0001１３２人目の素数さん
2020/01/15(水) 23:53:19.58ID:oVQudX+h>>694
高専から来る人は東大のトップレベルと肩を並べられる人は多いよ
ただこんなのが高専代表とか見られるとたまったもんじゃないだろうな
探検
【理3悲報】 高専＞理3
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>>694
高専から来る人は東大のトップレベルと肩を並べられる人は多いよ
ただこんなのが高専代表とか見られるとたまったもんじゃないだろうな
0093１３２人目の素数さん
2020/04/01(水) 20:02:07.94ID:mKVQf8RvSheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
U = {(x_1, x_2, …) ∈ F^∞ | x_j ≠ 0 for only finitely many j} とする。
(a) U は F^∞ の部分空間であることを示せ。
(b) F^∞/U は無限次元であることを示せ。
(a) 明らか。
(b) (1, 1, 1, 1, …) + U, (0, 1, 0, 1, …) + U, (0, 0, 1, 0, 0, 1, …) + U, (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, …) + U, … は明らかに一次独立である。
0094１３２人目の素数さん
2020/04/01(水) 20:02:12.78ID:mKVQf8Rv>>951
(b)の証明付きの解答です：
自然数 i に対して、 v_i = (a_{i, 1}, a_{i, 2}, …) を
a_{i, j} = 1 if j is a multiple of the ith prime number π(i).
a_{i, j} = 0 if j is not a multiple of the ith prime number π(i).
と定義する。
n を任意の自然数とするとき、 v_1 + U, v_2 + U, …, v_n + U は一次独立であることを証明する：
α_1*(v_1 + U) + α_2*(v_2 + U) + … + α_n*(v_n + U) = 0 + U
とする。
α_1*v_1 + α_2*v_2 + … + α_n*v_n ∈ U
である。
i ∈ {1, 2, …, n} とする。
p を π(n) よりも大きな素数とする。
1 = a_{i, m*π(i)} for all m ∈ {1, 2, 3, …}
である。
j ∈ {1, 2, …, n} かつ j ≠ i とする。
0 = a_{j, m*π(i)} for all m ∈ {π(n+1), π(n+2), π(n+3), …}
である。
∴
1 = a_{i, m*π(i)} for all m ∈ {π(n+1), π(n+2), π(n+3), …}
0 = a_{j, m*π(i)} for all m ∈ {π(n+1), π(n+2), π(n+3), …}
α_1*v_1 + α_2*v_2 + … + α_n*v_n の第 m*π(i) 番目の要素は α_i である。
もしも、 α_i ≠ 0 ならば、
α_1*v_1 + α_2*v_2 + … + α_n*v_n は U の要素ではないということになってしまう。
よって、 α_i = 0 である。
i ∈ {1, 2, …, n} は任意であったから、すべての i ∈ {1, 2, …, n} に対して、 α_i = 0 でなければならない。
0095１３２人目の素数さん
2020/04/01(水) 20:02:38.69ID:mKVQf8Rv訂正します：
>>951
(b)の証明付きの解答です：
自然数 i に対して、 v_i = (a_{i, 1}, a_{i, 2}, …) を
a_{i, j} = 1 if j is a multiple of the ith prime number π(i).
a_{i, j} = 0 if j is not a multiple of the ith prime number π(i).
と定義する。
n を任意の自然数とするとき、 v_1 + U, v_2 + U, …, v_n + U は一次独立であることを証明する：
α_1*(v_1 + U) + α_2*(v_2 + U) + … + α_n*(v_n + U) = 0 + U
とする。
α_1*v_1 + α_2*v_2 + … + α_n*v_n ∈ U
である。
i ∈ {1, 2, …, n} とする。
p を π(n) よりも大きな素数とする。
1 = a_{i, m*π(i)} for all m ∈ {1, 2, 3, …}
である。
j ∈ {1, 2, …, n} かつ j ≠ i とする。
0 = a_{j, m*π(i)} for all m ∈ {π(n+1), π(n+2), π(n+3), …}
である。
∴
1 = a_{i, m*π(i)} for all m ∈ {π(n+1), π(n+2), π(n+3), …}
0 = a_{j, m*π(i)} for all m ∈ {π(n+1), π(n+2), π(n+3), …}
m ∈ {π(n+1), π(n+2), π(n+3), …} とする。
α_1*v_1 + α_2*v_2 + … + α_n*v_n の第 m*π(i) 番目の要素は α_i である。
もしも、 α_i ≠ 0 ならば、
α_1*v_1 + α_2*v_2 + … + α_n*v_n は U の要素ではないということになってしまう。
よって、 α_i = 0 である。
i ∈ {1, 2, …, n} は任意であったから、すべての i ∈ {1, 2, …, n} に対して、 α_i = 0 でなければならない。
958 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/01(水) 18:21:58.36 ID:Li4DVdmW (4/4)
>>957
我ながらうまい証明ですね。
0096１３２人目の素数さん
2020/04/01(水) 21:36:58.34ID:mKVQf8Rv>>968
⇒ の右に「∀x∈B」を書いているのが意味不明ですね。
新妻っていう人が監訳した本を読んだことがありますが、ひどい本でした。
973 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/01(水) 20:13:51.12 ID:Li4DVdmW (6/7)
⇒ の左に「∀x∈A」を書くのも意味不明ですね。
974 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/01(水) 20:14:30.90 ID:Li4DVdmW (7/7)
というか、 ∀x∈A を単独で書いても意味を成さないですよね。
0097１３２人目の素数さん
2020/04/02(木) 15:21:17.91ID:4wqm0TjaSheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
この本でもっとも抽象的な「linear functional」関係のセクションを読み終わりました。
これから37問もある演習問題を解こうと思います。
982+1 ：１３２人目の素数さん [↓] ：2020/04/02(木) 13:17:07.60 ID:cn9lolS/ (2/7)
線形空間 {f | [0, 1] → R} 上のlinear functionalの例を3つあげよ。
解答：
f → f(0)
983 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/02(木) 13:24:20.40 ID:cn9lolS/ (3/7)
積分も微分もできるとは仮定できないですが、あと2つも例がありますかね？
984 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/02(木) 13:28:40.90 ID:cn9lolS/ (4/7)
>>982
これってもしかして、
f → f(0.5)
f → f(1)
とかを想定しているんですかね？
985 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/02(木) 13:29:13.26 ID:cn9lolS/ (5/7)
だとしたら、ひどすぎますね。
0098１３２人目の素数さん
2020/04/03(金) 16:47:58.78ID:GVUzghJiSuppose V is finite-dimensional and v ∈ V with v ≠ 0.
