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分からない問題はここに書いてね458
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0102１３２人目の素数さん
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2020/02/14(金) 06:03:43.17ID:heAECOvK
>>98
周期Nをもつには、
特性多項式 tt-pt-q の根が1の原始N乗根になればよい。
　(p, q) = (2cos(2mπ/N), -1)
　ただし、1≦m<N,　gcd(m,N)=1,　4m≠N,3N
0103１３２人目の素数さん
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2020/02/14(金) 13:44:03.75ID:DjKSALo3
一辺の長さnの正方形Sが、n^2個の一辺の長さ1の正方形のタイルで分割されている。マス目の一番左上のタイルには、1が記されている。
そこから以下のようにSに整数を記入していく。

・1の右のタイルに2を記入する
・2の下のタイルに3を記入し、3の左のタイルに4を記入する
・これで、Sの左上から2×2の正方形に数字が埋まった。さらに、4の右のタイルに5を記入し、5の右のタイルに6を記入し、…、最終的に2の右のタイルに9が記入され、3×3の正方形が完成する。
・以下、9の右に10を…と繰り返し、Sに蛇行状に整数を記入する。

【問題】
k=0,1,2,...,nとする。
整数nCkはどの場所のタイルに記されるか。
0104１３２人目の素数さん
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2020/02/14(金) 20:16:57.02ID:U/iqVjXd
袋の中にn枚のカードがあり、それぞれに1,2,...,nの数が1つずつ書かれている。
いま、袋の中から無作為に1枚のカードを取り出し、書かれている数を見ないで破棄する。
残りn-1枚のカードが入った袋から、2枚のカードを同時に取り出し、それぞれに書かれた数を両方とも記録し、袋に戻すことを繰り返し行う。
破棄したカードを特定できるまでに、

（1）この操作を平均何回行うことになるか（注:必要な操作の回数の期待値を求めよ）。

（2）この操作により記録された数の総計の期待値を求めよ。
0105１３２人目の素数さん
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2020/02/14(金) 21:42:34.20ID:U/iqVjXd
不等式
x^2+y^2 < (x^2+y^2+z^2)/3 < 2z
を満たすx≦y≦zなる自然数を全て求めよ。
0106１３２人目の素数さん
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2020/02/15(土) 01:09:34.62ID:aay8PZgZ
>>105
x^2+y^2 < (x^2+y^2+z^2)/3 < 2z
(x^2+y^2+z^2)/3 < 2z
=> 6z-z^2=z(6-z)>0 より 1<=z<=5

x^2+y^2 < (x^2+y^2+z^2)/3
=> (z^2)/2 > x^2+y^2
∴ min((z^2)/2, 6z-z^2) > x^2+y^2
z=1,2,3,4,5のとき左辺は
1/2,2,9/2,8,5
（面倒なので）0は自然数でないとする
z=3 => (x,y)=(1,1)
z=4 => (x,y)=(1,1),(1,2)
z=5 => (x,y)=(1,1)
(x,y,z)=(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,2,4)
0107１３２人目の素数さん
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2020/02/15(土) 01:12:12.01ID:9gkMRXwC
3次元空間の閉曲面
C:x^2n+y^2n+z^2n=1（nは2以上の自然数の定数）
と共有点を持つ平面のうち、Cと平面の共有点全体がなす曲線に囲まれる部分の面積を最大とするものをπとする。

【問題】
平面αが色々動くとき、αとCの共有点全体がなす曲線の周長をL(α)とする。
L(α)が最大となるのは、αがπと一致するときかどうかを判定せよ。
0110１３２人目の素数さん
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2020/02/15(土) 13:59:45.55ID:l2YnDqpB
xy平面上の放物線y=x^2を絵に描くと地平線に接する楕円になるって話があるけど
双曲線 x^2-y^2=1を絵に描くと視点とキャンバスの関係によって楕円、双曲線、放物線のどれにもなるのですか？
0112１３２人目の素数さん
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2020/02/15(土) 20:20:31.23ID:BobHJOBs
(2n,n)と(2n,n-1)の最大公約数が1であるための、nについての必要十分条件を求めよ。
0114１３２人目の素数さん
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2020/02/16(日) 00:44:20.68ID:pjSAKz41
nを2以上の自然数の定数とする。
n次関数f_n(x)を
f_n(x)=(x-1)(x-2)...(x-n)
について、以下の問に答えよ。

