオイド」という言葉は、フロベニウスとモノイドを合わせたものである。フロベニオイド間の特定のフロベニウス射は、通常のフロベニウス射の類似物であり、フロベニオイドの最も単純な例のいくつかは、本質的にモノイドである。

目次
1 モノイドのフロベニオイド
2 初等フロベニオイド
3 フロベニオイド

モノイドのフロベニオイド
Mが可換モノイドである場合、それは乗算の下で正の整数のモノイドNによって自然に作用され、Nの要素nはMの要素にnを乗算する。Mのフロベニオイドは、MとNの半直接積である。このフロベニオイドの基になる圏は、モノイドの圏であり、1つの対象とモノイドの各要素の射が含まれる。Mが非負整数の加法モノイドである場合、標準のフロベニオイドはこの構造の特殊なケースである。

初等フロベニオイド
初等フロベニオイドは、可換モノイドのフロベニオイドの一般化であり、基本カテゴリD上の可換モノイドのファミリーΦによる正の整数のモノイドの一種の半直接積によって与えられる。アプリケーションでは、カテゴリDはグローバルフィールドの有限分離可能な拡張のモデルのカテゴリである場合があり、Φはこれらのモデルの線束に対応し、Nの正の整数nの作用はaの線束のn乗をとることによって与えられる。

フロベニオイド
フロベニオイドは、圏Cと初等フロベニオイドへの関手で構成され、大域体のモデルの直線束と除数の動作に関連するいくつかの複雑な条件を満たす。望月の基本定理の1つは、さまざまな条件下で圏Cからフロベニオイドを再構築できると述べている。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 11:59:55.62

>>100

つづき

参考文献
望月, 新一 (2008), “The geometry of Frobenioids. I. The general theory”, Kyushu Journal of Mathematics 62 (2): 293?400, doi:10.2206/kyushujm.62.293, ISSN 1340-6116, MR2464528
望月, 新一 (2008), “The geometry of Frobenioids. II. Poly-Frobenioids”, Kyushu Journal of Mathematics 62 (2): 401?460, doi:10.2206/kyushujm.62.401, ISSN 1340-6116, MR2464529
望月, 新一 (2009), “The etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations”, Kyoto University. Research Institute for Mathematical Sciences. Publications 45 (1): 227?349, doi:10.2977/prims/1234361159, ISSN 0034-5318, MR2512782 Mochizuki, Shinichi (2011), Comments

外部リンク
エタール・テータ関数とは何ですか?
https://mathoverflow.net/questions/195841/what-is-an-%c3%a9tale-theta-function
What is an etale theta function?
asked Feb 6 '15 at 14:06
Minhyong Kim
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 12:52:51.59

メモ
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Topics%20in%20Absolute%20Anabelian%20Geometry%20III.pdf
TOPICS IN ABSOLUTE ANABELIAN GEOMETRY III:
GLOBAL RECONSTRUCTION ALGORITHMS
Shinichi Mochizuki
November 2015

Abstract. In the present paper, which forms the third part of a three-part series
on an algorithmic approach to absolute anabelian geometry, we apply the absolute anabelian technique of Belyi cuspidalization developed in the second part,
together with certain ideas contained in an earlier paper of the author concerning the
category-theoretic representation of holomorphic structures via either the topological group SL2(R) or the use of “parallelograms, rectangles, and squares”, to develop
a certain global formalism for certain hyperbolic orbicurves related to a oncepunctured elliptic curve over a number field. This formalism allows one to construct
certain canonical rigid integral structures, which we refer to as log-shells, that
are obtained by applying the logarithm at various primes of a number field. Moreover, although each of these local logarithms is “far from being an isomorphism” both
in the sense that it fails to respect the ring structures involved and in the sense [cf.
Frobenius morphisms in positive characteristic!] that it has the effect of exhibiting
the “mass” represented by its domain as a “somewhat smaller collection of mass”
than the “mass” represented by its codomain, this global formalism allows one to
treat the logarithm operation as a global operation on a number field which satisfies
the property of being an “isomomorphism up to an appropriate renormalization operation”, in a fashion that is reminiscent of the isomorphism induced
on differentials by a Frobenius lifting, once one divides by p.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 12:53:20.91

>>102
つづき

More generally, if one
thinks of number fields as corresponding to positive characteristic hyperbolic curves
and of once-punctured elliptic curves on a number field as corresponding to nilpotent
ordinary indigenous bundles on a positive characteristic hyperbolic curve, then many
aspects of the theory developed in the present paper are reminiscent of [the positive
characteristic portion of] p-adic Teichm¨uller theory.

Contents:
Introduction
§0. Notations and Conventions
§1. Galois-theoretic Reconstruction Algorithms
§2. Archimedean Reconstruction Algorithms
§3. Nonarchimedean Log-Frobenius Compatibility
§4. Archimedean Log-Frobenius Compatibility
§5. Global Log-Frobenius Compatibility
Appendix: Complements on Complex Multiplication

Introduction
§I1. Summary of Main Results
§I2. Fundamental Naive Questions Concerning Anabelian Geometry
§I3. Dismantling the Two Combinatorial Dimensions of a Ring
§I4. Mono-anabelian Log-Frobenius Compatibility
§I5. Analogy with p-adic Teichm¨uller Theory
Acknowledgements
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 15:05:33.76

　
IUTは数学というかグロタン宇宙論になってるな

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 17:29:17.92

>>104
>IUTは数学というかグロタン宇宙論になってるな

どうもありがとう
個人的見解ですが
数学の「宇宙」という用語は、時代により、だんだん大げさな意味になり
21世紀では、「宇宙」とは、例えばZFCの全ての数学が展開できる入れ物か、それ以上の大きさのものを意味するようになった

グロタン宇宙論もその類いで
昔の集合論の”U”（単なる全体集合）とは、意味が違うのです
そこらが、余計に混乱を招いているように思います

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 18:23:51.69

やれやれ
修正だってよｗ

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/news-japanese.html
望月最新情報

2021年04月15日
　・（論文）修正版を更新 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Essential%20Logical%20Structure%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf
　（修正箇所のリスト）： https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/2021-04-15-ess-lgc-iut.txt
・Added an Introduction
・In \S 1.3, added "(UndIg)", as well as a reference to "(Undig)" in \S 2.1
・Rewrote various portions of \S 1.5
・Rewrote Example 2.4.4
・Modified the title of Example 2.4.5
・Added Example 2.4.6
・Slightly modified the paragraph at the beginning of \S 3
・Slightly modified the final portion of \S 3.1 concerning (FxRng), (FxEuc), (FxFld)
・Added Example 3.9.1 and made slight modifications to the surrounding text
・In \S 3.10, rewrote the discussion preceding (Stp1)
・In \S 3.11, slightly modified the discussion following ({\Theta}ORInd)

　　On the Essential Logical Structure of Inter-universal Teichmuller
　　　Theory in Terms of Logical AND "∧"/Logical OR "∨" Relations:
　　　Report on the Occasion of the Publication of the Four Main Papers
　　　on Inter-universal Teichmuller Theory.