Prove that there exists φ ∈ V' such that φ(v) = 1.
この問題ですが、くだらなすぎます。
v に追加して、基底を作れる。
v, v_2, …, v_n を V の基底とする。
v → 1
v_i → 0 for i ∈ {2, …, n}
が求める φ である。
987 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/02(木) 13:43:08.16 ID:cn9lolS/ (7/7)
なんか、ほとんどの問題が同工異曲です。
0099１３２人目の素数さん
2020/04/03(金) 16:48:05.22ID:GVUzghJiV を有限次元ベクトル空間とする。
V' を V の双対空間とする。
U^0 := {φ ∈ V' | φ(u) = 0 for all u ∈ U} とする。
U と W を V の部分空間とし、 W^0 ⊂ U^0 とする。
U ⊂ W を証明せよ。
3 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/03(金) 15:36:59.96 ID:CZycMBRW (2/4)
>>２
Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
以下の問題があります。これから解きます。
V を有限次元ベクトル空間とする。
V' を V の双対空間とする。
U^0 := {φ ∈ V' | φ(u) = 0 for all u ∈ U} とする。
U と W を V の部分空間とし、 W^0 ⊂ U^0 とする。
U ⊂ W を証明せよ。
4 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/03(金) 15:37:54.50 ID:CZycMBRW (3/4)
望月教授の証明が正しかったことになったそうですが、覆ることはないんですかね？
0100１３２人目の素数さん
2020/04/03(金) 19:09:37.40ID:GVUzghJiそういえば、
「Annihilator」
について書いてある日本語の線形代数の本ってありますか？
11+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/03(金) 17:57:47.46 ID:CZycMBRW (5/6)
梅村さんの旧版を以前、高値で購入しました。
ですが、増補版も買います。
梅村さんの本って複素関数論の本を１冊読んだ後で、すぐに読めますか？
12 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/03(金) 18:00:09.93 ID:CZycMBRW (6/6)
あと、藤原松三郎さんの代数学2も買います。
0101１３２人目の素数さん
2020/04/03(金) 19:12:23.35ID:GVUzghJiV を有限次元ベクトル空間とする。
V' を V の双対空間とする。
U^0 := {φ ∈ V' | φ(u) = 0 for all u ∈ U} とする。
U と W を V の部分空間とし、 W^0 ⊂ U^0 とする。
U ⊂ W を証明せよ。
14 名前:１３２人目の素数さん [sage] :2020/04/03(金) 16:47:41.35 ID:ykv6CEBk
任意のU要素 u を持ってくる.
適当な直和分解: V=W+W’ に対して u= w + w’.
任意の φ ∈ W^0(⊂U^0) に対して φ(w’)=φ(u)-φ(w) = 0
よって w’=0 (そうでなければ φ(w’)=1 となる φ(∈W^0)が構成できる)
ゆえに u=w ∈ W, 即ち U ∈ W である.
15 名前:１３２人目の素数さん [sage] :2020/04/03(金) 16:49:03.82 ID:ykv6CEBk
誤: U ∈ W である.
正: U ⊂ W である.
