面白い問題おしえて〜な 31問目
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気持ちよく期待値0になっておおぉぉぉと思ったけど当たり前なのか‥‥ >>362
正解！！！
次のように問題を改変する
貧乏人が途中で負け越しても借金して続け、どちらかが先にn+1勝しても2n+1番まで続ける
そのときに、貧乏人が途中で負け越すことなく勝ち越しで終わる場合を考える
勝敗条件はまったく変わらないので上記の確率を求めればいい
途中で一度は負け越してから勝ち越しで終わる場合、途中に初めて負け越した黒星が必ずある
その黒星より後で二番以上の勝ち越しがあることにより最後は勝ち越しとなる
このときもしその黒星より後の星の勝敗が逆であれば三番以上の負け越しで終わる
逆に、三番以上の負け越しで終わる場合、途中に初めて負け越しとなった黒星が必ずあり、
その後に二番以上の負け越しがあることで三番以上の負け越しで終わるので、
その勝敗が逆なら、途中の負け越しから二番以上を返し、最後勝ち越しで終わることになる
従って、途中で負け越してから勝ち越しで終わる場合と三番以上の負け越しで終わる場合は、
一対一に対応し、その確率は等しい
題意の確率=途中で負け越すことなく勝ち越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-途中で負け越してから勝ち越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-三番以上の負け越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-(負け越しで終わる確率-一番の負け越しで終わる確率)
=1/2-(1/2-n勝する確率)=n勝する確率=C[2n+1,n]/2^(2n+1) 前>>360
>>292
OA=tとすると、
OA･OB=1よりOB=1/t
AB=OB-OA=1/t-t n ＝１〜７で虱潰しにプログラムに数えさせて頻度を出してみた。
> data.frame(n,p)
n p
1 1 0.3750000
2 2 0.3125000
3 3 0.2734375
4 4 0.2460938
5 5 0.2255859
6 6 0.2094727
7 7 0.1963806 C[2n+1,n]/2^(2n+1)
に代入すると、
> choose(2*n+1,n)/(2^(2*n+1))
[1] 0.3750000 0.3125000 0.2734375 0.2460938 0.2255859 0.2094727 0.1963806
同値。プログラムでのカウント漏れはなさそう。 >>312に書いたことは間違いだったので訂正しておく。
PB、DB、QBと小円との交点をE、F、G、
GからQOに平行に引いた平行線と、AB、小円との交点をH、I
IFとPBとの交点をJとすると、△JFB∽△HGBで、
この二つの三角形は出題の三角形とも相似。
但し△OQB∽△HGBだけは明らかだが、
その他の相似は、今のところ、示せない。
もしかしたら小円など利用しなくても解けるのかもしれない。 前>>365小円なん ∩∩
((-_-)か思いつ (^_^))
[￣]c) かんやろ。U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ (γ)
____/＼/,,(`.`))⌒ヾU
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ|
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___/ |
□ | ‖￣~U~U~￣‖ |
____| ‖ □ □ ‖ |/
_____`‖_________‖／ あるカジノに次のようなカードゲームがある
n枚のカードがあり、親は裏に互いに異なる数を書き込み、よく切って重ねて伏せる
プレーヤーは一枚ずつカードをめくり、好きなところで止める
また、途中で止めずに最後の一枚をめくった場合はそこで止める
止めたときのカードが親が書き込んだ最大の数であるとき、プレーヤーの勝ちとなる
プレーヤーは次のような作戦で止める箇所を決めることにした
m枚目までは止めない
m+1枚目からは、それまでに見た最大の数を超えていたら止めて、そうでなければ止めない
この方法を使ったとき、勝率はいくらか？