2021年03月06日
　・（論文）宇宙際タイヒミューラー理論に関する論文4篇の出版を記念して、
　　新論文を掲載：
　　On the Essential Logical Structure of Inter-universal Teichmuller
　　　Theory in Terms of Logical AND "∧"/Logical OR "∨" Relations:
　　　Report on the Occasion of the Publication of the Four Main Papers
　　　on Inter-universal Teichmuller Theory.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 20:09:05.72

>>106 追加

重箱の隅ですが
下記の
”2021年01月15日
　・（論文）修正版を更新（修正箇所のリスト）：”が
「2021年04月15日」の修正版を書くときのミスコピー（さらに下の”2021年01月15日”と全く同じ内容）
（多分本当は不要な部分を、思わず知らすコピーしてしまったみたい）

いつ気付いて修正するのかな？（＾＾；

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/news-japanese.html
望月最新情報

2021年04月15日
　・（論文）修正版を更新（修正箇所のリスト）：
　　On the Essential Logical Structure of Inter-universal Teichmuller
　　　Theory in Terms of Logical AND "∧"/Logical OR "∨" Relations:
　　　Report on the Occasion of the Publication of the Four Main Papers
　　　on Inter-universal Teichmuller Theory.
2021年01月15日
　・（論文）修正版を更新（修正箇所のリスト）：
2021年03月06日
　・（論文）宇宙際タイヒミューラー理論に関する論文4篇の出版を記念して、
　　新論文を掲載：
　　On the Essential Logical Structure of Inter-universal Teichmuller
　　　Theory in Terms of Logical AND "∧"/Logical OR "∨" Relations:
　　　Report on the Occasion of the Publication of the Four Main Papers
　　　on Inter-universal Teichmuller Theory.
2021年01月15日
　・（論文）修正版を更新（修正箇所のリスト）：
　　Combinatorial Construction of the Absolute Galois Group of the Field of
　　　　Rational Numbers.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 20:12:36.12

>>105
>グロタン宇宙論もその類いで
>昔の集合論の”U”（単なる全体集合）とは、意味が違うのです
>そこらが、余計に混乱を招いているように思います

(補足)
・グロタン宇宙論を、いくつも作る？
・その複数のグロタン宇宙論の間を行ったり来たり？
・そこまで大袈裟な話でもなさそうに見えるけど（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/25(日) 18:03:40.36

https://www.youtube.com/watch?v=a3nSruakVdw
IUT overview: What papers are involved? Where does it start?
Taylor Dupuy 20151217
In this video I give an overview of what papers are involved in Mochizuki's work on ABC. Hopefully this is useful to get a scope of things.

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/01(土) 08:46:56.11

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 54
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617170015/253
https://www.nikkei.com/article/DGXZQOCD251AC0V20C21A4000000/?unlock=1
数学の難問ABC予想　「証明」にも学界は冷ややか
2021年4月30日 11:00 [有料会員限定] 日経（編集委員　青木慎一）
数学の世界では、時間がたってから証明が正しかったとわかることがある。例えば、ドイツのヒーグナーは1952年、史上最高の数学者といわれるガウスが予想した「類数問題」に関する証明を発表した。長い間無視されたが、60年代後半に複数の数学者がそれぞれ検討し、一部に問題があるものの本質的に正しかったと証明された。今は定理として名を残す。
(引用終り)

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%BC%E3%82%B0%E3%83%8A%E3%83%BC%E7%82%B9
ヒーグナー点

ヒーグナー点(ヘーグナー点)（英: Heegner point）とは、モジュラー曲線上の点であって、上半平面の quadratic imaginary point の像となっているようなものである。ブライアン・バーチ (Bryan Birch) により定義され、クルト・ヘーグナー（英語版） (Kurt Heegner) に因んで名づけられた。ヒーグナーは類数 1 の虚二次体上のガウスの予想を証明するために類似のアイデアを用いた。

グロス・ザギエの定理 (Gross & Zagier 1986) は、点 s = 1 における楕円曲線のL関数の微分のことばでヒーグナー点の高さを記述する。とくに楕円曲線の（解析的）階数が 1 であればヒーグナー点は無限位数（したがってモーデル・ヴェイユ群（英語版）の階数は1以上）の曲線上の有理点を構成するのに使うことができる。より一般に、Gross, Kohnen & Zagier (1987) は、ヒーグナー点は各正整数 n に対し曲線上の有理点を構成するのに使うことができこれらの点の高さはウェイト 3/2 のモジュラー形式の係数であることを示した。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/01(土) 08:47:39.05

>>110
つづき

コリヴァギン（英語版）は後にオイラー系（英語版）を構成するためにヒーグナー点を用い、それによって階数 1 の楕円曲線に対するバーチ・スウィンナートン＝ダイヤー予想の多くを証明した。?寿武（英語版）はグロス・ザキエの定理を楕円曲線からモジュラーアーベル多様体の場合へと一般化した。ブラウンは正標数の大域体上の階数 1 の楕円曲線の多くに対してバーチ・スウィンナートン＝ダイヤー予想を証明した (Brown 1994)。

ヒーグナー点は階数 1 の楕円曲線上の、単純な方法では見つけることのできなかった、非常に大きい有理点を計算するのに使うことができる（サーベイは (Watkins 2006) を参照）。アルゴリズムの実装は、MagmaやPARI/GPで可能である。

https://sub-asate.ssl-lolipop.jp/wiki/%E9%A1%9E%E6%95%B0%E5%95%8F%E9%A1%8C
miniwiki
類数問題
（虚二次体の）ガウスの類数問題(Gauss class number problem)は、通常に理解されているように、各々の n ? 1 に対し類数が n である虚二次体の完全なリストをもたらした。この問題の命名は偉大な数学者カール・フリードリヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)にちなんでいる。この問題は、また、代数体の判別式の項で記述することもできる。実二次体にも関連した問題があり、その振る舞いは
d→-∞
である。
この問題の困難な点は、限界の有効(effective)な計算である。与えられた判別式に対し、類数を計算することは易しく、類数の非有効(ineffective)な下界を求める方法はいくつかあるが（非有効とは、計算はできないが、定数であるということのみわかることを意味する）、しかし有効な限界を求め（リストの完全な証明）は難しい。
Contents
1 元々のガウスの予想
2 本問題の状況
3 類数 1 の判別式のリストアップ
4 現代の発展
5 実二次体

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/01(土) 08:48:29.31

>>111
つづき

現代の発展
より近年の発展は、n = 1 の場合がクルト・ヒーグナー（English版）(Kurt Heegner)により議論され、モジュラ形式やモジュラ方程式（English版）(modular equation)を使い、そのような体は存在しないことを示した。この仕事は最初は受け入れられなかったが、より最近のハロルド・スターク（English版）(Harold Stark)やブライアン・バーチ（English版）(Bryan Birch)により評価され、ヒーグナーの仕事が理解されるようになった。スターク・ヒーグナーの定理（English版）(Stark?Heegner theorem)やヒーグナー数（English版）(Heegner number)を参照。実際は、同時期にアラン・ベイカー(Alan Baker)は、数体の対数の線型形式上のベイカーの定理として知られていて、完全に異なる方法で解かれている。n = 2 の場合は、少し後でベイカーの仕事の応用として、原理的には解くことが試みられている。（Baker (1990)を参照）

