面白い問題おしえて〜な 32問目

393132人目の素数さん2020/05/23(土) 21:00:12.23ID:KUlK5hoA
あとは、上記のような g が存在することを言えばよい。

偶数全体の集合を Z_0 とする(集合としては H = Z_0 である)。
奇数全体の集合を Z_1 とする。以下の4つの集合

Z_0, Z_1, ∪[s=0〜∞] { n∈N|3^{2s} ≦ n < 3^{2s+1} }, ∪[s=0〜∞] { n∈N|3^{2s+1} ≦ n < 3^{2s+2} }

はどれも可算無限集合であるから、どの2つの間にも全単射が取れる。特に、
全単射 f_0:∪[s=0〜∞] { n∈N|3^{2s} ≦ n < 3^{2s+1} } → Z_0 と
全単射 f_1:∪[s=0〜∞] { n∈N|3^{2s+1} ≦ n < 3^{2s+2} } → Z_1 を
何でもいいから取っておく。

g:N → Z を以下のように定義する。

g_n = f_0(n) (3^{2s} ≦ n < 3^{2s+1}, s=0,1,2…),
g_n = f_1(n) (3^{2s+1}≦ n < 3^{2s+2}, s=0,1,2…)

明らかに g:N → Z は全単射である。また、この g は明らかに

・ g_n が偶数になるのは、3^{2s} ≦ n < 3^{2s+1} (s=0,1,2,…) のとき、かつそのときのみ

という性質を満たす。

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