nが大きいとき、上記勝率の最大はいくらか？ >>349 が気になって夜も眠れないから正式に投稿（眠れたけど）
もちろん自分では未解決。
↓↓ここから問題↓↓
連続関数 f,g:[0,1]→[0,1] は f^-1({0})=g^-1({0})={0}, f^-1({1})=g^-1({1})={1}, を満たし、
どの区間 [a,b] (0≦a<b≦1) においても定数でない。
この時、連続関数 p,q:[0,1]→[0,1] であって、p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1 かつ
f(p(t))=g(q(t)) (∀t∈[0,1]) を満たすものは存在するか。
↑↑ここまで問題↑↑
[0,1]^2 の部分集合Sを S = { (x,y)∈[0,1]^2 : f(x)=g(y) } とおくと、
二点(0,0)と(1,1)がSの同じ連結成分に属することは証明できる。
この問題は、この二点が同じ『弧状』連結成分に属するかどうか、と言い換えられる。 難問ばかりなのもアレなので解決済みのものを１つ
連続関数 f:R→R は非可算個の点で極大値をとり得るか。 >>372
しまった、ここでは関数 f が点 x_0 で極大値をとるとは、
x_0 のある開近傍 U が存在して
x∈U かつ x≠x_0 ならば f(x)<f(x_0)
を満たすこととします。 >>372
不可能。
極大値をとるx=aの集合をSとする。
Sの元aに対し開集合Uaをf(a)がUaにおいてmaxとなるようにとると異なるa,bに対してUaとUbはdisjoint。
さらにUaから有理数qaを選べばqはSからQへの単射を与える。 逆だな。
Rは可分なので可算近傍系Cをとれる。
C'={U∈C|fはCで狭義の最大をとる。}
m:C'→{極大点}をm(U)=(最大値をとる点)
で定めればこれは{極大点}への全射を与える。 m≦k≦n-1に対して
p(プレーヤー勝ち|k+1枚目が最大)
=p(1〜k枚目までの最大が1〜m枚目にある)
=m/k
だから
pm:=
p(プレーヤー勝ち)
=1/nΣ[m≦k≦n-1] m/k
よって
p(m+1)-pm
= 1/n(Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k -1)。
∴ p(m+1)-pm>0⇔ Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k > 1
ここで
Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k
=∫[m+1,n] 1/[x] dx
> ∫[m+1,n] 1/[x] dx
=log n/(m+1)、
Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k
=∫[m+1,n] 1/[x] dx
<∫[m+1,n] 1/(x-1) dx
=log (n-1)/m
とlog(n-1)/m < log n/mによりpmが最大となるのはm=[n/e]のとき。 前>>369
>>370
まずm/nの確率でm枚目までに最大が出てるから絶対に負ける。
勝つ確率の最大値は1-m/n
問題はm+1枚目からn枚目までのm-n枚を引く途中で今まで見た最大を見てしまい、残りの枚数で最大が出る可能性を残したままゲームを終わらせてしまうこと。
m+k枚目で今まで見た最大が出たとすると、
(m+k)/n
まだ勝つかわからない。
勝つ確率k/(n-m)
(n-m-k)/(n-m)は負ける。
トータルで負ける確率は、
m/n+(n-m-k)/(n-m)
{m(n-m)+n(n-m-k)}/n(n-m)
=(n^2-m^2-nk)/n(n-m)
トータルで勝つ確率は、
k/n
これらが足して1だから、
(n^2-m^2-nk)/n(n-m)+k/n=1
n^2-m^2-nk+k(n-m)=n(n-m)-m^2-mk=-mn
k=n-m
∴勝つ確率=(n-m)/n
=1-m/n
だからこれは最大値だって。
(n-m)/nより小さい。
今まで見た最大値ならそこで見切るって言ってんだから勝つ確率は1-m/nより確実に小さい。
(n-m)/nを掛ければいいのか？
勘で(1-m/n)^2 前>>380
>>370
