実際、k≧0 を任意に取る。1≦n＜3^{2k＋1}の範囲内で g_n が偶数になるのは、
3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1} (0≦s≦k) のとき、かつそのときのみだから、

#(H∩{ g_i｜i＜3^{2k＋1} }) ＝ Σ[s＝0〜k](3^{2s＋1}−3^{2s}) ＝ (9^{k＋1}−1) / 4

であり、よって #(H∩{ g_i｜i＜3^{2k＋1} }) / 3^{2k＋1} ＝ 3(1−9^{−(k＋1)}) / 4 である。
特に、limsup[n → ∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n ≧ 3/4 である。

次に、1≦n＜3^{2k＋2}の範囲内で g_n が偶数になるのは、
やはり 3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1} (0≦s≦k) のときのみだから、

#(H∩{ g_i｜i＜3^{2k＋2} }) ＝ Σ[s＝0〜k](3^{2s＋1}−3^{2s}) ＝ (9^{k＋1}−1) / 4

であり、よって #(H∩{ g_i｜i＜3^{2k＋2} }) / 3^{2k＋2} ＝ (1−9^{−(k＋1)}) / 4 である。
特に、liminf[n → ∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n ≦ 1/4 である。

以上より、そもそも lim[n→∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n が存在しない。