IUTを読むための用語集資料スレ2

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/01(火) 18:11:43.01

テンプレは後で

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/21(火) 18:55:54.60

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/23(木) 20:53:20.05

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/24(金) 21:40:31.59

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/18(火) 07:54:34.40

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/18(火) 10:29:34.25

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/18(火) 22:56:53.39

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/23(日) 14:46:49.42

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/05/21(日) 18:31:23.98

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/26(月) 10:40:35.32

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/13(木) 10:54:51.25

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/14(金) 11:59:25.14

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/27(木) 10:41:03.20

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/12(土) 16:14:59.49

age

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/23(水) 21:29:26.40

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/23(水) 21:31:55.82

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/22(金) 20:27:17.13

sage

**sage** · 2023/11/06(月) 13:05:39.50

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/18(土) 08:17:13.85

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/21(木) 10:04:25.93

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/21(木) 10:09:02.84

sage

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/30(土) 14:44:06.81

IUT読める人ってどんどん増えてるの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/30(土) 21:22:28.11

>>319
ジェイムズ・メイナード？
ユーゴー・デュミニル＝コパン？

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 08:31:35.18

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1701399491/840-
(参考)
ja.wikipedia.org/
宇宙際タイヒミュラー理論
「一点抜き楕円曲線付き数体」の「数論的タイヒミューラー変形」を遠アーベル幾何等を用いて「計算」する数論幾何学の理論である。

www.kurims.kyoto-u.ac.jp
IUT I: CONSTRUCTION OF HODGE THEATERS
Shinichi Mochizuki May 2020
Abstract.
This data determines various hyperbolic orbicurves that are related via ﬁnite ´etale coverings to the once-punctured elliptic curve XF determined by EF.

https://researchmap.jp/Hiroaki_NAKAMURA/
中村博昭
On Arithmetic Monodromy Representations of Eisenstein Type in Fundamental Groups of Once Punctured Elliptic Curves
Hiroaki Nakamura
PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES 49(3) 413-496 2013年9月査読有り

https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~wakate/mcyr/2019/pdf/00900_sarashina_akira.pdf
1 点抜き楕円曲線の同型類の幾何的基本群による復元
京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻数理解析系更科明(Akira SARASHINA)
概要
1980 年代、Grothendieck により素体の有限次拡大体上の双曲的曲線の幾何が (ある意味で)´ etale 基本群から復元されるという予想が提唱された。
この予想は中村博昭氏、玉川安騎男氏の部分的な結果を経て望月新一氏によって肯定的に解決された。
本稿では正標数代数閉体上の曲線に対しても´etale 基本群が多くの情報を持つ事、また特別な場合に元の曲線の同型類が復元できる事を紹介する。

GrothendieckによりU が遠アーベル多様体であるときU の幾何は(ある意味で)上記の完全列から復元されるという、今日ではGrothendieck予想とも呼ばれる予想が提唱された。
Grothendieckは遠アーベル多様体の定義を残していないためこの予想は厳密に定式化されたものではないが、一次元の場合は遠アーベルと双曲的が同値であると予想した。
この曲線に対する予想は中村博昭氏、玉川安騎男氏の部分的な結果を経て望月新一氏によって肯定的に解決された。
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 09:13:31.06

>>1
閲覧注意
>1は数学の線形代数|・|≠0を理解できない
トンデモ　
↓
0426 １３２人目の素数さん
2023/10/29(日) 14:22:15.63

IUTは、ガリレオ天動説です
だんだん、理解され受け入れられてきたよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 09:18:28.12

これいいね
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/
大阪大学理学研究科数学教室
中村博昭

http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/MSRI99/msri99plan.html
研究分野紹介
ガロア群と基本群
この研究領域では、数学的な対称性に関わる２つの分野 --- ガロア理論における代数的な対称性、基本群の理論における幾何学的な対称性 --- をひとつの共通の場に持ち込む。この２つのいずれの分野においても、数学的対象はそれぞれの対称性が取る形態を調べることで研究することができるが、ここでの中心的な主題は、この両分野がお互いに相互作用をおよぼし、代数は幾何の影響のもとで応用され、また幾何は代数の恩恵のもとで構築されることではじめて取り扱うことができるような問題を研究することである。

基本群は、被覆の対称性としてだけでなく、空間に描かれたループを考えることでも理解することが出来る。位相幾何的な曲面の場合には、曲面をより理解しやすい小片に分割することが有用である。このアプローチは、与えられた位相曲面の基本群だけでなく、付随する「モジュライ空間」(これは、ある空間が連続的に変形していく族を束ねている空間である)の基本群を研究するときにも用いられる。

幾何学とくに位相幾何学における基本群の理論は、被覆空間の概念と関係している。例としては、渦巻き階段の形をしたヘリックス曲線とよばれるものがある。ヘリックス曲線の各点は、固定されたひとつの円の下方から上方にかけて渦巻きのように配置してあり、ヘリックス曲線全体は各点を一周り上の点にもっていく操作に対応する対称性をもつ。このとき、すべての対称性のなす群は整数の全体と対応し、例えば整数５は５回転分だけ上に移動することに対応している。こうした状況を、ヘリックス曲線は円の被覆空間であり、整数全体(のなす加法群)は円の「基本群」であるという。空間は、その基本群によって研究することができる。--- 例えば、もし２つの空間が異なる基本群を持つことが示されれば、それらの空間は違うということがわかる。さらに、空間の間の写像(例えばヘリックスから円への写像)も付随する対称性の群を用いて研究することができる。

被覆空間たちは、かなり複雑であり、区別するのも容易でない。ある特別な状況で、そのために助けとなるのが
「デッサン・ド・アンファン」("dessin d'enfant" 子供の絵)
とよばれる概念である。上の２つの例は、よく似ているが異なる被覆をあらわすデッサンをあらわす。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 09:18:42.63

