0001１３２人目の素数さん
2020/01/15(水) 23:53:19.58ID:oVQudX+h>>694
高専から来る人は東大のトップレベルと肩を並べられる人は多いよ
ただこんなのが高専代表とか見られるとたまったもんじゃないだろうな
探検
【理3悲報】 高専＞理3
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>>694
高専から来る人は東大のトップレベルと肩を並べられる人は多いよ
ただこんなのが高専代表とか見られるとたまったもんじゃないだろうな
0002１３２人目の素数さん
2020/01/16(木) 09:30:50.71ID:HY3+X8or0003１３２人目の素数さん
2020/02/14(金) 13:49:48.80ID:NT+7uSt90004１３２人目の素数さん
2020/02/14(金) 18:06:00.88ID:AjJXQDLkJames Munkres著『Topology 2nd Edition』を読んでいます。
↑この本が世界標準の教科書だと思います。
日本の標準的な教科書である松坂さんの本とは比較ならないほど分かりやすいです。
991 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/13(木) 20:25:41.86 ID:Nwzjxb6/ (2/6)
訂正します：
James Munkres著『Topology 2nd Edition』を読んでいます。
↑この本が世界標準の教科書だと思います。
日本の標準的な教科書である松坂さんの本とは比較にならないほど分かりやすいです。
992 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/13(木) 20:26:59.26 ID:Nwzjxb6/ (3/6)
これが同じ主題を扱った本かと思うくらい全然違います。
993 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/13(木) 20:30:33.60 ID:Nwzjxb6/ (4/6)
松坂さんの本では、 R の位相は、基底 = {(a, b)} から生成されるものしか考えないと思います。
Munkresさんの本では、 {[a, b)} から生成される位相や K-topologyという位相も考えます。
994 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/13(木) 20:33:33.41 ID:Nwzjxb6/ (5/6)
松坂さんの本には、「位相の比較、位相の生成」というセクションがありますが、
非常に分かりにくいです。
Munkresさんの説明は非常に分かりやすいです。
0005１３２人目の素数さん
2020/02/14(金) 18:06:16.68ID:AjJXQDLk松坂さんの位相の本に subbasis って書いてありましたっけ？
0006１３２人目の素数さん
2020/02/14(金) 18:06:53.82ID:AjJXQDLkJames Munkresさんの『Topology 2nd Edition』を読んでいます。
{a, b, c} の本質的に異なる位相は9つあるそうです。
その9つある位相から2つの位相を選ぶ組み合わせの数は、 36 です。
この36のペアそれぞれに対し、互いに比較可能な位相かどうかを決定し、比較可能であれば、どちらが
強い位相か答えよという問題があります。
単純ですが、大変な問題を出題しますね。
これからPythonで解答を作成しようと思います。
14 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/13(木) 22:26:31.05 ID:Nwzjxb6/ (2/8)
{1, 2, …, n} の部分集合の集合が {1, 2, …, n} の位相かどうか判定する効率的なアルゴリズムってありますか？
{1, 2, …, n} の位相をすべて求める効率的なアルゴリズムってありますか？
0007１３２人目の素数さん
2020/02/14(金) 18:07:22.63ID:AjJXQDLk>>15
http://www.shokabo.co.jp/author/1401/1401QAtable.htm
↑このページって近いうちに消されてしまいますかね？
17+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/13(木) 22:49:36.35 ID:Nwzjxb6/ (4/8)
>>13
やってみると本質的に異なる位相が 9 つあるというのは簡単に分かりますね。
18 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/13(木) 22:55:06.11 ID:Nwzjxb6/ (5/8)
>>17
ポイントは、
開集合の個数が 2 個の位相は？
開集合の個数が 3 個の位相は？
開集合の個数が 4 個の位相は？
開集合の個数が 5 個の位相は？
開集合の個数が 6 個の位相は？
開集合の個数が 7 個の位相は？
開集合の個数が 8 個の位相は？
と考えることですね。
0008１３２人目の素数さん
2020/02/14(金) 18:08:09.09ID:AjJXQDLk>>13
コンピューターを使う必要はない問題ですね。
20+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/13(木) 23:20:27.48 ID:Nwzjxb6/ (7/8)
1 = {Φ, {a, b, c}}
2 = {Φ, {b}, {a, b, c}}
3 = {Φ, {a, b}, {a, b, c}}
4 = {Φ, {a}, {a, b}, {a, b, c}}
5 = {Φ, {a}, {b, c}, {a, b, c}}
6 = {Φ, {a}, {b}, {a, b}, {a, b, c}}
7 = {Φ, {b}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}
8 = {Φ, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}
9 = {Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a, b, c}}
1 ⊂ 2
1 ⊂ 3
1 ⊂ 4
1 ⊂ 5
1 ⊂ 6
1 ⊂ 7
1 ⊂ 8
1 ⊂ 9
2 ⊂ 6
2 ⊂ 7
2 ⊂ 8
2 ⊂ 9
3 ⊂ 4
3 ⊂ 6
3 ⊂ 7
3 ⊂ 8
3 ⊂ 9
4 ⊂ 6
4 ⊂ 9
5 ⊂ 9
6 ⊂ 9
7 ⊂ 8
7 ⊂ 9
8 ⊂ 9
0009１３２人目の素数さん
2020/02/14(金) 18:09:18.67ID:AjJXQDLk>>20
この問題の不満点は、
例えば、
2 = {Φ, {c}, {a, b, c}}
と変えると
2 ⊂ 8
2 ⊂ 9
となってしまうところですね。
21 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/13(木) 23:24:11.99 ID:Nwzjxb6/ (8/8)
>>20
この問題の不満点は、
例えば、
2 = {Φ, {c}, {a, b, c}}
と変えると
2 ⊂ 8
2 ⊂ 9
となってしまうところですね。
0010１３２人目の素数さん
2020/02/14(金) 18:12:30.84ID:AjJXQDLkJames R. Munkres著『Topology 2nd Edition』を読んでいます。
「
Working problems is a crucial part of learning mathematics. No one can learn topology merely by poring
over the definitions, theorems, and examples that are worked out in the text. One must work part of it out
for oneself. To provide that opportunity is the purpose of the exercises.
」
などと書かれているので、はじめは解く気がなかったのですが、問題もすべて解くことにします。
0011１３２人目の素数さん
2020/02/15(土) 14:54:06.88ID:7pwUXdTgJames Stewart著『Calculus 8th Edition』を読んでいます。
多重積分の変数変換の公式ですが、その説明を読むと成り立つ理由は大体わかります。
x = g(u, v)
y = h(u, v)
uv 平面の領域 S を xy 平面の領域 R に移すとします。
領域 R よりも 領域 S のほうが積分するのが簡単な領域でないといけませんよね？
S, g, h はどうやって選ぶんですか？
x = u * cos(v)
y = u * sin(v)
R は円みたいな領域
とかだと変数変換の公式が役に立つのは分かるんですが。
この類の簡単な例以外で、変数変換の公式が役に立つ例ってどんなものがありますか？
32 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/14(金) 19:07:41.38 ID:IkP9ro1f (3/8)
結局、お決まりの変数変換しか役に立たないのでしょうか？
意外性のある変数変換ってありますか？
33 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/14(金) 19:10:29.12 ID:IkP9ro1f (4/8)
なんかこの公式が役に立つ積分って非常に特殊なものしかないような気がします。
34 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/14(金) 19:12:02.95 ID:IkP9ro1f (5/8)
なんか数学の無力さを感じますよね。
0012１３２人目の素数さん
2020/02/15(土) 14:55:09.84ID:7pwUXdTg>>35
∫∫ dx dy 1 / (1 - x^2 * y^2) = Σ 1 / (2*n + 1)^2
はどうやって導くのでしょうか？
37 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/14(金) 22:16:06.04 ID:IkP9ro1f (7/8)
lim_{n → ∞} ΣΣ 1 / (n^2 - i*j) = 1 + 1/3^2 + 1/ 5^2 + …
？
42 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/14(金) 23:18:51.72 ID:IkP9ro1f (8/8)
オイラー風の気楽な気持ちでやると簡単ですね：
1 / (1 - x^2*y^2) = 1 + x^2*y^2 + x^4*y^4 + x^6*y^6 + x^8*y^8 + …
∫_{0}^{1} 1 / (1 - x^2*y^2) dx
=
∫_{0}^{1} 1 + x^2*y^2 + x^4*y^4 + x^6*y^6 + x^8*y^8 + … dx
=
[x + (1/3)*x^3*y^2 + (1/5)*x^5*y^4 + (1/7)*x^7*y^6 + (1/9)*x^9*y^8 + …]_{0}^{1}
=
1 + (1/3)*y^2 + (1/5)*y^4 + (1/7)*y^6 + (1/9)*y^8 + …
∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} 1 / (1 - x^2*y^2) dx dy
=
∫_{0}^{1} 1 + (1/3)*y^2 + (1/5)*y^4 + (1/7)*y^6 + (1/9)*y^8 + … dy
=
[y + (1/3)^2*y^3 + (1/5)^2*y^5 + (1/7)^2*y^7 + (1/9)^2*y^9 + …]_{0}^{1}
=
1 + (1/3)^2 + (1/5)^2 + (1/7)^2 + (1/9)^2 + …
