面白い問題おしえて〜な 32問目

レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
1132人目の素数さん2020/04/07(火) 12:32:13.40
過去ログ置き場(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

01 http://cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
02 http://natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
03 http://mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
04 http://mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
05 http://mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
06 http://mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
07 http://science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
08 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
09 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/

なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて〜な 31問目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/

885132人目の素数さん2020/08/02(日) 18:44:47.37ID:YI8iBIPx
ランダウの記号(ビッグオー)のことでしょ?
f(n) を自然数 N 上で定義された実数値関数とするとき、
f(n) = O(n^α) (as n → ∞) の定義は
∃M ∊ N, ∃ C > 0 s.t. ∀n ∊ N, n > M ⇒ |f(n)| < C|n^α|
でしょ?

886132人目の素数さん2020/08/02(日) 22:42:44.08ID:55ujZ5fc
てす
他スレのコンプガチャの問題
ググったら答えが見つかったけどどうするかな

887132人目の素数さん2020/08/03(月) 08:02:07.23ID:pGHv6+Gw
有名な問題だからね
ただ具体的な数字で計算はだるいって話でしょ

888132人目の素数さん2020/08/04(火) 09:11:48.18ID:kB52B1VU
>>887
数値じゃなくて計算式を書けという問題

889132人目の素数さん2020/08/04(火) 09:27:31.15ID:+Srm/snw
>>888
まずは具体的な数字が与えられていてその期待値を計算せよ、と書いてあったでしょ
そして追記の計算式の方もa_iとかならともかくa,b,c…となっていたから書き下すのは大変

890132人目の素数さん2020/08/04(火) 09:29:42.77ID:kB52B1VU
>>889
手作業ですると()対応を間違える。

891132人目の素数さん2020/08/04(火) 11:34:38.26ID:6by4nADS
くだらねぇ問題はここへ書け
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/

892132人目の素数さん2020/08/06(木) 06:16:24.50ID:meNNWVIo
>>889
a[i]で書くほうが手間だぞ。

1/a[1]+1/a[2]+1/a[3]+1/a[4]+1/a[5]+1/a[6]+1/a[7]+1/a[8]+1/a[9]+1/a[10] - (1/(a[1]+a[2])+1/(a[1]+a[3])+1/(a[1]+a[4])+1/(a[1]+a[5])+1/(a[1]+a[6])+1/(a[1]+a[7])+1/(a[1]+a[8])+1/(a[1]+a[9])+1/(a[1]+a[10])+1/(a[2]+a[3])+1/(a[2]+a[4])+1/(a[2]+a[5])+1/(a[2]+a[6])+1/(a[2]+a[7])+1/(a[2]+a[8])+1/(a[2]+a[9])+1/(a[2]+a[10])+1/(a[3]+a[4])+1/(a[3]+a[5])+1/(a[3]+a[6])+1/(a[3]+a[7])+1/
....
以下省略

893132人目の素数さん2020/08/06(木) 06:19:56.72ID:meNNWVIo
>>892
a_iなら少し手間が省けるかな。
計算式の最後の方を書き出すと
+1/(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_8+a_9+a_10)+1/(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_7+a_8+a_9+a_10)+1/(a_1+a_2+a_3+a_4+a_6+a_7+a_8+a_9+a_10)+1/(a_1+a_2+a_3+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_10)+1/(a_1+a_2+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_10)+1/(a_1+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_10)+1/(a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_10)) - 1/(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_10)

894132人目の素数さん2020/08/06(木) 06:24:25.19ID:meNNWVIo
>>889
a,b,c,,,,,jだと計算式の文字数は14345
a_1,a_2,....a_10だと文字数は25097
になったが、数え落としがあるかわからんから、手書きして数えてくれw

895132人目の素数さん2020/08/06(木) 09:50:24.43ID:UuYgJh/d
てす
今度はフィーリングカップル問題か…

896132人目の素数さん2020/08/06(木) 14:04:06.90ID:1/AtprVO
>>894
Σ[φ≠J⊆{1,2,…,10}](-1)^(|J|-1)1/(Σ[i∈J]a_i)

897132人目の素数さん2020/08/06(木) 20:07:29.04ID:meNNWVIo
>>895
あの手の問題はシミュレーションプログラムの練習になって( ・∀・)イイ!!