16 名前:１３２人目の素数さん :2020/04/03(金) 17:52:54.33 ID:CZycMBRW
>>１４
ありがとうございました。
0102１３２人目の素数さん
2020/04/03(金) 21:35:40.06ID:GVUzghJi>>２０
『微分積分学講義』の誤りを指摘するメールを何度も送りました。
『微分積分学講義』の訂正版が出版されたときに、謹呈してもらいました。
22 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/03(金) 21:24:44.02 ID:CZycMBRW (8/8)
>>２０
『複素関数論講義』の誤りのリストも準備していました。
全部読み終わったら、まとめて送ろうと考えていましたが、もう無理ですね。
0103１３２人目の素数さん
2020/04/05(日) 16:45:45.80ID:vC4J2Hfz数学原論 (日本語) 単行本 ? 2020/4/13
斎藤 毅 (著)
↑これってどんな本ですかね？
あまりにも詰め込みすぎているように思いますが、証明とかちゃんと書いてあるんですかね？
0104１３２人目の素数さん
2020/04/05(日) 20:49:13.76ID:vC4J2Hfz>>46
『線形代数の世界』は、有限次元線形空間の任意の基底の個数が一致するという定理の証明が面白いです。
『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』が読み終わったら、読もうと思っています。
48 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/05(日) 20:14:59.82 ID:t/0EfkYH (3/5)
斎藤毅さんには、代数学の標準的な本を書いてほしいです。
50+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/05(日) 20:40:44.32 ID:t/0EfkYH (4/5)
>>49
その人のYouTubeの動画を見たことがないのですが、どんな動画なんですか？
52 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/05(日) 20:43:57.42 ID:t/0EfkYH (5/5)
シュヴァルツの解析学ってどんな本ですか？
以前、中古の本を買ったのですが、開いたことはありません。
もし、いい本なら今度開いてみようと思います。
0105１３２人目の素数さん
2020/04/07(火) 14:07:11.20ID:gNG8z826>>53
数学についてはやはりいい加減な説明をしているのでしょうか？
59+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/06(月) 19:22:26.62 ID:8jqFWaZc (2/4)
ベーシック圏論 普遍性からの速習コース
Tom Leinster, 斎藤 恭司他
↑この本ってどうですか？
なんか定義とかちゃんとしていないように思います。
60 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/06(月) 19:26:22.29 ID:8jqFWaZc (3/4)
ギルバート・ストラングさんの講義動画を14番まで見終わりました。
ストラングさんの動画と抽象的な『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を同時に見ています。
62 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/06(月) 19:30:26.46 ID:8jqFWaZc (4/4)
Wの直交補空間の直交補空間 = W とか講義ではちゃんと証明していませんね。
ストラングさんの本には、書いてありますが。
こういうごまかしがちょっと気に食わないです。
0106１３２人目の素数さん
2020/04/07(火) 18:19:03.94ID:gNG8z826ところで、齋藤正彦さんの『線型代数入門』ってなんであんなに高評価なんですか？
単に簡単で勉強しやすいというだけで名著とは言えないですよね？
67 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/07(火) 17:36:38.32 ID:x8U8s7Uy (2/2)
↓Knuthさんから送られてきた封筒の画像を撮影しました。
まだ中は開けていません。
https://imgur.com/uh0b8sA.jpg
0107１３２人目の素数さん
2020/04/08(水) 19:24:20.62ID:wozAiiycGilbert Strangさんの講義動画を見ています。
行列式についてですが、
n × n 行列の集合から R への関数で以下の条件を満たすものと定義しています。
(1)
det(I_n) = 1
(2)
A' を A の2つの異なる行を入れ替えた行列とするとき、 det(A') = -det(A)
(3)
det((b_1 + c_1, …, a_n)^T) = det((b_1, …, a_n)^T) + det((c_1, …, a_n)^T)
det((d*a_1, …, a_n)^T) = d * det((a_1, …, a_n)^T)
73+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/08(水) 19:04:12.03 ID:Wj6cVTmr (2/3)
この3つの条件から、
det(A) = Σ±a_{1, α} * a_{2, β} * … * a_{n, ω}
ただし、 {α, β, …, ω} = {1, 2, …, n}
という式を導いています。
これって、3つの条件を満たす関数があるとするとこうならなければならないということを示しただけですよね。
76+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/08(水) 19:12:08.32 ID:Wj6cVTmr (3/3)
>>73
もし、3つの条件を満たす関数が存在しなければ、全く無意味ですよね。
0108１３２人目の素数さん
2020/04/08(水) 23:23:31.92ID:wozAiiycストラングさんの講義を受けた人や動画を見た人の中には、これでちゃんと行列式を理解したと騙されてしまう人が少なからずいると思います。
不誠実過ぎやしないでしょうか？
80 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/08(水) 19:48:58.74 ID:Wj6cVTmr (5/5)
行列式といえば、Munkresさんの『Analysis on Manifolds』での行列式の定義はいいですね。