（1）各k=1,2,...,n-1に対し、f_n(x)はk<x<k+1の範囲で極値をとることを示せ。

（2）nは偶数とする。
（1）で述べたn-1個の極値の中で、その絶対値が最も小さいものをa[n]とおく。
a[n]はどの区間にあるか、適当な整数jを用いてj<x<j+1のように述べよ。

（3）（2）において、極限lim[n→∞] a[n]を求めよ。
0115１３２人目の素数さん
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2020/02/16(日) 12:42:49.50ID:WDF4g/tI
直線Lと点Pが与えられたときにPを通る垂線と平行線を定規だけで作図は可能か？
0116１３２人目の素数さん
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2020/02/16(日) 13:59:20.14ID:EC7cx7O7
(a-e)(b-f)=(c-e)(d-f)なるn以下の非負整数の組(a,b,c,d,e,f)はいくつあるか。
0117１３２人目の素数さん
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2020/02/16(日) 17:52:13.05ID:N9QZtxQk
>>112
　(2n,n) = n
　(2n,n-1) = (2,n-1)　　(n:奇数のとき2, n：偶数のとき1)
　n>1

>>114
(1)
f(x) はRで微分可能である。
f(k) = f(k+1) = 0,
ロルの定理(*)により、
　k<ξ<k+1,　f '(ξ)=0 なるξがある。
　f ' はn-1次多項式だから、各区間にちょうど1つある。

(2)　f(n+1-x) = f(x)　より
　x = (n+1)/2 で極値。
　n/2 < x < (n/2)+1,
　a[n] = f((n+1)/2) = (-1)^(n/2) {(n-1)!!}^2 /(2^n)

(3)　発散する。

*) 高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
　p.47　第２章 微分法, §18.導函数の性質　定理19.
0118１３２人目の素数さん
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2020/02/17(月) 07:20:41.71ID:e8jOHOIZ
(補足)
>>114
(2)
　f(x+1)/f(x) = x/(x-n),
　x<n/2 のとき　|f(x+1)| < |f(x)|,
　x>n/2 のとき　|f(x+1)| > |f(x)|,
よって f(x)=a[n] となるxは
　n/2 < x < (n/2) +1
0119１３２人目の素数さん
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2020/02/17(月) 19:04:02.11ID:e8jOHOIZ
>>110
円錐 x^2 = y^2 + z^2 を平面z=1 で切ると双曲線 x^2-y^2=1 になる。
切る平面(キャンバス)の傾きと母線の傾きの関係で楕円、双曲線、放物線のどれにもなる。
0120１３２人目の素数さん
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2020/02/18(火) 22:25:28.51ID:r9Gm+Aza
f(x)=(x-1)(x-2)...(x-n)-x^k
が極値を持たないような2以上の自然数nと非負整数kの組(n,k)は存在しないことを示せ。
0122１３２人目の素数さん
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2020/02/19(水) 10:31:09.14ID:SOYXqN0N
三角形ABCの内接円と外接円がある円についての反転で互いに移りあっているとき
この円の中心と半径を求めてください
0124１３２人目の素数さん
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2020/02/19(水) 17:19:32.85ID:oSs+DME6
a,bを正の数としたとき、関数f(x)=1/(x^a(x^b+1)) の[0,∞)までの広義積分が収束するようなa,bの必要十分条件を求めよ。
ご教授願います。
0125１３２人目の素数さん
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2020/02/19(水) 17:34:17.35ID:DKV+ww/5
Ｑ.１，２，４，８、・・・、２＾ｎ　という数列から１つ数を選んだとき、その最高桁が１となる「確率」はいかほどか？


無限個の集合で考えなくてもかまいません
ｎを有限としてｎ→∞としてもかまいません
0127１３２人目の素数さん
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2020/02/19(水) 19:42:17.89ID:8K6AO46k
>>126
ブー　誤り
正しい確率は0.30102…
0128１３２人目の素数さん
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2020/02/19(水) 20:00:57.33ID:XQIdA3Xt
>>126
ごめんなさい。>>127さんは悪気はないんです。元々の出題者さんなんです。
今も取り込み中で...お忙しいものですから、詳しくはガロアスレでやってます。。。