898132人目の素数さん2020/08/10(月) 09:32:00.35ID:WaC83EyQ
この問題は面白そう

apu @apu_yokai (2020/08/09 19:50:05)
【apuの予想】
図のように正六角形を敷き詰めたとき、面積比は全て整数比となる

ゆるぼ
証明又は反例
https://pbs.twimg.com/media/Ee-SnmmUcAAgBTT.jpg
http://twitter.com/apu_yokai/status/1292412830956675072
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

899132人目の素数さん2020/08/10(月) 09:58:03.12ID:m4tOcnal
>>898
全部の頂点Z[√3i]に乗ってるんじゃないの?

900132人目の素数さん2020/08/10(月) 09:59:11.37ID:m4tOcnal
>>899
おっと間違えた
Z[exp(2πi/3)]だ

901132人目の素数さん2020/08/10(月) 10:18:04.96ID:bhsRQgCg
>>898
こんな都合良く敷き詰められる者なの?

902132人目の素数さん2020/08/10(月) 10:25:26.62ID:rMjX33R2
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903132人目の素数さん2020/08/10(月) 10:59:46.31ID:Y0L2GZC5
>>898
非負整数mと正整数nとでmm+mn+nnで表される整数が面積比として現れる

1 3 4 7 9 12 13 16 19…となるが、各々の後ろに2をつけて
12 32 42 72 92 122 132 162 192…とすると、対応するゴールドバーグ多面体が現れるところが面白い

904132人目の素数さん2020/08/10(月) 11:16:35.99ID:LgtUhmnG
>>898
おまえの連休、それでええんか?

905132人目の素数さん2020/08/10(月) 12:28:50.84ID:OMgDriQH
自然数 n に対し、以下を示せ。
(1) lim[n→∞] ∫[0,1] ((x^n)/(x+1)) dx = 0
(2) lim[n→∞] Σ[k=1,n] ((-1)^(k+1))/k = log(2)

906132人目の素数さん2020/08/10(月) 19:50:51.02ID:OMgDriQH
>>905
【追加】
(1)と(2)は同値であることを示せ。

907132人目の素数さん2020/08/11(火) 01:19:08.10ID:dwVOjOlW
立方体にくり抜いた穴にその立方体を通すことができるか?という有名な問題。
こういうCGはわかりやすいけど、グラフィックスで騙されていないかなとつい思ってしまうのだが、
https://www.youtube.com/watch?v=ua4LadxA6K8

実物作って実験した動画があった。
Prince Rupert’s cube live demonstration
https://www.youtube.com/watch?v=nWPdpqUEfE0

まだ、10人しか見ていないw

908132人目の素数さん2020/08/11(火) 01:26:59.51ID:KLYyGItm
>>907
単に最大サイズっぽい6角形に正方形が含まれることを示したら良いのでは

909132人目の素数さん2020/08/11(火) 01:38:53.74ID:KLYyGItm
1辺(√6)/3の正六角形だから中に1辺1の正方形はほんの少し余裕持って収まるよ

910132人目の素数さん2020/08/11(火) 10:54:32.02ID:FoWZrPf+
ずっと最大の穴は対角方向だと思ってたけど違うんだな

911132人目の素数さん2020/08/11(火) 11:10:59.31ID:KLYyGItm
>>910
対角線に沿って射影したのが最大じゃ無いの?
まあ立方体を通すには対角線に沿ってでいいけど

912132人目の素数さん2020/08/11(火) 11:36:18.24ID:dlrqXygC
対頂点を1組選び、各々がら出ている三本の辺計6本を除いた6本の辺の中点を結んだ正6角形
立方体の一辺が1なら正六角形の一辺は1/√2

913132人目の素数さん2020/08/11(火) 12:14:13.14ID:KLYyGItm
>>912
>6本の辺の中点を結んだ正6角形
何でそれ考えるの?
平面への射影の中に1辺1の正方形が収まれば良いんでしょうに?