類数 1 の虚二次体の完全リストは、Q(k--√) でこの k は次の中の一つである。

-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.

https://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_problem
Class number problem

Contents
1 Gauss's original conjectures
2 Status
3 Lists of discriminants of class number 1
4 Modern developments
5 Real quadratic fields
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/09(日) 16:44:06.23

http://www.uvm.edu/~tdupuy/anabelian/VermontNotes_20.pdf
KUMMER CLASSES AND ANABELIAN GEOMETRY Date: April 29, 2017.
JACKSON S. MORROW

ABSTRACT. These notes comes from the Super QVNTS: Kummer Classes and Anabelian
geometry. Any virtues in the notes are to be credited to the lecturers and not the scribe;
however, all errors and inaccuracies should be attributed to the scribe. That being said,
I apologize in advance for any errors (typo-graphical or mathematical) that I have introduced. Many thanks to Taylor Dupuy, Artur Jackson, and Jeffrey Lagarias for their wonderful insights and remarks during the talks, Christopher Rasmussen, David Zureick-Brown,
and a special thanks to Taylor Dupuy for his immense help with editing these notes. Please
direct any comments to jmorrow4692@gmail.com.
The following topics were not covered during the workshop:
・ mono-theta environments
・ conjugacy synchronization
・ log-shells (4 flavors)
・ combinatorial versions of the Grothendieck conjecture
・ Hodge theaters
・ kappa-coric functions (the number field analog of etale theta) ´
・ log links
・ theta links
・ indeterminacies involved in [Moc15a, Corollary 3.12]
・ elliptic curves in general position
・ explicit log volume computations
CONTENTS
1. On Mochizuki’s approach to Diophantine inequalities
Lecturer: Kiran Kedlaya . . 2
2. Why the ABC Conjecture?
Lecturer: Carl Pomerance . 3
3. Kummer classes, cyclotomes, and reconstructions (I/II)
Lecturer: Kirsten Wickelgren . 3
4. Kummer classes, cyclotomes, and reconstructions (II/II)
Lecturer: David Zureick-Brown . 6
5. Overflow session: Kummer classes
Lecturer: Taylor Dupuy . 8
6. Introduction to model Frobenioids
Lecturer: Andrew Obus . 11
7. Theta functions and evaluations
Lecturer: Emmanuel Lepage . . 13
8. Roadmap of proof
Notes from an email from Taylor Dupuy . . 17

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 06:06:22.96

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244783/1/B76-02.pdf
RIMS K?oky?uroku Bessatsu
B76 (2019), 79?183
宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory)
By 星裕一郎 (Yuichiro Hoshi)
P5
§ 1. 円分物
数学円分物とは何でしょうか. それは Tate 捻り “Zb(1)”のことです.
(引用終り)

円分物は、殆ど”円分体”なのでしょう
ただ、「体」ではないかも知れない
だから、「物」なのか。圏論的な「物」かも

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体

https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field
Cyclotomic field

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 06:28:26.45

>>114
>Tate 捻り

下記Tate twist みたいだね
但し、下記は”an operation on Galois modules”とあるので
星先生の記述とはちょっと違うような
つまり、星先生の記述は、”an operation ”ではなく、それが集まった、例えば群のような集合を意味している気がする

（参考：文字化けは面倒なので修正しませんので、原文ご参照）
https://en.wikipedia.org/wiki/Tate_twist
Tate twist
In number theory and algebraic geometry, the Tate twist,[1] named after John Tate, is an operation on Galois modules.

For example, if K is a field, GK is its absolute Galois group, and ρ : GK → AutQp(V) is a representation of GK on a finite-dimensional vector space V over the field Qp of p-adic numbers, then the Tate twist of V, denoted V(1), is the representation on the tensor product V?Qp(1), where Qp(1) is the p-adic cyclotomic character (i.e. the Tate module of the group of roots of unity in the separable closure Ks of K). More generally, if m is a positive integer, the mth Tate twist of V, denoted V(m), is the tensor product of V with the m-fold tensor product of Qp(1). Denoting by Qp(?1) the dual representation of Qp(1), the -mth Tate twist of V can be defined as
{\displaystyle V\otimes \mathbf {Q} _{p}(-1)^{\otimes m}.}{\displaystyle V\otimes \mathbf {Q} _{p}(-1)^{\otimes m}.}
References
[1] 'The Tate Twist', in Lecture Notes in Mathematics', Vol 1604, 1995, Springer, Berlin p.98-102

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 06:48:13.60

>>115
>Tate twist

下記が参考になりそう
日本語では、圧倒的に情報量が少ない
それと”What is the intuition behind the concept of Tate twists?”と質問する姿勢は見習うべきでしょうね

https://math.stackexchange.com/questions/2923709/about-the-definition-of-l-adic-tate-twist
About the definition of l-adic Tate-twist asked Sep 20 '18 at 6:30 Elvis Torres Perez
(抜粋)
Zl(0)=Zl , Zl(1)=lim←?(μli), Zl(n+1)=Zl(n)?ZlZl(1) for n＞＝0

https://math.stackexchange.com/questions/57750/what-is-the-intuition-behind-the-concept-of-tate-twists/57757
What is the intuition behind the concept of Tate twists? asked Aug 16 '11 at 4:06 Nicole

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 20:32:45.22

>>114つづき
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244783/1/B76-02.pdf
RIMS K?oky?uroku Bessatsu
B76 (2019), 79?183
宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory)
By 星裕一郎 (Yuichiro Hoshi)
P9
§ 2. フロベニオイドの円分剛性同型
次に, 位相群作用付きモノイド Gk ? O?k
の同型物 G ? M を考察しましょう. この
データ G ? M は, フロベニオイド (Frobenioid ? cf. [6], Definition 1.3) と呼ばれ
る数学的対象のある一例と等価なデータとなっています. こういったフロベニオイド (の
ある一例と等価なデータ　?　簡単のため, 以下, もうこれをフロベニオイドと言い切っ
てしまいますが) が与えられたとき, その “G” の部分をエタール的 (´etale-like ? cf.,
e.g., [6], Introduction, §I4) 部分と呼び, そして, その上, “M” の部分を Frobenius 的
(Frobenius-like ? cf., e.g., [6], Introduction, §I4) 部分と呼びます. (この場合の) エ
タール的部分は, 位相群で, 出自は Galois 群ですから, つまり, “対称性” であり, 感覚と
しては “質量のない”, “実体のない” (すなわち, “夢のような”, “仮想的な”) 対象です. 一
方, (この場合の) Frobenius 的部分は, 位相モノイドで, 出自は適当な数の集まりですから,
感覚としては “質量のある”, “実体を持つ” (すなわち, “現実に存在する”, “実在する”) 対
象です.
さて, 上のようなフロベニオイド G ? M が与えられますと, さきほど述べたとお
り, (G は Gk の同型物ですので) 単遠アーベル幾何学的に G から G ? Λ(G) という円
分物を復元/構成することができます.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 20:33:07.84