勝つ確率は1-m/nでnがじゅうぶん大きいとき1に近づく、つまり限りなく100％勝つ。 p(プレーヤー勝ち)=1/nΣ[m≦k≦n-1] m/k
って狽Oしたきれいな式にはならないのか。 前>>381
>>379たとえば親が同じスートのA,2〜Q,Kのカードを1枚ずつ持ってたら、
13/e=4.……だから、
5枚目以降に最大値が出るやいなや勝負に出たほうが勝つ確率が高いってこと？ >>384
この問題の設定はあくまで子が親の数を選ぶ分布について知りようがないという設定。
もちろん親が1〜13の整数しか選ばないという情報があるならKが出てストップかけないのはバカ。
しかしその手の情報はなく、単に出た数の大小しか情報がないという設定。
そして親の数の選び方の分布が問題に与えられてないので本来解答不可能。
例えば親が常に単調増加になるように数を選ぶのなら子が勝てるのはm=n-1だけだし、常に単調減少に選ぶならm=0しか子は勝てない。
しかしそんな事は多分数学科卒でないとわからないだろうから、その辺はエスパーしないといけない。
>>379の解答は親の数の選び方の分布がn!通りある大小の分布が同様に確からしいという仮定を追加した場合の解答。
例えば親のn枚のカードの数をiidで選んだ場合などでは通用する。 前>>384いや、それは変だぜ。ジャックやクイーンが5枚目に出て、まだキングが出てないのに飛びついたら負けじゃないか。
mを1にしてnを最大にしてなるべく長く待つスタンスをとるにしても、肝心のキングが来なきゃ意味がない。 >>379
正解！素晴らしい！
>>378
>>380-381
残念ながら不正解！
>>385
ランダム性を持たせるため「よく切って重ねて伏せる」という文を入れておいた
これによりn!通りある順位のパターンは同様に確からしいと言えると思う 前>>386
>>379はlog{(n-1)/m}かlog{n/(m+1)}かどっちが答えなの？ >>388
ガンマ関数の微分をって閉じた形で書ける利点があるにしろ、確かにそう捉えるのも自然だけれども
指数関数や多項式、あとそれらの積みたいに、部分和が閉じた形で書ける関数って案外少ないからなあ >>388
いや、見た目は簡単で
p(プレーヤー勝ち)=(m/n)(ψ(n)-ψ(m))
この極限はディガンマ関数の漸近公式ψ(n)=log(n)+O(1/n)より
=(m/n)(log(n/m)+O(1/n)+O(1/m))
=-xlog(x)+O(1/n), x=m/n >>279です。
残念ながら計算間違いがあった。
Σ[1/m+‥1/(n-1)>1を満たす最大のmまではあってるけどこの方程式解き損なってる。
mのよりよい近似値として
m=[(n-1/2)/e+1/2]
は出せるけど、>>279よりはマシなだけでこれでもずれる。
(計算機使ってみると100項中1こずれてた)
>>370は完全に正確に答え解こうとすれば既出のディガンマ関数とかその逆関数とか使わないと無理かもしれない。 >>292の問題について考えていて思い付いた問題をひとつ。
中心をＯとする半径１の円があり、半径上に任意の点Ａがある。
ＯＡの延長上にＯＡ・ＯＢ＝１となる点Ｂを作図せよ。 ついでだから、もう一問。
↓この問題には別解がある。それを示せ。
https://www.youtube.com/watch?v=ejtPSxoUlRo
但し、コメント欄にある別解は禁止。
コメント欄の別解とは違う別解を挙げよ。 >>393
そう言うのを円による反転という。
初等幾何のイロハのイ。 反転。初耳なので少し調べたが、>>393の問題とは関係ない（笑
ま、ここの連中は初等幾何の問題などバカにして答えないだろうと思っていた（笑 半直線に垂直に線引いて交点での接線を引き、半直線との交点をとるだけだろ あと連続関数絡みで、前スレだったかで置き去りにされてた問題（を改編したもの）も出題しておこうかな
以前のものと同様、未解決ですが
次を満たす関数 f:R^2→{1,2,…,n} が存在するような正の整数nのうち、最小のものを求めよ：
連続関数 p:[0,1]→R^2 について、もしpとfの合成が定関数ならばpも定関数である。 >>396
長さaの線分の逆数1/aを作図せよという問題なら
検索キーワードは"作図 逆数"で解答がたくさん出てくる
四則演算と平方根は作図可能というのが作図の基礎知識 >>399
a:(0,1)×(0,1)→(0,1)を二進表示を交互に編み込む連続関数とする。
