整数論を勉強するためのスレッド

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/02(土) 05:18:46.03

代数幾何のスレが盛り上がってるので建てた。
俺はSerreのLocal Fieldsを読む。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 19:51:11.30

志村本届いた
1、2、3章は言われてるほど難しい感じはしない
むしろ、位相群とかRiemann面とかの復習から入っていて、かなり丁寧な本という印象を受ける
まあ、この本の本題は、5章のAbel多様体の虚数乗法論と、7章のAbel多様体のゼータ関数論にあって、ここが難しいのだろうが

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 19:55:39.96

アマゾンレビューを見る限りアーベル多様体の定義自体が現代と異なるらしいから難しそうだな

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 20:01:59.04

前書きに、「付録に代数幾何の用語集を付けた。4章以降を読む奴は"専門家でも"必ずここを読め（意訳）」と書いてありますね

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/09(木) 17:43:17.14

Z上で既約な多項式はQ上でも既約といういわゆるGaussの補題の系は、一般のDedekind環とその商体においても成り立つのか？整数環がUFDなら成り立つが
……

base changeして既約でなくなると困るんだけど

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/09(木) 17:47:56.64

とりあえず整閉だから1変数の場合はオーケー

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/15(水) 11:01:19.49

ベルヌーイ数B_rの分子は、p|rかつnot p-1|rなる素数pすべて素因数として含むってすぐ分かりますか？

というのも岩波数論Ⅱで
ζ(1-r)=-B_r/rの分母D_rに対して
p|D_r ⇔ p-1|r
という記述があったのですが
一方、B_r自体の分母D'_rに対しては有名な
p|D'_r ⇔ p-1|r
があるので、これらを比較するとB_rをrで割ったときに
最初に書いたpで約分が起きないといけない気がしました

例えば
B_10=5/(2×3×11)
B_14=7/(2×3)
B_22=(11×131×593)/(2×3×23)
となっていて
たしかに5、7、11が分子にいます

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/15(水) 11:02:04.93

ついでなんですが数論Ⅱで
p|D_r ⇔ p-1|r は
D_rを具体的にTateひねりを用いて表現した式
D_r=Π_p ♯(Q_p/Z_p(r))^(Gal(Q(μ_p^∞)/Q))
を使って証明してるんですが
この表示の良い文献があれば教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 14:31:15.78

エタールコホモロジーなどは結果だけ使えればよいと思う

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/10(月) 08:11:14.40

>>230

x - (floor(x) + ceiling(x)-1) /2
　= 1/2 - Σ(k=1,∞) sin(2πkx)/(kπ),

[x] = floor(x),

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/10(月) 09:42:21.75

>>230
x - (floor(x) + ceiling(x)-1)/2
　= 1/2 + arctan(tan(π(x-1/2))/π,

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/21(金) 07:46:00.84

xが整数でないとき
　{x} = x - [x] = x - floor(x) = 1/2 + arctan(tan(π(x-1/2))/π.

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/21(金) 07:47:24.68

　{x} = x - [x] = x - floor(x)
とする。
　Σ(j=1,n) {jk/n} = (n - gcd(n,k))/2.

面白スレ３２－926

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/23(日) 09:21:42.50

Σ(j=1,n) [jk/n] = ( (n+1)k - n + gcd(n,k) )/2,

面白スレ３２－927

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 23:09:01.89

類体論を勉強する

加藤黒川斎藤を読めばええの

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 15:52:00.06

あれはマゾ向け

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 18:36:31.19

84(n-24)-8000m+37=0
n=0～2000、m=0～20のn,mのうちもっとも上記式が成り立ちやすい(n,m)を求める。

n=95m+n'+24として
-20m+84n'+37=0
-20(m-2)+84n'-3=0
m=4n'+m'+2として-20m'+4n'-3=0
n'=5m'+n''+1として4n''+1=0 よってn''=0
(略)こたえ：m=6

ナニコレ？これなんていう整数導出法なの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/29(火) 17:10:37.46

ceilとfloorの代数学？って面白いよね
ステップ、signam、Iverson括弧…
等々を駆使して変な表式を作るのが好きだ

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/06(月) 12:05:01.41

〔例〕方程式
　xx - 3yy ≡ -1　　　(mod 3)
　xx - 3yy ≡ -1　　　(mod 4)
が一般には整数解をもたないことを示せ。

A.O.ゲリファント「方程式の整数解」東京図書数学新書5 (1960)
　銀林浩訳　　p.56-57　例

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/06(月) 12:07:05.46

(上)
xx - 3yy ≡ xx ≠ -1　　　(mod 3)

(下)
xx - 3yy ≡ xx + yy ≠ -1　(mod 4)