つづき

ガロア理論における対称性と、基本群と被覆空間の理論における対称性との間には強い類似性が認められる -- 例えば、どちらも対称性と対象物とを正確に関係づける「基本定理」を満たす。この根拠としては、被覆空間が代数方程式系で与えられるという事実があり、それらの方程式はガロア理論の研究対象である。そのとき方程式系の対称性は、被覆空間の対称性と対応する。この類似性を用いることにより、代数的な問題のいくつかを幾何学的な手法により解くことができる。代表的な例としては、整数の代わりに複素数を係数として考えた場合 (つまり、複素数体上の有理関数の体の上で考えた場合)に、任意の対称性をあらわす群が適切な方程式に対するガロア理論として実現される、という事実を証明することができる。不思議なことに、伝統的な有理数体上のガロア理論の状況で、これに対応する主張はまだ証明されていない。ガロアの逆問題といわれる未解決問題である。

この二つの研究領域の間には第二の関連がある。それは被覆空間に対する方程式系が、(√2のような)代数的数と関わっているところに由来している。すなわち、代数的数がそれ自身代数方程式の解であるため、ガロア理論により研究される範疇にはいるのである。このことから、数論と代数と幾何が交錯する「被覆空間の算術性」の研究に導かれる。この研究分野には、幾何学的に表現された様々な被覆の方程式にどのようなタイプの代数的数が現れるか、といった未解決の深い問題群がいくつも残されている。整数論に対するさらなる関連は、より一般的な空間、例えば与えられた素数の倍数だけ座標がずれている２点を同等とみなす標数 p の世界、などを考えることによりさらなる広がりをみせる。この方向では、与えられた空間の上にどのような種類の対称性が存在し得るか、あるいは空間が基本群によってどの程度決定されるか、を理解する問題に限っても、最近において多大な進展が起こって来ている。

このページは 1999 年8月〜12月にカリフォルニア大学・バークレーの数理科学研究所 (MSRI)
で行われた
Program on Galois Groups and Fundamental Groups
Organizers:
Eva Bayer, Michael Fried, David Harbater, Yasutaka Ihara,
B. Heinrich Matzat, Michel Raynaud, John Thompson
の紹介ページ http://msri.org/activities/programs/9900/galois/ の日本語訳をもとに
中村が加工を施して作成したものです。(2000/10/1)
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 09:27:43.10

これいいね
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/selection.html
Several articles of H.Nakamura

Articles on Anabelian Geometry
H.Nakamura, A.Tamagawa, S.Mochizuki:
``The Grothendieck Conjecture on the Fundamental Groups of Algebraic Curves''
Copyright 1999 American Mathematical Society
``Sugaku Expositions'' (AMS), Volume 14 (2001), 31--53
English translation (by S.Mochizuki) from ``Sugaku'' 50(2), 1998, pp. 113-129 (Japanese).
pdf http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/rhino/NTM300.pdf

H.Nakamura:
"On Galois rigidity of fundamental groups of algebraic curves"
in "Nonabelian Fundamental Groups and Iwasawa Theory"
(J.Coates, M.Kim, F.Pop, M.Saidi, P.Schneider eds.)
London Math. Soc. Lecture Note Series, 393 (2012), 56--71 (Cambridge UP).
pdf http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/monkey/02nakamura.pdf
This is a translation into English of an old Japanese article published in
"Report Collection of the 35th Algebra Symposium held at Hokkaido University in 1989"
+ 8 complementary notes newly added in English.

Galois-Teichmueller theory:
H.Nakamura :
``Limits of Galois representations in fundamental groups along maximal degeneration of marked curves II''
Proc. Symp. Pure Math., 70 (2002), 43--78
ps / pdf http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/anteater/naka-lim.pdf

H.Nakamura, H.Tsunogai, S.Yasuda:
"Harmonic and equianharmonic equations in the Grothendieck-Teichmueller group, III"
Journal Inst. Math. Jussieu 9 (2010), 431-448.
NTY2010jimj.pdf (Copyright: Cambridge University Press) http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/squirrel/NTY2010jimj.pdf
available from Cambridge Journals Online

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 09:29:09.81

閲覧注意
>1は数学の線形代数|・|≠0を理解できない
トンデモ　
↓
0426 １３２人目の素数さん
2023/10/29(日) 14:22:15.63

IUTは、ガリレオ天動説です
だんだん、理解され受け入れられてきたよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 09:35:55.20

inter universe がだめだとどれだけいわれたらこの能無しは理解できるんだろう？

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 10:09:17.31

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http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/
中村博昭
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/ss2004nakamura.pdf
「曲線の moduli 空間の基本群への Galois 作用」（12p.) pdf
---２００４年度整数論サマースクール報告集所収

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 18:19:50.83

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https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1712989377/65-66
0065１３２人目の素数さん
2024/04/20(土) 12:39:54.74ID:cvhHH4p1
>>0056

＞問題は、スキームの基本群を分解し無限の異質な宇宙を群論的に構成するという点
＞これを大域的な「加群」で考えると、図式が同型になるから無意味だと言われてる
＞望月らはそうじゃない、違う宇宙なんだと反論している

Joshiの例で、局所を単に加えた(積分）では素点ｐ、無限素点のときにギャップがでることは明らか。

但し下記リンクの頁10で、”素点の連動”の法則は、”積の公式の法則”があり、”近似を局所的なあるを満たすように用意し”、積分による大域的な式で、”積公式はそうして入手した緒々の局所的な情報を「貼り合わせる」役割を果たす”とある。。

反論ではない。最初からIUT理論に書かれたコアのコンセプトなのだから良く理論を読め、だろう。
大域的な単なる「加群」でなく、同型で無意味にならなくした、宇宙際（宇宙と宇宙をつなぐ）の工夫が、数学で斬新となるアイデアなのだろ　ｗ

＞まぁ inter universe が入ってれば全部アウトやな
アイデアのコアを、無下に否定するのはどうかと思うが。ここまで論議が続けられてきたし、そのうち画期的な方法となるのでは。
0066１３２人目の素数さん
2024/04/20(土) 12:40:50.50ID:cvhHH4p1
>>0065
のリンク先
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Takoushiki%20no%20kai%20no%20kinji%20ga%20torimotsu%20suuron%20to%20kika%20no%20kankei.pdf

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
望月論文
和文雑誌の論文
[6] 多項式の解の近似がとりもつ数論と幾何の関係 (1), (2), (3), (4). PDF

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 19:49:19.23

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https://en.wikipedia.org/wiki/Teichm%C3%BCller_space
Teichmüller space

In mathematics, the Teichmüller space
T(S) of a (real) topological (or differential) surface
S is a space that parametrizes complex structures on
S up to the action of homeomorphisms that are isotopic to the identity homeomorphism. Teichmüller spaces are named after Oswald Teichmüller.

