逆バージョン, 具体的には次はもっと簡単に示せる:
pをp≡1(mod 6)なる素数とするとき
x^2+x+1がpで割り切れるような正の整数xが存在する

(証明)
gをmod p の原始根のうちの1つとする
x = g^((p-1)/3) とおくと x^3=g^(p-1)≡1 (mod p)
よって (x-1)(x^2+x+1)≡0 (mod p) が成立するから
x-1≡0 (mod p) か x^2+x+1≡0 (mod p) の少なくとも一方が成立する
x-1≡0 (mod p) とすれば g^((p-1)/3)≡1 (mod p) となり
gが原始根であることに反するので
x^2+x+1≡0 (mod p) であることが示された
証明おわり

つまり実質の原始根の存在だけで示せたということで
極めて簡単な証明ということになりました