0013１３２人目の素数さん
2020/02/18(火) 22:35:46.27ID:W9QSWZl6f : R^n → R^m が C^1 級であることの定義ですが、
f が微分可能で、
f' : R^n → L(R^n, R^m)
が連続である
という定義を採用している本があります。
その本では、
f : R^n → R^m が C^r 級であることの定義は、
f の成分函数が C^r 級であることと定義しています。
一貫性がないですよね。だったら最初から
f : R^n → R^m が C^1 級であることの定義を、
f の成分函数が C^1 級であることとすればいいのにと思います。
172 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/18(火) 20:50:35.77 ID:75GKvHxb (2/2)
>>171
に関連した話ですが、
f : R^n → R^m の高階の導関数は定義しないんですね。
0014１３２人目の素数さん
2020/02/18(火) 22:36:07.01ID:W9QSWZl6松坂和夫著『解析入門中』を読んでいます。
f : R^n → R^m が C^1 級であることの定義ですが、
f が微分可能で、
f' : R^n → L(R^n, R^m)
が連続である
という定義を採用している本があります。
その本では、
f : R^n → R^m が C^r 級であることの定義は、
f の成分函数が C^r 級であることと定義しています。
一貫性がないですよね。だったら最初から
f : R^n → R^m が C^1 級であることの定義を、
f の成分函数が C^1 級であることとすればいいのにと思います。
150+2 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/18(火) 20:38:58.57 ID:75GKvHxb (2/5)
訂正します：
松坂和夫著『解析入門中』を読んでいます。
f : R^n → R^m が C^1 級であることの定義ですが、
f が微分可能で、
f' : R^n → L(R^n, R^m)
が連続である
という定義を採用しています。
f : R^n → R^m が C^r 級であることの定義は、
f の成分函数が C^r 級であることと定義しています。
一貫性がないですよね。だったら最初から
f : R^n → R^m が C^1 級であることの定義を、
f の成分函数が C^1 級であることとすればいいのにと思います。
151 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/18(火) 20:49:43.74 ID:75GKvHxb (3/5)
>>150
に関連した話ですが、
f : R^n → R^m の高階の導関数を定義しないんですね。
0015１３２人目の素数さん
2020/02/18(火) 22:36:24.07ID:W9QSWZl6>>150
Rudinの本を見るとおそらく、 C^1 級の関数は定義していますが、 C^r (r ≧ 2) 級の関数は定義していません。
そして、松坂さんのコピペ元のRudinの本での C^1 級の定義は、もちろん、
f が微分可能で、
f' : R^n → L(R^n, R^m)
が連続である
です。
Rudinの本ではこの定義でいいわけです。
ですが、松坂さんは C^r (r ≧ 2) 級の関数についても書いています。
コピペの弊害がここにもあらわれているわけです。
153 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/18(火) 21:54:00.67 ID:75GKvHxb (5/5)
あ、Rudinさんの本でも C^r 級を定義していました。
一貫性がありませんね。
0016１３２人目の素数さん
2020/02/19(水) 23:34:35.49ID:TMwa4HiQこんな高校生向けの参考書が10万円超えていますね。
https://page.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/t705090901
167 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/19(水) 21:37:47.69 ID:uEqHPqUi (2/3)
「数学の本 多量４０冊 だいぶ天才の資料本かと思います。」だそうです。
page.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/w371393420
168 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/19(水) 21:40:07.97 ID:uEqHPqUi (3/3)
「数学の本 多量29冊 だいぶ天才の資料本かと思います。」だそうです。
天才が、妙なところに「溝畑茂」などと異様にでかい手書きの文字を書くでしょうか？
https://page.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/b448142068
0017１３２人目の素数さん
2020/02/20(木) 21:25:18.99ID:bxAJ7KbSDonald Knuthさんから小切手が届きました。
予想よりずっと早く届きました。
まだ中は開けていません。
175 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/20(木) 19:07:19.25 ID:oejOo+fn (2/2)
今回は、たまたま、開いたページに誤りがあっただけです。
これから誤りを見つけるためにもう少し真剣にTAOCPを読もうと思います。
0018１３２人目の素数さん
2020/02/21(金) 17:04:05.83ID:a0iwsWRh>>191
誤植というのは、どういう種類の誤植なんですか？
致命的な誤りはあるんですか？
194 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/21(金) 09:48:38.26 ID:y0Ox0M7p (2/2)
致命的な誤りがあるなら、「まつしまよそう」になってしまいますね。
0019１３２人目の素数さん
2020/02/22(土) 14:05:46.43ID:Q82lE9DC高橋陽一郎さんの岩波書店から出ている微分積分の本を借りてきました。
癖のある本ですね。
検索して分かったんですが、故人なんですね。
ワイエルシュトラスの多項式近似定理のところに大数の弱法則についても書いてありますね。
205 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/21(金) 18:15:45.51 ID:y0Ox0M7p (4/5)
積分を定義するのに、単関数とかいうのを使っています。
これって変わっていますよね？
206 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/21(金) 18:18:51.36 ID:y0Ox0M7p (5/5)
>>204
この本は現代数学への入門シリーズの中の本ですが、初学者向きじゃないですよね。
既に分かっている人が毛色の違う説明を読んでためになることもあるかもしれない
という類の本ですよね。
0020１３２人目の素数さん
2020/02/24(月) 17:23:26.10ID:9cmF0Waf>>259
その代数学っていう本ですけど、線形計画法とか書いてありましたよね、確か。
264+2 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/24(月) 13:30:18.82 ID:P3VSkUrp (2/2)
微分積分の教科書に多変数関数の極大極小の話は要らないですよね。
そういう応用的な話は必要な人だけが勉強すればいいと思います。
志村五郎さんは必要だと言っていましたが。
線形代数の本に線形計画法の話が必要でないのと同じことです。
0021１３２人目の素数さん
2020/02/24(月) 20:32:11.33ID:9cmF0Waf>>267
最大最小値の定理は要ると思います。
多変数関数の極大極小にはページ数も必要ですし、不要です。
多変数の微分については、
偏微分
全微分
テイラーの定理
逆写像定理
陰関数定理
くらいのトピックだけでいいのではないでしょうか？
279 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/24(月) 19:57:01.17 ID:P3VSkUrp (4/6)
杉浦光夫著『解析入門1』を読んでいます。
誤りを発見しました。
Knuthさんなら小切手をくれるところですね。
「
特に多変数函数では導函数 f'(x) は行列値函数となるが、
この f'(x) を積分しても元の実数値函数になるわけではない。
」
などと書かれています。
「
特に多変数函数では導函数 f'(x) は行列値函数となるが、
この f'(x) を積分しても元のベクトル値函数になるわけではない。
」
が正しいですよね。
280 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/24(月) 19:58:06.50 ID:P3VSkUrp (5/6)
杉浦光夫さんはなぜ、
f'(x) を線形写像ではなく、行列としたのでしょうか？
281 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/24(月) 19:58:32.16 ID:P3VSkUrp (6/6)
Rudinや松坂和夫さんの本のほうが抽象的ですね。
0022１３２人目の素数さん
2020/02/24(月) 22:51:32.05ID:9cmF0Wafやっと第2巻が出ますね。
これは注文します。
代数学 改訂新編 第2巻 (日本語) 単行本 ? 2020/3/27
藤原松三郎 (原著), 浦川 肇 (著, 編集), 髙木 泉 (著, 編集), 藤原毅夫 (著, 編集)
0023１３２人目の素数さん
2020/02/25(火) 15:26:27.26ID:w0G79O0l連立一次方程式を解いたり、階数という概念が出てきますよね。
290 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/25(火) 12:46:48.14 ID:YDqD5kJZ (2/3)
松坂和夫著『解析入門中』の陰関数定理と階数定理のところを読み終わりました。
積分について早く読みたいのですが、松坂さんの本よりもJames R. Munkres著『Analysis on Manifolds』のほうが
分かりやすそうなので切り替えることにします。
松坂さんの本は積分の前に複素関数論が入るんですよね。
291 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/25(火) 12:47:33.52 ID:YDqD5kJZ (3/3)
ちなみにMunkresさんの本も f'(x) は線形写像ではなく行列です。
0024１３２人目の素数さん
2020/02/25(火) 20:49:55.92ID:w0G79O0lその解析学の演習書ですけど、英語の演習書でより優れたものはないんですか？
0025１３２人目の素数さん
2020/02/25(火) 21:57:32.05ID:w0G79O0lJames R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
積分のところですが、ちょっと面白い証明を見つけました。
301 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/25(火) 21:04:14.60 ID:YDqD5kJZ (6/9)
If Q is a rectangle in R^n and if P is a partition of Q, then
v(Q) = Σ_{R} v(R),
where the summation extends over all subrectangles determined by P.