History
Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826-1866), who knew that
6g-6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus
g ≥ 2.
The early study of Teichmüller space, in the late nineteenth–early twentieth century, was geometric and founded on the interpretation of Riemann surfaces as hyperbolic surfaces. Among the main contributors were Felix Klein, Henri Poincaré, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke and Werner Fenchel.

The main contribution of Teichmüller to the study of moduli was the introduction of quasiconformal mappings to the subject. They allow us to give much more depth to the study of moduli spaces by endowing them with additional features that were not present in the previous, more elementary works. After World War II the subject was developed further in this analytic vein, in particular by Lars Ahlfors and Lipman Bers. The theory continues to be active, with numerous studies of the complex structure of Teichmüller space (introduced by Bers).

The geometric vein in the study of Teichmüller space was revived following the work of William Thurston in the late 1970s, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface. Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmüller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory.

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 20:04:46.96

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https://www.youtube.com/playlist?list=PL04QVxpjcnjj-7bMIZG1smxVh_6gvHbki
https://www.youtube.com/watch?v=X1cAVLSMz0g&list=PL04QVxpjcnjj-7bMIZG1smxVh_6gvHbki&index=1
A History and Survey of the Subject by Pierre Lochak
International Centre for Theoretical Sciences 2024/02/26
DISCUSSION MEETING : GROTHENDIECK TEICHMÜLLER THEORY

ORGANIZERS : Pierre Lochak (CNRS and IMJ-PRG, Paris, France) and Devendra Tiwari (Bhaskaracharya Pratishthana, Pune, India)
DATE : 26 February 2024 to 01 March 2024
VENUE : Madhava Lecture Hall, ICTS Bengaluru and Online
Beyond “dessins d’enfant”, the theory nowadays referred to as Grothendieck-Teichmüller theory (Galois-Teichmüller in Grothendieck’s manuscripts) may well represent the main new theme in the Esquisse d'un Programme, as confirmed in the Promenade à travers une œuvre (which is part of Récoltes et semailles). Simplifying a great deal one may say that Grothendieck’s main ideas were taken up especially by Y. Ihara, V. Drinfeld and P. Deligne in the mid and late eighties.They derive in large part from the elementary remark that the fundamental group remains the only invariant in classical algebraic topology which is not a priori abelian .Making this remark fruitful probably required the genius of Alexandre Grothendieck . The fact is that out of it Grothendieck-Teichmüller theory (on which we will concentrate) and Anabelian Geometry (including the so-called “section conjecture”) were born.

In Grothendieck’s Esquisse, he is dealing with the full étale fundamental group, which is profinite almost by definition, or say by a form of the GAGA principle. It leads to the original version of the Grothendieck-Teichmüller group which again by definition (or by functoriality) and using the famous Belyi theorem, contains the absolute Galois group Gal(Q) of the field Q (the prime field in charateristic zero, as Grothendieck likes to put it).

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 20:05:07.85

つづき

A significant bifurcation occurred in Deligne’s 1989 paper on Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points,in which the author brings in the rich toolbox of rational homotopy theory and motives (at least what we nowadays call mixed Tate motives),at the expense of using the prounipotent (not profinite) fundamental group. The ensuing version of the Grothendieck-Teichmüller group of course does not contain the Galois group anymore but this linearized version of the theory lends itself more easily to computations (e.g. those involving Multiple Zeta Values) and has become largely prevalent (including lately in deformation theory).

In this week long meeting we will discuss both versions (which could also be termed “linear” and “nonlinear”), including in particular an introduction to the profinite (nonlinear) version of the theory, which seems much closer to what Grothendieck initially had in mind and has been hitherto much less publicized. There will be mini-courses by subject experts of introductory nature for younger researchers, who were not exposed to these topics before.There will also be a few research talks by active researchers to explain the current state of the art in the subject of the meeting.

Accommodation will be provided for outstation participants at our on campus guest house.
ICTS is committed to building an environment that is inclusive, non discriminatory and welcoming of diverse individuals. We especially encourage the participation of women and other under-represented groups.
Eligibility Criteria: Senior Ph.D. students, postdocs, and faculties working on topics related to the theme of the meeting.
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 20:09:47.99

This multi-volume set deals with Teichmüller theory in the broadest sense, namely, as the study of moduli space of geometric structures on surfaces, with methods inspired or adapted from those of classical Teichmüller theory. The aim is to give a complete panorama of this generalized Teichmüller theory and of its applications in various fields of mathematics.

The volumes consist of chapters, each of which is dedicated to a specific topic. The present volume has 19 chapters and is divided into four parts:

The metric and the analytic theory (uniformization, Weil–Petersson geometry, holomorphic families of Riemann surfaces, infinite-dimensional Teichmüller spaces, cohomology of moduli space, and the intersection theory of moduli space).
The group theory (quasi-homomorphisms of mapping class groups, measurable rigidity of mapping class groups, applications to Lefschetz fibrations, affine groups of flat surfaces, braid groups, and Artin groups).
Representation spaces and geometric structures (trace coordinates, invariant theory, complex projective structures, circle packings, and moduli spaces of Lorentz manifolds homeomorphic to the product of a surface with the real line).
The Grothendieck–Teichmüller theory (dessins d'enfants, Grothendieck's reconstruction principle, and the Teichmüller theory of the soleniod).
This handbook is an essential reference for graduate students and researchers interested in Teichmüller theory and its ramifications, in particular for mathematicians working in topology, geometry, algebraic geometry, dynamical systems and complex analysis.

The authors are leading experts in the field.