「ブー」←に負けないで！
　　　　　頑張って下さい！
0129１３２人目の素数さん
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2020/02/19(水) 21:51:00.97ID:SE+dbw8w
1,2,...,nの数が書かれたカードが1枚ずつ、合計n枚のカードがある。
A君はこのn枚の中から1つを選び、それに書かれた数Nを記憶する。
B君は以下の手順で、Nを特定する。

①B君は1,2,...,nの中から好きな数を1つ選び、A君に伝える。
②A君はその数がN以上だった場合、「以上」と答える。N未満だった場合、「未満」と答える。
　この①と②を行うことを「操作」と呼ぶ。
③操作を繰り返す。

【問題】
B君がNを特定するまでに、B君は何回操作を行う必要があるか、その期待値をE(N)とおく。
E(N)を求め、またj=1,2,...,NのなかでE(j)はいくつの異なる値をとるか述べよ。すべてのjに対しE(j)が同じ値を取る場合は、異なる値は1つとする。
0132１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 03:41:16.07ID:J/IN1lAb
等式
(a+b)/(c+d)=cd/ab
を満たす自然数a,b,c,dで、(a+b)/(c+d)と
cd/abがともに既約分数であるものを考える。

（1）このような(a,b,c,d)は無数に存在するか述べよ。

（2）（1）において、無数に存在する場合は(a,b,c,d)でa≧100を満たすものを1つ求めよ。
また有限組しか存在しない場合は、すべて求めよ。
0133１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 03:51:32.07ID:J/IN1lAb
点Oを中心とする半径rの円Cがある。
Cの周上の点Pにおける接線をL、L上に2点A,Bを△OABが正三角形になるようにとる。
BからOAに垂線を下ろし、この垂線とCとの交点のうちBに近い方をTとする。
比AT/OTを求めよ。
0135哀れな素人
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2020/02/20(木) 09:27:07.53ID:Wd/N0aBi
>>133
Tが円との交点であろうとなかろうと、
BからOAに下ろした垂線上の点なら、AT＝OTである（笑
0136１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 09:54:29.69ID:ZWVgPXIY
>>124
　0 < a < 1 < a+b,
このとき
∫[0,∞] f(x)dx = ∫[0,1] f(x)dx + ∫[1,∞] f(x)dx
　< ∫[0,1] 1/x^a dx + ∫[1,∞] 1/x^(a+b) dx
　= 1/(1-a) + 1/(a+b-1),

a≧1 のとき
　x^b + 1 ≦ 2　　　(0<x<1)
∫[0,1] f(x)dx >∫[0,1] 1/(2x^a) dx = ∞

a+b≦1 のとき
　x^b + 1 ≦ 2x^b　　　(x>1)
∫[1,∞] f(x)dx >∫[1,∞] 1/{(x^a)(2x^b)} dx = ∞
0137１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 10:43:22.70ID:l763LE7F
左からやる方法もあるのか

1100101
二進法→十進法　
右から
1+4+32+64=101

左から
１→２倍して１足す
０→２倍
1, 3, 6, 12, 25, 50, 101
0138イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/02/20(木) 12:27:10.19ID:PRyo8w16
前>>99
>>133
AT/OT=1
∵Tが円C上にあろうとなかろうと正三角形の1つの頂点から向かいあう対辺に下ろした垂線は、これを二分するし、その途中のどの点とあとの2頂点を結んでもその2つの辺の長さは等しいから。
>>135同感。
0139１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 13:58:09.27ID:dyDRM8sK
白玉１６個と赤玉４個がある。これらを１０個の箱に各々２個ずつ無作為に分配するとき、
赤玉２個が入った箱がちょうど１つできる確率を求めよ。
玉の入る場所について、考慮しなくて良い、というイメージがわきません
最初の箱に赤玉二つ入るとした場合にも1/19×16/17×6となり、それが10C1×9C2個分あるのではないでしょうか（確率が1を超えてしまいますが…）
どなたかよろしくお願いします
0140１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 14:13:08.09ID:BWBgHqRp
赤玉4つを順に入れいくとして
p(1と2が同じ箱、3と4が別箱)
=1/9×6/7
∴ 求める確率は
1/9×6/7×6。
0142１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 15:34:43.29ID:p3rwoqzA
-2≦x+y≦2…①
-2≦y+z≦2…②
-2≦z+x≦2…③
この時xの値域を求めよという問題で

