>>384
そうですね 有限体の論を用いるならそのようになりますね
x^2+x+1 の問題と同様の方法でやろうとすると
ζ + 1/ζ ∈ F_p とは限らないので(ζはF_pの代数閉包の中の1の原始9乗根)
最低でもF_pの2次拡大を考えることになります

しかしながら まったく別の発想の解法があります
もちろん 完全に初歩的な方法です
(Step 1で初等数論のオイラーの定理を使ってるが
そこの部分は本質ではないし 利用する必要もない)
Step 2を見ればわかるとおり
不等式と鳩ノ巣論法(Thueの方法)のあわせ技が本質です
以下の方法は初等数論のしかも基礎だけで収まります

[回答例]
q≡±1,3(mod 9)を"満たさない"素数q全部の集合をDとおく

f(x,y) = x^3 - 3xy^2 + y^3 とおく
f(x,1) = x^3-3x+1 であるので
任意の互いに素な整数a,bの組に対して
f(a,b)の素因数すべてがDに"含まれない"ことを示せば十分

まずはStep 1 です
ここの部分は重要でないので
示すべき合同式だけをみて
Step 2 まで飛ばしても構いません

本文が長すぎるので 次の投稿で Step 1
そのつぎの投稿で Step 2 とわけます