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 20:11:57.70

P.Lochakは、中村先生のホームページに３カ所出てくる

(参考)
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/selection.html
Articles on Anabelian Geometry

Y.Ihara, H.Nakamura:
``Some illustrative examples for anabelian geometry in high dimensions''
in `Geometric Galois Actions I' (L.Schneps, P.Lochak eds.)
London Math. Soc. Lect. Note Series 242 (1997), pp. 127--138.
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/lion/INanabel.pdf

H.Nakamura:
``Galois representations in the profinite Teichmueller modular groups''
in `Geometric Galois Actions I' (L.Schneps, P.Lochak eds.)
London Math. Soc. Lect. Note Series 242 (1997), pp. 159--173.
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/lion/Gaction.pdf

Galois-Teichmueller theory:
P.Lochak, H.Nakamura, L.Schneps:
"Eigenloci of 5 point configurations on the Riemann sphere and the Grothendieck-Teichmueller group"
Math. J. Okayama Univ. 46 (2004), 39--75.
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/deer/_09_Lochak-Nakamura-Schneps.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 20:32:56.24

The Teichmüller space of a surface was introduced by O. Teichmüller in the 1930s. It is a basic tool in the study of Riemann's moduli spaces and the mapping class groups. These objects are fundamental in several fields of mathematics, including algebraic geometry, number theory, topology, geometry, and dynamics.

The original setting of Teichmüller theory is complex analysis. The work of Thurston in the 1970s brought techniques of hyperbolic geometry to the study of Teichmüller space and its asymptotic geometry. Teichmüller spaces are also studied from the point of view of the representation theory of the fundamental group of the surface in a Lie group

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 22:59:53.93

>>367
ありがとうございます
こういう重要ポイントをさらっとコピーできるのは、御大かな

さて、下記の動画がよさげです
（宇宙の説明は、間違った説明ですが、それ以外は）

https://www.youtube.com/watch?v=BC2zezyqIwA
宇宙際タイヒミューラー理論 JPアクチュアリーコンサルティング（JPAC)株式会社
JPアクチュアリーコンサルティング株式会社
2020/04/16

@user-sx2zr3rs4q
2 年前
いま宇宙際タイヒミラー理論呼んでいるところです。この動画の解説はよくわかります。有難うございます。IVを読み終わて、山下剛氏のABC予想のレポートを3分の一ぐらい読み、１を9割ぐらい読みIIを3分の1位読みIIIを半分弱読んでいます。この段階で星氏の解説や望月氏のレクチャーを読むと少しは納得いきます。私は頭が悪く数学者でもなく素人ですが若いころベーユやグロタンデークやセールの論文を仲間と読んだ経験しかありません。宇宙際タイヒミラー理論は、グロタンデーク宇宙を無限に格子状に並べて垂直方向はlog矢印で固定してるが水平方向は宇宙にかかわりのある矢印で結んでいて、何かに依存して振動しているみたいですね。ABC]予想を証明するためには、無限格子を４枚用意しているみたいですね。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/20(土) 23:25:03.78

>>368 補足
>宇宙際タイヒミラー理論は、グロタンデーク宇宙を無限に格子状に並べて垂直方向はlog矢印で固定してるが水平方向は宇宙にかかわりのある矢印で結んでいて

ここ、完全に望月さんのミスリードに乗せられています
・IUT最新文書は、下記2024年03月24日付けのものです
・なお、補足下記Mathlogで「前節で述べた通り本稿で考察する対象であるGrothendieck宇宙は，圏論を含む現代数学の多くを展開するにたる大きさを持つ集合である」
　ということです。なお正確には
　「Grothendieck宇宙は，圏論を含む現代数学の多くを展開するにたる大きさを持つ宇宙（集合とクラスのあつまり）である」でしょうね
　”大きさを持つ集合”というと、パラドックスを誘導するのでまずいですね

＜IUT最新文書＞
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/news-japanese.html
2024年03月24日望月新一
　・（過去と現在の研究）2024年4月に開催予定のIUGCの研究集会での講演の
　　スライドを公開。https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUT%20as%20an%20Anabelian%20Gateway%20(IUGC2024%20version).pdf
P8
In this context, it is important to remember that, just like SGA,
IUT is formulated entirely in the framework of
“ZFCG”
(i.e., ZFC + Grothendieck’s axiom on the existence of universes),
especially when considering various set-theoretic/foundational
subtleties (?) of “gluing” operations in IUT (cf. [EssLgc],
§1.5,§3.8,§3.9, as well as [EssLgc],§3.10, especially the discussion of “log-shift adjustment” in (Stp 7)):
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。

https://mathlog.info/articles/130
Mathlog
サクラ
大学数学基礎
解説
Grothendieck宇宙のーと
Grothendieck宇宙の導入の意義：圏のサイズの問題
現代数学の基礎概念の一つに圏がある．この圏は次のように定義することができる．

Grothendieck宇宙の定義と基本性質
前節で述べた通り本稿で考察する対象であるGrothendieck宇宙は，圏論を含む現代数学の多くを展開するにたる大きさを持つ集合である．

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 09:25:54.83

これいいね
四半世紀前だが、ここまで戻らないと、理解がついていかない
中村博昭先生の話は、分かり易い
”集中講義の機会をお世話くださった田口雄一郎氏”とありますが
田口雄一郎先生は、このころから遠アーベルのワールドの住人だったのですね（当時は北大か）

http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/hokudai99/hokudai99.pdf
１９９９年度北大集中講義
レクチャーノート
ガロア・タイヒミュラー群の理論
中村博昭述
北海道大学数学講究録 No.65 2000

はしがき
このノートは、1999年6月7日～6月11日に北海道大学で集中講義した内容に若干加筆してまとめたものである。
この講義の主なねらいは、代数曲線のモジュライ空間の基本群タイヒミュラーモジュラー群たちが、リーマン面の退化を通じて、多重な仕方で積み重なっている様子を、有理数体の絶対ガロア群の表現の言葉で記述することであった。
特に、代数曲線のモジュライ空間に関係する種々の副有限基本群におけるガロア表現が、その最も基本的な場合である射影直線マイナス３点の場合をうまく組み合わせることで具体的に記述できる、ということを説明した。
この一環としてタイヒミュラー幾何学のような位相幾何と代数幾何が交錯する世界の一面を、ガロア理論を通じて群論的な平易な言葉で描写することを試みた。
初日の談話会(§1)において、本講義の主題であるガロア・タイヒミュラー群を素朴な立場から説明するとともに、ここにおけるガロア表現を記述するために最近L.Schnepsとの共同研究において導入したリーマン面のキルト分解のなす extended Hatcher およびグロタンディーク・タイヒミュラー群GTの精密化について紹介した。
そのあと、連続講義では一旦基礎的な話題に立ち戻り、次のような内容を論じた。
§2.射影直線マイナス３点の基本群における外ガロア表現とBelyiの定理とその意義。
§3.基本亜群とtangential base point概念の導入。またGrothendiek-Teichmuller群の定義と基本事項の紹介。
§4.極大退化曲線の形式近傍の具体的な構成とガロア表現のvan Kampen的貼り合わせについて。
§5.代数曲線のモジュライ空間の基本群とその位相幾何的な生成元(Dehn twist)へのガロア作用について、種数１の特別な場合に限定して例示。
　末尾に、講義で十分に立ち入ることの出来なかった詳細などを補うために、簡単な文献案内を追加した。
例外的なものを除き、出版されているものに限った。
もとより完全な文献リストを意図したものではなく、読者諸氏の参考の一助にとの思いから供するものに過ぎない。
集中講義の機会をお世話くださった田口雄一郎氏をはじめ、筆者の拙い講義に辛抱強く出席してくださった学生の皆さん、特にTeXで記録を作成して下さった大溪幸子、長谷部寛之、林真也、山上敦士の諸氏のお力添えがなければ、このノートは決して完成いたしませんでした。
心より感謝申し上げます。平成１２年５月中村博昭都立大・理