さらにb(x,y)=((atan(x)+2)/4,(atan(y)+2)/4)とする。
g:(0,1)→{1,2}をQ∩(0,1)の特性関数とする。
f=gabと定める。
p:(0,1)→R^2が定数でない連続関数とするとabpも定数でない連続関数である。
この時任意の相異なる有理数の間には無理数が存在する事と相異なる無理数の間には有理数が存在する事からgabpは定数でない。
よってfpも定数でない。
よって求める最小値は2。 あ、しまった。
aは連続じゃないや。>>403は撤回します。 >>393の問題は、円による反転とか、そんな難しい問題ではない（笑
単に方べきの定理の応用問題である（笑
それに初等幾何のイロハのイというが、
反転なんて小中高でも習ったことはない（笑
それを「初等幾何のイロハのイ」と書いているところに、
お前らの虚栄心が現れている（笑
もちろん>>402のように考えて解いてもいいが、もっと簡単な方法がある。
ＯからＯＡに垂直な直径を引き、円との交点をＰ、Ｑとし、
ＰＡの延長と円との交点をＲとし、
ＱＲの延長とＯＡの延長との交点をＢとすると、Ｂが求める点である。 虚栄心しかないやつが何言ってんの？
こんなもん理系の人間で知らん人間いない常識問題だっていってんだよ？
検索したらアホほどでてくるやろが？
こんな常識問題でも知らないで出すのはしょうがない。
調べてみて頻出、常識問題だとわからないのがアホだと言ってる。
人の書いた文章理解する能力ないんかね？
そもそも一番最初にでてる>>294の証明にもでてくるやろ？
読んでないの？
読んでもわからないの？ >>399
未解決ですがというのは出題者も答え持ってないという意味？ 別に初歩的な問題を初歩的と知らないで出題するのはいいけどね
それを指摘されて訳のわからないキレ方をするのはみっともない 訳のわからないキレ方をしているのはお前らの方だ（笑
僕は虚栄心のために0.99999……≠１と説いているのではないし、
検索して>>405のような答えが出て来るとも思えないし、
>>294は初等幾何的証明ではないのである。
>>394の問題にしても、お前らは、答えが分っていても、書かないだろう、
と僕は最初から思っていた（笑
なぜなら、>>393-394のような問題はお前らのプライドを傷つけるからだ。
というわけで、お前らは、僕のことは無視して、数学の腕比べに励めばよい。
しかし、お前らがどんなに優秀であろうと、0.99999……＝１だと言った途端に、
世間の聡明な人々からは、お前らは笑われる（笑
https://www.youtube.com/watch?v=47zjeq13NwY
ここでも作者は５＝4.99999……という間違いを平気で犯しているが、
お前らはこの作者と同レベルなのである。 >>407
紛らわしくて申し訳ない、そういう意味です
既に誰かが答えを与えていないかどうかまでは調べられてないです >>409
もういいからここには書くなよ。
自分の学力がこのスレではハナクソレベルなのがなんでわからんのかねぇ？
灘中の入試レベルでまだ四苦八苦してるレベルで。 /＿/人人_/＿/＿人人＿
/_（＿)_)/＿/（_^＿)_
/_（_(＿)/＿/（_^＿)_
/_（e^) )/＿/（o^) )_
/_（υ＿)┓_/（_υ_)┓
/◎ﾞυ┻-◎ﾞ◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿ｷｺｷｺ……_/＿ｷｺｷｺ……_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿ちょ〜しっぱずれの〜♪
よし晴れてきた、洗濯もん乾くぞ！ 前>>389とかいのろじうらでぇ〜♪ 勝つ確率にlogはねえよ。のんだくれたかえりに〜♪ 確率にlog出てきたんじゃ訳わかんねえよなぁ。しこたまはいたぁ〜♪ 髭剃るか。 ‖人人確率がlogって
（_(＿)どういう
（(-.-)意味なんだ？
（っγ)ﾞ
（⌒⌒)
~~~~~~~~~~~~~~~
log{n/(m+1)}が答えなのか？ >>411
では>>292の問題の初等幾何的な証明を書いてくれ（笑
どうせ書かないだろうが（笑
何で初歩的な問題を投稿するだけで、
こんなに叩かれ嘲笑されなければならないのか（呆
荒らしをしているわけではないのに、荒らし扱いだ（呆 >>414
だから馬鹿だっていってるんだよ。
なんで初等幾何的証明だれも書かないかわかってないだろ？
書きたくても問題文の条件だけじゃ配置が不定なのでめちゃめちゃ書きにくいんだよ。