>>117
つづき

一方, M は O?kの同型物ですから, n 倍写像の核M[n]def = Ker(n: M → M) は μn(k) の同型物となり, その n に関する逆極限を取ること
で, Λ(M)def = lim←?nM[n] という Λ(k) の同型物, つまり, 円分物が得られます. G ? Λ(G)
の方はエタール的部分から構成したので “エタール的円分物” と呼び, G ? Λ(M) の方
は Frobenius 的部分から構成したので “Frobenius 的円分物” と呼ぶことにしましょう.
この考察により, 1 つのフロベニオイド G ? M から, エタール的円分物 G ? Λ(G) と
Frobenius 的円分物 G ? Λ(M) という 2 つの円分物が得られました.
この (本来はまったく無関係な) 2 つの円分物に関して, 以下の事実が知られていま
す. ([10], Remark 3.2.1, を参照ください.)
G ? M というデータから, 関手的に, G 同変な同型 Λ(M)?→ Λ(G) ?　つま
り, Frobenius 的円分物とエタール的円分物との間の円分剛性同型　?　を構成
することができる. また, この円分剛性同型は, G ? M が “環論的な設定” から
生じている場合には, 従来の円分物の間の同一視と一致する.
ここに登場する円分剛性同型は, しばしば “局所類体論を用いた円分剛性同型”, あるいは,
“古典的な円分剛性同型” などと呼ばれています.
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 20:47:40.66

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/ja/education/archive/download/abst_2001.pdf
２００１年度講義内容要約
理学部数理学科
多元数理科学研究科
大学院
数論特別講義 II 望月新一（京都大学） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
（11 月 19 日～23 日）「楕円曲線の Hodge-Arakelov 理論における遠アーベル幾何」

P278
科目名数論特別講義 II 担当教官　望月新一
サブタイトル　楕円曲線の Hodge-Arakelov 理論における遠アーベル幾何
対象学年大学院２単位選択
教科書なし
参考書後述の「参考文献」参照
予備知識
[Hh] 程度のスキーム論と，[Mn] 等に解説してあるエタール・サイトや代数的基本群の基礎．
[Hh] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Math. 52, Springer-Verlag (1977).
[Mn] J. S. Milne, Etale Cohomology ´ , Princeton Mathematical Series 33, Princeton University Press (1980).

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 20:47:58.33

つづき

講義内容
Grothendieck の「遠アーベル哲学」とは，数体のような数論的な体の上で定義され，かつある幾何的な
条件を満たす代数多様体の幾何は，その「数論的基本群」に忠実に反映されるであろうという考え方を出発
点とした数論幾何に対する新しいアプローチである．この「哲学」は１９８０年代初頭，Grothendieck に
よって提案されたが，実は，そのルーツはそれ以前に代数的整数論の観点から発見されていた Neukirch-内
田の定理にまで遡る．更に，１９９０年代に入ってから，遠アーベル幾何では新しい結果が次々と得られ
(参考文献の [12], [19] を参照)，Grothendieck が立てた主な予想の一部が，かなり強い形で肯定的に解決さ
れた．本講義では，遠アーベル幾何の survey 的な紹介を目標の一つとするが，ただの抽象的な定理群とし
て扱うのではなく，最近になって明らかになった，楕円曲線の Hodge-Arakelov 理論との関係に注目しなが
ら話を進めていく．この関係が示唆する遠アーベル幾何の新しい解釈によって，当初の Grothendieck の期
待でもあった，Diophantus 幾何への応用の可能性が開けてくるものと思われる．
I：遠アーベル幾何入門 §1. 代数的基本群とは何か？ §2. Grothendieck の anabelian 哲学 §3. 遠アー
ベル幾何の代表的な定理 §4. 局所体の遠アーベル性
II： Hodge-Arakelov 理論入門 §1. 基本定理 §2. 無限遠点での状況 §3. 正標数的手法による証明
III： basepoint, core, commensurator の話 §1. anabelioid というもの §2. core §3. 正則構造 §4. 通
約端末性 §5. global multiplicative subspace へのナイーヴなアプローチ
IV： universe, 同期化 §1. 独立な宇宙の導入 §2. 半楕円 orbicurve の通約端末性 §3. 無限遠点におけ
る通約端末性 §4. 正則局所化の圏 §5. 主結果
講義の感想
講義の最中，教官だけでなく，何回にもわたり，学生の方からも非常に有意義な質問や指摘が出され，講
義全体の質に大きく寄与したことは，印象的でした．
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 23:15:45.59

宇宙、inter-universal

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelioid%20no%20kikagaku%20to%20Teichmuller%20riron%20(Muroran%202002-08).pdf
Anabelioid の幾何学と Teichmuller 理論望月新一 (京都大学数理解析研究所) 2002年8月
(抜粋)
§1. p進双曲曲線を他宇宙から見る

我々が通常使用している、スキームなどのような集合論的な数学的対象は、実は、議論を開始した際に採用された「集合論」、つまり、ある Grothendieck 宇宙の選択に本質的に依存しているのである。この「1つの集合論」の採用は、もっと具体的にいうと、

「あるラベル(=議論に登場する集合やその元の名前)のリストの選択」

と見ることもできる。すると、次のような問い掛けが生じる:

問: スキームのような集合論的幾何的対象を別の集合論的宇宙から見たら、

つまり、たまたま採用したラベルたちを取り上げてみたら、その幾何的対象はどのように見えるか?

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 23:16:04.54

>>121
つづき

このように、宇宙を取り替えたりするような作業を行なう際、別の宇宙にも通じる数学的対象を扱うようにしないと、議論は意味を成さなくなるが、(本稿では省略するが)様々な理由によって、圏は、そのような性質を満たす。一般に、違う宇宙にも通じるものをinter-universal と呼ぶことにするが、「圏」というものは、最も基本的かつ原始的な inter-universal な数学的対象ということになる。

さて、スキームを他宇宙から見たらどんな風に見えるか、という問いに答えるためには、スキームを、inter-universal に表現する必要がある。これには様々な手法があるが、本稿では、次のものを取り上げる(別の手頃な例については、「Mzk7] を参照):

Et(X) {Xの有限次エタール被覆の圏 }

(ただし、X は、連結なネータ・スキームとする。) 副有限群 G に対して B(G) を、G の連続な作用をもつ有限集合の圏、というふうに定義すると、Et(X) という圏は、B(mュ(X)) (ただし、(X) は、Xの代数的基本群とする)と同値になる。

ここでは、B(G) を、1つの幾何的対象とみなし、anabelioid と呼ぶことにする。実は、B(G) は、「連結な anabelioid」になるが、一般には、複数の連結成分をもつanabelioid を扱うこともある(詳しくは、「Mzk8] を参照)。anabelioid の理論の大きなテーマの一つは、通常スキームに対して行なうような様々な幾何的操作を、(Et(X)のようにスキームから生じたものかどうかとは関係なく) anabelioid のみの世界に

おいていわば“native' に行なうことである。このテーマの最も基本的な例の一つは、有限次エタール被覆の定義である。連結な anabelioid 間の有限次エタール被覆は、

B(H) → B(G)

(ただし、G は副有限群、H はその開部分群。なお「射」は圏の間の関手と逆向きに書く。)と同型な射として定義される。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/06(火) 07:31:37.30

