>>384
必ずしも成り立たない。

Gとして整数全体 Z を考える(加法群としてのZ)。
正規部分群Hとして、偶数全体の集合を考える。
もちろん、ここでの「偶数」は負の数も込めている。

Z ＝ { g_i｜i∈N } と表示できる任意の g：N → Z に対して

#(Z/H) ＝ lim[n→∞] #{ g_i｜i＜n } / #(H∩{ g_i｜i＜n })

が成り立つかどうかを考える。以下では、g：N → Z が全単射のときを考える。
#{ g_i｜i＜n } ＝ n であり、#(Z/H)＝ 2 であるから、

2 ＝ lim[n→∞] n / #(H∩{ g_i｜i＜n })

が成り立つかどうかを考えればよい。そのためには

1/2 ＝ lim[n→∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n

が成り立つかどうかを考えればよい。