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 21:15:14.05

藤林丈司

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/14(木) 00:35:21.70

素測地線って数論への応用はあるのですか？
それとも単なる数論的な類似物に過ぎないなのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/06(土) 17:11:44.64

(11^5 + 11 + 1)/(11^5 + 11^4 + 1)　を約分せよ。

(略解)
x^5 + x + 1,　x^5 + x^4 + 1 は x=ω, x=ω' (1の3乗根) のとき 0,
因数定理より　(x-ω)(x-ω') = xx+x+1 で割り切れる。

　x^5 + x + 1 = (xx+x+1)(x^3 -xx +1),
　x^5 + x^4 + 1 = (xx+x+1)(x^3 -x +1),
∴　(与式) = (x^3 -xx +1)/(x^3 -x +1)

MathLABO　東大・医 (?)
http://www.youtube.com/watch?v=E4Lv6kerh78 09:30

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/09(火) 23:38:47.25

〔Wilsonの定理〕
　(n-1)! ≡ -1　(mod n)　　　(nは素数)
　(n-1)! ≡ 2　(mod n)　　　(n=4)
　(n-1)! ≡ 0　(mod n)　　　(nは合成数(>4))

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/09(火) 23:40:42.76

1≦m<n なるmのうち, nと素であるものを正則元とよぶ。

〔土岡の定理〕
3以上の自然数nに対して
(1)　Π[1≦m<n, (m,n)=1] m ≡ ±1　(mod n)
(2)　-1 となるのは n=4, n=p^e, n=2p^e のときである。
　　　 (pは奇素数で e≧1)

数学セミナー, vol.39, no.3, 通巻462号 (2000/Mar)
　p.69-70　NOTE

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/09(火) 23:44:15.58

mを自然数とする。次式を因数分解せよ。
　2^{2m+7} + 3^{2m} + 6^{m+2}
　2^{2m+3} + 3^{2m} + 6^{m+1}
　2^{2m-2} + 3^{2m} + 6^m
　2^{2m-4} + 3^{2m+1} + 6^m

[面白スレ３９．472]

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/09(火) 23:45:51.19

2^a + 2^b + 2^c + 2^d + 2^e = n!
の自然数解 (a≦b≦c≦d≦e; n) は何個あるか？

［面白スレ３９.481]

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/10(水) 17:52:33.14

f(x) = (x^100 +1)^100 + (x^2 +1)^100 + 1
は x^3 -1 で割り切れるか。

　2003年京大前期(?)、改作
[高校数学の質問スレPart414．427]

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/10(水) 23:31:02.13

f(x) = (x^100 +1)^100 - (x^2 +1)^100 + x^100 - x^2
は x^3 -1 で割り切れるか。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 13:12:22.82

n進数におけるレピュニット数の性質はnによらず同じ？

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/08(木) 18:20:20.06

>>288
イデアル論が代数幾何の基礎になったように
類体論が被覆空間の幾何の基礎になってもよい

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/11(火) 22:20:15.68

葉層理論は数論に応用があるらしい

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/11(火) 22:38:39.08

kwsk

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/04(金) 21:32:00.31

>>299
エントロピーや測度論を介したつながりがある。
この間葉層構造の研究集会で
Littlewood予想の話が出ていた。

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/05(土) 13:04:25.93

素数分布と相互律は不即不離

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/05(土) 13:09:58.72

数学はお経じゃない

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/05(土) 14:10:03.67

無苦集滅道

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/06(日) 09:55:54.97

志村の相互法則

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/06(日) 19:21:35.53

Introduction to arithmetic theory of automorphic functions

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/06(日) 21:17:49.96

A. Gee, Class fields by Shimura reciprocity 1999.

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/20(日) 16:19:47.61

平方剰余の相互法則の証明は
240以上あるそうだね

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/23(水) 17:07:43.18

二つの奇素数を入れ替えることによって
この世界に起きる変化が
それほど多様であるということ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/23(水) 20:35:43.63

PDEを使った証明があるという話を
どこかで読んだような気がする

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/24(木) 06:15:21.28

Has Lewy?

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/24(木) 06:21:17.90

訂正
Has-->Hans

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/24(木) 14:45:27.10

正しい定理はどう証明しようとも正しくなるはずだから、
それらの系統の異なる証明の存在の背後には何が隠れているのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/25(金) 04:55:00.49

二つの奇素数を入れ替えることによって
この世界に起きる変化が
それほど多様であるということ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/01(木) 21:11:20.27

余りとして負の数を許すことによって
対称性が見やすくなるというのが
ガウス

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/07(水) 23:03:27.43

タクシー数が
オイラーやラマヌジャンによって詳しく研究されていたことを
今日初めて知った

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/20(火) 21:58:34.15

ハンバーガーの味わい方-関数等式の歴史-
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo08/08sato.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 03:12:37.31

