分からない問題はここに書いてね458

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/10(月) 00:06:16.90

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね457
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1577457155/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/26(木) 18:19:07.01

よりシンプルに...

f(x) := (-1)*Σ[k=1..n] C{n,k}(-x)^k / k
f’(x) = Σ[k=1..n] C{n,k}(-x)^{k-1}
　= (1 - (1-x)^n)/x = (1-(1-x)^n)/(1-(1-x)) = Σ[k=0..n-1] (1-x)^k

Σ[k=1,n] C{n,k}(-1)^{k+1}/k
　= f(1) - f(0) = ∫[x=0,1]dx f’(x) = Σ[k=1..n] 1/k

問2をこの方向でやるのは却って面倒かもしれない.

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/26(木) 19:42:03.72

それほどでもなかった.
g(x,y) := (-1)*Σ[k=1..n] C{n,k}(-xy)^k /kk
∂[x]∂[y]g(x,y) = Σ[k=1..n] C{n,k}(-xy)^{k-1}
　= (1- (1-xy)^n) / xy　= (1- (1-xy)^n) / (1- (1-xy))
　= Σ[k=0..n-1] (1-xy)^k
∂[x]g(x,y) = ∫dy ... = Σ[k=1..n] (1-(1-xy)^k) / kx　{∵ ∂[x]g(x,0)=0}
　= Σ[k=1..n] y(1-(1-xy)^k) / k(1-(1-xy))
　= Σ[k=1..n] Σ[m=0..k-1] y(1-xy)^m / k
g(x,y) = ∫dx ... = Σ[k=1..n] Σ[m=1..k] { 1- (1-xy)^m }/mk　{∵ g(0,y)=0}

∴ Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1} /kk
　= g(1,1) = Σ[k=1..n] Σ[m=1..k] 1/mk

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/26(木) 21:24:39.90

　Σ[k=1..n] a[k] = 1 + 1/2 + 1/3 + ･････ + 1/n = H[n],
とおく。
　Σ[j=1..k] a[j]/j = Σ[j=1..k] {C(n,j) (-1)^(j-1)} /jj
　= Σ[j=1..k] (1/j) Σ[m=1..j] 1/j
　= Σ[j=1..k] H[j]/j
　= (1/2)H[k]^2 + (1/2)Σ[j=1,k] 1/jj,
まで出た。
　Σ[k=1..n] Σ[j=1..k] a[j]/j
　= {(n+1)/2}{H[n]^2 - Σ[k=1,n] 1/kk} - H[n],
かな？

H[n] ～ log(n) + γ　　　【γ = 0.5772...】

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/26(木) 21:49:15.07

さっきの方針に沿って一般化してみた.
f{0} := f(x_1,...,x_m) := -Σ[k=1..n] C{n,k}(-x_1***x_m)^{k} /k^m
f{m} := ∂[x_1]...∂[x_m] f = { 1-(1-x_1***x_m)^n } / { 1-(1-x_1***x_m) }
　= Σ[k_1=0..n-1] (1 -x_1***x_m)^k_1
f{m-1} = ∫ dx_1 f{m} = Σ[k_1=1..n] { 1 - (1 -x_1***x_m)^k_1 }/{ x_2***x_m) }
　= Σ[k_1=1..n] x_1 { 1 - (1-x_1***x_m)^k_1 }/{ 1 - (1-x_1***x_m) }
　= Σ[k_1=1..n] (x_1/k_1) Σ[k_2=0..k_1-1] (1-x_1*...*x_m)^k_2
f{m-2} = ∫ dx_2 f{m-1}
　= Σ[k_1=1..n](x_1/k_1) Σ[k_2=1..k_1] (x_2/k_2){ 1 - (1-x_1***x_m)^k_2 }/{ 1 - (1-x_1***x_m) }
　= Σ[k_1=1..n](x_1/k_1) Σ[k_2=1..k_1] (x_2/k_2) Σ[k_3=0..k_2-1] (1-x_1*...*x_m)^k_3
. . . ...
f{1} = Σ[1≦k_{m-1} ≦...≦k_1≦ n] (x_1***x_{m-1})/ (k_1***k_{m-1}) Σ[k_m=0..k_{m-1}-1] (1-x_1*...*x_m)^k_m
f = f{0} = ∫ dx_m f[1] = Σ[1≦k_m≦...≦k_2≦k_1≦n] { 1-(1-x_1*...*x_m)^k_m } /(k_1***k_m)

∴ Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1} /k^m = Σ[1 ≦ k_1 ≦ k_2 ≦...≦ k_m ≦ n] 1/(k_1*k_2**k_m)
なかなか面白い式が得られた.