みなさんなら↑の命題をどう証明しますか？
0026１３２人目の素数さん
2020/02/25(火) 21:57:50.92ID:w0G79O0lQ = [a_1, b_1] × … × [a_n, b_n]
とし、
a_1 = t_{0, 1} < t_{1, 1} < … < t_{k_1, 1} = b_1
a_2 = t_{0, 2} < t_{1, 2} < … < t_{k_2, 2} = b_2
…
a_n = t_{0, n} < t_{1, n} < … < t_{k_n, n} = b_n
v(Q) = (b_n - a_n) * … * (b_1 - a_1)
Σ_{R} v(R) = ↑の式の右辺を分配法則を使って展開したもの。
∴v(Q) = Σ_{R} v(R),
思いついたのは、こんな証明ではないでしょうか？
0027１３２人目の素数さん
2020/02/25(火) 21:58:11.88ID:w0G79O0l>>302
訂正します：
Q = [a_1, b_1] × … × [a_n, b_n]
とし、
a_1 = t_{0, 1} < t_{1, 1} < … < t_{k_1, 1} = b_1
a_2 = t_{0, 2} < t_{1, 2} < … < t_{k_2, 2} = b_2
…
a_n = t_{0, n} < t_{1, n} < … < t_{k_n, n} = b_n
v(Q) = (b_1 - a_1) * … * (b_n - a_n)
Σ_{R} v(R) = [(t_{k_1, 1} - t_{k_1-1, 1}) + … + (t_{1, 1} - t_{0, 1})] * … * [(t_{k_n, n} - t_{k_n-1, n}) + … + (t_{1, n} - t_{0, n})] を分配法則で展開したもの
∴v(Q) = Σ_{R} v(R),
思いついたのは、こんな証明ではないでしょうか？
304 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/25(火) 21:17:07.25 ID:YDqD5kJZ (9/9)
Munkresさんの証明はエレガントです。
可積分かどうかを判定するThe Riemann conditionを使って証明しています。
0028１３２人目の素数さん
2020/02/26(水) 08:58:46.81ID:ncxMk89a>>305
杉浦光夫さんの本でもそうですが、分割といえば「網状分割」しか考えません。
で、Munkresさんの証明ですが、おそらく一般の分割に対しても適用できると思います。
>>303
杉浦光夫さんの本に「網状分割」の場合の証明ですが、 n に関する帰納法で証明しろと書いてありました。
一般の分割に対しても帰納法で証明するんですか？
0029１３２人目の素数さん
2020/02/28(金) 12:39:58.49ID:nMtvrkr8James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
「measure zero」って何か分かりにくいですね。
慣れるまで大変そうです。
0030１３２人目の素数さん
2020/02/28(金) 12:40:30.46ID:nMtvrkr8「measure zero」がどうのこうのって面倒ですね。
「measure zero」の集合 A をカバーする長方形たちの個数を有限個に制限すると、
それらの体積の和が ε 未満にできなくなったりするんですね。
一見、有限個にすると有利になりそうですけど。
317 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/27(木) 12:31:51.69 ID:n2CwvkWR (2/5)
体積の和を ε 未満にするためには一つ一つの長方形の体積を非常に小さくする必要があるけれども、
長方形の数を有限個に制限すると、長方形が小さすぎて、 A を覆えなくなってしまうんですね。
318+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/27(木) 12:42:10.73 ID:n2CwvkWR (3/5)
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
長方形上の有界関数 f が積分可能であるためには、その長方形上で f が不連続になる点の集合が measure zero
であることが必要十分条件である
という定理の証明ですが、3ページ半の長さです。
これから読もうと思います。
319 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/27(木) 12:50:18.05 ID:n2CwvkWR (4/5)
逆写像定理や陰関数定理はまっとうな大定理という感じでその証明を読む気がおきますが、
>>318
のような定理の証明はちょっと読みたくないですよね。
0031１３２人目の素数さん
2020/02/28(金) 12:40:45.49ID:nMtvrkr8長方形上の有界関数 f が積分可能である ⇒ その長方形上で f が不連続になる点の集合は measure zero である
の証明ですが、どうやってそんな証明を思いついたのかというような証明でした。
0032１３２人目の素数さん
2020/02/29(土) 13:49:31.15ID:Kt4QRzKQ斎藤毅さんの『数学原論』が楽しみですね。
329 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/29(土) 09:37:37.00 ID:hF3qF87H (2/4)
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
↓Fubiniの定理ですが、一般的でいいですね。
杉浦さんや松坂さんの本では、 f は連続であると仮定されています。
https://imgur.com/lmBXTwF.jpg
0033１３２人目の素数さん
2020/02/29(土) 13:50:03.47ID:Kt4QRzKQ数学原論 これから出る本
斎藤 毅 著
ISBN978-4-13-063904-0発売日:2020年04月20日判型:A5ページ数：360頁
自然科学 > 数学
内容紹介
数学は1つである――線形代数と微積分を柱に，集合と位相のことばで書かれた現代数学の基礎の先にはどのような世界が広がるのだろう．代数・幾何・解析が有機的に結合，交差し，数学をつくりあげるようすを圏論的視点から解説する，「21世紀の『数学原論』」．
主要目次
はじめに
この本の使い方
第1章 圏と関手
第2章 環と加群
第3章 ガロワ理論
第4章 ホモロジー
第5章 微分形式
第6章 複素解析
第7章 層
第8章 曲面と多様体
第9章 リーマン面
第10章 楕円曲線
おわりに――ブルバキ『数学原論』について
332 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/29(土) 11:32:41.69 ID:hF3qF87H (4/4)
>>331
これってどんな本なんですかね？
複素解析を1つの章で解説なんてできないですよね？
ということはお話的な本になるんですかね？
0034１３２人目の素数さん
2020/02/29(土) 17:34:23.19ID:OBNl6KDh0035１３２人目の素数さん
2020/02/29(土) 21:51:31.25ID:Kt4QRzKQJames R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
Fubiniの定理の証明は全部で3ページですが、Step 1を読み終わりました。
なんだか地味な証明ですね。
347 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/29(土) 20:50:05.45 ID:hF3qF87H (6/12)
>>346
松坂和夫さんも読者のことを考えて、位相空間のまえにユークリッド空間の距離の話を持ってきた
と書いています。
でもいきなり位相空間の話をしたほうが逆に分かりやすいと思うんですよね。
そのあとで具体例としてユークリッド空間を出せばいいと思います。
349 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/29(土) 20:51:02.22 ID:hF3qF87H (7/12)
位相空間とマトロイドってなんか似ていませんか？
352 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/29(土) 21:07:01.43 ID:hF3qF87H (8/12)
位相空間の話は一種のゲームだと思って読めばいいですよね。
0036１３２人目の素数さん
2020/02/29(土) 21:52:01.27ID:Kt4QRzKQ>>354
その割には、内容を絞りすぎていませんか？
『微積分』という本についてもそうですが。
357+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/29(土) 21:29:22.70 ID:hF3qF87H (10/12)
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
3ページに渡る証明を読み終わりました。
地味でひらめきのない証明でした。
358 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/29(土) 21:29:49.49 ID:hF3qF87H (11/12)
>>357
訂正します：
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
Fubiniの定理の3ページに渡る証明を読み終わりました。
地味でひらめきのない証明でした。
359 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/29(土) 21:30:58.08 ID:hF3qF87H (12/12)
Munkresさんの証明が悪いというわけではなく、定理自体が地味なひらめき感のない定理だということです。
0037１３２人目の素数さん
2020/02/29(土) 23:20:40.26ID:Kt4QRzKQ伊理正夫さんが数学書にもバリアフリーが必要とか書いていましたね。
364 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/29(土) 22:57:12.98 ID:hF3qF87H (14/16)
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』ですが、非常にいい本です。
Munkresさんの『Topology』も非常にいい本です。
Spivakさんもいい書き手だとは思いますが、細部まで極めて丁寧なのがMunkresさんです。
365 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/29(土) 22:58:35.60 ID:hF3qF87H (15/16)
Munkresさんはアルゴリズムの分野でも業績がありますよね。
366 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/02/29(土) 22:59:45.33 ID:hF3qF87H (16/16)
Donald E. Knuthさんから来た小切手ですが、封筒にダメージを与えるのが何となく嫌でまだ開けていません。
そろそろ開けてみようと思います。
0038１３２人目の素数さん
2020/03/01(日) 14:22:16.33ID:YQVTyA9v新井仁之著『これからの微分積分』を読んでいます。
方向微分の定義↓がひどすぎます。
これではなぜ方向微分というのかよく分かりませんよね。
v ∈ R^d
||v|| = 1
f : R^d で偏微分可能な R^d から R への関数
とする。
∂f / ∂v = ∇f(x)・v
を f の x での v 方向の方向微分という。
372+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/01(日) 10:37:18.26 ID:cjy4BjeS (2/7)
>>371
この定義だと f が微分可能でない場合にも方向微分が定義されることになりますが、
そのメリットって何かありますか？
375 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/01(日) 11:44:48.80 ID:cjy4BjeS (3/7)
フリーマン・ダイソンさんが亡くなったそうですね。
とっくに亡くなっていたと思っていたんですが、意外です。
377 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/01(日) 12:13:55.03 ID:cjy4BjeS (4/7)
https://en.wikipedia.org/wiki/James_Munkres
Munkresさんって存命だったんですね。
378 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/01(日) 12:14:57.27 ID:cjy4BjeS (5/7)
なんか数学書の著者ってなぜか年寄りが多いから、どんどん亡くなっていく印象がありますよね。
379 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/01(日) 12:31:15.37 ID:cjy4BjeS (6/7)
別巻「激動の20世紀数学」を語る（猪狩 惺，小野 孝，河合隆裕，高橋礼司，竹崎正道，服部晶夫，藤田 宏）
↑これって大丈夫なんですかね？
380 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/01(日) 14:19:12.42 ID:cjy4BjeS (7/7)
Munkresさんの『Analysis on Manifolds』最高です。
これを超える本はちょっと考えにくいです。
0039１３２人目の素数さん
2020/03/02(月) 17:24:33.42ID:re/zpAKJMunkresさんの『Analysis on Manifolds』のおかげで、今年中には微分幾何学の本を読み始めることができそうです。
391+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/02(月) 15:12:24.38 ID:19rHgEyM
Munkresさんの『Analysis on Manifolds』があまりにもいい本なので、ハードカバー版を買い増ししようか迷っています。
アマゾンで17496円ですね。
アメリカのアマゾンでも送料考えると大差ないですね。
0040１３２人目の素数さん
2020/03/03(火) 21:04:41.27ID:YcyNlndVS を有界な R^n の部分集合とする。
S の境界の measure が 0 でないような例を教えてください。
410 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/03(火) 18:06:44.35 ID:bJ1Wt3F4 (2/2)
あ、調べたら出てきました。
ですが、異常な例ですね。
0041１３２人目の素数さん
2020/03/04(水) 21:20:23.09ID:3J+oZVj+できるだけ演習問題は解きたくないと思っていますが、measure zeroとかそのあたりは演習問題を解いたほうがいいかもしれませんね。
426 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/04(水) 12:09:51.43 ID:rKGXPWsx
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
Let S be a bounded set in R^n; let f : S → R be a bounded continuous function.