多重線形代数の話の途中に、その応用として行列式が登場します。
0109１３２人目の素数さん
2020/04/10(金) 23:39:36.90ID:HbDbgtsqhttps://youtu.be/QuZL5IKpO_U?t=1538
A を可逆な n 次行列とする。
↑の動画の解答で、 A の固有値を λ_1, …, λ_n とするとき、 A^(-1) の固有値 は 1/λ_1, …, 1/λ_n になるということを証明なしに使っています。
λ が A の固有値であるとき、 1/λ は A^(-1) の固有値になるということは簡単に分かりますが、固有値に重複がある場合に、
重複度まで一致することは自明なことでしょうか？
92+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/09(木) 21:24:49.48 ID:117kXQFH (2/2)
>>91
その次の問題は tr(A + I) = λ_1 + … + λ_n + n になるという問題です。
この問題の場合は、 A + I の固有値が λ_1 + 1, …, λ_n + 1 になるというのは自明です。
0110１３２人目の素数さん
2020/04/10(金) 23:39:57.25ID:HbDbgtsqSheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
V を F 上の有限次元ベクトル空間とし、 φ_1, …, φ_m を V の双対空間 V' の線形独立な元とする。
dim(null φ_1 ∩ … ∩ null φ_m) = dim(V) - m
が成り立つことを示せ。
解答：
φ_1, …, φ_n を V' の基底とする。
各 (i, j) ∈ {1, …, n} × {1, …, n} に対して、
φ_i(v_j) = δ_{i, j} （クロネッカーのデルタ）
を成り立たせるような V の元 v_1, …, v_n が存在することは簡単に分かる。
V ∋ v → (φ_1(v), …, φ_m(v)) ∈ F^m
という線形写像を考える。
(a_1, …, a_m) を F_m の任意の元とする。
a_1*v_1 + … + a_m*v_m は↑の線形写像によって、 (a_1, …, a_m) に写る。
したがって、↑の線形写像は全射である。
∴ dim(range(↑の写像)) = m
null φ_1 ∩ … ∩ null φ_m は明らかに↑の写像の零空間である。
有名な定理により、
dim(null φ_1 ∩ … ∩ null φ_m) + dim(range(↑の写像)) = dim V
が成り立つ。
dim(range(↑の写像)) = m だから、
dim(null φ_1 ∩ … ∩ null φ_m) = dim(V) - m
が成り立つ。
0111１３２人目の素数さん
2020/04/11(土) 14:11:54.95ID:Egw9LcQDSheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
V を F 上の有限次元線形空間とし、 V' を V の双対空間とする。
φ_1, …, φ_n を V' の基底とする。
このとき、 V の基底で、その双対基底が φ_1, …, φ_n であるようなものが存在することを示せ。
100 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/11(土) 10:22:11.60 ID:AJ7O9J83 (2/7)
この問題って、双対空間の双対空間を考えれば自明ですけど、Axlerさんの本では双対空間の双対空間は問題の中でちょっと扱われているくらいですね。
0112１３２人目の素数さん
2020/04/11(土) 14:12:31.47ID:Egw9LcQDw_1, …, w_n を V の基底とし、ψ_1, …, ψ_n をその双対基底とする。
φ_1 = a_{1,1} * ψ_1 + … + a_{1,n} * ψ_n
φ_2 = a_{2,1} * ψ_1 + … + a_{2,n} * ψ_n
…
φ_n = a_{n,1} * ψ_1 + … + a_{n,n} * ψ_n
と書ける。
A = (a_{i,j}) は正則行列であるから、
各 i ∈ {1, 2, …, n} に対して、
A*x_i = e_i
となるような x_i = (x_{i,1}, …, x_{i,n}) が存在する。
v_i := x_{i,1}*w_1 + … + x_{i,n}*w_n
とおく。
v_1, …, v_n は明らかに基底である。
φ_i(v_i)
=
(a_{i,1} * ψ_1 + … + a_{i,n} * ψ_n)(x_{i,1}*w_1 + … + x_{i,n}*w_n)
=
a_{i,1}*x_{i,1} + … + a_{i,n}*x_{i,n}
=
1
i ≠ j とする。
φ_i(v_j)
=
(a_{i,1} * ψ_1 + … + a_{i,n} * ψ_n)(x_{j,1}*w_1 + … + x_{j,n}*w_n)
=
a_{i,1}*x_{j,1} + … + a_{i,n}*x_{j,n}
=
0
0113１３２人目の素数さん
2020/04/11(土) 14:13:27.65ID:Egw9LcQD以上をまとめると、
φ_i(v_j) = δ_{i,j} （クロネッカーのデルタ）
である。
v_1, …, v_n は φ_1, …, φ_n の双対基底である。
107 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/11(土) 11:26:06.04 ID:AJ7O9J83 (5/7)
>>105
訂正します：
以上をまとめると、
φ_i(v_j) = δ_{i,j} （クロネッカーのデルタ）
である。
φ_1, …, φ_n は v_1, …, v_n の双対基底である。
108 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/11(土) 11:41:49.46 ID:AJ7O9J83 (6/7)
佐武一郎さんは基底のことを「底」などと書いていますね。
共立出版から出ている本でも基底ではなく「底」です。
あと、『線型代数学』についてですが、部分空間の定義に「空集合ではない」という条件を入れなければいけないのではないかという読者からの指摘を
最後まで無視し続けましたね。
強情ですね。
でも共立出版から出ている本のタイトルは『線型代数』ではなく『線形代数』ですね。
0114１３２人目の素数さん
2020/04/11(土) 14:13:51.35ID:Egw9LcQDSuppose V and W are finite-dimensional, T ∈ L(V, W), and there exists φ ∈ W' such that null T' = span(φ).