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/26(木) 23:05:40.69

この式から
　lim[n→∞] { Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1} /k^m } / ln(n)^m = 1/m!
が得られる.

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/27(金) 01:30:07.86

>>910 訂正

　Σ[j=1..n] a[j]/j = Σ[k=1..n] {C(n,k) (-1)^(k-1)} /kk
　= Σ[k=1..n] (1/k) Σ[m=1..k] 1/m
　= Σ[k=1..n] H[k] /k
　= (1/2)H[n]^2 + (1/2)Σ[k=1,n] 1/kk,
は出た。　しかし k<n に対して
　Σ[j=1..k] a[j]/j
を出すのが難しく　(∵ a[j] は陰にnに依存する｡)　(2) に使えそうにない。。。

むしろ
　Σ[k=1..n] Σ[j=1..k] a[j] /j
　= Σ[k=1..n] (n+1-k) a[k] /k
　= Σ[k=1..n] (n+1-k) {C[n,k] (-1)^(k-1)}/kk
　= {(n+1)/2}{H[n]^2 - Σ[k=1,n] 1/kk} - H[n],
とする方が早いかな

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/27(金) 01:38:15.26

ここのスレッドの数式は記号の意味すらわからん

はじめアルゴリズムを見て数学はじめた人いますか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/27(金) 02:32:03.81

>>913 また間違えた。
　Σ[k=1..n] Σ[j=1..k] a[j] /j
　= Σ[k=1..n] (n+1-k) a[k] /k
　= Σ[k=1..n] (n+1-k) {C[n,k] (-1)^(k-1)}/kk
　= {(n+1)/2}{H[n]^2 ＋ Σ[k=1,n] 1/kk} - H[n],
　　　　　　　　　　↑

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/27(金) 11:03:34.84

>>908-909
　１変数でもできそう。。。

f(x) := Σ[k=1..n] a[k] x^k
　= (-1)Σ[k=1..n] C[n,k]/k・(-x)^k
　= Σ[k=1..n] (1-(1-x)^k)/k,

f(1) = Σ[k=1..n] a[k]
　= Σ[k=1..n] 1/k = H[n],

g(x) := Σ[k=1..n] a[k]/k・x^k
　= -Σ[k=1..n] C[n,k]/kk・(-x)^k
　= Σ[k=1..n] (1-(1-x)^k)/k･(Σ[m≧k] 1/m),

g(1) = Σ[k=1..n] a[k]/k
　= Σ[k=1..n] Σ[m=k..n] 1/mk
　= (1/2){H[n]^2 + Σ[k=1,n] 1/kk},

これらより

Σ[k=1..n] (n+1 - k) a[k]/k・x^k = (n+1)g(x) - f(x),
x→1 として
Σ[k=1..n] (n+1 - k) a[k]/k
　= (n+1)g(1) - f(1)
　= ((n+1)/2){H[n]^2 ＋ Σ[k=1,n] 1/kk} - H[n],

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/27(金) 13:20:44.65

1変数でやってみた.
f[m](x) := Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1} x^k/k^m
h[m](x) := Σ[1≦k_m≦...≦k_1≦n] (1-(1-x)^{k_m}) / (k_1*k_2*...*k_m)

・f[1](x) = h[1](x) は証明済み.
・f[q](x) = h[q](x) を仮定する.
・f[q+1](x) = ∫[t=0,x]dt f[q](t) / t = ∫[t=0,x]dt h[q](t) / t
　= Σ[1≦k_q≦..≦k_1≦n] 1/(k_1*k_2*..*k_q)
　　* ∫[t=0,x]dt (1-(1-t)^{k_q})/(1-(1-t))
　= Σ[1≦k_q≦..≦k_1≦n] 1/(k_1*k_2*..*k_q)
　　 * Σ[k=0..k_q-1] ∫[t=0,x]dt (1-t)^k
　= Σ[1≦k_q≦..≦k_1≦n] 1/(k_1*k_2*..*k_q)
　　 * Σ[k=1..k_q] (1-(1-x)^k)/k
　= h[q+1](x)
帰納法により h[m](x)=f[m](x) (m=1..∞)
∴Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1}/k^m = f[m](0) = h[m](0)
　 = Σ[1≦k_1≦..≦k_m≦n] 1/(k_1*k_2*..*k_m)

何か応用例があるのなら知りたいです.