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 09:52:51.70

>末尾に、講義で十分に立ち入ることの出来なかった詳細などを補うために、簡単な文献案内を追加した。

文献案内がいい
岩澤健吉先生から始るのか！
伊原康隆先生や
P.Lochak先生も出てきます

http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/hokudai99/hokudai99.pdf
参考文献
本文中に引用した、基本群とガロア群に関する次の教科書は、基礎的な事項から正確に学べる大変有用な書物です。
[岩澤]岩澤健吉,『代数函数論増補版』岩波書店1952

数論的基本群の組織的研究は、Grothendiek,Deligneそしてわが国の伊原康隆先生により、独立の観点から進められてきました。
組紐群の導入により、俄然トポロジーとの接近が急速になった契機としては、次のDrinfeldによる論文が重要でした。

その後、世界中の研究者の注目を集めるようになった数論的基本群について、Grothendiekに近い立場からL.Schneps,P.Lochakが中心となり国際研究集会が催されるようになりました。次の報告集は今では基本的な文献となっています。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 10:50:09.47

用語宇宙(universe)
に対する混乱は、2002年8月頃の下記文書でも見られる
しかし、用語宇宙(universe)の混乱はあっても、それはIUTの数学としての成否に直結しない
むしろ、アイデアの飛翔をうながしたかもしれない

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
望月新一論文
講演のアブストラクト・レクチャーノート
[4] Anabelioidの幾何学とTeichmuller理論. PDF
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelioid%20no%20kikagaku%20to%20Teichmuller%20riron%20(Muroran%202002-08).pdf
Anabelioidの幾何学とIbichmiiller理論
望月新一（京都大学数理解析研究所）
2002年8月

§1 P進双曲曲線を他宇宙から見る
我々が通常使用している、スキームなどのような集合論的な数学的対象は、実
は、磯論を開始した際に採用された「集合論｣、つまり、あるGrothendieck宇宙の
選択に本質的に依存しているのである。この「1つの集合論」の採用は、もっと具体
的にいうと、
「あるラベル（＝議論に登場する集合やその元の名前）のリストの選択」
と見ることもできる。すると、次のような問い掛けが生じる：
問：スキームのような集合論的幾何的対象を別の集合論的宇宙から見たら、
つまり、たまたま採用したラベルたちを取り上げてみたら、その幾何的対
象はどのように見えるか？

このように、宇宙を取り替えたりするような作業を行なう際、別の宇宙にも通じる
数学的対象を扱うようにしないと、議論は意味を成さなくなるが、（本稿では省略す
るが）様々な理由によって、園は、そのような性質を満たす。一般に、違う宇宙にも
通じるものをintcr-universalと呼ぶことにするが、「圏」というものは、最も基本的か
つ原始的なinter-universalな数学的対象ということになる。
さて、スキームを他宇宙から見たらどんな風に見えるか、という問いに答える
ためには、スキームを、inter-universalに表現する必要がある。これには様々な手法
があるが、本稿では、次のものを取り上げる（別の手頃な例については、IMzk7]を
参照）：

ここでは、B(G)を、1つの幾何的対象とみなし、anabelioidと呼ぶことにする。
実は、B( G)は、「連結なanabelioid」になるが、一般には、複数の連結成分をもつ
anabelioidを扱うこともある（詳しくは、[Mzk8]を参照) ｡

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 10:50:38.53

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
宇宙 (数学)
数学、とりわけ集合論や数学基礎論における宇宙とは、特定の状況において考察される実体のすべてを元として含むような類のことである。このアイデアにはいくつものバージョンがあるため、項目を分けて説明する。

ある特定の文脈において
おそらく最も単純なバージョンは、研究対象が特定の集合で閉じている限り、任意の集合が宇宙であるというものである。もし研究対象が実数として形式化されていれば、実数の集合である実数直線 R は考察下において宇宙になりうる。これは1870年代から1880年代にかけてゲオルク・カントールが実解析の応用として、初の現代的な集合論と濃度の開発に用いた宇宙である。カントールが当時興味を持っていた集合は、R の部分集合だった。

この宇宙の概念はベン図の使用に反映されている。ベン図において、作用は伝統的に宇宙 U を表す大きな四角形の内部に生じる。一般的に集合が U の部分集合であれば、それは円によって表現される。集合 A の補集合は A の円の外側の四角形の部分によって与えられている。

通常の数学
与えられた X (カントールの場合には、 X = R) の部分集合を考えれば、宇宙は X の部分集合の集合の存在を要請する。 (例えば、X の位相は X の部分集合の集合である。) X の様々な部分集合の集合は、それ自体は X の部分集合にならないが、代わりに X の冪集合 PX の要素はX の部分集合になる。これに続き、研究対象は宇宙が P(PX) になるような場合における X の部分集合の集合などを構成する。

集合論
SNは通常の数学の宇宙であるという主張に正確な意味を与えることは可能である。すなわち、それはツェルメロ集合論のモデルである。
Vi のすべての和集合は次のようにフォン・ノイマン宇宙 V となる
これらの和集合 V は真の類である。置換公理と同時期にZFにを加られた正則性公理は、すべての集合が V に属することを主張している。