Hamburgerはモーメント問題を解いただけかと思っていた。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 19:12:47.41

>>136
この著書の佐藤先生はあの新谷卓郎先生の弟子
ただ佐藤先生の弟子がいるのかは知らない

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 19:15:05.79

斎藤毅さんってどうですか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 19:32:19.83

F.Sato, On zeta functions of ternary zero forms (1982)
To the memory of Takuro Shintani
https://repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/records/39603

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 19:52:34.24

B\”ocherer予想の解決を大変喜んでおられたみたいだ

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 22:49:54.40

https://i.imgur.com/9DcG0yB.jpg
https://i.imgur.com/bsoYTVs.jpg
https://i.imgur.com/NywdDMk.jpg
https://i.imgur.com/al5e2ja.jpg
https://i.imgur.com/XlYOONp.jpg
https://i.imgur.com/LxWHCrd.jpg
https://i.imgur.com/i4snIQ0.jpg
https://i.imgur.com/3yuzRSi.jpg
https://i.imgur.com/7D0ySSj.jpg
https://i.imgur.com/UVdcYyq.jpg
https://i.imgur.com/atwDkDT.jpg
https://i.imgur.com/XifMIGs.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/22(木) 07:58:20.54

最新の代数学賞

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/22(木) 14:16:14.34

古澤昌秋

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/26(月) 02:41:04.98

ペアノの公理だけで定義される自然数、無限集合としてもっとも単純。
それを元にして符号拡張をして加減乗算ができるようにしただけの整数。
演算するのには連続性も解析性も極限も必要ない。
それだけの前提から、これほど多種多様で難しい問題が生じることが
どうして可能になるのか、なんだかとっても不思議な気持ちがする。
　整数を人類が自由に把握できるようになると考えるのはおこがましいのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/27(火) 23:02:55.39

Number Theory in Tokyo
March 20-24, 2023
Tokyo Institute of Technology

https://sites.google.com/view/ntint/

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/27(火) 23:11:07.99

金子さんの一派か

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 13:51:53.61

剰余群がわからんから、整数論の剰余modに慣れようと初等整数論勉強してみたら初等幾何より難しい。
矢野先生の初等幾何とかは、図示で視覚的に勉強できるが整数論は、そこが違う。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 14:06:01.55

初等幾何でも
ユークリッドでもデカルトでもない
射影幾何になると難しい
ポンスレとか

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 15:39:41.23

小平邦彦さんの『幾何のおもしろさ』が難しいのでずっと積読状態です。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 15:42:04.68

タイトルを『幾何のむずかしさ』にかえてほしいです。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 15:48:15.30

公理のところが非常に難しいです。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 16:01:18.08

「幾何学大辞典」でも難しいとされていたようだった。
秋山武太郎がいいみたいだ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 16:06:33.74

置換群とかは線形代数で学ぶけど剰余群は整数論やってないと初見になるんだよな。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 16:08:28.73

商ベクトル空間は
線形代数の範囲

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 16:40:58.44

整数のmod3 による剰余類の集合は
｛0，1，2｝ではなくて
｛｛0,　±3,　±6,....}, 　{1,　1±3，1±6，1±9, ....} ,　 {2,　2±3，2±6，..} }
が本当は正しい。
つまり、それぞれの類は集合だ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 16:55:46.73

Z/3Zの元を毎回そんなふうに書いてるの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 18:07:47.57

mod 7の剰余類は普通に日常生活をおくっているひとは身についている

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 22:32:35.81

簡単に　{Z, Z+1, Z+2} と書いてもよかろう。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 22:33:16.29

簡単に　{3Z, 3Z+1,　3Z+2} と書いてもよかろう。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:01:37.37

そんなこと言うなら2を{φ,{φ}}と書くのかって話になってくるじゃん

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 03:25:35.50

>>334,336
実質的には時計の読み方とか帯分数として小学校でやらされてる。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 15:38:14.15

>>338
でも足し算はともかく掛け算は曜日では分からんな
1→3→2→6→4→5→1　(×3による巡回)

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/17(火) 16:48:38.80

イデール類群がコンパクトじゃないのはなぜ？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/17(火) 17:10:22.36

ノルム写像が連続だけど有界ではないからだ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/19(木) 13:27:26.70

ε-N論法は、整数・自然数の証明に使うという点では数学的帰納法に似ていますね。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/02(木) 05:56:14.27