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/27(金) 13:59:07.41

線分A_0A_1上にある点A_2を中心とした点対称でA_0とA_1を移動した点のうちA_2に近い方をA_3とする。
次にA_3と一番近い距離にある二点A_2 と A_0 or A_1をA_3を中心に点対称で移動したときA_3と近い方をA_4とする。
同様に点対称で移動した点A_mに一番近い２点をA_mを中心として１８０度回転させた点のうちA_mに近い方をA_(m+1)
とする。A_0A_1：A_0A_2＝1：p のとき A_0A_1：A_0A_m はm→∞のときどうなるか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/27(金) 14:18:36.06

>>918 冗長だったので訂正
「同様に点対称で移動した点A_mに一番近い点をA_mを中心として１８０度回転させた点をA_(m+1)とする」

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/27(金) 15:15:04.85

凸n角形Tが与えられている。
Tと相似なn角形で、そのn個の頂点がすべてTの周上にあり、かつTとは異なるものが存在することを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/27(金) 17:42:25.28

>>918　比が有理数だと最近接点が二点になってしまうので
A_0A_1：A_0A_2＝1：p 　(pは無理数）　

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/27(金) 21:34:44.34

>>920
出鱈目

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/28(土) 06:29:27.53

50代の馬鹿なおっさんだがこんなスレがあったとは
以前から聞きたいと思っていたが、いいですか？
自分は57歳です、妻は49歳。歳の差8歳
自分の両親も歳の差8歳.妻の両親も歳の差8歳です。
2～3歳だと珍しくもないが、これはかなりレアだと思うが確率だと、どのくらいでしょうか？
教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/28(土) 07:00:49.34

>>923
結婚可能年齢の男女ごとの人口ピラミッドの分布から
無作為に選らんで歳の差が８になる確率pを計算してp^3で計算。
結婚適齢期を無視した試算になるので
年齢差が2-3歳の確率との比で論じた方がいいだろうね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/28(土) 11:25:51.31

結婚相手は無作為に選ぶわけじゃないし確率でもないような気もする

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/03/28(土) 12:00:53.97

前>>672
>>923
年の差8つは生まれ年でいうと7～9歳差までは8つ差とみなし、干支の一回り違いの12歳差が最大としたとき、4組の夫婦のうち1組は8つ差になる。これが3組の夫婦でそうなる確率は、
(1/4)^3=1/64
∴100/64=1.5625(％)
8つ差自体は25％ぐらいだから、確率的に低くない。それに遺伝的に似てくるとも考えられる。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/03/28(土) 12:20:59.02

前>>926
父は申年生まれ、自分と母と祖母は亥年生まれ、父方の祖母は巳年生まれで十何年か前に94歳で亡くなりました。
母方の祖父は満99歳で何年か前に亡くなりました。
祖母はその何年か前に亡くなりましたが、祖父より何歳か年下で一回りもは離れてなかったはず。
父方の祖父は父が3歳ぐらいのとき66歳で亡くなったそうなので、1880年か1881年の生まれで、父方の祖母は1905年生まれだと思います。
母方の祖母は1923年生まれで、母方の祖父は1916年か1917年の生まれだと思います。
48歳の自分の相方の期待値は何歳か。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/28(土) 12:25:23.21

平面z=0上の単位円を底円とし、高さがh(>1)の直円柱を考える。

（１）平面z=x+aが直円柱と共有点を持つよう、実数aが動く。aの取り得る値の範囲を求めよ。

（２）（１）で求めたaの範囲の最小値をm、最大値をMとする。
[m,M]から実数を1つ無作為にとり、それをrとおく。
平面z=x+rによる円柱の切断面の面積S(r)がπ以上(2/√3)π以下となる確率を、小数点以下1桁まで求めよ。
小数点の2桁以下は切り捨てよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/28(土) 15:00:02.80

