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>「x=4、z=5、y=3のとき自然数解を持ちます。」
この文はあなたが書いたんですよね？

そうです。

「z=5、y=3となるような自然数解を持たない。」
が正しいという結論とどう考えても矛盾していますが。

z=5、y=3は、1=(z-y)とならないという意味にとりました。