クルト・ゲーデルの構成可能集合 L と構成可能公理
到達不能基数は ZF のモデルと加法性公理を生じ、さらにグロタンディーク宇宙の集合の存在と等価である。

圏論
圏論に歴史的につながる宇宙への別のアプローチの方法がある。これはグロタンディーク宇宙と呼ばれる。大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは集合論の通常実行されるすべての操作を内部にもつ集合である。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 12:40:47.40

グロタンディークのガロア理論
むずいが、この程度は「常識だ！」と言えないと、IUTは分らない
むずいが勉強中です

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E5%9C%8F
ガロア圏
ガロア圏（ガロアけん、Galois category）とは古典ガロア理論が展開される、いくつかの公理を満たす圏である。
元来古典ガロア理論および位相幾何学における基本群の理論の類似点が指摘されていたが、アレクサンドル・グロタンディークがガロア理論の成り立つ公理系を明言し、一般的なガロア圏の理論を構成した。古典ガロア理論および基本群の理論はこの理論の基本的な例になる。この理論はグロタンディークのガロア理論と呼ばれることもある。

ガロア圏成立の経緯
グロタンディークのガロア理論、ガロア圏は、体のガロア理論の抽象的なアプローチであり、1960年頃に開発され、代数幾何学の設定おいて代数トポロジー(algebraic topology)の基本群の研究方法をもたらした。体論の古典的設定の中で、1930年代頃から標準的となっている線型代数を基礎としたエミール・アルティン(Emil Artin)の理論に代わる見方をもたらした。

アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)のアプローチは、固定された射有限群 G に対して有限 G-集合の圏を特徴付ける圏論的性質に関係している。例えば、G として ˆZ と表記される群が考えられる。この群は巡回加法群 Z/nZ の逆極限である。あるいは同じことであるが、有限指数の部分群の位相に対する無限巡回群の完備化である。すると、有限 G-集合は G が商有限巡回群を通して作用している有限集合 X であり、X の置換を与えると特定することができる。

上の例では、古典的なガロア理論との関係は、
ˆZ を任意の有限体 F 上の代数的閉包 F の射有限ガロア群 Gal(F/F) と見なすことである。すなわち、F を固定する F の自己同型は、 F 上の大きな有限分解体をとるように、逆極限により記述される。幾何学との関係は、原点を取り除いた複素平面内の単位円板の被覆空間として見なすことができる。複素変数 z と考えると、円板の zn 写像により実現される有限被覆は、穴あき円板の基本群の部分群 n.Z に対応する。

SGA1[1]で出版されたグロタンディークの理論は、どのようにして G-集合の圏をファイバー函手(fibre functor) Φ から再構成するかが示されている。ファイバー函手は、幾何学的な設定では、（集合として）固定されたベースポイント上の被覆のファイバーを持つ。実際、タイプ
G ≅ Aut(Φ)
として証明された同型が存在する。右辺は、Φ の自己同型群（自己自然変換）である。集合の圏への函手をもつ圏の抽象的な分類は、射有限な G に対する G-集合の圏を認識することによって与えられる。

どのようにしてこれを体の場合に適用するかを知るには、体のテンソル積を研究する必要がある。
トポスの理論の中の体のテンソル積は、原子的トポス(atomic topos)の理論の全体となる。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 13:14:40.98

これいいね
この程度が私には合っているかも

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H18-tamagawa.pdf
成18年度(第28回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成18年7月31日～8月3日開催)
ガロア理論とその発展
玉川安騎男

§0. はじめに
ガロア理論とは、Evariste Galois (1811-1832) によって創始された、代数方程式の解の置換に関する理論です。その基本定理は「体」と「群」という代数学の基本概念を用いて述べることができ、現在でも整数論の研究の中で最も基本的な道具の１つであり続けています。

最後に、遠アーベル幾何など、現代の整数論・数論幾何におけるガロア理論の展開についても紹介したいと思います。

5.1. 無限次ガロア理論
5.2. 絶対ガロア群
任意の体Kに対して、Kの最大ガロア拡大体Ksepが（K上の同型をのぞいて一意的に）存在し、任意のガロア拡大L/Kは、Ksep/Kの中間拡大とみなすことができます。KsepはKの「分離閉包」（あるいは「分離的代数閉包」）として定義され、Kが完全体のとき（例えばKが有理数体Qの拡大体のとき）には、KsepはKの「代数閉包」Kと一致します。GK =Gal(Ksep/K)をK の絶対ガロア群と言います。これは、体Kから決まる重要な群で、Kのさまざまな情報を含んでおり、今日の整数論・数論幾何学における最も基本的な道具の一つとなっています。特に、有理数体の絶対ガロア群GQは、それ自身が整数論の重要な研究対象です。現代の整数論のかなりの部分は、GQのさまざまな観点からの研究とみなせると思います。

5.3. ノイキルヒ・内田の定理
ガロア理論の基本定理は、ガロア対応により、体の拡大の様子が群の言葉で完全に記述できることを示しています。
しかし、そこに現れる体は、あくまで固定された一つの体の拡大体ばかりです。
遠アーベル幾何の精神は、一種の絶対的なガロア理論であり、ある種の体に対しては、体そのものの様子を群の言葉で完全に記述できるだろうという考えです。
特に、一つの体だけでなく、二つの異なる体の上のガロア群の群論的な比較という問題を含みます。
次のノイキルヒ・内田の定理（の弱形）は、遠アーベル幾何の典型的な例を与えています。
定義. Qの有限次拡大体を代数体と言う。
定理. K1, K2を代数体とする。この時、K1 K2（体として同型）⇐⇒ GK1 GK2（位相群として同型）
通常のQ上の（無限次）ガロア理論の帰結として出るのは、K1 K2 ⇐⇒ GK1とGK2 がGQ内で互いに共役
であり、GK1 ,GK2 はあくまでGQの部分群としてしか見ていません。
その意味で、あくまでQ上の相対的なガロア理論であると言えます。
一方、ノイキルヒ・内田の定理では、GK1 ,GK2 を抽象的な（位相）群として扱っており、GQの部分群として見ているわけではありません。
この意味で、絶対的なガロア理論と言うことができます。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 13:15:07.75