>>926
なんで8歳差は4組に1組なの？
そんなに多い訳ない
1～3歳差くらいは多くて年が離れる程レアな気がするが
そんな簡単な計算ではないと思うが
例えば加藤茶など45歳差だと自分の両親も妻の両親も45歳差なんて現実的にはありえんと思うがな

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/28(土) 15:39:15.39

>>928
(1)
直円柱は -1≦x≦1 ∩ 0≦z≦h の範囲に含まれるから
　-1 ≦ z-x ≦ h+1
∴ aの取り得る値は -1≦a≦ h+1 に限る。
逆に、
-1≦a≦0 のときは (1,0,a+1) を、
0≦a≦h のときは (0,0,a) を、
h≦a≦h+1 のときは (-1,0,a-1) を共有点に持つ。

以上より、aの取り得る値の範囲は -1 ≦ a ≦ h+1.

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/03/28(土) 18:53:04.86

前>>927
>>926
半年違いを同い年と見るか1つ違いと見るかで違うから干支の一回りが12年として前後含めた3年が同い年とみなせる領域で1/4という意味でした。
統計を見ると夫が7歳以上年上っていうのが11％なんで、8歳年上は10％ぐらいじゃないかと。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/28(土) 22:13:23.34

a,bが有理数で
　a+√(a^2+4b) = 2+2√2
を満たせば、a=2, b=1 と言えますか。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/28(土) 22:37:48.34

詳しくはやる気しないけどa=m/n,b=p/qでやって分母払って一次独立性でいけるんちゃう？

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/28(土) 23:13:44.00

>>932
a+√(a^2+4b) = 2+2√2
⇔
√(a^2+4b) = 2+2√2 -a
⇒
a^2+4b = (2+2√2 -a)^2
⇔
b = (3+2√2) - (1+√2) a
ここで a, b が有理数なら √2 項を打ち消すため a=2 である必要があり,
この時 b=2 である.　つまり他の有理数ペアではあり得ない事が分かる.

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/28(土) 23:14:38.09

この時 b=1 である.　つまり他の有理数ペアではあり得ない事が分かる.

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/28(土) 23:22:02.25

Q：有理数全体
とする
このとき

∃a,b∈Q；　a+√(a^2+4b) = 2+2√2　が在る

∃a,b∈Qを前提として

a：=2
b：=1

とおけばよい

と言える

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 01:34:34.62

問われているのは、
　∀a,b∈Q { a+√(a^2+4b) = 2+2√2　→ (a=1 ∧ b=2) }

それと等価な論理式
　∀a,b∈Q { (a≠1 ∨ b≠2) → a+√(a^2+4b) ≠ 2+2√2 }
や
　￢[ ∃a,b∈Q { (a≠1 ∨ b≠2) ∧ a+√(a^2+4b) = 2+2√2 } ]
なんかでもOK

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 01:42:57.37

また対偶がとれないやつか

￢∀　等値　∃　〇

∀　等値　￢∃　　これは無関係

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 01:47:22.04

しかも全称命題の不存在性から
は一般に無限集合から元を選び取ることはできないので

∀a,b∈Q，　a=1, b=2　

と書くことはできない

必ず

∃a,b∈Q；　a=1，b=2

である

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 01:48:31.83

それだから
体や環の「すべての元に対して」
という命題は全部間違っている
本を捨てろ

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 01:54:27.93

ごめん何言ってるか分からん...