今、円分体上で素数を割る方法を勉強中
素イデアルを特定する方法までは分かったが
そこから数を探すのが面倒・・・

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/02(木) 06:03:01.66

簡単のため素数pがmod qで1となる場合について完全分解する方法だけやってる
円分多項式Φqのmod pでの根を探せばいいことはわかった

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 06:24:09.25

>>347
なんか出来たわ
1の11乗根を追加した体で23を分解した
分解の仕方は一意的ではないようだが

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 06:42:12.17

Masleyとmontgomery J.Reine Angev. Math. '1976)によれば
1の11乗根を追加した体はUFD

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 07:23:59.20

Z[ζ_11]はufdだから一意的にできると思うぞ

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 07:46:06.74

ζ_11のQ上の最小多項式は

φ = X^10 + X^9 + ... + X + 1

これをmod 23で因数分解して

φ = f_1^e_1 ... f_g^e_g (mod 23)

となったとすると、(23)の素イデアル分解は、p_i = (23, f_i(ζ_11))として

p_1^e_1 ... p_g^e_g。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 19:22:55.55

なんかレスが束になってきた

>>350-352
皆様ご指摘の通り
1の11乗根を追加した体
Z[ζ_11]はufdです

ζ_11のQ上の最小多項式
φ = X^10 + X^9 + ... + X + 1
をmod 23で因数分解すると
(X-2)(X-4)(X-8)(X-16)(X-9)(X-18)(X-13)(X-3)(X-6)(X-12)
となります
これはX^11=1となるXをEXCELで求めました

で、mod 23で、
18^2=2,16^3=2,8^4=2,6^5=2,4^6=2,3^7=2,13^8=2,9^9=2,12^10=2
なので,イデアルの代表元として(ζ^n-2)(n=1～10)を取り出して
全部掛ければ23になるかと思ったら・・・2047！

で、2047=23*89で、mod 89でも2は根になるので、
原因はそのせいだと考えた。

その上で解決策として
mod 89で根にならない数3と組み合わせればいいと考え
1の11乗根ζについて積
(ζ　-ζ^8+1)
(ζ^2-ζ^5+1)
(ζ^3-ζ^2+1)
(ζ^4-ζ^10+1)
(ζ^5-ζ^7+1)
(ζ^6-ζ^4+1)
(ζ^7-ζ+1)
(ζ^8-ζ^9+1)
(ζ^9-ζ^6+1)
(ζ^10-ζ^3+1)
を計算したところ、23になりました　やった！

ただ・・・実は積
(ζ　-ζ^9+1)
(ζ^2-ζ^7+1)
(ζ^3-ζ^5+1)
(ζ^4-ζ^3+1)
(ζ^5-ζ+1)
(ζ^6-ζ^10+1)
(ζ^7-ζ^8+1)
(ζ^8-ζ^6+1)
(ζ^9-ζ^4+1)
(ζ^10-ζ^2+1)
でも23になっちゃうことが発覚！

この他、積が23になる場合が2通り、
都合4通り見つかりました
イデアルとしては一意的だが
代表は一意じゃないってことか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 19:57:13.50

単数（単元）があるからね。
一意的というのは、単数を(1)とみなしてということだから。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 20:36:39.03

>>354
あ、なるほど、そういうことか
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 21:06:51.29

面白そう
俺も代数的整数論やろうかな

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 21:23:26.25

>>356
面白いっすよ　学生のころは整数論には手ださなかったけどｗ
tsujimotter氏他、ネットのHPには大いにお世話になりました

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 21:25:54.68

ちなみに23のmod11での分解をやろうと思ったのは
別スレで、1の23乗根を1の11乗根で表す計算やったから
（ちなみにそれも
出てきた式を因数分解してやろうと思ったんで計算してみた

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 21:26:29.52

>>358
>ちなみにそれも・・・
EXCELで計算したｗ

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/04(土) 13:58:51.54

平方剰余の相互法則をガウスが発見したのは
何歳の時かご存じの方はいますか。
1795年というのは本に書いてあったので
多分「数学日記」にあると思うのですが。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/04(土) 16:47:09.67

「数学日記」は1796年からでした。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/07(火) 15:36:36.94

How can I recover the theory of classical modular forms of SL(2, Z) from the theory of automorphc forms of an adelic algebraic group?
The two theories can be stated in parallel, but a priori, it does not seem that the one theory is a generalization of the other.
As far as I've tried, just restricing the group action to the infinite place cannot derive the classical theory.
Could you tell me the relationship between the two theories?

Thank you.

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/08(水) 03:23:17.83

アデールと層はどっちが強い？

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/08(水) 11:29:19.78

層は局所と大域の差を測れる
層は代数体や代数曲線の関数体以外にも定義できる

アデールは性質の良い位相が入ってる
アデールは無限素点の情報が入ってる

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/14(火) 15:45:38.71

Witt vectorsって何に使われるの

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/14(火) 23:15:22.56

クリスタリンコホモロジーとか

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/15(水) 13:06:35.62

Virasoro algebra