既に>>294で証明上がってる方針を初等的に焼き直すとき∠BPD=∠BOQを示すのが気もになる。
方針として>>294のCをとってBPとCQの交点をEとしてBEOQが同一円周上にある事を利用する手があるけど、そのときBPEの位置配置とBECQの円周上の配置によって∠BPD、∠BEQ、∠BOQの位置関係が微妙に変わる。
この三角がすべて等しい時もあれば捕角を取らないといけないときも出てくる。
おそらく原題では図が与えられてて位置配置が細かく決定してるんだろう。
あなたその中の勝手な一個の位置配置決め打ちして証明してるけどそんなの証明として通用しないんだよ。
しかもそんな事しなくても複素座標とれば全部のケースひっくるめて一撃で証明できるのになんでそんな意味ない事するの？
そもそもOA・OB=1という条件見た瞬間に反転幾何学≒複素座標使ってみようと思う発想が出てこない時点であんた失格なんだよ。
もんいいからでてけよ。
あんたにこのスレの話題についていけるだけの実力はない。
スレ汚し。 >>415
>あんたにこのスレの話題についていけるだけの実力はない。
そんなこと最初から分かっている(笑
しかしこのスレはスレタイからして難問を出すスレではないから、
初等幾何の問題を出してもいいはずなのだ。
だからスレ汚しなどと叩かれる筋合いはない。
それに>>292の問題は灘高校の入試問題だというから、
複素数など使って証明する問題ではなく、
初等幾何で解けるはずの問題なのである。
これ以上書くと荒らしだと思われるかもしれないから、ここで止める。
お前らも僕に対する嘲笑とか攻撃はここで止めるように。
もちろんやりたければどんどんやればいい(笑 ‖人人‖前>>413
（_(＿)>>292も>>370も
（(-.-)納得∩∩でき
（っγ)ﾞる(^o^))⌒ヾ,
（⌒⌒)答えυυ`υυ~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ではないなぁ。>>292は相似。相似比も相似条件もまだわからん。>>370は確率。すべての場合分のその場合の数。すべての場合がいくつでその場合がいくつなのかまだわからん。 >>416
こいつここまで丁寧に説明してまだ何言われてるのかわからんのか。
どこまでアホなん？ (a-e)(b-f)=(c-e)(d-f)なるn以下の非負整数の組(a,b,c,d,e,f)はいくつあるか。
分かスレの問題
全然わからん >>420
それは多分解答もなんも作ってない奴が適当に文字並べただけの問題だと思う。
あのスレはわからん問題なら何書いてもいいという独特なロジックでその手の問題がよく上がってるから注意しないと。 >>421
やっぱそうだよね
一応頑張って解こうとしたけど約数の個数とかその辺を一般化しなきゃいけないっていう壁にぶち当たった
プログラム組んでOEISにぶち込んでも何も出てこないし無理ゲー >>420前>>418
(a-e)(b-f)=(c-e)(d-f)
4･3=6･2
a=6,e=2,b=4,f=1,c=8,d=3
n=8のとき、6･2=4･3もありうるから、
a=8,e=2,b=3,f=1,c=6,d=4
a=8,e=1,b=4,f=2,c=3,d=6のとき8･1=2･4で成り立つ。
もう一つあれば、
n以下の数で√n通りあるとか大胆な予想が立つけど。 >>422
え？そんな手があるの？あのOEISって検索できるん？ この数列の法則性は？
なんて聞かれたときは検索機能が重宝する >>427
いや、nが大きいほど簡単でしょ？
n=3のときのfはすぐできる。
n=2のときにfが作れるのか？が問題。
最小値は3 or 2。 R^2の点をpathconnected componentが1点になるようないくつの部分集合に分けられるかか
R^1なら有理数と無理数でイイから
A={(x,y) | x, y∈Q} B=R^2-A
でよくない？
アーダメかy=eがB内だわ
4つに分けて
A=Q^2 B=Q×I C=I×Q D=I×I（I=R-Q）
ならいいでしょ
p1,p2:R^2→R
につなげたらいいから
しかしn=2,3でダメということはどう言えば良いのか？ >>428
>n=3のときのfはすぐできる
どう作る？ 某大学入試過去問改
東西に10本、南北に3n+1本の道路が碁盤の目状に走った町がある。
この町の道路は最南端にある東西に走る道路を南から順に東西0号線から東西9号線、南北に走る道路を西から順に南北0号線から南北3n号線と呼ぶ。