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 02:52:41.01

簡単でいいので解き方も教えて欲しいです。
https://i.imgur.com/b6U7pOL.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 03:33:17.59

有限体もあるで

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/03/29(日) 04:11:13.58

前>>931
>>942
xの並びにある2つの同じ長さの辺をyとおくと、
三辺(2,6,2y)と三辺(x,3x,8)の三角形が相似だから、
2:x=2y:8=y:4
∴xy=8──①
斜辺8の合同な直角三角形の1つと斜辺3xの直角三角形においてピタゴラスの定理より、
8^2-y^2=(3x)^2-(x+y)^2
64=9x^2-x^2-2xy
①を代入し、
64=8x^2-16
8=x^2-2
x^2=10
x=√10
図からxは3ぐらいだからあってるはず。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 04:27:42.41

>>942
円に内接する三角形の一辺がその円の直径ならば、その辺に対向する角が直角であることを利用する。
x^2+(3x)^2＝(2×5)^2 よって x＝√10

http://i.imgur.com/TUmodHy.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 04:37:24.61

>>942
図から、円の直径 10 を求めて、円に内接する3辺の長さ 6、8、10(直径) の直角三角形の辺の長さ8を求める。
2辺の長さが8に等しい二等辺三角形の底辺の長さを 2y y＞0 とする。
図から、対頂角が鈍角の互いに相似な三角形について、8：x＝2y：(10-8)＝y：1 ∴ xy＝8。
図から、円に内接する円周角が等しく互いに相似な三角形の性質と三平方の定理より、
√( (√(8^2-y^2))^2 + (x+y)^2 )：x＝6：2＝3：1
∴ 3x＝√( (√(8^2-y^2))^2 + (x+y)^2 )。
∴ 9x^2＝8^2-y^2 + (x+y)^2＝64 + x^2 + 2xy
∴ 4x^2＝32+xy＝32+8＝40 ∴ x^2＝10 ∴ x＝√10 (∵ x＞0)。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 05:19:47.23

上の頂点Aから対辺BCに下した垂線を AH
外接円の中心を O
AOの延長線と円周の交点を D
AOの延長線と辺BCの交点を X
とする。

AODは直径だから
　∠ACD=90°,　　AD = 10,
三平方の定理で
　AC = √(AD^2 - CD^2) = √(10^2 - 6^2) = 8,
題意よりΔACXは二等辺三角形
　AX = AC = 8,
　DX = AD - AX = 10 - 8 = 2,

ΔACX ∽ ΔBDX より
　BD = (AC/AX)BX = (AC/AX)x,　

△CDX ∽ △ABX より
　AB = (CD/DX)BX = (CD/DX)x,

AODは直径だから ∠ABD = 90ﾟ,
再び三平方の定理で
　AD^2 = AB^2 + BD^2 = {(CD/DX)^2 + (AC/AX)^2}x^2 = ・・・・
以下 >>945 のとおり

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 08:43:41.58

各点の名称を>>947さんに合わせる
△ACDが直角三角形であることからAC=8
△AXCが二等辺三角形でAB=8
CからADに垂線を降ろし足をFとする
△AFCは△ACDと相似であるのでAF、CFが求まり、FXも求まるのでそこから三平方でCX=(8√10)/5
△XCD∽△XABであるのでx=√10

>>945さんのほうがきれいだな……

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 09:31:55.20

>>946は直径を通らなくても、二等辺三角形の3辺の長さが分かれば適用出来ることがあるから、或る意味で有力な求め方になっている。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 09:44:47.32

いや、円に内接する三角形の3辺の長さ、二等辺三角形の等しい2辺の長さが分かれば、>>846の2行目以降のような解法は適用出来ることがある。
この際、直径云々は関係ない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 10:22:32.12

>>950の訂正：

>>846 → >>946

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 10:28:47.94

>>945
3x がどこから湧いて出てくるのか知りたいです.
直角三角形の相似から x : 1 = 10 : x 　∴ x^2 = 10
√( 10^2 - x^2 ) = √90 = 3x
xの結果を知った後に "偶然" 合ってただけとは違うのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 10:39:12.34

>>952

947の言うところの△CDX∽△ABX より CD:DX=AB:BX
AB=CD･BX/DX=6･x/2=3x

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 11:35:03.76

>>953
理解できた。ありがとう。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 11:54:06.47

△CDX∽△ABXみたいな相似を個人的に蝶々（の相似）と呼んでるのだが俺だけだろうか

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 15:31:44.02

α→として、長さが～
の言ってることがよくわからないです。誤植でしょうか？
https://i.imgur.com/inNmDpU.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 15:35:11.18

N国の1億2000万人のうち、男性が何人であるかを推定する。
いまN国民からX人を抽出し、信頼区間99%誤差±1%で検定したい。Xはいくつ以上でなければならないか。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 15:49:10.85