3式足して2で割って
-3≦x+y+z≦3
-2≦-(y+z)≦2を加え
-5≦x≦5
これは間違いで

①+③より-4≦2x+y+z≦4、
-4-(y+z)≦2x≦4-(y+z)
②とあわせて2で割り-3≦x≦3
こちらだと正しい答えが出ます

正しい答えに辿り着くルートと間違いのルートはどう違うのでしょう？

また正しいルートでxの値域が正しく得られるという保証はどこからきているのですか？
0143１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 15:55:04.48ID:/s0OO/0s
>>142
問題を解くときは問題文の情報すべてを使わないといけない
正解の方法は、不等式①②③が持つ情報を3つ全て使ってる

さて初めの方法は、不等式②は使ってる。つまり情報3つのうち1つは使ってる
そこで肝心なのが、「不等式①②③を足して2で割ったもの…④」に残り2つの不等式①③の情報が含まれているかどうかだ

結論から言うと含まれていない
考えてみてほしいが、今使うべき2つの情報①③は
-2≦x+y≦2　…①
-2≦z+x≦2　…③
だが、この①③と先の投稿で作った不等式
-3≦x+y+z≦3…④
は対等だろうか？
対等じゃない、一方から他方を作ろうと試行錯誤してみればいい、そのうち作れないと何となく気づくだろう

ということで、長くなったが結論としては
「①②③を合わせて作った不等式④の情報は、①単独の情報と③単独の情報を合わせたよりも少ない」
「だから④を①③の代わりに使うと、不十分な解答が出る」
0144１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 16:07:18.68ID:l763LE7F
0≦x+y≦a…①
0≦x-y≦b…②
グラフ書いてみたら
0≦x≦(a+b)/2　とはならないことは言えるね。。
等号成立条件とか考えてみたらわかりそう
0145１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 16:22:46.05ID:dyDRM8sK
>>140,141
回答ありがとうございます
答えは96/323です
後、僕の疑問に答えて頂けると嬉しいです
0146１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 16:24:37.43ID:1BmL9yiS
>>136
ありがとうございます。
a,bを正の数としたとき、関数f(x)=1/(x^a(x^b+1)) のラプラス変換の収束座標を求めよ。
お願いします。
0147141
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2020/02/20(木) 17:12:26.32ID:PsNGChDc
>>145
20個の場所に4個の赤玉を入れるから、分母はC[20,4]
2個は入る箱を選ぶのに10通り、1個ずつの箱を二つ選ぶのに9×8通り
1個ずつの箱には4通りの入れ方がある
0148イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/02/20(木) 17:20:11.98ID:PRyo8w16
前>>138
>>139
箱１２３４５６７８９10
→①③⑤⑦⑨⑪⑬⑮⑰⑲
②④⑥⑧⑩⑫⑭⑯⑱⑳
①②③……と番号順に玉を入れていくと、 ①が●の確率=4/20A②が●の確率=3/19

が○の確率=16/18
④が○の確率=15/17 7 ⑤率○=○14/1⑤ 1 ……
⑪⑪⑪⑪⑪が●の確率=2確/1率0=1/1
ちょっと文字化けが激しいが、すべて掛けあわせると、4845分の1