つづき

5.4. スキームの基本群と遠アーベル幾何
前節で「絶対的ガロア理論」という遠アーベル幾何の精神について、例を挙げて説明しましたが、なぜ「幾何」なのか、なぜ「遠アーベル」なのか、ということについては説明しませんでした。
以下これについて説明して本稿を終わりたいと思います。
体の一般化として、環という概念があります。体の定義の中で、除法（÷）に関する部分（及び1=0という条件）を全て削除したものが環の定義になります。（正確には、これは「可換環」の定義ですが、ここでは可換環を単に環と呼ぶことにします。）つまり、環とは、加法、減法、乗法が自由にできるような集合のことを言います。体のほか、整数環Zや多項式環K[x1,...,xn]、K[x]などが環の例になります。環の典型的な現れ方として、与えられた空間Xの上の（適当な条件を満たす）関数全体のなす環があります。この場合、関数の値の和、差、積を考えることにより、関数の和、差、積を定義します。（1,0は、それぞれ恒等的に値1,0を取る関数として定義します。）
実は、任意の環はこのようにして得られることが知られています。より正確に言うと、与えられた環Rに対し、アフィンスキームと呼ばれるある種の空間Spec(R)が定まり、Rは空間Spec(R) 上の正則関数全体のなす環と自然に同一視されます。

更に、環を考えることとアフィンスキームを考えることは本質的に同等であることが知られています。
一般のスキームは、アフィンスキームをはり合わせることにより定義されます。１９５０年代後半にグロタンディークによって定義されたこのスキームは、代数多様体（≈多項式で定義される図形）の概念を大きく一般化するもので、現在の代数幾何学・数論幾何学の基礎をなす概念です。グロタンディーク自身により、体のガロア理論は、スキームのガロア理論へと一般化されました。この理論で体の絶対ガロア群に当たるものが、スキームの基本群です。絶対ガロア群は、与えられた体の（有限次分離）拡大体全体を統制する副有限位相群でしたが、基本群は、与えられたスキームの（有限エタール）被覆全体を統制する副有限位相群です。スキームの基本群は、通常の位相幾何（トポロジー）で扱う位相空間の基本群の代数的（ないし代数幾何的）な類似と見ることができます。
１９８０年代初頭、グロタンディークは、遠アーベル幾何という新しい幾何を提唱しました。その基本的な発想の一つは、遠アーベルスキームと呼ばれるある種のスキームの幾何は、その（アーベル群から程遠い）基本群によって完全に決定されるだろう、というものです。グロタンディークの提唱した形での遠アーベル幾何は、遠アーベルスキームの一般的な定義が見つかっていないなど、理論的にはまだまだ発展途上の状態ですが、既にいくつもの重要な結果が得られています。例えば、ノイキルヒ・内田の定理は、（グロタンディークが遠アーベル幾何を提唱する以前の結果ですが）遠アーベル幾何における一つの基本的な結果となっています。また、近年では、代数曲線やそのモジュライ空間の遠アーベル幾何の研究が、（本研究所を中心に）さまざまな角度から進められ、興味深い結果がいくつも得られています。このように、１９世紀前半に生まれたガロア理論は、現代もなお強い生命力を持って進化しています。

(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 14:46:59.61

これいいね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%BE%A4
絶対ガロア群
体 K の絶対ガロア群 GK（ぜったいガロアぐん、英: absolute Galois group）とは、K の分離閉包 Ksep の K 上のガロア群のことである。これは、K の代数的閉包の自己同型のうちで K を固定するもの全てから成る群と一致する。絶対ガロア群は副有限群であり、内部自己同型による違いを除いて well-defined である。

K が完全体であれば Ksep は K の代数的閉包 Kalg と等しい。K が標数0の場合や、K が有限体の場合がこれにあたる。

例
・代数的閉体の絶対ガロア群は単位元のみからなる自明な群である。
・実数体の絶対ガロア群は複素共役と恒等写像からなる位数2の巡回群である。これは、複素数体 C が実数体 R の分離閉包であり、[C:R] = 2 であることから分かる。
・有限体 K の絶対ガロア群は次の群
　𝑍^=lim ←𝑍/𝑛𝑍
と同型である（記号については射影極限参照）。フロベニウス自己同型 Fr は GK の標準的な位相的生成元である。
Fr は、q を K の元の数とすると、Fr(x) = x^q （x は K^alg の元）で定義される写像である。
複素数体上の有理関数体の絶対ガロア群は自由副有限群である。
これはリーマンの存在定理に起源を持つ定理で、アドリアン・ドゥアディ（英語版）により証明された[1]。
・より一般に、任意の代数的閉体 C に対して、有理関数体 K = C(x) の絶対ガロア群は自由でその階数は C の濃度に等しいことが知られている。これはデイヴィッド・ハーバター（英語版）[訳語疑問点]とフロリアン・ポップにより証明され、のちにダン・ハラン（英語版）[訳語疑問点]とモシェ・ジャーデン（英語版）[訳語疑問点]により代数的な方法で別証明が与えられた[2][3][4]。
・K を p 進数体 Qp の有限次拡大とする。p ≠ 2 であれば、この体の絶対ガロア群は [K:Qp] + 3 個の元で生成され、またその生成元と関係式も完全に知られている。これはウーヴェ・ヤンセン（英語版）とケイ・ヴィンベルグ（英語版）[訳語疑問点]による結果である[5][6]。p = 2 の場合にもいくつかの結果があるが、Q2 に対してはその構造は知られていない[7]。
・総実な代数的数全ての体の絶対ガロア群が決定されている[8]。
未解決問題
・有理数体の絶対ガロア群を直接的に記述する方法が知られていない。有理数体の絶対ガロア群の元で他の元と区別できるよう名前が付けられているのは単位元と複素共役だけである[9]。ベールイの定理によりこの絶対ガロア群はグロタンディークの子供のデッサン（曲面上の地図）に忠実に作用するので、代数体のガロア理論を"見る"ことはできる。
・有理数体の最大アーベル拡大 K の絶対ガロア群は自由副有限群であろうと予想されている（シャファレヴィッチの予想）[10]。

https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_Galois_group
Absolute Galois group

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 16:00:20.51

これいいね
Florian Pop先生、さすがですね

https://swc-math.github.io/aws/2005/notes.html
Arizona Winter School 2005
Florian Pop: “Anabelian phenomena in arithmetic and geometry”
Course description
Course notes
Video:
Lecture 1: video
Lecture 2: video
Lecture 3: video
Lecture 4: audio
Course notes https://swc-math.github.io/aws/2005/05PopNotes.pdf

PART I: Introduction and motivation The term “anabelian” was invented by Grothendieck, and a possible translation of it might be “beyond Abelian”.
The corresponding mathematical notion of “anabelian Geometry” is vague as well, and roughly means that under certain “anabelian hypotheses” one has:
∗ ∗ ∗Arithmetic and Geometry are encoded in Galois Theory ∗ ∗ ∗
It is our aim to try to explain the above assertion by presenting/explaining some results in this direction.
For Grothendieck’s writings concerning this the reader should have a look at [G1], [G2].

