実解析、測度および積分
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数列{a_n}がαに収束するというのは、
任意の ε>0 に対してある自然数Nがあって
n>N ⇒ | a_n - α| < ε
とできること、らしい。
これを使うには、前もってαを準備しないといけない。
収束するかどうかも分かってないのに
どうやってαを持ってくるか?
もし {a_n} が収束するなら
lim[m→∞] |a_m - (lim[n→∞] a_n)| = 0,
が成り立つ。
極限をとる条件を少し緩めて
lim[(m,n)→(∞,∞)] |a_m - a_n| = 0
とすれば前もってαを用意しなくていい。
これが0に収束すれば {a_n} も収束するのかどうか、
当時は不明だったが、反例も無さそうだ。
そこで {a_n} は収束する、とコーシーは仮定した。
(コーシーの収束判定法)
のちにカントールらはこれを満たす数列を「コーシー列」
「基本列」と呼んで研究した。
デデキントは、連続の公理(切断)を使って上記を証明した。
実解析にはこの公理が必須だろう。
A.L.コーシー:「解析教程」(1821)
J.W.R.デデキント:「連続性と無理数」(1872) カントールは数を
3.14159265358979・・・・ とか
2.718281828459045・・・・ とか
小数の形で表わした。
1桁進むごとに許容範囲の幅が 1/10 に狭くなっていき、
やがて0に収束する。(縮小区間列)
その中には相異なる2数は入り得ない。
それなら 1つは必ず有るのか?
証明はできないが、有るとしても矛盾はなさそうだ。
それなら 有ると仮定しよう。
これで 対角線論法が可能になった。
G.カントール:「集合論の一つの基本的問題について」(1890-91) >>5
コーシーの収束判定法は・・・・
Beaucoup de verites se disent en plaisantant.
(ウソから出た誠)
http://ja.glosbe.com/ja/fr/誠 Sheldon Axler著『Supplement for Measure, Integration & Real Analysis』
http://measure.axler.net/SupplementMIRA.pdf
Sheldon Axler著『Measure, Integration & Real Analysis』
http://measure.axler.net/MIRA.pdf 自然数は神が作り給うた。他のすべての数は人
為的なものである。
クロネッカー
数セミ増刊「100人の数学者」日本評論社 (1989)
p.137, p.147 囲い記事 溝畑の数学解析って古風な感じに見えるけどいい本なの? 局所コンパクト位相群のHaar測度について書いてあるLenesgue積分の本はありまふか?
Weilとか読まないといけない? >>14
The Joys of Haar Measure (Graduate Studies in Mathematics)
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