>>122
「ここでは、B(G) を、1つの幾何的対象とみなし、anabelioid と呼ぶことにする」（下記）

(引用開始)
ここでは、B(G) を、1つの幾何的対象とみなし、anabelioid と呼ぶことにする。実は、B(G) は、「連結な anabelioid」になるが、一般には、複数の連結成分をもつanabelioid を扱うこともある(詳しくは、「Mzk8] を参照)。anabelioid の理論の大きなテーマの一つは、通常スキームに対して行なうような様々な幾何的操作を、(Et(X)のようにスキームから生じたものかどうかとは関係なく) anabelioid のみの世界に

おいていわば“native' に行なうことである。このテーマの最も基本的な例の一つは、有限次エタール被覆の定義である。連結な anabelioid 間の有限次エタール被覆は、

B(H) → B(G)

(ただし、G は副有限群、H はその開部分群。なお「射」は圏の間の関手と逆向きに書く。)と同型な射として定義される。
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/06(火) 23:41:10.99

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
望月論文
　講演のアブストラクト・レクチャーノート
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelioid%20no%20kikagaku%20(Meijidai%202002-03).pdf
Anabelioidの幾何学 2002年3月
Page 1
ここで検証する問題は:前述の ‘局所的な乗法的部分加群’ を、 ‘大域的な乗法的部分加群’ として F 全体に延長することはできないか?といぅことである

この問題を克服するためには、視点を抜本的に変えてみる必要がある? 結論からいぅと、 ‘正しい視点’ は次の内容からなっている:(i) 大域的な乗法的部分群スキ?ムを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等の ?ピ? Ec, Fc, Kc に対する乗法的部分群スキ?ムの構成を目指す?(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の Kc の base-point を parametrize するものと見る?つまり、?言でいぅと、 K の basepoint を動かすことが、肝心である?動かすことによって、元の宇宙における LK と新しい宇宙の (LK)c の間の、相対的な位置が移動することとなり、旨くその対応する移動を設定することによって、?pK が表している Kc の basepoint から、 LK に対応する (LK)c を眺めてみると、その (LK)c は、?∀ pK に対して) 常に乗法的になる?」といぅ?見??古典的な理論の常識からして)不思議ながらも、実は、ある意味では?同義反復的」な状況を実現することができる

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/06(火) 23:41:35.13

>>124
つづき

§2. anabelioid と core

Anabelioid ????望月新? ?京都大学数理解析研究所)2002年3月§1. 新技術導入の動機§2. anabelioid と core§3. 数論的な anabelioid の例§1. 新技術導入の動機F を数体とし、 E をその上の楕円曲線とする?素数 l ? 3 に対し、簡単のため、Spec(F) 上の、 l 等分点による群スキ?ム E[l] から定まるガロア表現GFdef= Gal(F /F) → GL2(Fl)が全射となることを仮定する?次に、 E が bad, multiplicative reduction を持つ?数体 F の)素点 pF を考える? F を pF で完備化して得られる体を FpF と書くとすると、 FpF の上では楕円曲線EFpFdef= E ?F FpFの ‘Tate curve’ としての表示 ‘Gm/qZ’ より定まる、 canonical な‘乗法的な’ 部分群スキ?ムμl ⊆ E[l]|FpFがある?ここで検証する問題は:前述の ‘局所的な乗法的部分加群’ を、 ‘大域的な乗法的部分加群’ として F 全体に延長することはできないか?といぅことである?そのよぅな延長を安直なアプロ?チで作ろぅとすると、直ちに本質的な障害にぶち当たる?例えば、 K def= F(E[l]) を l 等分点たちの、 F 上の最小定義体とし、 K まで上がって作業してみるとする?すると、 E[l]|K の部分群スキ?ムとして、 ‘μl’ を K 全体の上で定義されるものLK ⊆ E[l]|Kに伸ばすことができるが、その LK は、

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/06(火) 23:43:55.67

>>125
つづき

K の殆んどの bad, multiplicative reduction の素点 pK においては、その素点における局所理論から生じる ‘乗法的な部分群スキ?ム’ と ?致しない?この問題を克服するためには、視点を抜本的に変えてみる必要がある? 結論からいぅと、
‘正しい視点’ は次の内容からなっている:
(i) 大域的な乗法的部分群スキ?ムを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等の ?ピ? Ec, Fc, Kc に対する乗法的部分群スキ?ムの構成を目指す?
(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の Kc の base-point を parametrize するものと見る?つまり、?言でいぅと、 K の basepoint を動かすことが、肝心である?動かすことによって、元の宇宙における LK と新しい宇宙の (LK)c の間の、相対的な位置が移動することとなり、旨くその対応する移動を設定することによって、?pK が表している Kc の basepoint から、 LK に対応する (LK)c を眺めてみると、その (LK)c は、?∀ pK に対して) 常に乗法的になる?」といぅ?見??古典的な理論の常識からして)不思議ながらも、
実は、ある意味では?同義反復的」な状況を実現することができる?§2. anabelioid と core以上の議論は哲学的な要素も含んでいるが、これを厳密な数学として処理するためには、新しい技術の導入が必要となる?この場合、中心となる新技術は、 ‘anabelioid’の理論である?‘anabelioid’ とは、§1 の議論を行なぅ際に用いなければならない幾何的な対象のことである?この幾何的対象は、スキ?ムと違い、 topos、即ち　圏　であるため、 an-abelioid 全体の ‘圏’ といぅものは、 2-category になってしまぅ?連結なときは、 anabe-lioid は [SGA1] に登場する ‘Galois category’ といぅ、今では40年以上の歴史を持つ馴染み深いものと同じである?つまり、連結な anabelioid は、∃副有限群 G に対してB(G)def= {G の連続な作用付きの有限集合たちがなす圏と同値な圏のことである?
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/08(木) 20:20:58.92

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
望月論文
　講演のアブストラクト・レクチャーノート
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Suutai%20to%20isoukyoumen%20ni%20kyoutsuusuru%20nijigen%20no%20gunrontekikika.pdf
数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」（2012年8月の公開講座）
(抜粋)
要約
有理数体Qのような「数体」と、複数のドーナツの表面を合体させたような形をしたコ
ンパクトな「位相曲面」は-一見して全く異質な数学的対象であり、初等的な可換環諭、つ
まり、「加減乗除」が可能な数学的対象としての構造の理論から見ても直接的に関連付ける
ことは難しい。しかし数体の拡大体の対称性を記述する「絶対ガロア群」と、コンパクト
な位相曲面の有限次の被覆の対称性を統制する「副有限基本群」を通して両者を改めて眺
めてみると、「二次元的な群論的絡まり合い」という形で大変に興味深い構造的な類似性
が浮かび上がってくる。本稿では様々な側面におけるこの種の類似性に焦点を当てながら、
数体と位相曲面の基礎的な理論について解説する。

§4．数と位相曲面の「絡まり合いの現場」数体上の代数曲線
つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/08(木) 20:21:23.67