3の倍数3kに対し南北3k号線、東西0、3、6、9号線は大通り、その他は生活道路と呼ばれる。
各交差点には以下のような規則が定められている。
・生活道路と大通りの交差点においては、生活道路から進入する場合には左折して大通りに合流する事のみしか出来ず直進、右折はできない。大通りから進入する場合には左折して生活道路にはいるか、そのまま直進する事はできるが右折は禁止である。
・大通り、生活道路どうしの交差点では右左折、直進すべて可能である。
この町の南西端をX、北東端をYとするときのXからYへ規則に従う最短経路の数を求めよ。
原題はn=7の場合です。 >>430
有理数×有理数は1,
有理数×無理数、無理数×有理数は2、
無理数×無理数は3にする。
コレでいけるはず。 あ、だめだ。
これだとずっと2になるかのうせいがある、
有理数×有理数は1,
有理数×無理数は2、
無理数×有理数は3、
無理数×無理数は4にする。
コレは絶対いける。
なので最小値は2か3か4。 >>428
あーそういう感じなのか？
2の時はダメだと言えて
3とか4とかどうなるのか、って方向性になるかなと思ったけど >>424
n=1,2,……の時の答えをぶち込んでなんか出てきたらラッキー 前>>423
>>431
1本。
Xから東西0号を東へ。南北n+1号との交差点を左折し北へ。Yに着く経路。 前>>437訂正。
>>431
1本。
Xから東西0号を東へ。南北3n+1号との交差点を左折し北へ。Yに着く経路。 前>>438訂正。大通り右折できるわ。
>>431
Xから東西0号を東へ。南北Σn[n=1→3n+1]号との交差点を左折し北へ。適宜右折してYに着く経路。
∴(3n+1)^2通り 前>>439訂正。生活道路も掛けてた。
>>431
(n+1)^2通り 前>>440訂正。
>>431
11(n+1)通り >>431
これは、どうやってシミュレーションするかなぁ。
とりあえず、ｎ＝７のときで道路を作図
https://i.imgur.com/fJDSrQo.jpg 南から大通りに入る生活道路は全部カット（最短で進めないから）
大通りから東に入る生活道路も全部カット（最短で進めないから）
あとは自由に考える
大通りで囲まれた区画でなら
1+4C2=7通り
これを
左端の大通りは１
それ以外の南北の大通りが6
東西の大通りは１
で考えたら良いのではないかね 大通りの直進左折右折で変わるから>>446だと考えにくい
左から直進が1通り
左から左折が6通り
下から直進が1通り
下から右折が1通り
これで考えるんだな
あるいは大通りの交差点に下から入る処と右に出るところの路線数で考えるか >>448
>あるいは大通りの交差点に下から入る処と右に出るところの路線数で考えるか
書きやすく南北逆転させてみたら
１ １ １ １ １ １ １
１ ６ ６ ６ ６ ６ ６ ６
１ ７ 13 19 25 31 37
１ 12 48 84 19*6+6-120
１ 13 61 61+84=145
こんな感じか 「遠回りしない」という条件の下、東西、および、南北の0号、3号で囲まれる
3×3の区画内のいずれかの生活道路を使用する場合、
(1,0)か(2,0)から進入し、(3,1)か、(3,2)から出る場合しかなく、合計5通りある。
つまり、生活道路同士の交差点、(3p+s,3q+t) (s,t=1,2)を利用する場合、
必ず、大通り同士の交差点(3p,3q)と(3p+3,3q+3)を利用している。
題意の条件に従い、通った大通り同士の交差点のみをプロットし、結ぶと、
“横に変化”、“上に変化”、“斜めに変化”の三通りに分類できる。
“斜めに変化”の回数がk回だとすると、“横に変化”は、n-k回、“上に変化”は3-k回となる。
斜めに変化の場合、生活道路の通り方で、5通りあるので、
Σ[k=0,3] 5^k*((n-k)+(3-k)+k)!/{(n-k)!*(3-k)!*k!} で計算できることが判る。
答え 36n^3-54n^2+36n+1 >>450
正解
ちなみに東西線3m+1本、南北線3n+1のときは
Σ[0≦i≦m]C[m,i]C[n,i]6^i
(ただしj<kのときC[j<k]=0とする)
になります。
>>450さんの証明よく読めばできます。
ちなみに超幾何関数というのを使って
3F2(-m,-n,1;6)