914132人目の素数さん2020/08/11(火) 12:20:50.71ID:FoWZrPf+
>>911
射影六角形の面積を最大にするのはもちろん対角方向のときだけど、射影六角形に含まれる正方形を最大にするのは違うときらしい
https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_cube

>>912
それは何か関係あるの?

915132人目の素数さん2020/08/11(火) 12:25:33.57ID:dlrqXygC
あ、失礼>>912は平面切断の最大

916132人目の素数さん2020/08/11(火) 13:09:26.21ID:KLYyGItm
>>914
面白い!
しかし正方形だと単純なのが立方体だと相当複雑
この先次元上げて同じ問題考えたときはどうなるンかいヤ

917132人目の素数さん2020/08/11(火) 15:41:31.17ID:cs2e13nz
モンティホール問題はモンティが意図的にドアを開けるから
プレイヤーにとって最初に選んだ当たりのドアの確率は
1/3のまま不変

トランプ問題はシャッフルして無作為に選択するから
10/49に下がる

918132人目の素数さん2020/08/11(火) 16:44:23.90ID:vLWirhb5
a(n)=Σ[i=1,n]gcd(i,n)とする
nの素因数分解をn=Π(p_i)^(e_i)としたとき
a(n)=n×Π((e_i)(1-1/(p_i)+1)となることを示せ

例えばn=720=2×2×2×2×3×3×5のとき
a(n)=720×(4×(1-1/2)+1)(2×(1-1/3)+1)(1×(1-1/5)+1)=9072
となる

919132人目の素数さん2020/08/11(火) 16:45:55.77ID:vLWirhb5
>>918
カッコミス

誤 a(n)=n×Π((e_i)(1-1/(p_i)+1)となることを示せ
正 a(n)=n×Π((e_i)(1-1/(p_i))+1)となることを示せ

920132人目の素数さん2020/08/11(火) 20:23:50.39ID:vj5zwGo/
>>918
a(n) はオイラーの φ 関数を使うと
a(n) = n Σ[d|n] φ(d)/d
と書けることから、 a(n) は(互いに素な数の積に関して)乗法的であることがわかる。
( a(n) はgcd-sum functionまたはPillai's arithmetical functionと呼ばれているらしい)
また、上の式と φ 関数の性質から、素数 p のべき乗 p^k について
a(p^k) = (p^k)(1 + k(1 - 1/p))
が成り立つので、
a(n) = Π a((p_i)^(e_i)) = Π ((p_i)^(e_i))(1 + (e_i)(1 - 1/p_i))
= n Π (1 + (e_i)(1 - 1/p_i))

921132人目の素数さん2020/08/11(火) 20:59:26.53ID:WVTEAQ4r
>>920
正解です!
名前は知りませんでした、ありがとうございますm(_ _)m

922132人目の素数さん2020/08/11(火) 23:14:46.70ID:dwVOjOlW
ジュースディスペンサー
例 https://event21.co.jp/pic/mat_154.png
に100%天然果汁が10L入っていて常に撹拌されている。
すなわち、濃度はいつも均一とする設定。

コックにトラブルがあって1分間に10mLずつ漏れている。
それを補うために1分間に10mLの天然水を補っているとする。
50%天然果汁のジュースになるのは何分後か?