>>127
つづき

§4.2．副有限基本群への絶対ガロア群の忠実な外作用

同種の「単射性」に関する定理は、「穴が開いている」＝「コンパクトでない」双曲的
代数曲線の場合には、既に(Mtmlで証明されていて、[MtmlもIHMIも、一番最初にBelyi
氏によって発見された、射影直線P1から三点を抜いて得られる双曲的曲線の場合の単射
性に帰着させることによってより一般的な双曲的代数曲線の場合の単射性を証明している。
一方、上記の定理のようにコンパクトな双曲的代数曲線の場合にこの種の単射性を示すこ
との意義は、§3.2及び§3.3で解説したように、
コンパクトな種数9の位相曲面と数体の絶対ガロア群には、
「二次元的な群論的絡まり合い」という
深い構造的類似性があり、そのような類似性を持つ、一見全く異質な
数論的な対象と位相幾何学的な対象を関連付けていることにある。
つまり、上記の定理は、数諭的な方の「二次元的な群論的絡まり合い」が、その自然な外
作用によって位相幾何学的な方の「二次元的な群論的絡まり合い」に忠実に表現されてい
ることを言っているのである。別の言い方をすると、純粋に「可換環論」の視点（＝つま
り、もっと具体的な言葉でいうと、初等的な加減乗除の範晴）で考察すると、数体と双曲的
代数曲線はいずれも次元1の対象であり、しかもその環論的な構造（＝つまり、正に「加
減乗除」の構造）は全く異質であるが、ガロア群や副有限基本群の「二次元的な群論的絡
まり合い」を通して両者を考察することによって、（§3.2及び§3.3で解説したような）深
い構造的な類似性が浮かび上がり、また上記の定型の単射性によってその両者の繋がりを
極めて明示的な形で定式化することが可能になる。
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/10(土) 19:06:23.96

>>772
どうも
スレ主です
レスありがとう

1．Robertとか、woitとか、間違った人のサイトを見ても、間違った情報しかないと思うよ
2．それよか、IUTを読むための用語集資料スレ2
　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
　に情報を集めているので、そこらも見てちょうだい
3．あと、下記を見る方が良いと思うよ
　望月サイトのhttp://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
　https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
　望月論文
　　講演のアブストラクト・レクチャーノート
[1] 実複素多様体のセクション予想と測地線の幾何. PDF
[2] p進Teichmuller理論. PDF
[3] Anabelioidの幾何学. PDF
[4] Anabelioidの幾何学とTeichmuller理論. PDF
[5] 離散付値環のalmost etale extensions（学生用のノート）. PDF
[6] 数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」（2012年8月の公開講座）. PDF

　https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
　望月出張講演
[8] 楕円曲線のHodge-Arakelov理論における遠アーベル幾何、数論的微分とは何か？　（名古屋大学
　　　2001年11月）. PDF
[9] 数論的 log scheme の圏論的表示　（九州大学 2003年7月）. 田口さんのノート
[10] 数論的log schemeの圏論的表示から見た楕円曲線の数論　（北海道大学 2003年11月）. PDF
[11] 数論的Teichmuller理論入門　（京都大学理学部数学教室 2008年5月）.　　月　火　水　木　金　概要　
　　　レポート問題　談話会　アブストラクト
[12] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い　（京都大学数理解析研究所 2012年12月） PDF
[13] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い　《拡大版》（東京大学 2013年06月） PDF
[14] 数論幾何の風景 ― 数の加減乗除から対称性の幾何まで　（京都大学2013年11月） PDF

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/10(土) 19:07:02.36

>>129
誤爆すまん

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 09:36:20.15

prime-strip
多輻的アルゴリズム

https://nagasm.org/ASL/Max7_part2_3/fig3/intro_iut1.pdf
宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
星裕一郎 (京都大学数理解析研究所)
2015 年 11 月

P19
§6 では v ∈ V(F) を有限素点ということにしていましたが, この対象 D?
v
(または F
?×
v
; F
?×μ
v
; Dv;
Fv) には “無限素点版” もあり, それらを集めることで得られる対象 {D?
v }v∈V(F )
, (または {F?×
v }v∈V(F )
;
{F?×μ
v }v∈V(F )
; {Dv}v∈V(F )
; {Fv}v∈V(F )) の同型物は, D? (または F?×; F?×μ; D; F) 素点縞 (D?-
(respectively, F
?×-; F
?×μ-; D-; F-) prime-strip ? cf. [10], Definition 4.1, (iii) (respectively, [11],
Definition 4.9, (vii); [11], Definition 4.9, (vii); [10], Definition 4.1, (i); [10], Definition 5.2, (i)) と呼ばれ
ます. (正確には, F をその適当な拡大体に取り替えたり, また, より重要なこととして, 添字の “v” の範囲を,
その拡大体のすべての素点とするのではなく, その適当な部分集合に制限する, といった修正を行う必要があ
るのですが　?　これについては §17 で改めて説明します.) 少なくとも有限素点では, “F 系” の対象は (付
加構造付き) フロベニオイドであり, “D 系” の対象は位相群 (と等価なデータ) です. また, “?” という記号
は, 宇宙際 Teichm¨uller 理論では, “単解的” を表す記号となっています4

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 09:36:41.02

>>131
つづき

7 多輻的アルゴリズム
宇宙際 Teichm¨uller 理論では, “多輻的アルゴリズム” という特別な性質を満たすアルゴリズムが重要な役
割を果たします. §8 で行う宇宙際 Teichm¨uller 理論の主定理の “ミニチュア版” の説明のために, この §7
では, その “多輻的アリゴリズム” という概念についての簡単な説明を行います. (詳しくは, 例えば, [11] の
Example 1.7 から Remark 1.9.2 までの部分を参照ください.)
まず最初に, 次のような設定を考察しましょう. 輻的データ (radial data ? cf. [11], Example 1.7, (i))
と呼ばれるある数学的対象が与えられているとします. 次に, その輻的データからアルゴリズム的に構成でき
る (下部的) 対象であるコア的データ (coric data ? cf. [11], Example 1.7, (i)) が与えられているとし
ます. このような設定を輻的環境 (radial environment ? cf. [11], Example 1.7, (ii)) と呼びます. 具体
的には, 例えば, 以下のような輻的環境の例を考えることができます:
(a) “輻的データ” として, 1 次元複素線型空間 C (の同型物) を, “コア的部分” として, 輻的データであ
る C (の同型物) から “その正則構造を忘れる” というアルゴリズムによって得られる下部 2 次元実線型空間
R
?2
(の同型物) を採用する.
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 11:26:10.63

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244746/1/B72-16.pdf
RIMS K?oky?uroku Bessatsu
B72 (2018), 209?307
続・宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
星裕一郎

P227
§ 6. 行進

しかしながら, 以下の理由によって, 我々は, この “もっとも安直なアプローチ” を
採用することができません. このアプローチを採用すると, 直前の図が示すように, F
?
l =
{|1|, . . . , |l
?|} の各元に対して, 対応する J の元として, ♯J = l
? 通りの可能性を考慮しな
ければならなくなります. その結果, 全体として, J と F
?
l との関連として, ♯J♯J = (l
?)
l
?
通りの可能性を考慮しなければなりません. 一方, この可能性の個数　?　つまり, 不定
性　?　は, 我々の目標の観点からは多過ぎます. 特に, 楕円曲線の高さの評価の観点か
ら考えますと, この過大な不定性を許容してしまうと, 所望の不等式よりも “弱い不等式”
しか得ることができなくなってしまうのです.
上述の問題を解決するために, 行進 (procession ? cf. [7], Definition 4.10) とい
う概念を導入しましょう.