PART II: Grothendieck’s Anabelian Geometry The natural context in which the above result appears as a first prominent example is Grothendieck’s anabelian geometry, see [G1], [G2]. We will formulate Grothendieck’s anabelian conjectures in a more general context later, after having presented the basic facts about ´etale fundamental groups. But it is easy and appropriate to formulate here the so called birational anabelian Conjectures, which involve only the usual absolute Galois group.

P22
The result above by Mochizuki is the precursor of his much stronger result concerning hyperbolic curves over sub-p-adic fields as explained below.

PART III: Beyond Grothendieck’s anabelian Geometry

References
Ihara, Y., On beta and gamma functions associated with the Grothendieck-Teichmller group II, J. reine angew. Math. 527 (2000), 1–11.
Mochizuki, Sh., The profinite Grothendieck Conjecture for closed hyperbolic curves over number fields, J. Math. Sci. Univ Tokyo 3 (1966), 571–627.
Mochizuki, The absolute anabelian geometry of hyperbolic curves, Galois theory and modular forms, 77–122, Dev. Math., 11, Kluwer Acad. Publ., Boston, MA, 2004.
Nagata, M., A theorem on valuation rings and its applications, Nagoya Math. J. 29 (1967), 85–91.
Nakamura, H., Galois rigidity of the ´ etale fundamental groups of punctured projective lines, J. reine angew. Math. 411 (1990) 205–216.

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 19:40:26.47

ホッジシアター（ホッジ劇場）とは

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論

理論の範囲
遠アーベル的な復元、変形手順のインフラストラクチャは、Θリンクやlogリンクなど、いわゆるホッジ劇場間の特定のリンクによってデコードされる[66]。
これらのホッジ劇場は、IUTの2つの主要な対称性を使用する。乗法演算と加法幾何学である。ホッジ劇場は、アデールやイデールなどの古典的オブジェクトをグローバル要素に関連して一般化し、一方で、望月のホッジ・アラケロフ理論に登場する特定の構造を一般化する。劇場間のリンクは、環またはスキーム構造と互換性がなく、従来の数論幾何学の外部で実行される。ただし、それらは特定の群構造と互換性があり、絶対ガロア群や特定のタイプの位相群はIUTで基本的な役割を果たす。関数性の一般化である多重放射性の考慮事項は、3つの穏やかな不確定性を導入する必要があることを意味している[66]。

https://ja.ユアペディア.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
ホッジ舞台[編集]
まず、初期テータ情報が与えられる。
初期テータ情報とは、
・数体Fの代数的閉包をFで割った剰余体
・F上の楕円曲線X_F
・5以上の素数L
・K上の双曲線
・楕円曲線X_Fのモジュライの体における付値の集合V_mod
・わるい還元をもつ楕円曲線における付値の集合V_mod^bad
の組のことである。
ことなる素数Lや体Fごとに初期テータ情報は無数に存在し、特殊な添え字の理論によってラベルがつけられる。テータ橋梁がこのラベルを参考にことなる初期テータ情報の関連付けを行う。テータ橋梁が関連付けるのはテータ情報から出現する素数ストリップのいくつかの組で、この射の集まりのことをホッジ舞台とよぶ。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 19:59:39.99

ホッジシアター（ホッジ劇場）とは (2)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/introduction_to_inter-universal_teichmuller_theory.pdf
宇宙際Teichm¨uller 理論入門(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory)
By星裕一郎(Yuichiro Hoshi)

謝辞
本稿のからまでの部分は年月に京都大学数理解析研究所で行われた研究集会宇宙際タイヒミューラー理論の検証と更なる発展での筆者による講演数体の単遠アーベル的復元の内容の一部をまとめて更に説明を付け加えたものでありそして本稿のからまでの内容をもとに年月に九州大学の数論幾何学セミナーにおいて宇宙際理論入門という題目の講演を行いましたこれら講演の機会を与えてくださった望月新一先生田口雄一郎先生にお礼申し上げます

§20.加法的Hodge劇場
§23.θHodge劇場
§25.乗法的Hodge劇場
§26.Hodge劇場と対数リンク

Ｐ3
・§13から§20：テータ関数に関わる局所理論やその大域化の説明、特に、加法的/幾何学的な対称性が重要な役割を果たす加法的Hodge劇場の構成の説明
・§21から§25：数体の復元に関わる理論の説明、特に、乗法的/数論的な対称性が重要な役割を果たす乗法的Hodge劇場の構成の説明
・§26：最終的なHodge劇場の構成の説明

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/21(日) 20:15:49.50

ホッジシアター（ホッジ劇場）とは (3)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/introduction_to_inter-universal_teichmuller_theory_continued.pdf
続・宇宙際Teichm¨uller 理論入門(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory, Continued)
By星裕一郎(Yuichiro Hoshi)

謝辞
本稿のそれぞれ§2と§3,§7と§16と§17と§18,§1と§4と§5は
2015年12月に京都大学数理解析研究所で行われた研究集会
"代数的整数論とその周辺2015”
での筆者による連続講演宇宙際理論入門の
第1講演,第2講演,第3講演
の内容の一部をまとめて更に説明を付け加えたものです
この連続講演の機会を与えてくださったプログラム委員の高橋浩樹先生大野泰生先生津嶋貴弘先生にお礼申し上げます

目次
§1.初期θデータとHodge劇場
§4.Hodge劇場の加法的対称性
§5.Hodge劇場の乗法的対称性