∴1/4845
0149１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 17:21:44.03ID:BWBgHqRp
>>145
p(1個目と2個目が同箱)=1/19
p(2個目と3個目が異箱 | 1個目と2個目が同箱)=16/17
∴ 求める確率は1/19 × 16/17 × 6。
0150141
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2020/02/20(木) 17:23:52.53ID:PsNGChDc
>>147 訂正
20個の場所に4個の赤玉を入れるから、分母はC[20,4]
2個は入る箱を選ぶのに10通り、1個ずつの箱を二つ選ぶのに9×8÷2通り
1個ずつの箱には4通りの入れ方がある
9×8÷2×4/C[20,4]=96/323
0151１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 17:51:35.45ID:dyDRM8sK
皆さん回答ありがとうございます
1/19×16/17×6だと、箱の位置が考慮されてないですよね。例えば箱の1個目が赤2色だとして、この時も1/19×16/17×6になって箱の2個目に入る時も1/19×16/17×6になって、全部で1/19×16/17× 6×10C1×9C2になると思うのですが、なぜこれは考慮しなくて良いのですか？
0152１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 18:19:57.99ID:99lzyCWI
>>151
1/19×16/17×6ってのは何を意味する計算なの？

俺がやった方法は玉を入れる場所を20ヶ所並べて無作為に玉を入れ（※1）、2つずつに区切ったときに一つの区切りだけ2つとも赤である（※2）確率と同じと考え、
※1が20C4通り
※2は赤玉がある区切りを選ぶ選び方が10C3通りでそのうち2個入る区切りを選ぶ選び方が3C1通りで1個入る2つの区切りは赤がどちらにあるのかでそれぞれ2通りあるので10C3×3C1×2^2
0153１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 18:26:09.59ID:dyDRM8sK
>>153
赤玉Aに対して赤玉BがAと同じ箱に入る確率が1/19、残りの赤玉一つに対して、白玉と同じになる確率16/17、どの二つの赤玉が一緒になるかの組合せで4C2です。
0154１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 18:26:59.88ID:BWBgHqRp
>>151
箱の位置を考えようが考えまいが2個目の球が1個目と同じ確率は1/19。
箱の位置って何？
0155１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 18:41:07.47ID:J/IN1lAb
袋の中にn個の区別できる球がある。
最初に袋からm個の球を取り出した後、これらの球を袋の中に戻す。
次に袋からk個の球を取り出したとき、その中に最初に取り出された球がちょうどc個含まれる確率をn,m,k,cで表せ。
0157１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 19:31:27.01ID:99lzyCWI
>>153
ようやくわかった
省略せずに書くと20/20×1/19×18/18×16/17×4C2ってことか
その計算で箱を区別してるじゃないか
10C1×9C2をかける必要が出てくるのは
箱1に赤玉Aが入る（2/20）、箱1に赤玉Bが入る（1/19）、箱2に赤玉Cが入る（2/18）、箱3に赤玉Dが入る（2/17）と考えた場合だよ
その場合、箱1、2、3にどの赤玉が入るのかが4C2×2C1×1C1通りあるから
結局2/20*1/19*2/18*2/17*4C2*2C1*1C1*10C1*9C2となり計算すると96/323になる
0158１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/20(木) 19:41:30.28ID:dyDRM8sK
>>154 157
親切に回答していただき、ありがとうございます。
箱の位置（どの箱に赤玉が2個入るか）を区別すること自体がナンセンスだったとようやく気づけました。
お陰様で理解することが出来ました。
また、質問しにくると思いますが、その時はまたよろしくお願いします。
0159イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/02/20(木) 22:36:23.64ID:PRyo8w16
前>>148訂正。
番号振らずにやってみる。
●○○○○○○●○●
●○○○○○○○○○
↑
この2個の選び方は4Ｃ2通り。
●と同じ箱に入る○の選び方は16Ｃ2通り。
あと1つの●はかならず○と同じ箱に入る。
(4Ｃ1)(16Ｃ2)=4･16･15/2
=480
480/4845=160/1615
=32/323
いい感じの数字やなぁ。
0160１３２人目の素数さん
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2020/02/20(木) 23:54:47.46ID:ZWVgPXIY
>>123
(n,k) = (2,3) のとき
　f(x) = (x-1)(x-2) - x^3,
　f'(x) = -3 +2x -3x^2 = -(8/3) - 3(1/2 -x)^2 ≦ -8/3,