>>956
任意の方向を向いた単位ベクトルをe↑とすると、任意の方向を向いた長さがdαであるベクトルはdαe↑となる
これをa↑としようってことだと思う

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 16:41:54.28

>>957
459人

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 16:55:20.86

>>959
しごくの？何を？

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 18:27:52.00

位置ベクトル x の先っちょが回転軸からどんだけ離れてるかって話に
ねじ回しの絵を描くのは載っけるのは初学者には混乱の元でしょうね... 回転のイメージが被ってる。
回転運動の円をベクトルの根元に置くのもなんだかなあ、説明ヘタなん？と思ってしまう。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 19:08:04.07

>>957
N=1.2億とし、男性がNp人であるとする
ランダムにX人選んだときn人が男性である確率は、P(n)=C[Np,n]C[N(1-p),X-n]/C[N,X]
超幾何分布だから、期待値はXp、分散は(N-X)/(N-1)Xp(1-p)だが、
Nがでかくpが1/2に近いので、期待値はX/2、分散をX/4として、正規分布に従うとみなす
すると(n-X/2)/√(X/4)は標準正規分布に従い、これの99%信頼区間は±2.58
n=X/2(1±1/100)のとき、±X/200=±2.58√(X/4)、X=(2.58*200)^2/4≒66000程度必要

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 23:30:32.78

分からない問題はここに書いてね459
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1585492157/

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/30(月) 01:23:24.77

先日はお世話になりました。図形でまた難問にあたったので教えていただけると嬉しいです。
前提はAB=ACだけなのですが、解けるのかこれ、、
https://i.imgur.com/azKedaY.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/30(月) 01:55:36.54

>>957
男女比によって違うんじゃないかな？
近似値を求めたら、こんな感じになったけど
男女比 sample_size
1 0.30 32465
2 0.31 33065
3 0.32 33634
4 0.33 34172
5 0.34 34679
6 0.35 35155
7 0.36 35600
8 0.37 36015
9 0.38 36399
10 0.39 36752
11 0.40 37075
12 0.41 37367
13 0.42 37629
14 0.43 37859
15 0.44 38059
16 0.45 38228
17 0.46 38366
18 0.47 38474
19 0.48 38550
20 0.49 38597
21 0.50 38612

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/03/30(月) 02:57:27.22

前>>944
>>964
x=30°

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/30(月) 05:06:32.16

>>965
信頼区間95％で計算していた。
99%の数値はこちら。

> d
男子割合 sample_size
1 0.025 6680
2 0.050 12805
3 0.075 18613
4 0.100 24087
5 0.125 29225
6 0.150 34035
7 0.175 38514
8 0.200 42660
9 0.225 46475
10 0.250 49959
11 0.275 53110
12 0.300 55930
13 0.325 58418
14 0.350 60574
15 0.375 62398
16 0.400 63891
17 0.425 65052
18 0.450 65882
19 0.475 66379
20 0.500 66545

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/30(月) 05:12:13.54

>>967
グラフにしたらこんなグラフになった。放物線かな？

https://i.imgur.com/ZRiF30q.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/30(月) 05:54:42.47

>>968
母集団の男子の割合をp、X人選んだときの男子の人数をnとすると、
nの分散はXp(1-p)だが、これをp=1/2で置き換えずにこのまま用いるなら、
(n-X/2)/√(Xp(1-p))が標準正規分布に従うと見て、これの99%信頼区間は±2.58だから、
n=X/2(1±1/100)のとき、±X/2/100=±2.58√(Xp(1-p))、X^2=(200*2.58)^2Xp(1-p)、
X=266200p(1-p)、と考えれば二次関数になる

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/30(月) 06:01:45.35

>>968
y=265395.864*x*(1-x)という放物線だな。
https://bellcurve.jp/statistics/course/9122.html
で信頼区間幅=0.01になるｎの値を求めただけ。
99%信頼区間なので1.96でなく2.56に

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/30(月) 06:03:13.19

>>969
レスありがとうございます。
放物線を重ねてみました。

https://i.imgur.com/axElxnp.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/30(月) 06:05:49.93

数が大きいから正規分布で近似というだけで、日本の人口数は必要ないのが興味深い。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/30(月) 07:07:26.67

