メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_stack
Algebraic stack

In mathematics, an algebraic stack is a vast generalization of algebraic spaces, or schemes, which are foundational for studying moduli theory. Many moduli spaces are constructed using techniques specific to algebraic stacks, such as Artin's representability theorem, which is used to construct the moduli space of pointed algebraic curves {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}{\mathcal {M}}_{{g,n}} and the moduli stack of elliptic curves. Originally, they were introduced by Grothendieck[1] to keep track of automorphisms on moduli spaces, a technique which allows for treating these moduli spaces as if their underlying schemes or algebraic spaces are smooth. But, through many generalizations the notion of algebraic stacks was finally discovered by Michael Artin.[2]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%83%E3%82%AF
代数的スタック

代数スタックとは、モジュライ理論の研究の基礎となる代数空間またはスキームの一般化である。多くのモジュライ空間は、 アルチンの表現可能定理など、代数スタック固有の手法を駆使して構築される。これは、尖った代数曲線のモジュライ空間の構築に使用される。 {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}{\mathcal {M}}_{{g,n}}は楕円曲線のモジュラススタックで、それらはモジュライ空間の自己同型を追跡するためにグロタン [1]により導入された。これは、モジュライ空間を基礎とするスキームや代数空間が滑らかであるかのように扱うことを可能とする。多くの一般化を通じ、代数スタックの概念がついにアルチンにより発見された。 [2]

定義
代数スタックの動機付けの例の1つは、 亜郡スキームをである。 {\displaystyle (R,U,s,t,m)}{\displaystyle (R,U,s,t,m)}固定スキーム上{\displaystyle S}S 。たとえば、 {\displaystyle R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}{\displaystyle R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}} （{\displaystyle \mu _{n}}\mu _{n}は、1を根とする群スキーム）、 {\displaystyle U=\mathbb {A} _{S}^{n}}{\displaystyle U=\mathbb {A} _{S}^{n}} 、 {\displaystyle s={\text{pr}}_{U}}{\displaystyle s={\text{pr}}_{U}}射影、 {\displaystyle t}tは群作用である。