Prove that range T = null φ.
w ∈ range T とする。
w = T(v) となる v ∈ V が存在する。
φ ∈ span(φ) = null T' だから 0 = T'(φ) = φ*T である。
0 = φ*T(v) = φ(w) だから、 w ∈ null φ である。
∴ range T ⊂ null φ である。
(1) φ = 0 のとき。
null φ = W である。
dim null T' = dim span(φ) = 0 である。
dim range T = dim range T' = dim W' - dim null T' = dim W' = dim W = dim null φ である。
∴ range T = null φ である。
(2) φ ≠ 0 のとき。
range φ = F であるから、
dim null φ = dim W - dim range φ = dim W - dim F = dim W - 1 である。
dim range T = dim range T' = dim W' - dim null T' = dim W' - dim span(φ) = dim W' - 1 = dim W - 1 である。
∴ range T = null φ である。
0115１３２人目の素数さん
2020/04/12(日) 12:04:19.01ID:1XrENEBGSheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
やっとセクション3.Fの演習問題37題をすべて解き終わることができそうです。
あと残り2題です。
118 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/11(土) 21:20:38.22 ID:AJ7O9J83 (9/9)
Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
セクション3.Fの演習問題37題をすべて解き終わりました。
このセクションがこの本で一番抽象的だと思います。
あとは楽に最後までいけるかと思います。
0116１３２人目の素数さん
2020/04/12(日) 12:05:04.90ID:1XrENEBGSheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
↓の事実を斎藤正彦さんは証明していません。一方、Axlerさんは証明しています。
証明は簡単かもしれませんが、必要ですよね？
簡単ならば証明は不要というのならば、斎藤正彦さんの線形代数の本の多くの命題は証明不要ということになるかと思います。
p1, p2 を実係数の多項式とする。
p1 = q * p2 と複素係数の多項式として分解されたとする。
このとき、 q は実係数の多項式である。
124 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/12(日) 11:55:39.11 ID:yHJL3tga (2/2)
Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
第4章多項式
を読み終わりました。
読み終わったと思ったらすぐに演習問題が11題も待っていました。
仕方がないのですべて解こうと思います。
0117１３２人目の素数さん
2020/04/12(日) 12:52:47.58ID:1XrENEBGSheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
第4章の問題ですが、なんかまたナンセンスな問題（Excercise 2, 3）がありますね。
126 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/12(日) 12:33:17.41 ID:yHJL3tga (4/4)
Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
4もひどすぎる問題です。
0118１３２人目の素数さん
2020/04/12(日) 21:08:27.29ID:1XrENEBG5番は少しまともな問題です。
z_1, …, z_{m+1} を異なる F の元とする。
w_1, …, w_{m+1} を F の元とする。
このとき、 F 係数の m 次の多項式 p で
p(z_i) = w_i
を満たすものが一意的に存在することを線形代数的に示せ。
129+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/12(日) 12:55:25.59 ID:yHJL3tga (6/7)
Z = (z_i^{j-1}) とする。
w = (w_1, …, w_{m+1})^T とする。
Z*x = 0
の解は x = (0, …, 0)^T だけしかない。
よって、 x → Z*x は単射、したがって、全単射。
よって、
Z*x = w
は一意的な解を持つ。
130 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/12(日) 13:00:30.00 ID:yHJL3tga (7/7)
>>129
Axlerさんの解答を見ましたが、行列を使わないよりピュアなものでした。
141 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/12(日) 20:38:31.19 ID:yHJL3tga (8/8)
ストラングさんの本に、
A が対称行列 ⇔ A の固有値はすべて実数
が成り立つと書いてありますが、明らかに誤っていますよね。
0119１３２人目の素数さん
2020/04/14(火) 13:56:39.03ID:4uapuk+9斎藤正彦著『斎藤正彦線型代数学』を読んでいます。
以下の定理が書いてありますが、 A = U*T （T が上三角行列）の場合しか証明されていません。
2.5.17 【定理】
任意の n 次正則行列 A はユニタリ行列 U と、対角成分が正の実数であるような上三角行列（下三角行列でもいい） T の積 U*T （T*U でもいい）として
一意的に表わされる。
159+2 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/14(火) 11:16:19.29 ID:UsFQ5kaG (2/7)
>>158
他のケースについて書いておきます：
(2)
A^T = U * T （T は上三角行列）
と分解し、両辺の転置を取ると、
A = T^T * U^T （T^T は下三角行列）
(3)
A の列たちをリバースした行列を A' とする。
A' = U * T （T は上三角行列）
と分解する。
T の列たちをリバースした行列を T' とする。
A = U * T' (T' は左上三角行列）
である。
U の列をリバースした行列を U' とする。
T' の行をリバースした行列を T'' とする。
A = U' * T'' （T'' は下三角行列）
である。
(4)
(3)の手順にしたがって、
A^T = U * T （T は下三角行列）
と分解する。
A = T^T * U^T （T^T は上三角行列）
0120１３２人目の素数さん
2020/04/14(火) 13:58:06.18ID:4uapuk+9(2)〜(4)のケースの一意性についても