Let E be the set of points x_0 of Bd S for which the condition
lim_{x → x_0} f(x) = 0
fails to hold. If E has measure zero, then f is integrable over S.
↑この定理ですが、なんか何が言いたいんだか分かりにくいですよね。
Bd S がmeasure zeroの場合には、 f は S 上で積分可能ですから、対象としているのは、
Bd S がmeasure zeroでない場合なんですよね。異常なケースにどうかということですね。
440 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/04(水) 19:41:24.18 ID:rKGXPWsx (2/4)
S をmeasure zeroな集合とします。
このとき、
∫_S 1 = 0
かと思ったんですが、違うんですね。
S = Q^n
とすると、 S はmeasure zeroな集合ですが、
1 は S 上で積分できません。
0042１３２人目の素数さん
2020/03/04(水) 21:21:12.80ID:3J+oZVj+江沢洋・上條隆志編『物理学と数学』を読んでいます。
小平 「僕はコロキュウムを聞いても、まず大ていわからないですね。」
…
小平 「僕はとてもだめですね。コロキュウムなど何のために話を聞きに行くかわからないんですよ。
知っていることならわかるけれども、知らないことを聞いたってわからない。何のためにいっているのか。
一説によると、ときどき脳味噌を刺激しないと眠っちゃうから、わかっても、わからなくても聞く（笑）。」
などと小平邦彦さんは発言しています。
講義も似たようなところがありませんか？本があるわけですから、要らないという考えの人もいますよね？
443 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/04(水) 20:26:05.55 ID:rKGXPWsx (4/4)
江沢洋・上條隆志編『物理学と数学』を読んでいます。
江沢 「数学というのは覚えることがたくさんあるという感じがするんですけれども。」
山内 「非常に多いです。記憶力の問題ですよ。」
小平 「そうでもないですがね。」
物理のほうが覚えることが多くないですか？
0043１３２人目の素数さん
2020/03/05(木) 14:51:18.70ID:suIHV7WxJames R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
↓これって成り立ちますか？
f がmeasure zeroな集合 S 上で積分可能とする。
このとき、
∫_S f = 0
である。
448 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/05(木) 11:50:01.20 ID:Cadh90+s (2/5)
あ、成り立ちますね。
449 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/05(木) 11:50:35.31 ID:Cadh90+s (3/5)
measure zeroな集合がらみの話ってちょっとしたことでも面倒ですよね。
450 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/05(木) 11:52:39.21 ID:Cadh90+s (4/5)
Let Q be a rectangle in R^n; let f : Q → R; assume f is integrable over Q.
If f vanishes except on a set of measure zero, then ∫_Q f = 0
という定理を適用すればいいわけです。
451 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/05(木) 11:56:47.81 ID:Cadh90+s (5/5)
>>440
の話とも関係がありますね。
0044１３２人目の素数さん
2020/03/05(木) 22:51:29.09ID:suIHV7WxJames R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
積分のところを読み切るのに時間がかかりそうなので気分転換に、第6章の微分形式のところを読み始めました。
Prefaceに載っているダイアグラムによれば、第1章と第2章を読んでいれば第6章は読めるそうです。
さすが、Munkresさんです。
テンソルについても非常に分かりやすいです。
456 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/05(木) 21:58:36.27 ID:Cadh90+s (7/7)
Munkresさんは教科書書きの天才だと思います。
0045１３２人目の素数さん
2020/03/06(金) 21:53:51.01ID:hBZo6UymJames R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
第6章の微分形式のところですが、置換の基本的な性質まで証明しています。
まさにself-containedな本です。
日本人の著者にも見習ってほしいですね。
468 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/06(金) 17:56:23.80 ID:kLdlq8Gi (2/6)
Munkresさんはアルゴリズムの分野でも名を残していますよね。
なんかコンピューターサイエンスの人って証明を詳しく緻密に書く人が多いですよね。
Donald Knuthさんなんかも丁寧ですよね。
469 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/06(金) 17:57:14.01 ID:kLdlq8Gi (3/6)
Knuthさんからもらった小切手ですが、いまだに開封していません。
0046１３２人目の素数さん
2020/03/06(金) 21:55:22.50ID:hBZo6Uymところで、James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』やスピヴァックさんの本でのテンソル関係の話ですが、
線形代数の本、例えば、佐武一郎さんや斎藤毅さんの本と定義が違うように思います。
線形代数の本のほうはよく読んでいないのですが、少なくとも見た目は違いますよね。
これらの間の関係について教えてください。
475 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/06(金) 18:54:07.11 ID:kLdlq8Gi (5/6)
猪狩惺著『実解析入門』ってなんか薄っぺらい頼りない感じの本ですよね。
英訳もされていますが、本当にいい本なんですか？
477 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/06(金) 19:03:45.55 ID:kLdlq8Gi (6/6)
Twitter以外のインターネット上や実世界ではどうですか？
0047１３２人目の素数さん
2020/03/07(土) 14:20:36.09ID:Hp9+/IB2James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
置換が関係する公式で誤りを発見しました。
実はこの誤りですが、齋藤正彦さんの『線型代数入門』の行列式のところでの誤りと同様の誤りです。
なぜか、誤る人が非常に多い部分です。
487 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/06(金) 22:51:50.78 ID:kLdlq8Gi (8/10)
>>485
あ、Munkresさんは間違っていませんでした。
『線型代数入門』の齋藤正彦さんと同じ誤りを犯してしまいました。
488+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/06(金) 22:56:02.95 ID:kLdlq8Gi (9/10)
f を V 上の k-tensor とします。 σ ∈ S_k とします。
f^σ を
(f^σ)(v_1, …, v_k) := f(v_σ(1), …, v_σ(k))
で定義します。
σ, τ ∈ S_k とするとき、
(f^σ)^τ = f^(σ*τ)
(f^σ)^τ = f^(τ*σ)
のどちらが正しいでしょうか？
ただし、「*」は置換の合成を表します。
489 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/06(金) 22:57:32.52 ID:kLdlq8Gi (10/10)
>>488
ちなみに、齋藤正彦さんは『線型代数入門』でこれと類似の行列式に関する式を間違って書いています。。
0048１３２人目の素数さん
2020/03/08(日) 16:59:07.00ID:rJfzPpUl0049１３２人目の素数さん
2020/03/08(日) 20:54:49.55ID:ULYozQiqJames R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
k-tensor って、行列式のようなもんですよね。
なんであんな風に抽象的に定義するんですかね？
f(v_1, …, v_k) を R^n 上の k-tensor とする。 R^n の基底は標準基底とする。
v_i = (x_{1, i}, …, x_{n, i}) とする。
f(v_1, …, v_k) = Σ_{I} A_I * x_{i_1, 1} * … * x_{i_k, k}, where I = (i_1, …, i_k)
i_1, …, i_k は 1 から n までを独立に動く。
なんでこういう風に具体的に書かないんですか？
538 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/08(日) 14:37:59.27 ID:lLVFK2QQ (2/7)
微分積分で一番まともなオンライン講義は、Shifrinさんの講義ですね。
539 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/08(日) 14:39:18.39 ID:lLVFK2QQ (3/7)
>>537
数学科の授業数が異常に少ないのはなぜでしょうか？
実験も卒業論文もないですし、一番、楽な学科ですよね。
540 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/08(日) 14:40:27.91 ID:lLVFK2QQ (4/7)
数学科に行くなら、海外、例えば、アメリカの大学がいいですよね。
授業科目数が多いですよね。
541 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/08(日) 14:41:33.93 ID:lLVFK2QQ (5/7)
数学科は楽して学生からお金を集めている印象です。
542+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/08(日) 14:44:51.23 ID:lLVFK2QQ (6/7)
学生も教員も楽。それが数学科ではないでしょうか？
546+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/08(日) 15:15:15.13 ID:lLVFK2QQ (7/7)
テンソルの話ってなんか自明でつまらない話ばかりという印象です。
線型代数も、固有値、ジョルダンの標準形とかはちょっと面白いですが、その他の話題は大抵自明でつまらないですよね。
0050１３２人目の素数さん
2020/03/08(日) 22:13:46.22ID:ULYozQiqJames R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
Alternating Tensorsというセクションの演習問題に、 f, g ,h のうちR^4 上のalternating tensorであるものはどれか？
という問題がありますが、そのどれもalternating tensorではありません。
変わった問題を出しますね。
しかも、「R^4 上の」と書いてあるのに、 f, g, h のどれも x_4 のようなインデックスが 4 である変数が登場しません。
変っています。
0051１３２人目の素数さん
2020/03/09(月) 17:09:30.71ID:72eScR71大学の数学科の講義に意味はあるのでしょうか？
584 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/09(月) 16:58:35.58 ID:H8AJVrLp (2/3)
オンラインのまともな講義動画がないのは、明らかですよね。
ただでさえ、本さえあれば講義など不要という人が多いわけです。
オンラインのまともな講義動画など公開していては数学科に行く意味がなくなります。
数学科卒業という肩書が欲しいというだけという変った人もなかにはいるかもしれませんが。