>>964
線分CD上に∠FBD＝20°となるように点Fをとる
BC＝BF＝EF＝DFとなることを示せばxを導くことが可能

**哀れな素人** · 2020/03/30(月) 08:19:52.40

>>964
それは「ラングレーの問題」という有名な問題。

ラングレーの問題
https://www.youtube.com/results?search_query=%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/30(月) 10:49:29.56

>>955
"Butterfly Problem" に使えるかも…

数セミ増刊「数学の問題」
　第(1)集日本評論社 (1977) ●63
　第(2)集日本評論社 (1978) 付録-2 (高木實)
　数学セミナー 1971年8月号の記事

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/30(月) 11:53:04.21

>>964
∠A = α
∠ABD = (1/3)∠CBD = (60-α)/2,
∠BCE = 30+α,
∠DCE = 30ﾟ
とする。
CD上に点Fを∠ABF=60ﾟになるようにとる。
∠BFC = ∠C　より　BC = BF,
∠BCE = ∠BEC　より　BC = BE,
∴ BE = BF　と　∠EBF = 60ﾟ　より　△BEFは正三角形。
∠FBD = 30ﾟ+α/2 = ∠FDB　より　 DF = BF
DF=EF　より　∠DEF = ∠EDF
= 60ﾟ+α/2,　　(← ∠DFE = 60ﾟ- α)
∴ x = ∠EDF - ∠BDC = 30ﾟ

数セミ増刊「数学の問題」第(2)集、日本評論社 (1978)
　●21
「ラングレー問題」「フランクリンの凧」と云うらしい･･･

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/30(月) 12:00:51.09

ラングレーの問題
E. M. Langley: The Math. Gazette（1922/10）および（1923/5)

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/30(月) 12:03:10.11

>>957
立花さん(党首)、丸山さん(衆、副党首)、浜田さん(参)
がんばれ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/03/30(月) 13:30:39.34

前>>966
>>964
x=30°のとき、
BDとECの交点をPとして、
△AED∽△BEP
∵内角(20°,50°,110°)が等しい。
△AED:△BEP=t:1とおくと、
BC=1,
CD間にFをとって、
BF=EF=DF=1
△ABC∽△BCFより、
CF=1/(t+1)
題意よりAB=AC
AD=t-1/(t+1)
△ABDが二等辺三角形だから、
AP:AD=1:tより、
PD=t-1/(t+1)-(1/t){t-1/(t+1)}
=t-1/(t+1)-{1-1/t(t+1)}
=t-1/(t+1)-1+1/t(t+1)
={t^2(t+1)-t-t(t+1)+1}/t(t+1)
=(t^3-2t+1)/t(t+1)
=(t^2+t-1)(t-1)/t(t+1)
△PFDが二等辺三角形だから、
PF=PD=(t^2+t-1)(t-1)/t(t+1)
BP=(1/t)AD
=1-1/t(t+1)=1-{sin20°/(sin80°-20°)}(sin20°/sin80°)
=0.820779646……
≒0.82
△PBCにおいて正弦定理より、
BP=sin50°/sin70°
=0.815207469……
≒0.82
∴x=30°はかなりあってる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/31(火) 08:18:25.84

最近の話題に合わせてこういう問題にしていみた。

日本人1億2680万人からコロナ感染者数を国民からX人を抽出してPCR検査して、信頼区間99%誤差±1%で検定したい。
PCR検査は感度0.6，特異度0.9とする。

何人を抽出すれば十分といえるか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/31(火) 09:20:02.14

(修正）

最近の話題に合わせてこういう問題にしていみた。

日本人1億2680万人からコロナ感染者数を国民からX人を抽出してPCR検査して、感染者数(≠検査陽性者数)を信頼区間99%誤差±1%で検定したい。
PCR検査は感度0.6，特異度0.9とする。

何人を抽出すれば十分といえるか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/31(火) 13:23:17.30