A = U*T （T が上三角行列）のタイプの分解の一意性から自明ですよね。
162+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/14(火) 12:12:42.07 ID:UsFQ5kaG (4/7)
Wolfram Language 12で、
>>158-159
の4つのタイプの分解を行う関数を作りました。
163 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/14(火) 12:15:45.29 ID:UsFQ5kaG (5/7)
>>161
「A = U*T （T が上三角行列）の場合と同様の方法（A の列ベクトルをグラムシュミットで正規直交化する）では、↓は導けないのではないでしょうか？
A = T * U （T は下三角行列）
164 ：１３２人目の素数さん [↓] ：2020/04/14(火) 12:16:57.28 ID:UsFQ5kaG (6/7)
A の横ベクトルをグラムシュミットしないと駄目だと思います。
そして、横ベクトルをグラムシュミットするというのは同様の方法とは言えないと思います。
0121１３２人目の素数さん
2020/04/15(水) 14:35:26.76ID:wsWfw9sb>>162
gs[U_, a_] := Append[U, Simplify[normalize[a - Sum[(a.u)*u, {u, U}]]]];
gramschmidt[A_] := Module[{U = {}}, Do[U = gs[U, A[[i]]], {i, 1, Length[A]}]; U];
qrdecom[A_] := Module[{U, T},
U = gramschmidt[A];
T = Table[If[j > k, 0, A[[k]].U[[j]]], {j, 1, Length[A]}, {k, 1, Length[A]}];
{Transpose[U], T}];
qrdecom2[A_] := Module[
{B, U, T},
B = Reverse[A];
U = gramschmidt[B];
T = Table[If[j > k, 0, B[[k]].U[[j]]], {j, 1, Length[B]}, {k, 1, Length[B]}];
{Transpose[Reverse[U]], Reverse[Transpose[Reverse[Transpose[T]]]]}];
qrdecom3[A_] := Module[{B, U, T},
B = Transpose[A];
U = gramschmidt[B];
T = Table[If[j > k, 0, B[[k]].U[[j]]], {j, 1, Length[B]}, {k, 1, Length[B]}];
{Transpose[T], U}];
qrdecom4[A_] := Module[
{B, C, U, T},
B = Transpose[A];
C = Reverse[B];
U = gramschmidt[C];
T = Table[If[j > k, 0, C[[k]].U[[j]]], {j, 1, Length[C]}, {k, 1, Length[C]}];
{Transpose[Reverse[Transpose[Reverse[Transpose[T]]]]], Reverse[U]}];
0122１３２人目の素数さん
2020/04/15(水) 19:59:08.76ID:wsWfw9sb斎藤正彦著『斎藤正彦線型代数学』を読んでいます。
正規行列はユニタリ行列によって対角化できるという定理が書いてあります。
Wolfram Language 12で、 A = U*D*U^* となる U, D を計算する関数を作りました。
orthogonalizationU[A_] := Module[
{eigenvs, U, DIA},
eigenvs = Eigenvalues[A];
DIA = DiagonalMatrix[eigenvs];
eigenvs = DeleteDuplicates[Eigenvalues[A]];
U = Transpose @ ((Flatten[#, 1])& @ (Orthogonalize /@ (NullSpace /@ ((A - #*IdentityMatrix[Length[A]])& /@ eigenvs))));
{U, DIA}
]
177+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/15(水) 17:36:37.30 ID:2L6Mosno (2/3)
https://page.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/b449260837
↑なんか定価よりも高くないですか？
アマゾンに現在在庫がないようです。
それを見て、直ちに定価よりも高い開始価格で出品したんですかね？
178 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/15(水) 17:41:23.86 ID:2L6Mosno (3/3)
>>177
なんかブックオフってやっていることが個人の転売屋と全く同じですね。
0123１３２人目の素数さん
2020/04/17(金) 13:47:10.48ID:9N+tUD7zファン・デル・ヴェルデン 現代代数学1 (日本語) 単行本 ? 2018/11/8
ファン・デル・ヴェルデン (著), 時枝 正 (その他), 銀林 浩 (翻訳)
↑これって第1巻だけしか出版されていませんね。
196 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/16(木) 17:30:29.57 ID:6cgHi0aG (2/4)
>>193
ダウンロードしました。
LaTeXの本はMathematicsフォルダにあると思ったのですが、Popular Scienceのフォルダにありました。
197 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/16(木) 18:46:12.22 ID:6cgHi0aG (3/4)
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein著『Introduction to Algorithms (The MIT Press) 3rd Edition』を読んでいます。
LU分解について読んでいますが、非常に丁寧ですね。
数学書を↑の本と同じくらい丁寧に書く人は皆無ですね。
↑の本の著者らに数学の本も書いてほしいくらいです。
198 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/16(木) 18:49:05.25 ID:6cgHi0aG (4/4)
伊理正夫著『線形代数汎論』を読んでいます。
この本って擬似コードのようなものを書いて、それを見れば明らか、というパターンの説明が多いですね。
説明を放棄しています。
0124１３２人目の素数さん