586+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/09(月) 16:59:46.00 ID:H8AJVrLp (3/3)
訂正します：
オンラインのまともな講義動画がない理由は、明らかですよね。
ただでさえ、本さえあれば講義など不要という人が多いわけです。
オンラインのまともな講義動画など公開されては数学科に行く意味がなくなります。
数学科卒業という肩書が欲しいというだけという変った人もなかにはいるかもしれませんが。
0052１３２人目の素数さん
2020/03/10(火) 09:55:09.89ID:0RHUB2Cr群論を学ぶからには、よく理解し、使いこなせるようになるべきである。
0053１３２人目の素数さん
2020/03/10(火) 10:10:56.74ID:tHZNICl10054１３２人目の素数さん
2020/03/10(火) 17:18:21.06ID:DJ6iB8QUビート武という人はなぜ簡単な問題を解くことにしか興味がないのでしょうか？
数学 = 出題された問題を解く
だと思っていませんか？
そして、簡単な問題も解けないようですよね。
602 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/10(火) 15:52:53.45 ID:ux/MrvGB (2/7)
f(x, y, z) を R^4 上の交代 3-tensor とする。
f(x, y, z) = -f(y, x, z)
が成り立つ。
f(x, y, z) = A*x1*y1*z3 + …
=
-f(y, x, z) = -A*y1*x1*z3 + …
とする。
x = (x1, x2, x3, x4) = (1, 0, 0, 0)
y = (y1, y2, y3, y4) = (1, 0, 0, 0)
z = (z1, z2, z3, z4) = (0, 0, 1, 0)
を代入すると、
f(x, y, z) = A
-f(y, x, z) = -A
∴ A = -A
∴ A = 0
同様に考えると、 f(x, y, z) のインデックスが重複する項の係数はすべて 0 であることが分かる。
0055１３２人目の素数さん
2020/03/10(火) 17:18:38.87ID:DJ6iB8QUですので、 f(x, y, z) は以下の形をしています。
f(x, y, z)
=
A_{1, 2, 3}*x1*y2*z3
+
A_{1, 3, 2}*x1*y3*z2
+
A_{2, 1, 3}*x2*y1*z3
+
A_{2, 3, 1}*x2*y3*z1
+
A_{3, 1, 2}*x3*y1*z2
+
A_{3, 2, 1}*x3*y2*z1
+
B_{1, 2, 4}*x1*y2*z4
+
B_{1, 4, 2}*x1*y4*z2
+
B_{2, 1, 4}*x2*y1*z4
+
B_{2, 4, 1}*x2*y4*z1
+
B_{4, 1, 2}*x4*y1*z2
+
B_{4, 2, 1}*x4*y2*z1
+
C_{1, 3, 4}*x1*y3*z4
+
C_{1, 4, 3}*x1*y4*z3
+
C_{3, 1, 4}*x3*y1*z4
+
C_{3, 4, 1}*x3*y4*z1
+
C_{4, 1, 3}*x4*y1*z3
+
C_{4, 3, 1}*x4*y3*z1
+
D_{2, 3, 4}*x2*y3*z4
+
D_{2, 4, 3}*x2*y4*z3
+
D_{3, 2, 4}*x3*y2*z4
+
D_{3, 4, 2}*x3*y4*z2
+
D_{4, 2, 3}*x4*y2*z3
+
D_{4, 3, 2}*x4*y3*z2
0056１３２人目の素数さん
2020/03/10(火) 17:18:52.31ID:DJ6iB8QUe1 = (1, 0, 0)
e2 = (0, 1, 0)
e3 = (0, 0, 1)
とする。
{e_i, e_j, e_k} = {e1, e2, e3}
とする。
f(e_i, e_j, e_k) = A_{i, j, k}
である。
f(e1, e2, e3) = -f(e2, e1, e3) = -f(e1, e3, e2) = -f(e3, e2, e1)
f(e3, e2, e1) = -f(e2, e3, e1) = -f(e3, e1, e2) = -f(e1, e2, e3)
であるから、
A_{1, 2, 3} = -A_{2, 1, 3} = -A_{1, 3, 2} = -A_{3, 2, 1} = A_{2, 3, 1} = A_{3, 1, 2}
である。
B, C, D についても同様のことが成り立つ。
0057１３２人目の素数さん
2020/03/10(火) 17:19:26.13ID:DJ6iB8QUA := A_{1, 2, 3}
B := B_{1, 2, 4}
C := C_{1, 3, 3}
D := D_{2, 3, 4}
とおくと、
f(x, y, z)
=
A*x1*y2*z3
-
A*x1*y3*z2
-
A*x2*y1*z3
+
A*x2*y3*z1
+
A*x3*y1*z2
-
A*x3*y2*z1
+
B*x1*y2*z4
-
B*x1*y4*z2
-
B*x2*y1*z4
+
B*x2*y4*z1
+
B*x4*y1*z2
-
B*x4*y2*z1
+
C*x1*y3*z4
-
C*x1*y4*z3
-
C*x3*y1*z4
+
C*x3*y4*z1
+
C*x4*y1*z3
-
C*x4*y3*z1
+
D*x2*y3*z4
-
D*x2*y4*z3
-
D*x3*y2*z4
+
D*x3*y4*z2
+
D*x4*y2*z3
-
D*x4*y3*z2
となる。
0058１３２人目の素数さん
2020/03/10(火) 17:20:04.28ID:DJ6iB8QUJames R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
Tensorの理論ってなんか自明なことを長々と論じますね。
>>605
の式を導くために、延々と自明な定理やら補題やらを証明しています。
608 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/10(火) 16:06:18.36 ID:ux/MrvGB (7/7)
>>604
訂正します：
e1 = (1, 0, 0, 0)
e2 = (0, 1, 0, 0)
e3 = (0, 0, 1, 0)
が正しいです。
0059１３２人目の素数さん
2020/03/10(火) 23:55:42.26ID:DJ6iB8QU>>616
精読は好きなんですけど、演習が嫌いなんですよね。
興味を持てる問題ばかりならいいんですけどね。
620+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/10(火) 22:02:00.78 ID:ux/MrvGB (9/9)
>>619
基礎体力がないのに、問題を解けるんですか？
博士号の取得ってぶっちゃけ簡単なんですか？
622 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/10(火) 22:46:16.65 ID:ux/MrvGB (10/10)
https://page.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/e418570446
↑なんかこの人、大量に数学の本を出品していますね。
疑問なんですけど、こういうかなり専門的な本を読んできた人が数学をやめることってあり得るんですかね？
小平邦彦さんみたいに病気になってどうしてもできなくなってやめるというのなら分かります。
数学は中毒性が非常に高いと思うんですが、どうなんでしょうか？
0060１３２人目の素数さん
2020/03/12(木) 17:42:48.41ID:pR5jAuDy偏微分の伝統的な記号は廃止してほしいです。
第何変数に関して、偏微分するかが分かればいいだけですよね。
0061１３２人目の素数さん
2020/03/12(木) 17:44:12.27ID:pR5jAuDy圏論はどういう学習段階で勉強し始めるのがいいのでしょうか？例えば、ベーシックな代数学を勉強してからのほうがいいのでしょうか？
651 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/12(木) 16:53:34.29 ID:2VoZbg4I (2/4)
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
wedge productは定義自体はどうでもよくてその性質が重要だと書いてあります。
行列式なんかも定義はどうでもよくてその性質が重要でしたよね。
653+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/12(木) 17:09:07.55 ID:2VoZbg4I (3/4)
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
やっとつまらない代数の話から、解析の話に変るところに近づいてきました。
654 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/12(木) 17:09:45.55 ID:2VoZbg4I (4/4)
微分形式の章を読み終わったら、また面倒な積分の章に戻ろうと思います。
0062１３２人目の素数さん
2020/03/13(金) 08:58:54.93ID:AqADv5W4行列式の例でいえば、定義を仮に忘れてしまったとしてもその性質さえ知っていれば
例えば、クラーメルの公式とかを導き出せます。
0063１３２人目の素数さん
2020/03/15(日) 23:26:38.17ID:3pgESaon>>689
何年か前に復刊されていましたよね。
0064１３２人目の素数さん
2020/03/15(日) 23:27:06.61ID:3pgESaonSerge Lang著『Undergraduate Analysis』を読んでいます。
d は距離関数とし、
d''(x, y) := d(x, y) / (1 + d(x, y))
とおく。
d'' は（有界な）距離関数であることを示せ。
という問題があります。
この問題のRami Shakarchiさんの解答ですが、つまらない解答です。
695+2 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/15(日) 23:04:35.05 ID:4MJnkiCH (3/8)
自分で考えた解答を書きます。
三角不等式以外は自明。
d(x, z) + d(z, y) ≧ d(x, y)
⇔
[d(x, z) + d(z, y)] / [1 + d(x, z) + d(z, y)] ≧ d(x, y) / [1 + d(x, y)]
が成り立つことは見ただけで分かります。
∴
d(x, z) / [1 + d(x, z)] + d(z, y) / [1 + d(z, y)] ≧ d(z, y) / [1 + d(x, z) + d(z, y)] + d(z, y) / [1 + d(x, z) + d(z, y)] = [d(x, z) + d(z, y)] / [1 + d(x, z) + d(z, y)] ≧ d(x, y) / [1 + d(x, y)]
0065１３２人目の素数さん
2020/03/15(日) 23:27:28.51ID:3pgESaonRami Shakarchiさんの解答は、結果の式である↓の式を成り立つのが明らかな不等式に同値変形するというものです。
結果の不等式が成り立つと分かっているからできる力技です。
d(x, z) / [1 + d(x, z)] + d(z, y) / [1 + d(z, y)] ≧ d(x, y) / [1 + d(x, y)]
697 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/15(日) 23:16:39.69 ID:4MJnkiCH (5/8)
>>695
の解答ですが、以下のような過程を経て思いつきました：
d(x, z) / [1 + d(x, z)] + d(z, y) / [1 + d(z, y)] ≧ d(x, y) / [1 + d(x, y)]
(1) d(z, y) / [1 + d(z, y)] ≧ d(x, y) / [1 + d(x, y)] の場合には明らかに↑の不等式は成り立つ。
(2) d(z, y) / [1 + d(z, y)] ≧ d(x, y) / [1 + d(x, y)] の場合を考える。
d(z, y) / [1 + d(z, y)] ≧ d(x, y) / [1 + d(x, y)]
⇔
d(z, y) * [1 + d(x, y)] ≧ d(x, y) * [1 + d(z, y)]
⇔
d(z, y) ≧ d(x, y)
↑この同値関係を見て、すぐに、
>>695
の解答を思いつきました。
0066１３２人目の素数さん
2020/03/15(日) 23:27:41.21ID:3pgESaon訂正します：
>>695
の解答ですが、以下のような過程を経て思いつきました：
d(x, z) / [1 + d(x, z)] + d(z, y) / [1 + d(z, y)] ≧ d(x, y) / [1 + d(x, y)]