>>980
1億2595万人だよ。
https://www.stat.go.jp/data/jinsui/new.html

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/31(火) 15:59:44.08

下記の式の赤線部の意味がわかりません。（IEでは見れないみたいです）
行列式の記号の中身 u+wv は具体的にどういう式になるのですか？
wvというのは４×４の行列なんですか？
右辺が２つの平行四辺形の面積の和であることは分かります。

https://imgur.com/a/kz9qXIX

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/31(火) 16:20:54.20

>>983
u+wとvを並べて作られる行列式なんでないか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/31(火) 17:03:41.06

>>984
ありがとうございます。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/31(火) 20:10:22.55

>>928
(2)
m=-1, M=h+1,
　z-x = r,
　(z+x-r)/√2 = u　とおくと
　x = u/√2,
　z = u/√2 + r,
直円柱の式より断面は
　uu/2 + yy ≦ 1,　　(楕円)
　-(√2)r ≦ u ≦ (√2)(h-r),
となる。
-1 ≦ r ≦ min{h-1,1}　のとき
　S(r) = (√2){arccos(-r) + r√(1-rr)},

Max{h-1,1} ≦ r ≦ h+1　のとき
　S(r) = (√2){arccos(r-h) - (r-h)√[1-(r-h)^2]},

min{h-1,1} ≦ r ≦ Max{h-1,1}　のとき
　S(r) = (√2)π,　　(h≧2)
　S(r) = (√2){arccos(-r) + r√(1-rr) + arccos(r-h) -(r-h)√[1-(r-h)^2] -π},
　　(h≦2)

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/31(火) 20:29:52.90

>>982
ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/01(水) 00:14:05.71

>>928
>>986
h < 1.1844 のときは S(r) < π で確率は0。

h > 1.1844 のとき S(h/2) ≧ π,
h ≧ 1.3314982535855 のとき
　0.3314982535855 ≦ r ≦ h - 0.3314982535855　⇔　S(r) ≧ π,

h ≧ 1.4104 のとき S(h/2) ≧ 2π/√3,
h ≧ 1.521924793186316 のとき
　0.521924793186316 ≦ r ≦ h - 0.521924793186316　⇔　S(r) ≧ 2π/√3,
変な問題。。。。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/01(水) 11:07:55.60

>>981
>信頼区間99%誤差±1%で
？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/01(水) 11:18:34.04

>>981
>PCR検査は感度0.6，特異度0.9とする。
感染者M人非感染者N人だと感染率p=M/(M+N)
一方陽性反応が出るのは
0.6M+0.1Nなので陽性反応率q=(0.6M+0.1N)/(M+N)=0.1+0.5p
この式を使って標本の陽性反応率から感染率を区間推定するの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/01(水) 18:14:00.01

>>989
99%信頼区間幅を1%以下にする

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/01(水) 18:32:03.41

信頼区間99%って馬鹿じゃねえの

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/01(水) 19:04:33.54

信頼区間99%って馬鹿だろな。
ふつう、99％信頼区間と呼ぶから。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/01(水) 19:05:19.35

>>989
この方が誤解を招きにくいな。

日本人1億2595万人からコロナ感染率を国民からX人を抽出してPCR検査して、
感染率(≠検査陽性率)の信頼区間99%幅を1%以内で検定したい。
PCR検査は感度0.6，特異度0.9とする。
何人を抽出すれば十分といえるか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/01(水) 22:09:34.97

rを正の実数定数とする。2つの半円弧
C:x^2+y^2=1(y≧0)
D:(x-r-1)^2+y^2=r^2(y≧0)
がある。
C,Dの外部にある円で、中心のy座標が正であり、またC,Dの弧（端点は除く）にも外接しながら動く円をKとする。

（1）Kの中心が(1,3)のとき、KがC,Dのいずれにも接するようなrの値を求めよ。

（2）Kの中心が(a,b)であり、KがC,Dのいずれにも接するとする。このとき、a,bはただ一通りに定まることを示せ。

（3）Kが動くとき、C,D,Kのいずれにも外接する円の中心が描く領域を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/02(木) 01:56:26.82

>>993
その通りね

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/02(木) 01:58:42.79

>>994
>>990でいいの？
で1%以内とはp±1%でいい？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/02(木) 02:00:35.53

p±0.5$か

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/02(木) 06:17:18.14

>>998
>>969のpを0.6p+(1-p)(1-0.9)に置き換えて最大値を求めるだけ

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/02(木) 10:20:03.71

>>999
問いて

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