行進を考えた場合の方が, ただの抽象的な集合と見做した場合よりも, ラベルの
集合に関する不定性が小さくなる

という重要な事実を観察しました. 行進という概念を用いることの別の利点として,
零ラベルの隔離
という点も挙げられます. |T| をただの集合と見做す, つまり, |T| を, |T| の自己全単射全
体のなす群の作用という不定性のもとで扱う場合, 零ラベル 0 ∈ |T| とその他の元 ∈ T
?
を区別することは不可能です. 一方, 行進を考えた場合, (“S
±
1
” というデータによって)
0 ∈ |T| は “特別な元” ということになり, その他の元 ∈ T
? との区別が可能となります.
そして, 実際, 宇宙際 Teichm¨uller 理論において,
零ラベルは単数的/コア的なラベル, 非零ラベルは値群的/輻的なラベル
という観察のとおり, 零ラベルと非零ラベルは, まったく異なる役割を果たします. (§4,
(d), や [2], §21, の前半の議論を参照ください.) この観点から, “零ラベルの隔離可能性”
は重要です. (詳しくは [8], Remark 4.7.3, (iii), を参照ください.)

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 12:35:54.18

Corollary 3.12, の証明関連
不等式の導出

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244746/1/B72-16.pdf
RIMS K?oky?uroku Bessatsu
B72 (2018), 209?307
続・宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
星裕一郎

P297
§ 25. Θ
×μ
LGP リンクと両立的な多輻的表示とその帰結

P301
この §25 の最後に, 上述の多輻的 Kummer 離脱を用いた q 標対象の次数の計算に
ついて, 簡単に説明しましょう. (詳しくは, [9], Corollary 3.12, の証明を参照ください.)
この §25 の冒頭の Θ
×μ
LGP リンクが定める同型 † 0
C
?
LGP
?→ ‡ 0
C
?
△ は,
† 0Θ 標対象を ‡ 0
q 標
対象に移します. (§24, (a), を参照ください.) したがって, §14, (e), (i), から, 所望の次数
deg(‡ 0
q 標対象) を,
† 0Θ 標対象の　? “† の側” の正則構造の観点からではなく　?
“‡ の側” の正則構造の観点からの対数体積を用いて計算することが可能です. 一方, 多輻
的 Kummer 離脱によって, 不定性 (Ind1), (Ind2), (Ind3) を認めれば, Θ×μ
LGP リンクが誘
導する同型 † 0F
?×μ
△
?→ ‡ 0F
?×μ
△ (§24, (b), を参照) と両立する同型 † 0RFrob
?→ ‡ 0RFrob
が得られます.
vol(‡ 0Θ) ∈ R ∪ {∞}
を, 不定性 (Ind1), (Ind2), (Ind3) の作用による ‡ 0Θ 標対象の軌道の和集合の (“‡ の側”
の正則構造による) 正則包 (holomorphic hull ? cf. [9], Remark 3.9.5) ([2], §12, の
後半の議論を参照) の行進正規化対数体積として定義しましょう. すると, 両立的同型
† 0RFrob
?→ ‡ 0RFrob の存在から,
† 0Θ 標対象の対数体積は, vol(‡ 0Θ) 以下とならざるを得
ません. したがって, 結論として, 不等式
vol(‡ 0Θ) ≧ deg(‡ 0q 標対象)
が得られます.

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 15:26:20.19

https://www.youtube.com/watch?v=bAODDRU-cBE
宇宙際タイヒミュラー理論(IUT理論)に関する2つのアニメーション
1,213 回視聴2020/04/11

基底状態のセシウムさん
カラー(khara,inc.)制作のIUTeich関係のCG動画楽しみ

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-japanese.html
・動画元URL
Animation 1 - https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUT-animation-Thm-A-fukugen-fade-out.wmv
IUTeichに関するアニメーション（＝[IUTchIII], Theorem Aの内容に対応）
　"The Multiradial Representation of Inter-universal Teichmuller Theory"を公開。
石碑版：　「復元」　フェードアウト版　（avi wmv）　

Animation 2 - https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/2020-01%20Computation%20of%20q-pilot%20(animation).mp4
第二の、IUTeichに関するアニメーション（＝[IUTchIII], Theorem Bの内容に対応）
　"Computation of the log-volume of the q-pilot via the multiradial representation"
　を公開。

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 23:36:38.51

Legendre form
楕円曲線 “y^2 = x(x - 1)(x - λ)”

https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_form
Legendre form
In mathematics, the Legendre forms of elliptic integrals are a canonical set of three elliptic integrals to which all others may be reduced. Legendre chose the name elliptic integrals because[1] the second kind gives the arc length of an ellipse of unit semi-major axis and eccentricity {\displaystyle \scriptstyle {k}}\scriptstyle {k} (the ellipse being defined parametrically by {\displaystyle \scriptstyle {x={\sqrt {1-k^{2}}}\cos(t)}}\scriptstyle{x = \sqrt{1 - k^{2}} \cos(t)}, {\displaystyle \scriptstyle {y=\sin(t)}}\scriptstyle{y = \sin(t)}).
In modern times the Legendre forms have largely been supplanted by an alternative canonical set, the Carlson symmetric forms. A more detailed treatment of the Legendre forms is given in the main article on elliptic integrals.
The Legendre form of an elliptic curve is given by
y^{2}=x(x-1)(x-λ)

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND SET-THEORETIC FOUNDATIONS
Shinichi Mochizuki April 2020
P41
Corollary 2.2. (Construction of Suitable Initial Θ-Data) Suppose that
X = P1Q is the projective line over Q, and that D ⊆ X is the divisor consisting of
the three points “0”, “1”, and “∞”. We shall regard X as the “λ-line” - i.e.,
we shall regard the standard coordinate on X = P1
Q as the “λ” in the Legendre
form “y2 = x(x-1)(x-λ)” of the Weierstrass equation defining an elliptic curve -
and hence as being equipped with a natural classifying morphism UX → (Mell)Q
[cf. the discussion preceding Proposition 1.8]. Let

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 23:37:17.56

>>136
つづき

続・宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2018) （Indexあり） https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/244746
P94
Q は有理数体 Q の代数閉包　-　との間に, 自然な全単射
が存在します. 各元 λ ∈ Q \ {0, 1} に対して, 方程式 “y^2 = x(x - 1)(x - λ)” を考えるこ
とによって, Q(λ) 上の楕円曲線 (Eλ)Q(λ) が得られます. また, 剰余体 Q(λ) の拡大体 Fλ
を Fλdef= Q(λ, √-1,(Eλ)Q(λ)[3 ・ 5](Q)) と定義すると, 良く知られているとおり, Fλ 上の
楕円曲線 Eλ def = (Eλ)Q(λ) ×Q(λ) Fλ は, Fλ のすべての素点において高々分裂乗法的還元
を持ちます. 特に, 各元 λ ∈ Q \ {0, 1} において,
・楕円曲線 Eλ の q パラメータが定める Fλ 上の数論的因子 qλ の次数 deg(qλ),
・数論的因子 qλ が定める Fλ 上の “被約” な数論的因子 fλ の次数 deg(fλ),
・数体 Fλ の絶対共役差積が定める Fλ 上の数論的因子 dλ の次数 deg(dλ),
・剰余体 Q(λ) の有理数体上の拡大次数 dλ def = [Q(λ) : Q]
という 4 つの値を考えることができます. これら 4 つの値は, λ ∈ Q\ {0, 1} をその GQ 共
役に取り替えても変わらないため, 特に, これら 4 つの値を “UP の閉点のなす集合の上の
関数” と考えることができます. この設定のもと, Belyi 写像を用いた議論を適用すること
によって, この §26 の冒頭で述べた “Diophantus 幾何学的不等式” を証明するためには,
以下の主張を証明すれば充分であることがわかります ([5], Theorem 2.1; [10], Corollary
2.2, (i); [10], Corollary 2.3, の証明を参照):
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 16:46:53.77