(1) d(z, y) / [1 + d(z, y)] ≧ d(x, y) / [1 + d(x, y)] の場合には明らかに↑の不等式は成り立つ。
(2) d(z, y) / [1 + d(z, y)] < d(x, y) / [1 + d(x, y)] の場合を考える。
d(z, y) / [1 + d(z, y)] < d(x, y) / [1 + d(x, y)]
⇔
d(z, y) * [1 + d(x, y)] < d(x, y) * [1 + d(z, y)]
⇔
d(z, y) < d(x, y)
↑この同値関係を見て、すぐに、
>>695
の解答を思いつきました。
699 ：１３２人目の素数さん [↓] ：2020/03/15(日) 23:19:40.21 ID:4MJnkiCH (7/8)
d(z, y) / [1 + d(z, y)] < d(x, y) / [1 + d(x, y)]
⇔
d(z, y) * [1 + d(x, y)] < d(x, y) * [1 + d(z, y)]
⇔
d(z, y) < d(x, y)
の同値関係において、
d(z, y) を d(x, y) に置き換え、
d(x, y) を d(x, z) + d(z, y) に置き換え、
< を ≦ に置き換えれば、いいとすぐに気づきました。
700 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/15(日) 23:21:28.00 ID:4MJnkiCH (8/8)
馬車のステップに足をかける必要はありませんでした。
0067１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 21:02:27.19ID:aMEkikxXhttps://page.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/t711777454
1か5930 高い立場からみた初等数学 全4巻揃 F・クライン 遠山啓 東京図書 1964-1968 函ほかシミ有
↑これってどうですかね？ちょっと欲しい気がします。中古で汚いので迷いますが。
英訳ってあるんですかね？
714 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/17(火) 13:09:12.38 ID:st4D1M6o (2/3)
あと訳の品質が気になります。
716+2 ：１３２人目の素数さん [↓] ：2020/03/17(火) 14:41:26.71 ID:st4D1M6o (3/3)
>>715
でも、いろいろな本を読んだほうが理解が深まるという面もありますよね。
やせ我慢して1冊の本だけを読むというのがいい方法なのかどうかということになるかと思います。
難しいのは他の本を読む始めるとそっちのほうに興味がすぐに移ってしまうところですね。
0068１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 23:16:19.04ID:aMEkikxX数学書を読むときに演習問題を解くと色々無駄なことも含めて考えるため、理解がすすむというのは確かに分かるのですが、
やはり時間がかかりすぎますよね。
下手するとある章を読む時間よりもその章の章末の演習問題を解くほうが時間がかかりますよね。
725 ：１３２人目の素数さん [↓] ：2020/03/17(火) 21:35:47.54 ID:st4D1M6o (5/6)
数学科の科目には演習がありますが、あれはやはりみんな問題を解くのが嫌いだから強制的に問題を解く時間を設けるという意味があるんですね。
あんなの講師がいなくても、問題と詳しい回答が書かれたプリントを配って自習をしておくようにということで済むわけですが、それだとみんな
さぼってしまいがちになってしまうんでしょうね。
演習なんかで授業料を取るのは詐欺みたいなもんですよね。
よく自分の部屋で一人で勉強するのが苦手な中高生がいます。
そんな人でも図書館やフードコートやファストフード店やカフェなどでは勉強できるという人がいます。
それに似ていますよね。
726 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/17(火) 21:41:52.03 ID:st4D1M6o (6/6)
そんな演習科目の占める割合はかなりのものですよね。
そんな科目に対して、授業料を取る数学科はほとんど詐欺のようなところですよね。
学生は学生で卒業証書さえもらえればいいというような考えの人もいますよね。
休講だと言われると喜ぶような学生もいますよね。授業料を返せと怒らないとだめですよね。
0069１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 22:58:47.84ID:Xq5ZoyqP↓このJohn Milnorのレクチャーって微分積分の本を読んだ後に理解できますか？
https://youtu.be/1LwkljjLBns
742 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/18(水) 20:17:58.68 ID:U8uttnT+ (2/2)
Serge Lang著『Undergraduate Analysis』を読んでいます。
今↓の定理の証明を読んでいますが、Langさんって抽象的な話が好きですよね。
「
E を R 上の有限次元ベクトル空間とすると、 E 上の任意の2つのノルムはequivalentである。
特に、 R^k 上のすべてのノルムはsupノルムと等価である。
」
0070１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 22:59:24.82ID:Xq5ZoyqP{x | x = (x_1, x_2, …), x_i ∈ R} は無限次元ベクトル空間になります。
無限次元ベクトル空間にも基底が存在するそうです。
↑のベクトル空間の基底はどういうものか？と考えても、ちょっと基底などありそうにありません。
これはどういうことなのでしょうか？
753 ：１３２人目の素数さん [↓] ：2020/03/19(木) 21:36:59.38 ID:37h8XGS6 (2/3)
>>748
「非構成的に作る」の正確な意味は何ですか？
それは置いておいて、こんなシンプルな無限次元ベクトル空間なのに、非構成的にしか基底を作れないんですね。
なんかインチキして、無限次元ベクトル空間にも基底が存在すると言い張っているようにしか思えないのですが。
754 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/19(木) 21:37:32.42 ID:37h8XGS6 (3/3)
訂正します：
>>750
「非構成的に作る」の正確な意味は何ですか？
それは置いておいて、こんなシンプルな無限次元ベクトル空間なのに、非構成的にしか基底を作れないんですね。
なんかインチキして、無限次元ベクトル空間にも基底が存在すると言い張っているようにしか思えないのですが。
0071１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 14:08:00.14ID:4r0MOBO+Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
以下の問題があります。
背理法を使わないエレガントな証明を発見しました。
「
V をベクトル空間とする。
U, W を V の部分空間とする。
U ∪ W が V の部分空間 ⇔ U ⊂ W or W ⊂ U
を示せ。
」
解答：
U ∪ W が V の部分空間であるとする。
(1) 「∃w0 ∈ W, ∀u ∈ U, u + w0 ∈ W」
または
(2) 「∀w ∈ W, ∃u0 ∈ U, u0 + w ∈ U」
が成り立つ。
(1)が成り立つ場合を考える。
∀u ∈ U とする。
u + w0 ∈ W だから u ∈ W
∴ U ⊂ W
(2)が成り立つ場合を考える。
∀w ∈ W とする。
u0 + w ∈ U だから w ∈ U
∴ W ⊂ U
逆は明らか。
0072１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 21:56:07.63ID:4r0MOBO+>>762
(1)の否定が(2)です。
772 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/20(金) 17:59:11.52 ID:hTqws7pK (3/3)
F = R or C とする。
V を F 上のベクトル空間とする。
T, U, W を V の部分空間とする。
T ∪ U ∪ W が V の部分空間 ⇔ T, U ⊂ W or U, W ⊂ T or W, T ⊂ U
を証明せよ。
0073１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 21:56:12.56ID:4r0MOBO+>>760
U ∪ W が V の部分空間であるとする。
U ∪ W = U + W でなければならない。
U ⊂ W でないと仮定する。
∃u ∈ U such that u ∈ W でない。
w を W の任意の元とする。
u + w ∈ U + W = U ∪ W
u は W の元ではないから、 u + w も W の元ではない。
よって、 u + w ∈ U である。
∴ w ∈ U である。
∴ W ⊂ U である。
775+2 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/20(金) 18:40:19.29 ID:hTqws7pK (5/10)
>>772
記号を分かりやすく変更します：
F = R or C とする。
V を F 上のベクトル空間とする。
A, B, C を V の部分空間とする。
A ∪ B ∪ C が V の部分空間 ⇔ A, B ⊂ C or B, C ⊂ A or C, A ⊂ B
を証明せよ。
776 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/20(金) 18:42:03.76 ID:hTqws7pK (6/10)
>>775
この問題もSheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』の演習問題です。
>>760
と比べて、「surprisingly harder」だというコメントがありあす。
0074１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 21:56:35.18ID:4r0MOBO+>>775
(1)
A ∪ B が線形空間である場合。
>>760
より、
A ⊂ B or B ⊂ A が成り立つ。
∴ A ∪ B = A or A ∪ B = B
(1-1)
A ∪ B = A の場合。
A ∪ C は線形空間であるから、
>>760
より、
A ⊂ C or C ⊂ A が成り立つ。
(1-1-1)
A ⊂ C の場合。
B ⊂ A ⊂ C
であるから、問題の主張が成り立つ。
(1-1-2)
C ⊂ A の場合。
B ⊂ A
C ⊂ A
だから、問題の主張が成り立つ。
0075１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 21:56:55.12ID:4r0MOBO+(1-2)
A ∪ B = B の場合。
B ∪ C は線形空間であるから、
>>760
より、
B ⊂ C or C ⊂ B が成り立つ。
(1-2-1)
B ⊂ C の場合。
A ⊂ B ⊂ C
であるから、問題の主張が成り立つ。
(1-2-2)
C ⊂ B の場合。
A ⊂ B
C ⊂ B
だから、問題の主張が成り立つ。
779 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/20(金) 18:52:57.83 ID:hTqws7pK (9/10)
(2)
A ∪ B が線形空間でない場合。
ここが難しそうですよね。
0076１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 21:57:08.04ID:4r0MOBO+>>760
より、
A ⊂ B でなく、かつ、 B ⊂ A でない。
よって、問題の主張が成り立つなら、
A ⊂ C かつ B ⊂ C
が成り立たねばならない。
0077１３２人目の素数さん
2020/03/21(土) 17:27:21.79ID:qOxrDkXHSheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
「
In general, the proofs in the rest of the book will not call attention to
special cases that must be considered involving empty lists, lists of length 1 ,
the subspace f0g , or other trivial cases for which the result is clearly true but
needs a slightly different proof. Be sure to check these special cases yourself.