2020/04/17(金) 13:47:18.37ID:9N+tUD7zThomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein著『Introduction to Algorithms (The MIT Press) 3rd Edition』を読んでいます。
正定値行列に対しては、行の交換をせずに、ガウスの消去法を最後まで行うことができるという命題について分かりやすく書いてあります。
ストラングさんの本では証明が書いていない命題です。
204 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/17(金) 08:15:02.56 ID:AHiyYaIR (2/4)
ストラングさんの本がもっとちゃんとした本でちゃんと証明が書かれていれば良かったですね。
Felix R. Gantmacherの本は面白そうですね。
ちゃんと証明も書いてあるようですし。
205 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/17(金) 13:04:02.39 ID:AHiyYaIR (3/4)
対称行列、正定値行列について詳しく書いてある本を教えて下さい。
206 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/17(金) 13:09:56.65 ID:AHiyYaIR (4/4)
線形写像を行列で表現する意味って何ですか？
0125１３２人目の素数さん
2020/04/17(金) 21:31:22.02ID:9N+tUD7z>>209
プログラミングでいえば、Syntax Sugarみたいなものですか？
213+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/17(金) 19:38:59.47 ID:AHiyYaIR (6/6)
松坂和夫さんの『線型代数入門』ですが、線形写像とその表現行列の話が異常にくどいですね。
0126１３２人目の素数さん
2020/04/19(日) 12:11:01.48ID:XSzebc8v松坂和夫著『線型代数入門』を読んでいます。
F を、 F^2 = I であるような、ベクトル空間 V の線型変換とする。そのとき
U = {v | v ∈ V, F(v) = v}, W = {v | v ∈ V, F(v) = -v}
とおけば、 U, W は V の部分空間であって、 V = U + W （直和）となることを証明せよ。
さらに、もし V が有限次元で dim V = n ならば、
rank(F - I) + rank(F + I) = n
であることを示せ。
234 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/19(日) 11:39:34.19 ID:8oVbt5oD (2/5)
v を V の任意の元とする。
F((1/2)*(F(v) + v)) = (1/2)*F^2(v) + (1/2)*F(v) = (1/2)*v + (1/2)*F(v) = (1/2)*(F(v) + v)
だから、
(1/2)*(F(v) + v) ∈ U
F((1/2)*(F(v) - v)) = (1/2)*F^2(v) - (1/2)*F(v) = (1/2)*v - (1/2)*F(v) = -(1/2)*(F(v) - v)
だから、
(1/2)*(F(v) - v) ∈ W
よって、
V = U + W
235 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/19(日) 11:43:29.74 ID:8oVbt5oD (3/5)
v ∈ U ∩ W とする。
F(v) = v かつ F(v) = -v
∴ 2*F(v) = 0
∴ F(v) = 0
∴ v = I(v) = F^2(v) = F(F(v)) = F(0) = 0
∴ V = U + W （直和）
0127１３２人目の素数さん
2020/04/19(日) 12:11:32.80ID:XSzebc8v命題6.23
P がベクトル空間 V の射影子ならば、 Im P = U, Ker P = W とおくとき、
V = U + W （直和）
であって、与えられた P は V から U への W に沿う射影に等しい。
237 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/19(日) 11:53:28.08 ID:8oVbt5oD (5/5)
[(1/2)*(F + I)]*[(1/2)*(F + I)] = (1/4)*(F^2 + 2*F + I) = (1/4)*(2*F + 2*I) = (1/2)*(F + I)
[-(1/2)*(F - I)]*[-(1/2)*(F - I)] = (1/4)*(F^2 - 2*F + I) = (1/4)*(-2*F + 2*I) = -(1/2)*(F - I)
だから、
(1/2)*(F + I)
および
-(1/2)*(F - I)
は射影子である。
0128１３２人目の素数さん
2020/04/19(日) 16:18:25.39ID:XSzebc8v>>233
やり直します。
0129１３２人目の素数さん
2020/04/19(日) 16:18:43.38ID:XSzebc8v[(1/2)*(F + I)]*[(1/2)*(F + I)] = (1/4)*(F^2 + 2*F + I) = (1/4)*(2*F + 2*I) = (1/2)*(F + I)
だから、
(1/2)*(F + I)
は射影子である。
Im((1/2)*(F + I)) = U である。
証明：
(1/2)*(F + I) は射影子だから、
(1/2)*(F + I)*(1/2)*(F + I)(v) = (1/2)*(F + I)(v)
よって、
Im((1/2)*(F + I)) ⊂ U
v ∈ U とする。
(1/2)*F(v) = (1/2)*v = v - (1/2)*v
∴ v = (1/2)*(F + I)(v) ∈ Im((1/2)*(F + I))
Ker((1/2)*(F + I)) = W である。
証明：
v ∈ Ker((1/2)*(F + I)) とする。
⇔
0 = (1/2)*(F + I)(v) = (1/2)*(F(v) + v)
⇔
F(v) = -v
⇔
v ∈ W
0130１３２人目の素数さん
2020/04/19(日) 16:18:59.31ID:XSzebc8v>>236
より、
V = Im((1/2)*(F + I)) + Ker((1/2)*(F + I)) （直和） = U + W （直和）
241+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/19(日) 12:34:10.44 ID:8oVbt5oD (9/12)
問題1より、
P がベクトル空間 V の射影子ならば、 Q = I - P も V の射影子であって、
P*Q = Q*P = 0, Im P = Ker Q, Ker P = Im Q である。
0131１３２人目の素数さん
2020/04/20(月) 08:55:10.81ID:IF9WEEmh(1/2)*(F + I) は射影子だから、
>>241
より、 I - (1/2)*(F + I) = -(1/2)*(F - I) も射影子であり、
Ker(-(1/2)*(F - I)) = Im((1/2)*(F + I)) = U
