面白い問題おしえて〜な 32問目

392132人目の素数さん2020/05/23(土) 20:59:40.49ID:KUlK5hoA
実際、k≧0 を任意に取る。1≦n<3^{2k+1}の範囲内で g_n が偶数になるのは、
3^{2s} ≦ n < 3^{2s+1} (0≦s≦k) のとき、かつそのときのみだから、

#(H∩{ g_i|i<3^{2k+1} }) = Σ[s=0〜k](3^{2s+1}−3^{2s}) = (9^{k+1}−1) / 4

であり、よって #(H∩{ g_i|i<3^{2k+1} }) / 3^{2k+1} = 3(1−9^{−(k+1)}) / 4 である。
特に、limsup[n → ∞] #(H∩{ g_i|i<n }) / n ≧ 3/4 である。

次に、1≦n<3^{2k+2}の範囲内で g_n が偶数になるのは、
やはり 3^{2s} ≦ n < 3^{2s+1} (0≦s≦k) のときのみだから、

#(H∩{ g_i|i<3^{2k+2} }) = Σ[s=0〜k](3^{2s+1}−3^{2s}) = (9^{k+1}−1) / 4

であり、よって #(H∩{ g_i|i<3^{2k+2} }) / 3^{2k+2} = (1−9^{−(k+1)}) / 4 である。
特に、liminf[n → ∞] #(H∩{ g_i|i<n }) / n ≦ 1/4 である。

以上より、そもそも lim[n→∞] #(H∩{ g_i|i<n }) / n が存在しない。

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