」
こういうところをちゃんとしてほしいですよね。
面倒だから、読者にやらせるというのはいかがなものでしょうか？
785 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/21(土) 13:43:11.49 ID:mxKhfIFi (2/3)
>>784
訂正します：
Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
「
In general, the proofs in the rest of the book will not call attention to
special cases that must be considered involving empty lists, lists of length 1 ,
the subspace {0} , or other trivial cases for which the result is clearly true but
needs a slightly different proof. Be sure to check these special cases yourself.
」
こういうところをちゃんとしてほしいですよね。
面倒だから、読者にやらせるというのはいかがなものでしょうか？
786 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/21(土) 14:12:15.30 ID:mxKhfIFi (3/3)
これから気分を変えて、Tom M. Apostol著『An Elementary View of Euler's Summation Formula』を読もうと思います。
0078１３２人目の素数さん
2020/03/22(日) 18:52:15.37ID:wn1q/cQpSheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
とりあえず、この本をすべて読みきりたいと思います。
828 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/22(日) 18:12:23.32 ID:fKbbNtXa (2/4)
Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
淡々とした癖のない記述がいいですね。
829 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/22(日) 18:14:19.72 ID:fKbbNtXa (3/4)
微分積分に比べて、線形代数って簡単ですよね。
集中して読めば2週間で読めると思います。
2週間を目標にします。
830 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/22(日) 18:17:08.66 ID:fKbbNtXa (4/4)
線形代数でちょっとおもしろいところというと固有値関係のところとジョルダンの標準形のところくらいかなと思います。
0079１３２人目の素数さん
2020/03/23(月) 23:39:52.57ID:/9yoW/20>>843
宇沢さんの本はいいとは思いません。
846+2 ：１３２人目の素数さん [↓] ：2020/03/23(月) 13:49:27.31 ID:4GyPucvM (2/2)
（財）日本測量調査技術協会の会長室で、本を書いていたそうですが、給料をもらっていて、こんなことをしてもいいんですか？
それを「まえがき」に堂々と書いていますが、非常識ではないでしょうか？
https://imgur.com/jrhx4WG.jpg
877+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/23(月) 20:48:59.36 ID:4GyPucvM (3/3)
>>875
ただその条件を満たしているというだけですね。
決して優れた本ではないですよね。
0080１３２人目の素数さん
2020/03/25(水) 17:29:01.78ID:oJqY2aTeSheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
φ : R^2 → R
φ(a*v) = a*φ(v) であるが、線形写像でない例をあげよ。
解答をみると、 (x^3 + y^3)^(1/3) という写像が書いてありました。
↓もっと簡単な例がありますよね。
φ(x, y) := 0 for x = 0 or y = 0
φ(x, y) := x for x ≠ 0 and y ≠ 0
φ(1, 1) = 1
φ(0, 1) = 0
φ(1, 0) = 0
∴1 = φ(1, 1) ≠ φ(0, 1) + φ(1, 0) = 0 + 0 = 0
0081１３２人目の素数さん
2020/03/25(水) 17:29:09.31ID:oJqY2aTeSheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
↓のように自画自賛していますね。
ガウスの消去法のほうが優れていますよね。
「
Our results about homogeneous
systems with more variables than
equations and inhomogeneous sys-
temswithmoreequationsthanvari-
ables (3.26 and 3.29) are often
proved using Gaussian elimination.
The abstract approach taken here
leads to cleaner proofs.
」
890 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/25(水) 16:54:49.59 ID:JVkL4U2o (2/2)
Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
この本ですが、演習問題のクオリティが非常に低いです。
はっきり言ってくだらない問題が多いです。
そんな問題が各セクションに10から30題くらいあります。
0082１３２人目の素数さん
2020/03/25(水) 20:53:17.25ID:oJqY2aTe最近、演習問題は解いたほうがいいと思うようになっているので、くだらない問題を20も30も出されると迷惑です。
精選された問題のみ出題してほしいですよね。
893 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/25(水) 19:06:25.54 ID:JVkL4U2o (4/5)
例えば、以下のような問題が典型的な問題です：
「
Suppose V and W are finite-dimensional with 2 ≦ dimV ≦ dimW .
Show that {T ∈ L(V, W) : T is not injective} is not a subspace of
L(V, W).
」
dim V = n とする。
v_1, …, v_n を V の基底とする。
w_1, …, w_n を W の一次独立な元とする。
S : v_1 → 0
S : v_2 → w_2
S : v_3 → w_3
…
S : v_n → w_n
T : v_1 → w_1
T : v_2 → w_1
T : v_3 → w_2
…
T : v_n → w_{n-1}
とする。
S + T : v_1 → w_1
S + T : v_2 → w_1 + w_2
S + T : v_3 → w_2 + w_3
…
S + T : v_n → w_{n-1} + w_n
S, T は明らかに単射ではないが、 S + T は単射である。
0083１３２人目の素数さん
2020/03/25(水) 20:53:39.67ID:oJqY2aTe例えば、以下のような問題が典型的な問題です：
「
Suppose V and W are finite-dimensional with dimV ≧ dimW ≧ 2.
Show that {T ∈ L(V, W) : T is not surjective} is not a subspace of
L(V, W).
」
dim W = m とする。
v_1, …, v_n を V の基底とする。
w_1, …, w_m を W の基底とする。
S : v_1 → 0
S : v_2 → w_2
S : v_3 → w_3
…
S : v_m → w_m
S : v_{m+1} → 0
…
S : v_n → 0
T : v_1 → w_1
T : v_2 → 0
T : v_3 → 0
…
T : v_m → 0
T : v_{m+1} → 0
…
T : v_n → 0
とする。
S + T : v_1 → w_1
S + T : v_2 → w_2
S + T : v_3 → w_3
…
S + T : v_m → w_m
S + T : v_{m+1} → 0
…
S + T : v_n → 0
S, T は明らかに全射ではないが、 S + T は全射である。
0084１３２人目の素数さん
2020/03/25(水) 23:34:22.29ID:oJqY2aTeSheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
「
Suppose there exists a linear map on V whose null space and range are
both finite-dimensional. Prove that V is finite-dimensional.