Im(-(1/2)*(F - I)) = Ker((1/2)*(F + I)) = W
である。
244 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/19(日) 13:41:28.79 ID:8oVbt5oD (11/12)
Im((1/2)*(F + I)) = Im(F + I)
Ker((1/2)*(F + I)) = Ker(F + I)
Im(-(1/2)*(F - I)) = Im(F - I)
であり、
n = dim Im(F + I) + dim Ker(F + I) = dim Im(F + I) + dim Im(F - I) = rank(F + I) + rank(F - I)
である。
0132１３２人目の素数さん
2020/04/20(月) 08:55:18.44ID:IF9WEEmh松坂和夫著『線型代数入門』を読んでいます。
固有多項式のところを読んでいて思ったんですが、 C 上の多項式が一次式の積に一意的に分解されることを証明しないといけないのではないでしょうか？
251 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/19(日) 21:30:21.93 ID:8oVbt5oD (14/15)
例えば、固有多項式の解の重複度を定義するのに必要ですよね？
252 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/19(日) 21:47:02.35 ID:8oVbt5oD (15/15)
p(x) = (x - α)^n * q(x), q(α) ≠ 0
p(x) = (x - α)^m * r(x), r(α) ≠ 0
m > n と仮定すると、
0 = (x - α)^n * (q(x) + (x - α)^(m - n) * r(x))
q(x) + (x - α)^(m - n) * r(x) = 0
q(α) = 0
矛盾。
0133１３２人目の素数さん
2020/04/22(水) 20:33:10.93ID:Jns2zUjt予備校のノリで学ぶ線形代数 (日本語) 単行本 ? 2020/5/12
ヨビノリ たくみ (著)
↑こんな本が出ますね。
この人の本を読んだことはありませんが、このような本に需要があるんですね？
270 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/22(水) 03:20:32.23 ID:xWdkb1pm
数学入門シリーズ 全8巻 岩波書店 1982年
これは1982年に出た初版だけですか？第一刷の誤植がのちに訂正されていたりしますか？
0134１３２人目の素数さん
2020/04/22(水) 20:33:41.80ID:Jns2zUjt松坂和夫著『線型代数入門』を読んでいます。
p.276の命題8.12の証明（Halmosによる）が嫌ですね。
273 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/22(水) 17:48:17.90 ID:rXiT9q74 (2/3)
松坂和夫さんって、こういうどうやって思いついたか分からないけれども証明を追っていけば正しいことが分かるというような証明が好きですよね。
274 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/22(水) 18:03:44.58 ID:rXiT9q74 (3/3)
最低の証明だと思います。
0135１３２人目の素数さん
2020/04/23(木) 14:15:54.85ID:F2gErZeVThirty-three Miniatures: Mathematical and Algorithmic Applications of Linear Algebra (Student Mathematical Library)
by Jiri Matousek (Author)
を読んでいます。
以下の組合せ論的問題が載っています。
線形代数の知識を使って解いていますね。
U = {1, 2, …, n}
S_1, …, S_m を互いに異なる空でない U の部分集合とする。
#(S_i ∩ S_j) = const. for all i, j ∈ {1, 2, …, m} such that i ≠ j が成り立っているとする。
このとき、 n ≧ m であることを示せ。
286 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/22(水) 20:35:34.33 ID:rXiT9q74 (5/5)
>>285
この著者って51歳で亡くなっているんですね。
0136１３２人目の素数さん
2020/04/24(金) 00:06:46.01ID:p3uAYmVAThirty-three Miniatures: Mathematical and Algorithmic Applications of Linear Algebra (Student Mathematical Library)
by Jiri Matousek (Author)
を読んでいます。
以下の問題が載っています。
線形代数の知識を使って解いていますね。
平面上に、どの2点間の距離も奇数であるような4点は存在しないことを証明せよ。
293+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/04/23(木) 13:45:53.24 ID:jD7BDxDo (2/2)
松坂和夫著『線型代数入門』を読んでいます。
べき零変換の不変系の一意性の証明ですが、歯切れが悪いですね。
0137１３２人目の素数さん
2020/04/24(金) 00:07:48.94ID:p3uAYmVAコンサートで、歌手がよくサビの部分を聴衆に歌わせるというのに似ていますかね？
0138１３２人目の素数さん
2020/04/30(木) 21:42:26.18ID:wW/Wdvbw斎藤正彦著『斎藤正彦線型代数学』を読んでいます。
線形写像 T の広義固有空間 W(β_i) への制限を考える。
この線形写像の固有値は β_i のみであるという事実を証明なしに使っています。
斎藤正彦さんは大丈夫な人なのでしょうか？
0139１３２人目の素数さん
2020/10/29(木) 22:24:11.24ID:IGXoTi0M0140１３２人目の素数さん
2021/03/28(日) 21:16:46.12ID:EOUYNCIP止まったバカ
高専で大学院卒まで行ったら、
確かにコイツできるかも
と感じるが、あとは勉強しない
馬鹿ばかり
高専はコンプレックスを抱きながら、
会社で軽く大卒の人に負ける
高専って本当に勉強しないバカ
0141１３２人目の素数さん
2021/03/28(日) 21:42:32.36ID:vySTr0kM0142１３２人目の素数さん
2021/03/29(月) 08:43:28.65ID:BWvH+X53>斎藤正彦さん
いろいろないみでやばい
0143１３２人目の素数さん
2021/09/20(月) 21:33:33.48ID:wimIbNUk■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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