とも表示されます。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Hypergeometric2F1%28-3%2C-x%2C1%2C6%29&;lang=ja なるほど。ということは、
Σ[k=0,m] C[m,k]*C[n,k]*(x+1)^k = Σ[k=0,m] C[n+m-k,m-k]*C[n,k]*x^k
が成立しそうですが、証明はどうやるんだろう．．．。 自然数nに対してm=C[n+1,2]変数の多項式Pn(x[12],‥,x[n-1,n])で次の条件を満たすものが存在する事を示せ。
n次元ユークリッド空間の点p0,‥pnに対し、その凸包をK、m個の正の実数a[12],‥,a[n-1n]をd(pi,pj)を並べたものとするとき
vol(K)^2=Pn(a[12],‥,a[n-1n])
が成立する。(高次元のヘロンの公式)
またこの時次が成り立つ事を示せ。
実数の組みa[12],‥,a[n-1n]が任意の{1,‥,n}のk元集合Sと添字がSに入るC[k2]個のa[ij]を選ぶとき
Pk(a[ij])>0
が成立するときn次元ユークリッド空間の点p0,‥pnでa[12],‥,a[n-1n]がd(pi,pj)を並べたものと一致するようなものがとれる。(高次元の三角不等式)
例
p1(x)=x
P2(x,y,z)=(1/16)(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)
でn≦2では成立しています。 >>399
n=3の時は、f(x,y)の値を
1 (xもyも有理数の時)
2 (xとyの片方だけが無理数)
3 (xとyの両方無理数)
とすれば良い。fpの値が1か3で定数の場合は明らかにpも定数。
fpの値が常に2である時、pが定数でないと仮定。すると、任意の有理数qについて
C(q):=p^(-1)({q}×R) も C'(q):=p^(-1)(R×{q}) も区間[0,1]の閉集合になる。したがって
[0,1]=∪_(q:有理数) C(q)∪C'(q)
は閉区間[0,1]の、可算無限個の非交和な閉集合によな分割を与えるが、
そのような分割は不可能であるため矛盾。 >>454
>は閉区間[0,1]の、可算無限個の非交和な閉集合によな分割を与えるが、
[0,1]=[0,1]∪Φ >>452
(1+xz)^n = Σ[i=0,n]C[n,i]x^i z^i
(1+z)^m = Σ[j=0,m]C[m,j]z^j
(1-z)^(-n-1) = Σ[j=0,∞]C[n+j,j]z^j
より
(1+xz)^n (1+z)^mのz^mの係数 = Σ[k=0,m] C[m,m-k]C[n,k] x^k
(1+xz)^n (1-z)^(-n-1)のz^mの係数 = Σ[k=0,m] C[n+m-k,m-k]C[n,k] x^k
だから
f(z) = (1+z+xz)^n (1+z)^m/z^(m+1)
g(z) = (1+xz)^n (1-z)^(-n-1)/z^(m+1)
のz=0における留数が等しいことを示せばよい。
これはz=t/(1-t)と置くとf(z)dz=g(t)dtより明らか >>455
例えば C(q)=[0,1] の場合、pの第一成分が常にq、第二成分が常に無理数をとる訳だけど、
その場合は第二成分も定数でなければならないから、結局pも定数関数であることがわかる。
C'(q)の場合も同様。 >>455
の反例は乗り切ってるかもだけど[0,1]が高々可算無限個の非自明な非交和になり得ないは正しいのかな？
反例も証明も分からん。 >>412
イナさんは
おじさん(♂)だったんですか？ Ｑ.１，２，４，８、・・・、２＾ｎという数列から１つ数を選んだとき、その最高桁が１となる確率はいかほどか？
(初めから無限個の集合で考えなくてもＯＫです
ｎを有限としてｎ→∞としてもかまいません) log[10]2、
ちな最高位が3の確率？はlog[10](3/2) >>460
jlog2(10)≦i<jlog2(10)+1を満たす整数iはjに対して必ず1つ存在するので
2^nがm桁の数とすると{1,2,4...,2^n}にはm個の最高桁が1となる数が存在する
この確率はm/(n+1)=ceil(nlog10(2)+1)/(n+1) ここでceil(x)はx以上の最小の整数 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