(n,k) = (2,5) のとき
　f(x) = (x-1)(x-2) - x^5,
　f '(x) = -3 +2x -5x^4 = -(35/16) -(1/2)x^2 -2(1/2 -x)^2 -5(xx -1/4)^2 ≦ -35/16,
0161１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 00:24:34.30ID:lYw7PgZm
行列式の計算が分からないので教えてください
複素n次行列(z_i,j)に対して
z_i,j=a_i,j+b_i,j√-1とおき以下の形の2次小行列をi,j=1,…,nまで並べた実2n次行列を考える
[a_i,j　　b_i,j ]
[-b_i,j　a_i,j ]
この行列の行列式は元の複素行列の行列式の絶対値の2乗に等しいことを証明しろという問題です
0162１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 00:39:11.18ID:rRWg9QQU
>>101
元の(z_i_j)の第i行のk倍を第j行に足すと対応する2n次の行列では第2i-1行のk倍を第2j-1行に、第2i行のk倍を第2j行に足す事になる。
どちらの行列の行列式も変化しない。
この変形だけで元の行列を対角化できるから対角行列の場合にだけしめせばいい。
0164１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 00:46:10.30ID:asHAZWcA
閉区間I=[0,1]上の連続関数f:I→Rの全体をC[0,1]とし、C[0,1]上の距離を
d(f,g):=max{|f(t)-g(t)||0≦t≦1}
によって定める。C[0,1]の部分集合Xを
X={f_k|f_k(t)=kt, k∈R}
とおくとき
d(X)=inf[f∈X]d(f,1)
の値を求めよ(ただし1は定数関数1(t)=1)

答えはd(X)=1となってます
k＞1のときd(f_k,1)=「|kt-1|の最大値」=k-1だから、k∈Rについて下限をとるとd(X)=0になるのでは？と思うのですが、これは何が違うのでしょうか？
0166１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 00:56:24.51ID:y/2VOtZ/
下記の式の積分式の導き方　どなたかわかりませんか。
{ cos(X) + sin(X) } * { cos(X) }^0.8
0167１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 01:29:23.50ID:asHAZWcA
>>165
あーそうか、最大値がそもそもk-1じゃないなこれ
k=3/2のときmax|kt-1|はk-1=1/2ではなくt=0のときの1だろう……アホなことしてたわ
ありがとうございます
0168１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 09:02:41.02ID:YlLJTAPA
ax+by=1 を二通りに解釈することで単位円の極、極線について
極点(a,b) の極線上の点は(a,b)を通る直線になることが自明になるのか。。
0169１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 09:06:29.98ID:+t2V5SC/
今年の難関高校の問題らしいですが、三角比なしでどうやったら良いでしょうか。ご教示ください。

AB=6,BC=10,CA=8の△ABCの外接円をKとする。
弦BCに関してBと反対側にあるKの弧上に点Pをとり、PA+PB+PCが最大となるようにする。

（1）Kの半径を求めよ。
（2）PA+PB+PCの最大値を求めよ。
（3）PA+PB+PCを最大にするPをQとする。Qの位置を求めよ。
（4）Qから直線ABに垂線を下ろし、垂線とQの交点をHとする。CHの長さを求めよ。
0170１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 09:08:24.36ID:YlLJTAPA
　「極線上の点の極線は」に訂正

解釈とは(a,b) と(x,y)の内積の垂線をどちらにおろすかという意味
他の二次曲線も二次形式と線形代数の知識でシンプルに解釈できるのかな？
0171１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 10:41:46.61ID:mzXyLJrP
>>123
　n=2, k：奇数, k≧3 のとき
　f '(x) = -3 +2x -k･x^(k-1) ≦ -3 +2x < -1,　(x<1)
　　　= -5/2 - 2(1/2 -x)^2 - {k･x^(k-3) - 2}x^2 < -5/2,　(|x|>1)
より f(x) は単調減少。
0172哀れな素人
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2020/02/21(金) 11:04:48.17ID:vIRKdDZf
>>169
（1）△ABCは直角三角形だから、半径＝５
（2）最大になるのはABPCの面積が最大になるときだから17√2
（3）（2）の理由によりBCの平行線が円Kと接する点。
（4）問題文が意味不明。
0173哀れな素人
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2020/02/21(金) 11:22:35.61ID:vIRKdDZf
>>169
（4）垂線とABの延長との交点をHとするという意味なら、√113
0174１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 11:34:31.77ID:C7Aslmkg
>弦BCに関してBと反対側にあるKの弧
ってどこのことだ？
0175１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 11:49:47.06ID:YlLJTAPA
Aと反対側の誤植やろ
ふと思ったけど三点からの和が一定の曲線ってなんだろ？
0176１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 11:54:13.19ID:+t2V5SC/
ご回答ありがとうございます。
頭の中で記憶した内容を書いていて、誤記が多く大変申し訳ありませんでした。
0177１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 12:03:50.14ID:mzXyLJrP
>>166
∫ sin(X)･{cos(X)}^0.8 dX = -(1/1.8){cos(X)}^1.8

