全単射 g：N → Z を、以下の性質を満たすように作る。

・ g_n が偶数になるのは、3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1} (s＝0,1,2,…) のとき、かつそのときのみ

このような g が存在することは後で見ることにして、先にこのような g に対して

1/2 ＝ lim[n→∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n

が成り立たないことを示す。というか、この g に対しては
そもそも lim[n→∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n が存在しない。