メモ
http://blog.livedoor.jp/abc_conjecture/archives/44597227.html
【数学】ABC予想ニュース【最新情報】
2018年01月24日
宇宙際タイヒミュラー理論のまとめWiki
(2018.1.24更新)

・F. Tan and K. Chenによるワークショップ資料(2015.7に北京で開催された「Workshop on Inter-Universal Teichmuller Theory」より) (英語)
http://wiutt.csp.escience.cn/dct/page/70004
Note on the theory of Absolute Anabelian Geometry of Mochizuki http://wiutt.csp.escience.cn/dct/attach/Y2xiOmNsYjpwZGY6OTQ2OTA=
・Minhyong Kimによる解説ペーパー(英語)
http://people.maths.ox.ac.uk/kimm/papers/pre-iutt.pdf
・星裕一郎氏によるサーベイ(2015.12開催の研究集会内「宇宙際 Teichmuller 理論入門」での講義資料)(日本語)
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/intro_iut.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 16:51:56.02

本体リンク切れで、キャッシュ貼る
https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:k2PgzayvOKEJ:https://ncatlab.org/nlab/show/anabelioid+&cd=3&hl=ja&ct=clnk&gl=jp
nLab
anabelioid
Contents
1. Introduction
2. Details
3. Associated notions
4. References
Introduction 0.1
An anabelioid is a category intended to play the role of a ‘generalised geometric object’ in algebraic/arithmetic geometry. Its definition is simple: a finite product of Galois categories, or in other words of classifying topoi of profinite groups. The significance comes from the fact that in anabelian geometry, an algebraic variety is essentially determined by its algebraic fundamental group, which arises from a Galois category associated to the algebraic variety. The idea, due to Shinichi Mochizuki, is that one can develop the geometry of these Galois categories themselves, and products of Galois categories in general; thus, develop a form of categorical algebraic geometry.

To quote from Remark 1.1.4.1 of Mochizuki2004:

The introduction of anabelioids allows us to work with both “algebro-geometric anabelioids” (i.e., anabelioids arising from (anabelian) varieties) and “abstract anabelioids” (i.e., those which do not necessarily arise from an (anabelian) variety) as geometric objects on an equal footing.

The reason that it is important to deal with “geometric objects” as opposed to groups, is that:

We wish to study what happens as one varies the basepoint of one of these geometric objects.

Details 0.2
The following definitions follow Mochizuki2004.

Definition 0.3. A connected anabelioid is exactly a Galois category.

Definition 0.4. An anabelioid is a category equivalent to a finite product of connected anabelioids, that is, to a finite product of Galois categories.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 16:52:23.57

>>139
つづき

Remark 0.5. An anabelioid is also known as a multi-Galois category.

Associated notions 0.6
finite etale morphism of anabelioids
References 0.7
The geometry of anabelioids, Shinichi Mochizuki, 2004, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 40, No. 3, 819-881. paper Zentralblatt review
Created on April 17, 2020 at 18:29:54. See the history of this page for a list of all contributions to it.
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 17:53:15.48

メモ

「Anabelioid の幾何学」2002年3月
ここに、”(i) 大域的な乗法的部分群スキームを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等のコピー E◎, F◎, K◎ に対する乗法的部分群スキームの構成を目指す。
(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の K◎ の base-point を parametrize するものと見る。”
これが、”宇宙際”の起源みたいだね

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelioid%20no%20kikagaku%20(Meijidai%202002-03).pdf
Anabelioid の幾何学
望月新一 (京都大学数理解析研究所)2002年3月

§1. 新技術導入の動機§2. anabelioid と core§3. 数論的な anabelioid の例§1. 新技術導入の動機F を数体とし、 E をその上の楕円曲線とする素数 l ≧ 3 に対し、簡単のため、Spec(F) 上の、 l 等分点による群スキーム E[l] から定まるガロア表現

K の殆んどの bad, multiplicative reduction の素点 pK においては、その素点における局所理論から生じる ‘乗法的な部分群スキーム’ と一致しない

この問題を克服するためには、視点を抜本的に変えてみる必要がある。結論からいうと、 ‘正しい視点’ は次の内容からなっている:

(i) 大域的な乗法的部分群スキームを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等のコピー E◎, F◎, K◎ に対する乗法的部分群スキームの構成を目指す。

(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の K◎ の base-point を parametrize するものと見る。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 17:53:58.62

>>141
つづき

まり、一言でいうと、 K の basepoint を動かすことが、肝心である。動かすことによって、元の宇宙における LK と新しい宇宙の (LK)◎ の間の、相対的な位置が移動することとなり、旨くその対応する移動を設定することによって、
「pK が表している K◎ の basepoint から、 LK に対応する (LK)◎ を眺めてみると、その (LK)◎ は、?∀ pK に対して) 常に乗法的になる。」

という一見??古典的な理論の常識からして)不思議ながらも、実は、ある意味では「同義反復的」な状況を実現することができる。

§2. anabelioid と core
以上の議論は哲学的な要素も含んでいるが、これを厳密な数学として処理するためには、新しい技術の導入が必要となる。この場合、中心となる新技術は、 ‘anabelioid’の理論である。

‘anabelioid’ とは、§1 の議論を行なう際に用いなければならない幾何的な対象のことである。この幾何的対象は、スキームと違い、 topos、即ち　圏　であるため、 an-abelioid 全体の ‘圏’ というものは、 2-category になってしまう。連結なときは、 anabe-lioid は [SGA1] に登場する ‘Galois category’ という、今では40年以上の歴史を持つ馴染み深いものと同じである。つまり、連結な anabelioid は、∃副有限群 G に対して
B(G)def= {G の連続な作用付きの有限集合たちがなす圏}
と同値な圏のことである。

anabelioid 的な視点が [SGA1] 等に代表される古典的なものと最も本質的に異なるところは、 (有限次)エ夕ール被覆の扱いである。古典的な理論では、個別のエ夕ール被覆や、複数のエ夕ール被覆からなる図式などは、一つの決まった Galois category に所属するものとして扱われる。この Galois category は、当然、扱っているすべてのエ夕ール被覆の下にあるスキーム（＝幾何的対象)に付随するものである。一方、 an-abelioid の理論では、 anabelioid そのものを、幾何的対象とみなすため、（本来、互いに全く関係のない、連結な anabelioid X, Y, Z に対して）
(引用終り)
以上