{cos(X)}^2 = Y　とおいて
∫{cos(X)}^1.8 dX = (-1/2)∫ Y^0.4 (1-Y)^(-0.5) dY
　= -(1/2)Ｂ(1.4, 0.5 | Y)
　= -(1/2)Ｂ(1.4, 0.5 | {cos(X)}^2)
不完全ベータ関数
0180１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 14:09:11.36ID:+3ZHERdh
>>172
> 最大になるのはABPCの面積が最大になるとき
横からすまない
これってどうしてそう言えるんです？
0181哀れな素人
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2020/02/21(金) 16:52:48.25ID:vIRKdDZf
>>180
>>169の問題の答えだけ書いても質問者は納得できないだろうから、
一応説明しておくと－

（1）は説明省略。
（2）この問題は（3）が一番難しい。僕が考えたのは－
PAの最大値はPAが直径のときで、そのときPA＝BCだから
PA＋PB＋PC≦BC＋BP＋CP
つまりBC＋BP＋CPが最大のときを考えればよく、
BCは一定だからBP＋CPが最大のときを考えればよい。
BP＋CPが最大になるのはどの時かは二つの考え方がある。
①　周長が長いほど面積は大きい。→面積が最大のときを考えればよい。
②　相加平均≧相乗平均より、BP＝CPのときがBP＋CPは最大。
ゆえにBP＝CP＝5√2　APは方べきの定理より7√2
（3）は（2）の説明の通り。
（4）円周角の定理により∠BCQ＝∠BAQ＝45°
ゆえにAH＝7　あとは△AHCに三平方の定理を適用して√113
0182１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 16:53:25.31ID:+4K3m1jQ
>>169
初等幾何だけ縛りあるとかなりしんどいけど略解

∠BCD=90°、BD=ACとなるEをBCに関しAと反対側にとる。
Eを半直線BD上にDE=BCととる。
∠DEF=90°、EF=ABとなるFをBCに関してAと反対側にとる。
SをDからFRに下ろした垂線の足とする。
動点Pに対し、半直線CPにD,Fから下ろした垂線の足をQ,Rとする。
この時△ACPの外接円の半径=△DFSの外接円の半径と∠ACP=∠DFSによりAP=DS=QR。
頑張るとPQ=PB、(コレはPの位置により2ケースあってめんどい)
以上によりPA+PB+PC=BRで求める最大値はF=RとなるときでPが直線BF上の時。
0183１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 17:16:03.68ID:+3ZHERdh
>>181
> PA＋PB＋PC≦BC＋BP＋CP
これはその通りですけど
> つまりBC＋BP＋CPが最大のときを考えればよく、
> BCは一定だからBP＋CPが最大のときを考えればよい。
これってそうでしょうか？
BP+CPがその最大値よりもx小さいときのPAがBP+CPがその最大値を取るときのPAよりもxを超えて大きくなることがあり得ないと言えているのでしょうか
0184哀れな素人
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2020/02/21(金) 17:40:39.83ID:vIRKdDZf
>>183
もしそのようなことが起こるなら、
PA＋PB＋PC＞BC＋BP＋CP
となってしまう。
0186１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 18:00:26.11ID:YlLJTAPA
>>169
トレミーの定理使って計算すると
最大値は2*sqrt(145)
PA=120/sqrt(145),PB=90/sqrt(145),PA=80/sqrt(145) のとき
0189１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 18:35:02.59ID:YlLJTAPA
トレミーの定理は加法定理と同じよなものだからチートだけど
初等幾何の方法はわからん