」
T を V から V への線形写像とする。
dim null T < +∞
dim range T < +∞
とする。
null T の基底を v_1, …, v_n
range T の基底を w_1, …, w_m
とする。
T u_1 = w_1, …, T u_m = w_m とする。
V = span(v_1, …, v_n, w_1, …, w_m, u_1, …, u_m) であることを以下で証明する。
v を任意の V の元とする。
(1) v ∈ range T である場合。
v = β_1 * w_1 + … + β_m * w_m for some β_1, …, β_m
∴ v ∈ span(v_1, …, v_n, w_1, …, w_m, u_1, …, u_m)
(2) v ∈ range T でない場合。
T v ∈ range T であるから、(1)と同様にして、
T v
=
β_1 * w_1 + … + β_m * w_m
=
β_1 * T u_1 + … + β_m * T u_m
=
T(β_1 * u_1 + … + β_m * u_m) for some β_1, …, β_m
∴ T(v - β_1 * u_1 - … - β_m * u_m) = 0
∴ v - β_1 * u_1 - … - β_m * u_m ∈ null T
∴ v - β_1 * u_1 - … - β_m * u_m = α_1 * v_1 + … + α_n * v_n
∴ v = α_1 * v_1 + … + α_n * v_n + β_1 * u_1 + … + β_m * u_m ∈ span(v_1, …, v_n, w_1, …, w_m, u_1, …, u_m)
以上より、 dim V < +∞ である。
0085１３２人目の素数さん
2020/03/25(水) 23:35:18.24ID:oJqY2aTe>>902
あ、場合分けは必要ないですね。(2)だけでいいですね。
904 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/25(水) 22:01:08.03 ID:JVkL4U2o (8/8)
こんなくだらない問題が30問もあります。
障害物のようなものですよね。
なかなか先に読みすすめることができません。
0086１３２人目の素数さん
2020/03/27(金) 21:28:42.61ID:K2SXmOPAMeasure, Integration & Real Analysis (Graduate Texts in Mathematics Book 282) [Print Replica] Kindle Edition
by Sheldon Axler (Author)
↑この本ってどうですかね？
912 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/27(金) 18:28:26.30 ID:5eHvnFma (2/3)
佐武一郎さんの『線型代数学』ですが、なんか癖が強いですよね。
この本の特長を教えて下さい。
テンソル代数について書かれていることは特長だと思いますが。
913 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/27(金) 18:39:54.12 ID:5eHvnFma (3/3)
Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
↓なるほどと思いますね。佐武一郎さんもこれについてなんか説明していましたよね。
「
Because every finite-dimensional
vector space is isomorphic to some
F^n , whynotjuststudy F^n insteadof
more general vector spaces? To an-
swer this question, note that an in-
vestigation of F^n would soon lead
to other vector spaces. For exam-
ple, we would encounter the null
space and range of linear maps. Al-
though each of these vector spaces
is isomorphic to some F^n , thinking
of them that way often adds com-
plexity but no new insight.
」
0087１３２人目の素数さん
2020/03/29(日) 18:27:56.22ID:xoCKiO/ESheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
↓は極端にクオリティの低い問題の例です。
「
Suppose V is a finite-dimensional vector space and R, S, T ∈ L(V) are
such that R*S*T is surjective. Prove that S is injective.
」
V は有限次元なので、単射 ⇔ 全射 ⇔ 全単射 です。
V は有限次元で、 R*S*T は全射なので、 R*S*T は全単射です。
S*T は全単射 ⇔ S, T は全単射なので、 R, S, T は全単射です。
∴ S は単射です。
920 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/29(日) 10:38:27.62 ID:462mPqWO (2/10)
Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
↓の問題なんて対応する行列の問題を考えればどう解答を作ればいいかは明らかですよね。
そういう素直な解答が書いてあるかと思って、解答を見てみたら、トリッキーな解答でした。
「
Suppose V is finite-dimensional and T ∈ L(V). Prove that T is a scalar multiple of the identity if and only if S*T = T*S for every S ∈ L(V).
」
0088１３２人目の素数さん
2020/03/29(日) 18:28:09.46ID:xoCKiO/Ev_1, v_2, …, v_n を V の基底とする。
S_i(v_i) = v_i
S_i(v_j) = 0 for j ≠ i
とする。
T(v_i) = a_{1, i}*v_1 + … + a_{n, i}*v_n for i ∈ {1, …, n}
とする。
S_i*T(v_i) = a_{i, i}*S(v_i) = a_{i, i}*v_i
T*S_i(v_i) = T(v_i) = a_{1, i}*v_1 + … + a_{n, i}*v_n
∴ a_{k, i} = 0 for all k ≠ i
∴ T(v_i) = a_{i, i}*v_i for i ∈ {1, …, n}
S(v_1) = v_i
S(v_i) = v_1
S(v_k) = v_k for all k such that k ≠ 1 and k ≠ i
とする。
S*T(v_1) = S(a_{1, 1}*v_1) = a_{1, 1}*S(v_1) = a_{1, 1}*v_i
T*S(v_1) = T(v_i) = a_{i, i}*v_i
∴ a_{1, 1} = a_{i, i} for all i ∈ {1, …, n}
∴ T(v_i) = c*v_i for i ∈ {1, …, n} for some constant c.
∴ T = c*I
922 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/29(日) 11:24:29.28 ID:462mPqWO (4/10)
>>921
これが素直な解答だと思います。
Axlerさんの解答は以下です。トリッキーですよね。
https://imgur.com/6QvGtF9.jpg
0089１３２人目の素数さん
2020/03/29(日) 18:28:32.20ID:xoCKiO/ESheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
なぜ↓のようなナンセンスな問題を出したのか信じられません。
https://imgur.com/TimypL2.jpg
924+1 ：１３２人目の素数さん [↓] ：2020/03/29(日) 11:38:25.41 ID:462mPqWO (6/10)
T = I とする。
仮定から、
S = S*I ∈ Ε for all S ∈ L(V)
なので、
E = L(V)
925 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/29(日) 11:41:27.62 ID:462mPqWO (7/10)
問題自体があまりにもくだらないので、どうでもいい話ですが、
なぜ、 S*T ∈ Ε for all S, T ∈ L(V) だけを仮定しなかったんですかね。
あと、結論の Ε = {0} or Ε = L(V) の Ε = {0} は不要ですよね。
0090１３２人目の素数さん
2020/03/29(日) 18:28:49.20ID:xoCKiO/Eあ、問題をよく読んでいませんでした。
928+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/29(日) 12:41:51.12 ID:462mPqWO (9/10)
>>923
Ε ≠ {0} と仮定する。
∃T ∈ L(V) such that T = 0
v_1, …, v_n を V の基底とする。
T ≠ 0 だから、 T(v_k) ≠ 0 for some k
T(v_k) = a_1*v_1 + … + a_n*v_n とする。
T(v_k) ≠ 0 だから、 a_l ≠ 0 for some l
S_i(v_i) = v_k
S_i(v_j) = 0 for j ≠ i
U_i(v_l) = v_i
U_i(v_m) = 0 for m ≠ l
とする。
U_i*T*S_i(v_i) = U_i*T(v_k) = U_i(a_1*v_1 + … + a_n*v_n) = a_l*U_i(v_l) = a_l * v_i
U_i*T*S_i(v_j) = U_i*T(0) = 0 for j ≠ i
U_i*T*S_i(a_1*v_1 + … + a_n*v_n) = a_i*U_i*T*S_i((v_i) = a_i * a_l * v_i
Σ U_i*T*S_i(a_1*v_1 + … + a_n*v_n) = Σ a_i * a_l * v_i = a_l * Σ a_i * v_i = (a_l*I)(Σ a_i * v_i)
仮定から、 U_i*T*S_i ∈ Εであり、 Ε は部分空間だから、
Σ U_i*T*S_i ∈ Ε
よって、 a_l*I ∈ Ε
Ε は部分空間だから、
I ∈ Ε
0091１３２人目の素数さん
2020/03/29(日) 22:13:29.23ID:xoCKiO/ESheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
Suppose T ∈ L(P(R)) is such that T is injective and deg Tp ≦ deg p for every nonzero polynomial p ∈ P(R).
(a) Prove that T is surjective.
(b) Prove that deg Tp = deg p for every nonzero p ∈ P(R).
(a) q ∈ P(R) とする。
q = 0 ならば、 T0 = 0 = q である。
q ≠ 0 とし、 m = deg q とする。
deg Tp ≦ deg p だから、 T は P_m(R) 上の（単射な）線形写像である。
P_m(R) は有限次元だから、 T は P_m(R) 上の全単射な線形写像である。
∴Tp = q となるような p ∈ P_m(R) が存在する。
(b) 仮定より、 deg Tp ≦ deg p for every nonzero p ∈ P(R) である。
q := Tp とおく。 (a)より、 deg q = m ならば、 q = Tr となるような r ∈ P_m(R) が存在する。
q = Tp = Tr であるが T は単射だから、 p = r である。
∴ deg p = deg r ≦ m = deg q = deg Tp
∴ deg Tp = deg p for every nonzero p ∈ P(R).
931 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/29(日) 18:53:26.45 ID:462mPqWO (11/12)
線形代数はやっぱり簡単ですよね。
933 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/03/29(日) 19:03:19.86 ID:462mPqWO (12/12)
Axlerさんの本は余計なことが一切書かれていないのがいいところです。
0092１３２人目の素数さん
2020/03/31(火) 22:34:57.98ID:BOVVu7t8Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
V をベクトル空間、 U を V の部分空間とする。
V/U は有限次元であるとする。
V と U × (V/U) は同形であることを証明せよ。
証明：
T : V ∋ v → v + U ∈ V/U とする。
V/U の基底を v_1 + U, …, v_k + U とする。
V = null T + span(v_1, …, v_k) は直和である。
null T + span(v_1, …, v_k) と null T × span(v_1, …, v_k) は同形である。
null T = U である。
span(v_1, …, v_k) は V/U と同形である。
よって、
V は U × (V/U) と同形である。
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