923132人目の素数さん2020/08/12(水) 01:00:27.00ID:oejKmXQz
>>918
部分和の謎公式みつけたかも。q(x)=1-2(x-[x])とおく
Σ[i=1〜k]gcd(i,n)=Σ[i=1〜k, j=1〜n]q(ij/n)

924132人目の素数さん2020/08/12(水) 01:05:17.54ID:vgqXhROq
充填した時刻をt=0、濃度をC(0) とする。
時刻tでの濃度をC(t)とすると、題意より
 dC(t)/dt = - 0.001 C(t),
これを解いて
 C(t) = C(0)exp(-0.001t),

半減期をT(分)とする。
 C(T) = C(0)/2,
 log(2) = 0.001T
 T = 1000 log(2) = 693.15(分)

925132人目の素数さん2020/08/12(水) 01:23:25.46ID:JIB7mcFI
>>923
{x} = x - [x] ( x の小数部分)を使えばさらに不思議な式に
Σ[i=1,k] gcd(i,n) = Σ[i=1,k] Σ[j=1,n] (1 - 2{ij/n})

926132人目の素数さん2020/08/12(水) 01:36:04.66ID:oejKmXQz
>>925
よく考えたらもっと直接
gcd(i,n)=Σ[j=1,n] (1 - 2{ij/n})
と計算できることがわかりました!

927132人目の素数さん2020/08/12(水) 01:56:31.67ID:JIB7mcFI
>>926
Σ[j=1,n] 2[ij/n] = gcd(i, n) - n + i(n+1)
から従うわけですね

928132人目の素数さん2020/08/12(水) 04:20:44.64ID:KrQ981jo
>>924
(1-0.001)^x=0.5
log(0.5)÷log(0.999)
=692.8005491785

929132人目の素数さん2020/08/12(水) 04:23:08.01ID:KrQ981jo
>>928
微妙に違うな。

930132人目の素数さん2020/08/12(水) 06:28:25.58ID:KrQ981jo
0.1分後の濃度は1-1/10000になるから
50%になるのは
(log0.5)/log(0.9999)*0.1=693.112522623342になる
0.01分後だと
(log0.5)/log(0.99999)*0.01
=693.143714821421
になって
>924の値に近づいた。
微分方程式なしで子供に説明できそう。

931132人目の素数さん2020/08/12(水) 06:30:52.24ID:KrQ981jo
>>922
>それを補うために1分間に10mLの天然水を補っているとする。
これを5mLに変えたらどうやって計算すればいいんだろう?

932イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/08/12(水) 15:08:38.79ID:VaAaef6o
>>862
>>922
1分後 果汁9990ml+天然水10ml
2分後 果汁9980.01ml+天然水19.99ml
3分後 果汁9970.02999ml+天然水29.97001ml
4分後 果汁9960.05996001ml+天然水39.94003999ml
5分後 果汁9950.09990004999ml+天然水49.90009995001ml
n分後 果汁A_n=0.999A_n-1=10000(0.999)^n=5000
天然水10000-A_n=10000-0.999A_n-1
(0.999)^n=1/2

933イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/08/12(水) 15:25:28.84ID:VaAaef6o
>>932
>>922
(0.999)^692=0.50040063528......
(0.999)^693=0.49990023464......
∴693分で希釈できる。

934132人目の素数さん2020/08/12(水) 16:04:20.55ID:/JkmxmVW
>>931
1分毎に間欠的に5mLの水を補充するモデルで考えた。

V(t):t分後のジュースの総量
C(t):をt分後の濃度

V(0)=10000
V(1)=10000-10+5
V(t)=10000-5*t

C(0)=1
C(1)=9990/9995=C(0)*(V(0)-10)/V(1)
C(2)=C(1)*(V(1)-10)/V(2)

C(t+1)=C(t)*(V(t)-10)/V(t+1) = C(t)*(10000-5*t-10)/(10000-5*(t+1))

> C[999]
[1] 0.50025012506253153
> C[1000]
[1] 0.49974987493746903

になったので1000分後でいいかな?

連続注入のときに>924のような立式はどうするのかわからないので得意な方にお願いします。

935132人目の素数さん2020/08/12(水) 16:13:37.59ID:/JkmxmVW
>>924
放射性物質の崩壊仮定とそっくりの式になるんですね。
レスありがとうございました。

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