PA=x,PB=y,PC=z
10x=6z+8y
y^2+z^2=10^2 ...（あ）

L=x+y+z=(9y+8z)/5 が（あ）円と接するときに最大
0190１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 19:09:14.68ID:+3ZHERdh
>>184
いや、そうなるとは限らないと思うんだけど
値は適当だけど例えばPB+PCの最大が10でそのときのPAが5（つまりこのときのPA+PB+PC=15）なんだけど、
PB+PCが9の時にPAが7になり得るならPA+PB+PC=16となりPB+PCが最大の時よりも大きくなり得る
このようなことが起きないことを言えているのかどうかってことです
0193哀れな素人
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2020/02/21(金) 19:54:25.66ID:vIRKdDZf
>>190
BC＋BP＋CPの最大値をLとし、そのときのBP＋CPの値をａとする。
もしBP＋CPがａよりｘだけ小さく、APがBCよりｘ以上大きければ、
PA＋PB＋PC＞BC＋BP＋CPとなってしまう。

APがBCより大きくなることはありえない。
つまりAPがBCよりｘ以上大きくなることはありえない。
0194哀れな素人
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2020/02/21(金) 20:00:36.08ID:vIRKdDZf
これから一時間ほど中断するが、
>>169の問題は高校入試の問題だから、
>>186のような複雑な答えにはならないはずである。
0196１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 20:59:46.02ID:ivneNcoV
>>193
比較の仕方がおかしいですよ
あなたはPA＋PB＋PC≦BC＋BP＋CPからBP＋CPが最大のときPA＋PB＋PCも最大になると言っています
同じPで記述すると混乱するのでBP＋CPが最大になる点PをP'とします
あなたの説ではPA＋PB＋PCの最大値はP'A＋P'B＋P'Cということになります
ここでP''を考えたときP''B+P''CはP'B＋P'Cより小さくなります
P'B＋P'C-(P''B+P''C)=x>0としたときP''A-P'A>xとなることがあり得ないと言えていないのではないかということです
0197イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/02/21(金) 21:05:37.23ID:aeOjnxR9
前>>159
>>169
(1)Kの半径=5
(2)PA+PB+PC=10+8+6=24
(3)Q(1.4,-4.8)
(4)C(5,0)
H(-5.4,0.3)
CH=√(10.4^2+0.3^2)
=√(108.16+0.09)
=√108.25
=10.404326……
問題がおかしいかもよ？
こんな半端な長さ出して意味あんの？
0198１３２人目の素数さん
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2020/02/21(金) 21:10:42.08ID:+4K3m1jQ
そもそもとっくに正解が出てるのにそれを無視しておかしなレスつけてくる相変わらずの芸風が2人。
0199哀れな素人
垢版 |
2020/02/21(金) 21:37:42.43ID:vIRKdDZf
>>195をクリックしたが、ページは現れなかった。
だから僕の答えが間違っているのかもしれないが、
>>196に答えておくと－

周長が長ければ面積は大きい→面積が最大ならPA＋PB＋PCが最大、
という理由によって僕の解答のQの位置が正しいと考える。
なぜなら四角形ABPCの面積は△ABP＋△APCで、
これは周長としてAPを2回とBPとCPを含んでいるからである。

ABとACは一定だから、結局APを2回とBPとCPを含んでいる長さが
最も長いときが面積が最大になる。
いいかえれば四角形ABPCの面積が最大のとき、AP＋BP＋CPが最大になる。
0200１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/21(金) 22:03:59.26ID:Fd+Lq6u/
>>199
その考え方だとBCを直径とする△ABCを考えたときAがどこにあってもPB+PCが最大となるときPA+PB+PCが最大になることになる（このときPB+PC=10√2=14.1421356……※）
AをBにすごく近いところにとればPA+PB+PCは15√2=21.213……にどんどん近づくので22以下に出来る
しかし、このときPをPB=8、PC=6の位置にとればPB+PC=14で※より小さいがPA+PB+PCは22より大きい
つまり、PB+PCが最大になるときPA+PB+PCが最大になるというのは間違い
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